problema plana a˘ n puncte materiale · prefa¸ta˘ ˆin aceast a lucrare sunt prezentate aspecte...

Octavian G. Mustafa

Problema Plana a n Puncte

Materiale

Introducere ın conjectura lui D.G. Saari

Publicatiile DAL

Craiova

Fisier prelucrat ın data de [November 24, 2016]

Avertisment

Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie

considerat “ca atare.”

Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste anti-

cipat pentru efortul depus.

Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este

declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.

Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.

1 [email protected]

v

Prefata

In aceasta lucrare sunt prezentate aspecte introductive ale conjecturii lui Donald G.

Saari — miscarea particulelor ın problema generala a n puncte materiale este rigida

daca momentul de inertie total fata de centrul maselor sistemului este o marime

constanta —.

Lucrarea se compune din trei capitole. In primul este analizata miscarea unei

particule materiale ın camp gravitational newtonian punctiform. Este realizata inte-

grarea ecuatiei diferentiale a miscarii prin introducerea schimbarii de variabila a lui

Karl F. Sundman. Al doilea capitol prezinta teorema colapsului total (Weierstrass

si Sundman), o varianta a teoremei virialului datorata lui Harry Pollard si o analiza

asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari). Ultimul capitol prezinta teoria rigidu-

lui generalizat a lui D.G. Saari, miscarile omografice plane ale sistemului mecanic

(teorema Lagrange-Pizzetti) si o demonstratie simpla a conjecturii lui Saari ın cazul

punctelor coliniare (2005).

Craiova, [November 24, 2016] O.G.M.

vii

Cuprins

1 Problema fortei centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conservarea momentului cinetic: a doua lege a lui Kepler . . . . . . . . . 2

1.3 Coliziune ın timp finit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Conservarea energiei mecanice. Ecuatia diferentiala a miscarii

gravitationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda lui

Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula energetica

a vitezei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 A treia lege a lui Kepler. Identitatea Lagrange-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Conservarea momentului cinetic total si a energiei mecanice.

Identitatea Lagrange-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Inegalitatea lui Sundman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Teorema colapsului total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara . . . . . . . 20

2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Conjectura lui Saari: introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 O reprezentare computationala a rotatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Miscarea omografica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ix

Lista de Figuri

1.1 Miscarea circumstelara a planetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sectiunea conica de excentricitate e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ariile hasurate sunt egale. Cand ajungem ın P: iarna sau vara? . . . . . . 6

1.4 Caderea din M0, fara viteza initiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 “Infinit” de departe de observator, miscarea particulei M are loc pe

asimptota traiectoriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Estimarea lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Rotatia ın jurul lui O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Miscari omografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Miscare de ansamblu pe sectiuni conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Miscare ın planul particulelor coliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Miscare pe cercuri concentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

xi

Capitolul 1

Problema fortei centrale

1.1 Formularea problemei

In sistemul de referinta inertial R = (O,−→B), unde B = {i, j,k}, vezi [13, Cap.

1], consideram miscarea particulei (M,m) generata de interactiunea cu (O,m0). Vom

presupune ca forta cu care M este atras de catre O depinde numai de masele m, m0

si de distanta r = |OM|.Ecuatia de miscare are formula

m..r =−m

f (r)

r· r, (1.1)

Fig. 1.1 Miscarea circumste-

lara a planetei

1

2 1 Problema fortei centrale

unde f : (0,+∞)→ (0,+∞) este neteda. Se admite ca f (0) = limrց0

f (r) = +∞. Vezi

[22, Cap. 4]. Cazul particular fundamental este cel al legii patratice inverse

f (r) =µr2, r > 0, unde µ = γm0. (1.2)

Aici, γ reprezinta constanta lui Cavendish. Alte exemple sunt date de potentialele

Manev, Einstein, Lennard-Jones, cf. [22, pg. 43–44], [13, pg. 152–154].

Ecuatia de miscare se poate rescrie ca

{ .r = v.v =− f (r)

r· r.

(1.3)

1.2 Conservarea momentului cinetic: a doua lege a lui Kepler

Inmultind vectorial cea de-a doua ecuatie din (1.3), obtinem ca

d

dt(r× v) = r×

.v =− f (r)

r· (r× r) = 0,

respectiv

r× v = c ∈ TR3. (1.4)

Marimea K = r× (mv) se numeste momentul cinetic sau unghiular al particulei

M. Aici, p = mv este impulsul particulei.

Relatia (1.4) este cea de-a doua lege a lui Kepler si anume, momentul cinetic al

planetei se conserva ın miscarea sa circumsolara.

Daca c 6= 0, atunci miscarea are loc ın planul fix de ecuatie c · r = 0. Pentru

simplitate, putem considera ca acest plan este chiar Oxy — luand c = c · k, unde

c > 0.

In coordonate polare, relatia (1.4) se rescrie ca

r2.θ = c, unde r = r(cosθ i+ sinθ j), (1.5)

conducandu-ne la formularea clasica a legii lui Kepler si anume, vectorul de pozitie

al planetei “matura” arii egale ın intervale de timp egale.

In cazul c = 0, folosim identitatea

d

dt

(

u

u

)

=(u ×

.u)×u

u3, u 6= 0, u = |u|.

Astfel, avem

1.3 Coliziune ın timp finit 3

d

dt

(

r

r

)

=(r× v)× r

r3=

c× r

r3= 0,

de unde concludem ca miscarea are loc pe o dreapta fixa care trece prin O.

Deci, miscarea particulei M sub actiunea fortei centrale (1.1) este ıntotdeauna

plana.

1.3 Coliziune ın timp finit

Presupunem ca v0 = v(0) = 0. Atunci, indiferent de formula functiei f , particula

M “cade” ın timp finit peste particula din O.

Intr-adevar, cum c = 0, miscarea este rectilinie, astfel ca — notand cu r coordo-

nata pe semidreapta (OM0, vezi Figura 1.1 — ecuatiile de miscare sunt

..r =− f (r), t > 0,r(0) = R > 0.r (0) = 0

(1.6)

Cum..r < 0, functia

.r descreste. Deci

.r (t)< 0 cand t > 0.

Trebuie eliminate urmatoarele situatii: (1) limt→+∞

r(t) = R∞ ∈ (0,R), respectiv (2)

limt→+∞

r(t) = 0.

Ecuatia (1.6) ne conduce la

d

dt

(

.r

2

2

)

=− f (r).r,

respectiv la

.r (t)

2

2=

∫ R

r(t)f (q)dq,

.r (t) =−

√

2

∫ R

r(t)f (q)dq. (1.7)

In oricare din situatiile (1), (2), obtinem ca

limt→+∞

.r (t) = lim

t→+∞

r(t)

t∈ [−∞,0),

ceea ce reprezinta, evident, o contradictie.


1.4 Conservarea energiei mecanice. Ecuatia diferentiala a

miscarii gravitationale

Plecand de la (1.3), putem scrie ca

v.v = v ·

.v = − f (r)

r· (r · v)

= − f (r).r,

respectiv

v2

2= F1(r)+h, F1(r) ∈ −

∫

f (r)dr, h ∈ R. (1.8)

In cazul legii patratice inverse, F1(r) =∫ +∞

rµq2 dq = µ

rpentru orice r > 0.

Identitatea lui Lagrange, (a×b)2 = a2b2− (a ·b)2, ne conduce la (a = r si b = v)

c2 = r2v2 − (r.r)2, (1.9)

de unde — conform (1.8) —, deducem ecuatia diferentiala a miscarii ın camp cen-

tral newtonian, vezi [24],

(r2v2 =) (r.r)2 + c2 = 2µr+2hr2. (1.10)

Egalitatea (1.8), rescrisa ca

T =U +h1 sau T +V = h1,

unde T = mv2

2, U = mF1, h1 = mh si V = −U , reprezinta teorema conservarii en-

ergiei mecanice. Aici, T desemneaza energia cinetica, V energia potentiala iar U

potentialul campului gravitational.

1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda

lui Laplace

In cazul legii patratice inverse, formula ddt

(

rr

)

= c×rr3 se rescrie ca

µd

dt

(

r

r

)

=(

− µr3

· r)

× c =.v ×c = (v× c)·,

de unde, prin integrare, obtinem legea (vectoriala) de conservare

µ(

e+r

r

)

= v× c, (1.11)

1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda lui Laplace 5

unde e este o constanta de integrare numita axa de excentricitate, cf. [17, pg. 5].

Vectorul µe este numit uneori vectorul Runge-Lenz, cf. [14, pg. 335] — mai rar

ıntalnit ın dinamica orbitala, cf. [4, pg. 47] —.

Cand c 6= 0, relatia (1.11) ne conduce la e · c = 0 — tinem seama de faptul ca

r ·c = 0 —, deci −→e ∈ TOR3, −→e ∈ e, se gaseste ın planul miscarii. Cand c = 0, avem

e =−ρ , unde ρ este versorul razei vectoare a particulei M.

Presupunand ca avem c 6= 0, o ınmultire scalara a relatiei (1.11) ne conduce la

µ(e · r+ r) = r · (v× c) = (v,c,r) = (r,v,c) = (r× v) · c = c2,

respectiv la

e · r+ r =c2

µ. (1.12)

Un caz particular important este dat de e = 0. Aici, regasim miscarea circulara:

r = c2

µ si, conform (1.9), concludem ca miscarea circulara uniforma — avem v = µc

— este un caz particular de miscare cereasca. Vezi o serie de detalii, istorice si

matematice, ın [4, 9].

Sa consideram ca e 6= 0. Atunci, notand cu f unghiul facut de vectorii −→r , −→e ∈TOR

3, relatia (1.12) ne conduce la

r =c2/µ

1+ ecos f. (1.13)

O rescriere a formulei (1.13) sub forma

Fig. 1.2 Sectiunea conica de

excentricitate e


r = e

(

c2

µe− r cos f

)

ne permite urmatoarea interpretare (vezi Figura 1.2): particula M se deplaseaza pe

traiectorie astfel ıncat d(O,M) = e · d(M,L), unde L este o dreapta — fixa — sit-

uata ın planul miscarii la distanta dL = c2

µede originea O, perpendiculara pe dreapta

∆(O,−→e ).Am ajuns la prima lege a lui Kepler: particula M se misca pe o (sectiune) conica

de excentricitate e avandu-l pe O (Soarele) ıntr-unul din focare.

Pozitia P — cea mai apropiata de focarul O — se numeste pericentrul traiecto-

riei.

Formula (1.5) ne arata ca particula M se misca pe traiectorie ıntr-un singur sens

(.f> 0):

r2.f= c, f = θ −ω, ω = constant,

unde f reprezinta anomalia adevarata.

De asemeni, viteza particulei creste atunci cand ea se apropie de P si scade odata

cu ındepartarea de aceasta pozitie — vezi ilustrarea observatiei ın cazul e ∈ (0,1)ın Figura 1.3; aici, ariile hasurate corespund miscarii segmentului OM ın intervale

de timp egale —. Altfel, particula ar cadea ın focarul O, conform calculelor din

sectiunea 1.3.

O formula importanta este

µa|e2 −1|= c2 cand e 6= 1 (1.14)

ın notatiile standard. De exemplu, ın cazul elipsei,

2a = rmin + rmax =c2

µ·(

1

1− e+

1

1+ e

)

= 2 · c2

µ(1− e2).

Fig. 1.3 Ariile hasurate sunt

egale. Cand ajungem ın P:

iarna sau vara?

1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula energetica a vitezei 7

In cazul cercului (e = 0), cum r = a = b = c2

µ , obtinem µa = c2.

1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula

energetica a vitezei

Vom stabili ın continuare urmatoarea identitate

µ2(e2 −1) = 2hc2. (1.15)

Ridicand la patrat relatia (1.11), obtinem (reamintesc ca vectorii v si c sunt per-

pendiculari)

µ2

[

e2 +2

r· (e · r)+1

]

= (v× c)2 = v2c2,

respectiv — conform (1.10), (1.12) —

µ2

[

e2 +2

r·(

c2

µ− r

)

+1

]

=

(

2h+2µr

)

c2.

Evident, ultima relatie este echivalenta cu (1.15).

Am obtinut cele sapte constante (scalare) ale miscarii ın camp gravitational punc-

tiform. Mai precis,

Fig. 1.4 Caderea din M0, fara

viteza initiala


c = r0 × v0

e = v0×cµ − r0

r0

h =v2

02− µ

r0.

Din cele sapte constante, cinci sunt independente — acest numar nu poate fi

micsorat, cf. [17, pg. 8] — datorita urmatoarelor relatii

e · c = 0, µ2(e2 −1) = 2hc2.

In cazul general al problemei celor n puncte materiale, exista zece constante de

miscare independente — conform teoremei lui Bruns [3, 8], [23, pg. 23].

Pe baza formulelor (1.14), (1.15) — de unde a = µ2|h| —, putem scrie viteza

particulei M ın raport cu energia h si anume,

v2 =

µ(

2r+ 1

a

)

, cand h > 02µr, cand h = 0

µ(

2r− 1

a

)

, cand h < 0.

(1.16)

O interpretare interesanta a acestei formule ın cazul h < 0 este ilustrata ın Figura

1.4, vezi [12, pg. 150, 151]. Mai precis, viteza particulei materiale ın pozitia M este

egala cu viteza pe care ar avea-o particula daca ar “cadea”, fara viteza initiala, din

pozitia M0 atunci cand ar ajunge ın M — vezi formula (1.7). Punctul (geometric)

M0 se gaseste pe cercul de raza R = 2a centrat ın focarul O al elipsei (traiectoria).

1.7 A treia lege a lui Kepler. Identitatea Lagrange-Jacobi

Viteza areolara a particulei M este, conform (1.5), c2, de unde rezulta ca

prev ·c

2= πab = πa2

√

1− e2.

Aici, prev reprezinta perioada miscarii de revolutie a particulei M. Tinand seama

de (1.14), deducem ca

prev =2πc

·a2√

1− e2 =2πa2

√1− e2

√

µa(1− e2)=

2π√µ·a3/2. (1.17)

Am obtinut cea de-a treia lege a lui Kepler si anume patratul perioadei de

revolutie a planetei ın miscarea circumsolara este direct proportional cu cubul

semiaxei mari a traiectoriei, raportul de proportionalitate fiind acelasi pentru toate

planetele.

Marimea I = 12·mr2 se numeste moment de inertie (polar) al particulei materiale

M. Prin derivare obtinem.I= m · r .

r= m · (r · v), respectiv

1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0 9

..I = m · (v · v)+ r ·ma

= mv2 −m · f (r)r = mv2 − mµr

= 2T −U. (1.18)

Relatia (1.18) se numeste identitatea Lagrange-Jacobi. Ea a fost remarcata de

Lagrange ın problema celor 3 puncte materiale si apoi generalizata de Jacobi, cf.

[10, pg. 23].

1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0

Introducem schimbarea de variabila

u = k

∫ t

T

dτr(τ)

, unde k =√

µ (1.19)

iar T este un moment (de timp) pe care ıl vom interpreta ulterior. Acest tip1 de

schimbare de variabila ıi apartine lui Sundman, vezi [22, p. 145], care a folosi-

t-o ca tehnica de regularizare a coliziunilor binare ın problema celor trei puncte

materiale. Alte tehnici de regularizare au fost introduse de Delaunay, Levi-Civita,

Kustaanheimo-Stiefel, Marchal, etc. — vezi prezentarile din [9, 10, 11, 24, 22].

Astfel, avem

.r=

dr

du

.u=

k

r· dr

du.

Ecuatia (1.10) devine ın acest caz

(r′)2 +c2

k2=

2µk2

r, unde r′ =dr

du,

respectiv

(r′)2 +c2

µ= 2r. (1.20)

Teorema de inversiune locala, aplicata relatiei (1.19), ne asigura ca r este constant

ca functie de u daca si numai daca este constant ca functie de t. Astfel, lasand la

o parte miscarea circulara uniforma, functia r′ are (eventual) zerouri izolate. Prin

urmare, derivand ecuatia (1.20), ajungem la r′′ = 1.

Solutia generala a acestei ecuatii este

r =1

2(u−u0)

2 + r1(u−u0)+ r0

1 K.F. Sundman considera k = 1 [27, p. 5].


=1

2

[

(u−u0)2 +2r1(u−u0)+ r2

1

]

+c2

2µ

=1

2(u−u0 + r1)

2 +c2

2µ,

deoarece r21 +

c2

µ = 2r0. Putem alege u0 = r1, adica r = 12

(

u2 + c2

µ

)

.

Schimbarea de variabila (1.19), adica r du = k dt, ne conduce la

k(t −T ) =∫ u

0r(q)dq =

1

2

∫ u

0

(

q2 +c2

µ

)

dq

=u3

6+

c2

2µu.

Am obtinut ecuatiile parametrice ale integralei generale

√µ(t −T ) = 16

u3 + c2

2µ u

r = 12

(

u2 + c2

µ

)

.(1.21)

Momentul T , numit pasaj la pericentru, corespunde trecerii — unice pe parcur-

sul unei perioade a miscarii — particulei M prin pozitia P.

Din relatiile (1.21) deducem ca

r3

t2∼ r3

(t −T )2=

18

(

u2 + c2

µ

)3

1µ

(

u3

6+ c2

2µ u)2

∼ 9

2µ cand |t|, |u| →+∞,

adica

r

|t|2/3→ 3

√

9

2µ cand |t| →+∞. (1.22)

Din relatiile (1.21), (1.19) putem obtine formula pasajului la pericentru ca functie

de conditiile initiale. Astfel,

.r =

d

dt

[

1

2

(

u2 +c2

µ

)]

= u.u = u · k

r, (1.23)

de unde u = r.r√µ = 1√µ · (r · v). In sfarsit,

−√µ T =

u30

6+

c2

2µu0,

√µ u0 = r0· v0 pentru u0 = u(0).

De asemeni, din relatiile (1.21), (1.13) rezulta ca

1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 11

1

2

(

u2 +c2

µ

)

=c2/µ

1+ cos f=

c2/µ2cos2 ( f/2)

,

respectiv

u2 =c2

µ

(

1

cos2 ( f/2)−1

)

=c2

µ· tan2

(

f

2

)

.

Conventia ca u > 0 daca si numai daca f > 0 implica relatia fundamentala

u =c√µ

· tan

(

f

2

)

.

In particular, este determinata anomalia adevarata initiala, f0 = f (0). Mai precis,

f0 = 2arctan

(

r0 · v0

c

)

.

1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0

Ca si anterior, nu vom discuta subcazul c = 0. In (1.19) vom folosi coeficientul

k =√

µa=√

2|h|.Ecuatia (1.10) devine ın acest caz

(r′)2 +c2

k2= (r′)2 +

ac2

µ

=2µk2

r+2h

k2r2

= 2ar+(sign h)r2. (1.24)

Relatia (1.15) ne arata ca sign(e2 −1) = signh, deci — conform (1.14) — avem

identitatea

c2

µ= a(e2 −1)(signh). (1.25)

In sfarsit, tinand seama de (1.25) ın ecuatia (1.24), obtinem ca

(r′)2 +a2e2(signh) = (signh)[a+(signh)r]2.

Schimbarea de variabila eaρ(u) = a+(signh)r ne conduce la

(ρ ′)2 − (signh)ρ2 =−signh. (1.26)

Cand h > 0 luam ρ = coshu iar cand h < 0 luam ρ = cosu.


Reamintim cateva proprietati ale functiilor hiperbolice si anume

cosh′ u = sinhu, sinh′ u = coshu, cosh2 u− sinh2 u = 1,

respectiv

coshu =1+ tanh2

(

u2

)

1− tanh2(

u2

) , tanh2(u

2

)

=coshu−1

coshu+1.

La fel ca ın sectiunea precedenta, integrala timpului ıncheie calculul. Am ajuns

la (marimea T desemneaza pasajul la pericentru)

{

r = a(ecoshu−1)n(t −T ) = esinhu−u

cand h > 0, (1.27)

respectiv

{

r = a(1− ecosu)n(t −T ) = u− esinu

cand h < 0. (1.28)

Aici, n = ka=

√µ ·a−3/2 reprezinta miscarea medie, vezi [26, pg. 2, 45]. Marimea

l = n(t −T ) face parte din sistemul de variabile canonice Delaunay, cf. [9, pg. 39].

In cazul miscarii pe elipsa (h < 0), cea de-a treia lege a lui Kepler — relatia (1.17)

— ne conduce la n = 2πprev

.

Formulele parametrice ale timpului din (1.27), (1.28) constituie ecuatiile lui Ke-

pler.

Relatia (1.19) si ecuatiile lui Kepler ne permit sa determinam pasajul la pericen-

tru ca functie de conditiile initiale. Mai precis, avem formulele

r · v = r.r = r · dr

du

.u = k

dr

du

=

{√µaesinhu cand h > 0,√µaesinu cand h < 0.(1.29)

Pentru calculul anomaliei adevarate folosim relatia (1.14). Astfel, cand h < 0,

identitatea

(r =)a(1− e2)

1+ ecos f= a(1− ecosu)

ne conduce la cos f = cosu−e1−ecosu

, respectiv la — reamintim conventia ca f > 0 daca si

numai daca u > 0 —

tan

(

f

2

)

=

√

1+ e

1− etan(u

2

)

,

1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 13

pe baza formulei trigonometrice cosu =1−tan2( u

2 )1+tan2( u

2 ). Cand h > 0, avem

tan

(

f

2

)

=

√

e+1

e−1tanh

(u

2

)

.

In miscarea pe hiperbola (h > 0) a particulei materiale M apar urmatoa-rele es-

timari asimptotice

r

|t| →√

2h cand |t| →+∞, (1.30)

respectiv — aici, indexul “+” corespunde cazului t →+∞, iar indexul “−” cazului

t →−∞ —

r

r→ l±, v →V± cand |t| →+∞, (1.31)

unde

l± · e =−1, l± ‖ ±V±, V± = |V±|=√

2h. (1.32)

Pentru a obtine formula (1.30), utilizam relatiile (1.27) si anume

r

t∼ r

t −T= k

ecoshu−1

esinhu−u→±k cand t, u →±∞.

Pentru prima dintre formulele (1.31), folosim cea de-a doua lege a lui Kepler,

adica relatia (1.5) — cand t →+∞ —:

θ(t) = θ0 + c

∫ t

0

ds

r2(s)→ θ+∞ = θ0 + c

∫ +∞

0

ds

r2(s)<+∞.

Convergenta integralei improprii este o consecinta a estimarii (1.30). Astfel, l+ =cosθ+∞ i+ sinθ+∞ j.

Pentru cea de-a doua dintre formulele (1.31), ınmultind vectorial relatia (1.11),

ajungem la

µ(

c× e+ c× r

r

)

= c× (v× c) = c2 · v → c2V+ cand t →+∞,

unde V+ = µc2 (c× e+ c× l+).

Conform (1.31), limt→+∞

v(t) = V+. Trecand la limita ın (1.16) — formula ener-

getica a vitezei — si tinand seama de (1.30), concludem ca V+ =√

µa= k.

Rescriind formula (1.4) drept

c = r× v = r

(

r

r× v

)

→ (+∞) · (l+×V+) cand t →+∞,


deducem ca vectorii l+ si V+ sunt coliniari.

In sfarsit, pe baza estimarilor asimptotice (1.31), identitatea (1.11) ne conduce la

µ(e+ l+) =V+× c. (1.33)

Prima din formulele (1.29) arata ca, ın miscarea pe hiperbola, rr· v > 0 — adica,

vectorii l+ si V+ au acelasi sens: l+ = V+V+

. Relatia (1.33) devine

µ(e+ l+) =√

2h (l+× c),

de unde, prin ınmultire scalara cu l+ ın ambii membri, ajungem la prima din for-

mulele (1.32). Aceasta, si anume e · l+ =−1, arata ca versorul l+ este directia asimp-

totei dusa prin centrul C al hiperbolei la ramura acesteia pe care se deplaseaza par-

ticula M:

cos(l+,e) =−1

e,

cf. [26, pg. 75]. Vezi Figura 1.5.

Putem astfel afirma ca particula materiala M, aflata ıntr-o miscare hiperbolica,

se deplaseaza — odata ajunsa la distanta mare fata de originea O — “aproape”

rectiliniu si uniform.

In miscarea parabolica (h = 0), un calcul asemanator ne conduce la l+ = −e si

V+ = 0.

Fig. 1.5 “Infinit” de departe

de observator, miscarea par-

ticulei M are loc pe asimptota

traiectoriei

Capitolul 2

Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)

2.1 Conservarea momentului cinetic total si a energiei mecanice.

Identitatea Lagrange-Jacobi

Vom lucra ın raport cu centrul de masa G. Raza vectoare a particulei Mk din

sistemul mecanic S = {(Mk,mk) : k ∈ 1,n}, unde n ≥ 2, verifica ecuatia de miscare

mk

..rk = γ

n

∑j=1

mkm j

r2jk

· r j − rk

r jk

=∂U

∂ rk

, (2.1)

unde 1rkk

≡ 0 si r jk = |M jMk|. Aici, U = γ ∑1≤ j≤l≤n

m jml

r jl.

Inmultind vectorial relatia (2.1), deducem ca

n

∑k=1

mk(rk×..rk) = γ ∑

1≤ j≤k≤n

m jmk

r3jk

[(r j × rk)+(rk × r j)] = 0.

Observand ca rk×..rk=

ddt(rk×

.rk), concludem ca

n

∑k=1

mk(rk × vk) = c ∈ TR3, (2.2)

adica are loc conservarea momentului cinetic total.

Reamintim relatiile fundamentale privind centrului maselor si anume,

n

∑k=1

mkrk =n

∑k=1

mkvk = 0. (2.3)

Inmultind scalar ecuatia (2.1), deducem ca

15

16 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)

n

∑k=1

mk(.rk ·

..rk) =

n

∑k=1

mk(vk·.vk) =

d

dt

(

1

2

n

∑k=1

mkv2k

)

=n

∑k=1

∂U

∂ rk

·.rk=

dU

dt,

respectiv

T =U +h, h ∈ R. (2.4)

Aici, T = 12

n

∑k=1

mkv2k este energia cinetica totala a sistemului mecanic S.

La fel ca ın capitolul anterior, se arata usor ca

..I =

n

∑k=1

mkv2k +

n

∑k=1

mk(rk·..rk)

=n

∑k=1

mkv2k +

n

∑k=1

rk ·∂U

∂ rk

= 2T −U, (2.5)

unde I = 12

n

∑k=1

mkr2k reprezinta momentul de inertie total (polar) al sistemului

mecanic S. Am folosit teorema lui Euler privind functiile omogene, cf. [13, pg.

154-155], mai precis

−U =n

∑k=1

∂U

∂ rk

· rk. (2.6)

Formula (2.5) reprezinta identitatea Lagrange-Jacobi.

2.2 Inegalitatea lui Sundman

Are loc urmatoarea estimare

c2 +(.I)2 ≤ 4IT = 4I(

..I−h), (2.7)

stabilita de K.F. Sundman, vezi [1, 28]. O demonstratie a sa foloseste inegalitatile

de mai jos — cf. [22, pg. 62] —

(.I)2 ≤ 4IQ, c2 ≤ 4I(T −Q), (2.8)

unde Q = 12

n

∑k=1

mk.r

2k .

2.2 Inegalitatea lui Sundman 17

Astfel, conform inegalitatii Cauchy-Buniakovski-Schwarz (CBS), avem ca —

reamintim identitatea u ·.u = u

.u —

(.I)2 =

[

n

∑k=1

(√

mk rk) · (√

mk.rk)

]2

≤ (2I) · (2Q) = 4IQ.

Apoi, pe baza inegalitatii triunghiului si, din nou, a CBS, ajungem la

c2 ≤(

n

∑k=1

mk|rk × vk|)2

=

[

n

∑k=1

(√

mk rk) ·(√

mk|rk × vk|

rk

)

]2

≤ (2I) ·[

n

∑k=1

mk

r2k v2

k − (rk · vk)2

r2k

]

= 2In

∑k=1

mk(v2k−

.r

2k)

= 4I(T −Q).

Este evident ca inegalitatea lui Sundman (2.7) se obtine prin sumarea estimarilor

(2.8). Ultima parte a formulei (2.7) rezulta din (2.4), (2.5).

Plecand de la un comentariu din [22, pg. 63], introducem alt set de inegalitati de

tipul (2.8), si anume

(.I)2 ≤ 4IR, c2 ≤ 4I(T −R), (2.9)

unde R = 12M ∑

1≤ j≤k≤n

m jmk.r

2jk si M =

n

∑s=1

ms.

Conform formulei lui Lagrange [13, pg. 235], putem scrie ca

I =1

2∑

1≤l≤n

mlr2l =

1

2M∑

1≤ j≤k≤n

m jmkr2jk. (2.10)

De asemeni, tinand seama de (2.3), relatia (2.2) poate fi rearanjata ca

1

M∑

1≤ j≤k≤n

m jmk(r jk × v jk) = c, (2.11)

unde r jk = r j − rk si.r jk= v jk. Intr-adevar, membrul stang al egalitatii (2.11) este dat

de relatiile — avem v jk = v j − vk —

1

M∑

1≤ j≤k≤n

m jmk(r jk × v jk) =1

2M

n

∑j=1

n

∑k=1

m jmk(r jk × v jk)

=1

2M

n

∑j=1

m j

[

n

∑k=1

mk(rk × vk)−(

n

∑k=1

mkrk

)

× v j

−r j ×(

n

∑k=1

mkvk

)

+

(

n

∑k=1

mk

)

(r j × v j)

]


=1

2M

n

∑j=1

m j[c+M(r j × v j)]

(

=c

2+

c

2

)

.

In mod asemanator, se arata ca

T =1

2M∑

1≤ j≤k≤n

m jmkv2jk. (2.12)

Demonstratia inegalitatilor (2.9) reproduce calculul de la demonstratia inegalita-

tilor (2.8) unde marimile I, c si T sunt date de cea de-a doua dintre relatiile (2.10),

respectiv de (2.11) si (2.12).

2.3 Teorema colapsului total

Avem nevoie de urmatorul rezultat auxiliar: fiind data functia f : [a,b) →(0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat f ′′(t) ≥ ε > 0 ın ıntreg domeniul de definitie si

limtրb

f (t) = 0, atunci f ′(t)< 0 ın [a,b). Vezi Figura 2.1. Aici, a, b > 0.

Pentru a stabili acest rezultat, fixam t0 ∈ [a,b) si integram de doua ori inegalitatea

din enunt:

f (t)− f (t0)− f ′(t0)(t − t0)≥ε2(t − t0)

2, t0 ≤ t < b.

Mai departe, facand t ր b, obtinem

Fig. 2.1 Estimarea lui f ′

2.3 Teorema colapsului total 19

0 >− f (t0)−ε2(b− t0)

2 ≥ f ′(t0)(b− t0), a ≤ t0 < b,

de unde rezulta concluzia.

Spunem ca, ın problema celor n puncte materiale, intervine o coliziune la mo-

mentul t∗ ∈ R daca exista limtրt∗

rk = Lk ∈ TR3 pentru orice k ∈ 1,n si cel putin doua

dintre aceste limite coincid, cf. [22, pg. 163]. Prin colaps total ıntelegem ca Lk = L

pentru orice k ∈ 1,n.

Pentru a stabili teorema Weierstrass-Sundman, prezentam doua rezultate inter-

mediare. Primul afirma ca: daca se produce colapsul total, el are loc ın centrul

maselor O.

Reamintim formula (2.10). Deoarece colapsul total implica

limtրt∗

r jk = limtրt∗

|r j − rk|= 0 pentru orice j 6= k,

deducem ca limtրt∗

I = 0. Insa definitia momentului de inertie I ne conduce la limtրt∗

rl =

0 pentru orice l ∈ 1,n, de unde concluzia.

Cel de-al doilea rezultat intermediar afirma ca: daca se produce colapsul total, el

are loc ın timp finit — t∗ <+∞ —.

Sa presupunem ca, prin absurd, t∗ =+∞. Atunci, pe baza formulelor (2.4), (2.5),

deducem ca

..I=U +2h →+∞ cand r jk → 0 pentru orice j 6= k. (2.13)

In particular,..I ≥ 1 pentru orice t ≥ t0 suficient de mare. Prin integrare, ajungem la

I ≥ 1

2(t − t0)

2+.I (t0)(t − t0)+ I(t0)→+∞ cand t →+∞.

Aceasta estimare contrazice primul rezultat intermediar, de unde concluzia.

Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman), vezi [17, pg. 43-44], [22, pg.

147], afirma ca: pentru colapsul total este necesar sa avem c = 0.

Sa presupunem, prin absurd, ca avem c > 0. Deoarece limtրb

U = +∞, unde b =

t∗ < +∞, formula (2.13) implica limtրb

..I= +∞, respectiv

..I≥ ε = 1 ın [a,b) pentru

un anumit a > 0 suficient de aproape de b. Primul rezultat intermediar arata ca

limtրb

I(t) = 0, deci putem aplica rezultatul de la ınceputul acestei sectiuni — vezi

Figura 2.1 — :.I < 0 ın [a,b).

Conform (2.7), avem

c2 ≤ 4I(..I−h),

respectiv


c2 · −.I

4I≤ h

.I −

.I..I . (2.14)

Integrand inegalitatea (2.14) ın [a, t], unde t < b, obtinem

c2

4· log

(

1

I

)

≤ hI − 1

2(.I)2 +C ≤ hI +C, unde C ∈ R. (2.15)

Facand t ր b ın (2.15), ajungem la +∞ ≤C, o contradictie. Teorema colapsului

total a fost demonstrata.

2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara

Avem nevoie de un rezultat auxiliar datorat lui Landau si anume, fiind data

functia f : [a,+∞) → R, de clasa C2, astfel ıncat f ′′(t) ≥ −M ın [a,+∞), unde

M ∈ [0,+∞), avem limt→+∞

f (t)t2 = 0 daca si numai daca lim

t→+∞f ′(t)

t= 0. Aici, a ≥ 0.

Pentru implicatia directa, fie ε ∈(

0, 12

)

fixat. In particular,

1− ε ∈(

1

2,1

)

. (2.16)

Atunci, formula lui Taylor

f ((1+ ε)t) = f (t)+ f ′(t) · (εt)+ f ′′(ξε ,t) ·(εt)2

2, (2.17)

unde ξε ,t ∈ (t,(1+ ε)t), implica

εf ′(t)

t≤ (1+ ε)2 f ((1+ ε)t)

[(1+ ε)t]2− f (t)

t2+M

ε2

2, t > a,

respectiv

limsupt→+∞

f ′(t)t

≤ Mε2. (2.18)

O noua aplicare a formulei lui Taylor si anume

f ((1− ε)t) = f (t)+ f ′(t) · (−εt)+ f ′′(ηε ,t) ·(εt)2

2, (2.19)

unde ηε ,t ∈ ((1− ε)t, t), implica

εf ′(t)

t≥ f (t)

t2− (1− ε)2 f ((1− ε)t)

[(1− ε)t]2−M

ε2

2, t > a,

2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara 21

respectiv

liminft→+∞

f ′(t)t

≥−Mε2. (2.20)

Concluzia rezulta facand ε ց 0 ın relatiile (2.18), (2.20).

Teorema virialului, ın formularea datorata lui Harry Pollard [16], afirma ca:

Tdef= lim

t→+∞

1

t

∫ t

0T (s)ds =−h

daca si numai daca limt→+∞

I(t)t2 = 0.

Integrand identitatea Lagrange-Jacobi —..I = T +h —, obtinem ca

.I

t=

1

t

∫ t

0T (s)ds+h+

C

t, t > 0, unde C ∈ R. (2.21)

Implicatia directa ne conduce, via (2.21), la limt→+∞

.It= 0. Concluzia rezulta

aplicand teorema lui L’Hopital.

Reciproc, conform identitatii Lagrange-Jacobi, observam ca..I ≥ h ≥ −M, unde

M = |h|. Teorema lui Landau stabilita la ınceputul acestei sectiuni arata ca limt→+∞

.It=

0. Concluzia rezulta facand t →+∞ ın (2.21).

Teorema lui Pollard arata ca — reamintim teorema conservarii energiei mecanice

(2.4) —

2T = U (2.22)

daca limt→+∞

I(t)t2 = 0. In formularea sa clasica (Clausius), relatia (2.22) are loc atunci

cand marimile I, T raman marginite pe tot parcursul miscarii, vezi [22, pg. 47-48],

[13, pg. 154-156].

O practica ıntalnita uneori ın astronomie la studiul miscarii galaxiilor este de a

ınlocui identitatea (2.22) cu relatia 2T = U atunci cand I ramane practic constant

[15]. D. Saari a conjecturat ın anii ’60 ai secolului trecut ca o asemenea ipoteza va

face ca galaxia sa se miste practic ca un rigid, ceea ce este aberant. Vezi si analiza

din [7].

Rezultatul lui Landau de la ınceput face parte din teoria tauberiana. Variante

neliniare ale sale au fost utilizate la analiza singularitatilor si a expansiunilor ın

problema celor n puncte materiale. Vezi [2, 18, 21]. Urmatoarea teorema ıi este

datorata lui Saari [22, pg. 177]. Fiind data functia f : [t0,+∞) → [0,+∞), de clasa

C2, astfel ıncat

f (t)∼ Atα cand t →+∞,

unde α > 1, A > 0 si


f ′′(t)< B| f ′(t)|α−γ−2

α−1 tγ , t ≥ t0, (2.23)

unde B ≥ 0, γ >−1 si α > γ +2, are loc estimarea

f ′(t)∼ αAtα−1 cand t →+∞. (2.24)

Aici, t0 ≥ 0.

Incepem demonstratia cu observatia ca, fiind date functiile F,G : [t0,+∞) →[0,+∞) astfel ıncat G(t)> t pentru orice t ≥ t0, avem inegalitatile

liminft→+∞

F(t)≤ liminft→+∞

(F ◦G)(t)

≤ limsupt→+∞

(F ◦G)(t)≤ limsupt→+∞

F(t). (2.25)

Ele rezulta imediat din inegalitatile evidente

infs≥t

F(s)≤ infs≥t

(F ◦G)(s)≤ sups≥t

(F ◦G)(s)≤ sups≥t

F(s)

pentru orice t ≥ t0.

Mai departe, remarcam ca f ′(t)> 0 ın (t0,+∞). Intr-adevar, daca ar exista t1 > t0cu proprietatea ca f ′(t1) = 0, atunci f ′′(t1) < 0, deci f ′ devine descrescatoare ıntr-

un mic interval situat la dreapta lui t1. In acest interval, evident, f ′(t) < 0. Daca

marginea superioara, notata t2, a micului interval pe care f ′ ia valori negative este

finita, atunci ea va constitui un punct de maxim local pentru f ′. In concluzie, f ′(t)≤0 ın [t1,+∞), de unde f (t)≤ f (t1)<+∞. Marginirea functiei f intra ın contradictie

cu dezvoltarea sa asimptotica.

Relatia (2.17) ne conduce la

(1+ ε)α f ((1+ ε)t)[(1+ ε)t]α

− f (t)

tα

≤ εf ′(t)tα−1

+Bε2

2·[

f ′(ξε ,t)

ξ α−1ε ,t

]α−γ−2

α−1

·(

ξε ,tt

)α−2

≤ εf ′(t)tα−1

+Bε2

2·[

f ′(ξε ,t)

ξ α−1ε ,t

]α−γ−2

α−1

·max{

(1+ ε)α−2,1}

,

de unde1

(1+ ε)α −1

ε·A ≤ liminf

t→+∞

f ′(t)tα−1

+B

2ε max

{

(1+ ε)α−2,1}

1 Folosim urmatoarea observatie

liminft→+∞

[F(t)+G(t)]≤ liminft→+∞

F(t)+ limsupt→+∞

G(t).

2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara 23

× limsupt→+∞

[

f ′(ξε ,t)

ξ α−1ε ,t

]α−γ−2

α−1

. (2.26)

Inegalitatea (2.23) se rescrie ca

f ′′(t)

[ f ′(t)]1−γ+1α−1

≤ Btγ , t ≥ t0 +ζ , ζ > 0,

de unde, prin integrare, avem

[ f ′(t)]γ+1α−1 − [ f ′(t0 +ζ )]

γ+1α−1 ≤ B

α −1[tγ+1 − (t0 +ζ )γ+1].

Aceasta ultima estimare —γ+1α−1

> 0 — arata ca aplicatia t 7→ f ′(t)tα−1 este marginita

ın (t0,+∞). Conform (2.25), unde F(t) =[

f ′(t)tα−1

]α−γ−2

α−1si G(t) = ξε ,t , avem

limsupt→+∞

[

f ′(ξε ,t)

ξ α−1ε ,t

]α−γ−2

α−1

≤ limsupt→+∞

[

f ′(t)tα−1

]α−γ−2

α−1

<+∞.

Facand ε ց 0 ın (2.26), obtinem

αA ≤ liminft→+∞

f ′(t)tα−1

. (2.27)


εf ′(t)tα−1

≤ f (t)

tα − (1− ε)α f ((1− ε)t)[(1− ε)t]α

+Bε2

2

×[

f ′(ηε ,t)

ηα−1ε ,t

]α−γ−2

α−1

·(ηε ,t

t

)α−2

≤ f (t)

tα − (1− ε)α f ((1− ε)t)[(1− ε)t]α

+Bε2

2

× (marginit).

Am folosit inegalitatea (2.25) pentru F(t) = f ′(t)tα−1 si G(t) =ηε , t

1−εsi restrictia (2.16).

De aici rezulta ca

limsupt→+∞

f ′(t)tα−1

≤ 1− (1− ε)α

ε·A+ ε · (marginit),

respectiv, facand ε ց 0,


limsupt→+∞

f ′(t)tα−1

≤ αA. (2.28)

Estimarile (2.27), (2.28) ne conduc la (2.24).

2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari)

Vom stabili mai ıntai alt rezultat tauberian neliniar: fiind data functia f : [t0, t⋆)→

[0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat

f (t)∼ A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,

unde α ∈ (0,1), A > 0 si

f ′(t)< 0, | f ′′(t)| ≤ B| f ′(t)|2+γ−α

1−α (t⋆− t)γ , t ∈ [t0, t⋆), (2.29)

unde B > 0, γ >−1, are loc estimarea

f ′(t)∼−αA(t⋆− t)α−1 cand t ր t⋆. (2.30)

Aici, t0 ≥ 0 si t⋆ <+∞.

Incepem prin a arata ca exista sirul crescator (tn)n≥1 din (t0, t⋆) astfel ıncat

limn→+∞

tn = t⋆ si

| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ≤ A, n ≥ 1, (2.31)

cf. [21, p. 459, Claim].

Intr-adevar, ın caz contrar ar exista T ∈ (t0, t⋆) cu proprietatea ca

| f ′(t)|(t⋆− t)1−α > A, t ∈ (T, t⋆).

Prin integrare — tinand seama de limtրt⋆

f (t) = 0 — obtinem

f (t) =∫ t⋆−

t[− f ′(s)]ds > A

∫ t⋆−

t

ds

(t⋆− s)1−α =A

α(t⋆− t)α

> (2−α)A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,

adica o contradictie.

Mai departe, afirmam ca marimea | f ′(t)|(t⋆− t)1−α este marginita ın inter-valul

[t0, t⋆):

| f ′(t)|(t⋆− t)1−α ≤C <+∞. (2.32)

2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 25

Pentru a proba aceasta, vom presupunem ca, prin absurd, ar exista sirul crescator

(sn)n≥1 din (t0, t⋆), unde lim

n→+∞sn = t⋆, pentru care

tn < sn < tn+1, n ≥ 1, limn→+∞

| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α =+∞. (2.33)

Inegalitatile (2.29) ne conduc la

− (| f ′(t)|)′

| f ′(t)|1+γ+11−α

≤ | f ′′(t)|| f ′(t)|1+

γ+11−α

≤ B(t⋆− t)γ , t ∈ [t0, t⋆),

respectiv la

∣

∣

∣

∣

∣

∫ | f ′(sn)|

| f ′(tn)|

du

u1+ γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫ sn

tn

| f ′′(t)|| f ′(t)|1+

γ+11−α

dt

≤ B

γ +1[(t⋆− tn)

γ+1 − (t⋆− sn)γ+1],

de unde∣

∣

∣

∣

∣

1

| f ′(tn)|γ+11−α

− 1

| f ′(sn)|γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

≤ B

1−α[(t⋆− tn)

γ+1 − (t⋆− sn)γ+1]

si

∣

∣

∣

∣

∣

1

[| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ]γ+11−α

−(

t⋆− sn

t⋆− tn

)γ+1

· 1

[| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α ]γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

≤ B

1−α

[

1−(

t⋆− sn

t⋆− tn

)γ+1]

.

Deoarece t⋆−snt⋆−tn

≤ 1, pe baza proprietatilor (2.31), (2.33), deducem existenta

numarului N ≥ 1 astfel ıncat

1

2A− γ+1

1−α ≤

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

[| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ]γ+11−α

−

(

t⋆−snt⋆−tn

)γ+1

[| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α ]γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ B

1−α

[

1−(

t⋆− sn

t⋆− tn

)γ+1]

<B

1−α

pentru orice n ≥ N.

Daca 12A− γ+1

1−α > B1−α , atunci am ajuns la o contradictie. In caz contrar, deducem

ca


0 <t⋆− sn

t⋆− tn< η =

(

1− 1−αB

· 1

2A− γ+1

1−α

) 1γ+1

< 1, n ≥ N,

respectiv

sn = sn − tn + tn = tn +[(t⋆− tn)− (t⋆− sn)]

≥ tn +(1−η)(t⋆− tn), n ≥ N. (2.34)

Conform inegalitatii (2.34), orice sir (wn)n≥1, unde tn ≤ wn < tn +(1−η)(t⋆−tn), n ≥ 1, verifica inegalitatea

lw = limsupn→+∞

| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α <+∞.

Mai mult, exista δ ∈(

0, 12

)

, unde δ = δ (lw), cu proprietatea ca

max{0,4lw} ≥ limsupn→+∞

| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α (= lξ )

pentru orice ξn ∈ (wn −δ (t⋆−wn),wn +δ (t⋆−wn)) si n ≥ 1.

Intr-adevar, prin integrare — cand wn ≤ ξn —, avem

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α

−

(

t⋆−ξn

t⋆−wn

)γ+1

[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ B

1−α

[

1−(

t⋆−ξn

t⋆−wn

)γ+1]

<B

1−α[1− (1−δ )γ+1].

Astfel, daca lw = 0, atunci lξ = 0. Daca lw ∈ (0,+∞), atunci

1

[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α

≥

(

t⋆−ξn

t⋆−wn

)γ+1

[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α

≥ 1

[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α

− B

1−α[1− (1−δ )γ+1]

≥ (2lw)− γ+1

1−α − B

1−α[1− (1−δ )γ+1] (pentru n suficient de mare)

> (4lw)− γ+1

1−α ,

unde

B

1−α[1− (1−δ )γ+1]

≤ B

1−α{1− [1−δ (lw)]γ+1}= (2lw)

− γ+11−α − (4lw)

− γ+11−α .


Daca ξn < wn, prin integrare, avem

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α

−

(

t⋆−wn

t⋆−ξn

)γ+1

[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ B

1−α

[

1−(

t⋆−wn

t⋆−ξn

)γ+1]

<B

1−α[1− (1+δ )−(γ+1)],

de unde

1

[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α

≥

(

t⋆−wn

t⋆−ξn

)γ+1

[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α

− B

1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]

≥(

1

1+δ

)γ+1

· (2lw)− γ+1

1−α (pentru n suficient de mare)

− B

1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]

> 2−(γ+1) · (2lw)− γ+1

1−α − B

1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]

> (4lw)− γ+1

1−α

pentru

B

1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]

≤ B

1−α{1− [1+δ (lw)]−(γ+1)}= (22−α lw)

− γ+11−α − (4lw)

− γ+11−α .

Introducem numerele q0 = 1−η ∈ (0,1), respectiv θ ,τ ∈ (0,q0) cu

1

2(q0 +q2

0)≤ θ < τ

si ζ = q0 − τ . Fie sirul (vn)n≥1 astfel ıncat

tn < tn +θ(t⋆− tn)< vn < tn + τ(t⋆− tn)< tn +q0(t⋆− tn)≤ sn.

Atunci, au loc estimarile

tn < vn −θ(t⋆− vn)< vn (2.35)

< vn +ζ (t⋆− vn)< tn +q0(t⋆− tn), n ≥ 1. (2.36)


Intr-adevar, pentru a stabili inegalitatea (2.35), observam ca

tn +θ(t⋆− vn)< tn +θ(t⋆− tn)< vn.

Inegalitatea (2.36) se rescrie ca

vn +(q0 − τ)(t⋆− vn) = (1−q0 + τ)vn +(q0 − τ)t⋆

< tn +q0(t⋆− tn) = (1−q0)tn +q0t⋆,

respectiv

(1−q0 + τ)vn < (1−q0)tn + τt⋆.

Am obtinut

(1−q0)(vn − tn)+ τvn < τt⋆, n ≥ 1.

Insa

(1−q0)(vn − tn)+ τvn < (1− τ)(vn − tn)+ τvn

= vn − (1− τ)tn < tn + τ(t⋆− tn)− (1− τ)tn = τt⋆.

In sfarsit, fie ε ∈ (0,min{θ ,ζ ,δ (lv)}). Atunci, toate numerele de forma vn ±ε(t⋆− vn) se gasesc ın intervalul (tn, tn +q0(t

⋆− tn)).Pentru a aplica formula lui Taylor vom ınlocui marimea (1+ ε)t din (2.17) cu

vn + ε(t⋆− vn), respectiv marimea (1− ε)t din (2.19) cu vn − ε(t⋆− vn).Au loc identitatile elementare

{

t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)] = (1− ε)(t⋆− vn),t⋆− [vn − ε(t⋆− vn)] = (1+ ε)(t⋆− vn).

Relatia (2.17) ne conduce la — avem 2+ γ −α > 0 —

εf ′(vn)

(t⋆− vn)α−1≤ (1− ε)α f (vn + ε(t⋆− vn))

{t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)]}α − f (vn)

(t⋆− vn)α

+ Bε2

2· [| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)

1−α ]2+γ−α

1−α ·(

t⋆− vn

t⋆−ξn

)2−α

≤ (1− ε)α f (vn + ε(t⋆− vn))

{t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)]}α − f (vn)

(t⋆− vn)α

+ Bε2

2· (max{0,4lv})

2+γ−αγ+1 ·22−α . (2.37)

Am tinut seama de (2.16). Aici, ξn = ξε ,vn .

Astfel,


limsupn→+∞

f ′(vn)

(t⋆− vn)α−1≤ (1− ε)α −1


respectiv

limsupn→+∞

[ f ′(vn)(t⋆− vn)

1−α ]≤−αA. (2.38)


εf ′(vn)

(t⋆− vn)α−1≥ f (vn)

(t⋆− vn)α − (1+ ε)α f (vn − ε(t⋆− vn))

{t⋆− [vn − ε(t⋆− vn)]}α

− Bε2

2· (max{0,4lv})

2+γ−αγ+1 , (2.39)

de unde

liminfn→+∞

f ′(vn)

(t⋆− vn)α−1≥ 1− (1+ ε)α


respectiv

liminfn→+∞

[ f ′(vn)(t⋆− vn)

1−α ]≥−αA. (2.40)

Din (2.38), (2.40) rezulta ca

limn→+∞

[ f ′(vn)(t⋆− vn)

1−α ] =−αA,

respectiv

| f ′(vn)|(t⋆− vn)1−α ≤ 1+α

2A < A cand n →+∞.

Aceasta estimare, similara lui (2.31), ne conduce la urmatoarea varianta a ine-

galitatii (2.34):

sn ≥ vn +q0(t⋆− vn) (2.41)

≥ tn +θ(t⋆− tn)+q0(t⋆− vn)

≥ tn +θ(t⋆− tn)+q0(1−q0)(t⋆− tn)

≥ tn +

[

1

2(q0 +q2

0)+q0(1−q0)

]

(t⋆− tn)

= tn +

[

q0 +1

2(q0 −q2

0)

]

(t⋆− tn) cand n →+∞.

Fie acum Q supremumul multimii Q a numerelor q ∈ [q0,1) cu proprietatea ca

pentru orice θ ,τ ∈ (0,q), unde


q− 1

2q0(1−q)≤ θ < τ ,

si orice sir crescator (vn)n≥1, unde

tn +θ(t⋆− tn)< vn < tn + τ(t⋆− tn)< tn+1, n ≥ 1,

au loc relatiile

sn ≥ tn +q(t⋆− tn) cand n →+∞

si

limn→+∞

[ f ′(vn)(t⋆− vn)

1−α ] =−αA.

Afirmam ca Q = 1.

Pentru a proba acest lucru, sa presupunem ca Q < 1.

Din definitia numarului Q rezulta ca exista q ∈ Q astfel ıncat

q > Q− 1

2q0(1−Q).

Introducem sirul (vn)n≥1 cu formula vn = tn +ω(t⋆− tn), n ≥ 1, unde

q > ω > Q− 1

2q0(1−Q).

(

≥ q− 1

2q0(1−q) !

)

Atunci, marimea vn +q0(t⋆− vn) din (2.41) verifica inegalitatea

vn +q0(t⋆− vn)> tn +Q(t⋆− tn)

pentru orice n ≥ 1. Intr-adevar, avem relatiile

vn +q0(t⋆− vn) > tn +

[

Q− 1

2q0(1−Q)

]

(t⋆− tn)+q0(1−Q)(t⋆− tn)

= tn +

[

Q+1

2q0(1−Q)

]

(t⋆− tn)

> tn +Q(t⋆− tn).

Afirmatia a fost probata.

Cum tn+Q(t⋆− tn) = tn+1 ·(t⋆− tn) = t⋆ > tn+1, deducem ca sn nu se poate afla

ın [tn, tn+1], adica are loc (2.32).

Pentru a stabili relatia (2.30), se reiau estimarile Taylor (2.37), (2.39), ınlocu-

indu-l pe vn cu t.

Avem nevoie si de un rezultat tauberian liniar, mai precis: fiind data functia f :

[t0, t⋆)→ [0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat

f (t)∼ A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,


unde A ≥ 0 si α > 1, respectiv

f ′′(t)≥−M(t⋆− t)α−2, t ∈ [t0, t⋆),

unde M ≥ 0, are loc relatia

f ′(t)∼−αA(t⋆− t)α−1 cand t ր t⋆.

Vezi [22, pg. 174].

La fel ca anterior, avem relatiile — ε ∈(

0, 12

)

—

(1− ε)α f (t + ε(t⋆− t))

{t⋆− [t + ε(t⋆− t)]}α − f (t)

(t⋆− t)α

≥ εf ′(t)

(t⋆− t)α−1−M

ε2

2

(

t⋆−ξε ,tt⋆− t

)α−2

,

de unde

(1− ε)α −1

ε·A+M

ε2· (marginit)≥ limsup

tրt⋆

f ′(t)(t⋆− t)α−1

,

respectiv

−αA ≥ limsuptրt⋆

f ′(t)(t⋆− t)α−1

.

Apoi,

εf ′(t)

(t⋆− t)α−1

≥ f (t)

(t⋆− t)α − (1+ ε)α f (t − ε(t⋆− t))

{t⋆− [t − ε(t⋆− t)]}α −Mε2

2

(

t⋆−ηε ,tt⋆− t

)α−2

,

de unde

liminftրt⋆

f ′(t)(t⋆− t)α−1

≥ 1− (1+ ε)α

ε·A−M

ε2· (marginit),

respectiv

liminftրt⋆

f ′(t)(t⋆− t)α−1

≥−αA,

ceea ce ıncheie demonstratia.

Urmatorul rezultat a fost stabilit de Pollard si Saari ın 1968, cf. [22, pg. 173],

[19]: daca la momentul t⋆ < +∞ cel putin doua din cele n particule se ciocnesc,

atunci, introducand multimile (Gk)1≤k≤N care descriu coliziunile, unde Gk = {i ∈


1,n : limtրt⋆

ri = Li = Lk}, si marimea

J =1

2

n

∑q=1

mq(rq −Lq)2 =

1

2

N

∑k=1

∑i∈Gk

mi(ri −Lk)2,

au loc estimarile asimptotice

U ∼ 49J⋆(t⋆− t)−

23 ,

J ∼ J⋆(t⋆− t)43 ,

.J∼− 4

3J⋆ 3√

t⋆− t

cand t ր t⋆ (2.42)

pentru o anumita constanta J⋆ > 0.

Pentru demonstratie avem nevoie de mai multe estimari auxiliare, si anume

..J=U +O(1),

.J (t)< 0 cand t ր t⋆,

(.J)2 ≤ 4JT,

liminftրt⋆

..J√

J ≥ A > 0,

limtրt⋆

.J4√

J= b < 0.

(2.43)

Fie Gk centrul de masa al punctelor (Mi)i∈Gksi mk = ∑

i∈Gk

mi. Atunci, via (2.1),

putem scrie ca

mi

..ri= γ ∑

j∈Gk

mim j

r3i j

(r j − ri)+ γ ∑j/∈Gk

mim j

r3i j

(r j − ri).

Deoarece — i ∈ Gk —

limsuptրt⋆

∣

∣

∣

∣

∣

∑j/∈Gk

mim j

r3i j

(r j − ri)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ mi

(

∑j/∈Gk

m j

)

· 1

minj/∈Gk

∣

∣L j −Li

∣

∣

2

=mi(M−mk)

minj/∈Gk

∣

∣

∣L j −Lk∣

∣

∣

2,

obtinem

mi

..ri= γ ∑

j∈Gk

mim j

r3i j

(r j − ri)+O(1) cand t ր t⋆,

respectiv

mk..rGk

= ∑i∈Gk

mi

..ri


= γ ∑i≤ j; i, j∈Gk

mim j

r3i j

· [(r j − ri)+(ri − r j)]+O(1)

= O(1) cand t ր t⋆.

Aici, rGk= GGk.

Cum

J =1

2

n

∑q=1

mqr2q −

N

∑k=1

(

∑j∈Gk

m jr j

)

·Lk+

1

2

N

∑k=1

mk(Lk)2

= I −N

∑k=1

(mkrGk) ·Lk

+(constanta),

deducem ca

..J =

..I −

N

∑k=1

(mk..rGk

) ·Lk=

..I +O(1)

= U +O(1) cand t ր t⋆,

adica prima din estimarile (2.43).

Relatiile

limtրt⋆

..J= lim

tրt⋆U +(marginit) = +∞, lim

tրt⋆J(t) = 0

arata ca functia.J este crescatoare si ia valori negative pe un mic interval la stanga

lui t⋆: limtրt⋆

.J (t) =J ≤ 0. Vezi Figura 2.1 si rezultatul auxiliar de la teorema colap-

sului total.

Urmatoarea estimare (2.43) este o consecinta a inegalitatii Cauchy-Bunia-kovski-

Schwarz, si anume

(.J)2 =

[

N

∑k=1

∑i∈Gk

mi(ri −Lk) · vi

]2

≤[

N

∑k=1

∑i∈Gk

√mi|ri −L

k| ·√mivi

]2

≤ (2J) · (2T )

= 4JT.

Mai departe, fie i, j ∈ Gk. Avem relatiile

2J ≥ mi(ri −Lk)2 +m j(r j −L

k)2

≥ min{mi,m j} · [|ri −Lk|2 + |r j −L

k|2]

≥ min{mi,m j} ·1

2[|ri −L

k|+ |r j −Lk|]2


≥ min{mi,m j}2

|ri − r j|2 =min{mi,m j}

2r2

i j (2.44)

si

U ≥ γ · mim j

ri j≥ γ

[min{mi,m j}]2√

4Jmin{mi,m j}

=γ2[min{mi,m j}]

52 · 1√

J.

Astfel, pe un mic interval la stanga lui t⋆, are loc inegalitatea

..J ≥ U

2≥ γ

4

{

min1≤q≤n

mq

} 52

· 1√J

=A√J.

Fie t1 < t⋆ cu proprietatea ca

.J (t)< 0,

..J (t)≥ A

√

J(t), t ∈ [t1, t

⋆).

Integrand inegalitatea

..J.J=

d

dt

( .J

2

2

)

≤ A

.J√J,

avem — aici, t1 ≤ t2 < t⋆ —

[.J (t2)]

2

2− [

.J (t1)]

2

2≤ 2A(

√

J(t2)−√

J(t1)),

de unde, facand t2 ր t⋆, ajungem la

4A√

J(t1)≤ J 2 +4A√

J(t1)≤ [.J (t1)]

2.

Tinand seama de semnul functiei.J, obtinem

.J (t1)≤−2

√A · 4√

J(t1)

pentru orice t1 < t⋆ suficient de aproape de t⋆.

O noua integrare implica

2

3

{

[J(t2)]34 − [J(t1)]

34

}

≤−√

A(t2 − t1)


si, facand t2 ր t⋆, se ajunge la

J(t1)≥[

3

2

√A(t⋆− t1)

] 43

, t1 < t⋆. (2.45)

In particular, integrala improprie∫ t⋆−

tds

4√

J(s), unde t ∈ [t1, t

⋆), este convergenta.

Observam ca, vezi [22, pg. 182],

4d

dt

( .J4√

J

)

=4J

..J −(

.J)2

J54

=4J[

..I +O(1)]− (

.J)2

J54

=4J[T +O(1)]− (

.J)2

J54

=4JT − (

.J)2

J54

+O

(

14√

J

)

.

Exista D > 0 astfel ıncat

4JT − (.J)2

J54

+D4√

J≥ 4

d

dt

( .J4√

J

)

(2.46)

≥ 4JT − (.J)2

J54

− D4√

J. (2.47)

Prin integrarea inegalitatii (2.47) — t1 ≤ t2 ≤ t3 < t⋆ —, avem

0 ≤∫ t3

t2

4JT − (.J)2

J54

ds ≤ 4

[ .J (t3)4√

J(t3)−

.J (t2)4√

J(t2)

]

+D

∫ t3

t2

ds4√

J(s)

≤ −4

.J (t2)4√

J(t2)+D

∫ t⋆−

t1

ds4√

J(s)

= −4

.J (t2)4√

J(t2)+E <+∞, E > 0.

Facand t3 ր t⋆, deducem ca integrala improprie∫ t⋆−

t4JT−(

.J)2

J54

ds, unde t ∈ [t1, t⋆),

este convergenta.

Prin integrarea inegalitatilor (2.46), (2.47), obtinem ca

∣

∣

∣

∣

∣

4

[ .J (t3)4√

J(t3)−

.J (t2)4√

J(t2)

]

−∫ t3

t2

4JT − (.J)2

J54

ds

∣

∣

∣

∣

∣

≤ D

∫ t3

t2

ds4√

J(s),

respectiv

4

∣

∣

∣

∣

∣

.J (t3)4√

J(t3)−

.J (t2)4√

J(t2)

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫ t⋆−

t2

{

4JT − (.J)2

J54

+D4√

J

}

ds


= o(1) cand t2 ր t⋆.

Exista, asadar, limtրt⋆

.J(t)

4√

J(t)= b ∈ (−∞,0]. In particular, J = lim

tրt⋆

.J (t) = 0. Prin

integrare, ajungem la

J(t)∼[

−3

4b(t⋆− t)

] 43

cand t ր t⋆.

Inegalitatea (2.45) implica −b >√

A > 0. In particular, b < 0.

Justificarea estimarilor (2.43) s-a ıncheiat.

Recapituland, avem urmatoarele date privindu-l pe J:

J(t)∼(

− 34b)

43 · (t⋆− t)α , α = 4

3> 1,

..J (t)≥ A√

J(t)> 0 ≥−M(t⋆− t)α−2, t ∈ [t1, t

⋆), M ≥ 0.

Conform rezultatului tauberian liniar din aceasta subsectiune,

.J (t)∼− 3

√

3

4b4 · 3

√t⋆− t cand t ր t⋆. (2.48)

Astfel, J⋆ =(

− 34b)

43 ın (2.42).

In sfarsit, are loc estimarea auxiliara, cf. [22, pg. 178],

|.

U (t)| ≤ E[U(t)]52 cand t ր t⋆, (2.49)

unde E > 0.

Intr-adevar,

|.

U | ≤ γ ∑1≤ j≤l≤n

m jml

r2jl

| .r jl |= γ ∑

1≤ j≤l≤n

m jml

r2jl

|v j − vl |

≤ γ ∑1≤ j≤l≤n

m jml

(

U

γm jml

)2

(|v j|+ |vl |)

≤ 1

γ ∑1≤ j≤l≤n

1

m jml

·U2

(√

2T

m j+

√

2T

ml

)

=

√2

γ ∑1≤ j≤l≤n

√m j +

√ml

(m jml)32

·U2√

T .

Cum U → +∞ cand t ր t⋆ si T =U +h, avem T ≤ 2U suficient de aproape de

momentul coliziunii t⋆. Aceasta observatie ne conduce la (2.49), unde

E =2

γ ∑1≤ j≤l≤n

√m j +

√ml

(m jml)32

.


Pentru a stabili estimarea asimptotica a lui U , plecam de la

..J=U +O(1) cand t ր t⋆,

de unde, prin integrare — t1 ≤ t ≤ t2 < t⋆ —, obtinem

.J (t2)−

.J (t) =

∫ t2

tU(s)ds+O(t2 − t),

ceea ce, facand t2 ր t⋆ si tinand seama de formula (2.48), implica convergenta

integralei improprii∫ t⋆−

t U(s)ds, unde t ∈ [t1, t⋆).

Deoarece O(t⋆− t) = o( 3√

t⋆− t) cand t ր t⋆, avem relatia

∫ t⋆−

tU(s)ds =−

.J (t)+O(t⋆− t)∼ 4

3J⋆(t⋆− t)α , α =

1

3.

De asemeni,

∣

∣

∣

∣

d2

dt2

(

∫ t⋆−

tU(s)ds

)∣

∣

∣

∣

= |.

U (t)| ≤ E[U(t)]52

= E

∣

∣

∣

∣

d

dt

(

∫ t⋆−

tU(s)ds

)∣

∣

∣

∣

2+γ−α1−α

(t⋆− t)γ ,

unde γ = 0.

Aplicatia t 7→ ∫ t⋆−t U(s)ds satisface asadar ipotezele teoremei tauberiene neliniare

de la ınceputul acestei subsectiuni. In concluzie,

U(t) =− d

dt

(

∫ t⋆−

tU(s)ds

)

∼ 4

9J⋆(t⋆− t)−

23 cand t ր t⋆.

Demonstratia teoremei Pollard-Saari s-a ıncheiat.

Estimarile (2.42) arata ca, daca particulele Mi si M j se ciocnesc la momentul t⋆,

atunci exista constantele Ai j,Bi j > 0 cu proprietatea ca

Ai j(t⋆− t)

23 ≤ ri j ≤ Bi j(t

⋆− t)23 cand t ր t⋆. (2.50)

Intr-adevar, foarte aproape de t⋆ au loc inegalitatile

J⋆(t⋆− t)−23 >U ≥ γmim j

ri j,

de unde Ai j =γmim j

J⋆, respectiv — via (2.44) —

2J⋆(t⋆− t)43 > J ≥ min{mi,m j}

4r2

i j,


de unde Bi j = 2√

2J⋆

min{mi,m j} .

Raportul 23

din (2.50) a fost stabilit ın diverse cazuri particulare de Sundman

(coliziuni binare), C. L. Siegel (coliziuni triple) si A. Wintner (colaps total), cf. [22,

pg. 172] si [23, 28]. O serie de dezvoltari recente sunt prezentate ın [25].

Capitolul 3

Conjectura lui Saari: introducere

3.1 O reprezentare computationala a rotatiei

In sistemul de referinta inertial R = (O,−→B) ne intereseaza o reprezentare

computationala a rotatiilor ın jurul lui O. Vezi Figura 3.1.

Fie M un punct al E3 supus rotatiei. La momentul initial,

rM = r0 = x0i+ y0 j+ z0k = ( i j k )

x0

y0

z0

.

Dupa rotatie,

Fig. 3.1 Rotatia ın jurul lui O

39

40 3 Conjectura lui Saari: introducere

rM = r∗ = xi+ y j+ zk = ( i j k )

x

y

z

.

Introducem matricea ortogonala A — A −1 = A t , detA =±1 — astfel ca

A

x0

y0

z0

=

x

y

z

. (3.1)

Deci,

rM = r∗ = ( i j k )A

x0

y0

z0

. (3.2)

Daca “spatiul” S — de care M este legat rigid (solidar) — se suprapunea la mo-

mentul initial peste Oxyz, dupa rotatie el este vizibil fiind dat de reperul Ox∗y∗z∗ ın

raport cu care M este ın repaus. Asadar, distantele de la M la planele de coordonate

ale lui Ox∗y∗z∗ sunt constante, adica coincid cu distantele de la pozitia initiala a lui

M la axele lui Oxyz. Aceste distante sunt x0, y0, z0, deci

r∗ = x0i∗+ y0 j∗+ z0k∗ = ( i∗ j∗ k∗ )

x0

y0

z0

. (3.3)

Formulele (3.2), (3.3) implica

( i j k )A = ( i∗ j∗ k∗ ) . (3.4)

Astfel, matricea A se poate scrie ca

A =

i

j

k

( i∗ j∗ k∗ ) =

i · i∗ i · j∗ i · k∗j · i∗ j · j∗ j · k∗k · i∗ k · j∗ k · k∗

. (3.5)

Conform formulelor lui Poisson [13, pg. 40-41], exista si este unic vectorul neted

ω ∈ TR3 astfel ıncat

.

i∗= ω × i∗.

j∗= ω × j∗.

k∗= ω × k∗.

(3.6)

Mai precis, ω = 12 ∑ i∗×

.

i∗.

Formula lui Euler a vitezelor [13, pg. 247] este.

r∗= ω × r∗. In continuare, intro-

ducem matricea A ın aceasta relatie.

3.1 O reprezentare computationala a rotatiei 41

Avem egalitatile — via (3.2) —

.

r∗=d

dt

( i j k )A

x0

y0

z0

= ( i j k ).

A

x0

y0

z0

. (3.7)

Pe de alta parte,

ω × r∗ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

ω1 ω2 ω3

x y z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ( i j k )

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

x

y

z

= ( i j k )

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

A

x0

y0

z0

. (3.8)

Formulele (3.7), (3.8) ne conduc la

.A =

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

A . (3.9)

Reluam calculul ın baza mobila. Asadar, conform (3.7), (3.4), avem

.

r∗ =[

( i∗ j∗ k∗ )A t]

.A

x0

y0

z0

= ( i∗ j∗ k∗ )(A t.

A )

x0

y0

z0

. (3.10)

Apoi,

ω × r∗ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i∗ j∗ k∗

ω∗1 ω∗

2 ω∗3

x0 y0 z0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ( i∗ j∗ k∗ )

0 −ω∗3 ω∗

2

ω∗3 0 −ω∗

1

−ω∗2 ω∗

1 0

x0

y0

z0

. (3.11)

Formulele (3.10), (3.11) implica

.A = A

0 −ω∗3 ω∗

2

ω∗3 0 −ω∗

1

−ω∗2 ω∗

1 0

. (3.12)


Marimile ω∗i sunt cunoscute: ω∗

1 =.

j∗ · k∗, ω∗2 =

.

k∗ · i∗, ω∗3 =

.

i∗ · j∗, cf. [13, pg.

41].

Combinand formulele (3.9), (3.12), obtinem relatia

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

= A

0 −ω∗3 ω∗

2

ω∗3 0 −ω∗

1

−ω∗2 ω∗

1 0

A t .

In particular, vectorul de rotatie (instantanee) ω este exprimat ın raport cu baza

canonica B. Am obtinut reprezentarea sa tensoriala.

Vom formaliza ın cele ce urmeaza rotatia ın jurul lui O de matrice A prin for-

mula

r∗ = A r0,

care este echivalenta cu (3.1) — ın raport cu sistemul de referinta —. Formula (3.5)

a matricei A arata ca definitia rotatiei nu depinde de reprezentanti.

In sfarsit, tinand seama de relatia (3.9), formula lui Euler a vitezelor se rescrie ca

.

r∗ =.

A r0 =

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

A

r0

=

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

r∗

= ω ×A r0. (3.13)

Relatia (operatoriala).

A = ω ×A constituie reprezentarea computationala a

rotatiilor ın jurul punctului O.

Intr-o formulare a la Cartan, putem spune ca evolutiile bazelor mobile ortonor-

mate {i⋆, j⋆,k⋆} si pozitiv (direct) orientate — k⋆ = i⋆× j⋆ si analoagele — se afla

ıntr-o relatie biunivoca cu multimea matricelor 3× 3 antisimetrice de clasa C∞ via

sistemul diferential

.

i⋆.j⋆.

k⋆

=

0 −ω⋆3 ω⋆

2

ω⋆3 0 −ω⋆

1

−ω⋆2 ω⋆

1 0

i⋆

j⋆

k⋆

.

Pentru a vedea aceasta este suficient sa introducem formula vectorului ω ın (3.6),

cf. [20, pg. 45, Exercise 2.22].

3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor 43

3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor

Fie functiile netede λ : R → (0,+∞) si A : R → M3(R) astfel ıncat matricea

A (t) sa fie ortogonala ın orice moment t.

Miscarea sistemului mecanic S = {(Mk,mk) : k ∈ 1,n} se numeste omografica

[28] daca sunt valabile formulele

rk = λ (t)A (t)r 0k , t ∈ R, k ∈ 1,n. (3.14)

Cand A ≡ I3 — matricea unitate 3× 3 — miscarea se numeste omotetica. In

acest caz, particulele se deplaseaza rectiliniu (vezi Figura 3.2).

Avem

MkMl = rl − rk = λ (t)(r 0l − r 0

k ) = λ (t)M0k M0

l ,

adica dreptele MkMl , unde k 6= l, raman paralele cu directia lor initiala.

Cand λ (t)≡ 1 miscarea este rigida. Observam ca

|MkMl |2 = (rl − rk)2 = [A (t)(r 0

l − r 0k )]

t [A (t)(r 0l − r 0

k )]

= (r 0l − r 0

k )t(A tA )(r 0

l − r 0k ) = (r 0

l − r 0k )

2

= |M0k M0

l |2, (3.15)

adica distantele ıntre particule nu se modifica.

Campul vitezelor are urmatoarea expresie — via (3.13) —

Fig. 3.2 Miscari omografice


vk =.

λ A r 0k +λ

.A r 0

k =

.

λλ

rk +λ (ω ×A r 0k )

= τ rk +ω × rk, unde τ =

.

λλ. (3.16)

Momentul cinetic total ın miscarea omografica admite scrierea

LO =n

∑k=1

mk(rk × vk) =n

∑k=1

mk[rk × (ω × rk)]

=n

∑k=1

mk[r2k ω − (rk ·ω)rk] = I ω,

unde

I =

n

∑k=1

mk(y2k + z2

k) −n

∑k=1

mkxkyk −n

∑k=1

mkxkzk

−n

∑k=1

mkxkyk

n

∑k=1

mk(x2k + z2

k) −n

∑k=1

mkykzk

−n

∑k=1

mkxkzk −n

∑k=1

mkykzk

n

∑k=1

mk(x2k + y2

k)

.

Matricea I desemneaza tensorul de inertie al sistemului mecanic S ın punctul

O, cf. [13, pg. 239].

Pe baza relatiei (2.2) — teorema conservarii momentului cinetic total — de-

ducem ca: ın problema celor n puncte materiale, daca miscarea este omografica,

atunci are loc egalitatea

I ω = c. (3.17)

Dinamica generala a sistemului mecanic S poate fi privita ca o perturbare a

miscarii omografice. Au loc relatiile

vk =d

dt

(

rk ·rk

rk

)

=.rk ·

rk

rk

+ rk ·(rk×

.rk)× rk

r3k

= τk rk +ωk × rk,

unde

τk =

.rk

rk

, ωk =rk × vk

r2k

.

Pentru a “omografia” miscarea, scriem vitezele astfel [22, pg. 53-54]

vk = τ rk +ω × rk +[(τk − τ)rk +(ωk −ω)× rk]

= vscal,k + vrot,k + vconfig,k, (3.18)

3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor 45

unde marimile din (3.18) desemneaza vitezele scalara, rotativa si configurativa.

Ramane sa fixam marimile τ , ω . Cea de-a doua este introdusa cu ajutorul relatiei

(3.17) — chiar daca miscarea celor n puncte materiale nu este omografica —. In

ceea ce priveste marimea τ , sa ne ıntoarcem la identitatea (3.16). Vectorii rk si ω×rk

fiind perpendiculari, deducem ca

2T =n

∑k=1

mkv2k = τ2

n

∑k=1

mkr2k +

n

∑k=1

mk(ω × rk)2. (3.19)

Observam ca (vezi si [13, pg. 286])

(ω × rk)2 = ω2r2

k − (ω · rk)2 = [r2

k ω − (ω · rk)rk] ·ω,

de unde

n

∑k=1

mk(ω × rk)2 =

[(

n

∑k=1

mkr2k

)

ω −n

∑k=1

mk(ω · rk)rk

]

·ω = I ω ·ω

= c ·ω.

Am obtinut — via (3.19) —

τ2 =2T − c ·ω

2I. (3.20)

Pe de alta parte, conform (3.14), avem ca

n

∑k=1

mkr2k = λ 2

n

∑k=1

mk(A r 0k )

2 = λ 2n

∑k=1

mk(r0k)

2.

Am folosit faptul ca rotatia r 0k 7→ A r 0

k pastreaza distantele, vezi (3.15).

Asadar, λ 2 = II(0) , de unde — tinand seama de formula (3.16) — rezulta ca

λ =

√

I

I(0), τ =

.I

2I. (3.21)

Relatiile (3.20), (3.21) ne conduc la o identitate fundamentala a miscarii omo-

grafice a celor n puncte materiale:

4IT = (.I)2 +2I(c ·ω). (3.22)

In concluzie, putem omografia miscarea generala a celor n puncte materiale via

(3.18), unde τ , ω sunt date de (3.17), (3.21).


3.3 Miscarea omografica plana

Sa presupunem ca particulele sistemului mecanic S, nu toate coliniare, se misca

numai ın planul de referinta inertial Oxy. Atunci, vectorii −→r k ×−→v k ∈ TOR3 sunt

perpendiculari pe acest plan, deci momentul cinetic total−→L O =−→c este si el perpen-

dicular pe Oxy. Vom presupune ın cele ce urmeaza ca c > 0, unde c = ck.

Relatia (3.17) devine ın acest caz

n

∑k=1

mky2k −

n

∑k=1

mkxkyk 0

−n

∑k=1

mkxkyk

n

∑k=1

mkx2k 0

0 0n

∑k=1

mk(x2k + y2

k)

ω1

ω2

ω3

=

0

0

c

.

Decupland ecuatiile, scriem ca

n

∑k=1

mky2k −

n

∑k=1

mkxkyk

−n

∑k=1

mkxkyk

n

∑k=1

mkx2k

(

ω1

ω2

)

=

(

0

0

)

, (3.23)

respectiv

ω3 =c

n

∑k=1

mk(x2k + y2

k)=

cn

∑k=1

mkr2k

=c

2I.

Determinantul sistemului algebric (3.23) este

(

n

∑k=1

mkx2k

)(

n

∑k=1

mky2k

)

−(

n

∑k=1

mkxkyk

)2

= ∑1≤ j≤k≤n

m jmk(x jyk − xky j)2.

El este nul daca si numai daca toate particulele sunt coliniare.

Conform presupunerii initiale, ω1 = ω2 = 0, deci

ω = ω3k =c

2I. (3.24)

Urmand ideea lui Euler din 1767, cf. [28], [6, pg. 4218], spunem ca miscarea

celor n particule materiale este ın configuratie centrala daca exista functia neteda

Λ : R→ R astfel ıncat

..rk = Λ(t) rk, t ∈ R,

3.3 Miscarea omografica plana 47

pentru orice k ∈ 1,n.

Plecand de la (2.1), (2.6), avem

mkΛ(t)rk =∂U

∂ rk

,

respectiv

−U =n

∑k=1

∂U

∂ rk

· rk

= Λ(t) ·n

∑k=1

mkr2k .

Astfel,

Λ(t) =−U

2I, (3.25)

cf. [22, pg. 40, Theorem 2.1].

Are loc urmatorul rezultat (Lagrange, Pizzetti — 1903/4 —, cf. [22, pg. 56-57]):

sa presupunem ca miscarea omografica a sistemului mecanic S, ın problema celor

n puncte materiale, este plana; atunci, ea este ın configuratie centrala.

Intr-adevar, daca

vk = τ rk +ω × rk, τ =

.I

2I, ω =

c

2I, (3.26)

atunci putem scrie ca

..rk =

.vk =

.τ rk + τ vk+

.ω ×rk +ω × vk

=.τ rk + τ2rk +2τ(ω × rk)+

.ω ×rk +ω × (ω × rk).

Insa.

ω =−.I

2I2 c si.τ =

..I

2I− (

.I)2

2I2 . De asemeni,

ω × (ω × rk) =−ω2rk =− c2

4I2rk.

Am ajuns la

..rk =

[ ..I

2I− (

.I)2

2I2

]

rk +(.I)2

4I2rk +2

.I

2I

(

c

2I× rk

)

−( .

I

2I2c× rk

)

− c2

4I2rk.

In sfarsit,


..rk = Λ(t) rk =

[ ..I

2I− (

.I)2 + c2

4I2

]

rk. (3.27)

Urmatorul rezultat face legatura cu relatia (2.7), cf. [22, pg. 63]: Sa presupunem

ca miscarea omografica a celor n particule este plana. Atunci, are loc egalitatea ın

inegalitatea lui Sundman si anume,

4IT = (.I)2 + c2, t ∈ R. (3.28)

Acest rezultat este o consecinta imediata a formulelor (3.22), (3.24).

Ce legatura exista ınsa ıntre expresiile lui Λ(t) din (3.25) si (3.27)? Identitatea

Lagrange-Jacobi (2.5) si egalitatea lui Sundman (3.28) stabilesc egalitatea dintre

cele doua expresii si anume: ın problema celor n puncte materiale, ın miscarea o-

mografica plana se verifica identitatea

..rk =

2I..I −[(

.I)2 + c2]

4I2rk =

..I −2T

2Irk =−U

2Irk, (3.29)

conform [22, pg. 40-41].

Un calcul asemanator celui din (3.15) arata ca

|MkMl |2 = λ 2|M0k M0

l |2, r2k = λ 2(r0

k)2,

ceea ce implica — via (3.21) —

rkl = αkl

√I, rk = αk

√I,

unde marimile αkl , αk sunt constante. Deducem de aici ca

Fig. 3.3 Miscare de ansamblu

pe sectiuni conice

3.3 Miscarea omografica plana 49

U = γ ∑1≤ j≤l≤n

m jml

r jl

=β√

I=

δk

rk

, k ∈ 1,n,

unde marimile β , δk sunt constante — exprimabile ın raport cu α jl , αk —.

Relatiile precedente implica — vezi Figura 3.3 si (3.29) —

..rk=−µk

r3k

rk, t ∈ R, µk > 0, (3.30)

unde marimea µk este constanta. Aceasta ecuatie descrie miscarea particu-lei ma-

teriale Mk ın camp gravitational newtonian punctiform — conform calculelor de la

primul capitol.

In concluzie, particulele sistemului mecanic se misca pe sectiuni conice ale plan-

ului fix atunci cand ansamblul lor realizeaza o miscare omografica plana datorata

interactiunilor newtoniene.

Urmatorul rezultat a fost stabilit de Donald G. Saari ın 1969, cf. [22, pg. 50-51].

In miscarea plana a celor n puncte materiale, unde n ≥ 3 si c 6= 0, presupunem ca I

este constant si h < 0. Atunci,

c2

4|h| ≤ I.

Daca I este constant, atunci o conditie necesara si suficienta ca miscarea sa fie o

rotatie rigida — plana — este ca

h < 0, I =c2

4|h| . (3.31)

Prima parte rezulta din inegalitatea lui Sundman (2.7). Mai precis,

c2 ≤ 4I(−h).

Pentru partea a doua, daca miscarea este rigida — deci omografica —, formulele

(3.16), (3.21), (3.24) implica

2T =n

∑k=1

mk(ω × rk)2 = ω2

n

∑k=1

mkr2k =

c2

4I2· (2I) =

c2

2I.

Pe de alta parte, din identitatea Lagrange-Jacobi 0 =..I= T + h rezulta ca h < 0 si

T = |h|. Aceste relatii ne conduc la (3.31).

Reciproc, sa reamintim cea de-a doua din inegalitatile (2.9) si anume,

c2 ≤ 4I(T −R) = 4c2

4|h| (−h−R) =c2

|h| (|h|−R)≤ c2.

Asadar, R = 0 ın orice moment t. Este evident acum ca marimile r jk, unde j 6= k,

raman constante pe tot parcursul miscarii, adica miscarea este rigida.


Acest rezultat surprinzator arata ca exista posibilitatea ca o galaxie care are mo-

mentul de inertie constant sa se roteasca asemeni unui rigid.

3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare

Avem nevoie de un rezultat auxiliar: ın problema celor n puncte materiale, unde

n ≥ 3, c 6= 0, daca particulele raman coliniare pe toata durata miscarii, atunci

aceasta are loc ıntr-un plan fix, cf. [6, pg. 4217], [28].

Intr-adevar, se verifica prin inductie matematica faptul ca dreapta comuna ∆ a

particulelor din S trece prin punctul O — centrul de masa al sistemului mecanic —.

Fie u versorul director al dreptei ∆ si Rk proiectia vectorului rk pe directia u,

adica rk = Rku. Atunci,

rk × vk = R2k(u ×

.u),

respectiv — Rk =±rk —

LO =n

∑k=1

mk(rk × vk) =

(

n

∑k=1

mkR2k

)

(u ×.u)

= (2I)(u ×.u).

Formula

u ×.u=

c

2I

Fig. 3.4 Miscare ın planul

particulelor coliniare

3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare 51

arata ca u · c = 0, deci dreapta ∆(O,−→u ), unde −→u ∈ u, evolueaza ıntr-un plan fix —

pentru simplitate, acesta este Oxy —. De asemeni, c > 0, unde c = ck. Vezi Figura

3.4.

Introducand unghiul θ prin formula u = cosθ i+ sinθ j, obtinem ca

c =n

∑j=1

m j(r j × v j) =

(

n

∑j=1

m jR2j

)

.θ k =

(

n

∑j=1

m jr2j

)

.θ k,

de unde

.θ =

c

2I. (3.32)

De asemeni,

.u =

.θ (k×u) =

c

2I×u.

Ecuatia fundamentala a dinamicii (2.1) arata ca vectorii..rk, u, rk sunt coliniari.

Aceasta implica

((rk × vk)· =) rk×

..rk= 0,

respectiv — cf. [6, pg. 4218] —

rk × vk = ck = ckk, r2k

.θ = ck. (3.33)

Fig. 3.5 Miscare pe cercuri

concentrice


Aici, marimile ck sunt constante.

Din (3.32), (3.33) rezulta ca

rk =

√

2ck

cI, ck > 0, k ∈ 1,n. (3.34)

In particular,

r jk = |r j ± rk|=√

2

c|√c j ±

√ck| ·

√I. (3.35)

Daca I este constant, atunci formulele (3.32), (3.34) arata ca particulele materiale

Mk se misca uniform pe cercuri concentrice de raze constante. Vezi Figura 3.5.

Este stabilita — via (3.35) — valabilitatea conjecturii lui Saari ın cazul partic-

ulelor coliniare [6, Theorem 2]: daca particulele sistemului mecanic S, unde n ≥ 3,

c 6= 0, interactioneaza newtonian ramanand coliniare pe toata durata miscarii iar

momentul de inertie I este constant, atunci miscarea este rigida —avem o figura de

echilibru relativ —.

In cazul general, cum semnul este constant ın formula Rk =±rk, deducem ca

.Rk

Rk

=

.rk

rk

= (via (3.34)) =

.I

2I.

Campul vitezelor are formula

vk = (Rku)· =.Rk u+Rk

.u =

.Rk

Rk

rk +Rk

(

c

2I×u

)

= τ rk +ω × rk,

unde τ =.I

2Isi ω = c

2I.

Astfel, distributia vitezelor este cea corespunzatoare unei miscari (plane) omo-

grafice. Plecand de la (3.26), refacem calculul din demonstratia teoremei Lagrange-

Pizzetti si ajungem la (3.27). In concluzie, miscarea este ın configuratie centrala si

ın cazul coliniar [22, pg. 68-69]. Tinand seama de (3.25), (3.34), (3.35), ajungem

la (3.30). Asadar, particulele descriu sectiuni conice ale planului Oxy. Asemenea

solutii exista dar sunt “improbabile”, cf. [5, pg. 264].

Referinte Bibliografice

1. Albouy, A., Chenciner, A.: Le probleme des n corps et les distances mutuelles. Invent. Math.

131, 151–184 (1998)

2. Boas, R.P.: A Tauberian theorem connected with the problem of three bodies. Amer. J. Math.

61, 161–164 (1939)

3. Bruns, H.: Uber die integrale des vielkorper-problems. Acta Math. 11, 25–96 (1887/1888)

4. Cook, A.: The motion of the moon. IOP Publishing, London (1988)

5. Diacu, F.: Wintner’s collinear and flat solutions are nowhere dense. Celestial Mech. 44, 261–

265 (1988)

6. Diacu, F., Perez-Chavela, E., Santoprete, M.: Saari’s conjecture for the collinear n–body prob-

lem. Trans. Amer. Math. Soc. 357, 4215–4223 (2005)

7. Hernandez-Garduno, A., Lawson, J.K., Marsden, J.E.: Relative equilibria for the generalized

rigid body. J. Geom. Phys. 53, 259–274 (2005)

8. Julliard-Tosel, E.: Bruns’ theorem: the proof and some generalizations. Celestial Mech. Dyn.

Astron. 76, 241–281 (2000)

9. Kovalevsky, J.: Introduction to celestial mechanics. D. Reidel Publish., Dordrecht (1967)

10. Marchal, C.: The three-body problem. Elsevier, Amsterdam (1990)

11. Marchal, C.: How the method of minimization of action avoids singularities. Celest. Mech.

Dyn. Astron. 83, 325–353 (2002)

12. Moulton, F.R.: An introduction to celestial mechanics. Dover Publ., Inc., New York (1970)

13. Mustafa, O.G.: Elemente de mecanica punctului material si a solidului rigid. EDP, Bucuresti

(2006) On-line la adresa: under construction

14. Olver, P.J.: Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, New-York

(1993)

15. Palmore, J.I.: Relative equilibria and the virial theorem. Celestial Mech. 19, 167–171 (1979)

16. Pollard, H.: A sharp form of the virial theorem. Bull. Amer. Math. Soc. LXX, 703–705 (1964)

17. Pollard, H.: Mathematical introduction to celestial mechanics. Prentice-Hall, Inc., Englewood

Cliffs, New Jersey (1966)

18. Pollard, H.: Some non-linear Tauberian theorems. Proc. Amer. Math. Soc. 18, 399–401

(1967)

19. Pollard, H., Saari, D.G.: Singularities of the n–body problem I. Arch. Rational Mech. Anal.

30, 263–269 (1968)

20. Pressley, A.: Elementary differential geometry. Springer-Verlag, London (2001)

21. Saari, D.G.: Some large 0 nonlinear Tauberian theorems. Proc. Amer. Math. Soc. 21, 459–462

(1969)

22. Saari, D.G.: Collisions, rings, and other newtonian N–body problems. CBMS 104, AMS,

Providence, Rhode Island (2005)

23. Siegel, C.L., Moser, J.K.: Lectures on celestial mechanics. Springer-Verlag, Berlin (1971)

53

54 Referinte Bibliografice

24. Stiefel, E.L., Scheifele, G.: Linear and regular celestial mechanics. Springer-Verlag, Berlin

(1971)

25. Straume, E.: On the geometry and behavior of n-body motions. Internat. Journ. Math. Math.

Sci. 28, 689–732 (2001)

26. Szebehely, V.G.: Adventures in celestial mechanics, A first course in the theory of orbits.

Univ. Texas Press, Austin (1991)

27. Waldvogel, J.: Fundamentals of regularization in celestial mechanics and linear perturbation

theories. Scottish Universities Summer School in Physics, Skye (2007)

http://www.sam.math.ethz.ch/˜joergw/Papers/scotpaper.pdf

28. Wintner, A.: The analytical foundations of celestial mechanics. Princeton Univ. Press, Prince-

ton (1941)

Index

anomalia adevarata, 6, 11

atractie, 1

axa de excentricitate, 5

Bruns, H., 8

camp central, 4

camp gravitational, vii, 7, 49

centrul maselor, vii, 15, 19, 32, 50

colaps total, vii, 19, 20, 33, 38

coliziune, vii, 9, 19, 31, 36, 38

configuratie centrala, 46, 47, 52

conjectura, vii

ecuatia diferentiala a miscarii, 4

egalitatea lui Sundman, 48

energia mecanica, 4, 8, 16, 21

figura de echilibru, 52

focar, 6, 8

forta centrala, 3

formula energetica a vitezei, 13

formula lui Euler, 40, 42

formula lui Lagrange, 17

formulele lui Poisson, 40

identitatea Lagrange-Jacobi, 9, 16, 21, 48, 49

identitatea lui Lagrange, 4

impuls, 2

Kepler, J., 2, 6, 12

lege de conservare, 4

legea patratica inversa, 2, 4

miscare circulara, 5, 9, 52

miscare de revolutie, 8

miscare omografica, vii, 43–45, 47, 49, 52

miscarea circumsolara, 2

miscarea medie, 12

moment cinetic, 2, 15, 44, 46

moment de inertie, vii, 8, 16, 19, 50

moment unghiular, 2

pericentru, 6, 10, 12

Pollard, H., 21, 31

potential gravitational, 2, 4

regularizare, 9

reprezentare tensoriala, 42

rigidul generalizat, vii

Saari, Donald G., vii, 31, 49

sectiune conica, 6, 49, 52

Sundman, Karl F., vii, 9, 16, 38, 48

tensor de inertie, 44

teorema functiilor omogene, 16

teorema virialului, vii, 21

teoria tauberiana, 21, 24, 30, 36, 37

variabile canonice, 12

vectorul Runge-Lenz, 5

viteza configurativa, 45

viteza rotativa, 45

viteza scalara, 45

viteza areolara, 8

55

problema plana a˘ n puncte materiale · prefa¸ta˘ ˆin aceast a lucrare sunt prezentate aspecte...

Documents