ALGEBRA - clasa a XI - a (simbol AL - XI)

168Culegere de probleme

Geometrie analitic XI167

GA XI. 085 S se scrie ecuaia cercului cu centrul pe dreapta (d1) y = 2x 3,

tangent dreptei (d2) 2x + 2y = 13 n punctul

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 086 Se consider cercul de ecuaie . S sedetermine cercurile de centru C(-2,5) tangente cercului dat.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 087 Fie triunghiul cu A(1,1), B(-1,1) i M un punct variabil. S se afle locul geometric al punctului M tind c mediana din A a triunghiului are o lungime dat a.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 088 Fiind dat cercul

, s se determine ecuaiile tangentelor la cerc paralele cu dreapta 15x + 8y - 12 = 0.

a) 15x + 8y - 289 = 0b) 15x + 8y - 289 = 0

c) 8x + 15y - 289 = 0

15x + 8y + 1 = 0 15x + 8y + 289 = 0 8x + 15y + 289 = 0

d) x - y - 1 = 0

e) -15x + 8y - 289 = 0

f) 15x - 8y - 1 = 0

x - y + 1 = 0

15x + 8y + 289 = 0 15x + 8y +1 = 0

GA XI. 089 S se determine coeficienii unghiulari pentru tangentele la cercul de ecuaie , care conin punctul A(8,7).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 090 S se determine centrele cercurilor ce sunt tangente axei (Ox) i trec prin punctele A(2,3) i B(4,1).

a) b) c)

d) e) f)

GA - XI. 091 Se consider cercul de ecuaie . S se determine

ecuaiile tangentelor duse la cerc din punctul A(-1,2).

a) y = 2 i 12x - 5y + 3 = 0

b) y = -2 i 12x - 5y + 3 = 0

c) y = 2 tangent unic

d) 12x - 5y + 3 = 0 tangent unic

e) y = 2 i 12x + 5y + 2 = 0

f) y = 2 i 12x + 5y - 2 = 0

GA - XI. 092 S se afle lungimea tangentei duse din origine la cercul care trece prin

punctele A(1,1), B(2,0), C(3,2).

a) 1 b) 10 c)

d)

e)

f)

GA - XI. 093 Se cere ecuaia unui cerc care s fie tangent la bisectoarea nti n

punctul I (2,2) i care s taie pe axa (Ox) un segment de lungime egal cu 2.

a)

b)

c)

d)

EMBED Equation.2 e)

f)

GA - XI. 094 Se d cercul de ecuaie i dreptele (d1) x + 2y + 1 =0 ,

(d2) 2x + y 1 = 0. S se calculeze aria paralelogramului determinat de tangentele la cerc ce sunt paralele cu dreptele date.

a) b) 100 c) 120 d) 80 e) f) 150

GA - XI. 095 Se d dreapta (d): 3x ( 4y + 4 = 0 i fie (b) bisectoarea unghiului ascuit format de dreapta (d) cu axa (Oy). S se scrie ecuaia cercului C, ce trece prin origine, tangent n origine dreptei y = mx, m(R\(0( i care mai trece prin punctul de intersecie al dreptei (b) cu axa (Ox).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 096 Dou cercuri sunt ortogonale dac n punctele lor de intersecie au razele perpendiculare. S se scrie ecuaia cercului ortogonal cercurilor

,

i care trece prin punctul de coordonate (5,-4).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 097 S se scrie ecuaia tangentelor comune cercurilor

i

.

a) x + y - 1 = 0, x - y = 0

b) x = 1, y = 2, 2x = -y

c) x - y + 1 = 0, x + y = 0, 2x - y = 0

d) x = 1, 2x = -y, y = 2, x - 3y + 1 = 0

e) x = 1, y = 2, 3x + 4y -1 = 0, 4x - 3y + 1 = 0

f) x = 1, y = 2, 3x + 4y - 5 = 0, 4x - 3y - 10 = 0

GA - XI. 098 Fie n planul (xOy) punctele A(4,0), B(0,3) i cercul nscris triunghiului , respectiv cercul ce trece prin mijloacele laturilor triunghiului . S se studieze dac cele dou cercuri sunt tangente i n caz afirmativ s se calculeze coordonatele punctului de contact.

a) sunt tangente n punctul T(1,2)b) sunt tangente n punctul T

c) nu sunt tangente

d) sunt tangente n punctul T

e) sunt tangente n punctul T(1,1)f) sunt tangente n punctul T

GA - XI. 099 S se gseasc punctele din care tangentele duse la cercul x2+ y2(4 = 0 au o lungime de 3 uniti , iar tangentele duse la cercul x2+ y2 (7x (14y + 20 = 0 au o lungime de uniti .

a) M(2,3), N(5,-7) b) M(-1,1), N(0,-3) c) M(3,-2), N

d) M(0,-1), N(-2,3) e) M, N

f) M (-2,3), N

GA XI. 100 Se consider familia de cercuri ,

unde a este o constant, iar un parametru real.

S se afle ecuaia cercului din familie pentru care segmentul de dreapt ce are ca extremiti punctele fixe ale familiei este diametru.

a)

b)

c)

d)

e)

f) .

GA - XI. 101 Se d cercul C cu centrul n origine i avnd diametrul [AB], pe axa Ox de lungime 2r, r. Fie ( un cerc, cu centrul variabil M(C i tangent n N la [AB]. S se gseasc locul geometric al punctului de intersecie dintre dreapta (MN) cu coarda comun cercurilor C i (.

a) b) c)

d) e) f) x = ( rGA - XI. 102 Fie n planul (xOy) cercul x2 + y2 = r2 i punctele P(a,0) i Q(b,0). Fie M, N extremitile unui diametru variabil al cercului. Se cere locul geometric al interseciei dreptelor (MP) i (NQ).

a) x + by + ra = 0

b)

c) x +

d)

e)

f)

GA - XI. 103 Fie n planul (xOy) cercul x2 + y2 - 2ry = 0 i M un punct mobil pe axa (Ox). Se duce prin M o tangent la cerc, punctul de contact fiind N. Se cere locul geometric al ortocentrului (punctul de intersecie al nlimilor) triunghiului , cnd M descrie axa (Ox).

a) dreapta rx + y - r = 0

b) cercul x2 + y2 + 2x = r2c) diametrul x = 0 i cercul x2 + y2 = r2

d) parabola y2 = 2rxe) hiperbola

f) hiperbola

GA XI. 104 S se determine locul geometric al punctelor prin care se pot duce tangente ortogonale la un cerc

a) hiperbol;

b) parabol;

c) elips

d) cerc;

e) dreapt

f) hiperbol echilateral

GA XI. 105 Fie A un punct fix pe cercul i M un punct mobil pe cercul dat.

S se determine punctul A astfel nct locul geometric al simetricului punctului A fa de M s fie un cerc cu centrul pe dreapta .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA XI. 106 ntr-un cerc de raz R se consider coarda fix i un punct mobil M pe cerc. Dac A1 este mijlocul lui i B1 mijlocul lui , s se afle locul geometric al mijlocului lui .

a) o dreapt paralel cu (Ox)

b) un cerc

c) o elips

d) o parabol

e) o hiperbol

f) o dreapt paralel cu (Oy).

GA XI. 107 Se consider cercurile care trec prin dou puncte fixe A(4,0) i B(-4,0). Locul geometric al extremitilor diametrilor acestor cercuri, paraleli cu dreapta (AB), este:

a) o hiperbol echilater;b) o parabol;

c) un cerc

d) o elips

e) o dreapt

f) o hiperbol oarecare ?

GA - XI. 108 Se d elipsa E:

i dreapta dn: y = x + n, n(R , care

intersecteaz elipsa n punctele P i Q. S se scrie ecuaia cercului C de diametru [PQ].

a) C:, n(Rb) C:, n

c) C:, n(Rd) C:

, n(Re) C:

, n

f) C:x

EMBED Equation.2 , n(RGA - XI. 109 Unul dintre focarele unei elipse este situat la distanele 7 i, respectiv, 1 fa de extremitile axei mari.

S se scrie ecuaia acestei elipse.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 110 Un punct M descrie o elips de centru O i semiaxe 2 i 1. Fie P proiecia lui M pe axa mare iar N un punct pe (OM) aa nct ON = 2 NM . Dreapta (PN) taie axa mic n Q, s se calculeze lungimea segmentului PQ.

a) 2 b)

c) 1 d)

e)

f)

GA - XI. 111 Se consider elipsa de ecuaie . S se scrie ecuaia uneidrepte ce trece prin punctul M(2,1), care intersecteaz elipsa n punctele A i B, astfelca M s fie mijlocul segmentului .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 112 Prin focarul F(c,0) al elipsei

se duce o coard

perpendicular pe axa mare. S se gseasc lungimea acestei coarde.

a)

b)

c)

d)

e)

f) a + bGA XI. 113 Fiind dat punctul al elipsei : , s se scrie ecuaiile dreptelor suport pentru razele focale ale acestui punct.

GA XI. 114 S se afle punctul de pe elipsa care este cel mai apropiat de dreapta .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA XI. 115 Fie elipsa , a > b i F unul din focare situat n punctul F. Prin F se duce o secant oarecare, care taie elipsa n punctele M i N. S se calculeze valoarea expresiei

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 116 S se calculeze aria unui ptrat avnd dou vrfuri ce coincid cu

focarele elipsei E:

.

a) 36 b) 18 c) 36 sau 18 d) 9 sau 18 e) 36 sau 9 f) 20

GA - XI. 117 n elipsa

se nscrie un dreptunghi astfel nct dou laturi opuse ale sale s treac prin focare. S se calculeze aria acestui dreptunghi.

a) 27

b)

c) 27

d) 27 +

e) 3

f) 25

GA - XI. 118 Un romb cu latura de lungime 5 i nlimea de lungime 4,8 are diagonalele situate pe axele de coordonate (Ox) i (Oy).

S se determine elipsele, avnd axa mare pe (Ox), care trec prin dou vrfuri opuse ale rombului, iar focarele sunt situate n celelalte dou vrfuri.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 119 Fiind dat elipsa de ecuaie:

. S se scrie ecuaia normalei la elips n punctul A(1,2).

a) y = x (1

b) y = x +1

c) y = 2xd) y = ( x + 3

e) y = ( x

f) y = 3x 1

GA - XI. 120 S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul A(-6,+3) la elipsa

.

a) (x + y (9 = 0

b) x + y + 3 = 0

c) 12x + 7y + 51 = 0

2x + y + 9 = 0

(2x + y (15 = 0 y = 3

d) (3x + y (21 = 0

e) 4x + y + 21 = 0

f) (5x + y (33 = 0

3x + y + 15 = 0 (4x + y - 27 = 0 5x + y + 27 = 0

GA - XI. 121 S se scrie ecuaiile tangentelor la elipsa perpendi- culare pe dreapta 13x + 12y (115 = 0.

a) 12x (13y ( 1 = 0

b) 12x (13y ( 169 = 0

c) 12x (13y ( 2 = 0

d) 12x (13y ( 3 = 0

e) 5x ( 7y = 9

f) 12x (13y ( 10 = 0

GA - XI. 122 Se tie c dreapta 4x - 5y - 40 = 0 este tangent la elipsa

.

S se gseasc coordonatele punctului de tangen.

a) (10,0) b) (0,-8) c) (50,0) d) (5,-4) e) (-4,5) f) (9,1)

GA XI. 123 n planul (Oxy) se consider punctul M(5,0) i elipsa . S se determine coordonatele punctelor astfel nct tangentele n P la elips s treac prin M.

a)

b) c)

d) e) ; f)

GA XI. 124 Pe o elips de centru O i semiaxe a i b, , se consider un punct arbitrar M0 . Tangenta n M0 la elips taie prelungirea axei mari n . Prin M0 se duce o paralel la axa mic a elipsei care taie cercul de diametru n punctele P i . S se calculeze distana de la O la P.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 125 O elips este tangent dreptelor : x + y = 5 i x ( 4y = 10. S se scrie ecuaia acestei elipse cu condiia ca axele ei de simetrie s fie situate pe axele de coordonate.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 126 S se gseasc tangentele comune la urmtoarele dou elipse:

i

.

a) x ( y ( 3 = 0

b) x ( 2y = 1

c) x ( y = 5

d) 2x ( y = ( 1

e) x ( y = (2

f) 3x + 3y = ( 1

GA XI. 127 Fie M , un punct arbitrar pe o elips de semiaxe a i b, raportat la axele de coordonate. Considerm trei puncte pe elips A, B i C, ce corespund valorilor i ale parametrului t.

tiind c tangenta n A la elips este paralel cu dreapta (BC) , s se precizeze care dintre relaiile de mai jos este satisfcut de i .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 128 Se consider punctele variabile A((,0), B(0,(), astfel nct AB = 6. S se gseasc locul geometric al punctului M, care mparte segmentul [AB] n raportul

.

a) parabol

b) elips

c) hiperbol echilateral

d) dreapt

e) cerc

f) hiperbol oarecare

GA XI. 129 S se determine locul geometric al punctelor de unde se pot duce tangente perpendiculare la o elips.

a) parabol

b) elips

c) hiperbol echilateral

d) dreapt

e) cerc

f) hiperbol oarecare

GA XI. 130 Fie M un punct mobil pe elipsa cu vrfurile Tangenta n M taie axa (Ox) n C, iar paralela din M la axa (Oy) taie cercul de diametru n . S se afle locul geometric al centrului de greutate al triunghiului .

a)

b) c)

d) e)

f)

GA - XI. 131 S se determine focarele elipsei .

a)

b)

c)

d)

e) f)

GA - XI. 132 Fie U un punct mobil situat pe tangenta n punctul A(a,0) la elipsa

. Perpendiculara n A pe (OU) taie axa (Oy) n V. Se cere s se determine elipsa pentru care AU(OV=12 i care trece prin punctul P(3,2).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 133 Se d hiperbola . S se calculeze coordonatele focarelor F i F .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA - XI. 134 Se d hiperbola H:

S se determine vrfurile i

asimptotele hiperbolei H.

a) (-5,0),(5,0); b) (-,0), (,0);

c) (-,0),(,0); d) (

,0), (-

,0);

e) (-2,0),(2,0);

EMBED Equation.2 f) (-

,0), (

,0);

EMBED Equation.2 GA - XI. 135 S se scrie ecuaia hiperbolei care trece prin focarele elipsei i are focarele n vrfurile acestei elipse.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

GA XI. 136 S se scrie ecuaia hiperbolei ce are asimptotele i care trece prin punctul P(5,-2).

a)

b)

_1043575448.unknown

_1045121442.unknown

_1045122938.unknown

_1086606088.unknown

_1086768857.unknown

_1086769685.unknown

_1086770272.unknown

_1093420802.unknown

_1093423195.unknown

_1093424055.unknown

_1086770389.unknown

_1086770499.unknown

_1086770524.unknown

_1086770468.unknown

_1086770326.unknown

_1086769833.unknown

_1086770015.unknown

_1086769742.unknown

_1086769121.unknown

_1086769404.unknown

_1086769503.unknown

_1086769349.unknown

_1086768957.unknown

_1086768993.unknown

_1086768903.unknown

_1086606652.unknown

_1086768688.unknown

_1086768814.unknown

_1086768569.unknown

_1086606181.unknown

_1086606234.unknown

_1086606158.unknown

_1045123585.unknown

_1045124294.unknown

_1045124333.unknown

_1086604468.unknown

_1086605990.unknown

_1045124339.unknown

_1045124345.unknown

_1045124479.unknown

_1045124336.unknown

_1045124327.unknown

_1045124330.unknown

_1045124296.unknown

_1045124069.unknown

_1045124085.unknown

_1045124278.unknown

_1045124286.unknown

_1045124254.unknown

_1045124257.unknown

_1045124081.unknown

_1045124073.unknown

_1045124063.unknown

_1045124066.unknown

_1045123722.unknown

_1045124045.unknown

_1045123114.unknown

_1045123571.unknown

_1045123579.unknown

_1045123581.unknown

_1045123574.unknown

_1045123464.unknown

_1045123539.unknown

_1045123130.unknown

_1045123073.unknown

_1045123092.unknown

_1045123095.unknown

_1045123082.unknown

_1045122948.unknown

_1045123064.unknown

_1045122944.unknown

_1045122124.unknown

_1045122398.unknown

_1045122442.unknown

_1045122461.unknown

_1045122934.unknown

_1045122451.unknown

_1045122404.unknown

_1045122410.unknown

_1045122401.unknown

_1045122303.unknown

_1045122391.unknown

_1045122395.unknown

_1045122388.unknown

_1045122208.unknown

_1045122296.unknown

_1045122127.unknown

_1045122137.unknown

_1045121843.unknown

_1045122041.unknown

_1045122117.unknown

_1045122119.unknown

_1045122112.unknown

_1045122108.unknown

_1045122034.unknown

_1045122037.unknown

_1045121856.unknown

_1045121779.unknown

_1045121809.unknown

_1045121837.unknown

_1045121783.unknown

_1045121804.unknown

_1045121447.unknown

_1045121744.unknown

_1045121754.unknown

_1045121681.unknown

_1045121446.unknown

_1043579087.unknown

_1043581089.unknown

_1043584016.unknown

_1044441095.unknown

_1045121429.unknown

_1045121436.unknown

_1045121440.unknown

_1045121433.unknown

_1044441276.unknown

_1044684057.unknown

_1044685078.unknown

_1044683275.unknown

_1044441263.unknown

_1043584518.unknown

_1043584635.unknown

_1043584737.unknown

_1043584875.unknown

_1043643628.unknown

_1044440905.unknown

_1043643580.unknown

_1043584805.unknown

_1043584687.unknown

_1043584591.unknown

_1043584614.unknown

_1043584541.unknown

_1043584384.unknown

_1043584438.unknown

_1043584061.unknown

_1043581681.unknown

_1043583859.unknown

_1043583917.unknown

_1043583968.unknown

_1043583885.unknown

_1043583740.unknown

_1043583764.unknown

_1043583592.unknown

_1043581426.unknown

_1043581634.unknown

_1043581649.unknown

_1043581461.unknown

_1043581354.unknown

_1043581407.unknown

_1043581267.unknown

_1043579673.unknown

_1043579887.unknown

_1043580759.unknown

_1043580878.unknown

_1043580689.unknown

_1043579725.unknown

_1043579858.unknown

_1043579701.unknown

_1043579322.unknown

_1043579491.unknown

_1043579631.unknown

_1043579379.unknown

_1043579233.unknown

_1043579281.unknown

_1043579157.unknown

_1043577229.unknown

_1043578592.unknown

_1043578795.unknown

_1043579005.unknown

_1043579060.unknown

_1043578832.unknown

_1043578711.unknown

_1043578755.unknown

_1043578613.unknown

_1043577692.unknown

_1043577777.unknown

_1043577814.unknown

_1043577746.unknown

_1043577309.unknown

_1043577554.unknown

_1043577277.unknown

_1043576582.unknown

_1043576994.unknown

_1043577170.unknown

_1043577203.unknown

_1043577139.unknown

_1043576685.unknown

_1043576699.unknown

_1043576662.unknown

_1043576677.unknown

_1043576654.unknown

_1043575945.unknown

_1043576323.unknown

_1043576495.unknown

_1043576316.unknown

_1043575861.unknown

_1043575898.unknown

_1043575758.unknown

_926707980.unknown

_926708014.unknown

_926708031.unknown

_1006334400.unknown

_1043568733.unknown

_1043572820.unknown

_1043574017.unknown

_1043572778.unknown

_1043568603.unknown

_1043568673.unknown

_1043568581.unknown

_1006334406.unknown

_1006333997.unknown

_1006334271.unknown

_1006334392.unknown

_1006334396.unknown

_1006334317.unknown

_1006334357.unknown

_1006334017.unknown

_1006333946.unknown

_1006333977.unknown

_978258103.unknown

_1006333914.unknown

_940701717.unknown

_940701716.unknown

_926708027.unknown

_926708029.unknown

_926708030.unknown

_926708028.unknown

_926708024.unknown

_926708025.unknown

_926708015.unknown

_926707995.unknown

_926708000.unknown

_926708012.unknown

_926708013.unknown

_926708001.unknown

_926707998.unknown

_926707999.unknown

_926707996.unknown

_926707985.unknown

_926707992.unknown

_926707994.unknown

_926707990.unknown

_926707982.unknown

_926707983.unknown

_926707981.unknown

_926707937.unknown

_926707961.unknown

_926707966.unknown

_926707975.unknown

_926707978.unknown

_926707974.unknown

_926707963.unknown

_926707964.unknown

_926707962.unknown

_926707952.unknown

_926707959.unknown

_926707960.unknown

_926707957.unknown

_926707950.unknown

_926707951.unknown

_926707938.unknown

_926707924.unknown

_926707928.unknown

_926707935.unknown

_926707936.unknown

_926707929.unknown

_926707926.unknown

_926707927.unknown

_926707925.unknown

_926707914.unknown

_926707919.unknown

_926707921.unknown

_926707922.unknown

_926707920.unknown

_926707917.unknown

_926707918.unknown

_926707916.unknown

_926707900.unknown

_926707903.unknown

_926707906.unknown

_926707902.unknown

_926707895.unknown

_926707897.unknown

_926707899.unknown

_926707896.unknown

_926707893.unknown

_926707894.unknown

_926707881.unknown

_926707892.unknown

_926707880.unknown

_926707868.unknown