fluxuri rutiere curs
DESCRIPTION
Fluxuri Rutiere CURSTRANSCRIPT
-
1
ELEMENTE DE TEORIA FLUXURILOR RUTIERE
I. INTRODUCERE
Odat cu evoluia civilizaiei umane, dezvoltarea transporturilor, n primul rnd
transportul produselor comerciale, a constituit un mijloc sigur de a realiza relaii tot mai strnse
ntre diferite categorii de populaie. Ca o consecin imediat a venit, pe lng dezvoltarea
mijloacelor de transport, cea a infrastructurii, i anume a reeleor de transport care s lege
aglomerrile urbane, practic toate localitile unei ri.
Fenomenul complex al circulaiei rutiere se manifest evident att pe distane mari, dar
mai ales n zone restrnse geografic cum ar fi marile metropole sau alte tipuri de aezri urbane
sau chiar i rurale. n special marile aglomerri urbane sunt afectate direct de mobilitatea
populaiei, iar analiza modului n care se desfoar traficul rutier n localiti, indiferent de
natura mijloacelor de transport, indic existena a trei faze principale:
- altenana zilnic a deplasrii n dublu sens, reedin-loc de munc;
- deplasri n zone comerciale sau administrative, pentru contacte individuale sau n
grup;
- ieirile cu durate scurte sau lungi n locuri de agrement, turism sau odihn.
Indiferent de faza pe care o lum n considerare, aceasta este generatoare de aa numitele
ore de vrf respectiv perioade de vrf, ncare preluarea traficului rutier att de ctre
reeaua stradal dar i de mijloacele de transport se lovete de mari dificulti. Dac peste
aceste faze i consecinele lor inerente care fac referire strict la transportul de persoane,
suprapunem i aspectele conexe transportului de mrfuri, apare cu claritate necesitatea
aprofundrii tuturor aspectelor ce in de ceea ce numim fenomenul circulaiei rutiere. Practic
acest fenomen, poate fi descompus pentru analiz i studiu n primul rnd dup direciile
principale de de deplasare: a persoanelor i a mrfurilor.
Dup cum este bine cunoscut, marile aglomerri urbane sunt practic sufocate de prezena
autoturismelor care, beneficiind de o autonomie foarte mare, pot satisface o multitudine de
pretenii ale utilizatorilor, ocupnd zi i noapte reeaua stradal. La acestea trebuie adugate
implicit autoutilitarele sau camioanele de transport, care asigur aprovizionarea zilnic a
diverselor societi comerciale.
Consecinele principale legate de dificulile generate traficului rutier de ctre
autoturisme sunt:
- prezena masiv a autoturismelor pe teritoriul uneilocaliti determin o grav risip
de teritoriu;
-
2
- din 24 de ore ale unei zile, autoturismul circul n medie 2.4 ore, restul de 22.20
de ore staioneaz, necesitnd existena a cel puin dou locuri de parcare, la reedina
proprietarului i respectiv la locul de munc al acestuia;
- raportat la nr. de persoane transportate, autoturismul ocup cea mai mare parte a
suprafeei stradale (un autoturism ocup n timpul deplasrii - cu tot cu spaiul de
siguran - de 15 m2 i transport n medie 2,5 persoane, iar una autobuz ocup cca.
30 m2 i transport n medie 50 de persoane).
Prezena masiv a autovehiculelor n viaa cotidian a omului modern, produce o mare risip
de resurse i timp, a crei efecte sunt cauza aa numitei crize de circulaie, care se manifest
prin:
- dificultatea de a circula pe traseele rutiere importante, dificultate care poate culmina
cu blocrile temporare de circulaie i care poate culmina cu ambuteiajele complete;
- limitarea progresiv a vitezei medii de circulaie, care, n marile aglomerri urbane de
reduce la 510 km/h;
- creterea consumului de combustibil a autovehiculelor la deplasarea n zonele
aglomerate;
- mrirea gradului de poluare atmosferic (chimic noxe i pulberi i sonor);
- excesul de seme, marcaje, semnale de circulaie;
- apariia fenomenului de scpare conductorul auto odat ieit dintr-o zon
supraaglomerat se deplaseaz cu o vitez mult peste prevederile legale;
Totui, criza de circulaie are i efecte pozitive mai ales n sfera psiho-social:
- transform circulaia rutier ntr-o structur economic i social cu caracteristici
proprii, cu rol deosebit n desfurarea normal a activitii unei comuniti;
- transform masa conductorilor auto ntr-o comunitate bazat pe asemnarea
conduitei, care se manifest ca o mulime care influeneaz comportamentul
individual;
- este generatoare de asociaii cu caracter de grup autocluburile, etc.;
- stabilete interaciunea att ntre conductorii auto, ct i ntre acetia i organele
administrative cu atribuii n sfera circulaiei rutiere (organizare, dirijare, control);
Astfel, ca o consecin a celor enumerate mai sus apare necesar acordarea unei
atenii mai mari studiului temeinic a circulaiei autovehiculelor, n vederea cunoaterii ct
mai exacte a fluxurilor rutiere att ntre, ct i n nodurile reelelor de drumuri, pentru a
stabili cele mai bune pachete de msuri i de programe de coordonare i control a acestui
proces deosebit de complex, cu efecte considerabile asupra vieii sociale i economice.
-
3
II. DEPLASAREA VEHICULULUI SINGULAR
2.1. CINEMATICA VEHICULULUI SINGULAR
2.1.1. Descrierea cinematicii vehiculului singular cu ajutorul mrimilor dependente de
timp
n general, curba spaiului parcurs de un autovehicul, poate s aib forma din figura 2.1.
Pornind de la aceast curb, se definesc mrimile ce caracterizeaz cinematica autovehiculului
singular, si anume:
x(t) spaiul parcurs n funcie de timp [m];
viteza de deplasare n funcie de timp [m/s];
acceleraia n funcie de timp [m/s2];
variaia acceleraiei in funcie de timp [m/s3];
Considernd c la timpul t0 mrimile cinematice au valorile x0, v0, a0 adic valorile iniiale,
se obtin urmatoarele ecuaii de micare:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
v t( )dx
dt
a t( )dv
dt 2txd
d
2
b t( )da
dt 2tvd
d
2
3txd
d
3
x t( ) x0t0
t
tv t( )
d+
v t( ) v0t0
t
ta t( )
d+
x t( ) x0t0
t
tv0 t( )
d+t0
t
tt0
t
ta t( )
d
d+
a t( ) a0t0
t
tb t( )
d+
v t( ) v0t0
t
ta0
d+t0
t
tt0
t
tb t( )
d
d+
x t( ) x0t0
t
tv0
d+t0
t
t
t0
t
ta0
d
d+t0
t
tt0
t
tt0
t
tb t( )
d
d
d+
-
4
n anumite situaii se poate considera
c b(t)=0. Dar, pentru deplasarea practic a
autovehiculului, valoarea variaiei
acceleraiei prezint o importana
deosebit, deoarece permite caracterizarea
undelor admisibile ale fluxului rutier.
Variaia acceleraiei b(t) poate fi diferit de
zero n timpul demarrii sau frnrii
autovehiculului, ori astfel de situaii sunt
frecvente n timpul deplasrii. Fig. 1. Spaiul parcurs de autovehiculul singular
Prin reprezentarea grafic a ecuaiilor (1 ... 6) se pot obine diagramele micrii
autovehiculului n diferite regimuri n funcie de timp (figura 2).
Ecuaiile de micare ale autovehiculului pot fi exprimate in funcie de spaiul parcurs, pentru
aceasta se introduce transformarea:
(7)
Din relaia (2.7) se obine:
dtdx
v x( )
i prin integrare rezult:
(8)
Acceleraia n funcie de spaiu se obine prin derivarea n raport cu timpul a vitezei v(x):
(9)
Din aceasta relaie se obine:
deci:
v x( )1
dt
dx
t x( ) t0
x0
x
x1
v x( )
d+
a x( )tv x( )d
d xv x( )
dx
dtd
d xv x( ) v x( )d
d x
1
2v2 x( )
d
d
d1
2v2 x( )
a x( ) dx
-
5
v2 x( ) v0( )2 2x0
x
xa x( )
d+
v x( ) v0( )2 2x0
x
xa x( )
d+
(10)
Diagramele de micare n funcie de spaiul parcurs pentru a > 0 sunt prezentate n figura 3.
Fig. 2. Diagramele de micare ale autovehiculului n funcie de timp (a 0)
Fig. 3. Diagramele de micare ale autovehiculului n
funcie de spaiu (a 0)
Dac se consider viteza v ca variabil independent, atunci ecuaiile de micare ale
autovehiculului pot fi exprimate n funcie de aceasta. Astfel:
a a v( )dv
dt
t0
t
t1
d
v0
v
v1
a v( )
d
(11)
sau, rezult:
t v( ) t0
v0
v
v1
a v( )
d+
-
6
(12)
(13)
Dac se consider a proporional cu v:
a C v
Rezult:
Cazul a):
t v( ) t01
Cv0
v
v1
v
d+ t01
Cln v( ) ln v0( )( )+
v t( ) eC t C1+
unde,
C1 ln v0( ) C t0+
x t( ) x0t0
t
teC t C1+
d+ x0
1
CeC t C1+ e
C t0 C1+( )+
Cazul b):
x t( ) x01
C v0
v
v1
d+ x0v v0
C+
v x( ) v0 C x x0( )+
t x( ) t0
x0
x
x1
v0 C x x0( )+
d+ t01
Cln
v0 C x x0( )+v0
+
Considernd a invers proporional cu v, rezult:
ad
v
i se obine:
a a v( )dv
dt
dv
dx
dx
dt
dv
dxv
d1
2v2
dx
x0
x
x1
d
v0
v
vv
a v( )
d
x v( ) x0
v0
v
vv
a v( )
d+
-
7
Cazul a):
t v( ) t0
v0
v
vv
d
d+ t0v2 v0( )2
2d+
v t( ) v0( )2 2 d t t0( )+
x t( ) x0t0
t
tv0( )2 2 d t t0( )+
d+ x01
3dv0( )2 2 d t t0( )+
3
2v0( )3
+
Cazul b):
x v( ) x0
v0
v
vv 2
2d
d+ x01
3dv 3 v 0( )3 +
v x( ) 3 d x x0( ) v0( )3+
1
3
t x( ) t0
x0
x
x1
v x( )
d+ t0
x0
x
x1
3 d x x0 v0( )3+
1
3
d+ t01
2d3 d x x0( ) v0( )3+
2
3v0( )2
+
n figura 4 sunt prezentate curbele de
variaie ale spaiului parcurs de un autovehicul
care se deplaseaz cu o acceleraie constanta, a
= const.; a =C. v i a = b/v. n acest caz s-au
considerat t0 = 0, x0 = 0, v0 = 1m/s, a = 2m/s2,
C=2 s-1, b = 2m/s
3.
Fig. 4. Curbele de variaie a spaiului parcurs de un autovehicul care se deplaseaz cu acceleraie constant
2.1.2. Descrierea cinematicii vehiculului singular cu ajutorul mrimilor dependente
de spaiul parcurs
n cele prezentate n paragraful anterior pentru exprimarea mrimilor cinematice ale
micrii autovehiculului singular, n care s-a utilizat relaia de definiie a vitezei v = dx/dt, se
constat c se ajunge la relaii de calcul incommode. Pentru definirea mrimilor cinematice n
-
8
funcie de spaiul parcurs, se pornete de la curba de variaie a spaiului n funcie de timp i, de
la curba de variaie a timpului de micare n funcie de spaiu, figura 5.
Fig. 5. Curbele de variaie ale spaiului parcurs i a timpului de deplasare
Se definete:
- variaia timpului de micare n funcie de spiu sau ncetineal, [s/m];
analog cu:
a t( )dv t( )
dt 2tx t( )d
d
2
c x( )dw x( )
dx 2xx t( )d
d
2
i analog cu:
b t( )da t( )
dt 2tv t( )
d
d
2
3tx t( )
d
d
3
l x( )dc x( )
dx 2xw x( )d
d
2
3xt x( )d
d
3
Corelaia dintre v(t) i w(x) rezult din figura 5.
v(t) este coeficientul unghiular al tangentei la funcia x = x(t); v(ti) = tg i;
w(x) este coeficientul unghiular la tangentei la funcia t = t(x); w(xi)= tg i= ctgi .
Pe baza acestor relaii de definiie pot fi stabilite ecuaiile de micare; pentru aceasta este
necesar s se cunoasc valorile iniiale x0, c0, w0, i t0. Prin integrare rezult:
w x( )dt x( )
dx
-
9
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Aceast exprimare a ecuaiilor de micare are mare importan pentru explicarea unor
aspecte ce apar la deplasarea autovehiculelor. Astfel, de exemplu, se poate determina care este
cstigul de timp, pe unitatea de lungime prin msurarea vitezei de deplasare cu o anumit
valoare.
Pentru a(t) = a(x) =const., din relaia (10) se obine:
(20)
(21)
De aici rezult c:
a) c(x)const. pentru a =const. i invers;
b) c(x)0 i invers, ntruct numitorul relaiei (21) nu poate fi negativ.
n anumite situaii mrimile cinematice ale micarii automobilului singular sunt exprimate
prin relaii complexe, ceea ce conduce la calcule laborioase; n astfel de situaii pot fi utilizate
metode grafice de rezolvare.
Astfel, dac este dat curba de variaie a lui x(t), v(t) i a(t) rezult prin derivare grafic i
dac se cunoate a(t) , prin integrare grafic se obtin v(t) i x(t). Aceast metod poate fi aplicat
i mrimilor t(x), v(x) i a(x).
w x( )1
v x( )
1
v0( )2 2a x x0( )+
c x( )a
v0( )2 2a x x0( )+ v0( )2 2a x x0( )+
t x( ) t0x0
x
xw x( )
d+
w x( ) w0x0
x
xc x( )
d+
t x( ) t0x0
x
xw0
d+x0
x
xx0
x
xc x( )
d
d+
c x( ) c0x0
x
xl x( )
d+
w x( ) w0x0
x
xc0
d+x0
x
xx0
x
xl x( )
d
d+
t x( ) t0x0
x
xw0
d+x0
x
xx0
x
xc0
d
d+x0
x
xx0
x
xx0
x
xl x( )
d
d
d+
-
10
Mrimile cinematice exprimate n funcie de timp pot fi transformate grafic, n funcie de
spaiul parcurs, sau invers, folosind pentru aceasta diagrama x - x care const dintr-o dreapt
nclinat la 45 faa de axa absciselor, figura 6. Astfel, pentru o diagram a(t) dat, cunoscnd
condiiile iniiale v0 i x0 se determin prin integrare grafic v(t) i x(t). Utiliznd n sistemul de
coordonate x x, semidreapta nclinat cu 45 se obine graficul v(x) i prin derivare grafic se
obine a(x).
Fig. 6. Rezolvarea pe cale grafic a cinematicii autovehiculului singular
2.1.3 Statistica deplasrii autovehiculului singular
n multe cazuri practice, se presupune c micarea autovehiculului singular este determinist,
mrimile cinematice putnd fi descries cu exactitate pe cale matematic. n realitate, ns, viteza
i direcia autovehiculului singular, se abat frecvent de la legile propuse, acest lucru fiind
explicat de numrul mare de factori care influeneaz deplasarea unui automobil i, care este de
fapt aleatoare i nu determinist. Micarea aleatoare a autovehiculului apare, n special, pe
strzile unui ora, cnd, este determinat de dorina conductorului auto, de condiiile create de
trafic, de starea suprafeei drumului, de condiiile atmosferice etc. n figura 7 este afiat graficul
unui astfel de micari, n coordonate spaiu timp.
Micarea aleatoare a unui autovehicul, poate fi descris cel mai bine, statistic. n acest scop
trebuie realizate masurtori care s permit obinerea curbelor de variaie n funcie de timp a
marimilor cinematice i n special a vitezei.
-
11
Fig. 7. Graficul micrii aleatoare a unui autovehicul
Valoarea medie i dispersia vitezei.
Dac, de exemplu, se msoar viteza n m intervale de spaiu i se traseaz diagrama
corespunztoare, figura.8, ntr-un sistem de coordonate, se obine frecvena absolut de repartiie
a vitezei autovehiculului cercetat pe durata T sau distana X.
Fig. 8. Curba frecvenelor absolute de repartiie a vitezelor unui autovehicul - Valoarea medie i dispersia vitezei
Pentru aceasta, s-a stabilit c n intervalul
(0,v) viteza poate fi de observat de m1 ori,
respectiv de n1 ori sau, n general n intervalul
[(i-1) v, iv] viteza poate fi observat de mi
ori, respectiv ni ori cu condiia mmk
i
i ==1
i,
respectiv, nnk
i
i ==1
.
Graficul vitezei n funcie de timp se numete linia vitezei, iar graficul vitezei in funcie de
spaiu se numete profilul vitezei.
Raportnd vitezele absolute mi, respectiv ni la m respectiv n, rezult frecvenele relative:
mi / m = ft(vi), dac v este funcie de timp;
ni / n = fx(vi), dac v este funcie de spaiu i, prin nsumare se obin frecvenele relative.
-
12
Pentru descrierea distribuiilor valorilor empirice ale frecvenelor vitezei se utilizeaz
metode statistice. n general, este suficient dac se calculeaz media aritmetic i dispersia,
respectiv abaterea ptratic medie sau abaterea standard.
n tabelul 1 sunt prezentate rezultatele obinute prin prelucrarea vitezei unui automobil,
obinut prin nregistrarea funcie de timp. n tabel sunt date valori ale vitezelor pentru m = 229
intervale, care sunt sistematizate n clase din 5 n 5km/h, al cror numar este de k = 13.
Prelucrarea vitezelor nregistrate n funcie de timp tabelul 1
Clasele de
vitez, km/h
Frecvenele absolute
ale intervalelor
Frecvenele relative
ft(vi)
Frecvenele
cumulate Ft(v/vi)
22.5 27.5
27.5 32.5
32.5 37.5
37.5 42.5
42.5 47.5
47.5 52.5
52.5 57.5
57.5 62.5
62.5 67.5
67.5 72.5
72.5 77.5
77.5 82.5
82.5 87.5
3
5
10
22
31
33
35
31
13
19
10
5
2
0.0132
0.0218
0.0436
0.0961
0.1354
0.1440
0.1528
0.1354
0.1006
0.0830
0.0436
0.0218
0.0087
0.0132
0.0350
0.0786
0.1747
0.3101
0.4541
0.6069
0.7423
0.8429
0.9259
0.9695
0.9913
1.000
m = 229 1.000
Valoarea medie a vitezei este:
v t 1
m1
k
i
mi vi=
1
2293 25 5 30+ 10 35+ ....+ 2 85+( ) 54
km
h
Dispersia vitezei se calculeaz astfel:
D2 v t( )1
m 11
k
i
mi vi v t
( )2=
151km2
h2
iar abaterea ptratic medie este:
D v t( ) D2 v t( ) 12.3km
h
-
13
Valoarea medie poate fi calculat i prin transformarea suprafeei de sub linia vitezei,
respectiv profilul vitezei n suprafaa unui dreptunghi, figura 9.
Fig. 9. Determinarea valorilor medii a vitezei
Procednd astfel i avnd n vedere c:
,respectiv
x0
x
x1
d x1 x0 X
rezult:
(22)
(23)
Valoarea tv , media liniei vitezei este indicat drept vitez de croazier, iar media profilului
vitezei, este numit vitez pe distana sau spaial.
Dispersia n acest caz va fi:
D2 v t( )1
T 0
T
tv t( ) v t
( )2
d1
T 0
T
tv2 t( )
d 2( )v t
0
T
tv t( )
d v t
0
T
t1
d+
sau cu:
i
(24)
t0
t
t1
d t1 t0 T
1
T 0
T
tv t( )
d v t
0
T
t1
d T
D2 v t( )1
T 0
T
tv2 t( )
d v t( )2
v t t0
t
tv t( )
d
t0
t
t1
d
1
T t0
t1
tv t( )
d respectiv,
vx x0
x1
xv x( )
d
x0
x1
x1
d
1
X x0
x
xv x( )
d
-
14
respectiv:
(25)
Dac se d curba vitezei unui autovehicul n funcie de timp sau spaiu, se poate calcula n
analogie cu densitatea de probabilitate, respectiv cu funcia de repartiie, o densitate de frecvene,
respectiv o repartiie de frecvene.
Frecvena de apariie a unei anumite viteze vi este raportul fiecarui interval de timp ti
(respectiv a spaiului xi) pe care apare viteza vi i timpul total de observaie T (respectiv, timpul
total considerat X).
(26)
Frecvena relativ cumulat se obine prin adunare:
(27)
Dac intervalul t, respectiv x, este suficient de mic, se poate nlocui semnul sum prin
semnul integral i t, respectiv x prin dt respectiv dx.
Dac integrarea se face n raport cu viteza v, se obine repartiia de frecven:
(28)
Cantitatea dt/dv, respectiv dx/dv, reprezint derivata n raport cu viteza a funciei inverse a lui
v(t), respectiv v(x).
Deoarece:
(29)
cu precizarea c:
D2 v t( )1
T 0
T
tv2 t( )
d v t( )2
f t vi( )tiT
respectiv, fx vi( )xiX
,
Ft v vi( )v vi( )
tkT respectiv, Fx v vi( )
v vi( )
xkX,
Ft v( )1
T0
v
vdt
dv
d respectiv, Fx v( )1
X0
v
vdx
dv
d,
dF t v( ) f t v( ) dv respectiv, fx v( )1
X
dx
dv,
0
vmax
vf t t( )
d 1 respectiv,0
vmax
vfx v( )
d 1,
-
15
media i dispersia vitezei in acest caz sunt:
(30)
(31)
Corelaii ntre parametrii micrii , dependeni de timp i de spaiu
Din cele prezentate rezult c, ntre densitatea de frecven ft(v), a vitezei msurate n funcie
de timp i densitatea de frecven fx(v), a vitezei msurate n funcie de spaiu se stabilesc o serie
de corelaii.
Dac un autovehicul circul un anumit interval de timp T pe o anumit poriune de drum X,
atunci se poate determina durata n care el se va deplasa cu viteza v:
tv T f t v( )
precum i poriunea de drum pe care va avea viteza respectiv:
Deoarece ntre xv i tv exist relaia
, rezult:
Avnd n vedere c X/T = tv , se obine:
(32)
v t
0
vmax
vv f t v( )
d respectiv, vx
0
vmax
vv fx v( )
d,
D2 v t( )0
vmax
vv v t
( )2 f t v( )
d respectiv, D2 vx( )0
vmax
vv vx
( )2 fx v( )
d,
xv X fx v( )
xv v tv
X fx v( ) T v f t v( ) sau,
fx v( )v
X
T
f t v( )
fx v( )v
v t f t v( )
-
16
Este indiferent dac se cunosc parametrii statistici ai micrii n funcie de timp (respectiv de
spaiu) pentru linia de vitez (respectiv profilul vitezei) sau densitatea de frecvene
corespunztoare.
Din relaia (32) se poate calcula corelaia dintre tv i xv , astfel:
(33)
Se rezolv ecuaia (31):
0
vmax
vv2 f t v( )
d 2v t
0
vmax
vv f t v( )
d v t( )2
0
vmax
vf t v( )
d+
i avnd in vedere relaiile (29) i (30), rezult:
(34)
de unde se obine c:
0
vmax
vv2 f t v( )
d D2 v t( ) v t( )2+
nlocuind acest rezultat n ecuaia (33), se obine corelaia cutat:
De asemenea, i dispersia D2(vx) poate fi exprimat n funcie de parametrii statistici ai
micrii dependeni de timp. Far demonstraie, aceast corelaie este:
(36)
unde:
vx
0
vmax
vv fx v( )
d
0
vmax
vv2
v t f t v( )
d1
v t
0
vmax
vv2 f t v( )
d
D2 v t( )0
vmax
vv v t
( )2 f t v( )
d0
vmax
vv2 2v v t
v t( )2+ f t v( )
d
D2 v t( )0
vmax
vv2 f t v( )
d 2 v t( )2 v t( )2+
0
vmax
vv2 f t
d v t( )2
vx
v t D2 v t( )
v t+
D2 vx( ) t
v t 2D
2 v t( ) v t( )2 D
4 v t( )
v t( )2
t0
vmax
vv3 f t v( )
d
-
17
wx1
X x0
x1
xw x( )
dx0
x1
xdt
dx
d
x0
x1
x1
d
t0
t
t1
d
x0
x1
x1
d
T
X
1
v t
wt1
T t0
t1
tw t( )
d
Pentru unul i acelai grafic de micare, valoarea medie i dispersia micrii ca funcie de
timp se deosebesc de cele corespunztoare micrii ca funcie de spaiu. Acest lucru iese mai
bine n eviden la analiza unei deplasri cu staionri, figura 10. Durata staionrilor trebuie s
fie luat n considerare la calculul vitezei de croazier, ceea ce nu este cazul la calculul vitezei
spaiale.
Fig. 10. Diagrama micrii cu staionri
Mrimea vitezei spaiale este independent
de durata staionrii autovehiculului ntr-un
punct al poriunii analizate. Viteza spaial (pe
poriune) poate fi utilizat n cercetrile la care
se urmrete eliminarea staionrilor (cum ar fi
reducerea timpului de ateptare la semafoare).
n continuare poate fi studiat variaia
timpului de micare n raport cu drumul
parcurs sau ncetineala w, ca funcie de spaiu
sau de timp.
Valorile medii corespunztoare se calculeaz, lund n considerare c t1 - t0 = T i x1 - x0 = X,
cu relaiile:
i
Cu acestea, valorile medii ale vitezei i ncetinelii pot fi scrise sub forma:
vx 0
X
xv x( )
d
0
T
tw t( )
d
v t 0
T
tv t( )
d
0
X
xw x( )
d
si
-
18
wx 0
X
xw x( )
d
0
T
tv t( )
d
wt 0
T
tw t( )
d
0
X
xv x( )
d
Deci, reciprocitatea exist nu numai ntre mrimile vitezei v ca funcie de timp i mrimile
ncetinelii ca funcie de spaiul parcurs, ci i ntre valorile medii ale vitezei n funcie de timp i
ncetinelii ca funcie de drum.
Dac se consider un autovehicul care demareaz cu acceleraie constant de la v = 0 la v =
vmax i adoptnd t0 = 0 i x0 = 0 se obin urmtoarele relaii de calcul pentru parametrii cinematici
ai micrii.
v t( ) a t aT vmax
x t( )1
2at2
v2
2a t x( )2x
a
v x( ) 2ax 2ax vmax
w t( )1
v t( )
1
atw x( )
1
v x( )
1
2ax
n continuare, integralele ce intervin n calculul valorilor medii vor fi:
0
T
tv t( )
d0
T
tat
d1
2aT2
vmax T
2
0
X
xv x( )
d0
X
x2ax
d2
3X vmax
0
X
xw x( )
d
0
X
x1
2ax
d2X
a
0
T
tw t( )
d
0
T
t1
at
d1
alnT +( )
iar mediile devin:
v t vmax T
2Tvx 2 X vmax
3X
2
3vmax
wx 2T
vmax T
2
vmaxwt
T
-
19
III. DEPLASAREA UNUI NUMR OARECARE DE VEHICULE PE DRUM
Dac se deplaseaz mai multe autovehicule pe o poriune oarecare de drum se poate vorbi
despre un flux rutier sau un curent de circulaie. n cele de urmeaz se neglijeaz existena i
influena nodurilor de circulaie (intersecii, piee, puncte de intrare pe autostrzi etc) i ca
urmare, se va studia desfurarea traficului rutier (a circulaiei autovehiculelor) pe o anumit
poriune de drum.
Traiectoriile (liniile de micare) ale elementelor singulare (autovehicule) ale fluxului rutier
pot s se intersecteze, cnd sunt posibile depirile, figura 11.
Fig. 11. Observaii locale i momentane asupra fluxurilor de trafic
n baza figurii 11 se poate
spune c msurtorile
efectuate asupra unui
parametru de circulaie ntr-o
seciune transversal precis
pe un anumit interval de timp
se numesc observaii locale i
msuratorile efectuate la un
moment precis determinat pe
un interval de drum se numesc
observaii momentane.
Tratarea determinist a unui flux rutier (curent de circulaie) necesit cunoaterea exact a
micrii fiecrui autovehicul n parte. Prin aceasta pot fi redai parametrii de circulaie ai
autovehiculelor n orice moment i n orice loc; de asemenea se poate determina micarea
fiecrui autovehicul n parte, ntruct orice automobil, la un moment dat se afl ntr-un loc
precis.
Numrul de factori care influeneaz desfurarea traficului rutier este att de mare, nct
deplasarea autovehiculelor pentru un observator exterior are un caracter ntmpltor. n felul
acesta, circulaia rutier se definete ca un proces stohastic i studierea parametrilor caracteristici
este posibil numai cu un anumit grad de probabilitate. Deci, pentru studiul fluxurilor rutiere este
necesar s se apeleze la teoria probabilitilor i statistica matematic.
-
20
IV. PARAMETRII CE DESCRIU FLUXURILE DE AUTOVEHICULE IN MICARE
4.1. Obinerea fluxului unitar prin msurtori locale
Fig. 12. Determinarea fluxului unitar prin msurtori locale
Dac se observ un flux rutier ntr-o
seciune de msurare precis xi, ntr-un
interval de timp t i se noteaz n mod
curent timpul la care trece un autovehicul
i implicit cnd suma autovehiculelor
)(tix
care au trecut crete cu o unitate,
figura 12, atunci )(tix
se numete
proces stohastic cu creteri cu numere
ntregi sau flux unitar.
Raportul:
(37)
sau [numrul autovehicule/interval de timp] se numete tria circulaiei autovehiculelor. Aceasta
este definit numai dac se cunoate intervalul de timp n care s-a observat mulimea M de
autovehicule. Extrapolarea pe intervale de timp mai lungi sau mai scurte este posibil cu anumite
erori.
Trecnd la limit se obine:
(38)
[autovehicule/unitate de timp], care se numete intensitatea fluxului rutier n poziia xi. n
general, intensitatea fluxului rutier este funcie de timp i, ca urmare, procesul este nestaionar n
timp. Dac intensitatea nu depinde de timp, procesul este staionar.
Mrimea )(tix
poate fi interpretat ca probabilitatea cu care ntr-un interval de timp orict
de mic vor trece prin xi unul sau mai multe autovehicule.
Cnd fluxul rutier nu este prea puternic i intervalul de timp tinde spre zero, probabilitile
P[M(xi, t, t)=1] dispar i:
q
xi
ti( ) xi
t0( )
t
M xi t0, t,( )t
0t
P M xi t, t,( ) 1( )t
xit( )lim
-
21
xit( )
0t
P M xi t, t,( ) 1( )t
lim
Dac procesul este staionar n intervalul de timp t i dac ix
= const., atunci valoarea
probabil (medie) c n acest interval vor apare M(xi, t, t) autovehicule este:
[autovehicule]. (39)
Fig. 13 Fluxul unitar n procese staionare
Fig. 14 Fluxul unitar ca funcie de timp i spaiu din msurtori locale
Procesul staionar poate fi recunoscut
dup forma fluxului unitar )(tix
, figura 13,
procesul poate fi considerat staionar pentru
intervalde de timp n care )(tix
nu deviaz
semnificativ de la o dreapt de ecuaie kt +
ak. Dac fluxul unitar se observ n mod
continuu de-a lungul unei anumite poriuni,
atunci se obine (x, t), ca funcie de timp i
spaiu, figura 14. Din aceast reprezentare
rezult c, dac se observ )(0tx la x0 i
)(tix
la xi (ncepnd cu acelai autovehicul,
figura 15) atunci se observ mulimea de
autovehicule care, la un moment dat ti sunt n
intervalul de spaiu x = xi x0, adic:
N(ti, x0, x) = )(0 ixt - )( ix ti ,
care reprezentat grafic n funcie de spaiu are forma din figura 16.
Raportul:
(40)
se numete densitatea fluxului rutier sau densitatea circulaiei i este definit numai dac se
cunoate distana x pe care s-a observat mulimea N de autovehicule.
Trecnd la limit rezult:
Q M( ) t
K
xi
ti( ) x0
ti( )
x
N ti x0, x,( )x
-
22
(41)
care se numete concentraia fluxului rutier la momentul ti.
Fig. 15 Determinarea mulimii de vehicule pe distana x
Fig. 16 Diagrama fluxului unitar n funcie de spaiu
Dac concentraia fluxului rutier depinde de drum, procesul este nestaionar n funcie de
spaiu i dac )(tkit
= const. procesul este nestaionar.
Produsul dxxkit
)( poate fi interpretat ca probabilitatea cu care pe distana dx la timpul ti,
vor trece unul sau mai multe automobile.
Dac probabilitaile P[N(ti, x, x)>1] dispar, cnd intervalul x tinde spre zero, se obine:
kti 0x
P N ti x, x,( )( )x
lim
ntre K i k exist relaii analoage cu cele ntre q i .
4.2. Obinerea fluxului unitar prin msurtori momentane
Dac la un moment dat ti se observ autovehiculele ce se mic pe distana x (figura 11) (de
exemplu, cu ajutorul unei fotografii aeriene) i se noteaz pe axa spaiului locul n care un
autovehicul mrete cu o unitate suma autovehiculelor )(xit
nregistrate deja, atunci i )(xit
este un proces stohastic cresctor cu numere ntregi, figura 17.
Densitatea fluxului rutier se obine din diferena ordonatelor fluxului unitar )(xit
la un moment
dat, ti:
(42)
0x
P N ti x, x,( )( )x
ktix( )lim
K
ti
xi( ) t0
xi( )
x
N' ti x0, x,( )x
-
23
Fig.17 Determinare fluxului unitar din msurtori momentane
Concentraia fluxului rutier se obine i in
acest caz prin trecerea la limit a relaiei (42).
Prin doua msurtori momentane se pot stabili
)(0xt la timpul t0 i )(xit la momentul ti i
mulimea M a autovehiculelor n punctual xi
pe intervalul de timp t = ti t0, figura 18,
adic M(xi, t0, t)= )(0 itx - )( it xi i de aici:
(43)
Aceast relaie de calcul a triei fluxului rutier difer de relaia (37).
Fig.18 Determinare mulimii de autovehicule pe intervalul t
4.3. Distribuii de viteze
Viteza unui autovehicul este variabil att n funcie de timp ct i de spaiul parcurs. n cazul
n care se analizeaz viteza unei mulimi de autovehicule, se constat c acestea difer foarte
mult ntre ele i ca urmare studiul acestora este posibil numai cu metode statistice.
4.3.1. Distribuia momentan de viteze
Se noteaz cu Gm(v) distribuia de viteze msurate la un moment dat, densitatea de
probabilitate aferent este gm(v) cu gm(v)dv = dGm(v).
q
ti
xi( ) t0
xi( )
t
M' xi t0, t,( )t
-
24
Pentru distribuia discret a vitezelor, mulimii de autovehicule funcia de probabilitate este:
Pm(v = vi); v = vi
dGm(v) =
0; v vi
Msuratorile momentane de viteze sunt imposibil de realizat.
Media aritmetic a vitezelor obinute prin realizarea unor astfel de msurtori este:
vm 1
N1
N
i
vi=
sau dac ni autovehicule se deplaseaz cu viteza: vi(ni/N = Pm(v = vi) = dGm(vi)),
vm
1
N
i
vi dGm vi( )=
,
aceasta permite cea mai bun evaluare a valorii probabile (medii):
(44)
4.3.2. Distribuia local de viteze
Se noteaz cu Gl(v) distribuia de viteze msurate local, de exemplu cu ajutorul unui radar.
Aparatul indic direct valoarea vitezei vi, iar valoarea medie aritmetic va fi:
vl 1
M1
M
i
vi=
1
k
i
vi dGl vi( )=
iar valoarea probabil (medie) a vitezei devine:
(45)
Deosebirea dintre distribuia local de viteze i cea momentan poate fi ilustrat cu urmtorul
exemplu: se consider c pe o pist circular de lungime L se deplaseaz N autovehicule.
Vitezele lor au funcia Gm(v). Se consider c toate autovehiculele au viteze constante, ceea ce
presupune c depirile ar fi efectuate instantaneu. n aceste condiii circulaia autovehiculelor
este liber dac se admite c pe toat lungimea pistei condiiile de drum sunt constante, atunci
Mm v( )0
vvgm v( )
d0
Gm v( )v
d
Ml v( )0
vvg l v( )
d0
Gl v( )v
d
-
25
circulaia este staionar n timp i spaiu. Densitatea fluxului rutier este K = N/L i dintre toate
autovehiculele dk(v) = KdGm(v) au aceeai vitez. n continuare se pune problema determinrii
triei fluxului rutier in punctul x pe intervalul de timp t.
Un autovehicul care se deplaseaz cu viteza v necesit pentru un tur de pist timpul t = L/v.
n acest rstimp se observ c din mulimea parial a autovehiculelor dq(v) care circul cu
aceeai vitez v (sau mai exact cu viteze ntre v i v+v) fiecare autovehicul trece o singur dat
prin punctul x, aceasta mulime este dq(v) = NdGm(v). n unitatea de timp se nregistreaz:
(46)
autovehicule cu viteza v i n total:
(47)
n aceast relaie q i K sunt legate ntre ele prin valoarea probabil (medie) a distribuiei
momentane de viteze. Trebuie ns, s se determine distribuia local de viteze in punctual x.
Probabilitatea de a observa aici un autovehicul cu viteza cuprins ntre v i v + v, deoarece
dq(v) = q . dGl(v), este:
(48)
i valoarea probabil (medie) a vitezei va fi:
Ml v( )0
vvdGl v( )
d1
Mm v( ) 0
Gm v( )v2
d
nlocuind n aceast relaie:
0
Gm v( )v2
d Mm v
2( ) Dmv( )2 Mm v( ) 2+
rezult:
(49)
unde D2mv este dispersia momentan a vitezei.
dq v( )NdGm v( )
t
NvdGm v( )
LKvdGm v( ) vdK v( )
dGl v( )dq v( )
q
KvdGm v( )
KMm v( )
v
Mm v( )dGm v( )
q0
Gm v( )v
d K Mm v( )
Ml v( ) Mm v( )Dmv( )2
Mm v( )+
-
26
Cnd toate autovehiculele au aceeai viteza D2mv = 0 i Ml(v) = Mm(v).
Cu relaia (49) poate fi stabilit distribuia local de viteze cnd se cunoate cea momentan.
Invers, se poate arta c, media aritmetic a distribuiei momentane de viteze este egal cu
media armonic a distribuiei locale de viteze.
Din relaia (46) rezult dq(v) = vdk(v) i din relaia (48) dq(v) = qdGl(v), din egalitatea celor
doua relaii se obine:
(50)
(51)
sau, cu 1/v = w, K = qMl(v).
Dar, avnd n vedere c din (47) q = Mm(v), rezult:
, respectiv: (52)
(53)
Deci reciprocitatea ntre v i w este valabil i n acest caz. Relaia (53) poate fi obinut i
dac n loc de vi se ia direct n considerare wi. Deoarece:
i valoarea probabil (medie) observat la un moment dat t, este:
, rezult
.
K q
0
Gl v( ) q Ml v( )1
v
d
Mm v( )1
0
Gl v( )1
v
d
1
Ml1
v
1
Ml w( )
vm M
1
k
i
1
vimi
=
M
1
k
i
wimi=
1
wl
dK v( ) q1
v dGl v( )
ni
NdGm vi( ) dFm wi( )
Mm w( )0
Fm w( )w
d
wm 1
N1
k
i
wi ni=
1
k
i
wi dFm wi( )=
-
27
Ml w( )0
Fl ww
d wl 1
M1
k
i
wimi=
wimiT
Lni si M
1
k
i
mi=
T
L1
k
i
mi
wi=
Fiindc n intervalul de timp ti = L/vi = Lwi toate cele ni autovehicule care se deplaseaz cu
viteza vi = 1/wi sunt observate o singur dat n punctul x , durata observaiei fiind T, se obine:
(54)
autovehicule cu wi.
,
rezult :
respectiv
sau, deoarece din relaia (54) se
obine:
Din cele prezentate rezult c distribuia vitezei depinde de modul de observaie i msurare.
Dac se studiaz local o seciune transversal pe o pist circular, atunci vitezele mari sunt mai
frecvente, deoarece cu ct un autovehicul se deplaseaz cu o vitez mai mare, cu att mai des va
fi nregistrat n punctul x n intervalul de timp T.
Fig. 19 Densitatea de probabilitate a vitezelor n cazul observatorului mobil
Dac se consider c msurarea vitezelor absolute
se face de ctre un observator mobil, care se
deplaseaz cu vitez constant v0 0, atunci rezult
c densitatea de probabilitate a vitezelor, observate
de acesta, trebuie s fie nul ntr-un punct, figura
19., deoarece vitezele autovehiculelor care au v0 =
0 nu pot fi observate.
miT
tin1
T
L
ni
wi
Cumi
MdGl vi( ) dFl wi( )
wl1
k
i
ni=
1
k
i
ni
wi=
N
1
k
i
ni vi=
1
vm
-
28
Observatorul mobil va nregistra vitezele v < v0 (el depete acest autovehicul, se spune c
depirea este activ Ua) i vitezele v > v0 (cnd observatorul este depait de autovehiculul
respectiv, se spune c n acest caz depirea este pasiv Up). Densitatea de probabilitate n cazul
observatorului mobil se noteaz cu g(v/v0).
Cnd observatorul nu se mic v0 = 0 la msurarea vitezelor, el este depit de toate celelalte
autovehicule n micare. Dac dK(v) = K v dGm(V) este densitatea fluxului parial de
autovehicule ce ruleaz cu viteza v, atunci observatorul nregistreaz, n baza relaiei (46):
Dq(v) = KvdGm(v)
i n total:
q K0
Gm v( ) K Mm v( )v
d
autovehicule pe unitatea de timp (relaia 24).
Cnd observatorul se deplaseaz cu v0, atunci el depaete n mod activ, n unitatea de timp,
autovehiculele cu viteza v < v0.
(55)
Observatorul va fi depit de autovehiculele care se deplaseaz cu viteza v > v0 i
dq v v0,( ) dUp v v0,( ) K v v0( ) dGm v( )
(56)
Numrul totla de depiri active i pasive n unitatea de timp va fi:
Ua p+ v0( ) K0
v0
Gm v( )v0
Gm v( )v v0( )
d+v0 v( )
d
= K v00
v0
Gm v( )0
v0
Gm v( )v0
Gm v( ) v0v0
Gm v( )1
dv
d+v
d1
d
cu
0
Gm v( ) 10
v0
Gm v( )1
d1
d si v0
Gm v( ) Mm v( )0
v0
Gm v( )v
dv
d ,
rezult:
dq v v0,( ) dUa v v0,( ) K v0 v( ) dGm v( )
Ua v0( ) K0
v0
Gm v( )v0 v( )
d
Up v0( ) Kv0
Gm v( )v v0( )
d
-
29
(57)
Din relaiile (55), (56) i (57) poate fi calculat probabilitatea ca un observator mobil ce se
deplaseaz cu viteza v0 s observe o vitez n intervalul v i v+v, care este mai mic ca v0;
aceast probabilitate rezult din raportul dintre numrul de autovehicule care circul cu viteze
ntre v i v+v i numrul total de autovehicule observate:
(58)
i probabilitatea corespunztoare, ca s fie observat o vitez intre v i v+v care este mai mare
ca v0:
(59)
Cu acestea, n general densitatea de probabilitate a acestor distribuii de viteze devine:
(60)
Observaiile locale i momentane sunt numai cazuri limit ale unor observaii cu o vitez v0.
Din relaia (58) dup amplificarea cu 1/v0 rezult:
dGv
v0v>
1v
v0
dGm v( )
Mm v( )
v01 2
0
v0
Gm v( )1v
v0
d+
La o observare momentan v0 = i ca urmare, dup mprirea cu dv, se obine:
Ua p+ v0( ) K v00
v0
Gm v( )0
v0
Gm v( ) Mm v( )+0
v0
Gm v( ) v0 10
v0
Gm v( )1
d
v
dv
d1
d
=
= K 2v00
v0
Gm v( ) v0 Mm v( )+ 20
v0
Gm v( )v
d1
d
K Mm v( ) v0 20
v0
Gm v( )v0 v( )
d+
dGv
v0v>
k v0 v( ) dGm v( )
K Mm v( ) v0 20
v0
Gm v( )v0 v( )
d+
dGv
v0v
-
30
gv
gm v( )
1 20
Gm v( )1
d+
gm v( )
La o observaie local v0 = 0, nlocuind pe v0 = 0 n relaia (60) i innd seama de (48)
rezult:
gv
0
vgm v( )
Mm v( )gl v( )
4.3.3. Parametrii distribuiilor de viteze la variaii ale vitezei
Relaiile de calcul obinute n ipoteza unor viteze de deplasare constante au o aplicabilitate
limitat, deoarece traficul rutier n cele mai multe situaii se desfoar cu viteze variabile. De
aceea este necesar s se studieze influena fluctuaiilor momentane de vitez n jurul vitezei
medii, asupara parametrilor de distribuii de viteze.
Se consider tv = u viteza de croazier a unui autovehicul, vitezele de croazier ale celorlalte
autovehicule vor fi repartizate dup Gm(u), n felul acesta se are n vedere o distribuie
momentan.
Distribuia vitezei v(t), nregistrat n timp pentru un autovehicul, n jurul vitezei de croazier
se consider pentru simplificarea identic pentru toate autovehiculele, indiferent de viteza cu
care se deplaseaz, i este descris de Fut(v):
=0
)( uvvdF ut . (61)
=0
22 )()()( tu
t vDvdFuv (62)
Probabilitatea ca la un moment dat s se observe autovehicule cu viteza cuprins ntre v i
v+v este egal cu probabilitatea ca autovehiculele cu viteza de croazier u s circule n acel
moment cu o vitez cuprins ntre v i v+v.
=0
)()()( vdGvdFwdG mu
tm . (63)
i ca urmare:
-
31
=
=
==0 0 0
)())((()()(u v
m
u
tmm vdGvvdFvvdGvM
i cu relaia (61) se obine:
==0
).()()( uMuudGvM mmm (64)
Pentru calculul valorii probabile (medii) a vitezei momentane nu este neaprat nevoie s se
in seama de forma definit de variaiile de vitez. Pentru ceilali paramentri ai distribuiei sunt
valabile relaii de calcul similare cu (64), n special pentru dispersie.
Se consider al n-lea moment centrat al vitezelor v(t) ale unui singur autovehicul:
=0
)()( vdFuv utn
n ;
se obin urmtoarele valori particulare:
pentru n = 0:
==0
0 1)(1 vdFu
t ,
pentru n =1:
0)()()()(000
1 ====
uuvdFuvvdFvdFuvu
t
u
t
u
t ,
pentru n = 2:
)()()( 2
0
22 t
u
t vDvdFuv ==
.
Al n-lea moment centrat al vitezelor momentane v ale tuturor autovehiculelor de pe un sector
de drum este:
=0
)()]([ vdGvMv mn
mn ,
cu valorile particulare 0 = 1, 1 = 0, 2 = D2(vm).
Pentru vitezele de croazier ale tuturor autovehiculelor, al n-lea moment centrat are forma:
=0
)()]([ udGuMu mn
mn ,
cu 0 = 1, 1 = 0, 2 = D2(vm)
Daca D2(vt) este dispersia vitezelor v(t) ale unui singur aurovehicul n jurul vitezei de
croazier, atunci dispersia medie a vitezelor tuturor autovehiculelor n jurul vitezei de croazier
a fiecruia va fi:
-
32
+==
0 0 00 0
2222 )()()(2)()()()( udGvdFuvvdFuvdFvudGvDvD mu
t
u
t
u
tmtt .
Cu:
=0
)( uvvdF ut i
=0
1)(vdF ut , se obine:
==
0 0
2
0
222 )()()()()( udGuvdFvudGvDvD mu
tmtt =
=0 0
22
0
)()()( udGuudGvdFv mmu
t ,
dar innd cont de relaia (63) vom obine:
=0
22 )()()( udGvudGvdFv mmu
t i ca urmare
=0
2 )()()( wdGvudGvdF mmu
t
i:
+===0 0
22222
0
)]([)()()()()( vMvDvMvdGvudGvdFv mmmmmu
t .
Analog se obine:
0
Gm u( ) Mm u2( ) D2 um( ) Mm u( ) 2+u2
d
Cu toate acestea i innd cont de relaia (64) rezult:
D2
v t( ) D2 vm( ) Mm v( ) 2+ D2 um( ) Mm u( ) 2+ D2 vm( ) D2 um( ) respectiv:
(65)
Dispersia medie a tuturor autovehiculelor D2(vt) este deci mai mic cu cantitatea D2(um), care
reprezint mprtierea vitezelor tuturor autovehiculelor n jurul vitezelor de croazier, dect
dispersia vitezelor momentane a tuturor autovehiculelor, D2(vm).
De asemenea, valorile probabile (medii) ale distribuiilor locale de viteze nu sunt egale. Din
relaiile (48) i (49) rezult:
dGl v( )v
Mm v( )dGm v( )
D2 vm( ) D2 um( ) D2 v t( )+
-
33
Ml v( ) Mm v( )D2 vm
Mm v( )+
nlocuind n aceste relaii valorile date de (64) i (65) se obine:
Ml v( ) Mm u( )1
Mm u( )D2 um( ) D2 v t( )+ + Mm u( )
D2 um( )Mm u( )
+D2
v t( )Mm u( )
+ Ml u( )D2
v t( )Mm u( )
+
n final se poate arta, fr demonstraie, c:
D2 ul( ) D2 um( ) 1D um( )Mm u( )
2
3
Mm u( )+
i:
D2 vl( ) D2 vm( ) 1D vl( )Mm v( )
2
3
Mm v( )+
unde 3 este al 3-lea moment centrat al distribuiei de viteze de croazier i 3 al 3-lea moment
centrat al distribuiei vitezelor momentane n jurul valorii medii corespunztoare.
4.4. Distribuii de intervale
Dup cum s-a mai artat distribuia Poisson poate servi la descrierea trecerii autovehiculelor
printr-un punct. Aceasta nseamn c se poate calcula probabilitatea ca n intervalul constant de
timp t s treac un autovehicul prin seciunea transversal x (sau s se afle n intervalul x, x+
x). Dac timpul (spaiul) se introduce ca parametru variabil (nu neaprat aleator) atunci se
obine un proces aleator. Un proces variabil cuprinde mulimea mrimilor aleatoare care rezult
pentru toate valorile independente, figura.20.
Fig. 20 Obinerea unui proces aleator
Pentru ca un flux rutier s poat fi descris
ntr-un proces Poisson trebuie s fie
ndeplinite condiiile:
1. Fluxul rutier s fie staionar, = const.,
adic probabilitatea ca n intervalul t0+ t va
apare un autovehicul este independent de t0:
][][00 ,
mMPmMP tttt === +
.
-
34
2. Fluxul de autovehicule nu trebuie s aib reacie, adic nu se transmit informaii n
trafic din trecut n viitor, mai precis ][00 ,
mMP ttt =+ este independent de ce s-a
ntmplat nainte de t0.
3. n aceeai seciune transversal nu trebuie s apar simultan mai multe autovehicule.
Deci:
.
n aceste condiii probabilitatea Pt[M=m] devine:
(66)
respectiv, pentru spaiu se scrie:
Funcia de distribuie este:
(67)
Valoarea probabil (medie) este:
Q M( ) t
i dispersia D2M = t deci Q(M) = D2M.
Dac fluxul de autovehicule n micare poate fi descris ca un proces Poisson, atunci
intervalele de timp dintre autovehiculele consecutive observate ntr-o anumit seciune a
drumului sunt distribuite exponenial. Probabilitatea ca n intervalul de timp t s nu treac nici
un automobil este egal cu probabilitatea ca intervalul n timp ntre autovehicule s fie mai mare
sau egal cu t.
Pt [M=0]=t( )0
0!e t e t
0t
P M xi t, t( ) 1>( )t
0lim
Pt [M=m]=t( )m
m!e t ,m=0,1,2,...
Px [N=n]=kx( ) n
n!e kx ,n=0,1,2,...
Pt M m[ ]
mi m( )
t( )mi
mi!e t
-
35
f t( )dP T t[ ]
dt=
Probabilitatea astfel definit cu T (intervalul de timp) ca variabil aleatoare se consider ca o
funcie de distribuie complementar a distribuiei exponeniale.
P T t>[ ] e t
respectiv dac variabila aleatoare, intervalul n spaiu ntre doua autovehicule se noteaz cu X,
atunci:
P X x>[ ] e kx
Deoarece P[T ] = 1 probabilitatea apariiei unui interval de timp T t devine:
P T t[ ] 1 e t
Densitatea de probabilitate corespunztoare este:
0 pentru t < 0
te pentru t 0. (69)
Valoarea probabil (medie) este M(T) = 1/ i dispersia 22 = TD .
Funciile exponeniale vor fi reprezentate ca linii drepte n coordonate semilogaritmice,
figura 21, pentru t = 1/ = M(T) se obine:
P T M T( )[ ] e
e 1 0 368,
Fig. 21 Reprezentarea funciei exponeniale n coordonate semilogaritmice
Aa cum rezult din figura 21, funcia de
distribuie complementar poate fi construit
prin dou puncte.
Utitliznd reprezentarea n coordonate
semilogarutmice se poate vreifica staionarea
unui proces. Dac o parte din punctele obinute
prin masurtori nu se situeaz pe linia te
atunci procesul este nestaionar. ns, pentru
verificarea mai riguroas a staionrii unui
proces, este necesar un studiu mai detaliat.
Traficul liber poate fi nestaionar deoarece = t i k = k(x).
Dac, de exemplu, se admite c n perioada de observare T = T1 +T2 i c n perioada T1
exist un trafic staionar cu 1 i analog n T2 cu 2, atunci probabilitatea ca n intervalul T1 +T2 s
se observe un interval T > t ntre dou autovehicule consecutive va fi:
-
36
(70)
ntr-un sistem de coordonate semilogaritmice aceast funcie complementar de distribuie
nu mai este o dreapt figura 22.
Fig. 22 Graficul funciei de distribuie cu dou intensiti 1 i 2 ale traficului
Pentru un numr oarecare de intervale de timp k , fiecare cu
k se obine n general:
(71)
n cazul traficului rutier se poate ntmpla n mod frecvent ca unii participani la trafic s-i
regleze viteza autovehiculelor dup cea a autovehiculelor din fa, n acest fel se ajunge la
circulaia n coloan. Dac ntre autovehicule se menine aceeai distan, atunci funcia
complementar de distribuie a intervalelor n timp se va reprezenta ca o funcie de salturi figura
23, linia subire.
Fig. 23 Graficul funciei de distribuie a intervalelor n timp la deplasarea n coloan
n realitate intervalele ntre autovehicule ce se
deplaseaz n coloan sunt distribuite aleator.
Considernd i n acest caz c intervalele sunt
distribuite exponenial, i dac se noteaz cu t0
intervalul de timp cel mai mic dintre autovehicule
consecutive atunci funcia complementar de
distribuie va avea forma cu linie groas din figura
23 i va fi exprimat prin relaia:
1 pentru t < t0
P[T > t] =
)( 0tte pentru t t0 .
P T t>[ ]T1 1 e
1 t T2 2 e2 t+
T11 T22+
P T t>[ ]1
k
i
Ti i ei t
=
1
k
i
Ti i=
-
37
q K Mm v( )
K q Ml1
v
q Ml w( )
Valoarea probabol (medie) a acestei distribuii trebuie sa fie egal cu intervalul mediu de
timp dintre dou autovehicule,
i de aici rezult:
'
1 t0
Considernd c mulimea participanilor la trafic se compune din dou submulimi, una din
autovehicule care circul liber i cealalt din autovehicule care circul n coloan, atunci din
suprapunerea celor doua submulimi rezult funcia complementar de distribuie:
(72)
La circulaia n coloan, pentru a se ine seama de faptul c intervalele de timp sunt rare sau
nu apar deloc, ca funcie de distribuie poate fi folosit distribuia Pearson de tipul III cu varianta
distribuiei Erlang.
4.5. Corelaii ntre parametri
4.5.1. Baze teoretice
ntre tria i densitatea fluxului de autovehicule n micare s-au stabilit relaiile de legtur:
Aceste relaii relaii pot fi deduse i pe baza teoriei probabilitilor. La observaia local, n
dreptul seciunii x, probabilitatea ca n intervalul de timp (t1, t + dt) s apar un autovehicul cu
viteza v, este egal cu produsul dintre probabilitatea ca s apar autovehiculul n intervalul dat i
probabilitatea s aib viteza v.
Probabilitatea ca autovehiculul s apar n punctul x n intervalul dt , rezult din definiia
intensitii x(t)dt, iar probabilitatea ca s se deplaseze cu viteza v este gl(v,x,t)=dGl(v,x,t), cu
aceasta probabilitatea cutat este:
t 1
P T t>[ ]T1 1 e
1 t
T1 1 T2 2+
T2 2 e
2
1 t0 2t t0( )
T1 1 T2 2++
-
38
x(t)dtdGl(v,x,t).
Prin analogie, probabilitatea ca un autovehicul cu viteza v s se afle n momentul t, la o
observare momentan, n intervalul de spaiu (x, x+dx) va fi:
Kt(x)dxdGm(v,x,t).
Fig. 24 Graficul micrii unui autovehicul pentru
determinarea corelaiei ntre parametrii fluxului rutier
Cele dou probabiliti, astfel definite,
trebuie s fie egale, figura 24. Deci rezult:
x(t)dtdGl(v,x,t) = Kt(x)dxdGm(v,x,t),
deoarece dx = vdt.
Dac se integreaz pentru toate valorile
vitezei v, se obine:
(73)
x t( ) Ml1
v x t,( )
x Ml w x t,( )[ ] kt x( )
(74)
Sunt valabile i relaii de forma:
qautovehicule
timp
=K
autovehicule
spatiu
vspatiu
timp
respectiv:
Kautovehicule
spatiu
qautovehicule
timp
vtimp
spatiu
din cauza egalitii dimensionale. Semnificaia fiecrui parametru rezult din metoda de
msurare.
4.5.2. Influena metodei de msurare
Msurtorile care se fac asupra unui flux rutier pot fi locale, momentane, cvasi-locale i
cvasi-momentane. Primele dou metode, aa cum s-a mai artat, permit definirea triei,
x t( )0
Gl v x, t,( ) kt x( )0
Gm v x, t,( )v
d1
d
x t( ) kt x( ) Mm v x t,( )[ ]
-
39
intensitii, densitii i concentraiei fluxului de autovehicule n micare. Aceste dou metode de
msurare pot fi organizate n intervale mai mari sau mai mici de timp sau spaiu.
n continuare, se analizeaz pe scurt metodele cvasi-local i cvasi-momentan.
a) Metoda cu msurare cvasi-local.
Aceast metod de msurare se deosebete de cea local prin faptul c se nregistreaz timpul
T necesar parcurgerii unei distane x, relativ scurt, ntre dou detectoare, figura 25.
Fig. 25. Schema msurtorii cvasi-locale
Dintr-o msurtoare cvasi-local se obine q =
M/T pentru una din cele doua seciuni.
Mrimea vi = x/t este de fapt o vitez de
croazier. Cu toate acestea, se definete i aici:
(75)
viteza local medie.
Mrimea:
(76)
este denumit vitez momentan medie i:
(77)
este ncetineala local medie.
Cu aceste mrimi se calculeaz densitatea fluxului de autovehicule n micare,
(78)
vl 1
Mi
vi 1Mi
x
ti
vm M
i
1
vi
M
i
ti
xi
M x
i
tix
t
wl 1
vm
t
x
K q wl
i
1
viT
i
wiT
i
tiTx
M t
T x
-
40
qi
viXt
b) Metoda de msurare cvasi-momentan.
Fig. 25 Schema msurtorilor cvasi-locale i cvasi-
momentane
Deoarece vitezele momentane, ale
autovehiculelor ce circul pe un segment
de drum, practic nu pot fi msurate, se
execut de obicei dou fotografii aeriene la
un interval t relativ mic ntre ele. Aceste
msurtori se numesc cvasi-momentane,
figura 5.26.
Dintr-o astfel de msurtoare se obine
K = N/X i n acest caz se egaleaz viteza
de croazier msurat ntr-un interval mic
de timp cu viteza momentan:
i:
(79)
este denumit viteza momentan medie.
Produsul:
(80)
se numete tria circulaiei.
Deci i din aceste dou metode de msurare pot fi definii parametrii fluxului de autovehicule
n micare.
4.5.3. Corelaia generalizat
Conform relaiei (80) tria circulaiei este :
vixi
t
vm 1
Ni
vi ixi
Nt
x
t
q K vm
i
viXt
Nxi
Xt
-
41
n aceast relaie numitorul corespunde suprafeei cuprinse de msurtoarea cvasi-
momentan n planul x t, figura 26, iar numrtorul reprezint suma drumurilor (spaiilor)
parcurse de cele N autovehicule n acest plan.
La observarea local q = N/T, i amplificnd cu x rezult:
qMx
Tx
n felul acesta numrtorul i numitorul au primit semnificaia de mai sus.
La msurtoarea cvasi-local densitatea circulaiei este ; numitorul xT
x
K ii
=
reprezint o suprafa cuprins la observarea cvasi-local n planul x t, figura 26, iar numitorul
este timpul petrecut de cele N autovehicule n aceast suprafa.
La observarea local K = N/X i amplificnd cu t rezult:
tX
tNK
= ; cu aceasta numrtorul i numitorul obin sensurile de la msurarea cvasi-local.
Dac A este aria unei suprafee oarecare din planul x t i avnd n vedere c =i
ixxM i
=i
ittN se pot defini n general:
A
x
q ii
= , (81)
A
t
K ii
= , (82)
==
i
i
i
i
mt
x
K
qv . (83)
n cazul msurtorilor cvasi-locale i cvasi-momentane intervalele t, respectiv x, pot fi
alese orict de mari, atta timp ct sunt respectate condiiile =i
ixxM i =i
ittN
respectiv n sensul c toate autovehiculele din suprafaa A, parcurg ntreaga distan x sau
rmn n interiorul suprafeei tot timpul t.
Dac se organizeaz mai multe masurtori cvasi-locale, respectiv cvasi-momentane i
impunnd pentru o suprafa singular parial Ar condiiile:
x = Xr, respectiv t = Tr rezult Ar = TXr = XTr i, cu figura 27:
-
42
r
Xr X respectiv,r
T r T, rezulta,r
A r X T,
Fig. 27 Msurtori cvasi-locale i cvasi-momentane cu
divizarea inervalelor
Spaiul parcurs de autovehiculul i pe
suprafaa parial Ar se noteaz cu xir i,
timpul necesar pentru aceasta cu tir.
Din ecuaia (81) rezult:
Dac se noteaz cu xi spaiul parcurs de
autovehiculul i pe suprafaa total a,
=r
rAA i cu ti timpul necesar pentru
aceasta, atunci:
Cu acestea rezult:
r i
xirr
q rA ri
Xi respectiv,r i
tirr
krA ri
Ti,
i avnd n vedere relaiile (81) i (82) se obine n final:
(84)
respectiv:
(85)
unde qr, Kr sunt tria i densitatea circulaiei pe intervale pariale de timp i spaiu.
r
Xir xi respectiv,r
tir Ti,
qi
XiA
r
q rA rA
Ki
TiA
r
KrA rA
r
Xir qr Ar
-
43
Ki
wiT
Definiiile pentru q, K stabilite n cazul msurtorilor cvasi-locale respectiv cvasi-momentane
sunt valabile i n suprafeele A = XT orict de mari, neglijnd condiiile limit impuse pentru
suprafeele pariale Ar, care prevd c diagrama de micare a autovehiculelor trebuie s strbat
aceste suprafee n toat lungimea i toat limea lor. Definiiile rmn valabile indiferent dac
circulaia n interiorul suprafeei este staionar sau nu i n acest caz viteza se calculeaz cu o
formul de forma:
(86)
Fig. 28 Diagrama deplasrii pe distana X a unei coloane
de autovehicule
Dac se urmrete n mod special o coloan
format de M + 1 autovehicule, care parcurg
spaiul x (figura 28), i dac se nlocuiesc
diagramele de micare ale primului i ultimului
autovehicul cu dreptele corespunztoare
vitezelor de croazier v0 i vM, atunci se obine:
A TXX2
2
1
v0
1
vM+
TXX2
2w0
wM
+( )
i de aici:
, pentru X0, rezult q = M/T.
,
vm q
K
i
Xi
i
Ti
qi
TiA
MX
TXX2
2w0
wM
+( )M
TX
2w0
wM
+( )
Ki
TiA
i
Xwi
TXX2
2w0
wM
+( )i
wi
TX
2w0
wM
+( )
-
44
pentru X0, rezult
(87)
Fig. 29 Determinarea deplasrii n intervalul de timp T a
unei coloane de autovehicule
Deci pentru determinarea lui K i mv
trebuie s se in seama de vitezele tuturor
autovehiculelor din coloan, iar pentru calculul
lui q este suficient dac se cunosc vitezele i
ultimul autovehicul.
Coloana format din cele N + 1
autovehicule poate fi urmrit i n intervalul
de timp T (figura 29). n acest caz:
i n continuare:
;
pentru T0 rezult:
;
pentru T0 rezult: K = N/X i:
vm q
K
M
i
wi
A XTT2
2v0
vN
+( )
qi
XiA
i
T vi
XTT2
2v0
vN
+( )i
vi
TT
2v0
vN
+( )
qi
viX
Ki
TiA
NT
XTT2
2v0
vN
+( )N
XT
2v0
vN
+( )
-
45
Aici K depinde numai de vitezele primului i ultimului autovehicul.
4.5.4. Corelaii empirice
Un flux de autovehicule n micare este numit liber dac oricare conductor al
autovehiculelor din flux poate menine constant viteza dorit de el, n limitele condiiilor de
drum i performanelor automobilelor. Acest tip de trafic poate fi imaginat numai pentru un
numr relativ redus de autovehicule care au la dispoziie suficiente piste pentru efectuarea
depirilor.
Vitezele autovehiculelor ce se deplaseaz n trafic liber depind numai de starea drumului i
performanele autovehiculelor. O astfel de vitez este n general numit vitez dorit. Distribuia
acestor viteze dorite depinde de compoziia mulimii de autovehicule participante la trafic i mai
ales de condiiile de drum i de cele mai multe ori este funcie de spaiul parcurs, dar poate fi i
funcie de timp, tiut fiind c sunt ore din zi n care majoritatea conductorilor de autovehicule
doresc s se deplaseze mai repede sau mai ncet. Industria a dezvoltat contunuu automobile care
au perormane superioare capabile s asigure creterea vitezei de deplasare, aceast tendin este
reflectat n figura 30, n care este prezentat creterea n timp a vitezei medii de deplasare.
Fig. 30 Creterea n timp a vitezei de circulaie
Cu ct traficul este mai intens cu att se ntmpl mai
des ca un participant la trafic s fie obligat s
frneze, adic s nu-i menin viteza dorit din
cauza posibilitilor limitate de depire. n acest fel
conductorii auto sunt nevoii sa-i regleze viteza
dup cea a autovehiculului din fa. Ca urmare a
acestui lucru, rezult reducerea vitezei medii de
deplasare odat cu creterea triei traficului. Traficul
n care nu toate autovehiculele pot depi n voie se
numete trafic parial condiionat.
Att timp ct depirile nu pot fi efectuate, dup dorina conducatorului auto, autovehiculele
vor circula n coloan. Prin coloan de trafic se nelege un ir de autovehiculele n micare, n
vm i
viN
-
46
care fiecare conductor, mai puin primul, este obligat s circule cu o vitez impus de
autovehiculul din fa.
Fig. 31 Diagrama teoretic q = f(v)
Reducerea vitezelor medii de deplasare, ncepe de la
trii relativ reduse ale traficului, la nceput aceast
reducere fiind mai mic. Practic se consider c traficul, n
care reducerea vitezei medii este neglijabil, este trafic
liber. Din diagrama q functie de v, figura 31, se observ
cele trei tipuri de trafic.
n orice caz pentru dvv r
( dv - valoarea medie a
vitezelor dorite de conductori) rezult:
(88)
Daca nu mai sunt posibile de loc depirile dorite, deci cnd toi participanii la trafic circul
n coloane (respectiv n coloane, conductorii auto izolai care se deplaseaz ncet pot diviza o
coloan n mai multe coloane) se ajunge la traficul condiionat.
Trecerea de la traficul parial condiionat la cel condiionat se consider c se afl n dreptul
maximului curbei din figura 31, unde:
(89)
Viteza medie corespunztoare se noteaza cu optv i trebuie verificat dac circulaia la tria
maxim este optimal din toate punctele de vedere.
Dac densitatea traficului crete n continuare, vitezele se reduc i, ca urmare, scade i tria
circulaiei. Daca toate autovehiculele stau pe loc, atunci conform definiiei, q = 0.
Fig. 32 Diagrama experimental q funcie de vm
Observaiile au scos n eviden c datorit
desfurrii aleatoare a traficului rutier apar
abateri ale punctelor fa de curba din figura
31, care poate fi considerat o generalizare.
Astfel n figura 32, este prezentat corelaia
dintre q si mv , obtinut prin observaii
efectuate din minut n minut pe o autostrad.
0lim dq
vd
0=vd
dq
-
47
Deci, rezult c msurtorile efectuate pentru stabilirea corelatiei dintre q si v nu sunt
suficiente pentru determinarea triei maxime a traficului.
Comportamentul unui conductor auto poate fi determinat n mare msur de numrul de
autovehicule pe care le vede, n special n faa sa, pe osea i de distana fa de autovehiculul
din faa. Daca di sunt distanele dintre autovehiculele ce se urmresc atunci se obine
(90)
Fig. 33 Dependena dintre densitate i vitez
n urma observaiilor s-a constatat c viteza de
deplasare scade cu creterea densitaii circulaiei,
adic la traficul condiionat, figura 33. Dac n unele
locuri traficul poate fi considerat liber, atunci viteza
medie poate fi admis independent de densitatea
circulaiei i ca urmare se poate scrie ca:
0lim dK
vd (91)
Cnd coloana de autovehicule st pe loc K = Kmax. Densitatea maxim a traficului depinde de
lungimea autovehiculelor i distana faa de autovehiculul din faa. n traficul rutier se poate
admite Kmax = 150 autovehicule/km.
Fig. 34 Corelaia experimental dintre K i vm
n figura 5.34, este prezentat diagrama de
corelaie dintre k i vm, obinut prin observaii.
n acest caz mprtierea este mai redus dect
n cazul corelaiei experimentale dintre q i vm.
Ca urmare a acestui lucru, corelaia dintre K si
vm poate fi utilizat ca baz pentru construirea
diagramei fundamentale a traficului rutier,
chiar dac se masoar q i se calculeaz:
K = qwli.
Nici n acest caz nu rezult cu claritate
viteza medie optim vopt de circulaie.
Graficul corelaiei dintre tria q i densitatea K ale circulaiei se numete diagrama
fundamental a traficului rutier.
dk
1=
-
48
Fig. 35 Diagrama fundamental a traficului rutier
Deoarece n general i
im
K
qw
i= definete
declinarea unui vector ce trece prin originea
sistemului de coordonate i punctual (qi,Ki) din
sistemul de axe rectangulare K (abscisa) i q
(ordonata) atunci figura 35, reprezint
diagrama fundamental a traficului rutier,
dintre parametrii q, K i vm.
n domeniul n care trafucul se consider liber diagrama fundamental urmrete vectorul
mvv care este tangent la diagram n originea sistemului de coordonate. nclinarea vectorului
corespunztor lui qmax reprezint moptv .
Fig. 36 Metodica construirii diagramei fundamentale
Deoarece determinarea din observaii ale qmax
este dificil se recomand construirea
diagramei fundamentale folosind corelaia
dintre K si mv . Considernd c dispersia
punctelor obinute prin observaii se ncadreaz
ntr-un domeniu bine precizat, diagrama
fundamental poate fi construit punct cu
punct, deoarece q = K mv i pentru fiecare ki
tria q este egal cu suprafaa delimitat de
coordonaatele punctului (Ki,vmi ) figura 36.
Orice diagram fundamental trebuie sa indeplineasc urmatoarele condiii:
1. q = 0 pentru K = 0,
2. q = 0 pentru K = Kmax,
3. mv = mv pentru K = 0,
4. mv = 0 pentru K = Kmax,
5. 0lim =dK
vd m , respectiv
mvvdK
dq=lim . (92)
-
49
V. DESCRIEREA FORMELOR DE STARE ALE TRAFICULUI RUTIER
5.1. Traficul rutier liber
Aceast form de trafic rutier apare atunci cnd autovehiculele n micare nu se stnjenesc
ntre ele. De aici, rezult c procesele de micare n funcie de timp i spaiu sunt independente
ntre ele.
Dac intensitatea (x,t) ntr-un punct X este funcie de timp, atunci i concentraia va fi
funcie de timp. Dac concentraia nu ar fi dependent de timp ar rezulta:
0),(=
t
txk. (93)
Derivnd n raport cu timpul relaia
k x t,( ) x t,( ) Ml w x t,( )[ ]
se obine:
),()],([
)],([),(),(
txt
txwMtxwM
t
tx
t
txk ll
+
=
. (94)
Membrul drept al acestei ecuaii poate fi egal cu 0 numai dac ntre intensitate i viteza
medie exist o dependen funcional, dar acest lucru contrazice noiunea de trafic liber.
n acelai mod rezult, din dependena de spaiul parcurs al intensitii, o dependen de
spaiu a concentraiei. Dac ),( tx i k(x,t) sunt dependente de timp i spaiu, atunci traficul va fi
nestaionar n timp i spaiu.
Dac concentraia spaiului este independent de timp, atunci trebuie ca intensitatea s fie
dependent i de spaiu, aa cum rezult din ecuaia diferenial a continuitii:
0),(),(=
+
t
tx
t
txk .
Dac se realizeaz staionarea complet n timp i spaiu, atunci rezult c:
(x,t) = = const.
k(x,t) = k = const.
v(x,t) = v = const.
Cnd viteza este funcie de spaiu i intensitatea este independent de aceasta, concentraia va
fi funcie de spaiu deoarece,
d x( )
dx
dk x( )
dxMm v x( )[ ]
dMm v x( )[ ]
dxk x( )+ 0
n acest caz staionarea va fi funcie numai detimp, adic:
(x,t) = = const.
-
50
k(x,t) = k(x)
v(x,t) = v(x)
La un trafic staionar n spaiu se obine:
(x,t) = (t).
k(x,t) = k(t)
v(x,t) = v(t)
i n baza ecuaiei continuitii rezult concentraia independent de timp:
k(t) = k = const.
n aceast situaie, din relaiile (93) i (94) rezult c i intensitatea i viteza vor fi
independente de timp, ceea ce nseamn c la traficul rutier liber staionarea n timp este
echivalent cu staionarea complet.
Fig. 37 Determinarea poziiei unui autovehicul n
traficul liber
ntre parametrii care descriu traficul liber n
diferite puncte ale planului x t pot exista
corelaii diferite. La nceput, dac se cunosc
timpul necesar parcurgerii intervalului (x, x+dx)
i intensitatea n seciunea x se poate calcula
valoarea probabil (medie) a mulimii de
autovehicule care se afl pe segmentul x. Un
autovehicul care la momentul t r are viteza v =
x/r = const., n punctual x , la momentul t va fi
n punctul x+x, figura 37.
Un autovehicul care la momentul t-r are n punctul x viteza vi < v, respectiv are timpul de
deplasare ri = x/vi > r, la momentul t se va afla n interiorul intervalului x. (Aceasta
presupunere rmne valabil i n cazul deplasrii autovehiculelor cu vitez variabil, dac se ia
n considerare viteza de croazier vt).
Probabilitatea ca un autovehicul s soseasc n intervalul de timp (t-r, t-r+dr) este x(t-r)dr.
Dac densitatea de probabilitate a timpilor de rulare r(x,t) este f(r,x,t) i F(r,x,t) este funcia de
distribuie corespunztoare, atunci probabilitatea ca timpul de rulare al unui autovehicul s fie
cuprins ntre r i r+dr este:
f(r,x,t) = dF(r,x,t)
i probabilitatea ca timpul de rulare a unui autovehicul s fie r(x,t) > r va fi:
r
rf r' x, t,( )
dr
F r' x, t,( )1
d 1r
r
F r' x, t,( )1
d 1 F r x, t,( )
-
51
Cu acestea, probabilitatea ca un autovehicul s soseasc n intervalul (t-r, t-r+dr) i s
necesite un timp de rulare r(x,t) > r pentru parcurgerea lui x va fi:
(95)
Dac se iau n considerare toate intervalele de timp posibile, nu numai intervalul (t-r, t-r+dr)
atunci integrarea relaiei (95) peste toi timpii r conduce la obinerea mulimii probabile (medie)
de autovehicule pe x:
(96)
Cnd traficul este independent de timp (x = const.) se obine:
M N x x,( )[ ] x0
r1 F r x,( )[ ]
d
Deoarece valoarea probabil a variabilei aleatoare r este definit ca fiind:
M R( )0
r1 F r x,( )[ ]
d
se obine:
(97)
n mod analog se obine:
M M x t, t,( )[ ]0
s1 F s t, x s,( )[ ] kt x s( )
d
unde s este spaiul parcurs. Pentru cazul staionaritii n spaiu se obine valoarea probabil a
mulimii de autovehicule ce vor sosi n intervalul de timp t:
(98)
Dac se cunoate valoarea parametrului respectiv k ntr-un punct x sau la momentul t i
distribuia vitezelor sau a timpilor de rulare, se pot calcula aceti parametri n punctual x+x,
respective la momentul t+t. Considernd c gl(v)dv = dGl(v) este probabilitatea apariiei unui
autovehicul cu viteza ntre v i v+dv n punctul x, atunci produsul,
x t r( )dr[ ] 1 F r x, t r,( )[ ]
M N t x, x,( )[ ]0
r1 F r x, t r,( )[ ] x t r( )
d
M N x x,( )[ ] xM R( )
M M t t,( )[ ] ktM S( )
-
52
x(t) dt dGl(v),
este probabilitatea ca ntr-un interval (t, t+dt) s apar un autovehicul cu viteza cuprins ntre v i
v+dv n punctul x.
Cnd autovehiculul merge cu vitez constant r = x/v i:
x x+ t( )
0
Gl v tx
v,
x tx
v
d
n mod asemntor se obine:
kt t+ x( )0
Gm v x vt,( )kt x vt( )
d
Dac la viteze oarecare se iau n considerare timpii de parcurgere r i drumurile parcurse s,
atunci se obine:
x x+ t( )0
Fx t r( )
d r x, t r,( )
respectiv:
kt t+ x( )0
Fkt x s( )
d s t, x s,( )
Pentru staionaritate se obine:
x x+ t( )0
Fx t r( )
d r x,( )
i:
kt t+ x( )0
Fkt x s( )
d s t,( )
Fig. 38 Schema de calcul a numrului de depiri n
traficul liber
Pentru traficul liber, dac se cunoate
funcia de distribuie F(s,t,t,x) a spaiilor
parcurse ntr-un interval de timp, se pot calcula
numarul de depiri, figura 38.
Presupunnd c n interiorul suprafeei luate n
considerare din planul x t liniile de micare
au cel mult un punct de ntretiere, adic
depirii autovehiculului B de ctre
autovehiculul A nu-i urmeaz depirea lui A
de ctre B, atunci numrul depirilor efectuate
-
53
de un autovehicul cu timpul de micare r0 este egal cu numrul interseciilor liniei lui de micare
cu liniile de micare ale celorlalte autovehicule, admind c aceste linii de micare sunt dreptele
corespunztoare vitezei de croazier.
Un autovehicul, care la momentul t0 sosete n punctul x i care parcurge intervalul (x, x+x)
n timpul r0 va depi n acest timp toate autovehiculele mai lente, cu r > r0, care au recut
naintea lui cu timpul de parcurs r n intervalul de timp (t0-r+st) prin x, figura 38. Numrul
mediu de autovehicule depite este:
t0 r r0+
t0
Fx t( )dt
d r x, x, t,( )
Pentru calculul numrului de depiri n cazul general al traficului liber, care este nestaionar,
se ajunge la relaii complicate. De aceea n continuare F(r,x,x,t) i intensitatea se vor
considera ca fiind independente de timp. n aceste condiii numrul de depiri active ale unui
autovehicul n timpul de micare r (r > r0) va fi:
(99)
i numrul de depiri pasive ale autovehiculului cu r (r < r0) va fi:
(100)
De aici rezult numrul total de depiri active i pasive:
(101)
respectiv:
(102)
ncetineala w s-a definit ca timpul necesar pe o poriune de drum. De aici, rezult c n cazul
analizat ncetineala este o mrime local sau cvasi-local i c distribuia timpilor de parcurs este
identic cu distribuia ncetinelilor. n continuare, se poate determina numrul de depiri active
sau pasive pe unitatea de drum parcurs ale unui autovehicul cu w0:
t0 r r0+
t0
tdF r x, x,( )
d dF r x, x,( )t0 r r0+
t0
t1
d dF r x, x,( ) r r0( )
t0 r r0+
t0
tdF r x, x,( )
d dF r x, x,( ) r0 r( )
M Da r0( )[ ] 0
Fr r0( )
d r x, x,( )
M Dp r0( )[ ] 0
r0
Fr0 r( )
d r x, x,( )
-
54
(103)
respectiv:
(104)
Analog se obine, din distribuia spaiilor parcurse ntr-un interval de timp, numrul de
depiri active sau pasive pe unitatea de timp al unui autovehicul ce se deplaseaz cu v0:
(105)
respectiv:
(106)
5.2. Traficul parial condiionat
Fluxul de autovehicule n micare n cadrul cruia nu se pot efectua oricnd depirile
formeaz traficul parial condiionat. Descrierea matematic este dificil i nc nu este complet
rezolvat. n cele ce urmeaz se prezint doar modul de punere al problemelor.
S-a artat c produsul k(x,t)dx poate fi interpretat, n anumite condiii niiale, ca
probabilitatea ca n momentul t s existe un autovehicul n intervalul spaial (x, x+x) orict de
mic ar fi acesta. Dac G(vopt) este distribuia vitezelor opionale, cu care ar circula autovehiculele
n condiiile traficului liber, atunci probabilitatea ca la un moment dat s existe un autovehicul n
intervalul (x, x+dx) cu viteza opional ntre vopt i vopt+dv este
fw(x,t,vopt)dxdv = k(x,t)dxdG(vopt). (107)
M Da w0( )[ ] w0
Gl w( )w w0( )
d
M Dp w0( )[ ] 0
w0
Gl w( )w0 w( )
d
M Da v0( )[ ] k0
v0
Gm v( )v0 v( )
d
M Dp v0( )[ ] kv0
Gm v( )v v0( )
d
-
55
ns n cazul traficului parial condiionat, distribuia vitezrlor reale g(v) este diferit de
distribuia vitezelor opionale i atunci probabilitatea sa existe un autovehicul n intervalul (x,
x+dx) cu viteza ntre v i v+dv va fi:
f(x,t,v)dxdv = k(x,t)dxdG(v). (108)
Avnd n vedere definiia concentraiei se obine:
(109)
Problema care se pune este cum variaz f (deci concentraia i/sau viteza) n timp. Aceast
variaie tf / poate fi conceput ca fiind format din 3 componente:
1. Se observ autovehiculul cu viteza cuprins ntre v i v+dv. Aa cum rezult din
figura 39 sunt n intervalul (x, x-dx) vor trece prin seciunea x la momentul t+dt, acestea sunt
n numr de f(x,t,v)dxdv. Deci n dreptul lui x n timpil dt trec f(x,t,v)dxdv = vf(x,t,v)dtdv
autovehicule. Corespunztor, vor prsi seciunea dx n timpul dt, vf(x+dx,t,v)dtdv
autovehicule.
Fig. 39 Schema de calcul pentru determinarea
variaiei n timp a concentraiei (vitezei)
Prin urmare, rezult:
dtdvvtdxxvfdtdvvtxvfdtdxdvt
f),,(),,( +=
i de aici:
dx
vtdxxfdtdvvtxfv
t
f ),,(),,( +=
, (110)
x
vtxfv
t
f
= ),,(
.
Deoarece v = const., aceast variaie implic i modificarea concentraiei n timp, ceea ce
este posibil dac exist i o modificare n spaiu a intensitii, n baza teoriei continuitii.
Pentru aceasta se va nota variaia descris de relaia (110) cu contt
f
(cont = teoria
continuitii).
vopt 0
vfw x t, vopt,( )
dv 0
vf x t, v,( )
d k x t,( )v 0
G1
d v( ) k x t,( )
-
56
2. Dac unele autovehicule sunt incomodate de altele care au viteze mai mici i nu
pot s-i pstreze viteza optimal, atunci acest fapt va fi considerat o interaciune. Numrul
probabil de autovehicule care intr ntr-o astfel de interaciune cu alte autovehicule, ce se
deplaseaz cu viteza v0, este egal cu produsul dintre numrul de autovehicule cu v > v0 i
probabilitatea (1-p), ca aceasta s nu poat depi. Probabilitatea de depire p este funcie de
gradul de ncrcare a arterei rutiere, la circulaia n ambele sensuri, aceast probabilitate este
funcie i de componentele circulaiei din sens opus, de starea drumului, de condiiile
atmosferice etc. Pentru simplificare se consider c aceast probabilitate este constant.
La modificrireduse ale lui k(x,t) numrul probabil de autovehicule cu v > v0 va fi:
M Dp v0( )[ ] v0
Gm v( )v v0( )k x t,( )
d ,
deoarece f(x,t,v)dv = k(x,t)dGm(v) rezult:
M Dp v0( )[ ] v0
vv v0( )f x t, v,( )
d .
Numrul total de autovehicule care intr n interaciune, n intervalul de timp dt, cu
autovehiculul ce se deplaseaz cu v0 este:
1 p[ ]v0
vv v0( )f x t, v,( )
d
dt
Deoarece la momentul t pe distana dx se afl n total f(x,t,v0)dxdv autovehicule cu viteze
ntre v0 i v0+dv, acestea determin interaciuni:
(111)
(depiri pasive ce nu pot fi efectuate). Submulimea de autovehicule din elementul (dt,dx,dv) cu
viteza v0 este f(x,t,v0)dtdxdv i creterea n unitatea de timp cu numrul de autovehicule, care
iniial aveau v > v0 i nu pot depi n intervalul dt pe distana dx, va fi:
(112)
Autovehiculele cu v0 nu numai c mpiedica realizarea depirilor pasive, dar sunt i ele
mpiedicate s execute depirile active, de ctre autovehiculele cu v > v0. probabilitatea acestui
eveniment este tot [1-p]. Deoarece autovehiculele i reduc viteza la v < v0 ele ies din
1 p[ ] dxdvdtv0
vv v0( )f x t, v,( )
d
.),,()(),,(]1[0
00 +
=
vw
dvvtxfvvdtdxdvvtxfpdxdtdvt
f
-
57
submulimea autovehiculelor ce ruleaz cu v0, reducerea numrului de autovehicule n acest caz
este:
= 0
0
00 ),,()(),,(]1[v
w
dvvtxfvvdtdxdvvtxfpdxdtdvt
f.
Variaia total a numrului probabil de autovehicule n elementul (dx,dv) n intervalul de
timp dt este:
=
=
=
+
0 0
00
0
),,()(),,()(),,(]1[v
www
dvvtxfvvdvvtxfvvvtxfpt
f
t
f
t
f
=
0
0 ),,()(),,(]1[ dvvtxfvvvtxfp . (113)
Din relaia (108) rezult:
=00
)(),(),,( vdGtxvkdvvtxvf
dar,
==00
)],([),()(),()(),( txvMtxkvvdGtxkvdGtxvk
i:
=0
),(),,( txkdvvtxf .
Cu acestea, relaia (113) poate fi modificat i rezult variaia n timp a submulimii de
autovehicule ce se deplaseaz cu viteza v0 ca urmare a interaciunilor,
(114)