fizica-mecanica analitica

7/31/2019 fizica-mecanica analitica

1/14

CAPITOLUL 1

MECANICA CLASIC

A. FORMALISMUL LAGRANGEIAN

1. Spatiul configuratiilor

Spatiul mecanicii clasice este euclidian si tridimensional.El reprezint un cadru care contine materia fr a interactionacu ea. Timpul este unidimensional, absolut si fr nici olegtur cu ceva extern. Pozitia unui punct material n spatiueste specificat cu ajutorul razei vectoare r ale creicomponente sunt coordonatele carteziene x, y, z. Derivata la

timp a razei vectoare este vectorul vitez: rdt

rdv

== , iar

derivata la timp a vitezei se numeste acceleratie:

r2dt

r2dv

dt

vda

==== . Pentru a specifica pozitia unui sistem de n

puncte materiale sunt necesare n raze vectoare sau 3n

coordonate.Definitie.Numrul de parametri independenti necesari

pentru cunoasterea univoc a pozitiei unui sistem mecanic estenumit numrul gradelor de libertate ale sistemului.

n cazul descris acest numr este 3n. n generalparametrii independenti care specific pozitia sistemului nusunt neaprat coordonatele carteziene ale punctelor materiale,ci orice alte distante si unghiuri (de exemplu: coordonatelespecifice ,,r sau coordonatele cilindrice z,, , etc.). n multesituatii sistemul mecanic sufer interactiuni cu caracter delegtur adic de limitare impus pozitiilor reciproce alecorpurilor. Legturile sunt produse cu ajutorul unor elemente

fizice ca: firele, articulatiile, tijele, etc. n cazul n care se potneglija frecrile (care ne scot din cadrul mecanicii) si maseleelementelor de legtur, rolul lor se reduce la o micsorare anumrului gradelor de libertate ale sistemului mecanic.

Definitie. Cele s mrimi oarecare s21 q,...,q,q care

specific pozitia unui sistem mecanic (cu s grade de libertate)se numesc coordonatele generalizate ale sistemului mecanic.


2/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________

Derivatele la timpdt

dqq ii

= se numesc viteze generalizate iar

derivatele acestora2dt

q2dq ii

= se numesc acceleratii

generalizate. Experienta, sintetizat n principiuldeterminismului lui Newton, arat c starea initial a unuisistem mecanic (ansamblul pozitiilor si vitezelor punctelorsistemului la un moment dat) determin univoc ntreagamiscare, n sensul de a putea prevedea pozitia sistemului la un

moment ulterior. Din punct de vedere matematic aceastanseamn c acceleratia la un moment dat este determinatunivoc de cunoasterea coordonatelor si vitezelor generalizatela acel moment:

)t,r,r(fr =Aceast ecuatie, postulat de Newton a fost pus la baza

mecanicii clasice . Ecuatiile care leag acceleratiile de viteze side coordonate se numesc ecuatii de miscare. Ele sunt ecuatiidiferentiale de ordinul al doilea. Integrarea lor permite aflareafunctiilor q(t) (numite traiectoriile miscrii sistemului mecanic).Cele 2s constante de integrare necesit cunoastereacoordonatelor si vitezelor generalizate la un moment dat.

Definitie:

Numim spatiul configuratiilor (spatiul luiLagrange) un spatiu reprezentativ s dimensional ale crui axesunt coordonatele generalizate )s,1i(iq = . Un punctreprezentativ n spatiul configuratiilor corespunde unei pozitii asistemului mecanic n spatiul tridimensional la un moment dat.Miscarea sistemului mecanic determin punctul reprezentativs descrie o curb numit traiectorie n spatiul configuratiilor.

2. Principiul minimei actiuni (Hamilton)

Problema fundamental a mecanicii se pune astfel:cunoscnd starea unui

sistem fizic la un moment dat t1, altfel spus cunoscndcoordonatele si vitezele generalizate ale sistemului la acestmoment si dnduse fortele care actioneaz asupra sistemului,s se afle evolutia ulterioar, sau traiectoria urmat de punctulreprezentativ.

Rezolvarea acestei probleme este permis de principiilelui Newton sau, echivalent, de principiul minimei actiuni al luiHamilton, asa cum vom vedea.

8


3/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________Enunt: Orice sistem mecanic este caracterizat de o

functie bine determinat:),t,q,q(L)t,q,...,q,q,q,...,q,q(L

s21s21 =

numit functia lui Lagrange (sau lagrangeianul sistemuluimecanic). Dac la momentele t1 si t2 sistemul ocup pozitii

determinate:

s)1(q,...,)1(q,)1(q)1(q 21 si

s)2(q,...,)2(q,)2(q)2(q 21 , ntre aceste pozitii sistemul se

misc astfel nct integrala:

,dt)t,

t

t

q,q(LS

2

1

=

numit actiune, ia o valoare minim.

Observatii:a. Aceast formulare a principiului este valabil doar pentru

fiecare parte suficient de mic a traiectoriei. Pentru ntreagatraiectorie integrala actiunii trebuie s aib un extrem nuneaprat un minim. De aceea principiul se mai numeste alactiunii extreme

b. n spatiul configuratiilor am reprezentat cu linie plintraiectoria real a sistemului mecanic iar cu linii punctateam reprezentat traiectoriile virtuale. Dac se calculeazactiunea pe traiectoria real se obtine valoarea extrem ncomparatie cu valorile ei pe traiectoriile virtuale.

c. Nu ntmpltor exist si n optic un principiu asemntor:principiul lui Fermat. Acesta afirm c drumul efectivurmat de o radiatie luminoas printrun mediu fizictransparent este o extremal a drumului optic:

( ) =B

A

,ndlBA

unde n este indicele de refractie al mediului iar dl esteelementul spatial.

Pornind de la principiul minimei actiuni se pot deduceecuatiile de miscare ale sistemului mecanic (ecuatiile Euler Lagrange).

3. Ecuatiile Euler Lagrange

9


4/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________Fie un sistem mecanic cu un singur grad de libertate (s=1)

si =2

1

t

t

dt)t,q,q(LS actiunea extrem pe traiectoria real, descris

de functia q(t).Considerm o traiectorie virtual apropiat de cea real,

descris de functia: )t()t(q)t(q~ += unde este o mrimearbitrar constant foarte mic iar )t( este o functie continusi cu derivat continu, aleas arbitrar, care satisface conditiilela capete:

0)2t()1t( == ,astfel nct cele dou traiectorii, real q(t) si virtual )t(q~ scoincid la capete.

Actiunea pe traiectoria virtual devine o functie deparametrul :

t)dt

t

t

,q,(Ldt)t,q~

t

t

,q~(L)(S

2

1

2

1

++==

Pentru ca pe traiectoria real aceast integral s aib

un extremum trebuie satisfcut conditia: 0

0d

ds=

=

.

Dezvoltm n serie Taylor ( )t,q~,q~L , neglijnd termenii deordin superior ce contin ,...3,2 .

( ) dt

t

t

...q

L

q

Lt,q,qL)(S

2

1

+

+

+=

Punem conditia de extremum pentru integral, derivnd nraport cu :

0dt

t

t

q

L

q

L

0d

ds2

1

=

+

=

=

Calculm integrala:

dtq

L

dt

d

t

t

q

Ldtq

L2

1

2

1

t

t1

2

t

t

=

nlocuind si tinnd cont de conditiile la capete ( )0)t()t( 21 == vom obtine:

10


5/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________

0dtq

L

dt

dq

Ldt

q

L

dt

dq

L

d

ds 2t

1t

2t

1t0

=

=

= =

Deoarece este o functie arbitrar ( n acord cuteorema Du BoisRaymond sau teorema fundamental acalculului variational), conditia de anulare a integralei implic:

0q

L

dt

dq

L=

,

numita ecuatia lui Lagrange.n cazul unui sistem cu mai multe grade de libertate

( )1s > , trecerea de la traiectoria real s1,i),t(q i = , la cea

virtual s,1i),t(q i = , implic dependenta actiunii de sparametri i .

),...,,(SS s21 =

iar conditia de extremum s1,i0,0

S

ii

===

, determin

obtinerea in mod analog a ecuatiilor EulerLagrange :

s1,i,0qL

dtd

qL

ii==

Aceste ecuatii contin toat informatia despre evolutiasistemului ntre

momentele t1 si tt . Prin integrarea lor se obtin cele s functii qi(t) ecuatiile traiectoriei. Precizarea celor 2s conmstante deintegrare se face prin cunoasterea coordonatelor si vitezelorgeneralizate la un moment dat.Analiznd forma ecuatiilor EulerLagrange putem deducecteva proprietti pe care trebuie s le aib functia Lagrange:

Dac nmultim functia Lagrange cu oconstant arbitrar, forma ecuatiilor de miscare nu

se schimb (acest fapt este legat de arbitrariulalegerii unittilor de msur). Dac un sistem mecanic este alctuit din

dou prti suficient de ndeprtate pentru cainteractiunea lor s dispar, functia Lagrange asistemului devine egal cu suma functiilor Lagrangeale prtilor izolate:

21r

LLLlim +=

11


6/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________Astfel ecuatiile de miscare ale unui sistem nu vor contine

mrimi referitoare la celelalte sisteme cu care nuinteractioneaz (aditivitatea functiei Lagrange).

Dac se efectueaz o transformare deforma:

)t,q,q(L)t,q,q(L)t,q,q(L += unde )t,q(fdt

d)t,q,q(L =

cu f functie oarecare de clas C2 , forma ecuatiilor de miscarenu se schimb. O astfel de transformare se numestetransformare de etalonare. Actiunea corespunztoare functiei

L:

[ ] [ ],t,qft,qfSdtdt

dtdt)t,q,q(L

dt)t,q,q(LS

1

)1(

2

)2(2t

1t

2t

1t

2t

1t

+=+

==

difer de actiunea S printrun termen constant care disparecnd punem conditia de extrem:

,0SS ==astfel nct forma ecuatiilor de miscare rmne aceeasi.

Functia L depinde doar deii

q,q sieventual de timp dar nu depinde de derivatele deordin superior lui iq .

4. Principiul relativittii n mecanica clasic (Galilei)

Studiul miscrii unui sistem mecanic necesit alegerea unuisistem de referint (un corp rigid de referint cruia i seataseaz un sistem de axe de coordonate si un ceas, solidar cuacesta).

Clasa referentialelor este foarte larg. Exist printre acesteaunele n care spatiul fizic este omogen (toate pozitiile fiindechivalente) si izotrop (toate directiile fiind echivalente) iartimpul curge uniform (toate momentele fiind echivalente).Aceste sisteme de referint se numesc inartiale (S.R.I.). Faptulc nu exist un punct privilegiat n spatiu sau o directieprivilegiat, ca si inexistenta unui moment privilegiat constituieproprietti structurale intrinseci ale spatiului si timpului.

n raport cu sistemele de referint inertiale legile mecaniciicu cea mai simpl form posibil (principiul simplittii logice),Exist si sisteme de referint n raport cu care spatiul esteneomogen si neizotrop iar timpul este neuniform (sisteme de

12


7/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________referint neinitiale). n raport cu acestea legile mecanicii auforme complicate. n cele ce urmeaz vom evita aceste sistemede referint, preferndule pe cele inertiale.

Fat de un sistem de referint inertial este valabil legeainertiei (Galilei): un punct material liber se misc cu o vitezconstant n mrime si directie. Aceast lege contraziceafirmatia lui Aristotel dup care orice miscare se face numai nprezenta unei forte.

Legea inertiei poate fi dedus din consideratii privind formafunctiei Lagrange a unui punct material liber n raport cu unS.R.I. Deoarece spatiul este omogen, izotrop si timpul este

uniform, rezult c functia Lagrange a punctului material izolatnu trebuie s depind explicit de vectorul de pozitie r, dedirectia vitezei v si de timp: )t,v,r(LL . n acest caz ea maipoate depinde de modulul vitezei: )v(LL 2= .

Ecuatiile EulerLagrange exprimate n coordonatecarteziene:

0v

L

dt

dr

L=

se reduc la : ,0v

L

dt

d=

deoarece 0

r

L=

. n acest caz,

.ttanconsvv

)v(L2

v

v

v

)v(L

v

)v(L2

22

2

22

=

=

=

Deoarece 2v

L

este functie doar de vitez, rezult c: ,ttanconsv = adiclegea inertiei.

Dac se cunoaste un sistem de referint inertial, experientaarat c orice alt sistem de referint care are o miscare detranslatie uniform fat de aceasta este tot un S.R.I.. Exist oinfinitate de sisteme de referint inertiale care se miscrectiliniu si uniform unele fat de altele si fat de care legilemecanicii au aceeasi form simpl iar spatiul este omogen siizotrop si timpul este uniform (Principiul relativittii al lui

Galilei).Acest principiu se poate formula si astfel: S considermdou sisteme de referint inertiale, cel deal doilea miscnduse fat de primul cu viteza v . Vectorul de pozitie r au unuipunct material fat de primul S.R.I. este legat de vectorul depozitie r fat de cel deal doilea S.R.I. prin relatia: tVrr +=

Aceast relatie mpreun cu principiul timpului absolut:tt = constituie transformrile lui Galilei. Ele leag

coordonatele spatiotemporale ale unui eveniment (x,y,z,t) fat

13


8/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________

de primul observator inertial de coordonatele )t,z,y,x( aleaceluiasi eveniment fat de cel deal doilea observator.

Principiul relativittii se poate reformula astfel: ecuatiilemiscrii trebuie ssi pstreze forma (s fie invariante) n urmatransformrilor Galilei sau legile mecanicii au aceeasi formn raport cu toate sistemele de referint inertiale.

5. Constructia functiei Lagrange a unui sistem mecanic

Cunoscnd functia Lagrange a unui sistem mecanicputem obtine att ecuatiile de miscare ct si legile deconservare pentru acel sistem. n constructia acestei functiitinem cont de :

Principiul de invariant: n mecanicaclasic ecuatiile de miscare

EulerLagrange trebuie ssi pstreze forma la oschimbare a

reperului inertial; Principiul superpozitiei: lagrangeianul unui

sistem se compune dinlagrangeianii prtilor izolate, din termeni care

corespund interactiilorliniare si termeni ce corespund interactiei fiecrei prti

cu cmpurileexterne; Principiul de corespondent: functia

Lagrange trebuie s fie astfelconstruit nct rezultatele obtinute s coincid cu cele

ale mecaniciinewtoniene;

Proprietti de simetrie fizic: alegereacoordonatelor generalizate s

fie n acord cu propriettile de simetrie fizic astfel nctfunctia L s

aib o expresie ct mai simpl.Vom considera un caz simplu pentru nceput: functia L a

unui punct material liber n miscare fat de un S.R.I.. Dinpropriettile de omogenitate si izotropic spatial si dinproprietatea de uniformitate a timpului rezult c functiaLagrange ar putea depinde doar de modulul vitezei:

)v(LL 2=Vom postula c functia Lagrange n acest caz este o

functie omogen n sensul lui Euler de ordinul nti n v2 .

14


9/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________Definitie: O functie este omogen de ordinul n n

variabila x dac = ),x(f)x(f n fiind un parametru. Dacderivm aceast relatie n raport cu :

)x(fnx)x(d

)x(df

)x(fnd

)x(d

)x(d

)x(df

1n

1n

=

=

si punem 1= , obtinem:

)x(nfxdx

)x(df = teorema lui Euler pentru functia omogen.

In cazul unor functii de mai multe variabile, aceast teoremcapt forma:

)x,...,x,(xnfxx

fk21i

K

1i i

=

=

Aplicm teorema lui Euler functiei L(v2) unde ordinul deomogenitate este postulat a fi egal cu 1:

)v(Lvdv

)v(dL 222

2

=

Derivm expresia de mai sus n raport cu v2 :

222

2

2 dv

dL

dv

dL

dv

dv

dv

dL=

+

si obtinem :

0dv

dL

dv

dv

22

2 =

Viteza fiind arbitrar, rezult c derivata se anuleaz si deci:

ttanconsdv

dL2

==

Prin integrare avem: 2vL = si convenim s notm

constanta2m= unde m reprezint masa inertial a punctului

material .Masa este o mrime de stare a unui sistem, pozitiv definit,

aditiv, constant n timpul miscrii (ultima observatie estevalabil doar n mecanica clasic).

In concluzie, functia Lagrange a unui punct material izolateste:

15


10/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________

2

2mvL = .

Dac considerm un sistem de puncte materiale care nuinteractioneaz, functia Lagrange fiind aditiv:

=

=

N

1i

i2

i

2

vmL

In coordonate carteziene:

)zyx(2

mL 222 ++=

n coordonate cilindrice:

)zrr(2

mL 2222 ++=

n coordonate cilindrice:

)sinrrr(2

mL 222222 ++= .

Vom lua n considerare functia Lagrange a unui sistemnchis de puncte materiale (care interactioneaz ntre ele, darnu si cu mediul exterior).

Interactiunea punctelor materiale se consider

introducnd n functia Lagrange a unui sistem de punctemateriale care nu interactioneaz, un termen care exprimintercatiunea o functie bine determinat de coordonate, acrei form depinde de natura interactiunii: ,...)r,r(U 21 . FunctiaLagrange capt forma:

( ),...r,rU2

vmL 21

N

1i

i2

i =

=

sau L=TU, unde =

=N

1i

i2

i

2

vmT este energia cinetic iar

,...)r,r(U 21 este energia potential a sistemului.

Forma functiei Lagrange pentru un sistem inchis depuncte materiale indic faptul c transformarea tt lasfunctia Lagrange neschimbat si implicit si ecuatiile de miscareneschimbate. Aceasta nseamn c timpul este si izotrop si corice miscare mecanic este reversibil. De asemenea dinfaptul c energia potential depinde doar de pozitiile punctelormateriale la un moment dat rezult c modificarea pozitieiunui punct material se rsfrnge instantaneu asupra tuturorcelorlalte. n mecanica clasic interactiunile se propag cu o

16


11/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________vitez infinit, instantaneu. Aceasta este o consecint aprincipiului timpului absolut si a principiului relativittii.

Ecuatiile EulerLagrange, n cazul functiei Lagrangeexprimat n coordonate carteziene, capt forma:

N1,i,0v

L

dt

dr

L

ii

==

Tinnd cont de forma functiei Lagrange, ele devin:

dt

vdm

r

U ii

i

=

si poart numele de ecuatiile lui Newton.

Cantitatea ii

Fr

U

=

este forta care actioneaz asupra

punctului material i.Dac trecem de la coordonatele carteziene la coordonate

generalizate, functia Lagrange capt forma: ( ) )q(Uq,qTL =.

Observm c n acest caz energia cinetic va depinde side coordonatele generalizate, nu numai de viteze.

Functia Lagrange a unui sistem aflat ncmp de forte exterioare se obtine prin urmtorulrationament . Dac se consider un sistem izolat

format din dou prti A si B care interactioneaz ntreele, miscarea lui B fiind cunoscut (se dau functiile

s,i),t()t(q i 1qi i = functia Lagrange a acestuisistem va fi

( ) ( ) ( )BABBBAAA q,qUq,qTq,qTL +=nlocuind Bq si Bq cu functii cunoscute de timp obtinem:

( ) [ ] [ ]

( ) )t,q(U)t(Tq,qT

)t(q,qU)t(q),t(qTq,qTL

ABAAA

BABBBAAA

+==+=

Termenul )t(TB fiind o functie numai de timp poate fiexprimat ca derivata total la timp a unei alte functii de

timp si deci, n acord cu cea dea treia proprietate afunctiei Lagrange, poate fi exclus din expresialagrangianului:

( ) ( )t,qUq,qTL AAAA = .Aceast functie Lagrange descrie sistemul A n cmpul deforte propus de sistemul B a crui miscare se cunoaste.Spre deosebire de functia Lagrange a unui sistem nchisacum energia potential poate contine explicit timpul.

17


12/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________

18


13/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________19


14/14

MECANICA CLASIC___________________________________________________________________________20

fizica-mecanica analitica

Documents