Mecanică

1. Mecanica punctului material 1.1. Cinematica punctului material Cinematica este un capitol al mecanicii în care se studiază legile mişcării corpurilor, fără a ţine seama atît de cauzele acestor mişcări cît şi de proprietăţile particulare ale corpurilor cum ar fi , de exemplu,forma ,sau dimensiunile lor.

Mişcare mecanică se numeşte schimbarea poziţiilor corpurilor(sau a părţilor lor) unul faţă de altul în decursul observaţiilor. Orice mişcare mecanică poate fi prezentată ca rezultatul superpoziţiei a cîtorva mişcări independente. Această concluzie reprezintă enunţul Principiului independenţii mişcării mecanice. Problema principală a mecanicii constă în determinarea poziţiei corpurilor şi a vitezelor lor în orice moment de timp. Pentru a determina poziţia corpului în orice moment de timp se alege un sistem de referinţă (referenţial) în care se studiază mişcarea corpului dat. Un sistem de referinţă se numeşte un sistem alcateuit dintrun corp de referinţă (poşta centrală,Pămîntul, Soarele,...) un sistem dreptungiular de coordonate legat rigid cu corpul de referinţă pentru a determina poziţia corpului în spaţiu exprimată în metri (m) şi un ceasornic pentru a determina durata mişcării exprimată în secunde (s) (fig.1.1). Rezolvarea problemei principale a mecanicii în cazul corpurilor de dimensiuni şi formă arbitrară este complicată deaceea, pentru simplificarea rezolvării acestei probleme, se întroduce noţiunea de punct material (P.M.) care reprezintă un corp dimensiunele căruia pot fi neglijate în condiţiile problemei date. Capitolul mecanicii în care se studiază legile mişcării corpurilor, fără a ţine seama atît de cauzele acestei mişcări cît şi de proprietăţile particulare ale corpurilor cum ar fi , de exemplu,forma ,sau dimensiunile lor se numeşte cinematică. Orice mişcare mecanică poate fi prezentată ca rezultatul superpoziţiei a două mişcări : una de rotaţie şi alta de rotaţie (fig.2.1).

1.1.2. Mărimi fizice care caracterizează mişcarea mecanică Mişcarea mecanică este caracterizată de: Traectorie: linia descrisă de un punct al corpului în decursul mişcării (fig.3.1).

Raza de curbură R a traectoriei în punctul dat : raza circomferinţei adiacente traectoriei în punctul dat (fig.3.1).

Vector de poziţie (fig. 4.1) : ,

unde sunt vectori unitari ,iar sunt

proecţiile vectorului de poziţie pe axele de coordonate x,y,z (fig. 4.1).

Spaţiul parcurs(distanţă) (fig.5.1) , .

Deplasare (fig.5.1). Viteză. Sensul fizic al vitezei: viteza reprezintă caracteristica cantitativă (măsură) a rapiditîţii variaţiei poziţiei P.M. în spaţiu. Deosăbesc :

Viteza medie a deplasării: ,

Viteză momentană : ;

, deoarece .

Viteză medie a spaţiului parcurs: .

Acceleraţie. Sensul fizic al acceleraţiei: acceleraţia reprezint caracteristica cantitativă (măsură) a rapiditîţii variaţiei vitezei P.M. în spaţiu. Deosebesc :

Acceleraţie medie (fig.6.1) : ,

Acceleraţie momentană : .

1 .1.3. Tipuri de mişcare mecanică

Mişcarea mecanică poate fi : 1. Rectilinie uniformă (într-o singură direcţie): R=∞ (traectoria mişcării este o linie dreaptă)

, , = =const , (a=0).

Distanţa parcursă la mişcarea rsctilinie uniformă este determinată de relaţia

S= t , (1.1)

sau ± , dacă mişcarea are loc dealungul axei absciselor (fig.7.1). 2. Rectilinie uniform variată (într-o singură direcţie): R=∞ , , = const . Formulele cinematice; viteza momentană:

,

sau

± , (2.1)

dacă mişcare este uniform accelerată,sau întîrzîită;

distanţa parcursă: S= ± , (3.1)

sau

± ,

dacă mişcarea are loc delungul axei absciselor;

formula lui Galilei: .

(4.1) 3. Curbilinie ( R≠const ). În acest caz vectorul acceleraţiei are două componente: acceleraţia tangenţială = şi acceleraţia normală (centripetă) (fig.8.1):

, .

Modulul acceleraţiei normale este detreminată de relaţia

, (5.1)

unde esta viteza P.M. în punctul dat , R este raza de curbură a traectoriei în acelaşi punct (fig.8.1) , iar modulul acceleraţiei tangenţiale este

.

4. Circulară ( R=const ). Formulele cinematice:

viteză unghiulară medie ( deplasarea unghulară a P.M. într-o unitate de timp) (fig.9.1) :

,

;

viteza unghiulară momentană :

;

viteza liniară momentană în forma scalară :

, (6.1)

sau în forma vectorială (fig.10.1):

.

Mişcarea circulară poate fi : 1. uniformă , dacă ; Mişcarea circular uniformă este caracterizată de:

deplasarea ungiulară

perioada de rotaţie T (timpul unei rotaţii complete).În acest caz şi atunci pentru viteza unghiulară vom obţine

, (7.1)

deunde pentru perioada de rotaţie obţinem relaţia

;

frecvenţa de rotaţie (numărul de rotaţii complete într-o unitate de timp) determinată de relaţia

, (8.1)

deunde .

2. uniform variată , dacă în intervale egale de timp variaţia vitezei ungiulare este aceeaşi .Variaţia vitezei ungiulare în unitate de timp defineşte aceraţia unghiulatră :

.

Astfel, pentru acceleraţiile tangenţială şi centripetă la mişcarea circulară uniform variată respectiv putem scrie

(9.1)

(10.1)

Formulele cinematicii mişcării circulare uniform variate :

, , (11.1)

Compararea mărimelor cinematice a mişcărilor rectilinie şi circulare a P.M.:

S , , .

1.1.3. Legile fundamentale ale dinamicii punctului material Dinamica este capitolul mecanicii în care se studiază cauzele mişcării corpurilor şi dependenţa acestor cauze de proprietăţile particulare ale corpurilor cum ar fi masa şi impulsul lor. Noţiunea de masă şi de impuls au fost întroduse de către Newton(1686). Masa m a P.M.este o mărime fizică scalară care serveşte ca măsură a cantităţii de substanţă care intră în

componenţa corpului dat (Aegidius , 1200) ,( ), iar impulsul al P.M. este o

mărime fizică vectorială definită ca produsul dintre masă şi viteză (Jean Buridan 1330):

(12.1)

Sensul fizic al noţiunii de masă este stabilit de către principiile dinamicii (legile lui Newton). Mişcarea corpurilor precum şi schimbarea caracterului acestei mişcări este condiţionată de interacţiunea dintre corpuri.În natură există patru tipuri de interacţiuni: 1) gravitaţională (se exercită între tote corpurule); 2) electromagnetică (se exercită între corpuri care dispun de sarcină electrică); 3) puternică (se exercită între particulele elemetare numite adroni); 4) slabă (condiţionează procesele de transformare ale unor particule elementare şi a nucleelor atomilor în alte particule şi nuclee). Pentru a caracteriza cantitativ interacţiunea dintre corpuri a fost întrodusş noţiunea de forţă. Forţa este o mărime fizică vectorială care caracterizează cantitativ acţiunea unui corp asupra altuia . O forţă nu poate fi observată direct , poate fi observat numai efectul acţiunii ei. În dinamică forţa este aceea ce modifică caracterul mişcării. În general însă,forţa nu numai modifică caracterul mişcării dar şi transformă materia dintr-o formă de existenţă în alta . De exemplu , forţele slabe transformă unele particule elementare , sau nuclee în altele. De regulă

forţa se notează prin . Forţa este cunoscută dacă sunt date: modulul forţei , direcţia şi

sensul ei în spaţiu precum şi punctul ei de aplicaţie (fig.11.1) .

Linia de lungul căreia este orientată forţa se numeşte linie de acţiune a forţei, sau suportul forţei. Corpul care nu este supus acţiunii unei forţe exterioare se numeşte corp liber. Principiile fundamentale ale dinamicii P.M. 1. Legea întîia a lui Newton ( principiul întîi sau principiul inerţiei) "un corp liber îşi păstrează starea de repus relativ sau de mişcare rectilinie uniformă atît timp cît nu intrvin forţe exterioare care pot să modifice această stare ". Proprietatea corpurilor libere de aşi păstra starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă se numeşte inerţie deaceea legea întîia a lui Newton se mai numeşte legea sau principiul inerţiei. Inerţia unui corp (P.M.) cantitativ este caracterizată de masa lui, deaceea masa corpului definită mai sus se mai numeşte masă inertă. Legea întîia a lui Newton nu este valabilă în orice sistem de referinţă. De exemplu această lege nu este valabilă pentru corpurile din interiorul unui automobil care frînează brusc.În acst caz corpurile din interiorul automobilului îşi vor schimba starea de repaus faţă de automobi cutoate-că aceste corpuri ,în decursul frînării, nu sunt acţionate de alte corpuri din exterior. Sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei se numesc sisteme de referinţă inerţiale ,iar acele sisteme de referinţă în care acest principiul nu este valabil se numesc sisteme de referinţă neinerţiale. Sistemul de referinţă legat cu suprafaţa Pmîntului este aproximativ inerţial din cauza rotaţiei sale diurne. Cu un grad mai înalt de precizie este inerţial sistemul de referinţă legat cu centrul Pămintului,numit referenţial geocentric. Cu un grad de precizie şi mai înalt inerţial este sistemul de referinţă legat cu centrul Soarelui, numit referenţial heliocentric. 2. Legea a doua a lui Newton : " forţa medie exercitată asupra unui corp este egalăcu variaţia impulsului corpului într-o unitate de timp":

, (13.1 )

deunde

Mărimea fizică determinată de produsul dintre forţă şi durata acţiunii ei se numeşte impulsul forţei . Astfel , o altă formulare a legii a doua a lui Newton este:" impulsul forţei este egal cu variaţia impulsului corpului ". Substituind (12.1) în (13.1) ,vom obţine valoarea momentană a forţei în momentul de timp dat :

(14.1)

Este de menţionat că mai tîrziu (după moartea lui Newton) sa emis ipoteza că masa inertă este o mărime fizică absolută,independentă de viteza corpului şi atunci din relaţi a (14.1) rezultă:

, (15.1)

sau în formă scalară F=ma .

În această formulă prin F se înţelege modulul forţei rezultante care acţionează,iar m este masa corpurilor sistemului acţionat de forţa F. Din ultima relaţiă rezultă unitatea de măsură a forţei :

.

Din legea a doua a lui Newton (relaţia (14.1)) rezultă că,dacă P.M. este liber ,atunci

(16.1)

adică impulsul unui punct material liber rămine consantă în timp. Această concluzie reprzintă enunţul legii conservării impulsului unui P.M. liber, formulat pentru prima dată de către Descartes (1664). 3. Legea a treia a lui Newton (princpiul acţiunii şi reacţiunii) : "orice acţiune provoacă o reacţiune de aceeaşi intensitate şi de sens opus ".

În fig. 12.1 este prezentsat un corp (1), care se află în stare de repus pe o podea (2). Potrivit principiului acţiunii şi reacţiunii forţa

cu care corpul acţionează asupra podelei este egală şi de sens

opus cu forţa cu care podeaua acţionează asupra

corpului ,adică

(17.1)

4. Principiul independenţei acţiunii forţelor : "dacă un P.M. este supus acţiunii a mai

mltor forţe ,atunci fiecare din aceste forţe acţionează independent de

existenţa celorlalte forţe aplicate ". Cu alte cuvinte , "fiecare din forţele ,

aplicate unui P.M.de masa m , acţionează ca şi cînd clelalte forţe nu ar exista ". Prin urmare

forţele imprimă P.M. respectiv aceleraţiile

suma vectorială a cărora

determină acceleraţia rezultantă imprimată P.M. de sistemul dat de forţe. Din ultimele două relaţii rezultă

. (18.1)

Prin urmare "un ansamblu de forţe care acţionează asupra unui P.M. poate fi

înlocuit cu o forţă rezultantă ,egală cu suma vectorială a forţelor date". Acestă concluzie ,care rezultă din principiul independenţei acţiunii forţelor, reprezintă enunţul principiului superpoziţiei acţiunii forţelor.

5. Principiul relativităţii în mecanica clasică ( << ).

Enunţul acestui principiu formulat de către Galilei (1632): ˝legile fenomenelor mecanice în interiorul unui referenţial inerţial rămîn nescimbate la translaţia uniformă a acestuia faţă de orice alt referenţial inerţial˝ .Cu alte cuvinte: ˝orice experienţă mecanică efectuată în interiorul unui referenţial inerţial nu poate pune în evideţă mişcarea rectilinie şi uniformă ori starea de repaus relativ a acestuia faţă de alt referenţial inerţial˝. Din acest principiu rezultă: toate referenţialele inerţiale sunt echivalente din punct de vedere mecanic;

transformările lui Galilei ( relaţii de legatură între coordonatele mişcării determinate în două referenţiale inerţiale). Aceste relaţii de transformare pot fi obţinute folosind figura 13.1

în care sunt prezentate două referenţiale inerţiale: unul imobil S şi altul mobil S΄care se mişcă rectiliniu şi uniform cu viteza , pentru simplitate, dealungul axei absciselor. Ţinînd cont de faptul că timpul t în mecanica clasică este absolut (durata unui fenomen fizic este aceeaşi în orice referenţial inerţial) relaţiile de transformsre ale lui Galilei în formă vectorială şi in proecţii respectiv sunt:

;

. (19.1)

Derivînd relaţia pentru coordonate în formă vectorială ,vom obţine legea compunerii vitezelor în mecanica clasică:

, (20.1)

unde este viteza cu care mobilul se mişcă în rsferenţialul mobil .

Dat fiind faptul că din ultima relaţie rezultă :

(21.1)

Am obţinut astfel că legea a doua alui Newton este invariantă faţă de transformările lui Galilei.Această concluzie are un caracter general pentru toate fenomenele mecanice, adică toate fenomenele mecanicii decurg lafel în toate referenţialele inerţiale deaceea nici o experienţă mecanică efectuată într-un referenţial inerţial nu poate evedienţia starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă a acestuia. Astfel relaţia (21.1) poate fi considerată ca expresia matematică a principiului relativităţii în mecanica clasică.

6. Legea atracţiei universale ( forţa de greutate, greutatea corpului,cîmpul gravitaţional de forţe) În mecanică deosăbesc mai muilte tipuri de forţele centripetă centrifugă, de frecare , de elasticitate. Comun pentru aceste forţe este faptul că ele se realizează numai în anumite condiţii specifice pentru fiecare din ele. Existş însă o forţă care se manifestă întotdeauna, oriunde în tot Universul . Aceasta este forţa atracţiei universale . Fiind inspirat de ideile lui Galilei, Gilbert, Kepler ,Hooke , Newton ajunje la concluzia (1685) că ˝ între orice două corpuri de masa M şi m aflate la distanţa r unul de altul (de exemplu masa Pămîntului şi masa m a nui P.M. care se află la distanţa r de centrul Pămîntului) există o forţă F( ) de atracţie ,numită universală˝ (fig.14.1), determinată de relaţia

,

(22.1)sau în formă vectorială

,

(23.1)

unde K=6,7 10 este constanta universală. Acestă concluzie a lui a lui Newton

reprezintă enunţul legii atracţiei universale , iar forţa universală ,astfel definită, se mai numeşte forţă gravitaţională. Relaţia (22.1) , sau (23.1) reprezintă expresia matematică a legii atracţiei universale respectiv în forma scalară sau vectorială . Forţa gravitaţională în apropierea suprafeţei Pămîntului poate fi determinată experimental cu ajutorul unui dinamometru în stare de repus de care este suspendat un corp de masa m .In acest caz forţa de elasticitate indicată de dinamometru este nu altcevai decît forţa gravitaţională, numită în practica de toate zilele forţă de greutate :

,

unde R este raza Pămîntului iar g este acceleraţia căderii libere la suprafaţa Pămîntului. În aceste calcule mişcarea de rotaţie a Pămîntului se neglijează. Acceleraţia căderii libere într-un punct situat la distanţa h de suprafaţa Pămîntului este

. (24.1)

Forţa cu care corpul (punctul material) de masa m acţionează asupra legăturii(firului de suspensie, arcului dinamometrului), sau asupra suportului orizontal pe care se află corpul se numeşte greutate sau pondere a corpului dat. În cazul cînd legătura sau suportul orizontal sunt în stare de repaus faţă de Pămînt forţa de greutate şi greutatea corpului au acelaşi modul,direcţie şi sens. În general însă greutatea corpului poate fi cum mai mare aşa şi mai mică decşt forţa de greutate în dependenţă de caracterul mişcării suportului sau legăturii. De exemplu, dacă suportul orizontal pe care se află corpul se află în cădere liberă atunci corpul nu va acţiona asupra supor- tului ,adică greutatea crpului va fi egală cu zero. Starea corpurilor cînd greutatea lor este nulă se numeşte srare de imponderabilitate. Cîmpuri fizice Orice tip de interacţiune ,inclusiv şi cea gravitaţională, se transmite cu o viteză finită prin intermediul unor forme de existenţă a materiei numite cîmpuri fizice, natura cărora depinde de natura interacţiunii. De exemplu interacţiunea gravitaţionalăse transmite prin intermediul cîmpului gravitaţional de forţe, iar interacţiunele electrică şi magnetică se transmit respectiv prin intermediul cîmpului electric şi magnetic. Astfel ˝ cîmpul gravitaţional de forţe reprezintă o formă de existenţă a materiei prin intermediul căruia se transmite interacţiunea gravitaţională cu o viteză finită˝. Pentru descrierea cantitativă a cîmpului gravitaţional se întroduce noţiunea de intensitate

a cîmpului gravitaţional determinată de relaţia

,

sau în formă scalară . (25.1)

Se observă că intensitatea cîmpului gravitaţional de forţşe numeric este egală cu acceleraţia căderii libere şi nu depinde de masa P.M. situat în acest punct al cîmpului. Comparînd relaţiile(24.1) şi (25.1) observăm că intensitatea cîmpului gravitaţional de forţe numeric este egal cu acceleraţia căderii libere g şi nu depinde de masa P.M. situat în acest punct al cîmpului ( printre altele lafel cum intensitatea cîmpului electric creat de sarcina electrică punctiformă Q nu depinde

de valoarea sarcinei punctiforme de prbă q situată în punctul dat al cîmpului electric:

). 1.1.3. Dinamica mişcării de rotaţie a P. M. Momentul forţei

Mişcarea de rotaţie a P. M. este o astfel de mişcare cînd acesta,fiind acţionat de o forţă , descrie o traectorie circulară centrul căreia se află pe o dreaptă perpendiculară pe planul traectoriei,numită axă de rotaţie. Efectul de rotaţie a forţei este determinat de mărimea fizică vectorială, numită momentul forţei. Momentul forţei se defineşte faţă de un punct O şi faţă de o axă fixă de rotaţie .

Momentul forţei , notat , care acţionează P.M. A faţă de un punct O (fig. 15.1)

este definit de relaţia

, (26.1)

sau în formă scalară

=Fl ,

unde este unghiul dintre vectorul poziţie al P.M. A şi forţa , iar l=rsin este distanţa cea mai mică dintre linia de acţiune a forţei şi punctul O,numită

braţul forţei . Sensul vectorului poate fi

determinat potrivit regulei burghiului de dreapta,care se instalează perpendicular planului P (definit de suportul forţei şi punctul O) şi se roteşte dela spre pe calea cea mai scurtă. Sensul mişcării progresive a burghiului va indică sensul vectorului

. În acest caz vectorul eseste situat pe axă de rotaţie (fig.15.1).

Momentul forţei în raport cu o axă arbitrară , notat ,poate fi definit în două

feluri:

modulul vectorului este egal cu

proecţia pe axa a momentului forţei faţă de punctul O situat pe această axă (fig.16.1):

;

momentul forţei faţă de o axă arbitrară se defineşte ca momentul proecţiei forţei pe planul P, (care intersectează

perpendicular axa în punctul O) adică

a forţei , faţă de punctul O (fig.17)

:

,

sau în formă scalară :

,

unde respectiv sunt

braţele forţelor şi faţă de punctul O.

Din definiţia momentului forţei rezultă că în SI momentul forţei se exprimă în Nm:

. În acelaşi timp lucrul forţei lafel se exprimă în Nm: Diferenţa constă

în aceea că lucrul forţei (mărime fizică scalară) este un produs simplu dintre forţă şi distanţă pecînd momentul forţei (mărime fizică vectorilă) este un produs vectorial dintre forţă şi distanţă. Însfîrşit trebue de menţionat că vectorul momentului forţei se deosebeşte de vectorii

şi a. numiţi vectori polari ca segmente de dreaptă, orientate în spaţiu şi determinate univoc de coordonatele punctelor lor extreme, ceea ce nu putem spune despre vectorii momentului forţei, forţei Lorenţ şi a. care rezultă dintr-un produs vectorial. Aceşti vectori se numesc vetori axiali. Mai mult decît atît, vectorii polari şi vectorii axiali se comportă diferit în operaţiile de transformare. Este uşor de observat , de exemplu, că înt-o operaţie de simetrie în

raport cu o oglindă vectorii polari se inversează pecînd vectorul axial nu

se inversează. Momentul cinetic (impulsului) faţă de un punct fix şi fdaţă de o axă. Momentul cinetic faţă de un punct fix se defineşte lafel ca şi momentul forţei faţă de un punct fix ,dacă în figura 15.1 vectorul forţei va fi înlocuit cu vectorul impulsului

,adică: momentul cinetic faţă de un punct fix este o mărime fizică vectorială determinată de relaţia

.

(27.1)Modulul acestui vector este =rPsin =rm .

Sensul vectorului ca şi sensul vectorului , poate fi

detrminat cu ajutorul regulei burghiului de dreapta (fig.18.1). Ca şi în cazul momentului forţei faţă de o axă , proecţia

vectorului momentului cinetic faţă de un punct pe o

axă ce trece prin acest punct defineşte momentul cinetic faţă de acesră axă(fig.18.1):

Derivînd relaţia (27.1) în raport cu timpul vom obţine:

(28.1)

relaţie similară cu legea a doua a lui Newton cunoscută ca legea a doua a lui Newton pentru mişcarea de rotaţie:

mişcarea de translaţie =

mişcare de rotaţie =

Din legea a doua a lui Newton rezultă că dacă P.M. este liber ,atunci

, (29.1)

adică momentul impulsului unui punct material liber rămine consantă în timp. Această concluzie reprzintă enunţul legii conservării momentului cinetic.

Momentul cinetic al punctului material în mişcare circulară. Un caz deosebit îl prezintă mişcarea uniformă a punctului material pe un cerc de raza r (fig.19.1). În acest caz momentul cinetic faţă de punctul O coincide cu momentul conetic faţă de axa (

) deaceea indicii o şi mai departe vor

fi omişi. Momentul cinetic al punctului material în acest caz este

L=pr=m

, (30.1)

unde mărimea I=mr se numeşte moment de inerţie a punctului material faţă de punctul O , sau faţă de axa de rotaţie . În SI momentul

de inerţie se eyprimă în : . Formă vectorială a momentului cinetic în acest

caz este:

, (31.1)

unde sensul şi valoarea vectorului (fig.16)

poate fi găsită din formula . Dacă

mişcarea circulară a punctului material este uniformă ( ), atunci şi L=const. Dacă însă această mişcare nu este uniformă ,atunci din legea a doua a lui Newton pentru mişcarea de rotaţie rezultă :

,

(32.1)

unde este acceleraţia unghulară a mişcării circulare a punctului material.

Relaţia pentru mişcarea circulară este similară cu relaţia pentru mişcarea de translaţie: mişcarea de translaţie

mişcarea de rotaţie 1.1.4. Eenergia şi lucrul Noţiuni întroductive . În decurs de secole cuvîntul energie a avut diferite semnificaţii. Cuvîntul energie provine dela două cuvinte greceşti en (interior) şi ergon (lucru) şi aproximativ 1500 de ani cuvîntul energia se folosea pentru caracterizarea capacitatea cuiva de a efectua un lucru. Galilei ,în 1638 ,a folosit cuvîntul energie fără ca să-i dee vre-o definiţie. Newton în lucrările sale niciodată n-a folosit cuvîntul energie, însă ,avînd o intuiţie foarte puternică , era aproape de a o defini, mai ales după ce a formulat concluzia că produsul dintre forţă şi durata acţiunii ei asupra unui P.M. caracterizează variaţia impulsului lui. În 1829, Coriolis formulează concluzia că produsul dintre forţă şi distanţa parcursă de punctul de aplicaţie a forţei caracterizează variaţia energiei lui. Marimea fizică egală cu produsul dintre forţă şi distanţa parcursă de punctul de aplicaţie a forţei a fost numită de către Coriolis lucru. În centrul conceptului de lucru se află noţiunea de mişcare contra unei forţe de rezistenţă natura căreia poate fi diferită: gravitaţională, frecare, inerţie,electrică, magnetică etc. Lucrul mecanic elementar efectuat de o forţă constantă la deplasarea rectilinie a punctului material este o mărime fizică scalară,definită de produsul scalar dintre forţă şi vectorul deplasării (fig.20.1):

,

(33.1)unde este proecţia forţei pe direcţia deplasării. În SI lucrul se exprimă în jouli:

=J .

Lucrul mecanic elementar efectuat de o forţă variabilă centrală la deplasarea infinitesimală arbitrară a punctului material Ca exemplu vom considera lucrul elementar efectuat de forţa gravitaţională a Pămîntului centrul căruia este originea referenţialului inerţial geocentric în care se mişcă P.M. Lucrul elementar efectuat de forţa gravitaţională a Pămîntului este (fig.21.1) : L= , (34.1)unde simbolul indică că lucrul mecanic in general (de exemplu lucrul forţelor de frecare) este o mărime fizică de proces care depinde de forma drumului punctului de aplicaţie a forţei. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că membrul stîng al ultimei relaţii nu este o diferenţială totală, ci o expresie diferenţială generală. În cazul mărimelor fizice de stare variaţia acestora depinde numai de poziţia iniţială şi finală a P.M. şi se notează cu d cum este

cazul lucrului forţelor gravitaţionale. Într-adevăr, pentru o deplasare finită a P.M. din punctul iniţial 1 în punctul final 2 al cîmpului gravitaţional de de forţe (fig.21.1) lucrul mecanic total se obţine integrînd relaţia (34.1):

L = = . (35.1)

Cîmp potenţial (neturbionar) de forţe. Condiţia de potenţialitate a unui cîmp de forţe

Din relaţia (35.1) rezultă că lucrul forţelor gravitaţionale depinde numai de poziţia iniţială şi finală a P.M. ,deci ,lucrul forţei gravitaţionale este o mărime fizică de stare. Forţele lucrul cărora nu depinde de forma traectoriei punctului lor de aplicaţie dar depinde numai de starea iniţială şi finală a P.M. se numesc forţe potenţiale sau conservative,iar cîmpurile respective se numesc cîmpuri potenţiale sau cîmpuri conservative de forţe. În particular ,dacă punctul de aplicaţie a forţei potenţiale (conservative) în decursul mişcării P.M. descrie o traectorie închisă (,atunci relaţia (35.1) devine

. (36.1)

Cerculeţele în relaţia (36.1) înseamnă că întegrarea a avut luc pe un drum închis. În acest caz integrala obţinută se numeşte circulaţie a vectorului de-a lungul unui drum închis l ,notată

:

0. (37.1)

Noţiunea de circulaţie a unui vector ( a vectorului vitezei moleculelor unui lichid , sau a unui gaz) pentru prima

dată a fost întrodusă în hidrodinamică ca caracteristică cinematică a curgerii lichidelor , sau gazelor şi care serveşte ca măsură a gradului de turbionare a curjerii unui lichid ,sau a unui gaz. Să ne imaginăm o ţeavă "închisă" de lungimea l (contur arbitrar l închis) ,pentru simplitate de formă toroidală, în interiorul unei conducte prin care curge apă ,de exemplu. Admitem că , îtr-un moment dat ,apa di conductă a îngheţat cu excepţia apei din interiorul conturului toroidal. În dependenţă de starea apei din conductă în momentul îngheţării ei , apa din ţeava toroidală ori va staţiona,ori va circula în una din două direcţii posibile(după, sau contra mişcării acelor ceasornicului).

Ca măsură cantitativă a circulaţiei elementare a vectorului vitezei dea lungul porţiunii elementare de

contur dl serveşte produsul :

,

unde este componenta tangenţială a vitezei în punctul dat (componenta normală a vitezei în interiorul conturului

turbionar este nulă). Rezultă că circulaţia vfctorului vitezei dea lungul conturului închis l va fi:

,

unde este unghiul dintre vectorul şi vectorului elementului de contur în momentul îngheţării apei.

Ultima relaţie obţinută pentru un caz particular al cîmpului vectorial al vitezelor moleculelor de apă are un caracter

universal, adică este valabilă pentru orice cîmp vectorial inclusiv şi pentru cîmpul forţelor gravitaţionale.

Am obţinut că circulaţia forţelor gravitaţionale este nulă. Prin urmare, dacă circulaţia forţeielor gravitaţionale este nulă atunci aceste forţe sunt potenţiale ,iar cîmpul forţelor gravitaţionale este potenţial ( se mai spune neturbionar,irotaţional) Astfel, expresia matematică a condiţiei de potenţialitate a cîmpului gravitaţional de forţe în formă integrală este

0. (38.1)

Relaţia (38.1) ,obţinută pentru cazul particular al cîmpului gravitaţional de forţe, este valabilă pentru orice cîmp potenţial de forţe. Cu alte cuvinte ,dacă forţele unui cîmp satisfac relaţia (38.1), atunci acest cîmp este un cîmp potenţial (turbionar) de forţe. În cazul general condiţia de potenţialitate a unui cîmp de forţe trebue scrisă nu în formă integrală ( relaţia (38.1)) dar în formă locală, pentru punctul dat al cîmpului, adică în formă diferenţială. Pentru a ajunge la forma diferenţială a condiţiei de potenţialitate a unui cîmp de forţe este necesar în primul rînd să ne reamintim noţiunea de flux elementar al unei marimi fizice vectoriale(cl. 11), de exemplu fluxul vectorului forţei graviteţionale: , (39.1)

unde , este vectorul unitar al normalei elementului de suprafaţă plană în punctul dat, iar este unghiul dintre vectorii şi (fig.22.1). În al doilea rînd se întroduce un vector nou, numit rotorul vectorului forţei ( ). În analiza vectorială se demonstrează ,că circulaţia oricărui vector, inclusiv şi a vectorului dea-lungul unui contur închis l ,este egală cu fluxul vectorului prin suprafaţa S care se sprijină pe conturul l:

.

(40.1)

La noţiunea de rotor se poate de ajuns în felul următor.Revenim la condiţia de potenţialitate a cimpului gravitaţional de forţeîn formă integrală

.

Să ne imaginăm o suprafaţă arbitrară S în cîmpul de forţecare se sprigină pe conturul l. Raportuul

defineşte densitatea superficială a circulaţiei vectorului . Pentru a concretiza proprietăţile circulaţiei vectorului

într-un punct A depe suprafaţa S trebuie să ˝strîngem˝ această suprafaţă pînă în punctul A, adică să considerăm limita

(41.1)

Limita (41.1) depinde cum de proprietăţile cîmpului de forţe în acest punct aşa şi de orientarea conturului l în

spaţiu. Orientarea conturului l în spaţiu este caracterzată de vectorul

unitar sensul căruia se determină aşa cum este indicat în fig.23.1.

Calculînd limita (41.1) în acelaşi punct pentru diferite direcţii ale

normalei (adică pentru diferite orientări ale conturului l), se vor obţine

valori diferite ,însă pentru o anumită orientare a conturului l (a vectorului

unitar ) valoarea limitei (41.1) va fi maximală. Rezultă că limita

(41.1) se comportă ca proecţia unui vector pe direcţia respectivă .

Valoarea maximală a limitei (41.1) determină modulul acestui vector, iar

sensul vectorului corespuzător valorii maximale a limitei (41.1)

determină sensul lui. Acest vector şi se numeşte rotorul vectorului ,

notat rot . Altfel spus, rotorul vectorului este un vector modulul căruia este egal cu valoarea maximală

a limitei densităţii superficiale a circulaţiei vectorului de-a lungul conturului închis l. Normala la

conturul l ,orientat astfel încît limita (41.1) are valoarea maximală, indică sensul vectorului rot . Folosind noţiunea de rotor , relaţia (41.1) poate fi scrisă în felul următor

.

Astfel, rotorul a cîmpului vectorial este un vector ,proecţia a căruia în orice diorecţie

reprezintă limita raportului circulaţiei vectorului de-a lungul conturului l pe care se sprijină suprafaţa S perpendiculară direcţiei date către aria acestei suprafeţe cînd dimensiunele ei se aprorie oricît de mult de un punct.

Definiţia vectorului rot dată mai sus este generală, independentă de tipul sistemului de coordonate. Se

demonstrează că în coordonate carteziene vectorul rot este determinat de expresia

Vectorul rotor al unui vector este un operator vectorial, diferenţial. Sensul lui fizic apare numai în rezultatul

aplicării operatorului rotor unei marimi fizice vectoriale. Ca exemplu vom considera curgerea apei într-un rîu. Vectorul vitezei unui element de volum dV de apă care include punctul O are două componente: de translaţie şi de rotaţie , adică putem scrie

Aplicînd operatorul roror vectorului se obţine:

dacă curgerea apei este laminară (traectoriile mişcării elementelor de volum de apă nu se intersectează) ,

sau .

dacă curgerea apei este turbionară (cu vîrtejuri, traectoriile mişcării elementelor de volum de apă se intersectează). Astfel,rotorul vectorului vitezei curgerii turbionare a apei în punctul O este egal cu dublul vectorului vitezei unghulare a elementului de volum de apă în acest punct. Rezltă că rotorul vectorului vitezei pune în evidenţă rata de rotaţie a cîmpului vitezelor mişcării elementelor de volum de apă, adică direcţia axei de rotaţie şi frecvenţa de rotaţie. O prezentare demonstrativă a noţiunii de rotor poate fi dată imaginăndu-ne o morişcă (elice) uşoară întrodusă în punctul dat al unui lichid care curge cu viteza

( fig.24.1).

Morişca se va roti numai în acele puncte în care . Viteza de

rotaţie a moriştei va fi cu atît mai mare cu cît mai mare va fi proecţia vectorului

pe axa acesteia.

Cunoscînd vectorul în tote punctele unei suprafeţe S se poate de

calculat circulaţia vectorului de-a lungul conturului l care limitează această suprafaţă. Pentru asta suprafaţa S se

împarte în elemente de suprafaţă şi atunci circulaţia vectorului dealungul conturului care limitează

suprafaţa va fi:

,

deunde = ,

sau . (42.1)

Această relaţie reprezintă expresia matematică a teremei lui Stokes, valabilă pentru orice vector inclusiv şi pentru vectorul forţei gravitaţionale : circulaţia vectorului vectorul forţei gravitaţionale de-a lungul

unui contur închis l este egală cu fluxul vectorului prin suprafaţa S limitată de conturul l

Comparînd relaţiile (42.1) şi (38.1) ,

vom obţine rot =0 . (43.1) Relaţie (43.1) reprezintă condiţia de potenţialitate a cîmpului gravitaţional de forţe în forma diferenţială (locală).

Funcţii potenţiale. Forţa potenţială ca gradient al unei funcţii potenţiale. Pentru ca relaţia (38.1) să fie satisfăcută trebue ca lucrul elementar (expresia de sub integrală-lucrul elementar) să fie o diferenţială totală a unei funcţii scalare de poziţie a P.M.în cîmpul gravitaţional , numită funcţie potenţială:

. (44.1)

Pe de altă parte ,potrivit proprietăţii produsului scalar , putem scrie :

.

Din ultimele două relaţii rezultă că derivatele parţiale ale funcţiei potenţiale sunt egale cu proecţiile respective ale forţei potenţiale pe axele de coordonate x.y.z:

. (45.1)

Ţinînd samă de relaţiile (45.1) , forţa potenţială poate fi prezentată în felul următor:

. (46.1)

Expresia

defineşte o funcţie vectorială,numită grdient al unei funcţii scalare U( ) ,notată gradU( ):

. (47.1)

Din relaţiile (46.1) şi (47.1) rezultă (48.1)

Din relaţia (48.1) rezultă o concluzie importantă că o forţă potenţială derivă dintr-o funcţie potenţială(de poziţie).

Gradientul (din latină-păşitor,crescător) unei funcţii scalare este un vector, care indică direcţia creşterii

maximale a unei mărimi fizice. De exemplu indică direcţia creşterii maximale a forţei gravitaţionale

,iar modulul este egal cu viteza maximală a creşterii forţei . Din punct de vedere matematic,

gradientul unei funcţii scalare este determinat de relaţia

,

unde V este volumul care conţine punctul dat cu coordonatele x,y,z; S este suprafaţa închisă care limitează volumul dat V , este cea mai mare distanţă dintre punctul dat şi un punct depe suprafaţa S.

Relaţie (46.1) poate fi scrisă şi-n felul următor:

, (49.1)

unde expresia din paranteză, notată prin , defineşte operatorul nabla ,numit uneori şi operatorul lui Hamlton :

. (48.1)

Astfel, operatorul nabla, ca şi orice alt operator ,cum este operatorul înmulţirii, logaritmării,deri-vării etc, defineşte o regulă care arată ce operaţii trebuie de efectuat cu funcţia dată şi în ce consecutivitate. Din ultimele două relaţii rezultă că gradientul unei funcţii scalare se obţine în ca rezultatul produsului dintre operatorul nabla şi această funcţie : . (50.1) Energia mecanică Orice lucru în natură este efectuat de una din cele patru forţe fundamentale, sau contra uneia din ele şi se manifestă printr-un transfer de energie,sau prin varieţia energiei. Cum a mai fost spus ,energia este definită ca aptitudinea de a efectua un lucru ,însă această definiţie nu este suficientă. În ceea ce priveşte noţiunea de energie, marele fizician R. Feynman scrie :˝Este important să înţălegem că in fizica din zilele noastre noi nu avem cunoştinţe suficiente despre aceea ce reprezintă prin sine energia˝. Energia cinetică . Huygens ,cercetînd ciocnirea elastică a două bile , a observat cevai deosebit în produsul dintre masa unei bile şi patratul vitezei ei înnainte de ciocnire şi după ciocnire ( . Analizînd rezultatele experienţelor sale Huygens obţine relaţia ,

unde sunt masele bilelor, iar sunt vitezele bilelor respectiv înnainte şi după

ciocnire. Produsul afost numit de către Leibniz forţă vie, iarYoung a fost primul(1807) care a vorbit despre acest produs ca o măsură cantitativă a energiei unui corp în mişcare. În zilele noastre energia cinetică este energia asociată mişcarii, variaţia cărei caracterizează aptitudinea de a efectua un lucru. Acestă concluzie a fost făcută de către Kelvin (1849). Ca exemplu vom considera lucrul elementar efectuat de forţa gravitaţională la căderea liberă a unui corp (P.M.).

.

Mărimea fizică scalară se numeşte energie cinetică şi se notează prin T . Lucrul

mecanic elementar are atunci expresia: , (51.1)Iar lucrul total efectuat de forţa gravitaţională din mometul cînd corpul avea viteza pînă în

momentul cînd el va avea viteza este

. (52.1)

Am obţinut că lucrul efectuat pentru a accelera un corp este egal cu variaţia energiei lui cinetice. Acestă concluzie reprezintă enunţul teoremei variaţiei energiei cinetice. Energia potenţialăConsiderăm un P.M. cu masa m în cîmpul gravitaţional al Pămîntului, imobilizat într-o anumită poziţie iniţială 1 (cofiguraţia P.M.-Pămint iniţială 1) (fig.25.1). Pentru ca P.M. să ajungă dela suprafaţa Pămîntului în poziţia 1 trebuie de aplicat o forţă ascendentă pentru a învinge forţa de atracţie universală, adică trebuie de efectuat un lucru . Dacă în poziţia 1 P.M. este lăsat liber ,el începe să cadă şi lucrul cheltuit se transformă în energie cinetică. Întrebarea principală care apare este următoarea: ce sa întîmplat cu lucrul cheltuit la ridicarea P.M. în momentul cînd el este imobilizat în poziţia 1? Răspunsul este următorul: lucrul cheltuit la ridicarea P.M. în momentul cînd el este imobilizat în poziţia 1 se transformă îtr-un fel de energie care se înmagazinată în sistemul Pămînt-P.M. şi care îtotdeuna poate fi elibirată din momentul cînd P.M. este lăsat liber.Acestă energie, înmagazinată într-un sistem de corpuri în interacţiune, care depinde de poziţia reciprocă a corpurilor (configuraţia) în momentul dat ,se numeşte energie potenţială ( ()) ,denumire suggerată de W.Rankin (1853). Evident că acestă energie înmagazinată în sistem începe sş se micşoreze din momentul ce unul din corpuri (P.M.) este elibirat. Prin urmare lucrul elementar efectuat de forţa gravitaţională este (53.1) Pe de altă parte , cum a fost arătat , lucrul elementar al forţei gravitaţionale este o diferenţială totală a funcţii potenţiale (de stare, de poziţie , de configuraţie) U( ) (relaţia (44.1).Din relaţiile (53.1) şi ((44.1) rezultă

, (54.1)

deunde , (55.1)adică energia potenţială numeric este egală cu valoarea funcţiei potenţiale, care caracterizează configuraţia sistemului de corpuri în interacţiune, luată cu semnul minus.

Din relaţia (54.1) rezultă că energia potenţială poate fi determinată numai pînă la o constantă aditivă arbitrară, aleasă din considerente de comoditate, prin urmare aceast constantă poate fi şi nulă. Prin convenţie poziţia iniţială se ea la infinit unde interacţiunea, prn urmare şi energia potenţială ,este nulă şi atunci pentru energia potenţială putem scrie

(56.1)

Astfel,energia potenţială a unui P.M. de vector de poziţie este egală cu lucrul efectuat de forţa gravitaţională ,luat cu semnul minus, pentru a deplasa punctul material dela infinit în punctul de vector de poziţie . În cazul cîmpului gravitaţional al Pămîntului ca punct de reper, unde energia potenţială este nulă , se ea nivelul mării, adică nivelul nul al înălţimilor şi atunci din ultima relaţie se obţine:

.

Legătura dintre energia potenţială şi forţa potenţială (conservativă) Cum a fost arătat, o forţă potenţială (conservativă) derivă dintr-o funcţie potenţială U( ):

.Luînd în consideraţie relaţia (54.1) ultima relaţie devine

. (56.1)

Din relaţia (56.1) rezultă că gradientul energiei potenţiale (mărime fizică scalară) este un vector componentele căruia sunt determinate de relaţiile :

Astfel am obţinut legătura dintre energia potenţială a unui P.M. într-un cîmp gravitaţional de

forţe şi forţa gravitaţională care acţionează P.M. Această concluzie obţinută pentru-n caz particular al sistemului P.M.-Pămînt este valabilă pentru orice alt sistem de corpuri în interacţiune. Din relaţia Însfîrşit ,să aplicăm ultima relaţie pentru două cazuri particulare ale cîmpului gravitaţional terestru şi al cîmpului de forţe elestice:

, deoarece .

,deoarece .

Legea conservării energiei mecanice a unuiP.M. Inspirat de Descartes ,care a formulat legea conservării impulsului şi de Huygens, care a avut intuiţia că trebuie să existe diferite forme ale unei energii invariabile care pot să se transforme una în alta W. Rankine pentru prima dată (1853) foloseşte expresia ˝conservarea energiei˝. Una din cele mai fundamentale legi ale fizicii este legea conservării şi transformării energiei . Pentru a ajunge la acestă lege revenim la exemplul P.M. în cîmpul gravitaţional terestru. În acest caz P.M. este acţionat numai de forţa gravitaţională,care este conservativă. Dacă P.M. este acţionat numai de o forţă conservativă ,atunci prin compararea relaţiilor (51.1) şi (53.2) se obţine d(T + E ) = 0 ,

de unde T + E = const . (57.1)

Suma W= T + Edefineşte energie mecanică a punctului material. Aşadar, dacă un P.M.este acţionat numai de forţe conservative atunci energia lui mecanică se conservă (este invariabilă). Această concluzie reprezintă enunţul legii conservării şi transformării energiei mecanice a unui P.M. acţionat numai de forţe conservative. De exemplu, la căderea liberă a unui P.M. dela înălţimea H energia lui potenţială se micşorează, iar cea cinetică creşte, adică energiapotenţială se transformă in energie cinetică, însă în orice moment suma energiei cinetice şi a energiei potenţiale este aceeaşi fiind egală cu energia potenţială a P.M. in poziţia iniţială la înălţimea H :

,

unde m ete masa P.M., iar este viteza lui la înălţimea dată h

1.2. Mecanica sistemelor de puncte materiale Sistemul mecanic. Centrul de masă al sistemului mecanic şi legea sa de mişcare

Un sistem mecanic reprezintă o mulţime de corpuri care sunt acţionate cum de corpuri din mulţimea dată aşa şi de corpuri care nu aparţin mulţimei date. De exemplu planetele sistemului Solar, sau moleculele aerului atmosferei pămînteşti reprezintă sisteme mecanice de puncte materiale. În cazul unui sistem mecanic deosebesc două tipuri de forţe: exterioare şi interioare (fig.26.1). Forţele se numesc forţe interioare ,iar

forţele se numesc forţe exterioare. Evident că

masa sistemului dat de puncte materiale ( SPM) este

M= ,

unde m este masa unuia dintre punctele materiale ale sistemului dat , iar n este numărul de puncte materiale ale sistemului dat. Legea a doua a lui Newton pentru fiecare punct material în parte este

(58.1)

Adunînd expresiile (58.1) şi ţinînd seamă că potivit legii a treia a lui Newton

Obţinem ,

sau (59.1)

unde şi

reprezintă respectiv impulsul rezultant al sistemului şi forţa exterioară rezultantă care acţioneaza SPM dat. Relaţia (59.1) reprezintă expresia matematică a legii a doua a lui Newton pentru un SPM. Din relaţia (59.1) rezultă :

. (60.1)

Înmulţind şi împărţind relaţia (60.1) la masa M a sistemului vom obţine:

. (61.1)

Comparînd relaţia (61.2) cu expresia matematică a legii a doua a lui Newton pentru un punct material

observăm că putem determina poziţia uni punct caracteristic SPM dat prin relaţia

. (62.1)

Punctul caracteristic SPM dat, poziţia căruia este determinată de ecuaţia (62.1) se numeşte centrul de masă. Substituind (62.1) în (61.1) vom obţine

. (63.1)

Ecuaţia (63.1) arată că centrul de masă se mişcă ca un punct material în care este concentrată întreaga masă M a SPM dat şi asupra căruia acţionează forţa rezultantă exterioară .

Legea conservării impulsului unui SPM

Fie SPM considerat este închis ( asupra sistemului dat ori nu acţionează forţe exterioare, ori rezultanta lor poate fi neglijată), adică . Pe de altă parte , potrivit legii adoua a lui Newton,

.

Comparînd ultimele două relaţii putem scrie

,

dunde (64.1)

Relaţia (64.1) reprezintă legea conservării impulsului unui sistem închis de puncte materiale. Potrivit acestei legi impulsul total al unui sistem închis de puncte materiale rămîne constant în timp. Impulsul total al SPM poate fi definit şi-n felul următor : (65.1)Derivînd relaţia (65.1) în raport cu timpul vom obţine :

(66.1)

Din relaţia (66.1) rezultă că dacă SPM este închis ( ) atunci

,

de unde Astfel, centrul de masă al unui sistem închis de puncte materiale se mişcă cu o viteză constantă. Sistemul de referinţă originea căruia este centrul de masă al unui sistem închis de puncte materiale se numeşte sistem de referinţă al centrului de masă. Acest sistem de referinţă este pe larg folosit în diferite investigaţii ştiinţifice.

Legea conservării momentului cinetic al unui SPM

Legea a doua a lui Newton pentru mişcarea de rotaţie poate fi scrisă pentru fiecare punct material al sistemului mecanic:

.

Făcînd suma acestor ecuaţii pentru toate punctele materiale ale sistemului mecanic vom obţine:

,

unde respectiv sunt momentul rezultant al forţelor exterioare şi momentul

cinetic rezultant al SPM . Relaţia

(67.1)

reprezintă legea a doua a lui Newton pentru mişcarea de rotaţie a unui SPM . Aici trebue de menţionat că-n relaţia (67.1) mărimile şi sunt determinate în raport cu unul şi

acelaşi punct . Din relaţia (67.1) rezultă că dacă SPM este închis ( , atunci

,

deunde =const . (68.1)

Relaţia (68.1) reprezintă expresia matematică a legii conservării momentului cinetic al unui sistem închis de puncte materiale. Legea conservării energiei unui SPM

Pentru simplitate vom admite că SPM constă din două puncte materiale cu masele m şi

m in mişcare cu vitezele şi acţionate de forţele exterioare şi precum şi de

forţele exterioare şi (fig,27.1). Cum a fost arătat (relaţia (51.1)) variaţia energiei cinetice a unui P.M. este egală cu lucrul forţelor care acţioneazăP.M.. Această concluzie este valabilă şi pentru un SPM numai că în acest caz trebue să deosebim lucrul forţelor exterioare de lucrul forţelor interioare. Adică relaţia (50.1) pentru fiecare punct material a sistemului dat trebue scrisă în felul următor

şi

.

Adunînd aceste două relaţii vom obţine variaţia elementară a energiei cinetice a SPM considerat:

dT=dT = + .

Integrînd rezultatul obţinut pe parcursul modificării SPM din starea (configuraţia) A în starea (configuraţia) B vom obţine variaţia energiei cinetice a SPM pe parcursul acestei modificări

.

Am obţinut că variaţia energiei cinetice a SPM în decursul modificării lui dela configuraţia A pînă la configuraţia B este egal suma lucrurilor efectuate de forţele exterioare şi de cele interioare : . (14.2) În dependenţă de sterea sistemului pot fi deosebite cazurile: forţele interioare sunt forţe conservative. În acest caz, potrivit relaţiei (53.1) , putem

scrie L = – , (15.2)

adică lucrul forţelor interioare este egal cu variaţia energiei potenţiale interne a SPM luată cu semnul minus . Substituind (15.2) în (14.2) vom obţine

,

sau . (16.2)

Suma dintre energia cinetică şi energia potenţială interioară a SPM în starea dată se numeşte energie proprie a SPM : E =T+ . (17.2) Ţinînd seamă de (17.2) relaţia (16,2) devine

, (18.2)

adică lucrul forţelor exterioare asupra SPM este egal cu variaţia energiei proprie a SPM la modificarea lui de la configuraţia A pînă la configuraţia B.

Fie că SPM este închis ( ).În acest caz din (18.2) rezultă

. (19.2)Relaţia (19.2) reprezintă expresia matematică a legii conservării energiei proprie a unui SPM închis:energia proprie a unui SPM închis, forţele interioare ale căruia sunt forţe conservative ,se conservă. forţele exterioare lafel sunt conservative. În acest caz pentru lucrul forţelor exterioare putem scrie o relaţie similară cu (15.2):

L – . (20.2)

Substituind (20.2) în (18.2) vom obţine

,

sau T+E . (21.2)

Suma T+E se numeşte energie totală a SPM:Astfel relaţia (21.2) reprezintă expresia matematică a legii conservării energiei totale a unui SPM închis : energia totală a unui SPM închis se conservă dacă şi forţele interioare şi cele exterioare care modifică configuraţia SPM sunt conservative. S-ar putea crede că dacă energia totală a uni SPM se conservă n-ar trebui să existe problema surselor de energie pentru omenire. Totuşi problema surselor de energie pentru omenire este foarte acută. Aceasta se explică prin faptul că necesităţile industriale ale societăţii pot fi realizate numai în rezultatul creşterii energiei cinetice a unui SPM ( a unui gaz de exemplu),sau în rezultatul creşterii impulsului lui. În ambele cazuri scopul poate fi atins numai în rezultatul schimbului de energie cu un alt SPM (de exemplu combustibilul de petrol ,sau fisiunea nucleară) . Cu regret însă omenirea dispune de un număr limitat de sisteme sau de procese disponibile pentru astfel de schimb de energie.

Simetria şi legile de conservare în mecanică

În natură există mai multe tipuri de simetrie. Cele mai simple sunt simetriile geometrice.Ca exemplu vom considera un disc omogen montat pe o axă care coincide cu axa de simetrie perpendiculară bazelor lui. Să ne imaginăm că am închis ochii şi-n timpul acesta cineva a rotit discul cu un ungi oarecare în jurul axei de rotaţie . Deschizînd ochii vom observa că situaţia este identică cu cea prcedentă. Cu alte cuvinte este imposibil de spus că ceva sa întîmplat în timpul cînd ochii au fost închişi. Simetria discului faţă de axa de rotaţie sugeră că anumite caracteristici ale sistemului nu trebue să se schimbe (trebue să rămînă invariante) la rotirea discului în jurul axei de rotaţie. In cazul dat rotirea poate fi realizată cu unghiuri infinitezimale de a ceea acest tip de simetrie se numeşte simetrie continuă. Dacă vom vopsi bazele discului în două culori diferite atunci vom avea o simetrie discretă. Amalie Noether a arătat ( principiul lui Noether) că orice invariaţie a unei mărimi fizice este legată cu un anumit tip de simetrie. Potrivit principiului lui Noether fiecărui tip de simetrie continuă îi corespunde o lege de conservare şi vice versa. Spaţiul fizic dispune de o simetrie de translaţie paralelă . Acest tip de simetruie se manifestă prin aceea că legile fizicii, constantele universale rămîn aceleaşi independent de poziţia originei sistemului inerţial de coordonate. Altfel spus proprietăţile fizice ale unui SPM închis nu se vor schimba dacă SPM dat, în rezultatul unei translaţii paralele, va fi deplasat în alt punct al spaţiului. Se spune că spaţiul fizic este omogen. Această omgenitate se manifestă prin aceea că reacţiunea este opusă acţiunii ceea ce însemnă că de fiecare dată cînd într-un punct al SPM încis impulsul sa schimbat cu în alt punct al sistemului dat trebue să aibă loc o variaţie opusă a impulaului – . Astfel impulsul total al unui SPM închis se conservă. Prin urmare legea conservării impulsului unui SPM închis este o consecinţă a omogenităţii spaţiului . Potrivit principiului lui Noether legea conservării momentului cinetic este o consecinţă a izotropiei spaţiului care se manifestă prin aceea că legile fizicii sunt independente de orientarea sistemului inerţial de coordonate ,iar legea conservării energiei este o consecinţă a omogenităţii timpului . Omogenitate timpului se manifestă prin aceea că legile fizicii nu depind de momentul de timp cînd ele sunt aplicate. Se spune că spaţiul dispune de o simetrie de „ translaţie temporală”.

1.3. Dinamica solidului rigid

Noţiuni generale Un solid rigid reprezintă un SPM distanţa dintre care nu se modifică atuncui cînd sistemul este acţionat de o forţă , sau de un moment de rotaţie. Rezultă că un solid rigid îşi conservă forma sa în decursul mişcării. Deosebesc două tipuri de mişcare a solidului rigid : de translaţie cînd particulele constituente descriu traectorii rectilinii paralele şi de rotaţie cînd particulele constituente descriu traectorii circulare în jurul unei drepte numită axă de rotaţie. O mişcare arbitrară a solidului poate fi considerată ca rezultatul unei mişcari de translaţie şi a uneia de rotaţie. Momentul cinetic şi momentul de inerţie al unui solid rigid Considerăm un solid rigid în mişcare de rotaţie uniformă ( =const) în jurul unei axe fixe Z (fig.28.1).

Toate particulele constituente ala solidului descriu traectorii circulare de raza cen-trate pe axa

de rotaţie ,cu viteza liniară ,unde este vectorul poziţie a particulei date in

raport cu un punct O fix în decursul mişcării într-un referenţial inerţial. Punctul O poate să se afle şi-n centrul de masă a solidului. Potrivit relaţiei (23.1) momentul cinetic al particulei i este determinat de relaţia

,

sau în formă scalară L deoarece .

Proecţia momentului cinetic L a particulei i pe axa de rotaţie Z este

=I ,

unde I este momentul de inerţie a particulei i .Proecţia momentului cinetic rezultant a solidului pe axa Z este

, (1.3)

unde I= (2.3)

este momentul de inerţie a solidului în raport cu axa fixă de rotaţie Z . Momentul cinetic rezultant in raport cu axa dată de rotaţie este

.

În general vecto nu este paralel cu axa de rotaţie . Se demonstrează că pentru orice corp ,care n-ar fi forma lui, există cel puţin trei astfel de axe de rotaţie orientate de-a lungul a trei direcţii ortogonale x ,y ,z încît , dacă solidul se roteşte în jurul uneia din ele, atunci vectorul este paralel cu acestă axă de rotaţie. Aceste direcţii se numesc axe principale de rotaţie, iar momentele respective de inerţie se numesc momente principale de inerţie, notate I ,I ,I . Pentru axele principale de inerţie relaţia (1.3) devine . (2.4) Calculul momentului de inerţie Tehnica de calcul a momentului de inerţie este de o importanţă majoră dat fiind faptul că această mărime fizică este pe larg aplicată în practică. Pentru a calcula momentul de inerţie înlocuimrelaţia

Cu relaţia dI=R dm=R ,unde este densitatea corpului , dV este volumul elemmentar , iar R este distanţa volumului elementar pînă la axa de rotaţie (fig.29.1). Integrînd ultima relaţie pentru momentul de inerţie a solidului dat vom obţine

I=

Calculul acestei integrale în general este complicat, însă pentru corpurile care dispun de o anumită simetrie acest calcul devine mai simplu. Rezultatele obţinute sunt prezentate în tabelă.

Momentul de inerţie I a unui solid în raport cu o axă arbitrară este legat de paralelă axei de rotaţie , care trece prin centrul de masă a solidului ,sunt legate printr-o formulă simplă numită teorema lui Steiner:

,

unde I este momentul de inerţie a corpului în raport cu axa dată de rotaţie, este momentul de inerţie al corpului dat în raport cu axa de rotaţie ce trece prin centrul de masă a corpului, m este masa corpului, iar a este distanţa dintre axe (fig,30.1.).

Ecuaţia fundamentală a mişcării de rotaţie a solidului rigid Relaţia (12.2 )

, (2.5) obţinută pentru mişcarea de rotaţie a unui SPM , este valabilă şi pentru un solid rigid în mişcare de rotaţie deoarece acesta reprezintă un caz particular al unui SPM. Prin urmare ecuaţia (2.5) este ecuaţia de bază pentru studiul mişcării de rotaţie a unui solid rigid. Fie punctul relativ căruia sunt definite mărimile şi se află pe o axă principală de

rotaţie. În acest caz vectorii este determinat de relaţia (2.4): . Substituind (2.4) în (2.5) vom obţine

. (2.6)

În cazul cînd axa principală de rotaţie este fixă (I=const) relaţia (2.6) devine

. (2.7)

Relaţia (2.7) reprezintă ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării de rotaţie a solidului rigid în jurul unei axe principale fixă de rotaţie. Se observă că relaţia (2.7) este similară cu legea a doua a lui Newton pentru mişcare de translaţie :

Dacă mişcarea de rotaţie a solidului în jurul axei principală fixă de rotaţie este uniform variată atunci relaţia (2.7) devine

, (2.8)

unde reprezintă acceleraţia unghiulară a mişcării de rotaţie a solidului.

Se observă că ecuaţia (2.8) este similară cu ecuaţia :

În cazul cînd axa de rotaţie a solidului nu este una din axele principale (vectorii şi nu sunt paraleli ) ecuaţia fundamentală a mişcării de rotaţie a unui solid în jurul unei axe fixe (neprincipală) de rotaţi este: ,

unde M şi respectiv sunt proecţia momentului rezultant al forţelor exterioare pe axa Z de rotaţie şi momentul de inerţia al solidului în raport cu această axă.

Dacă rezultanta forţelor exerioare este nulă ( ) atunci momentul lor rezultant la fel este

nul ( ). In acest caz din ecuaţia fundamentală a mişcării de rotaţie a solidului rezultă:

, (2.9)

dacă solidul se roteşte în jurul unei axe principale de rotaţie,sau

, (2.10)

dacă solidul se roteşte în jurul unei axe neprincipale de rotaţie . Relaţiile (2.9)şi (2.10) reprezintă expresiile matematice a legii conservării momentului cinetic a solidului rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe principală de rotaţie ( relaţia (2.9)) şi-n jurul unei axe neprincipală de rotaţie (relaţia (2.10)). Acestă lege este pe larg aplicată în praczică de exemplu în patinajul artistic (fig. 4.3).

§ 1.3.5.Energia cinetică a solidului rigid în mişcare de rotaţie Evident că energia cinetică a unui sistem de puncte materiale este

. (2.11)

În cazul unui solid care se roteşte în jurul unei axe fixă de rotaţie cu viteza unghiulară , viteza liniară a fiecărei particule constituente va fi , (2.12)

unde r este distanţa particulei date pînă la axa de rotaţie.Substituind (2.12) în (2.11) vom obţine că energia cinetică a unui solid rigid în mişcare de rotaţie este determinată de relaţia

, (2.13)

unde I= este momentul de inerţie al solidului rigid în jurul axei date de rotaţie.

Ecuaţia (2.13) poate fi obţinută la fel cum a fost obţinută ecuaţia . Într-adevăr:

,

de unde

Astfel lucrul forţei exterioare la mişcarea de rotaţie a unui solid în jurul unei axe fixă de rotaţie este egal cu variaţia unei mărimi fizice scalare numită energie cinetică a solidului în mişcare de rotaţie notată prin simbolul T :

T=

Fie solidul rigid se roteşte cu viteza unghiulară în jurul unei axe de rotaţie care trece prin centrul de masă al solidului şi-n acelaşi timp efectuează o mişcare de translaţie cu viteza .În acest caz energia cinetică a solidului va fi determinată de relaţia

,

unde m este masa solidului, iar I este momentul de inerţie a solidului în raport cu axa de rotaţie ce trece prin centrul lui de masă.

2. Fizică moleculară şi termodinamică