CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE FIZICĂ “LIVIU TĂTAR” – Ediţia a XIV-a

Liceul Teoretic “Al. I. Cuza”Alexandria, 26 aprilie, 2014

Clasa a IX-a

Problema 1. Refracția luminiiÎn gheaţa, acoperită de zăpadă, de pe suprafaţa apei unui lac cu adâncimea h, este făcută o „copcă”

(gaură) circulară cu raza r.a) Să se determine aria suprafeţei petei de lumină de pe fundul plan şi orizontal al lacului,

datorată luminii difuze exterioare, dacă indicele de refracţie al apei este n.b) Un fascicul paralel de lumină soseşte perpendicular pe una din feţele laterale ale unei prisme

de sticlă, a cărei secţiune transversală este un triunghi dreptunghic isoscel, aflată în aer şi apoi ea iese prin cealaltă faţă laterală, aşa cum indică desenul a din figura 1. Dacă se acoperă faţa plană înclinată a prismei cu o coală de hârtie neagră uscată fenomenul se desfăşoară fără nicio schimbare. Se acoperă apoi aceeaşi faţă a prismei cu o coală de hârtie neagră bine umezită cu apă (desenul b). În acest caz intensitatea luminii care iese prin faţa inferioară a prismei scade foarte mult, sau chiar se anulează. Să se explice fenomenul semnalat. Fig. 1

c) Pe axul optic principal al unei lentile convergente, cu distanţa focală f, la distanţa d =2f, se află o sursă punctiformă de lumină monocromatică, a cărei imagine se formează pe un ecran, aşa cum indică desenul a din figura 2. Între lentilă şi sursă se introduce o lamă transparentă, cu feţele plane şi paralele, având lăţimea a, aşezată aşa cum indică desenul b. Pentru ca şi în aceste condiţii imaginea să se formeze pe acelaşi ecran, acesta trebuie deplasat pe distanţa . Să se determine indicele de refracţie al lamei transparente. Se va lucra în aproximaţia gaussiană. Fig. 2

Într-un triunghi oarecare, ABC, se ştie că:

1

.

Se ştie că: şi , dacă unghiul este foarte mic.

Problema 2A. Raza nedeviată. Două acvarii identice, confecţionate din sticlă cu indicele de refracţie sunt

aşezate unul lângă celălalt, aşa cum arată figura 1, astfel încât pereţii laterali vecini sunt paraleli. În fiecare acvariu se află apă, cu indicele de refracţie

Fig. 1

Să se determine distanţa dintre acvarii, astfel încât o rază de lumină plecată dintr-un acvariu să ajungă nedeviată în apa din celălalt acvariu. Între acvarii este aer, al cărui indice de refracţie este Unghiul de incidenţă pe suprafaţa interioară a peretelui primului acvariu este foarte mic.

B. Vagoane cu apă. În desenele din figura 2 sunt reprezentate două vagoane cu caroserii paralelipipedice, deschise în partea superioară, în care se află apă până la un anumit nivel. Vagoanele sunt în mişcări rectilinii orizontale cu acceleraţii constante. De la sursele de lumină şi respectiv fixate pe fiecare vagon la înălţimi egale, se trimit spre apa din vagoane raze de lumină care formează cu verticala unghiuri egale, Razele de lumină, reflectate de apa din fiecare vagon formează cu verticala unghiurile şi respectiv

Fig. 2

Corespunzător fiecărui caz să se precizeze sensul mişcării fiecărui vagon, felul mişcării fiecărui vagon şi să se determine acceleraţia fiecărui vagon, şi respectiv Se cunoaşte acceleraţia gravitaţională, g.

Problema 3. Desprinderea de suport

2

1S 2S

1V 2V

g

2n

h d 1n

2n

Pe o suprafață orizontală netedă se află în repaus un corp de care este prins un fir ușor și inextensibil, trecut peste un scripete fix, cu raza foarte mică, aflat la înălțimea h deasupra suportului corpului, așa cum indică figura 1. La celălalt capăt al firului acționează o forță orizontală constantă, astfel încât, la momentul inițial, când direcția firului formează cu verticala corpului un unghi , corpul are viteza v0 și accelerația a0,

a). Neglijând frecările, să se determine viteza corpului atunci când acesta a ajuns sub scripete, fără a se desprinde de pe suportul orizontal.

Fig. 1

b) Atunci când corpul a ajuns sub scripete încetează acțiunea forței orizontale și capătul C al firului se conectează de capătul liber R al unui resort liniar foarte ușor, orizontal, nedeformat, având constanta de elasticitate k.

Să se determine viteza minimă cu care corpul trebuie să treacă pe sub scripete, pentru ca el să se desprindă de suportul orizontal. Se cunoaște masa corpului, m și accelerația gravitațională, g. Se neglijează frecările.

c) Un corp cu masa m, aflat în repaus pe un suport plan orizontal, este prins între două resorturi orizontale identice, fiecare cu constanta de elasticitate k și un fir inextensibil, așa cum indică figura 2, unde unghiul este cunoscut. Distanța dintre punctele A și B, unde sunt prinse capetele celor două resorturi, este egală cu dublul lungimii unui resort în stare nedeformată.

Să se determine viteza maximă dobândită de corp, după ruperea firului, dacă în momentul ruperii firului accelerația corpului este a. Se neglijează frecările.

Pentru rezolvarea acestei probleme puteți să folosiți următoarea lege a dinamicii: Variația energiei cinetice a unui corp este egală cu lucrul mecanic al rezultantei forțelor ce acționează asupra corpului ( ).

Fig. 2

3

Prof. dr. Mihail Sandu Liceul Tehnologic de Turism Călimănești

Rezolvare – Problema 1 – Clasa a IX-aa) Lumina difuză exterioară presupune lumină incidentă pe suprafaţa apei din copcă, aşa cum indică

figura 1, sub toate valorile posibile ale unghiului de incidenţă

Fig. 1

Pentru razele de lumină care sosesc la marginea deschiderii, pe tot conturul acesteia, sub un unghi de incidenţă şi se refractă apoi sub un unghi în acord cu legea refracţiei, avem:

astfel încât conturul circular al zonei luminate de pe fundul lacului are raza:

a cărei valoare maximă este dată de razele a căror incidenţă se face sub unghiul maxim,

b) În absenţa oricărei coli de hârtie, sosind pe faţa plană înclinată a prismei, lumina se reflectă total şi iese apoi din prismă prin faţa laterală inferioară.

În prezenţa colii de hârtie uscată, fenomenul se desfăşoară în acelaşi mod, datorită stratului de aer, foarte subţire, rămas între prismă şi coala de hârtie, astfel încât lumina nu ajunge la aceasta, ea reflectându-se total pe interfaţa sticlă-aer.

Când coala de hârtie este udă, între ea şi prismă există un strat foarte subţire de apă, al cărei indice de refracţie este mai mare decât indicele de refracţie al aerului.

Ca urmare, nu mai sunt îndeplinite condiţiile necesare reflexiei totale şi, ajungând la hârtia neagră, lumina este absorbită.

c) Efectul lamei transparente, cu feţe plane şi paralele, asupra luminii plecate de la sursa punctiformă, este evidenţiat în figura 2, acesta fiind echivalent cu o apropiere a sursei faţă de lentilă cu distanţa SS’= AD, pentru a cărei evaluare, din triunghiurile ABC şi respectiv ABD, utilizând şi legea refracţiei, rezultă:

4

Fig. 2

În aproximaţie gaussiană, când razele de lumină plecate de la sursă sunt paraxiale (apropiate de axul optic principal), avem:

astfel încât distanţa de la sursă la lentilă este:

iar distanţa de la lentilă la imagine este:

Utilizând formula lentilelor, rezultă:

5

Rezolvare – Problema 2 – Clasa a IX-aA. a) Utilizând figura 1 şi scriind legea refracţiei pentru fiecare interfaţă, rezultă:

Fig. 1

Pentru triunghiul dreptunghic ABC, se pot scrie următoarele relaţii:

B.Atunci când mişcarea unui vagon este orizontală, rectilinie şi uniformă, suprafaţa apei din vagon

este plană şi orizontală, perpendiculară pe direcţia vectorului reprezentând greutatea apei din vagon, Când mişcarea vagonului este caracterizată de o acceleraţie orizontală constantă, suprafaţa apei

din vagon, în poziţia de echilibru, este plană şi perpendiculară pe direcţia vectorului:

aşa cum indică figura 2, unde este forţa de inerţie.

d

1n

1n

2n2n

10 n

21 nn

h h

A

B

C

6

Fig. 2

Deoarece, în cazul vagonului iar în cazul vagonului însemnează că, în interiorul caroseriilor acestora, planele suprafeţelor libere ale apei în echilibru, atunci când mişcările sunt caracterizate de acceleraţii constante, sunt înclinate faţă de orizontală aşa cum indică desenele din figura 3.

Fig. 3

Variantele orientărilor vectorilor pentru vagonul şi respectiv pentru vagonul

care fac posibile aceste orientări ale suprafeţelor libere ale apei din cele două vagoane, sunt reprezentate în desenele din figurile 4 şi 5, din care rezultă:

Fig. 4

7

21 G

G

2R

1R

1v

2v

1a

2a

1V

1iF

2iF

1 2

2V

21 G

G

2R

1R

1v

2v

1a

2a

1V 2V

1iF

2iF

12

1V 2V

RG

iF

Fig. 5

În aceste condiţii, pentru oricare dintre variantele cinematice ale vagonului utilizând figura 6, rezultă:

Fig. 6

1a

1

11 ir 1i

1

8

În mod asemănător, pentru oricare dintre variantele cinematice ale vagonului utilizând figura 7, rezultă:

Fig. 7

Rezolvare – Problema 3 – Clasa a IX-a

2

2a

2i

2

2

22 ir

9

a) Dacă este forța orizontală constantă care acționează la capătul liber al firului, atunci accelerația inițială a corpului de pe suportul orizontal, așa cum indică figura 1, este:

a0 = ,

unde m este masa corpului, astfel încât:

F = .

Ajungând sub scripete, dar rămânând pe suportul orizontal, viteza corpului, este , astfel încât utilizând teorema variației energiei cinetice, rezultă:

Ec = Lrezultantei forțelor;

= F(l - h) = F h;

v = .

Fig. 1

b) În momentul desprinderii corpului de pe suportul orizontal, așa cum indică figura 3, viteza sa este nulă, în plus fiind îndeplinită condiția:

Fecos = mg; kycos = mg; cos = ;

y = .

Din figurile 2 și 3 , în acord cu legea conservării energiei, rezultă:

;

vmin = .

10

Fig. 2 Fig. 3

c) v = .

11

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE FIZICĂ “LIVIU TĂTAR” – Ediţia a XIV-a

Liceul Teoretic “Al. I. Cuza”Alexandria, 26 aprilie, 2014

Clasa a X-a

Problema 1Randamentul unui motor termic. Un gaz ideal monoatomic este supus transformării ciclice

reprezentată în diagrama din figura alăturată. În starea C gazul are volumul și presiunea iar pentru

starea B se cunosc: și

a) Să se determine randamentul unui motor termic care ar funcționa după acest ciclu.b) Să se determine raportul temperaturilor extreme din transformarea ciclică dată, b) Să se determine randamentul unui motor termic care ar funcționa după ciclul Carnot, între

temperaturile extreme ale ciclului dat și să se compare cu randamentul termic al ciclului dat.

Problema 2Deplasare pe gheață. Aflându-se în poziție verticală, pe o suprafață plană și

orizontală acoperită cu gheață, un om cu masa m încearcă să deplaseze din repaus o sanie grea, cu masa M, trăgând de aceasta printr-o sfoară, așa cum indică desenul din figura alăturată. Coeficienții de frecare cu gheața, pentru sanie și om, sunt 1 și respectiv 2.

A

B

C

p

Bp

Cp

BV CV V0

12

a) Să se determine valoarea minimă a unghiului pe care sfoara trebuie să-l facă cu orizontala, pentru ca sania să se deplaseze, iar omul să rămână în repaus.

b) Pe aceeași suprafață acoperită cu gheață se deplasează, fără frecare, un corp cu masa m și cu viteza 0. De la un anumit moment, considerat moment inițial, asupra corpului începe să acționeze o forță orizontală, constantă, , pe o direcție diferită de direcția lui 0.

Să se determine deplasarea a corpului realizată până în momentul în care vectorul viteză al acestuia și-a redobândit valoarea inițială, v = v0 și când ( , 0) = și să se demonstreze, pe baze cinematice, că accelerația medie a corpului este constantă, m = .

c) Să se stabilească forma traiectoriei corpului și să se determine durata acestui proces mecanic.

Problema 3Scândură pe un suport orizontal. Pe o scândură omogenă, cu lungimea L și cu masa

M, așezată pe un suport orizontal fix așa cum indică desenul din figura alăturată, se află un corp cu masa m prins de capătul din dreapta al scândurii printr-un resort elastic nedeformat, a cărui constantă de elasticitate este k.

a) Să se determine masa minimă a corpului C, care trebuie suspendat de capătul liber al firului astfel încât, după ruperea bruscă a firului, sectorul OA al scândurii să se ridice de pe suportul orizontal, datorită rotirii scândurii în jurul muchiei orizontale superioare din dreapta suportului. Se cunoaște accelerația gravitațională, g. Se neglijează frecările. Resortul rămâne tot timpul liniar. În procesul descris nu se face translația scândurii de-a lungul suportului.

13

g

b) Să se determine forța F, reprezentând acțiunea exercitată de capătul din stânga al scândurii asupra opritorului de pe suportul orizontal, înainte de ruperea firului de care este suspendat corpul C..

c) Discul foarte ușor al unui scripete mobil se sprijină pe un fir inextensibil și foarte ușor, așa cum indică desenul din figura alăturată, firul fiind legat de capetele a două resorturi elastice verticale, foarte ușoare, având constantele de elasticitate k1 și respectiv k2. Să se determine deplasarea pe verticală a centrului discului după ce corpul cu masa m este suspendat de axul discului. Se cunoaște accelerația gravitațională, g.

Prof. dr. Mihail Sandu Liceul Tehnologic de Turism Călimănești

Rezolvare – Problema 1 – Clasa a X-aa) Randamentul procesului ciclic este dat de relația:

unde este lucrul mecanic total schimbat de sistem cu exteriorul pe întregul ciclu, iar este căldura totală primită de sistem pe întregul ciclu.

Lucrul mecanic total schimbat de sistem cu exteriorul pe întregul ciclu este egal cu aria suprafeței din interiorul ciclului, reprezentat în diagrama

Pentru calculul căldurii pe care sistemul o schimbă cu exteriorul pe fiecare sector particular al evoluției ciclice, utilizăm principiul întâi al termodinamicii, în forma:

unde este variația energiei interne a sistemului în transformarea particulară analizată, iar este lucrul mecanic schimat de sistem cu exteriorul în transformarea particulară respectivă;

unde: numărul de moli; căldura molară la volum constant a gazului; variația temperaturii gazului în transformarea analizată;

unde este constanta universală a gazelor perfecte.Pe diagrama procesului ciclic dat, reprezentat în desenul din figura alăturată, trasăm o rețea de

hiperbole echilatere (izoterme).

14

Cu cât temperatura gazului este mai mare, cu atât hiperbola este mai departe de intersecția axelor diagramei. Ca urmare, în evoluția izocoră AB, gazul primește căldură din exterior:

În evoluția izobară, sistemul eliberează căldură, răcindu-se (micșorându-și energia internă) și primind lucru mecanic din exterior:

Analizăm acum procesul destinderii pe sectorul transformării liniare BC. Scriind ecuațiile de stare pentru stările B și C rezultă:

ceea ce presupune că stările B și C se află pe o aceeași izotermă.Din desen se vede că în procesul destinderii BC, mai întâi temperatura gazului crește, începând de

la valoarea pentru ca apoi temperatura gazului să scadă și în final, în starea C, temperatura gazului să

A

B

C

p

Bp

Cp

BV CV V0

AT

CB TT

15

revină la valoarea inițială, Aceleași observații, pe durata procesului liniar BC, se pot face cu referire la energia internă a sistemului.

Lucrul mecanic schimbat de sistem cu exteriorul, în transformarea BC, este:

În aceste condiții, în prima parte a destinderii liniare BC, când energia internă a gazului crește, și când sistemul cedează lucru mecanic, sistemul trebuie să primească din exterior căldură,

În ultima parte a destinderii liniare BC, când energia internă a gazului scade, și când sistemul cedează lucru mecanic în exterior, sistemul trebuie să cedeze căldură în exterior, dacă

În destinderea liniară BC există o stare intermediară, K, astfel încât (în transformarea BK sistemul primește căldură din exterior) și (în transformarea KC sistemul cedează căldură în exterior). Pentru localizarea punctului K pe segmentul BC, așa cum indică figura din desenul alăturat, considerăm o stare oarecare D, aparținând aceleiași destinderi BC, astfel încât:

Graficul transformării BC, în diagrama fiind un segment de dreaptă, ecuația transformării BC este:

unde a și b sunt constante care trebuie determinate;

A

B

C

pBp

Cp

BV CV V0

KD

DV KV

Dp

ABQ

BKQ

KCQ

CAQ

16

Rezultă:

expresie de forma unui trinom de gradul doi:

având rădăcinile și respectiv al cărei grafic, reprezentat în figura alăturată, evidențiază

existența unui maxim pentru astfel încât:

Concluzie: în transformarea liniară BC, există o stare intermediară, K, pentru care:

BDQ

k

2

11 k

8

112 k0

16

150 k

maxBD,Q

17

astfel încât pe sectorul BK sistemul primește căldură din exterior:

iar pe sectorul KC sistemul cedează căldură spre exterior, În aceste condiții, când căldura totală absorbită de gaz pe întregul ciclu este:

iar lucrul mecanic util este:

randamentul unui motor termic, care ar funcționa după ciclul dat, ar fi:

b) În desenul din figura alăturată am evidențiat punctul M, corespunzând mijlocului segmentului BC, ceea ce însemnează starea intermediară de la mijlocul destinderii liniare a gazului. Se dovedește ușor că parametrii stării M sunt:

deoarece, din considerente de simetrie, starea gazului, în care temperatura acestuia este maximă, corespunde punctului M de la mijlocul segmentului BC, unde izoterma (hiperbola echilateră) este tangentă la sectorul BC. Am admis că unitățile convenționale de pe cele două axe ale diagramei sunt egale.

18

De asemenea, temperatura minimă din evoluția ciclică dată, corespunde stării A, a cărei izotermă (hiperbolă echilateră) este evidențiată în desen.

Rezultă:

c)

A

B

C

p

C2 p

Cp

CV V0

M

maxTminT

2CV

C4

3V

C2

3p

19

Rezolvare – Problema 2 – Clasa a X-aa) Forțele care acționează asupra fiecărui element al sistemului fiind cele

reprezentate în figura alăturată, rezultă:

Tcos Ff 1 = 1N1 = 1(Mg - Tsin);

T(cos + 1sin) 1Mg;

Tcos = 2N2 = 2(mg + Tsin);

20

T(cos - 2sin) = 2mg; T = ;

2mg Mg;

tan .

b) În planul figurii alăturate am ales mai întâi un punct A, reprezentând poziția corpului la momentul inițial (t0 = 0) și am reprezentat vectorul , având o orientare oarecare. Apoi am ales un punct B, reprezentând poziția corpului la un anumit moment, t și am reprezentat acolo vectorii și , respectând condițiile din enunțul problemei, adică ( ; ) = și v = v0. Am reprezentat apoi vectorul deplasare, = . Este evident, din considerente geometrice, că direcția vectorului deplasare este bisectoarea unghiului ( ; ), astfel încât ( ; ) = /2.

Având în vedere definiția cinematică a vectorului accelerație medie:

= = tΔ

0vv

; am = = constant; = = constant,

l-am reprezentat în același desen, fiind evident că direcția sa este perpendiculară pe direcția vectorului deplasare. Pe de altă parte, din principiul fundamental al dinamicii, știind că:

= m ,

am reprezentat, cu originea în punctul A, vectorul forță , a cărui direcție este perpendiculară pe direcția vectorului deplasare.

21

În aceste condiții, raportată la axele de coordonate rectangulare, AX și AY, situate în plan orizontal, mișcarea corpului este analogă mișcării unui corp în câmp gravitațional uniform, aruncat sub un unghi /2 față de orizontală.

Rezultă:

r = .

c) t = = 2 v0sin .

Rezolvare – Problema 3 – Clasa a X-aa)

22

Sub acţiunea greutăţii corpului cu masa mx, resortul se alungeşte cu cantitatea y, aşa cum indică secvenţele din figura alăturată, astfel încât, în momentul ruperii firului, energia potenţială de deformaţie elastică a resortului este:

În acord cu legea conservării energiei mecanice, corpul de pe scândură va reveni spre poziţia de echilibru, depăşind-o cu viteza v,

pentru ca în final să se oprească, după ce resortul a fost comprimat cu aceeaşi cantitate:

Dacă în momentul opririi corpului de pe scândură, aceasta începe să se rotească în jurul muchiei A a suportului, însemnează că:

din care rezultă:

b) Forţele care acţionează pe direcţie orizontală asupra elementelor sistemului, asigurând echilibrul acestora, fiind cele reprezentate în figura alăturată, rezultă:

23

c)

24