BISECTOAREA

Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta ınchisa cu proprietatile:

‚ are originea ın varful unghiului;

‚ trece prin interiorul unghiului;

‚ formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri adiacente congruente.

Se poate vorbi asadar de bisectoarea unui unghi numai daca acesta este un unghi propriu,

adica un unghi cu masura mai mare de 0˝ si mai mica de 180˝. In figura 1, este desenata

bisectoarea rOM a unghiului AOB.

Figura 1

Observatie. Bisectoarea unui unghi exista si este unica.

Teorema. (Proprietatea bisectoarei.) Daca un punct se afla pe bisectoarea unui unghi,

atunci el este egal departat de laturile unghiului.

Demonstratie. Fie unghiul AOB si punctul P situat pe bisectoarea lui. Construim

PE K OA, E P OA si PF K OB, F P OB, ca ın figura 2.

Figura 2

Deducem ca 4EOP ” 4FOP (I.U.), deci PE “ PF, adica P este egal departat de laturile

unghiului AOB. �

Teorema reciproca. Daca un punct interior unui unghi este egal departat de laturile

unghiului, atunci acel punct se afla pe bisectoarea unghiului dat.

Demonstratie. Fie unghiul AOB si punctul P situat ın interiorul unghiului astfel ıncat

rPEs ” rPF s, unde PE K OA, E P OA si PF K OB, F P OB, ca ın figura 3.

Fise cu teorie pentru gimnaziuBisectoarea

´1´ Profesor Marius Damian, Braila

Figura 3

Deducem ca 4EOP ” 4FOP (I.C.) de unde rezulta ca ?EOP ” ?FOP, ceea ce spune

ca P se afla pe bisectoarea unghiului AOB. �

Observatie. Teoremele anterioare se pot da ıntr-un singur enunt:

Un punct interior unui unghi se afla pe bisectoarea unghiului daca si numai daca este egal

departat de laturile unghiului.

Definitie. O bisectoare interioara ıntr-un triunghi este segmentul care are un capat ıntr-

un varf al triunghiului, celalalt capat pe latura opusa si ımparte unghiul ın doua unghiuri

congruente. In figura 4, este reprezentata bisectoarea interioara rADs.

Observatie. Orice triunghi are trei bisectoare interioare. (vezi figura 5)

Figura 4 Figura 5

Teorema. (Concurenta bisectoarelor interioare.) Bisectoarele interioare ale unui

triunghi sunt concurente.

Demonstratie. Fie 4ABC si punctul I, intersectia bisectoarelor unghiurilor ABC si

ACB. Trebuie sa aratam ca rAI este bisectoarea unghiului BAC.

Notam cu M, N, P picioarele perpendicularelor coborate din I pe laturile rBCs, rCAs si

respectiv rABs, ca ın figura 6.

Tinand cont ca rBI este bisectoare, rezulta ca

rIM s ” rIP s, (1)

iar din din faptul ca si rBI este bisectoare, obtinem

rIM s ” rIN s. (2)

Fise cu teorie pentru gimnaziuBisectoarea

´2´ Profesor Marius Damian, Braila

Figura 6

Din (1) si (2) deducem ca rIN s ” rIP s, ceea ce spune ca rAI este bisectoarea unghiului

BAC. In concluzie, bisectoarele interioare ale triunghiului ABC sunt concurente ın I. �

Observatie. (Vezi figura 7.) Punctul de intersectie a bisectoarelor triunghiului poarta

numele de centrul cercului ınscris ın triunghi si se noteaza, de obicei, cu I. Acesta este egal

departat de toate laturile triunghiului, iar distanta r de la I la fiecare latura se numeste raza

cercului ınscris. Exista asadar un cerc cu centrul ın I si de raza r tangent celor trei laturi ale

triunghiului. Il vom numi cercul ınscris ın triunghi.

Figura 7

Fise cu teorie pentru gimnaziuBisectoarea

´3´ Profesor Marius Damian, Braila

Definitie. Prin bisectoare exterioara a unui triunghi ıntelegem bisectoarea unui unghi

exterior al triunghiului. In figura 8, este reprezentata bisectoarea exterioara rAE a triunghiului

ABC.

Figura 8 Figura 9

Observatie. Fiecare bisectoare exterioara a unui triunghi este perpendiculara pe bisec-

toarea interioara care pleaca din acelasi varf cu ea. (Vezi figura 9.)

Teorema. Dreptele-suport a doua bisectoare exterioare ale unui triunghi sunt concurente

cu bisectoarea interioara din al treilea varf.

Demonstratie. Fie 4ABC si unghiurile exterioare ?PAB, ?QBA. Bisectoarele acestor

unghiuri se intersecteaza ın Ic si fie P, S, Q proiectiile punctului Ic pe dreptele AC, AB si

respectiv BC, ca ın figura 10.

Figura 10

Deoarece rAIc este bisectoarea unghiului PAB, rezulta ca IcP “ IcS. Totodata, rBIc este

bisectoarea unghiului QBA, deci IcQ “ IcS. Ultimele doua egalitati conduc la IcP “ IcQ, ceea

ce spune ca rCIc este bisectoarea unghiului ACB si teorema este demonstrata. �

Fise cu teorie pentru gimnaziuBisectoarea

´4´ Profesor Marius Damian, Braila

Observatie. Teorema precedenta asigura existenta punctului Ic exterior triunghiului si

egal departat de dreptele-suport ale laturilor. Acest punct se numeste centrul cercului exınscris

corespunzator laturii rABs, iar distanta de la Ic la AB se numeste raza cercului exınscris

corespunzator laturii rABs si se noteaza cu rc.

Cercul de centru Ic si de raza rc se numeste cercul exınscris corespunzator laturii rABs.

(Vezi figura 11.)

Figura 11

Fiecare triunghi are 3 cercuri exınscrise. (Vezi figura 12.)

Figura 12

Fise cu teorie pentru gimnaziuBisectoarea

´5´ Profesor Marius Damian, Braila