figuri lissajous supermatematice excentrice- mircea eugen selariu

Mircea Eugen Şelariu, FIGURI LISSAJOUS SUPERMATEMATICE 2013

Motto : ” Fiecare ştie ce este curbă, până când nu va învăţa matematică atât,

încât se va încurca în nenumărate excepţii.”

Felix Klein

FIGURI LISSAJOUS SUPERMATEMATICE EXCENTRICE

1. INTRODUCERE.

DESPRE CURBE LISSAJOUS CENTRICE

Curbele , denumite şi figuri sau franjuri, Lissajous derivă de la numele matematicianului francez Jules Antoine

Lissajous. Acum suntem obligaţi să le denumim şi centrice , din momentul în care au apărut şi alte familii de “figuri supermatematice (Lissajous) excentrice, elevate si exotice” mai generale, care, evident, nemaifiind figuri Lissajous,

sunt numite figuri supermatematice excentrice (FSME), elevate (FSML) şi exotice (FSMEx).

THIS NOTEBOOK IS THE SOURCE CODE FROM

"Lissajous Array" from the Wolfram Demonstrations Project_ http://demonstrations.wolfram.com/

LissajousArray/ Contributed by: Stephen Wolfram

myloes.blogspot.com

Fig.1,a Curbe Lissajous centrice

Figurile Lissajous centrice reprezintă traiectoria plană descrisă de un punct prin ecuaţiile modificate ale cercului (1)

(1)

sau ale elipsei

arraysize 8

relative phase 0.

http://demonstrations.wolfram.com/LissajousArray/

http://demonstrations.wolfram.com/LissajousArray/

http://myloes.blogspot.com/2012/09/curves.html


\ m/n

1/3 1/2 1 2/1 3/1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Fig.1,b Curbe Lissajous centrice a = b = 1

www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.Ro

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

http://www.supermatematica.ro/


(2)

Din punct de vedere mecanic şi, mai precis, al dinamicii unui punct material, figurile Lissajous centrice reprezintă

traiectoria în plan a unui punct forţat să participe simultan la două oscilaţii armonice, după cele două direcţii

perpendiculare din plan. Aceste curbe sunt transcendente , respectiv, algebrice dacă raportul

=

este iraţional,

respectiv, raţional.

Dacă m = n , adică perioadele oscilaţiilor sunt egale ( ), traiectoria / curba este o elipsă, dacă a b şi un

cerc dacă a = b = R şi dacă = kπ , (k = 0, 1 ,2, 3…), adică pentru 0, π, 2π, 3π, …

Dacă această diferenţă de fază este 0,

sau (2k + 1 )

cercul şi / sau elipsa degenerează în două segmente de

dreaptă, suprapuse peste una dintre bisectoarele planului, sau peste diagonalele ale unui pătrat şi /sau, respectiv, un

dreptunghi.

Ele, figurile Lissajous centrice, pot degenera în două segmente de dreaptă confundate, suprapuse peste prima

bisectoare dacă =

(1 + 4k) , (k = 0, 1 ,2, 3…), adică pentru

,

,

, … şi se suprapun peste a doua bisectoarea, dacă

=

(3 + 4k) (k = 0, 1 ,2, 3…), adică pentru

,

,

, ….

Cele anterior enunţate sunt ilustrate tabelar în figura 1,b, ca funcţii de m/n şi .

2. FIGURI (LISSAJOUS) SUPERMATEMATICE EXCENTRICE

DE VARIABILĂ EXCENTRICĂ θ

Iniţial, aceste figuri au fost prezentate cu mulţi ani în urmă, în lucrarea [1], sub denumirea de ECCENTRIC

LISSAJOUS FIGURES (FIGURI LISSAJOUS EXCENTRICE). Prin înlocuirea funcţiilor circulare centrice (FCC) cosinus (cos) şi sinus (sin) cu funcţiile supermatematice

circulare excentrice (FSM-CE) corespondente , cosinus excentric (de variabilă excentrică θ cex1,2θ sau de variabilă

centrică α Cexα1,2) şi sinus excentric (sex1,2θ sau Sexα1,2), fiecărui punct din plan, în care poate fi plasat un punct denumit excentru S(s,ε), îi corespunde o altă figură, din infinitatea de figuri supermatematice excentrice (FSME) şi, evident, numai într-un singur caz, în care S(s, ε) ≡ O(0,0), adică excentrul se confundă cu centrul cercului unitate şi cu originea axelor de coordonate, aşa cum le-a poziţionat Euler, se obţine câte o singura funcţie trigonometrică sin şi cos ca, de altfel, toate entităţile matematicii centrice (MC) şi o singură figură Lissajous centrică.

Ȋn figurile 1 sunt prezentate o serie de figuri Lissajous centrice , iar în figura 2 o serie de figuri super-

matematice excentrice (FSME) de variabila excentrică θ.

Figurile supermatematice excentrice (FSME) de variabila excentrică θ au ecuaţiile parametrice

şi explicit

, ca funcţii de variabila excentrică.

Ca funcţii de variabilă centrică ele sunt

şi explicit

(6)

Ȋn relaţiile anterioare s-au considerat doar determinarile principale, de indice 1, ale FSM-CE .


= π = - π/2 m = 1; n = 1 = π/2 = 2π

s [-1, 0], ε = 0 S(s = 0, ε = 0) s [0, 1], ε = 0

s [-1, 0], ε = 0 m = 2; n = 1 s [0, 1], ε = 0

s [-1, 0], ε = 0 m = 1; n = 2 s [0, 1], ε = 0

s [-1, 0], ε = 0 m = 3; n = 2 s [0, 1], ε = 0

s [-1, 0], ε = 0 m = 2; n = 3 s [0, 1], ε = 0

Fig. 2 Figuri supermatematice excentrice de variabilă excentrică θ M


Ele sunt reprezentate, sub formă de tablou, în figura 2. Excentricitatea liniară numerică s [-1, 1] cu pasul 0,2 a

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0



fost separată în două subdomenii: de excentru S pe axa x negativă, adică de excentricitate liniară numerică negativă s [-1, 0] şi de excentricitate unghiulară nulă ε = 0, care echivalează cu S(s [0, 1], ε = π) şi, al doilea, domeniul lui S pa axa x pozitivă, adică S(s [0, 1], ε = π). Alte figuri supermatematice circulare excentrice sunt prezentate în figura 3.

▼

m = 3; n = 1, S(s [-1, 0], p = 0,2; ε = 0) m = 1; n = 3, S( s [0, 1], p = 0,2; ε = 0)

-3

-π/2

0

Fig. 3,a Figuri supermatematice excentrice de variabilă excentrică θ


1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0 1

1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0 1



m = 4; n = 3, S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) m = 3; n = 4, S(s[0, 1], p= 0,2; ε = 0)

3π/2

π

π/2

Fig. 3,b Figuri supermatematice excentrice de variabilă excentrică θ


1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0 1

1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0



3. FIGURI (LISSAJOUS) SUPERMATEMATICE EXCENTRICE

DE VARIABILĂ CENTRICĂ α ≡ t

0

0

Fig. 4 Figuri supermatematice excentrice de variabilă centrică α; S(s[0, 1], p= 0,2; ε = 0)


1 1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1 1



Ecuaţiile parametrice ale acestor figuri supermatematice elevate (FSMEL) sunt

(7)

Ȋn figura 4 sus ▲ sunt prezentate FSMEL de m = n = 1 şi sx = sy =1 cu şi

, iar în partea

inferioară pentru m = 3; n = 1 cu în stânga ◄şi pentru m = 1; n = 3 cu în dreapta ► .

4. FIGURI (LISSAJOUS) SUPERMATEMATICE ELEVATE

DE VARIABILĂ EXCENTRICĂ θ ≡ t

0

x = cel[θ, S(s [-1,0])] = rex[θ, S(s [1,0])] cosθ; y = sel[θ, S(s [-1,0]) = rex[θ, S(s [1,0])] sinθ;

0

x = cel[θ, S(s [-1,0])] = rex[θ, S(s [1,0])] cosθ; y = sel[θ-π/2, S(s [-1,0]) = rex[θ-π/2, S(s [1,0])] sinθ;

Fig. 5,a Figuri supermatematice elevate de variabilă excentrică θ; pentru

S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) ◄ şi S(s[0, 1], p= 0,2; ε = 0) ►


1

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0



Fig. 5,b Figuri supermatematice elevate de variabilă excentrică θ; pentru

S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) ◄ şi S(s[0, 1], p = 0,2; ε = 0) ►


1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5



Fig. 6 Figuri supermatematice elevate de variabilă excentrică θ; pentru m = 1,2,3,4 şi 5 cu n = 1 ◄ şi cu m = 1 şi n = 1, 2, 3, 4,si 5 ► S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) ◄ şi S(s[0, 1], p = 0,2; ε = 0) ►


2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0 1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1

2

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1



Ecuaţiile parametrice ale acestor figuri supermatematice elevate de variabilă excentrică sunt

(8)

Şi au unele grafice / figuri reprezentate în figura 5.

6. FIGURI (LISSAJOUS) SUPERMATEMATICE ELEVATE

DE VARIABILĂ CENTRICĂ α ≡ t

]]

Fig. 7,aFiguri supermatematice elevate de variabilă centrică α; pentru m = 1,2,3,4 şi 5 cu n = 1 ◄ şi cu m = 1 şi n = 1, 2, 3, 4,si 5 şi combinaţii S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0)


2 2

1 1

1

2

1

2

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5



Fig. 7,b Figuri supermatematice elevate de variabilă centrică α; pentru m = 1,2,3,4 şi 5 cu n = 1 ◄

şi cu m = 1 şi n = 1, 2, 3, 4,si 5 şi combinatii S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0)


2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1

1

1

2

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0



Fig. 7,c Figuri supermatematice elevate de variabilă centrică α; pentru m = 1,2,3,4 şi 5 cu n = 1 ◄

şi cu m = 1 şi n = 1, 2, 3, 4,si 5 ► S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) ◄ şi S(s[0, 1], p = 0,2; ε = 0) ►


2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1

2

1

2 1 1 2

2

1

1

2

2 1 1 2

2

1

1

2

1



Fig. 7,d Figuri supermatematice elevate de variabilă centrică α; pentru m = 1,2,3,4 şi 5 cu n = 1 ◄

şi cu m = 1 şi n = 1, 2, 3, 4,si 5 ► S(s[-1, 0], p = 0,2; ε = 0) ◄ şi S(s[0, 1], p = 0,2; ε = 0) ►


1

2

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2 1 1 2

2

1

1

2

1

1



7. BIBLIOGRAFIE

1 Şelariu, Mircea

Eugen

ECCENTRIC LISSAJOUS FIGURES Com. a V-a Conf. Naţ. V. C. M. Timişoara, 1985,

pag. 195...202

2 Şelariu, Mircea

Eugen

THE DEFINITION of the ELLIPTIC

ECCENTRIC with FIXED ECCENTER

A V-a Conf. Naţ. de Vibr. în Constr. de

Maşini,Timişoara, 1985, pag. 175...182

3 Şelariu, Mircea

Eugen

ELLIPTIC ECCENTRICS with

MOBILE ECCENTER

A V-a Conf. Naţ. de Vibr. în Constr. de

Maşini,Timişoara, 1985, pag. 175...182

4 Şelariu, Mircea

Eugen

CIRCULAR ECCENTRICS and

HYPERBOLICS ECCENTRICS

Com. a V-a Conf. Nat. V. C. M. Timişoara, 1985,

pag. 189...194.

5 Şelariu, Mircea

Eugen

FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE Com. I Conferinţă Naţ ionala de Vibraţ ii în Constr. de

Maşini, Timişoara , 1978, pag.101...108.

6 Şelariu, Mircea

Eugen

FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE

şi EXTENS IA LOR.

Bul .St.si Tehn. al I.P. ”TV” Timisoara, Seria

Mecanica, Tomul 25(39), Fasc. 1-1980, pag. 189...196

7 Şelariu, Mircea

Eugen

SUPERMATEMATICA.FUNDAMENTE,

Vol.I, Ediţ ia a 1 - a

Editura “POLITEHNICA” din Timişoara, 2007

8 Şelariu, Mircea

Eugen


Vol.I, Ediţ ia a 2 - a


9 Şelariu, Mircea

Eugen


Vol.II, Ed iţia a 2 - a


10 Şelariu, Mircea

Eugen STUDIUL VIBRAŢIILOR LIBERE ale

UNUI S ISTEM NELINIAR,

CONS ERVATIV cu AJUTORUL

FUNCŢIILOR CIRCULARE

EXCENTRICE

Com. I Conf. Naţ. Vibr.în C.M. Timişoara,1978,

pag. 95...100

11 Şelariu, Mircea

Eugen FUNCŢIILE S UPERMATEMATICE

CEX şi S EX- SOLUŢIILE UNOR

SISTEME MECANICE NELINIARE

Com. a VII-a Conf.Naţ. V.C.M., Timişoara,1993,

pag. 275...284.

12 Şelariu, Mircea

Eugen

RIGIDITATEA DINAMICĂ

EXPRIMATĂ CU FUNCŢII

SUPERMATEMATICE

Com.VII Conf. Internaţ. de Ing. Manag. şi Tehn.,

TEHNO’95 Timişoara, 1995 Vol.7: Mecatronică,

Dispoz. şi Rob.Ind.,pag. 185...194

13 Şelariu, Mircea

Eugen FUNCŢIILE S UPERMATEMATICE

CIRCULARE EXCENTRICE DE

VARIABILĂ CENTRICĂ CA SOLUŢII

ALE UNOR S ISTEME OSCILANTE

NELINIARE

TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţa de Inginerie

Managerială şi Tehnologică, Timişoara 1998,

pag 557…572

14 Şelariu, Mircea

Eugen QUADRILOBIC VIBRATION S YS TEMS The 11 –th International Conference on Vibration

Engineering, Timişoara, Sept. 27-30, 2005 pag. 77-82

Timişoara, octombrie 2013

www.supermathematica.com;



www.eng.upt.ro/~mselariu

www.cartiaz.ro

http://www.supermathematica.com/



http://www.eng.upt.ro/~mselariu

figuri lissajous supermatematice excentrice- mircea eugen selariu

Documents