fenomene electrice si magnetice - curs 01

Vasile Ţura Fenomene Electrice şi Magnetice

Curs 1 - 1

CURS 1 Introducere Cunoaștem că orice corp din Univers se caracterizează printr-o proprietate numită masă (sarcină) gravitațională. Între oricare două corpuri cu masele 1m și 2m , se manifestă interacțiunea gravitațională adică, fiecare corp acționează asupra celuilalt cu o forță de atracție de forma:

1 22

, , 1,2ij iji j ij

m mF K u i j

R

, (C1.1)

unde 21110673,6 kgmNK este constanta atracției universale, ijR

este distanța de la im la jm

iar iju

este versorul direcției ijR

(Fig.C1-1).

Fig.C1-1

Deoarece un observator nu sesizează prezența unui corp de legătură între Soare și planetele

din sistemul solar sau între Pământ și Lună, presupune că transmiterea forței de atracție de la Soare la planete se realizează prin intermediul unei entități fizice numită câmp gravitațional. În modelul câmp-sarcină, câmpul gravitațional este o „substanță” nedetectabilă de simțurile omului, un mediu continuu și deformabil, capabil să transmită din aproape în aproape impuls și energie între corpurile care interacționează gravitațional.

În studiul electricității întreg aparatul conceptual dezvoltat pentru studiul câmpului gravitațional a fost adaptat pentru studiul câmpului electric, entitatea fizică ce intermediază interacțiune electrică. C1.1 Scurt istoric al dezvoltării electricității

Din antichitate există relatări că posesorii de bijuterii din chihlimbar (elektron, în limba greacă), o rășină vegetală fosilizată, au observat că atunci când sunt frecate cu blană pentru a fi curățate devin capabile să atragă corpuri mici și ușoare. Prima descriere a acestui fenomen privind chihlimbarul o avem de la Tales din Milet, aprox. 600 î.e.n. O relatare la fel de importantă a rămas de la Pliniu cel Tânăr, care descrie în 98 e.n. că turmalina (borosilicat natural hidratat de sodiu, calciu, magneziu și aluminiu) are aceeași proprietate ca și chihlimbarul.

Din antichitate până în epoca modernă s-a acumulat o cantitate mare de observații experimentale privind interacțiunile între corpuri supuse în prealabil frecării. Comparația interacțiunii dintre aceste corpuri cu interacțiunea lor gravitațională a arătat că forța gravitațională este prea mică pentru a putea explica fenomenele observate. În plus, chihlimbarul sau turmalina devin capabile să interacționeze cu corpurile ușoare numai după frecare cu o bucată de stofă sau blană.


Curs 1 - 2

Concluzia acestor experimente a fost că, prin frecare, chihlimbarul și turmalina devin capabile să interacționeze cu corpurile din jur prin intermediul unei alte interacțiuni decât cea gravitațională. Noua interacțiune a fost numită interacțiune electrică.

Studiul sistematic al interacțiunii electrice a început în jurul anilor 1570, cu lucrările lui William Gilbert, medic al reginei Angliei, Elisabeta I. William Gilbert a inventat electroscopul (Fig.C1-2), primul instrument prin care se poate stabili calitativ prezența stării de electrizare a unui corp; a introdus noțiunea de electricitate ca sursă a fenomenelor electrice. Un scurt istoric al evoluției cunoștințelor privind interacțiunea electrică este dat în Tabelul 1.

Tabelul 1. 1570 (aprox.)

William Gilbert studiază electrizarea; inventează electroscopul și introduce noțiunea de electricitate.

1729

Stephen Gray, introduce noțiunile de conductor și izolator; realizează prima experiență de transmitere a electricității prin fire conductoare.

1733 Charles Dufay, emite teoria celor două feluri de electricitate, “sticloasă” și “rășinoasă”; afirmă că orice corp poate fi electrizat.

1749 Jean-Baptiste Le Roy și Patrick D’Arcy construiesc primul aparat pentru măsurarea forțelor electrice, numit electrometru-areometru.

1752 Benjamin Franklin, precizează noțiunile de sarcină electrică pozitivă (sticloasă) și negativă (rășinoasă); enunță principiul conservării sarcinii electrice.

1767 Joseph Priestley stabilește calitativ scăderea forței electrice cu distanța.

1771 Henry Cavendish stabilește cu precizie că forța electrică scade cu pătratul distanței, folosind balanța de torsiune.

1785 Charles Auguste Coulomb enunță legea de interacțiune între corpurile electrizate (și o lege similară pentru corpurile magnetizate).

1791 Luigi Galvani, introduce calitativ noțiunea de curent electric.

1800 Alessandro Volta inventează generatorul electrochimic.

Fig.C1-2


Curs 1 - 3

C1.2 Interacțiunea electrică. Electrizarea

Se spune că prin frecare un corp se electrizează. Electrizarea este un proces prin care un corp inițial neutru, devine capabil de interacțiune electrică.

C1.3 Sarcina electrică

Un corp electrizat se deosebește de un corp neutru prin faptul că posedă sarcină electrică. Se spune că prin frecare un corp se încarcă cu sarcină electrică.

Experiența a arătat că sarcina electrică este de două feluri, numite prin convenție sarcină pozitivă și sarcină negativă. Sarcinile de același semn se resping iar sarcinile de semne contrare se atrag.

Tot experiența a arătat că sarcina electrică este mobilă, adică trece de pe un corp pe altul când acestea sunt aduse în contact. Electrizarea unui corp neutru, prin atingere cu un corp electrizat, se numește electrizare prin contact.

Fenomenele în care sunt implicate sarcini electrice în repaus sau în deplasare față de observator cu viteze mult mai mici decât viteza luminii formează domeniul de studiu al disciplinei numită electrostatică.

C1.4 Experimente fundamentale privind electrizarea Dispozitivele experimentale utilizate sunt: pendul electrostatic, baghetă de sticlă, blană de pisică, baghetă de ebonită, pâslă. Se electrizează două baghete de sticlă prin frecare cu blană și două baghete de ebonită prin frecare cu pâslă. Se realizează pendulele electrostatice din Fig.C1-3 și se observă că baghete de același fel, electrizate, se resping iar baghete diferite, electrizate, se atrag. Concluzia experimentului este că sarcinile electrice sunt de două feluri, numite convențional pozitive și negative; sarcinile de același semn se resping iar sarcinile de semn opus se atrag. Sarcina electrică este în general simbolizată cu literele q sau Q. Mărimea sarcinii electrice se exprimă cu ajutorul unității de sarcină care, în sistemul internațional de unități, este coulombul: ][1 oulombCQ

SI .

Fig.C1-3


Curs 1 - 4

C1.5 Legea lui Coulomb Folosind o balanță de torsiune și ideea că prin contactul a două corpuri metalice identice, sarcina aflată inițial pe un corp se distribuie în cantități egale pe ambele corpuri, Henry Cavendish (1771) a demonstrat că forța electrică scade cu pătratul distanței. Formularea matematică a acestei dependențe așa cum o cunoaștem astăzi a fost realizată de Charles Auguste Coulomb (1785):

21221

21

021 4

1u

R

qqF

(C1.2)

sau

321

21

0

2121 4 R

RqqF

, (C1.3)

unde:

2121

21

Ru

R

. (C1.4)

este versorul direcției lui 21R

.

În relația (C1.2), mărimea mF120 108,8 se numește permitivitate electrică a vidului.

Prin mărimea fizică numită permitivitate, , se ține cont de observațiile experimentale care au arătat că intensitatea interacțiunii electrice depinde de mediul în care se află sarcinile. C1.6 Intensitatea câmpului electric. Intuitiv, este util de cele mai multe ori să ne imaginăm câmpul electric asemenea unui mediu continuu elastic studiat la mecanică. Într-un punct unde se află o sarcină, considerăm că mediul elastic este deformat și regiunea deformată înglobează energia potențială a deformării respective. Un corp electrizat ale cărui dimensiuni mecanice sunt neglijabile în raport cu distanțele la care se studiază interacțiunea electrică se numește sarcină electrică punctiformă. Se spune că o sarcină electrică Q, situată într-un anumit punct din spațiu, creează în jurul ei un câmp electric și acest câmp electric posesor de energie și impuls, acționează asupra altor sarcini electrice, q situate în câmp. O descriere a câmpului electric al sarcinii Q, independentă de valoarea sarcinii electrice q asupra căreia acționează, se realizează cu ajutorul mărimii fizice numită intensitate a câmpului electric, notată cu E

:

304

F Q RE R

q R

. (C1.5)

Relația de mai sus arată că intensitatea câmpului electric are semnificația de forță electrică ce acționează pe unitatea de sarcină prezentă în câmp. Unitatea de măsură în SI este, conform cu (C1.5), N/C (newton/coulomb). O unitate des utilizată în lucrul curent este V/m (volt/metru). C1.7 Lucrul mecanic al forței electrice

Fie o sarcină punctiformă Q situată în originea unui sistem de referință cartezian Oxyz (Fig.C1-4). O sarcină q, situată în punctul (1), se deplasează sub acțiunea câmpului electric al sarcinii Q, până în punctul (2), de-a lungul unei traiectorii oarecare (D).


Curs 1 - 5

Câmpul electric al sarcinii punctiforme fiind câmp central (simetrie sferică), se descrie

folosind coordonatele sferice ,,R . La o deplasare infinitezimală d :

sinRRu R u R u d d d d , (C1.6)

a sarcinii q, câmpul electric E

efectuează lucrul mecanic elementar:

L F qE d d d

. (C1.7)

Fig.C1-4

Forța electrică fiind orientată radial, câmpul electric are numai componentă radială:

RuR

QE

2

04 . (C1.8)

Se introduce (C1.8) în (C1.7) și se obține:

2 20 0

sin4 4R R

Q Q RL q u Ru R u R u q

R R

d

d d d d

. (C1.9)

Lucrul mecanic total la deplasarea din (1) în (2), se obține prin integrarea relației (C1.9) de-a lungul curbei (D):

2

1

2

2(1) (2)0 0 0 1 21

1 1 1

4 4 4

R

R

Q R Q QL q q q

R R R R

d

. (C1.10)

Din relația (C1.10), se observă că lucrul mecanic pe unitatea de sarcină electrică se poate exprima printr-o mărime care depinde numai de punctul inițial și punctul final al deplasării:

2010

)2()1(

44 R

Q

R

Q

q

L

. (C1.11)


Curs 1 - 6

Cu relația (C1.11) se definește o mărime scalară utilă în studiul câmpului electric, numită potențial electric, notat cu V:

10

)()1(1 4 R

Q

q

LRV

. (C1.12)

Prin definiție, potențialul electric într-un punct dat 1RM

din câmpul unei sarcini punctiforme Q,

este egal cu lucrul mecanic necesar pentru a deplasa o sarcină Cq 1 din acel punct până la infinit. Unitatea de măsură a potențialului electric în SI este 1 V (volt). Cu definiția (C1.12), se scrie lucrul mecanic efectuat la deplasarea unei sarcini oarecare q între două puncte din câmp astfel:

VqRVRVqL 21

)2()1(, (C1.13)

iar pentru o deplasare infinitezimală: L q V d d . (C1.14)

Pentru o deplasare infinitezimală a unei sarcini egală cu unitatea, relația (C1.14) devine:

E V d d

. (C1.15) Câmpul electric este câmp conservativ, adică lucrul mecanic efectuat la deplasarea de-a lungul unui drum închis este egal cu zero:

04444 10202010

121

R

Q

R

Q

R

Q

R

Q

q

L

. (C1.16)

În formă integrală, exprimăm proprietatea câmpului electric de a fi câmp conservativ astfel:

0E d (C1.17)

C1.8 Relația câmp-potențial

Ecuația (C1.15) ne permite să stabilim o modalitate de calcul a intensității câmpului electric, dacă se cunoaște potențialul.

E V d d x y z

V V VE x E y E z x y z

x y z

d d d d d d

x

VEx

;

y

VE y

;

z

VEz

. (C1.18)

kz

Vj

y

Vi

x

VkEjEiEE zyx

E V grad

. (C1.19) Relația (C1.19) arată că se poate calcula intensitatea câmpului electric dacă se cunoaște funcția V(x,y,z) și se aplică acesteia operatorul gradient (grad).


Curs 1 - 7

C1.9 Linii de câmp electric. Ecuația liniilor de câmp. În unele aplicații este utilă o reprezentare geometrică a valorii și orientării câmpului electric

în spațiul din jurul sarcinilor electrice care îl creează. Un concept util în acest sens este linia de câmp, definită ca o curbă la care vectorul E

este tangent în fiecare punct. Vectorial, condiția de

tangență a vectorului E

la o curbă oarecare, într-un punct din interiorul elementului de lungime d ,

se scrie:

0E d . (C1.20)

Se scrie produsul vectorial în coordonate carteziene și se obține ecuația liniilor de câmp în forma:

0x y z y z x z x y

i j k

E E E E i E z E y j E z E x k E y E x

x y z

d d d d d d d

d d d

0

0

0

y z

x z

x y

E z E y

E z E x

E y E x

d d

d d

d d

y z

z x

x y

y z

E E

z x

E E

x y

E E

d d

d d

d d

x y z

x y z

E E E

d d d. (C1.21)

Ecuația (C1.21) este ecuația liniilor de câmp a câmpului electric, scrisă în coordonate carteziene. C1.10 Exemple de calcul al liniilor de câmp electric 1. Linii de câmp ale câmpului unei sarcini punctiforme

Câmpul unei sarcini punctiforme q situată în centrul unui sistem de coordonate cartezian

Oxyz este prin definiție:

kzjyixR

q

R

RqE

3

03

0 44 , (C1.22)

și are componentele:

30

30

30 4

;4

;4 R

qzE

R

qyE

R

qxE zyx

. (C1.23)

Dacă se introduc expresiile componentelor câmpului (C1.23) în ecuația generală a liniilor de câmp electric (C1.21) se obțin relațiile:


Curs 1 - 8

3 3 30 0 04 4 4

x y zqx qy qz

R R R

d d d

x y z

x y z

d d d. (C1.24)

Prin integrarea ecuației (C1.24) se obțin funcțiile care descriu forma liniilor câmpului electric al unei sarcini punctiforme q:

z x

z x

d d axz lnlnln xaz , Ra . (C1.25)

z y

z y

d d byz lnlnln ybz , Rb . (C1.26)

Relațiile (C1.25) și (C1.26) se pot scrie restrâns sub forma:

0 CzByAx , (C1.27) care arată că liniile câmpului electric al unei sarcini punctiforme formează o familie de drepte care trec prin originea sistemului de coordonate (Fig.C1-5).

(a) (b)

Fig.C1-5 Câmpul electric al unei sarcini punctiforme pozitive (a) și negative (b).

2. Linii de câmp ale unui sistem de două sarcini punctiforme

Fie două sarcini electrice punctiforme 1q și 2q , situate în punctele de coordonate ( 2

,0,0) și ( 2 ,0,0) așa cum este arătat în Fig.C1-6. Câmpul are simetrie de rotație în jurul axei Ox. Din acest motiv, este suficient să se găsească forma liniei de câmp în semiplanul superior, xOy. Datorită simetriei de rotație, forma găsită rămâne valabilă pentru oricare alt plan care trece prin Ox.


Curs 1 - 9

Fig. C1-6

Câmpul electric într-un punct oarecare M(x,y) din spațiu este dat de suma vectorială a câmpurilor

1E

și 2E

care se suprapun în acel punct:

jyix

R

q

R

RqE

244 310

131

1

0

11

, (C1.28)

jyix

R

q

R

RqE

244 320

232

2

0

22

, (C1.29)

21 EEE

. Componentele câmpului total sunt:

2

3

22

0

2

2

3

22

0

1

24

2

24

2

yx

xq

yx

xqEx

, (C1.30)

2

3

22

0

2

2

3

22

0

1

24

24

yx

yq

yx

yqEy

. (C1.31)

Se introduc aceste componente în ecuația liniilor de câmp (C1.21) și, după gruparea termenilor, se obține:

x y

x y

E E

d d 0y xE x E y d d


Curs 1 - 10

1 23 3

2 20 02 22 2

2 20

4 4

2 2

y x x y y x x yq q

x y x y

d d d d

. (C1.32)

Ecuația diferențială (C1.32) are factorul integrand y. Se multiplică egalitatea (C1.32) cu y și, după simplificări, se ajunge la expresia:

2 2

1 23 32 22 2

2 2

2 20

2 2

y x x y y y x x y yq q

x y x y

d d d d

, (C1.33)

în care se observă că ambii termeni sunt diferențialele unor funcții:

1 22 22 2

2 2 0

2 2

x xq q

x y x y

d d

. (C1.34)

Se scrie relația (C1.34) ca diferențiala sumei a două funcții:

1 22 22 2

2 2 0

2 2

x xq q

x y x y

d

. (C1.35)

Prin integrare, ecuația (C1.35) conduce la expresia:

C

yx

xq

yx

xq

222

221

2

2

2

2

, RC . (C1.36)

Cu notațiile din Fig.C1-6, se poate rescrie (C1.36) astfel:

1 1 2 2cos cosq q C , (C1.37)


Curs 1 - 11

Relația (C1.37) este o exprimare simplă a condiției care trebuie îndeplinită de un punct pentru a se situa pe linia de câmp individualizată de constanta C.

(a) (b)

Fig.C1-7 Câmpul electric al unui sistem de două sarcini punctiforme egale și de semn opus, reprezentat cu linii de

câmp. C1.11 Superpoziția câmpurilor. Aditivitatea potențialelor. Forța electrică și implicit intensitatea câmpului electric au proprietatea generală a forțelor de a se suma vectorial: dacă asupra unui punct material acționează mai multe forțe atunci punctul respectiv se mișcă la fel ca și cum asupra lui ar acționa suma vectorială a forțelor. Aplicată câmpului electric această proprietate este cunoscută ca principiul suprapunerii câmpurilor electrice, exprimat prin relația:

N

kkEE

1

. (C1.38)

Deoarece produsul scalar al forței sumă este egal cu suma produselor scalare al forțelor individuale:

1 10 0 (C)

N N

k kk k

E E E

d d d (C1.39)

rezultă că și potențialul electric are o proprietate de aditivitate dată de relația:

N

kkVV

1

. (C1.40)


Curs 1 - 12

ANEXĂ În figura de mai jos este ilustrată reprezentarea poziției unui punct M cu ajutorul coordonatelor sferice. În desen este arătată numai 1/8 din sfera ∑ de rază R și cu centrul în originea sistemului de coordonate Oxyz (Ox spre cititor, Oy spre dreapta, Oz în sus). Punctul M se găsește la intersecția meridianului (M) cu paralela (P). În punctul M sunt reprezentați și versorii care arată direcția și sensul creșterii fiecărei coordonate. Punctul O’ este proiecția lui M pe Oz și triunghiul OO’M este dreptunghic. Cateta O’M are dimensiunea Rsin.

În figura de mai jos sunt date reprezentările și expresiile deplasărilor infinitezimale care intră în expresia deplasării infinitezimale generale din relația (C1.6).


Curs 1 - 13

fenomene electrice si magnetice - curs 01

Documents