Exercitii si probleme rezolvate 1. Sa se stabileasca semnul functiilor ƒ: R R, daca: a) ƒ(x)=4x-12;

b) ƒ(x)=- 2 x+ 8 Solutie a) Avem ca ƒ(x)=0 4x-12=0 x=3.

Tabelul de semn al functiei ƒ este: X - 3 +

ƒ(x)=x-12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + Rezulta ca ƒ(x)<0 pentru x (- ,3) si ƒ(x)>0 pentru x (3,+ ).

b) ƒ(x)=0 - 2 x+ 8 =0 x=2 Tabelul de semn pentru functia ƒ este: x - 2 +

ƒ(x)=0 - 2 x+ 8 + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - Asadar, ƒ(x)>0 pentru x (- ,2) si ƒ(x)<0 pentru x (2,+ ) 2.Sa se rezolve ecuatia: |x-2|+|2x+1|=7 Solutie Pentru explicitarea modulelor vom folosi un tabel de semn pentru functiile ƒ

1,

ƒ2: R R, ƒ

1(x)=x-2, ƒ

2(x)=2x+1.

X - -1/2 2 + ƒ

1(x)=x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +

ƒ

2(x)=2x+1 - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Rezolvam ecuatia pe intervalele (- ,-2

1], (-

2

1,2), [2, + ).

Pentru x (- ,-2

1] ecuatia se scrie sub forma: -x+2+(-2x-1)=7. Se obtine solutia

x=-2 (- ,-2

1].

Pentru x (-2

1,2) ecuatia devine: -x+2+2x+1=7 si se obtine x=4 (-

2

1,2).

Pentru x [2, + ) ecuatia se scrie: x-2-2x+1=7 si se obtine solutia x=3

8[2, + ).

In concluzie, multimea solutiilor ecuatiei date este S={-2, 3

8}.

3. Sa se rezolve inecuatiile:

a) (1+ 3 )x- 12 -2 0; b) |2x-3|<x+1. Solutie

a) Consideram functia de gradul I ƒ: R R, ƒ(x)= (1+ 3 )x- 12 -2. Ecuatia ƒ(x)=0 are solutia x=2. Tabelul de semn pentru functia ƒ este: X - 2 +

ƒ(x)= (1+ 3 )x- 12 -2 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + Lecturand tabelul, deducem ca solutia inecuatiei este multimea S=(- ,2]. b) Consideram functia g: R R, g(x)=2x-3 cu tabelul ei de semn: x - 3/2 + g(x)=2x-3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + +

Daca x (- ,2

3] inecuatia se scrie sub forma -2x+3<x+1 si are solutia

x (3

2,+ ) (- ,

2

3]. Se obtine multimea solutiilor S

1=(

3

2,

2

3].

Daca x (2

3,+ ) inecuatia se scrie sub forma 2x-3<x+1. Se obtine x (- ,4)

(2

3,+ ) si multimea solutiilor este S

2=(

2

3,4).

Solutia inecuatiei date este data de S1

S2=(

3

2,4).

4. Sa se rezolve inecuatiile:

a) 1

84

x

x0;

b) 2

1

1

1

)1(2

1

x

x

x.

Solutie

a) Pentru rezolvarea inecuatiei se face tabelul de semn pentru expresia

1

84

x

x folosind semnul numaratorului si numitorului:

X - -1 ½ + 4-8x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - X+1 - - - - - - - - - - - - -0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

1

84

x

x - - - - - - - - - - - - -|+ + + + + + + + + 0- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Solutia inecuatiei este intervalul (-1,2

1].

b) Se aduce inecuatia la forma simpla trecand toti termenii in membrul intai si efectuand aducerea la acelasi numitor. Se obtine succesiv:

02

1

1

1

)1(2

1

x

x

x.0

)1(2

20

)1(2

)1()1(21

x

x

x

xx Se alcatuieste

tabelul de semn pentru expresia din membrul intai.

x - -1 2 + x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + + + 2(x+1) - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + ++ + + + + + +

)1(2

2

x

x + + + + + + + + + + +| - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + +

Solutia inecuatiei este intervalul (-1,2).