Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Etapa 4, Problema 4

Determinaµi toate perechile (x, y) ∈ N× N care veri�c  egalitatea

x (x+ 1) = y7.

Crux Mathematicorum

Soluµie.

Evident, (0, 0) este soluµie.Se veri�c  u³or c , dac  (x, y) este soluµie cu m car o component 

nenul , atunci x ≥ 2 ³i y ≥ 2. Dac  p este un num r prim din de-scompunerea lui y, p divide exact unul dintre numerele relativ primex ³i x + 1. Rezult  c  exist  a, b ∈ N, a, b ≥ 2, astfel încât x = a7 ³ix+ 1 = b7. Atunci

b7 − a7 = 1

⇔ (b− a)(b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6

)= 1.

Cum b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6 ≥ 2, ultima egalitate este fals .În concluzie, unica soluµie a ecuaµiei este (0, 0).

1