elemente de teorasdia estimatiei

8/18/2019 Elemente de Teorasdia Estimatiei

1/16


2/16

Noţiuni generale

Orice cercetare statistică porneşte e !a o co!ecti"itate sa# pop#!a$ie a!căt#ită in e!e%entesa# ini"i&i care a# o caracteristică 'enera!ă şi care se i(eren$ia&ă prin an#%ite atri)#te*

E!e%ente!e co!ecti"ită$ii +pop#!a$iei, se n#%esc #nită$i*-n st#i#! co!ecti"ită$i!or statistice. /n %aoritatea cari!or s#nte% ne"oi$i să st#ie% n#%ai

păr$i in /ntrea'a co!ecti"itate* Ori. /n acest ca&. se p#ne /n %o nat#ra! /ntre)area acă conc!#&ii!ece !e o)$ine% concoră c# re!tat#! ce !1a% o)$ine acă st#ie% /ntrea'a pop#!a$ie* Apare ast(e! pro)!e%a e a st#ia %o#! /n care "a!ori!e tipice +pe )a&a cărora tra'e% conc!#&ii, a!e co!ecti"ită$ii par$ia!e in"esti'ate pot (#rni&a in(or%a$ii as#pra "a!ori!or tipice a!e /ntre'ii co!ecti"ită$i*

Vo% pres#p#ne. /n ce!e ce #r%ea&ă. că #r%ări% o an#%ită caracteristică a co!ecti"ită$ii'enera!e şi că această caracteristică este escrisă e o "aria)i!ă a!eatoare 2 e(inită pe #n c3%p e

pro)a)i!itate 45. 6. P7. /n care e!e%ente!e %#!$i%ii 5 s#nt toc%ai e!e%ente!e co!ecti"ită$ii'enera!e. 6 este #n corp )ore!ian e păr$i a!e !#i 5. iar P este o pro)a)i!itate pe 6*

D#pă c#% se ştie. acă 5 este (inită. at#nci 6 coincie c# %#!$i%ea păr$i!or !#i 5. iar P esteo reparti$ie iscretă #ni(or%ă pe 5*

Fapt#! că s#nte% o)!i'a$i să cercetă% n#%ai o an#%ită parte in pop#!a$ie este i%p#s e

nat#ra concretă a co!ecti"ită$ii* Ast(e!. acă n#%ăr#! e!e%ente!or pop#!a$iei este in(init. /n %onecesar n# p#te% cerceta ec3t #n n#%ăr (init şi eci o)$ine% o in(or%a$ie tr#nc8iată*

Dar. /n ca! c3n n#%ăr#! e!e%ente!or pop#!a$iei este (init. at#nci c3n cercetarea ca!ită$iie!e%ente!or con#ce !a istr#'erea !or. e"ient că se i%p#ne a!e'erea #n#i n#%ăr (init pentr#cercetare*

Dacă $ine% sea%a e (apt#! că orice in"esti'are +cercetare, i%p!ică şi an#%ite c8e!t#ie!i.re!tă c!ar că s#nte% o)!i'a$i să cercetă% n#%ai o parte in pop#!a$ia tota!ă*

Vo% n#%i se!ec$ie +eşantion, o co!ecti"itate par$ia!ă e e!e%ente a!ese !a /nt3%p!are* N#%ăr#! e!e%ente!or intr1o se!ec$ie /! "o% n#%i "o!#%#! se!ec$iei*

Sp#ne% că o se!ec$ie este repetată. acă e!e%ent#! a!es !a /nt3%p!are este reintro#s /nco!ecti"itatea 'enera!ă /naintea e(ect#ării #r%ătoarei a!e'eri*

Se!ec$ia este nerepetată acă. e!e%ente!e a!ese n# se %ai intro#c /n co!ecti"itatea 'enera!ă*Să e(ect#ă% eci o se!ec$ie e "o!#% n intr1o co!ecti"itate C şi să notă% c# 9i. 9:. ***. 9n

"a!ori!e e o)ser"a$ie* Acestea se re(eră !a "a!ori!e #nei "aria)i!e a!eatoare 2 care ă !e'itateacaracteristicii st#iate*

Consierate aposteriori. "a!ori!e e se!ec$ie 9;. 9:. ***. 9n s#nt "a!ori )ine eter%inate a!e"aria)i!ei a!eatoare 2*

Pri"ite apriori. "a!ori!e 2;. 2:. 2n pot (i consierate ca "aria)i!e a!eatoare inepenente.ientic reparti&ate c# "aria)i!a 2. /n ca! #nei se!ec$ii repetate*

Dacă se!ec$ia este nerepetată. at#nci "aria)i!e!e 2;. 2:. 2n s#nt epenente. epenen$a (iine tip#! !an$#ri!or c# !e'ăt#ri co%p!ete*

Dacă "o!#%#! co!ecti"ită$ii 'enera!e este s#(icient e %are iar "o!#%#! se!ec$iei estes#(icient e %ic. eose)irea intre o se!ec$ie repetată şi #na nerepetată este nese%ni(icati"ă şi. caatare. /n ap!ica$ii!e practice o se!ec$ie nerepetată se tratea&ă #pă %etoe!e se!ec$iei repetate*

EstimaţiiTeoria esti%a$iei #r%ăreşte e"a!#area para%etri!or #nei reparti$ii /n 'enera! c#nosc#te*

Va!ori!e n#%erice o)$in#te se n#%esc estimaţii sa# estimatori. Se o)$in esti%a$ii p#nct#a!e /n ca!/n care se (o!osesc ate!e se!ec$iei pentr# a o)$ine "a!ori!e para%etri!or şi esti%a$ii a!e inter"a!e!or e /ncreere /n ca! /n care se eter%ină #n inter"a! /n care se a(!ă. c# o an#%ită pro)a)i!itate"a!oarea esti%ată*

Un esti%ator a! para%etr#!#i θ se "a nota c# θ < * O esti%a$ie este neep!asată acă

( )


3/16

Con(or% proprietă$ii :*=*>*;. ( ) M X µ = aică %eia e se!ec$ie este #n esti%ator neep!asat a! %eiei. iar con(or% proprietă$ii :*=*>*:*. ( ): : M s σ = aică ispersia e se!ec$ie este#n esti%ator neep!asat a! ispersiei*

Pro)!e%a esti%ării inter"a!e!or se re#ce !a 'ăsirea #n#i inter"a! e /ncreere ( )U L θ θ . c#

#n coe(icient e /ncreere α −; ast(e! /nc3t ( ) α θ θ θ −=〈〈 ;U L P *Este e orit ca α −; să (ie c3t %ai %are +e o)icei este c#prins /ntre 0.? şi 0.??, iar

inter"a!#! ( )U L θ θ . să (ie c3t %ai %ic* -n sta)i!irea inter"a!e!or se #ti!i&ea&ă caracteristici!en#%erice c#anti!e* Se n#%esc cuantile de ordin β "a!oarea β x a "aria)i!ei a!eatoare x pentr#

care

β β β =〈= x x P x F aică "a!oarea "aria)i!ei a!eatoare care are !a st3n'a ei aria β s#) c#r)a

ensită$ii e pro)a)i!itate* E"ient@

::

α

α =

〈 x x P

:;

:;

α α −=

〈 − x x P

α α α

α α

−=−−=

〈〈 − ;

::;

:

;

:

x x x P

Pentr# a esti%a #n inter"a! se a!e'e α −; . se citesc in ta)e!e!e c#anti!e!e. e e9e%p!#

:

; α −

x şi:

α x şi se preci&ea&ă inter"a!#!* -n prea!a)i!. /n (#nc$ie e %ări%ea pentr# care se ca#tă

inter"a!#! se preci&ea&ă c# care in reparti$ii!e c#nosc#te tre)#ie !#crat*

Estimarea intervalelor de încredere pentru medii

Ca! c3n se c#noaste ispersia*Se consieră o pop#!a$ie reparti&ată nor%a! ( ):.σ µ N * Dacă se c#noaşte ispersia se poate

(o!osi (apt#! căn

X z

σ

µ −=

este reparti&ată ( );.0 N * Se notea&ă c# α z c#anti!a e orin#! α

pentr# reparti$ia ( );.0 N * E"ient

:


4/16

α α α

α α α α −=−−=

−

=

〈〈

−−

;

::

;

::;:;:

z F z F z z z P

Aşaar inter"a!#!

−

:;

:

. α α z z este #n inter"a! e esti%are c# coe(icient#! e /ncreere α −; *

Din an#%ite p#ncte e "eere este reco%ana)i! să se #ti!i&e&e ace!e inter"a!e care !asă at3t !a

reapta c3t şi !a st3n'a !or aceeaşi arie. e'a!ă c#:

α *

Deoarece reparti$ia ( );.0 N este si%etrică (a$ă e a9a O a"e% re!a$ia:

;:

α α −

−= z z

Din re!a$ii!e

; ; ; ;: : : :

; ;: :

; ;: :

B B

B B

x z z z z z

n

z x z n n

x z x z n n

α α α α

α α

α α

µ σ

σ σ µ

σ σ µ

− − − −

− −

− −

−− 〈 〈 ⇒ − 〈 〈 ⇒

⇒ − 〈 − 〈 ⇒

− − 〈 − 〈 − +

re!tă

; ;: :

X z X z n nα α

σ σ

µ − −− 〈 〈 +Aşaar inter"a!#! că#tat este

( )

+−=

−− n z X

n z X U L

σ σ θ θ α α

:;

:;

..

ări%ean

z E σ

α

:;−

= poartă n#%e!e e eroare şi ser"eşte !a ca!c#!#! n#%ăr#!#i e e9perien$e

:

:;

=

−

E

z

n

α

at#nci c3n este i%p#să eroarea şi se a!e'e #n coe(icient α −;

etoa escrisă %ai poate (i ap!icată şi /n ca! /n care 9 n# este reparti&ată nor%a! eoarece &este reparti&ată ( );.0 N ini(erent e reparti$ia "aria)i!e!or n x x x .***.. :; +teore%a !i%ită centra!ă,*

Ca! c3n ispersia este nec#nosc#tăDacă n# se c#noaste ispersia /n esti%area inter"a!e!or se #ti!i&ea&ă ispersia e se!ec$ie care

este #n esti%ator neep!asat a! ispersiei eoarece ( ) :: σ = s E Se consieră n x x x .***.. :; o se!ec$ie intr1o pop#!a$ie e tip#! ( ):.σ µ N *

Con(or% ce!or arătate anterior %ări%ean

s

X T

µ −=

este reparti&ată ( );−nT şi. ca #r%are

=


5/16

α α α

α α α α −=−−=

−

=

〈〈−−−−−−

;

::

;

:.;:;.;:;.;:.; nnnn

t F t F t T t P

Deoarece repartitia St#ent este si%etrică (a$ă e ori'ine:

;.;:

;.; α α

−−−−−=

nn

t t şi /n!oc#in#1! pe

T /n re!a$ia anterioară. se o)$ine

;. ;.; ;. ;.;: : : :

;n n n n

X P t T t P t t

s

n

α α α α

µ α

− − − − − −

÷ −

〈 〈 = 〈 〈 = − ÷ ÷ ÷ ÷

şi ;.; ;.;: :

n n s s X t X t n n

α α µ − − − −− 〈 〈 +

Ca #r%are inter"a!#! că#tat este

( )

+−=

−−−− n

st X

n

st X

nnU L

:;.;

:;.;

.. α α θ θ

-n acest ca& eroarea esten

st E n

:;.; α −−

=

Dacă n#%ăr#! e e9perien$e este =0〉n . se poate (o!osi apro9i%a$ia

:;:;.;

α α

−−−

= z t n

Estimarea intervalului de încredere α −; pentru diferenţa a două mediiSe consieră o#ă se!ec$ii in pop#!a$ii nor%a! reparti&ate ( :;; .σ µ N şi ( ::: .σ µ N *

Ca! ispersii!or :::

; .σ σ c#nosc#te*

Consieră% o se!ec$ie a!eatoare;;;:;;

.***.. n x x x in pop#!a$ia ( :;; .σ µ N şi o se!ec$ie:::::;

.***.. n x x x intr1o pop#!a$ie ( )::: .σ µ N *

Esti%atorii neep!asa$i ai %eii!or ; µ şi : µ s#nt@;

; ;

;

;

n

x

X

n

i

∑= si :; :

:

:

n

x

X

n

i

∑=Consier3n "aria)i!a a!eatoare :; X X − . ea este nor%a! reparti&ată iar esti%a$ia şi ispersia ei "or

(i ( ) ( ) ( ); : ; : ; : M X X M X M X µ µ − = − = − şi ( ) ( ) ( ):

:

:

;

:

;:;:;

nn X D X D X X D

σ σ +=+=− #ne a%

$in#t cont că i x; şi i x: s#nt inepenente*

ai eparte. "aria)i!a a!eatoare

( ) ( )( )

( ) ( )

:

:

:

;

:

;

:;:;

:;

:;:;

nn

X X

X X D

X X z

σ σ

µ µ µ µ

+

−−−=

−

−−−=

este reparti&ată

N+0.;,*


6/16

Deoarece. α α α

−=

〈〈

−;

:;

:

z z z P şi :;: α α −−= z z re!ta

( ) ( ): : : :

; : ; :; : ; : ; :

; ;; : ; :: :

X X z X X z n n n n

α α

σ σ σ σ µ µ

− −− − + 〈 − 〈 − + +

Aşaar. inter"a!#! e esti%a$ie pentr# i(eren$a %eii!or este

( ) ( ) ( )

++−+−−=ΘΘ

−−:

:

:

;

:

;

:;

:;

:

:

:

;

:

;

:;

:;:; ..nn

z X X nn

z X X σ σ σ σ

α α

-n acest ca&. eroarea este:

:

:

;

:

;

:; nn

z E σ σ

α +=

−*

Dispersii nec#nosc#te ar pres#p#se e'a!e-n ca! /n care n# c#noaşte% ispersii!e ar şti% că s#nt e'a!e :::

:

; σ σ σ == #ti!i&ă% ispersia ponerată e se!ec$ie

( ) ( ) ( ) ( ); :: :

: :; ; : :; ;; ; : ::

; : ; :

; ;

: :

n n

i i

p

x X x X n s n s s

n n n n

− + −− + −= =

+ − + −∑ ∑

ca #n esti%ator neep!asat pentr# :σ *A"e% /ntr1ae"ăr.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): : : :; ; : : ; ; : :: :

; : ; :

; ; ; ;

: : pn M s n M s n n

M s n n n n

σ σ σ

− + − − + −= = =+ − + −

-n contin#are "o% arăta că %ări%ea

( ( )

:;

:;:;

;;

nn s

X X T

p +

−−−=

µ µ

este reparti&ată ( )::; −+ nnT

Se o)ser"ă că

( ) ( )

:;

:;:;

;;

:;

:;

nn

s

X X

T

X X

p

X X

+

−−−

=

−

−

σ

σ

µ µ

este raport#! /ntre o "aria)i!a a!eatoare reparti&ată N+0.;, şi

eoarece

( ) ( )( ) ::

;;

;;

;;

:;

; ;

:

::

:

;;

:

:;

; ;

:

::

:

;;

:

:

:;

:;

:;

; :

; :

:;

−+

−+

−

=−+

−+−

===++

=+

∑ ∑∑ ∑

−

nn

X x X x

nn

X x X x

s s

nn

nn

s

nn

s

n n iin n

ii

p p p

X X

p

σ σ

σ

σ σ σ

σ

"aria)i!a :;

;;

:;nn

s

X X

p

+−σ este e tip#!

( )

:

:

:;

:;

:

−+

−+nn

nn χ

>


7/16

Dar:

;

;;;∑

−n i X xσ

este reparti&at ( );;: −n χ iar ∑

−:;

:

::n i X x

σ este reparti&at ( );:

: −n χ . eci

T este reparti&at ( )::; −+ nnT şi

α α α α α −=−−=

〈〈

−−+−+;

::;

:;.:

:.: :;:; nnnn

tT t P

Deoarece reparti$ia St#ent este si%etrică:

;.::

.: :;:;α α

−−+−+−=

nnnnt t re!tă că

:;:;.:

:;:;

:;:;.:

:;;;;;

:;:; nn st X X

nn st X X p

nn p

nn+−−〈−〈+−−

−−+−−+ α α

µµ

Deci. ( )

++−+−−=ΘΘ

−−+−−+:;:

;.::;

:;:;.:

:;:;

;;.

;;.

;::; nn

st X X nn

st X X pnn

pnn

α α c#

eroarea:;:

;.:

;;

:; nn st E p

nn+=

−−+ α *

Estimarea intervalelor de încredere pentru dispersie

Consieră% o se!ec$ie e "o!#% n intr1o pop#!a$ie nor%a!ă ( ):.σ µ N * Con(or% ce!or arătate

anterior "aria)i!a a!eatoare( )

:

:;

σ

snv

−= este reparti&ată ( );: −n χ şi ca #r%are

α α α

χ χ α α −=−−=

〈〈

−−−;

::;

:

:;.;

:

:.; nn

v P


8/16

Deci. ( ) :

:;.;

:

:

:

:.;

;α α

χ

σ

χ

−−−

〈−〈nn

sn si

( ) ( ):

:.;

:

:

:

:;.;

:;;

α α

χ σ

χ −−−

−〈〈

−

nn

sn sn

*

6. Estimarea intervalului de încredere pentru raportul a două dispersii

Se consieră se!ec$ia a!eatoare;;;:;;

.***.. n x x x intr1o pop#!a$ie ( ):;. .σ µ N şi o se!ec$ie:::::;

.***.. n x x x intr1o pop#!a$ie ( ::: .σ µ N *

Con(or% c# ce!e arătate anterior. raport#!

:

:

:

:

:

;

:

;

σ

σ

s

s

F = este reparti&at ( );.; :; −− nn F şi eci

α α α

α α −=−−=

〈〈

−−−−−

;

::

;

:;.;.;

:.;.;

:;:; nnnn

f F f P

Re!tă că

:;.;.;

:

;

:

:

:

;

:

:

:.;.;

:

;

:

:

:;:;

α α

σ

σ

−−−−−

〈〈nnnn

f

s

s f

s

s . iar inter"a!#! e esti%a$ie pentr# raport#! ispersii!or este@

( )

=ΘΘ

−−−−−:

;.;.;:

;

::

:.;.;

:;

::

:;:;

.. α α nnnn

U L f s

s f

s

s

Verificarea ipotezelor statistice

Ipoteze statisticeIpote&e!e statistice s#nt ipote&e as#pra reparti$iei #nor "aria)i!e a!eatoare* E!e se re(eră (ie !a para%etrii reparti$iei. (ie !a !e'ea propri# &isa e reparti$ie*


9/16

Teste statisticeetoe!e e "eri(icare a ipote&e!or se )a&ea&ă pe teste statistice care consta# /n e9a%inarea

se!ec$ii!or o)$in#te pentr# o "aria)i!ă a!eatoare şi a #nor (#nc$ii e e!e%ente!e se!ec$ii!or* Notaţii conventionale

Ipote&a testată. pres#p#să ae"arată. se n#%eşte ipote&a n#!ă şi se notea&ă H 0* Testareanecesită şi (or%#!area #nei ipote&e co%p!e%entare. n#%ită ipote&ă a!ternati"ă şi notată HA* Dacă se

acceptă H0. /n %o nor%a! se respin'e HA şi in"ers*Din acest %oti". ipote&e!e H0 si HA se a!e' să (ie co%p!e%entare*Dacă test#! pri"eşte "a!oarea #n#i para%etr# θ . e e9e%p!# 00 @ θ θ = şi ;@ θ θ = ! se

poate /nt3%p!a ca to$i cei!a!$i para%etri ce caracteri&ea&ă istri)#$ii!e să (ie c#nosc#$i şi. #păacceptarea #neia in ce!e o#ă ipote&e. istri)#$ii!e ( )0.θ ρ x şi ( );.θ ρ x e"in co%p!et e(inite* -nacest ca&. ipote&e!e s#nt n#%ite Gsi%p!e* Dacă /nsă cei!a!$i para%etric n# s#nt c#nosc#$i co%p!et.ipote&e!e se n#%esc Gipote&e co%p#se* De e9e%p!#. acă istri)#$ia este nor%a!ă şi para%etr#!ca#tat este µ . iar ispersia este nec#nosc#tă. s#nte% /n ca! #nei ipote&e co%p#se*

Probabilitatea unei decizii gresite

La "eri(icarea ipote&e!or se pot co%ite o#ă (e!#ri e erori@;* Erori!e e tip#! ; consta# /n respin'erea ipote&ei H0 at#nci c3n aceasta este ae"ărată*:* Erori!e e tip#! : consta# /n acceptarea ipote&ei H0 at#nci c3n aceasta este (a!să*

Pro)a)i!itati!e ce!or o#ă tip#ri e erori se notea&ă e o)icei c# respecti" J@ K P +respin'e H0 H0 ae"ărată,J K P +acceptă H0 H0 (a!să, K P +respin'e HA HA ae"ărată,

Deci. este risc#! e a respin'e /n %o 'reşit H0 şi J este risc#! e a respin'e /n %o 'reşit HA*Pro)a)i!itatea e a respin'e ipote&a H0 at#nci c3n aceasta este (a!să β π −= ; se n#%eşte

p#terea test#!#i* Coe(icient#! este n#%it şi ni"e! e se%ni(ica$ie* Desi'#r că este e orit ca"a!ori!e şi J să (ie c3t %ai %ici* Va!oarea !#i se a!e'e şi /n (#nc$ie e i%portan$a i%p!ica$ii!or acceptării sa# respin'erii ipote&e!or testate* De e9e%p!#. #n coe(icient e 0.0> este consierat ca

)#n pentr# %aoritatea pro)!e%e!or in practică* Dacă /nsă este "or)a e #n %eica%ent (oarteacti" c#% ar (i i'o9ina. este e pre(erat a a!e'e /ntre 0.0; si 0.0>*Pentr# a "eri(ica o ipote&ă se (o!osesc ate!e e se!ec$ie pentr# ca!c#!area #n#i test statistic*

Do%eni#! e "a!ori a!e test#!#i care coresp#ne respin'erii ipote&ei H0 c# pro)a)i!itatea sen#%eşte re'i#ne critică*

etoo!o'ia e "eri(icare c#prine /n principi# #r%ătoare!e etape@;* se pres#p#ne. pe )a&a #nor teste anterioare sa# pe )a&a str#ct#rii (eno%en#!#i st#iat. o

reparti$ie pentr# pop#!a$ia statistică in care se (ace se!ectiaM:* se (or%#!ea&ă ipote&aM=* se ca!c#!ea&ă "a!oarea test#!#i a!es şi se co%pară c# !i%ite!e e acceptare. respecti"

respin'ereM

* se acceptă sa# se respin'e. /n (#nc$ie e re!tat. ipote&a H0*

Ipoteze asupra mediei

Dispersia cunoscută

Se consieră o se!ec$ia intr1o pop#!a$ie nor%a!ă ( ):.σ µ N * Consieră% "aria)i!a a!eatoare X * Datorită !inearită$ii operator#!#i e %eiere a"e%@

( ) ( ) µ µ ==

=

= ∑∑

n

n

n

x M

n

x M X M

n

i

n

i ;;

Pentr# ispersia !#i X $ine% cont că( ) ( ) x Da"ax D :::

=+ şi că re!tate!e 9i repre&intă"aria)i!e a!eatoare inepenente ( ) ( ) ( ) #i #i x D x D x x D ::: +=+ *


10/16

-n aceste coni$ii se o)$ine( )

nn

n

n

x D

n

x D

n

i

n

i:

:

:

:

;

:

;: σ σ ===

∑∑

Ca #r%are a teore%ei !i%ită centra!ă. "aria)i!a a!eatoare(

( )n

X

X D

X E X

σ

µ −=

−este reparti&ata

( );.0 N *A"e% /n acest ca&. acă "o% a!e'e #n risc α . ipote&e!e şi criterii!e e acceptare sa# respin'ere

con(or% c# ta)e!#! e %ai os@

Ta)e!#! nr* :@H0 HA Re'i#nea critică

0 µ µ = 0 µ µ ≠

:; α −

〉 z z

:; α

−

〈− z z

0 µ µ =0

µ µ 〉 α −〉 ; z z

0 µ µ =

0 µ µ 〈

α −〈− ; z z

Dispersia necunoscută

-n acest ca& se /n!oc#ieşte /n (or%#!a anterioară σ c# esti%a$ia sa x s şi se $ine cont că

"aria)i!a a!eatoaren

s

X T

µ −=

este reparti&ată St#ent c# n1; 'rae e !i)ertate*

Ipoteze asupra diferenţelor a două medii

Cazul cnd se cunosc dispersiile

Se consieră o#ă pop#!a$ii nor%a!e ( :;; .σ µ N şi ( ::: .σ µ N . o se!ec$ie a!eatoare in;;;:;; .***.. n x x x in pop#!a$ia (

:

;;.σ µ N şi o se!ec$ie a!eatoare :::::; .***.. n x x x in pop#!a$ia( )::: .σ µ N *

Varia)i!a a!eatoare

( ) ( )( )

( ) ( )

:

:

:

;

:

;

:;:;

:;

:;;

nn

X X

X X D

X X z

σ σ

µ µ µ µ

+

−−−=

−

−−−=

este. #pa c#% s1a aratat anterior. reparti&ată

N+0.;,*

Cazul dispersiilor necunoscute! dar presupuse egale

-n ca! /n care n# c#noaşte% ispersii!e ar şti% că s#nt e'a!e ::::; σ σ σ == #ti!i&ă% ispersia ponerată e se!ec$ie

?


11/16

( ) ( ) ( ) ( )::

;;

:;

; ;

:

:

:

;;

:;

:

::

:

;;:

; :

−+

−+−=

−+−+−

= ∑ ∑nn

X x X x

nn

sn sn s

n n

ii

p

ca #n esti%ator neep!asat pentr# :σ *

D#pă c#% s1a arătat anterior. %ări%ea

( ( )

:;

:;:;

;;

nn s

X X T

p +

−−−=

µ µ

este reparti&ată ( )::; −+ nnT

Cazul o"servaţiilor perec#iIn ca! c3n o)ser"a$ii!e (or%ea&ă /n %o nat#ra! perec8i. c#% ar (i e e9e%p!# c3n se

%ăsoară concentra$ii!e /n n pro)e. (iecare in e!e c# o#ă %etoe i(erite sa# ca! c3n o#ă%eica%ente se a%inistrea&ă #n#i ace!#iaşi !ot e "o!#ntari. /n o#ă perioae i(erite*

Consieră% /n acest ca& "aria)i!a a!eatoare :; X X d −= *-n ca! /n care se!ec$ii!e apar$in !a aceiaşi pop#!a$ie. %eia !#i "a (i &ero@ ( 0=d E *

C3n se c#nosc ispersii!e a"e% ( )nn

d Dd

:

:

:

;: σ σ σ +== şi "aria)i!a a!eatoare

d

d

σ este reparti&ată

( );.0 N *C3n n# se c#nosc ispersii!e se (o!osesc ispersii!e e se!ec$ie şi se $ine cont că "aria)i!a

a!eatoaren

s

d

d #pă c#% se poate arăta #şor. este reparti&ată St#ent c# n1; 'rae e !i)ertate*

Compararea proporţiilorDacă "o% consiera #n e9peri%ent /n care răsp#ns#! este e tip a sa# n#. e e9e%p!#

"inecare sa# ne"inecare. s#pra"ie$#ire sa# %oarte. etc*. n#%ăr#! e re!tate e #n an#%it tip /nn repetări a!e e9peri%ent#!#i este o "aria)i!ă a!eatoare reparti&ată )ino%ia!*

Deoarece a"e%. #pă c#% s1a ca!c#!at anterior ( ) np$ E = şi ( ) np%$ D = . "aria)i!a a!eatoare

stanari&ată( )

( )n

p%

pn

$

np%

np$

$ D

$ E $ z

−=

−=

−= se apro9i%ea&ă ca (iin nor%a! reparti&ată*

Fie o#ă pop#!a$ii e tip G#rna Poisson c# )i!e a!)e şi )i!e ne're. c# para%etrii +pro)a)i!itatea )i!ei a!)e, ; p şi respecti" : p * -n o#ă se!ec$ii in ce!e o#ă pop#!a$ii. e "o!#% ;n şi respecti"

:n pres#p#ne% că s1a o)$in#t răsp#ns Gpo&iti" e ;$ şi respecti" :$ ori*

Fie :.;. == in

$ &

i

i

i * -n ca! ipote&ei n#!e p p p == :;0 @ . "aria)i!a a!eatoare :; && − "a (i

istri)#ită c# %eia 0 şi ispersia

( ) ( ) ( )

( )

−−=

−+

−=−

:;:

::

;

;;:;

;;;

;;

nn p p

n

p p

n

p p&& D

-n aceste coni$ii se apro9i%ea&ă că "aria)i!a a!eatoare ( )

+−

−

:;

:;

;;;

nn p p

&&

"a (i reparti&ată

( );.0 N *O esti%are nat#ra!ă a !#i p este

:;

:;

nn

$ $ p

++

= *

;0


12/16

O /%)#nătă$ire a apro9i%ării se poate o)$ine prin intro#cerea #nor Gcorec$ii e contin#itate

pentr# ;& şi :& @( )

+−

−−

−

=

:;

:

:

;

;

;;;

:

;

:

;

nn p p

n&

n&

z

Estimarea dispersiei

Consieră% o se!ec$ie e "o!#% n intr1o pop#!a$ie nor%a!ă ( ):.σ µ N * Con(or% ce!or arătate

anterior "aria)i!a a!eatoare( )

:

:;

σ

snv

−= este reparti&ată ( );: −n χ *

Estimarea raportului a două dispersii

Se consieră se!ec$ia a!eatoare ;;;:;;

.***.. n x x x intr1o pop#!a$ie ( ):;; .σ µ N şi o se!ec$iea!eatoare

:::::; .***.. n x x x intr1o pop#!a$ie ( )::: .σ µ N *

Con(or% c# ce!e arătate anterior. raport#!

:

:

:

:

:

;

:

;

σ

σ

s

s

F = este reparti&at ( );.; :; −− nn F *

Se ca!c#!ea&ă ::

:

;

s

s F = !#3n#1se :

:

:

; s s 〉 *

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )

( ) ( ):

;

:

:

;

:

:

;

::

:;

:

:;

:

:

:

:

;

−

−

−=

−−−=

=−+−−−−

=

=−−−=−=−=

∑∑

∑∑∑

n

X x X n x

X nn X n X x

X x X x snv

n i

n

i

n

i

n

i

n

i

σ

µ

σ

µ

σ

µ µ

σ

µ µ µ µ

σ µ µ

σ σ

Darσ

µ −i x este reparti&at N+0.;, căci( )

0=−

=

−

σ

µ

σ

µ ii x E x E şi ;: =

−

σ

µ i x D

Deci " este o s#%ă e n1; pătrate e "aria)i!e e tip N+0.;,*

Compararea mai multor dispersii.a$ Testul %artlett pentru verificarea omogenităţii dispersiilor

Fie % esti%ări inepenente m s s s .***.. :; pentr# ispersii!e mσ σ σ .***.. :; pe )a&a #nor se!ec$ii e "o!#%e mnnn .***.. :; *

Se p#ne pro)!e%a "eri(icării ipote&ei pri"in e'a!itatea acestor ispersii ::::

;0 ***@ m σ σ σ ===-n acest ca& Bart!et a arătat că "aria)i!a a!eatoare

( ) ( )( )∑

∑ =− m $ i

$

iii

s

s s$ s$

;

:

::: !n!n!n=0=.:

;;


13/16

#ne ;−= ii n$ . ∑= i$ $ şi s ispersia ponerată a /ntre'#!#i set e ate. este reparti&ată( );: −m χ *"$ Testul rapid Coc#ran pentru selecţii de acela&i volum

Daca se!ectii!e consierate a# ace!asi "o!#% nnnn $ ==== ***:; . at#nci se ca!c#!ea&a

"a!oarea

∑=

$

i s

s'

;:

:

%a9%a9 care se co%pară c# o "a!oare %a9i%ă a%isă pentr# acceptarea ipote&ei

n#!e*In (or%#!a e %ai s#s a"e%@

( )∑=

−−

=n

#

ii#i x xn

s;

::

;

; si :;

:

%a9 %a9 i$ i s s ≤≤=

Ipote&a 0 se respin'e aca ( )α c' 〉%a9

#ne ( )α c se 'aseste in ta)e!e!e Coc8ran !a

perec8ea ( );. −n$ 'rae e !i)ertate si !a pro)a)i!itatea

( )( ) α α −=〈 ;%a9 c' P*

c$ Testul 'artle(

Daca se!ectii!e a# ace!asi "o!#% se poate ap!ica pentr# ;:≤$ test#! :

:

%in

%a9

i

i

calc s

s =

iar ipote&a 0 se respin'e aca ( )α calc

〉 #ne ( )α se 'aseste in ta)e!e!e Hart!e !a

pro)a)i!itatea ( )( ) α α −=〈 ;%a9 P *

)etoda verosimilităţii ma*ime

Consieră% caracteristica 2 s#p#să cercetării ca a"3n (#nc$ia e pro)a)i!itate (+9M

,.***.. s:; λλλ * Varia)i!e!e e se!ec$ie n:; 2.***.2.2 s#nt inepenente şi ientic reparti&ate.

re!tă că "ector#! a!eator + n:; 2.***.2.2 , "a a"ea (#nc$ia e pro)a)i!itate

∏=

=n

i

si sn X f X X X ( ;

:;:;:; ,.***..M+,.***..M.***..+ λ λ λ λ λ λ şi care se n#%eşte (#nc$ie e

"erosi%i!itate*

Sp#ne% că esti%atorii ,2.***.2.2+ n:;ii∗∗

λ=λ s#nt e "erosi%i!itate %a9i%ă pentr#s.;i.i =λ acă rea!i&ea&ă %a9i%#! (#nc$iei e "erosi%i!itate*

;:


14/16

Deter%inarea esti%atori!or e "erosi%i!itate %a9i%ă se "a (ace re&o!"3n siste%#!

s.;i.0V

i

==λ∂

∂. care e re'#!ă se /n!oc#ieşte c# s.;i.0

V!n

i

==λ∂

∂ n#%it siste% e "erosi%i!itate

%a9i%ă*

;, Se arată că #n esti%ator e(icient este #n esti%ator e "erosi%i!itate %a9i%ă*

:, Un esti%ator e "erosi%i!itate %a9i%ă este esti%ator consistent. iar pentr# "a!ori %ari

a!e !#i n este o "aria)i!ă a!eatoare ce #r%ea&ă !e'ea nor%a!ă N+ ,,P+IQ. ;−λλ . #ne λ este

para%etr#! esti%at*

E*emplu. Să se eter%ine esti%atorii e "erosi%i!itate %a9i%ă pentr# "a!oarea %eie

şi a)aterea stanar acă se consieră caracteristica 2. care #r%ea&ă !e'ea nor%a!ă N+%. σ ,* )ezolvare*

+2, K % şi σ=σ ,2+ . (+9M %. ::

:

,%9+

e:

;, σ

−−

πσ=σ * Pentr# a scrie siste%#! e

"erosi%i!itate %a9i%ă a"e%@

!n (+9M %. σ , K 1 !n:

:

:

,%9+!n:

σ−

−σ−π . e #ne

:

%9

%

,.%M9+( !n

σ−

=∂

σ∂. iar

=

:,%9+;,.%M9+( !n

σ−

+σ

−=σ∂

σ∂*

Se o)$ine@

∑ ∑ ∑= = =

−=−

=∂

∂=

∂∂ n

$

n

$

n

$

$ $ $ m X

m X

m

m X f

m

(

; ; ;::

,+;,.M+!n!n

σ σ

σ *

∑∑ ∑== =

−+−=−

+−=∂

∂=

∂∂ n

$

$

n

$

n

$

$ $ m X m X m X f (

;

::

; ;==

:

P,+Q;

P,+;

Q,.M+!n!n

σ σ σ σ σ

σ

σ

sa#@

=−+σ−

=−

∑

∑

=

=

0P,%2+Q

0,%2+

n

;O

:O

:

n

;O

O

µ=−=σ

==

⇒

∑

∑

=

∗

=

∗

:

n

;O

:O

n

;O

O

,22+n;

22n

;%

*

E*emplu. Se consieră caracteristica 2 ce #r%ea&ă !e'ea )ino%ia!ă. aică are

istri)#$ia teoretică@

2%.0O

,O .%+P

O

=

. #ne P+%., K . p;R.R pC O %O O % −=

− c# para%etr#!

p ,;.0+∈ nec#nosc#t* Fo!osin o se!ec$ie e "o!#% n. se cere@

a, esti%ator#!∗

p e "erosi%i!itate %a9i%ă pentr# pM ), să se arate că esti%ator#! ∗ p este #n esti%ator a)so!#t corect pentr# para%etr#! pM

;=


15/16

c, să se arate că esti%ator#! ∗ p este #n esti%ator e(icient pentr# para%etr#! p*

)ezolvare*

a, F#nc$ia e pro)a)i!itate pentr# caracteristica 2 este

(+9M p, K %.09., p;+ pC 9%99% =− − * Pentr# a scrie ec#a$ia e "erosi%i!itate %a9i%ă

∑=

=∂

∂n

;O

O 0 p

, pM2+( !n. a"e% că

!n (+9M p, K !n , p;!n+,9%+ p!n9C 9% −−++ . e #ne

p;

9%

p

9

p

, pM9+( !n

−−

−=∂

∂* Aşaar ec#a$ia "erosi%i!ită$ii %a9i%e este@

∑=

=−−

−n

;O

O O 0, p;

2%

p

2+ . aică 0

p;

2n

p;

%n

p

2n =−

+−

− . #ne ∑=

=n

;O

O 2n

;2 *

Ec#a$ia "erosi%i!ită$ii %a9i%e se %ai scrie 02 p%p2, p;+ =+−− . e #ne se o)$ine

esti%ator#! e "erosi%i!itate %a9i%ă 2%

;,2.***.2.2+ p p n:; ==

∗∗ pentr# para%etr#! p*

Pentr# aceasta a"e%. /n pri%#! r3n. că@

p%p%

;,2+

%

;,2+

%

;, p+ =⋅===∗ . iar apoi pentr# ispersie se poate scrie s#ccesi"@

==== ∑ ∑= =∗

n

$

n

$ $ X Dnm X Dnm X Dm p D ; ;

:

::

:

::

:

:

:

,+

;

,+

;

,+

;

,+

∞→→==== nmn

p%

nm

mp%

nm

X D X nD

nm.0

,+,+

;::

::

::*

Prin #r%are. s1a o)$in#t + ∗ p , K p şi 0,2+D!i% :

n=

∞→. eci esti%ator#! ∗ p este esti%ator

a)so!#t corect pentr# para%etr#! p*

c, Cantitatea e in(or%a$ie re!ati"ă !a para%etr#! p se poate ca!c#!a #pă c#% #r%ea&ă@

=−

=−−

=∂

∂= ,2+D, p;+ p

nP,%p2Q+, p;+ p

;nP, p

, pM2+( !nQ+n, p+I :::

:

::

:

, p;+ p

%n, p;+%p

, p;+ p

n:: −

=−−

= *

Pe e a!tă parte. a% "ăt că ., p+I

;, p+D : =∗ eci esti%ator#! ∗ p este esti%ator e(icient

pentr# para%etr#! p*

;


16/16

Bibilografie:

;* B#i'a. A*. Dra'oş C*. La&ăr D*. Parp#cea I*. Toea A* 1 +tatistic, - E* Presa Uni"ersitarăC!#eană. C!#1Napoca. :00=M

:* I"ano" * Matematici +peciale/ 0urs Uni"ersitatea Constantin Br3nc#şi T'* i#.:00M

=* Cen#şă *. Wer)an R*. Raisc8i C*. 1 Matematici pentru economi1ti Bi)i!oteca Di'ita!ăA*S*E*. :00*

;>

elemente de teorasdia estimatiei

Documents