ELEMENTE DE STATISTIC MATEMATIC

1. IntroducereStatistica este disciplina care se ocup de culegerea, nregistrarea, gruparea, analiza i interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen, precum i cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia.Activitatea de culegere i nregistrare a datelor referitoare la un fenomen face obiectul statisticii descriptive sau statisticii formale.Activitatea de grupare, de analiz i de interpretare a datelor, precum i formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezint obiectul statisticii matematice.2. Elemente de limbaj n statistic. Date statistice Definiii:

Mulimea pe care se realizeaz un studiu statistic se numete populaie statistic. Elementele componente ale unei populaii statistice se numesc uniti statistice sau indivizi. Numrul total de uniti statistice se numete efectivul total al populaiei statistice. O parte a populaiei statistice aleas special pentru a fi studiat se numete eantion. Proprietatea sau indicatorul n funcie de care se cerceteaz o populaie statistic se numete caracteristic sau variabil statistic. Exemplu:

S presupunem studiul privind nlimile unui grup de elevi. n acest caz:-populaia statistic o constituie mulimea elevilor grupului;- uniti statistice (indivizii) sunt elevii grupului;

-efectivul total al populaiei este numrul tuturor elevilor;

- caracteristic sau variabil statistic este nalimea;

O caracteristic se numete caracteristic calitativ dac nu poate fi msurat (valoarea ei nu se exprim numeric). Exemplu: starea civil, calificativul, profesia. O caracteristic se numete cantitativ dac se poate exprima numeric. Exemplu: media general, salariul, nlimea. O caracteristic cantitativ se numete discontinu sau discret dac nu poate lua dect valori numerice izolate.

O caracteristic cantitativ care poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finit sau infinit se numete caracteristic cantitativ continu. Intervalele n care o caracteristic ia valori se numesc grupe sau clase de valori. Exemplu: nlimea este o caracteristic cantitativ continu.3. Culegerea, nregistrarea i clasificarea datelor statistice

Se consider studiul efectuat asupra unui grup de elevi dup naltime (exprimat n centimetri). Rezultatele msuratorii sunt ordonate crescator, consemnnd ci elevi au o anumit nlime.

CmNr. eleviCmNr. eleviCmNr. elevi CmNr. eleviCmNr. elevi

155 1164 1168 1174 1182 1

160 2165 2170 4175 2183 1

161 1166 1172 2178 1 - -

162 3167 4173 1180 1 - -

Observaii:

Cu ajutorul acestor clasificri a datelor se pot obine mai uor nite concluzii privind particularitile acestui grup: nalimea cea mai mic (155cm); naltimea cea mai mare (183cm); numrul de indivizi care ntrunesc aceeai caracteristic; care este nalimea dominat (167cm i 170cm) i altele. Rezultatele analizei statistice pot fi obinute uneori mai rapid dac se practic o alt grupare a datelor statistice, i anume n clase de valori.

Clase de valori (n cm) Nr. elevi

[155, 160) 1

[160, 165) 7

[165, 170) 8

[170, 175) 8

[175, 180) 3

[180, 185) 3

Observaii:

Cu ajutorul acestui tabel de date se pot obine cu uurina diferite informaii despre grupul de studiu, ca de exemplu: - sunt 30 de elevi;

- cei mai muli elevi au nalimea n clasa de valori [165, 170) i [170, 175), urmnd cei cu nalimea n clasa de valori [160, 165) etc.; - 3 elevi au nlimea n clasa de valori [175, 180) i reprezinta 10% din efectivul populaiei statistice; - exist 26 elevi cu nlimea sub 170 cm etc.

* Valoarea absolut a diferenei extremitilor unei clase de valori se numete amplitudinea clasei. Amplitudinea se stabilete de cel care realizeaz studiul.

O clas de valori este n general un interval semideschis [a, b), excepie fcnd eventual ultima clas care poate fi luat de forma [c, d].4. Serii statistice. Frecvene

S considerm o populaie statistic cu efectivul total N i notm cu X caracteristica sau variabila statistic cu valorile x1, x2, ..., xp, iar cu ni numrul de uniti statistice corespunztoare valorii xi a variabilei statistice, .

Mulimea tuturor perechilor (xi, ni) , , formeaz o serie statistic cu o singur variabil.

Numrul ni de uniti statistice corespunztoare valorii xi a caracteristicii sau a unei clase de valori a caracteristicii se numete frecvena absolut a valorii xi, respectiv frecvena absolut a clasei de valori considerate.

Rezult c n1 + n2 + ... + np = N.Modul de prezentare a unei serii statistice cu o variabil statistic este sub forma unui tabel orizontal sau vertical, care cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele de valori i frecvenele absolute corespunztoare:

Valorile caracteristice x1 x2 ... xp

Frecvena absolut n1 n2 ... np

Sau:Clase de valori [x1, x2) ... [xp1, xp)

Frecvena absolut n1 ... np

Se spune c aceste tabele definesc distribuia sau repartiia statistic a variabilei statistice. Aadar, tabelele 1 si 2 reprezint distribuia statistic a nlimii unui grup de elevi.

n studiul unei serii statistice sunt interesante concluziile obinute prin cumularea frecvenelor absolute ale valorilor variabilei.

Astfel, raportndu-ne la tabelul 2, se poate spune c n grup sunt cel mult 16 elevi cu nlimea mai mic dect 170 cm, sau exist 6 elevi cu nlimea mai mare sau egal cu 175 cm.

n general, putem defini urmtoarele tipuri de frecvene absolute:

Frecvena absolut cumulat cresctoare a valorii xi a variabilei statistice este suma tuturor frecvenelor absolute ale valorilor variabilei care apar pn la xi, inclusiv.

Se noteaz:

Frecvena absolut cumulat descresctoare a valorii xi a variabilei statistice este suma tuturor frecvenelor absolute ale valorilor variabilei care apar de la xi, inclusiv.

Se noteaz:

Analog se definesc frecvenele absolute cumulate ale claselor de valori ale variabilelor. Exemple: Pentru seria statistic dat n tabelul 1 avem:0N3 = 1 + 2 = 3 (3 elevi au nlimea mai mic sau egal cu 160).N11 = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 +1 +1 = 10 (10 de elevi au nlimea de cel puin 172 cm). Pentru seria statistic dat n tanelul 2 avem:

N3 = 1 + 7 + 8 = 16 (16 elevi au nlimea mai mica dect 170).N5 = 3 + 3 = 6 (6 elevi au nlimea de cel puin 175). Raportul dintre frecvena absolut a unei valori xi sau a unei clase de valori a variabilei statistice i efectivul total al populaiei se numete frecvena relativ a valorii xi, respectiv frecvena relativ a clasei de valori.Se noteaz:

Exemplu:Pentru seria statistic dat n tanelul 2 avem:

frecvena relativ a clasei de valori [165, 170) este f3 = 8/30 = 26,(6) %, ceea ce arat c 26,(6)% din efectivul grupului sunt elevi cu nlimea n intervalul [165, 170). Observaii:

1. 0 f1 1, 1 i p

2. f1 + f2 + ... + fp = 13. Frecvena relativ se poate exprima ca raport procentual.

Se numete frecven relativ cumulat cresctoare a valorii xi a variabilei statistice, suma tuturor frecvenelor relative ale valorilor care apar pn la xi, inclusiv.

Se noteaz:

Se numete frecven relativ cumulat descresctoare a valorii xi a variabilei statistice, suma tuturor frecvenelor relative ale valorilor care apar de la xi, inclusiv.

Se noteaz:

Analog se definesc frecvenele relative cumulate ale claselor de valori. Observaii: (Legtura dintre frecvenele cumulate i frecvenele absolute cumulate).1. Fi = f1 + f2 + ... + fi = 2. Fi = fi + fi+1 + ... + fp = Exemplu:

Raportndu-ne la Tabelul 2, toate tipurile de frecvene studiate sunt reprezentate n urmatorul tabel:

nlimea .....(xi)Frecvena ..absolut ......(ni) Frecvena absolut ...cumulat cresctoare .....(Ni) Frecvena absolut ..cumulat descresc-toare (Ni) Frecvena .. .....relativ ......(fi) Frecvena relativ ..cumulat cresctoare ......(Fi) Frecvena relativ ...cumulat descresc-toare (Fi)

[155,160) 1 1 30 =3,(3)% =3,(3)% =100%

[160,165) 7 8 29 =23,(3)% =26,(6)% =96,(6)%

[165,170) 8 16 22 =26,(6)% =53,(3)% =73,(3)%

[170,175) 8 24 14 =26,(6)% =80%=46,(6)%

[175,180) 3 27 6 =10% =90% =20%

[180,185) 3 30 3 =10% =100% =10%

Interpretarea datelor din linia a V-a este: 3 elevi din cei 30 au nlimea cuprinsa intre 175cm si 180cm;

27 elevi din cei 30 au nlimea sub 180cm; 6 elevi din cei 30 au nlimea pese 175cm;

10% din efectivul total au nlimea cuprinsa intre 175cm si 180cm;

90% din efectivul total au nlimea sub 180cm; 20% sin efectivul total au nlimea peste 175cm;

4.Reprezentarea grafic a datelor statistice

Culegerea, nregistrarea i gruparea datelor statistice legate de studiul statistic al unui fenomen sunt urmate de analiza, interpretarea i formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia. O modalitate de realizare a analizei si interpretarii datelor statistice o costituie reprezentarea grafic a acesotra, reprezentare care permite vizualizarea datelor statistice n scopul formrii unei imagini intuitive i imediate asupra fenomenului studiat. Graficul unei serii statistice se numete diagram structural.a. Reprezentarea grafic folosind diagrama circular

Cercul de structur sau diagrama circular este un cerc a crui arie reprezint efectivul total al populaiei statistice (100%). Valorile variabile se reprezint prin sectoare de cerc ale cror arii sunt proportionale cu frecvenele relative ale valorilor variabilei. Cu ajutorul regulii de trei simpl se determin msura unghiului la centru corespunztor fiecrei frecvene. Exemplu: Se consider datele din Tabelelul 3. Cu ajutorul regulii de trei simpl se obine urmtoarea coresponden ntre frecvena relativ fi i msura unghiului la centru corespunztor: fi 3,(3)% 23,(3)% 26,(6)% 26,(6)% 10% 10%

no12o84o96o96o36o36o

Diagrama circular asociat acestei serii statistice cu variabil calitativ:

b. Reprezentarea grafic folosind dreptunghiul de structur

Pentru desenarea dreptunghiului de structur se consider un reper cartezian n plan. Axa verical va fi axa frecvenelor relative fi ale valorilor xi ale variabilei statistice.

Cu baza pe axa vertical se deseneaz un dreptunghi cu nlimea de 100 de uniti. Se divizeaz dreptunghiul pe linii orizontale obtinnd dreptunghiuri cu ariile proporionale cu frecvenele fi. Exemplu: Pentru seria statistic cu variabil calitativ din tabelul 3 se obine dreptunghiul de structur urmtor:

c. Reprezentarea grafica prin batoaneDiagrama structural cu ajutoarul batoanelor se obine astfel:

se alege un reper cartezian n plan

pe axa orizontal se reprezint valorile xi ale variabilei statistice; pe axa vertical se reprezint frecvenele absolute ni sau frecvenele relative fi coresunztoare valorilor xi, 1 i p; segmentul cu extremitile n punctele cu coordonatele (xi, 0), (xi, ni), respectiv (xi, fi) reprezint batonul corespunztor valorii xi. Exemplu:

Pentru seria statistic reprezentat n tabelul 2, se consider urmtoarea figur: Observaie:

Alegerea unitii de msur pe fiecare ax se face astfel nct concluziile s se obin ct mai uor.d. Reprezentarea grafica prin coloane sau benziAcest tip de reprezentare grafic folosete dreptunghiuri cu limi egale i lungimile proporionale cu frecvenele absolute sau cu frecvenele relative ale valorilor variabilei statisticei.

Dac dreptunghiurile sunt asezate vertical, reprezentarea grafic se numete diagram prin coloane, iar dac sunt aezate orizontal reprezentarea grafic se numete diagram prin benzi. Exemplu: Pentru seria statistic reprezentat n tabelul 2, se consider urmtoarea figur: Reprezentare grafic prin benzi:

Reprezenare grafic prin coloane:

e. Poligonul frecventelorO modalitate de vizualizare a datelor unei serii statistice este poligonul frecvenelor care permite reprezentarea grafic sub forma unei curbe. Fie seria statistic (xi, ni) cu variabil cantitativ discret. Pentru a construi poligonul frecvenelor absolute se unesc printr-o linie poligonal punctele de coordonate (xi, ni). Dac se unesc punctele de coordonate (xi, fi) se obine poligonul frecvenelor relative. Exemplu: Pentru seria statistic reprezentat n tabelul 2, se consider urmtoarea figur:

f. HistogramaSe consider o serie statistic cu variabil cantitativ continu i clasele de valori de amplitudini egale: distribuia unui grup de elevi dup nlimea exprimat in centimetri:Pentru a reprezenta grafic datele statistice ale acestei serii statistice se procedeaz astfel: se alege un sistem cartezian de coordonate;

pe axa orizontal se iau segmente de lungimi egale cu amplitudinea claselor de valori;

se construiesc pe aceste segmente dreptunghiuri cu nlimea proporional cu frecvenele absolute sau frecvenele relative corespunztoare claselor de valori.

Graficul seriei statistice cu variabil cantitativ continu se numete histogram.

Exemple: Considerndu-se datele statistice din Tabelul 2, este dat urmtorul tabel:

nlimea Numr de tineri Ni Ni

[155,160) 1 1 30

[160,165) 7 8 29

[165,170) 8 16 22

[170,175) 8 24 14

[175,180) 3 27 6

[180,185) 3 30 3

Histograma seriei din Tabelul 4 este dat n figura urmtoare:

Linia poligonal determinat de centrele claselor de valori luate pe bazele superioare ale dreptunghiurilor histogramei formeaz poligonul frecvenelor absolute ale valorilor variabilei statistice. Astfel, poligonul frecvenelor absolute pentru seria statistic din Tabelul 4 este dat n figura: De asemenea, analiza unei serii statistice cu variabil cantitativ continu, pe cale grafic se poate face folosind poligonul frecvenelor absolute cumulate.

Poligonul frecvenelor absolute cumulate cresctoare se obine unind succesiv, printr-o linie poligonal, punctele de coordonate (xi+1, Ni), unde xi+1 este extremitatea dreapt a unei clase de valori [xi, xi+1), iar Ni este frecvena absolut cumulat cresctoare a clasei respective. La aceste puncte se adaug i punctul (m, 0) unde m este limita inferioar a primei clase de valori. Poligonul frecvenelor absolute cumulate descresctoare se obine unind sccesiv, printr-o linie poligonal, punctele de coordonate (xi, Ni), unde xi este extremitatea stng a unei clase de valori [xi, xi+1), iar Ni este frecvena absolut cumulat descresctoare corespunztoare clasei, la care se adaug punctul (M, 0) unde M este limita superioar a ultimei clase.5. Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziieAnaliza i interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pn la acest moment cu ajutorul frecvenelor i a graficelor statistice. Cu ajutorul acestor caracteristici se poate observa cu uurin variabilitatea mrimilor care se obin ca rezultat al unor msurtori.

Pentru o serie statistic este interesant de gsit acea mrime care survine cel mai des , acea mrime este cea mai reprezentativ pentru toat seria.

O astefle de mrime se numete indicator sau parametru de poziie deoarece arat poziia elementelor principale ale seriei n cadrul acesteia.

Reprezentativitatea unor astfel de mrimi este dat de gradul de concentrare a datelor statistice n jurul lor.a. Valoarea medie a unei serii statisticeFie seria statistic (xi, ni), 1 i p asociat unui studiu statistic asupra unei populaii statistice din efectivul total N, cu variabil cantitativ discret X. Definiie:

Se numete valoare medie sau media variabilei statistice X, media aritmetic a tuturor valorilor variabilei statistice calculat pentru toate unitile populaiei statistice.

Se noteaz:

X =

... . (1) Exemplu:

S calculm media variabilei statistice a seriei statistice dat in Tabelul 1.

Avem x =

= = 150,2(3).

Dac variabila statistic X este cantitativ de tip continuu, atunci n locul valorilor xi din formula (1) se vor lua mediile aritmetice ale extremitilor claselor de valori (valorile centrale ale claselor de valori). Observaii: Valoarea medie a variabilei statistice este un parametru de poziie global care indic tendina central a valorilor ei. Diferena xi x reprezint abaterea de la medie a valorii xi. Suma abaterilor de la medie a valorilor variabile este zero. Valoarea medie x se poate calcula i cu ajutorul frecvenelor relative fi.b. Mediana seriei statistice ordonata

Fie seria statistic (xi, ni), ordonat (xk xk+1, k1) i N efectivul total al populaiei statistice.

Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care mparte irul ordonat al valorilor variabile n dou pri, fiecare parte coninnd acelai numr de valori.

Mediana unei serii statistice cu variabil cantitativ discret se obine astfel:

-se aaz cele N valori ale variabilei n ordine cresctoare sau descresctoare;

-daca N este numar impar, atunci

;

-daca N este par N=2k, atunci

. . Exemplu:

Fie irul luat cresctor din tabelul 2: 1, 3, 3, 7, 8, 8, atunci Me =5. Observaie: Clasa de valori din seria frecvenelor absloute cumulate creia i corespunde cel puin jumtate din efectivul total al populaiei se numete clas median.

Mediana unei serii statistice cu variabil cantitativ de tip continuu se calculaeaza cu formula:

Unde: L=limita inferioar a clasei mediane; CM =cota medianei; Ni-1 =frecvena absolut cumulat cresctoare pn la clasa median; ni =frecvena absolut corespunztoare clasei mediane; k=amplitudinea clasei mediane: xi+1 - xi . Mediana seriei statistice este un indicator al poziionrii valorilor xi ale acesteia. Aceasta este util n realiyarea ierarhizrii valorilor.c. Modulul unei serii statistice

n multe activiti economico-sociale prezint interes acele aspecte care survin cel mai frecvent n derularea lor. De exemplu, compararea numrului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp d posibilitatea determinrii perioadei din zi cnd o central telefonic este cel mai mult solicitat i, n conseciin, d posibilitatea determinrii capacitii optime a centralei.

Astfel de probleme se rezolv folosind parametrul statistic de poziie numit modul sau dominant. Definiie: Modulul sau dominanta unei serii statistice (xi, ni), 1 i p, reprezint valoarea unei clase de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv i se noteaz Mo.Aadar, modulul sau dominanta este parametrul ce evideniaz valoarea variabilei care apare cel mai frecvent n mulimea datelor.

Exemplu:

Pentru seria statistic din Tabelul 1, Mo =170. S considerm o serie statistic cu variabila cantitativ de tip continuu. Dac modulul este o clas de valori (clasa modal), aceasta poate fi nlocuit cu valoarea ei central.n acest caz avem: Pentru seria statistic din Tabelul 2 , Mo =177,5 .Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii statistice cu date grupate n clase de valori, s considerm o secven a diagramei structurale a acesteia care s conin i valorile din clasa modal [1, L). Notm:

1 = diferena dintre frecvena clasei modale i aceea a clasei anterioare ei. 2 = diferena dintre frecvena clasei modale i aceea a clasei urmtoare. K = amplitudinea clasei modale, k =L l.

d. Dispersia. Abaterea medie ptratic S considerm urmtoarele seturi de date: {1, 2, 3, 4, 5} i {2,40; 2,50; 2,60; 2,80; 5}

Se constat c ambele iruri de date au valoarea medie egal cu 3, sunt distincte, iar datele primului ir sunt raspndite n raport cu media fa de cele a setului al doilea.

Pentru a msura gradul de mprtiere a datelor unei serii statistice fa de medie se folosesc urmtorii parametrii de poziie: dispersia i abaterea medie ptratic. Definiie:

Fiind dat seria statistic (xi, ni), 1 i p, dispersia valorilor x1, x2, ..., xp este media aritmetic ponderat a ptratelor abatarilor de la medie ale valorilor variabilei.

n cazul datelor grupate n clase de valori, se consider abaterile centrelor claselor de valori de la medie.

Definiie: Fiind dat seria statistic (xi, ni), 1 i p, se numete abatere medie ptratic a valorilor variabilei numrul = , unde s2 este dispersia seriei. Abaterea medie ptratic d posibilitatea caracterizrii dispersiei valorilor variabilei statistice. Astfel, o serie care este puin dispersat, adic prezint valori ce sunt strns grupate n jurul valorii medii, conduce la o abatere medie ptratic mic. Raportul dintre abaterea medie ptratic i valoarea medie a unei serii statistice se numete coeficient de variaie. Se noteaza: Acest indicator d posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei serii statistice. Un coeficient de variaie sub 15% indic o omogenitate bun a repartiiei unui fenomen i c valoarea medie este reprezentativ.

Tabelul 1

Tabelul 2

Tabelul 3

EMBED Excel.Chart.8 \s

Tabelul 4

EMBED Excel.Chart.8 \s

EMBED Excel.Chart.8 \s

EMBED Excel.Chart.8 \s

_1359493015.unknown

_1463936545.xls

_1463977187.xlsChart1

111[155,160)

777[160,165)

888[165,170)

888[170,175)

333[175,180)

333[180,185)

Column1

Series 2

Series 3

Series 4

Sheet1

Column1Series 2Series 3Series 4

[155,160)111

[160,165)777

[165,170)888

[170,175)888

[175,180)333

[180,185)333

_1463977374.xlsChart1

1[155,160)[155,160)

7[160,165)[160,165)

8[165,170)[165,170)

8[170,175)[170,175)

3[175,180)[175,180)

3[180,185)[180,185)

Column1

Series 2

Series 3

Sheet1

Column1Series 2Series 3

[155,160)1

[160,165)7

[165,170)8

[170,175)8

[175,180)3

[180,185)3

_1463936798.xlsChart1

1[155,160)[155,160)

7[160,165)[160,165)

8[165,170)[165,170)

8[170,175)[170,175)

3[175,180)[175,180)

3[180,185)[180,185)

Column1

Series 2

Series 3

Sheet1

Column1Series 2Series 3

[155,160)1

[160,165)7

[165,170)8

[170,175)8

[175,180)3

[180,185)3

_1463845283.xlsChart1

1[155,160)[155,160)

7[160,165)[160,165)

8[165,170)[165,170)

8[170,175)[170,175)

3[175,180)[175,180)

3[180,185)[180,185)

Column1

Series 2

Series 3

Sheet1

Column1Series 2Series 3

[155,160)1

[160,165)7

[165,170)8

[170,175)8

[175,180)3

[180,185)3

_1463855257.xlsChart1

111[155,160)

777[160,165)

888[165,170)

888[170,175)

333[175,180)

333[180,185)

Column1

Series 2

Series 3

Series 4

Sheet1

Column1Series 2Series 3Series 4

[155,160)111

[160,165)777

[165,170)888

[170,175)888

[175,180)333

[180,185)333

_1463934248.xlsChart1

3.323.326.726.710100

3,(3)%

23,(3)%

26,(6)%

26,(6)%2

10%

10%2

.

Sheet1

3,(3)%23,(3)%26,(6)%26,(6)%210%10%2.

3.323.326.726.710100

To resize chart data range, drag lower right corner of range.

_1359493016.unknown

_1359493013.unknown

_1359493014.unknown

_1359493012.unknown