Elemente de statistică matematică

Material realizat de : profesor Gherghe Radu

1. Obiectul statisticii

Caracterul din ce în ce mai complex al problemelor legate de conducerea societăţii moderne a necesitat un instrument de studiu specific fenomenelor de masă în industrie, agricultură, viaţa socială etc. Problema conducerii şi dirijării proceselor de mare serie a ridicat, printre altele, aspectul controlului calităţii produselor. Corectitudinea deciziilor adoptate într-un anumit domeniu depinde foarte mult de exisenţa, continuitatea şi nivelul de prelucrare a datelor referitoare la acel domeniu.Statistica se ocupă cu gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen dat, precum şi cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.O bază logică, riguroasă, în interpretarea datelor statistice se pune cu ajutorul instrumentelor matematice.

Etapele principale ale studiului statistic al unui fenomen

a) Observaţia (culegerea datelor). În această etapă se colectează, printr-o anchetă, datele referitoare la fenomenul care ne interesează.

b) Prezentarea datelor. La sfârşitul anchetei se prezintă datele sub forma unor tabele. Dacă tabelele sunt greu de citit, se dă o reprezentare grafică a datelor. Aceasta are avantajul că permite o percepţie globală şi imediată asupra fenomenului studiat. Tabelele sau graficele conduc la formularea unor ipoteze (sau teorii) asupra fenomenului studiat.

c) Calculul parametrilor caracteristici. Cua jutorul unor instrumente matematice, se determină frecvenţa, valorile medii, dispersia, abaterea de la medie etc.

d) Valorificarea rezultatelor. Valorile parametrilor caracteristici confirmă sau infirmă ipotezele făcute şi permit enunţarea unor predicţii (cu oarecare risc) despre comportarea viitoare a fenomenului respectiv. Predicţiile se testează prin colectarea unor noi date care să confirme ipotezele admise. Dacă ipotezele nu se confirmă, ele trebuie reformulate şi cercetate din nou.

Statistica are două părţi

Statistica descriptivă

Statistica descriptivă se ocupă cu clasificarea, prezentarea şi sintetizarea datelor obţinute din anchete.

Statistica analitică

Statistica analitică foloseşte metode matematice specifice pentru extragerea informaţiilor din materialul statistic obţinut cu metodele statisticii descriptive.

2. Noţiuni de bază în statistica descriptivă

Mulţimea pe care se realizează studiul statistic se numeşte populaţie statistică sau colectivitate. Elementele populaţiei statistice se numesc unităţi statistice sau indivizi. Numărul de unităţi al unei populaţii statistice se numeşte efectivul total al acelei populaţii. Dacă efectivul populaţiei statistice este foarte mare, studiul unei anumite proprietăţi a ei se poate face pe o submulţime a populaţiei statistice, numită eşantion.

O anchetă se poate face în două moduri :

Asupra întregii populaţii statistice, numită recensamânt.

Recensămintele sunt foarte costisitoare. Ele sunt făcute în general de de organismele oficiale.

Asupra unui eşantion numită sondaj.

Anchetele prin sondaje sunt efectuate de organisme private specializate. Sondajele permit extapolarea rezultatelor obţinute pentru un eşantion asupra întregii populaţii statistice

Reprezentativitatea unui eşantion

Extrapolarea conduce la rezultate corecte dacă eşantionul ales este reprezentativ pentru populaţia statistică din care a fost extras. Reprezentativitatea unui eşantion se referă la :

1. Conţinut (specificarea elementelor componente) ;2. Încadrare (cărei unităţi organizatorice aparţin elementele) ; 3. Aria de răspîndire ;4. Momentul sau perioada considerării.

De exemplu, pentru studiul rezultatelor unor alegeri, eşantionul reprezentativ trebuie să conţină oameni :

5. din toate categoriile sociale ;6. având toate tipurile de ocupaţie, inclusiv cei fără loc de muncă7. din toate zonele geografice 8. Rezultatele obţinute sunt valabile numai pentru perioada în care s-a

făcut ancheta

Caracteristica

Studiul populaţie statistice se face referitor la o proprietate comună tuturor indivizilor, numită caracteristică. După natura lor, caracteristicile pot fi calitative sau cantitative. Caracteristicile calitative (atribute) sunt acelea care nu se pot exprima numeric (culoarea ochilor, profesia etc.). Caracteristicile cantitative (variabile statistice) sunt cele care se pot exprima numeric, în unităţi corespunzătoare. O variabilă statistică poate fi discretă dacă ia valori izolate, sau continuă dacă poate lua valorile dintr-un anumit interval.

Serii statistice

Analiza unui fenomen în raport cu o caracteristică ne conduce la o serie de perechi de valori, numită serie statistică. Prima valoare (nu neapărat numerică) este valoarea caracteristicii, iar a doua valoare (numerică) reprezintă numărul de unităţi statistice corespunzătoare acelei valori a caracteristicii. Tabelul care reprezintă seria statistică se numeşte tabel de distribuţie statistică. Valorile unei variabile se aşază în ordine crescătoare. Exemple de serii statistice.docxLungimea intervalului unei clase se numeşte amplitudinea clasei. Se numeşte valoare centrală, media aritmetică, de exemplu, pentru clasa 161 – 165, valoarea centrală este 163. O serie la care caracteristica este un moment sau un interval de timp se numeşte serie cronologică.

FrecvenţeSe numeşte frecvenţă absolută a unei valori a caracteristicii numărul de unităţi statistice pentru care caracteristica are acea valoare.Modelul matematic al unei distribuţii (sau repartiţii) este un tabel de forma :

unde x1,x2,…xp reprezintă valorile caracteristicii, iar n1,n2,…np sunt frecvenţele lor absolute. Dacă N este efectivul total al populaţiei atunci N = n1+ n2+…+ np .

Caracteristica x1 x2 … xp

Frecvenţa absolută n1 n2 … np

Se numeşte frecvenţă relativă (frecvenţă ) a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecvenţă absolută şi efectivul total al populaţiei statistice : fi = ni / N.Evident, f1+ f2+…+ fp = 1. Deseori frecvenţă este dată în procente. Numărul de procente se obţine înmulţind frecvenţă relativă cu 100.

Pentru seriile statistice de variabilă cantitativă se pot defini frecvenţe cumulate (vezi material de sprijin frecvenţe)

Caracteristica x1 x2 … xp

Frecvenţa relativă f1 100 f2 100 … fp 100