elemente de mecanica fizica si mecanica analitica (capitolul i)

8/7/2019 ELEMENTE DE MECANICA FIZICA SI MECANICA ANALITICA (Capitolul I)

1/7

11

Capitolul 1

ELEMENTE DE MECANIC FIZIC I MECANIC ANALITIC

Mecanica fizic este ramura fizicii care studiaz micarea corpurilor, cauzelecare produc micarea i stabilete condiiile de repaus ale corpurilor. In funcie devaloarea vitezei de deplasare a corpurilor, mecanica se clasific n mecanica clasici mecanica relativist. Mecanica clasic studiaz deplasrile corpurilor avndviteze mult mai mici dect viteza luminii n vid, n timp ce mecanica relativiststudiaz deplasrile acelor corpuri ale cror viteze sunt apropiate de viteza luminiin vid .

Din punctul de vedere al metodelor de cercetare, mecanica se mparte nmecanica fizic (experimental) i mecanica teoretic. Mecanica fizic studiazfenomenele mecanice din punct de vedere experimental, iar mecanica teoreticmbrac ntr-o form matematic legile mecanicii, care au fost stabiliteexperimental. Una din componentele mecanicii teoretice este mecanica analitic,care descrie comportarea mecanic a corpurilor cu ajutorul unor ecuaii, dedusedintr-o serie de principii mai generale.

1.1. Cinematica i dinamica punctului material i a sistemelor depuncte materiale. Viteza i acceleraia.

Cinematica se ocup cu studiul geometric al micrii corpurilor, n timp cedinamica se ocup cu studiul cauzelor micrii i a legilor sale.

Mecanica fizic opereaz cu noiunea de punct material, definit ca un

ansamblu ale crui dimensiuni pot fi neglijate n raport cu distana parcurs.Poziia punctului material pe traiectorie este determinat de vectorul de

poziie rr

care are expresia

zz

yy

xxr 111

rrrr++= ,


2/7

12

undezyx

1,1,1rrr

sunt versorii axelor de coordonate iar x, y i z sunt proieciile

vectorului de poziie rr

pe axele de coordonate (Fig.1.1).Viteza punctului n micare pe traiectorie, se definete prin relaia,

zzyyxxr

t

r1v1v1v

d

dv

rrr&r

rr

++=== ,

i are direcia tangentei la traiectorie. ntre aceste proiecii ale vitezei exist relaia

2v2v2v2vzyx

++= .

Fig.1.1

Acceleraia punctului va fi

zza

yya

xxar

ta 111

d

vd rrr&&rr

r++=== ,

iar ntre aceste proiecii ale acceleraiei exist relaia,

2222z

ay

ax

aa ++= .

Micarea punctului material este raportat la un sistem de referin care poatefi sistemul de axe triortogonal, pentru a-i stabili poziia n decursul micrii i unceasornic pentru msurarea timpului. Referenialele n raport cu care este valabillegea ineriei se numesc sisteme de referin ineriale.


3/7

13

Dinamica punctului material se bazeaz pe un sistem de trei legifundamentale formulate de Newton, ntemeiate pe cunotine experimentale dinepoca sa : legea ineriei, legea fundamental a dinamicii i legea aciunii ireaciunii. Enunul lor este cunoscut din cursul liceal de fizic. Se impun totuicteva concluzii. Mai nti, legea fundamental a dinamicii, numit i legea a

doua a dinamicii, afirm c : acceleraia ar

produs de fora Fr

ce acioneaz asupra

punctului material de mas m este proporional cu fora Fr

i invers proporionalcu masa m ,

Fma

rr 1= ,

vectorii ar

i Fr

avnd aceeai direcie i acelai sens.Acelai rezultat se obine i din relaia de definiie a forei,

( )am

tm

t

m

t

pF

rrrr

r

====d

vd

d

vd

d

d,

unde am notat cu vrr

mp = impulsul punctului material.n cazul cnd rezultanta forelor ce acioneaz asupra punctului material este

nul( F

r

=0), rezult ar

=0 i deci corpul este n repaus sau se mic rectiliniu iuniform. Legea a treia a dinamicii, afirm c aciunile dintre corpuri sunt reciprocei egale.

Legile dinamicii se aplic i sistemelor de puncte materiale. ns n acestcaz acioneaz dou tipuri de fore : interioare i exterioare. Forele interioare

sunt forele cu care fiecare punct material acioneaz asupra celorlalte puncte

materiale din sistem. Forele exterioare sunt forele ce acioneaz din exterior

asupra fiecrui punct din sistem. innd seama de acestea, legea a II-a a dinamicii

se scrie,

( )( )t

pFF i

n

i

eiij d

d

1

rrr

= +=

(1.1)

unde ijFr

este fora interioar cu care punctul j acioneaz asupra punctului i iar

)(eiFr

este fora exterioar ce acioneaz asupra punctului i.

Legea a III-a a dinamicii afirm c fora cu care un corp acioneaz asupraaltuia este egal i de sens contrar cu fora cu care acioneaz cel de al doilea


4/7

14

asupra primului corp. Aplicat la sistemul de puncte materiale, rezult c

ijji FFrr

= .

Scriind relaia (1.1) pentru fiecare punct material din sistem, se obine prinnsumare,

( ) ( )

==

= =

n

i

n

iii

ei

e rmt

FF1 1

2

2

d

d rrr, (1.2)

unde ( )eFr

este fora exterioar rezultant. Folosind acest rezultat, se poate definicentrul de mas al sistemului de puncte materiale prin relaia,

=

=

=n

ii

n

iii

m

rm

R

1

1

r

r,

unde Rr

este vectorul centrului de mas. Rezult din (1.2),

=

==n

i i

mM

t

RM

eF

1

;

2d

2d)(r

r

i reprezint legea a doua a dinamicii aplicat sistemului de puncte materiale.

Concluzie. Centrul de mas avnd vectorul de poziie Rr

, se mic ca unpunct n care este concentrat ntreaga mas a sistemului de puncte materiale,

asupra lui acionnd fora exterioar rezultant )(eFr

.

1.2. Lucrul mecanic i energia cinetic n cazul punctului material.

Considerm un punct material aflat n 1P asupra cruia acioneaz fora Fr

,

variabil ca mrime, direcie i sens (Fig.1.2). Notm cu rr

i rrrr

d+ vectorii depoziie ai punctului material aflat n dou poziii succesive 1P i 2P , iar cu

rr dd =r

- deplasarea elementar efectuat n intervalul de timp dt.

Considernd c pe intervalul d rr

fora rmne constant, lucrul mecanic

efectuat de Fr

pe acest distan este


5/7

15

== cosddd rFrFWrr

,

iar lucrul mecanic efectuat pe distana AB va fi :

=B

A

rFWrr

d .

Fig.1.2

Notnd cu zyx ,F,FF proieciile forei pe cele trei axe ale sistemului de

coordonate carteziene, rezult

++=

B

A )d.d..d( zzFyyFxxFW ,

relaie numit expresia analitic a lucrului mecanic.n cazul unei curbe nchise,

=

rFWrr

d ,

iar lucrul mecanic este egal cu circulaia vectorului for.

nlocuind amFrr

= = const pe poriunea elementar d rr

, rezult

rtdmramrFW

rr

rrrr

dvd

ddd === ,

iar lucrul mecanic total va fi


6/7

16

==2

1

2

1

v

vvvv

v

v

rrrr

dmdtd

rdmW

sau,

2

21v

2

22v mmW = ,

relaie care reprezint legea variaiei energiei cinetice.

BREVIAR MATEMATIC. Operatori. Elemente de analiz vectorial.

Operatorul matematic este o funcie definit pe un spaiu vectorial, i care

aplicat asupra unei mrimi scalare, respectiv asupra unei mrimi vectoriale,

schimb natura acestor mrimi. Fizica folosete operatorii pentru exprimarea

matematic ntr-o form mai elegant a unor legi fizice.1. Gradientul unei funcii scalare este un vector, care n sistemul de

coordonate carteziene, se scrie

zzyyxx111gradrrr

+

+

== ,

unde prin se noteaz operatorul nabla

zzyyxx111rrr

+

+

.

2. Divergena unui vector Ar

este o mrime scalar, care n sistemul decoordonate carteziene se scrie

z

A

y

A

x

AAA z

yx

+

+

==

rr

div ,

i este egal cu produsul scalar dintre i vectorulr

.

3. Rotorul unui vector Ar

este un vector, notat cu rot Ar

i este egal cu

produsul vectorial dintre i vectorul Ar

,


7/7

17

zA

yA

xA

zyx

zyx

AA

==

111

rot

rrr

rr

4. Operatorul lui Laplace este dat de produsul

2

2

2

2

2

2

zyx +

+

.

5. Circulaia unui vector Ar

de-a lungul unei curbe nchise este dat de

integrala curbilinie pe conturul ,

rArr

d ,

unde d rr

este deplasarea elementar a vectorului Ar

.

6. Fluxul unui vector Ar

printr-o suprafa nchis Seste dat de integrala desuprafa

( )( ) ==S S

n SASA .d1.d.rrrr

,

unde n1r

este versorul normalei exterioare la elementul de suprafa orientat d Sr

(Fig.1.3).

Fig.1.3

elemente de mecanica fizica si mecanica analitica (capitolul i)

Documents