elemente de calcul mecanic

Capitolul 3. Elemente de Calcul Mecanic

Ş.l.dr.ing. Liana-Maria DEHELEANDepartamentul MECATRONICA

CUPRINS

3.1. Mecanica Teoretică. Definiţii3.2. Statica 3.2.1. Reducerea sistemului de forţe

concurente 3.2.2. Torsorul de reducere al sistemului de

forţe 3.2.3. Echilibrul punctului material şi a

corpului material 3.2.4. Axa centrală a unui sistem de forţe 3.2.5. Centrul forţelor paralele3.3. Cinematica

3.1. Mecanica Teoretică. Definiţii

Aşa după cum Geometria a fost construită din necesitatea de a măsura Pământul, Mecanica (teoretică) a fost creată pentru a măsura mişcarea.

Mecanica Teoretică este capitolul Matematicii, care se ocupă cu studiul şi măsurarea mişcării.

Mişcarea unui corp se desfăşoară în spaţiu şi timp. Măsurarea mişcării se poate efectua numai faţă de un sistem de referinţă.

File de manuscrise ale lui Isaac NEWTON


Spaţiul, noţiune filosofică de extremă generalitate, este modelat, pentru Mecanica Teoretică, sub forma unui spaţiu euclidian cu trei dimensiuni E3, omogen, izotrop, absolut, continuu şi independent de materie.

Timpul, în sens general, exprimă succesivitatea ori simultaneitatea desfăşurării fenomenelor, durata lor, dezvoltarea. Modelul folosit de Mecanica Teoretică este continuu, omogen, izotrop, absolut şi ireversibil.


Punctul material este un corp material cu dimensiuni suficient de mici, încât poate fi conţinut într-o sferă de rază r, foarte mică, neglijabilă, faţă de alte dimensiuni ale problemei, care se studiază.

Punctul material mai poate fi asimilat cu un punct geometric, căruia i se atribuie toate proprietăţile materiei.


Corpul rigid este un corp material cu formă fixă, compus din particule materiale situate la distanţe invariabile. Conceptul se referă la un corp material perfect rigid.

Mişcarea mecanică este cea mai simplă formă de mişcare, reprezentată prin schimbarea în timp şi spaţiu, a poziţiei reciproce a corpurilor materiale (deplasare geometrică) sau a unor părţi dintr-un corp, faţă de o anumită parte a corpului.


Evoluţia ştiinţei şi filosofiei cunoaşterii au arătat că, în natură nu există nimic fix. În această conjunctură, legile Mecanicii Clasice se aplică faţă de un sistem de referinţă inerţial.

Cel mai comun sistem de referinţă inerţial este Planeta Pământ. Mişcările de rotaţie şi de revoluţie ale Pământului au efecte neglijabile asupra mişcării obiectelor de dimensiuni umane.


Masa este o cantitate de substanţă cuprinsă într-un volum. Repartiţia masei este definită prin masa, care se găseşte în fiecare regiune finită a spaţiului.

Masa este o mărime aditivă, finită în orice parte finită a spaţiului.

Masa se manifestă, în fenomenele de mişcare, prin inerţie şi prin atracţia universală.


Forţa este o expresie a acţiunii unui corp material asupra altui corp material. Forţa exprimă existenţa interacţiunilor dintre corpurile materiale.Măsura forţei rezultă din măsura mişcării şi este în strânsă legătură cu noţiunea de masă. Cele mai cunoscute forţe sunt: forţa de gravitaţie universală; forţa electromagnetică; forţa de frecare; forţa elastică.

3.1. Mecanica Teoretică. Definiţii În relaţie cu sistemul de puncte materiale, forţele pot fi: forţe exterioare; forţe interioare.

Forţele exterioare se aplică sistemului ca entitate, iar forţele interioare sunt interacţiuni dintre părţile componente ale sistemului.

Forţele exterioare se clasifică în: forţe aplicate ; forţe de legătură sau reacţiuni.

În majoritatea cazurilor, forţele aplicate (greutăţi, forţe elastice, forţe tehnologice) sunt cunoscute, iar reacţiunile sunt forţele, care rezultă în urma aplicării forţelor exterioare.


Măsurarea forţelor se face cu ajutorul unui dispozitiv elastic

numit dinamometru.

Acesta conţine un arc (în mod uzual un arc elicoidal) şi un vernier, cu ajutorul căruia se poate citi deformaţia arcului. Dinamometrul funcţionează în domeniul de proporţionalitate al caracteristicii forţă-deformaţie a arcului, iar gradaţia poate fi făcută direct în unităţi de forţă [N].

Statica este partea Mecanicii Teoretice, care studiază forţele şi echilibrul de forţe, fără să ţină seama de timp. Statica trebuie să rezolve două mari probleme:

1. care este cel mai simplu sistem de forţe echivalent cu un sistem de forţe dat, problemă numită compunerea sau reducerea sistemului de forţe;

2. ce condiţii trebuie să îndeplinească un sistem de forţe pentru a fi în echilibru, problema echilibrului sistemului de forţe sau al forţelor.

La rezolvarea problemelor de statică se ţine cont de: Principiul inerţiei; Principiul acţiunii forţei; Principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii.

3.2. Mecanica Teoretică. Statica

3.2.1. Reducerea sistemului de forţe concurente

Sistemul de forţe este format din totalitatea forţelor ce acţionează asupra unui corp material.

A reduce un sistem de forţe concurente, care acţionează asupra unui punct material, înseamnă a găsi o forţă unică, numită rezultantă, care aplicată asupra punctului material să producă acelaşi efect ca şi sistemul de forţe dat.

Această problemă se mai numeşte şi compunerea forţelor, datorită faptului că, forţele fiind mărimi vectoriale, compunerea lor se face cu regulile cunoscute de compunere a vectorilor, care sunt:• regula paralelogramului;• regula poligonului;• metoda analitică.


β

γ

A F2 B2

R

d2

d1

BB1

F1

3.2. Mecanica Teoretică. Statica 3.2.1. Reducerea sistemului de forţe concurente

Regula paralelogramului

21

2122

21

2

F,F

cosFF2FFR

;sin)sin(

sin

R

sin

F

sin

F 21

;sin

sinRF;

sin

sinRF 21

An

A2

R0

A1

F2F1

A3

An-1


Regula poligonului

Echilibrul sistemului de forţe presupune:

n

1iiFR

n

1jijiji

2 FFFFR,

,cos

0FRn

1ii

_


Metoda analitică

kZjYiXF iiii

kZjYiXFZkYjXiRn

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1ii

_

y

y2

y1

O x1 x2 x

R

αβ

γ α

β

γ

a) b)

δ

R

F2

F1F1

F2


Metoda analitică

n

1ii

n

1ii

n

1ii ZZYYXX ;;

R

Z

R

Y

R

X

ZYXR 222

cos;cos;cos

y

y2

y1

O x1 x2 x

R

αβ

γ α

β

γ

a) b)

δ

R

F2

F1F1

F2


O forţă, care acţionează asupra unui punct material liber, provoacă o acceleraţie.

Aceeaşi forţă, dacă acţionează asupra unui solid rigid, poate conduce la două situaţii distincte:

1. Dreapta suport a forţei trece prin centrul de masă al solidului rigid, caz în care, provoacă o acceleraţie, ca şi în cazul punctului material, acceleraţie, care este proporţională cu masa corpului. Accelaraţia are aceeaşi valoare, ca în cazul punctului material, dacă punctul material şi solidul rigid au aceeaşi masă.

2. Dreapta suport a forţei se află la distanţa r, de centrul de masă al solidului rigid.

3.2.2. Torsorul de reducere al sistemului de forţe

(d) F

G

(d’) M Fr

(d) G F r

În al doilea caz, forţa F se reduce în centrul de greutate al corpului, printr-o pereche de vectori M şi Fr, care se numeşte torsor de reducere al forţei F la distanţa r.

3.2. Mecanica Teoretică. Statica 3.2.2. Torsorul de reducere al sistemului de forţe

rr FF;)d()d(;F;FxrM

n

1i

i

i

n

1i

i

n

1i

i0

FR

FxrMM

Generalizând la n forţe ale unui sistem de forţe, torsorul de reducere este, σ (R, M0), unde:


A doua problemă a staticii este de a găsi ecuaţiile de echilibru ale punctului material. Sistemul de forţe aplicat punctului material reprezintă un sistem de forţe concurente, legate de acest punct. S-a arătat că, un astfel de sistem de forţe este echivalent cu o forţă unică.

Dacă punctului material i se ataşează un sistem de referinţă cartezian, echilibrul punctului material este exprimat prin relaţiile:

3.2.3. Echilibrul punctului material

n

1i

i 0)r(FR

n

1ii

n

1ii

n

1ii

0)z,y,x(Z)z,y,x(Z

0)z,y,x(Y)z,y,x(Y

0)z,y,x(X)z,y,x(X

sau


A doua problemă a staticii este de a găsi ecuaţiile de echilibru ale corpului material. Sistemul de forţe aplicat corpului material reprezintă un sistem de forţe neparalele coplanare legate de acest corp.

Un corp material, care are un punct fix şi care se găseşte sub acţiunea unui sistem de forţe neparalele coplanare, este în echilibru, dacă suma momentelor tuturor forţelor, în raport cu punctul fix, este egală cu zero.

Dacă corpului material i se ataşează un sistem de referinţă cartezian, echilibrul acestuia este exprimat prin relaţia:

3.2.3. Echilibrul corpului material

0FxrM i

n

1i

i

0

n

1i

i


Într-un sistem de coordonate cartezian ecuaţiile de echilibru sunt:

3.2.3. Echilibrul corpului material

n

1icii

n

1icii

n

1icii

oz

n

1ii

ox

n

1ii

oy

n

1ii

zRzF

yRyF

xRxF

0F

0M

0M


i

ic

F

rFr i

Efectuînd reducerea unui sistem de forţe într-un punct oarecare O, se poate demonstra că, există o dreaptă pentru care se obţine un torsor minimal.

Dreapta se numeşte axa centrală a sistemului de forţe.

Vectorul de poziţie al punctului de reducere, rc este:

3.2.4. Axa centrală a unui sistem de forţe

Efectuînd reducerea unui sistem de forţe într-un punct oarecare O, există o dreaptă pentru care se obţine un torsor minimal. Dreapta se numeşte axa centrală a sistemului de forţe.Dacă forţele sistemului sunt paralele cu axa Oz, într-un sistem de coordonate cartezian, atunci notăm centrul forţelor cu C, acesta fiind locul, în care dreapta centrală (dc) intră în planul xOy.

z (dc)

R

F1 F2 F3 Fn

Fn-1

o yc y

xc C

x

3.2. Mecanica Teoretică. Statica 3.2.5. Centrul forţelor paralele.


i

iic

i

iic

i

iic F

zFz;

F

yFy;

F

xFx

Într-un sistem de coordonate cartezian, coordonatele centrului forţelor paralele sunt date de relaţiile:

3.2.5. Centrul forţelor paralele.

Ecuaţiile , care se scriu pentru determinarea centrului forţelor paralele, sunt date de relaţiile:

n

1icii

n

1icii

n

1icii

oz

n

1ii

ox

n

1ii

oy

n

1ii

zRzF

yRyF

xRxF

0F

0M

0M

Dacă forţele sistemului sunt paralele cu axa Oz, într-un sistem de coordonate cartezian notăm centrul forţelor cu C, acesta fiind locul în care dreapta centrală (dc) intră în planul xOy . Vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele fiind:

i

ic

F

rFr i

Cea mai fecventă aplicaţie, a sistemului de forţe paralele, este calculul centrelor de greutate. Greutatea este o forţă provocată de acceleraţia gravitaţională. Dacă operăm cu corpuri omogene, atunci putem considera o distribuţie uniformă a substanţei în interiorul volumului corpului. Dacă dimensiunile corpului aparţin domeniului comun de valori, atunci se acceptă că, acceleraţia gravitaţională acţionează asupra tuturor particulelor corpului după aceeaşi direcţie. Teoretic, vectorul acceleraţiei g, este orientat spre centrul Pământului, deşi forţele gravitaţionale nu sunt paralele. În cazul unei piese cu dimensiuni liniare de 100m, abaterea de la paralelism la extremităţi este de, aproximativ, 2``de arc, ceea ce este, tehnic, neglijabil.


Din punct de vedere pragmatic, nu este necesar să descompunem un corp în foarte multe particule, ci este suficient să se apeleze la cea mai sumară descompunere a unui corp real, în corpuri elementare cu configuraţie simetrică. La acestea se cunoaşte poziţia centrului de masă, respectiv de greutate.În final se rezolvă problema găsirii centrului forţelor paralele, la care valorile celor n forţe sunt tocmai greutăţile corpurilor elementare, iar coordonatele acestora sunt coordonatele absolute, într-un sistem de referinţă ataşat corpului.

n

1ii

n

1icii

n

1icii

oz

n

1ii

ox

n

1ii

oy

n

1ii

RF

yRyF

xRxF

0F

0M

0M


n

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

c

F

yF

y;

F

xF

x

Relaţiile de mai sus sunt valabile pentru corpuri plane, de tipul pieselor plane din tablă. În cazul pieselor cu configuraţie spaţială relaţiile trebuie completate cu ecuaţia de calcul a poziţiei centrului de greutate, după axa Oz.

n

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

c

F

zF

z;

F

yF

y;

F

xF

x


Pentru plăcile din figurile de mai jos să se calculeze coordonatele centrelor de greutate. Plăcile sunt confecţionate din material omogen. Unităţile de măsură sunt convenţionale.R1 şi R2 înseamnă R = 1, respectiv R = 2.

Plăcile au grosime constantă. Pentru rezolvare, aria complexă a piesei se descompune în figuri geometrice regulate, la care se cunoaşte poziţia centrului de greutate. Se ataşează piesei un sistem de coordonate cartezian şi se calculează coordonatele fiecărei figuri elementare, faţă de acest sistem. 7

4

2

3

R1

3 4 6

3

9

5 4

4

R2

9

5 3

4 5

14


Pentru piesa din figură se propune descompunerea următoare. Se menţionează că nici o variantă de descompunere în figuri elementare nu este unică, dar se recomandă soluţii cât mai simple, cu număr minim de componente. Ariile haşurate, din figură, reprezintă decupaje şi vor fi notate în tabelul de calcul cu semnul ”-”. Tabelul de calcul este util numai pentru gestionarea uşoară a datelor intermediare. Se dă, în continuare şi un exemplu de calcul numeric.

y 7

4

2

3

R1

4 6

3

o x

3

9

A1

A2

A3A0

Nume Si xi xi Si yi yi Si

Ao 54 4,5 243 3 162A1 -4,5 1 -4,5 1 -4,5A2 -3,1415 4 -12,566 4 -12,566A3 -6 8 -48 4,5 -27Σ 40,3585 177,934 117,394

n

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

c

S

ySy

S

xSx

1

1

1

1 ;

Efectuând înlocuirile numerice, rezultă:xc = 4,408, yc = 2,922


În cazul pieselor care au muchii curbe analitice, atunci este necesar un calcul integral. Pentru sectorul de cerc din figură se porneşte calculul de la o arie elementară de formă dreptunghiulară cu dimensiunile y i şi Δx. Se alege sistemul de coordonate simetric faţă de sector, astfel încât xc = 0. Se integrează pe cerc de la –R la R. Pentru obţinerea relaţiilor de calcul se porneşte de la relaţiile de definiţie ale centrului de greutate. Se trece la limită şi se integrează.

yi

Yic

Δx

-R xi 0 R x

y

yi

yc

n

ii

n

i

ii

c

xy

yxy

y

1

1 2 2

22

21

21

R

dxxR

y

R

Rc

După integrare se obţine:3

4 Ryc


Un corp de masă m este atârnat de două fire ca în figură.

Cotele de atârnare sunt: h1, h2, l1 şi l1.

Să se calculeze valorile forţelor din fire F1 şi F2.

Se dau:

• m = 20 Kg;

• g = 9,81 m/s2;

• h1 = 1,22 m;

• h2 = 0,8 m;

• l1 = 0,7 m;

• l2 = 0,8 m.

Probleme de echilibru. Statica

l2 l1

h1 h2

F1

F2

m

G

Probleme de echilibru. Scripetele simplu

m

G = m g

F

r

y

xO

h

O3

Ry

Rx

Mr

Rx3

Ry3

Pentru scripetele simplu din figură, să se calculeze forţa F, reacţiunile din punctele O şi O3, precum şi lungimea de fir înfăşurat pe rolă.

Se dau:• m = 30 Kg;• g = 9,81 m/s2;• = 30o;• h = 150 mm;• r = 100 mm.

m

G = m g

F

r

y

xO

r

O2

O3

h

m

G = m g

G/2

r

O2

G/2

Pentru scripetele compus din figură, să se calculeze forţa F, reacţiunile din punctele O şi O3, precum şi lungimea de fir înfăşurat pe cele două role.

Se dau:• m = 30 Kg;• g = 9,81 m/s2;• α= 30o ;• h = 150 mm;• r = 100 mm.

Probleme de echilibru. Scripetele compus

mG=mg

G/2 G/2 F

α

R1

r

R2

O1

O2

O3Pentru scripetele diferenţial (palan) din figură, să se calculeze forţa F, reacţiunile din punctele O şi O3, precum şi momentul de răsturnare Mr.Se dau:• m = 30 Kg;• g = 9,81 m/s2;• α= 30o;• h = 150 mm;• r = 100 mm;• R1 = 110 mm.

Probleme de echilibru. Palanul

Probleme de echilibru. Troliul

α

R1

r

O1Rx

O3

Ry

FG=mg m

Pentru troliul cu schema din figură, să se calculeze forţa de tragere F, recţiunile din articulaţia O1 şi din încastrarea O3 .Se dau:• m = 30 Kg;• g = 9,81 m/s2 ;• α= 30o;• h = 150 mm;• r = 100 mm;• R1 = 110 mm.

Probleme de echilibru. Scripeţi

La problemele cu scripeţi s-au folosit aceleaşi valori pentru datele iniţiale, cu scopul de a putea face o analiză comparativă a celor patru maşini de ridicat (scripete simplu, scripete compus, palan şi troliu).După ce s-au efectuat calculele numerice, rezultatele au fost grupate şi sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Scripete simplu

Scripete compus

Scripete diferenţial Troliu

F [N] 294,3 147,15 13,377 267,545

Rx [N] 147,15 73,575 6,688 133,772

Ry [N] 549,171 421,736 305,884 526

Rx3 [N] 147,15 73,575 6,688 133,772

Ry3 [N] 549,171 421,736 305,884 526

Mr [mNm] 22072,5 11031,5 1003,2 20065,87

Se constată că, scripetele diferenţial – palanul, necesită cea mai mică forţă, pentru ridicarea masei de 30 Kg. Din această cauză şi reacţiunile din încastrare au valorile cele mai scăzute, în cazul palanului. Aceste concluzii explică succesul deosebit al acestei maşini de ridicat.

Cinematica este capitolul Mecanicii Teoretice care se ocupă de mişcarea punctului material şi a solidului rigid. Problemele cinematicii sunt calculul vitezelor, acceleraţiilor şi a traiectoriilor obiectelor aflate în mişcare.Traiectoria unei particule materiale este locul geometric al poziţiilor succesive pe care aceasta le ocupă în spaţiu. În cazul cel mai general, traiectoria unei particule poate fi descrisă de o rază vectoare, care îşi modifică dimensiunea şi orientarea în timp.

(C)

v

M

r

O

(C)

v2

M2

r2

v1

r1 M1

O

3.3. Mecanica Teoretică. Cinematica

Se observă ca punctul „M” descrie traiectoria parcursă, iar în acest punct ataşăm vectorul v. Arcul M1M2 , reprezintă spaţiul parcurs de punct pe curba (C), care este traiectoria.

)t(rOMr

Viteza medie pe arcul M1M2 este notată cu vm şi are

valoarea: t

svm

Viteza instantanee se obţine prin trecere la limită, t tinde la 0. Viteza este un vector tangent la traiectorie. Viteza este riguros constantă numai în cazul deplasării particulei pe o traiectorie rectilinie. În cazul general, viteza unei particule este variabilă.

sdt

ds

t

slimv

0t

Variaţia vitezei în raport cu timpul se numeşte acceleraţie. În mod similar, se defineşte o acceleraţie medie şi o acceleraţie instantanee. Acceleraţia este derivata întâi a vitezei şi derivata a doua a spaţiului, în raport cu timpul.

t

vam

svtd

sd

td

vd

t

vlima

2

2

0t


tvxx 00 2o00 ta

2

1tvxx

g2

v

g

vg

2

1

g

vvh;

g

vt

20

2

000

01

Mişcarea rectilinie uniformă Mişcarea rectilinie accelerată

Mişcarea circulară

dt

d

tlim

0t

2

2

0t td

d

td

d

tlim

r

a;

r

v 422

n2 Raaa


R

a h

Pentru centrifuga de antrenament a piloţilor de luptă şi a cosmonauţilor (din figură) să se calculeze cât trebuie să fie viteza unghiulară ω [rad/sec], respectiv turaţia n [rot/min], astfel încât, acceleraţia aplicată pilotului să fie a = 7 g. Se dau: R = 5 m h = 1,5 m


α

elemente de calcul mecanic

Documents