1Prof. Cohal Daniela Mihaela ELEMENTE DE CALCUL ECONOMI C LUCRARE METODI CO-TIINIFIC pentru obinerea gradului didactic In nvmnt Editura Sfntul Ierarh Nicolae 2 0 1 0 ISBN 9 7 8 -6 0 6 -8 1 2 9 -7 7 -8 Lucrare publicat n Sala de Lectur aEdi t uri iSf nt ulIerarh Ni col ae,l a adresa ht t p:/ / l ect ura.bi bl i ot ecadi gi t al a.ro 2 Coordonator tiinific:Prof. Dr.Constantin Amihesei 3CUPRINS Capitolul IElemente introductivePag.5 I.1Noiuni fundamentalePag.5 Capitolul IIDobnda simpl i dobnda compusPag.13 II.1 Introducerea dobnzii simplePag.13 II.2Suma actual i suma finalPag.15 II.3Metode practice pentru calculul dobnzii simplePag.16 II.4 Metode de calcul al dobnzilor n conturile purttoare de dobnzi Pag.17 II.5Introducerea dobnzii compusePag.20 II.6Dobnda pe fraciuni de an. GeneralitiPag.27 Capitolul IIIDezvoltrile n serie ale elementelor fundamentalePag.32 III.1Dobnda unitar efectivi Pag.32 III.2 Dobnda unitar nominaljPag.34 III.3Dobnda unitar instantanee Pag.37 Capitolul IVProblema ajustrilor i interpolrilorPag.41 IV.1Consideraii generalePag.41 IV.2Ajustarea graficPag.43 IV.3Ajustarea mecanicPag.46 IV.4Consideraii generale asupra ajustrilor mecanicePag.56 IV.5Ajustarea analiticPag.58 IV.6Problema interpolriiPag.67 Capitolul VMetodica activitii didactice la matematicPag.73 V.1Date generalePag.73 V.2Demonstraia matematicPag.75 V.3Expunerea sistematic a cunotinelorPag.84 V.4Metoda conversaieiPag.86 V.5 Problematizarea i nvarea prin descoperire la matematic Pag.91 V.6ModelareaPag.96 V.6.1Modelarea matematic. MetodaPag.96 V.6.2Clasificarea modelelorPag.97 V.6.3Valoarea i aplicabilitatea metodei la matematicPag.99 V.7Demonstrarea materialului intuitivPag.100 4 V.8Metoda exerciiuluiPag.105 V.8.1Date generalePag.105 V.8.2Clasificarea exerciiilorPag.106 V.8.3Metodica rezolvrii exerciiilorPag.112 V.8.4 Forme de munc independent utilizate n rezolvarea exerciiilor Pag.115 V.9Metoda nvrii pe grupe miciPag.118 V.9.1Date generalePag.118 V.9.2 Fiele, suport pentru nvarea matematiciiPag.122 V.10Metoda muncii cu manualul sau cu alte criPag.126 V.11Jocurile didacticePag.128 V.12Instruirea programatPag.130 V.13Metode de evaluare a randamentului colarPag.137 BibliografiePag.141 Anexe -Arhivate format Excel Tabela I Dobnda simpl practic a unui leu corespunztoare unui numr detzile Tabela II Valoarea pe care o ia suma de 1 leu cu dobnd compus dup un numr oarecare de ani Tabela III Valoarea actual a sumei de 1 leu de plat dup un numr oarecare de ani Tabela IV Valoarea care se obine la sfritul unui numr oarecare detani, depunnd cte 1 leu la nceputul fiecrui an n condiiile dobnzii compuse Tabela V Dobnda nominal unitar anual kjpentru dobnda fracionat dekori pe an corespunztoare procentului efectiv 5CAPITOLUL I ELEMENTE INTRODUCTIVE ndezvoltareamatematiciimoderneunrolhotrtorl-aujucatcercetrile matematicienilordinsecolulalXIX-leaidescoperirilelornlegturcuinterpretarea geometric a numerelor complexe, cu dezvoltarea geometriilor neeuclidiene i descoperirea teoriei grupurilor i a teoriei mulimilor. 1.1 NOIUNI FUNDAMENTALE Noiuneadeprocent afost introdusncdinclasaaVI-a (algebr)nmodul urmtor: S-a convenit s se foloseasc pentru 1001notaia 1%. Citim 1 la sut sau un procent. Analog 3% nseamn1003i se citete 3 la sut sau 3 procente; 00pnseamn ) 0 , (100> e p Q pp. Procentele i calculele cu procente au o foarte mare nsemntate n practic i anume: 1)aflarea a 00p dintr-un numr dat n general aflarea a 00pdintr-un numr a se calculeazapx100=2)creteri i scderi cu att la sut 3)aflarea unui numr cnd se cunoate 00p din el ngeneraldacsecunoatec 00p ,0 = p dintr-unnumrnecunoscuteste egal cubatunci pb x b xp 100100= = . 4)aflarea raportului procentual ngeneral dac vrem s aflm ct la sut dintr-un numraeste un numrbscriem0 ,100100= = = aabx b ax. 6Alte rapoarte folosite n practic sunt: promila, titlul unui aliaj, dobnda. Noiunea de procent se reia la anul I pentru colile profesionale (autori: Monica Drmbe, Mihai Glanu), parcurgndu-se aceleai etape i definindu-se aceleai noiuni ca la clasa a VI-a. Observaie:Noiunea de dobnd se introduce cu ajutorul noiunii de procent utilizndu-se exemple concrete. CalculelecuprocentesuntntlniteapoinmanualulpentruclasaaX-aM2 (profiltiine sociale, silvic ) n cadrul capitolului Calcul numeric i elemente de matematici financiare. Se pornete de la exemple de genul: ncepnd de sptmna trecut benzina s-a ieftinit cu 10 procente, nivelul de trai a crescut cu 5,4 la sut fa de aceeai perioad a anului trecut nacesteexempleestevorbadecomparareadouvalori.Unadinaceste valori se numete valoare de baz i va fi pus n coresponden cu numrul 100. Cealalt valoare,numitvaloareprocentual,estepusncorespondencup ,caretrebuie exprimat. Avem:a 100 bprezult 100pab= sau 100valoarea procentual procentvaloarea de baz=Se definesc aceleai noiuni ca la clasa a VI-a. Observaie:n practic se mai folosesc i alte rapoarte asemntoare procentelor. Amintim pe cele mai des ntlnite: 1.promila 000peste raportul 1000p. 2.titlulunuialiajncareintrunmetalpreios(aur,argint,platin)este raportuldintremasametaluluipreiosconinutnaliajimasaaliajului MmT = ,M T m = , TmM = ,T titlul aliajului,m masa metalului preios, M masa aliajului. Capitolul prezint apoi Dobnzi. TVA. Profit n circulaia valorilor bneti se obinuiete ca, pentru o sum de bani dat sub form de mprumut, s se plteasc o sum majorat. Majorarea se numete dobnd i ea 7depindedemrimeasumeidepuseideperioadapentrucareafostdepus.Celcare depunebaniiestenumitcreditoriarcelcareprimetebani(semprumut)estenumit debitor. Definiie: Dobnda reprezint suma pe care trebuie s o plteasc debitorul creditorului su pentru folosirea disponibilitilor bneti ale acestuia pn la restituirea lor. Suma pltit de debitor n mrime absolut, de numete masa dobnzii i va fi notatcuD.Preulpltitdedebitorpentruadispunepetimpdeunande100deuniti monetare (lei, dolari, euro) se numete rata dobnzii i va fi notat cud'(sau r n funcie de autorul manualului). Observaie: Rata dobnzii se exprim n procente anuale. DaccreditulacordataremrimeaS ,atunciratadobnziid' estedatde formulad' 100SD=(1). Exemplu: O banc acord un credit de 20.000.000 lei pe o durat de un an cu rata dobnzii 40%, atuncimrimea dobnziiD= 80000001004020000000 = lei. Observaie:Prinaplicareaformulei(1)sespunecsedetermindobndasimpl.Modul de calcul este foarte bun, dac durata creditului nu depete un an. Formula dobnzii simple esten d S D ' = unde,D - masa dobnzii (sau dobnda n valoare absolut) S - creditul (sau suma mprumutat) d' - rata dobnzii n - numrul de ani. Dac durata creditului depete un an i dobnda se adaug la capitalul dat cu mprumut (se capitalizeaz), ea va fi luat n calculul dobnzii pe anul urmtor, la fel ca suma iniial. Acest tip de dobnd se numete se numete dobnd compus. Osum 0S depuscadepozitbancar,devinedupunan 1S , 1 0 1D S S + =unde1D -dobndaanualcorespunztoared S D ' =0 1deci( ) d S d S S S ' + = ' + = 10 0 0 1.Dup doi ani, depozitul iniial devine 2 1 2D S S + = ,d S D ' =1 2,( ) ( )20 1 1 1 21 1 d S d S d S S S ' + = ' + = ' + =Generaliznd,osum 0S devinedupnani nS ,( )nnd S ' + = 1 atuncimasa dobnzii este 0S S Dn = . 8Exemplu:O persoan depune pe termen de trei ani suma de 9.000.000 lei la o banc cu rata anual a dobnziid' =40%. Care este suma de care dispune persoana dup trei ani. 0S =9.000.000,d' ==40%,n =3 ( )30 31 d S S ' + =deci=3S 9.000.0003100401 |.|

\| + =24.696.000. Taxape valoareadugat (TVA) TVAesteunimpozitindirectexprimatnprocentecaresestabileteasupra vnzrilor bunurilor i a prestrilor de servicii. Impoziteleindirectesuntimpozitecuprinsenpreurilebunuriloriserviciilor sub forme i denumiri diferite: TVA, accize, taxe vamale . Impoziteleindirectesecaracterizeazprinfaptulcaceicarelapltesc(la bugetul statului) sunt unitile economice care vnd bunuri sau presteaz servicii iar cei care le suport sunt cumprtorii (intr n pre). Plata TVA (ca impozit indirect) este fracionat deoarece ea se calculeaz pe fiecarestadiucareintervinenproducereaicomercializareabunuluieconomic..mrimea absolut a TVA depinde de baza de calcul i cota de impozitare.Elementelecare compun baza de calcul (de impozitare) sunt diferite, n funcie de situaia dat cum ar fi: preurile i tarifele negociate, preurile de pia, costurile bunurilor executate de agenii economici. Practic, TVA se aplic numai asupra diferenei dintre preul de vnzare i preul decumprare,respectivnumaiasupraaceeacesenumetevaloareadugatdectre fiecare agent economic participant la procesul de producie i circulaie a mrfii respective. n ara noastr TVA a fost introdus n 1992 i modificat ulterior astfel: anulActul normativ Valoare TVA (procente) 1992Ordonana Guvernului nr 318% 1998Hotrrea Guvernului nr 51222% 1999Ordonana Guvernului nr 21519% ProfitDiferenacareexistntreveniturileicheltuielileuneisocieti(regie, contribuabil)senumeteprofit,dacvaloareadifereneiesteunnumrpozitivipierdere dac valoarea diferenei este un numr negativ. Exemplu:9Unatelierproducentr-olunmobiliercarearepreultotaldevnzarede 205.000.000 lei. Se tie c pentru realizarea mobilierului sau fcut urmtoarele cheltuieli: - cheltuielicu materia prim125.000.000 lei - cheltuieli cu salariile angajailor 15.000.000 lei - cheltuieli cu ntreinerea utilajelor2.300.000 lei - cheltuieli cu energia 1.500.000 lei - cheltuieli cu amortizarea2.000.000 lei Total 145.800.000 lei Diferena205.000.000145.800.000=59.200.000aratcatelierularealizat unprofitimpozabilde59.200.000lei.tiindcimpozitulpeprofiteste25%varezultaun profit net000 . 400 . 44100251 000 . 200 . 59 = |.|

\| lei. Profitulestecunoscutisubnumeledebeneficiuireprezintctigul, avantajul realizat sub form bneasc dintr-o aciune, operaie sau executarea unei activiti. Referitor la profit exist doi indicatori importani: masa profitului i rata profitului. Masaprofitului(respectivsumapecareoreprezintprofituluneiuniti economice, al unui agent sau al economiei naionale) se determin ca diferen ntre venituri i cheltuieli.Exemplu: O firm privat a realizat n anul financiar trecut un venit total de 12,5 miliarde lei n condiiile unor cheltuieli n valoare total de 11,3 miliarde lei. Masa profitului (notat cup ) va fi2 , 1 3 , 11 5 , 12 = = p miliarde lei. Rataprofituluisecalculeazfiecaraportulprocentualntremasaprofituluii volumulcapitaluluifolosit,fiecaraportntremasaprofituluiicifradeafaceri.Rata profitului 100Cp=sau rata profitului 100CAp= , p - masa profitului, C - capitalul folosit CA - cifra de afaceri (volumul ncasrilor din activitatea proprie). Astfel, innd cont de exemplul anterior, rata profitului este6 , 9 1005 , 122 , 1= =pR . Observaie:10Remarcm c profitul este o parte a preului unui bun sau serviciu obinut dintr-o activitate economicprofit t pre + = cos . Exemplu: Unatelier,folosind34.00.000lei,realizeaz10.000caieteiipropunes livrezecaietelelapreulde4500leibucata.Carevafiprofitulrealizatdeateliernurma acestei activiti? Dar rata profitului? Rezolvare: conform formulei da mai sus avemp + = 000 . 000 . 34 000 . 10 500 . 4 rezult000 . 000 . 11 = p , iar 25 , 32 1003411= =pR . Observaie: Ca aplicaiia noiunii de procent apar tipuri de probleme. 1.Calcularea costului/preului unui produs/serviciu Pentruaobinebunuri economiceiservicii,ageniieconomicifacoseriede cheltuieli. Costul de producie care reprezint ct l cost pe ntreprinztor producerea unuibunsauserviciu,esteexpresianbaniaconsumuluidefactorideproducienecesar produceriiivnzriidebunurimaterialeiservicii,concretizatncheltuielipentrumaterii prime, materiale, combustibil, energie, maini unelte, instalaii, salarii i pe care le suport agenii economici (att cel productor ct i cel consumator, deoarece el cumpr un produs carearepreconstituitdincostplusprofit).Costuldeproducieesteoparteapreuluide vnzare al bunului/serviciului respectiv. Costulfix(FC )estedeterminatdeconsumurilefixeidesemneazacele cheltuieli(consumuri)carepetermenscurtrmnneschimbate,independentede modificareavolumuluiproduciei(chirii,asigurri,amortizareacapitaluluifix,cheltuielicu ntreinerea, iluminatul i nclzitul sediului firmei, salariile personalului administrativ). Costul variabil (VC ) este determinat de consumurile variabile precum: materii prime,combustibilulienergiapentruproducie,salariilepersonaluluiocupatnproducie etc. . Costul total de producie (PC ) este generat de consumurile aferente ntregii producii. El este suma costurilor fixe i variabile. V F PC C C + =Costuriletotale(TC )desemneazsumadintrecosturiledeproducie (fabricaie) i costurile de distribuie (desfacere). 11ntru-ctfiecareunitateeconomicproducemaimulteproduse,serviciide acelai fel este firesc s se calculeze i costul mediu (unitar). Costulmediu(unitar)reprezintcostul(consumul)peunitateade produs/serviciu realizat.. el poate fi fix (fmC ), variabil (vmC ) i total (tmC ) fiecare reprezentnd raportuldintrecosturileglobalerespective(fixe,variabile,totale)icantitateade bunuri/servicii produse (produciaQ). QCCFfm = , QCCVvm = , QCCPpm = , QCCTtm = . 2.Amortizri de investiiiO main, o instalaie, un imobil are o anumit durat de via. Dup un numr de ani ele vor deveni depite din punct de vedere tehnic. Mijloacelefixealeuneisocietisuntconstituitedin:maini,utilaje,instalaii, mijloaceledetransport,cldiri.nprocesuldeproducereabunurilormaterialeiserviciilor acestemijloacefixeseuzeaz(depreciaz)fizicimoralinacestsensseconstituie fonduldeamortizare.Acestfondestedestinatnlocuiriimijloacelorfixescoasedinuz,iar uneori i pentru finanarea reparaiilor capitale destinate meninerii n stare de funcionare a mijloacelor fixe existente. Atuncicndreparaiilecapitalesuntfinanatedinamortismentesepoate calcula o norm global de amortizare gaNcu formula:100ink igaVDR VN+=unde iV- valoarea de inventar kR -sumareparaiilorcapitalecesevorefectuapeparcursulperioadeide serviciu. nD - durata normalde serviciu a activelor fixe. Atunci cnd nu se efectueaz kRformula normei globale de amortizare devine n i nigaD V DVN100100 == . Exemplu:DaciV =3,2 miliarde lei, kR =480.000.000 lei i nD =3 ani atunci33 , 38 1003200 3480 3200= +=gaN . Se utilizeaz i un alt indicator, numit norma special de amortizare 12100i nksaV DRN= . Norma de amortizare poate ine seama i de valoarea rezidual rV ce se obine cu ocazia lichidrii mijloacelor fixe i atunci se calculeaz cu formula100inr k isaVDV R VN += . n practica financiar se utilizeaz mai multe categorii de norme de amortizare: -proporionale -regresive sau accelerate -progresive i fiecare se exprim cu formule specifice. 13CAPITOLUL II DOBNDA SIMPL I DOBNDA COMPUS 2.1. INTRODUCEREA DOBNZII SIMPLE noperaiilefinanciare,suntfolosite,nfunciedecaracteruloperaiei, formulele dobnzii simple sau ale dobnzii compuse. Dacdobndasecalculeazasupraaceleiaisume,petoatdurata mprumutului, ea este numit dobnd simpl. Aadar, dobnda simpl, se calculeaz, fr s fie adugat vreodat la suma mprumutat pe toat durata mprumutului. Dobndacalculatlaounitatemonetar,adic1leupetimpdeunan,se numete dobnd unitari este firete egal cu a suta parte din procent. Notnd cu: S - suma depus sau mprumutat t - timpul n ani; P - procentul; i - dobnda unitar; D- dobnda simpl; avem relaiile: 100Pi =saui P 100 = . inndseamadecic,pentru1leu,secalculeaztimpdeunanodobnd egal cui , atunci pentru 1 leu, pe o durat detani, se va calcula o dobnd detori mai mare: 100Ptit = ,iardacvomconsideranlocdeunleuosumS ,vomaveavaloarea dobnzii 100SPtSit D = =(II,1,1).- formula dobnzii simple. Deoarece n aceast formul intr 4 elementefundamentale,cunoscndoricaretreilputemdeterminapecelde-alpatrulea. Deci avem: t PDitDS= =100 (II,1,2) P SDiSDt= =100(II,1,3) 14t SDP=100(II,1,4).tiind ci P 100 =deducem StDi =(II,1,5). nexpresiacarenedformuladobnziisimple,considerm kttk= unde k reprezint numrul de pri egale n care este mprit anul, iar ktun numr oarecare de asemenea pri din an pentru care se calculeaz dobnda avem:kSPtkSitDk k= =(II,1,6). Observaie: Pentruk =4, formula (II,1,6) ne d valoarea dobnzii simple pentru 4ttrimestre, iarpentruk =12,obinemvaloareacorespunztoarepentrunumruldelunipecare-l reprezint 12tdeci avem:400 44 4SPt SitD = =sau 1200 1212 12SPt SitD = = . Daclumk =360,formula(II,1,6)devine: 36000 360SPt SitD = = (II,1,7)unde t reprezint zile. Dobnda calculat n raport cu numrul real de zile este dat de formula 365Sit i poart numele de dobnd real sau raional. Observaie: Dobnda practic este evident mai mare dect dobnda raional. Diferena dintre aceste dou dobnzi este:26280 365 360Sit Sit Sit= (II,1,8) Exemplu: Cesumtrebuiedepuscudobndpetimpde200zilecu3%,pentrua produce aceeai dobnd ca suma de 10000 lei, pe timp de 150 zile, cu 6% pe an? Scriind egalitatea ce trebuie s existe ntre dobnzi avem: 360150 06 , 0 10000360200 03 , 0 = S de unde15000200 03 , 0150 06 , 0 10000= = S 152.2.SUMA ACTUAL I SUMA FINAL Fie 0S osumdepuslaCECnmomentul0 = t .Laaceastsumseva calcula n intervalul de timp| | t , 0adic pe o duratde timp egal cu ani, o dobnd tD , adict i S Dt =0. Suma 0S +tD ,carereprezintvaloareainiialplusdobndapeoduratde timp egal cuani, o numim sum final, valoare final sau valoare disponibil pesteani. Avemastfel, notndaceastsumfinalcu tS ,formula t tD S S + =0(II, 2,1)caresemai poate scrie it S S St 0 0 + = sau( ) it S St+ = 10 (II,2,2).Cuajutoruleisepoatecalculasumafinal,cndsecunoateceainiial, procentulPi timpult , adic servetela rezolvarea problemelor de aflare a valorilor finale. Oprobleminversacesteiaesteaceeaaaflriivaloriiactualeauneisume disponibile pestetani. Valoarea actual fiind n acest caz 0 t tS S D =(II,2,3). Din relaia (II,2,2) deducem: 01tSSit=+ (II,2,4) adic formula care ne permite s stabilimvaloareainiialsauactualauneisumelamomentul0 = t ,cunoscndu-se valoarea disponibil pesteani, procentul de calcul i durataani a mprumutului. Observaie:n cazul cndreprezint fraciuni din an, n formulele (II,2,2), (II,2,4) se face kttk= ,undek reprezintnumruldepriegalencareestempritanul,iar kt duratade timp exprimat n asemenea uniti ce reprezint fraciuni din an. Astfel avem: 01kti tS Sk | |= + |\ . (II,2,2/), 01tkSStik=+ (II,2,4/). n cazul cndk =360, avem 01360titS S | |= + |\ . i01360tSSit=+ (II,2,5) undereprezint zile. 162.3.METODE PRACTICE PENTRU CALCULUL DOBNZII SIMPLE Metoda numerelorConsidermformula dobnzii simple 36000SPtD = , n care mprind n membrul al doilea i numrtorul i numitorul cuP , avem expresia 36000StDP= . ProdusulSt se noteaz cuN i poart numele de numr, iar ctul 36000P se noteazcudf ipoartnumelededivizorfix.Cuacestenotaiiultimaformuldevine: NDdf=(II, 3,1). Principalulmotivpentrucarenpracticseconsiderncalcululdobnzilor anul de 360 zile, este c acest numr se poate utiliza mai uor n calcule i este divizibil cu toatenumereledela1la10nafarde7.acestfaptsepoateconstataidintabloul divizorilor fici: P36000dfP=P36000dfP=1%360006%6000 2%180007%5142,857 3%120008%4500 4%90009%4000 5%720010%3600 Exemplu:Scalculmprinmetodanumerelor,dobndaobinutdeundepuntorlao sumde100000lei,cu6%petimpde120zile.Aplicmformula NDdf= ,unde N =100000120=12000000 iar 1200000020006000df = = lei. Aceast metod aduce simplificri mari de calcul, atunci cnd avem de calculat dobnda pentru o serie ntreag de sume depuse pe durate diferite, dar toate cu un acelai procent. 17Metoda prilor alicote ale sumei Considermformuladobnziisimple StDdf= is presupunemcS df = .n acest caz vom avea dftD tdf= = .(II,3,2) Adic, dac suma este egal cu divizorul fix, dobnda este egal cu numrul de zile. Dobnda fiind proporional cu suma, se va descompune suma dat n multipli isubmultiplidivizoruluifix.Acetimultipliisubmultiplipoartnumeledeprialicote. Dobnda stabilindu-se uor pentru fiecare din aceste pri, dobnda sumei date va fi egal cu suma tuturor dobnzilor prilor n care ea s-a descompus. Metoda prilor alicote ale timpului n formula StDdf= dac considerm 100dft = , adic timpul este egal cu a 100- a parte din divizorul fix, avem StDdf= =100100dfSSdf= (II,3,3). Adic, dac timpul este egal cu a 100-a parte din divizorul fix, atunci dobnda esteegalcua100-apartedinsum.Vomdescompunedecinmultipliisubmultiplii divizoruluifixmpritla100,pentrucareseaplicaceastreguldestabilireadobnzii, apoi se face suma dobnzilor pariale. Metoda prilor alicote ale procentului Aceastmetodsefolosetedeobicei,atuncicndprocentulesteunnumr zecimal, adic n cazul cnd divizorul fix este un numr cu care se lucreaz greu. 2.4.METODE DE CALCUL AL DOBNZILOR N CONTURILE PURTTOARE DE DOBNZI n scopul explicrii metodelor, adoptm n mod arbitrar conturi cu o linia tur de ase coloane pentru debit i tot attea pentru credit. n prima coloan , se trece data la care se efectueaz operaia: n a doua coloan, se trece operaia pe scurt cu detalii, indicaii etc.; n coloana a treia, se nscrie data la care ncepe calcularea dobnzii: Coloana a patra servete pentru nscrierea sumei: Coloanaacinciaservetepentrunscriereazilelorpentrucaresepercepe dobnda: 18Coloanaaaseaservetefiepentruanscriedobnda,direct,fiepentrua nscrienumerelecarevorfifolositepentrucalcululdobnzilorprinmetodanumereloria divizorilor fici. 1. Metoda direct sau progresiv Dobnzilesunt calculate, n metoda direct, pentru fiecare sum din debit sau dincredit,deladatanceperiicalcululuidobnziipnlanchidereacontului,saudata scadenei, dac aceasta este anterioar celei nchiderii contului. n coloana a cincia se trece numrul de zile pentru care se calculeaz dobnda sumei respective, iar n coloana a asea se trec dobnzile respective, calculate cu unul din mijloacele rapide de calcul. Dupcetoateceleasecoloaneaufostcompletateseprocedeazla nchiderea sau regularizarea contului. Se facemai nti soldul dobnzilor, care se gsete n coloana a asea i se trece apoi acest sold n coloana a asea a debitului sau creditului, adic acolo unde totalul dobnzilor este mai mic cu explicaia Balana dobnzilor cu 6%. Dupaceastnscriere,totalurilecelordoucoloaneaaseadeladebiti credittrebuiesfieegale.De laacestsold aldobnzilorcu6%setreceapoiprinmetoda priloralicoteladobndacorespunztoareprocentuluinominalalcontului.Aceast dobnd se va trece n partea opus a contului fa de nscrierea soldului cu 6% i anume n coloana a patra, dup cum soldul este debitor sau creditor. Dup aceast nscriere, se face apoisoldulsumelordincoloanaapatra,careestesoldulefectivalcontului.Acestsoldse trecenparteaopusacontuluicuspecificaiaBalanasumelor.Dupaceastnscriere, totalurile sumelor din coloana a patra trebuie s fie egale. Se subliniaz contul cu dou linii paralele i cu aceast operaie se consider contul nchis. Senscriedupaceastadinnousoldulncoloanaapatra,adebituluisau creditului, dup cum soldul este debitor sau creditor, cu data zilei n care s-a nceput calculul dobnziiis-ancheiatcontul.Contulastfeloperatsepoatecontinuaapoimaideparte nscrierea operaiilor viitoare. Se poate, ca n locul acestui cont, s se deschid un nou cont n care prima operaie este nscrierea acestui sold. Exemplu: Considerm un cont curent de dobnzi ncheiat prin metoda direct, debitorul acestui cont fiind Banca Naional, iar titularul contului o societate oarecare, clientul A. Procentele sunt reciproce. Procentul nominal al contului este de 4%. Operaiile nscrise n acest cont curent de dobnzi sunt urmtoarele: 191.la11ianuarieclientulAdepunencontulsusumade50000lei. Operaia se nscrie n creditul contului. 2.la20ianuariesedepunecerereadeplatnr.10pentruachitareaunei facturideplatla31ianuarie.nscriereasefacendebitulcontului, pentru c operaia se face pentru clientul A. 3.la 20 februarie se pltete, pentru clientul A, cererea de plat nr.102 n valoarede10000lei,careconformprincipiuluicunoscutsetrecen debitul contului. 4.la26februarieseprimetepentrucontulclientuluinostrusumade 20000 lei. Operaia se trece n credit. 5.la 10 martie clientul A depune suma de 10000 lei, deci operaia se trece n creditul contului. 6.la10martieseachitcerereadeplatnr.250,deplatafcndu-se pentru clientul A, operaia se nscrie n debitul contului. Dup nregistrarea acestor operaii se efectueaz nscrierea contului la data de 31martiea.c..Secompleteaznacestscopcoloanele5i6.coloanaacinciase completeazcunumruldezile,ziuaachitriifacturiineintrndncalcululzilelor.Astfel pentru operaia de la 31 ianuarie, ziua de 31 ianuarie nu intr n calcul, numrul de zile fiind 28+31=59 . Dupcalcululzilelorseefectueazcalcululdobnzilorcu6%,caresetrecn coloana a asea a contului. Se calculeaz apoi soldul dobnzilor, totaliznd coloana a asea din debit i credit i se gsete: 803-367=436. Acest sold fiind creditor pentru balansare se trece n debitul contului n coloana a asea. Se totalizeaz cele dou coloane a aseai se obine acelai total 803. Setreceapoideladobndacu6%ladobndacorespunztoareprocentului nominal al contului, adic la 4%. Calculul se face prin metoda prilor alicote ale procentului ise gsete291 lei.Aceastsumsetrecencoloanaapatraasumelor.Secalculeaz dupacesta,soldulsumelortotalizndcoloanaapatradindebiticreditisegsete: 80291-60000=20291lei.Acestsoldfiindcreditor,setrecepentrubalansarendebitul contuluinaceeaicoloanapatraasumelor.Setotalizeazacumcoloaneleapatraa sumelor din debit i din credit i se gsete acelai total 80291. Se subliniaz cu dou linii aceste totaluri ale sumelor i ale dobnzilor, contul fiind astfel ncheiat. 20Pentrucontinuareaoperaiiloripentrucsoldulcontuluiafostcreditor,se nscriedinnou,ncreditulcontului,cudatade1aprilie,acestsoldcudatanceperii calculului dobnzii la 31 martie i valoarea sa de 20291 lei, cum se poate urmri : Model Metoda direct DebitCredit dataexplicaii Data de cnd ncepe calculul dobnzii sume Nr. de zile dobnzidataexplicaii Data de cnd ncepe calculul dobnzii sume Nr. de zile dobnzi Ian. 20 Cerereade plat nr 10 Ian. 3120.00059197Ian. 11Vrsmnt Ian. 1150.00079658 Feb.20 Cerereade plat nr 102 Feb. 2010.0003965Feb.26VrsmntFeb. 2620.00033110 Martie 10 Cerereade plat nr 250 Martie 1030.00021105 Martie 10 VrsmntMartie 1010.0002135 Balana dob cu 6% 436 Dobnzi cu 4% 291 Soldul sumelor 20.291 Total 80.291 803 Apr. 1 Sold din nou Martie 31 80.291 20.291 803 2.Metoda indirectAceastmetodsemainumeteimetodretrogradisebazeazpe urmtorul principiu: DacD estedobndapentrutzile,iarDestedobndapentrutzile, atunciD D reprezint dobnda pentru durata de timpt t ,tit, reprezint msura a dou intervale de timp oarecare. Metodaindirect,inndseamadeprincipiulprezentatsebazeazpe urmtoarea observare: FieOt oaxpecaremarcmtimpul 1t i 2t ,doulimitedeexempludata deschiderii i nchiderii contului, iar itdata cnd ncepem calculul dobnzii pentru suma iS. 2.5.INTRODUCEREA DOBNZII COMPUSE Dobndacompusestelegatdeoperaiilefinanciarepetermenemailungi. Termenele lungi sunt mprite n perioade egale, de obicei de un an, dobnda calculndu-selasfritulfiecreiperioadeiadugndu-selasumadepus.Aadar,lasfritulunei perioade se produce o convertire a dobnzii n suma considerat. n perioada urmtoare, pe lng suma depus, dobnda va fi calculat i la dobnda din perioada precedent. Aceast modalitate de calcul al dobnzii aduse de dobnzile anterioare, cunoscut nc din vechime 21sub denumirea de anatocism, face s obinem pe lng suma plus dobnda sa simpl, nc osumcarereprezintdobndladobnd.Dobndacompusapare,deci,cadiferen dintre suma final, mrit prin convertirea dobnzii i suma de care s-a dispus iniial. Acordmdenumireadesumfinalsauvaloarefinalsumeitotalecare include,pe lngsumainiial,toatedobnzileobinutedupmetodademaisus,pn la expirarea duratei de timp considerate. Sstabilimvaloareafinal tS auneisumeiniiale 0S cudobndaunitari , pestetani, dac la sfritul fiecrui an, suma de la nceputul anului respectiv se mrete cu dobndaprodusdeeaincursulaceluiaian.naceastsituaiedobnzileprodusein cursul anului se convertesc n sum la sfritul fiecrui an. PentruastabiliInacestecondiiivaloareafinal tS ,facemurmtorul raionament, folosind notaiile ntrebuinate i pn acum. Sumainiial 0S lei,depuslanceputulprimuluian,vaproducencursul acestuiandobnda 0S i lei.Lasfritulanului,aceastsummpreuncudobnda calculat, reprezint suma 0 0S S i + . Notnd aceast suin cu 1S , avem: ( )1 01 S S i = + . Aadar, 1S estenouasumrealizatlasfritulanului,provenitdinsuma iniial 0Smrit cu dobnda lui 0Sn cursul anului. Lanceputulanuluialdoilea,dispunemdesuma 1S carenmodanalogva producedobnda 1S i ,aaclasfritulanuluialdoilea,suma 1S mpreuncudobnda produs de ea n cursul anului, devine: ( )2 11 S S i = + . innd seam ns de valoarea luiSdat de relaia precedent, avem: 2S = ( )( )01 1 S i i + + = ( )201 S i +Pentruaajungecuacestraionamentpnlaformulacutatpentru tS , folosim urmtoarea schem: 0Slei devin dup 1 an 1S =0 0S S i + = ( )01 S i + ; 0Slei devin dup 2 ani 2S =1 1S S i + = ( )11 S i + = ( )201 S i +0Slei devin dup 3 ani 3S =2 2S S i + = ( )21 S i + = ( )301 S i +.. .. 220Slei devin dup t ani tS =1 1 t tS S i + = ( )11tS i+ = ( )01tS i + . Aadar,valoareafinal tS asumei 0S dupt ani,ncazulcnddobnda produs n cursul unui an se adaug la sum la sfritul anului, este dat de formula: tS = ( )01tS i + (II,5,1) care poart numele de formula dobnzii compuse. Prinmetodainducieimatematicesepoatedemonstrauorcformula(5.1) este valabil pentru oricetntreg i pozitiv. n adevr, pentru = 0,1, 2,..., t tformula se verific direct. Admitem c (II,5,1) este valabil i s artm c subzist relaia: ( )11 01ttS S i++ = +(II,5,2) Cum: 1 t t tS S S i+ = + , iar conform relaiei (II,5,1) tS = ( )01tS i + , avem ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 01 1 1 1t ttS S i S i i S i i+ = + + + = + +sau ( )11 01ttS S i++ = +(II,5,3) n cazul cndtnu mai este un numr ntreg, formula totui subzist. S presupunem ct t x ' = +undet'este un numr ntreg, iar1 x < . La sfritul at'ani, valoarea final a lui 0Sva fi: 0(1 )ttS S i'' = +(II,5,4) iar la expirarea timpuluit t x ' = + vom avea pentru valoarea final a lui 0S : t t tS S S ix' '= +(II,5,5) sau: 0 0(1 ) (1 )t ttS S i S i ix' '= + + + (II,5,6) adic: (1 ) (1 )tt tS S i ix''= + +(II,5,7) innd seama de dezvoltarea n serie a lui Mac-Laurin, 21(1 ) 1 ( 1) ...2xi xi xx i + = + + +23i cumieste foartemic (de obicei cteva sutimi) putem neglija termenii care conin pe 2i , 3i , ... , aa c vom putea lua (1 ) (1 )xi ix + +. (II,5,8) Aadar formula (II,5,7), devine: ( ) ( ) ( )0 01 1 1t x t xtS S i i S i' '+= + + = +sau ( )01t xtS S i'+= +Dobnda compus fiind conform definiiei date, diferena dintre suma final i cea iniial, notnd-o cu tD' , va fi deci: 0 t tD S S ' = sau ( )0 01ttD S i S ' = + adic: ( )01 1ttD S i (' = + (II,5,9) Formula (II,5,9) ne d valoarea efectiv a dobnzii compuse adus de o sum 0Sn timp detani, cu dobnda unitar 100Pi . a) Calculul elementelor fundamentale ale formulei dobnzii compuse Revenim la formula (II,5,1), tS = ( )01tS i + . carecuprinde4 elemente tS , 0S ,i it .Valoarea lui tS estecondiionatde cunoatereacelorlalte3elemente 0S ,i it .Lafel,totdinrelaia(II,5,1)putemdeduce valorile acestor elemente.Astfel: ( )( )011ttt tSS S ii= = ++. (II,5,10) formulcarenedvaloareasumeiiniiale 0S nfunciedesumafinal tS , dobnda unitarii timpult . Valoarea 1 i + , pentru simplificare, se noteaz cuu , adic: 1 u i = + (II,5,11) i poart numele de factor de fructificare. 24Valoarea ( )11111i ui= + =+ se noteaz cuv , adic: 1 11vu i= =+ (II,5,12) i poart numele de factor de actualizare. Cu aceste notaii formulele (II,5,1), (II,5,9)i (II,5,10)se scriu: 0ttS S u =(II,5,1) ( )01ttD S u ' = (II,5,9) 0ttS S v = (II,5,10) S considerm o ax pe care s notm timpult . 0SsS tS0 s t 0SsS tS Dac pornim de la0cu o sum iniial 0S t , pentru a afla ce va deveni aceasta la timpult , adic pentru a afla pe tS , vom nmuli pe 0Scu tui obinem 0ttS S u = . n cazul cnd mergem de la0numai pn las t < , atunci 0Sva deveni sS , i avem: ( )0 01sssS S i S u = + =i n sfrit, dac mergem cu o sum sS de laslat , vom avea: t st sS S u =Valoarea pe care o obinem nmulind o sum oarecare cu factorul u , ridicat laoputereegalcuintervaluldetimppentrucaresecalculeazdobnda,estevaloarea final a acestei sume sau valoarea disponibil dup acel interval de timp. Pe schema reprezentat, cu factorul u se merge de la stnga spre dreapta. Cnd vrem s actualizm o sum, mergem pe ax n sens invers, adic de la dreapta la stnga, deci de latspre0i folosim factorul de actualizarevastfel: ttS v . Aceastareprezintnprezentvaloareauneisume,carepestet anieste 0S , adic este valoarea actual a luiSn momentul0 t = , sau 250ttS S v = . Dacvremscalculmlamomentuls careestevaloareaactualaunei sume,caredupintervaluldetimpcuprinsntres it devine tS ,deoareceacest interval este egal cut s scriem t ss tS S v = sau 0s t stS u S v =(II,5,13) Pentruaputeastabiliformulacarenedvaloarealuit ,aplicmlogaritmiiin formula (II,5,1) i avem: ( )0lg lg lg 1tS S t i = + +De unde deducem: ( )0lg lglg 1tS Sti=+.(II,5,14) formul care ne d valoarea timpuluit , cnd se cunosc celelalte trei elemente 0S , tSii . n sfrit din (5, 14) deducem: ( )0lg lglg 1tS Sit+ = (II,5,15) formulcarenepermitesdeterminmpe i ,dobndaunitar, cnd cunoatem pe 0S , tSii . Calculul numeric al elementelor date de formulele menionate este n practic mult mai uurat prin folosirea tabelelor financiare, ntocmite special n acest scop. Astfel,tabeleleIiII,anexatelasfrit,nedauvalorileluiu iv ,pentru diferite procente100 P i = , corespunztoare valorilor luitde la 1 pn la 100 ani. Aplicaii: S se calculeze ce devine suma de 10.000 lei cu dobnda compus de3% pe timp de8ani. Aplicnd formula 0ttS S u = n care: 010000 S = ,8 t = , 30, 03100i = = , 1 1, 03 u i = + = , iar 8 81, 03 1, 26677008tu u = = = , 26valoare determinat cu ajutorul tabelelor financiare, avem:810000 1, 266770 12667, 70 S = =lei. Dobnda compus produs de suma de 10.000 lei n cazul problemei este: 12667, 70 10000 2667, 70 D = = lei. b) Comparaia dobnzilor simple i compuse Fie ( )0Dt S it =i( ) ( )01 1tD t S i (' = +

funciile care definesc respectiv dobnda simpl i compus.S construim graficul acestor funcii. S presupunem c 01 S =SconsidermunsistemdeaxerectangularetOy .PeaxaOt vomnscrie timpurile, iar pe axaOydobnzile corespunztoare acestor timpuri. Funcia( ) Dt it = estereprezentatprintr-odreaptcaretreceprinoriginei punctul( ) 1, A i . Funcia( ) ( ) 1 1ty D t i ' = = + trecedeasemeneaprinorigineiprinpunctul ( ) 1, A i darnumaiesteodreapt.Pentrua-ideterminagraficul,calculmprimeledou derivate n raport cuti avem: ( ) ( ) 1 ln 1ty i i ' = + +( ) ( )21 ln 1ty i i '' = + +( S observm c0 y'' >pentru orice valoare a luitdin intervalul( ) 0, , aa c vomaveaconcavitateacurbeictrevalorile pozitive ale luiy . DeoarecepuncteleOiAsunt comune graficelor dobnzilor simple i compuse i cum( ) D t 'are concavitatea n sus, rezult c pentru0 1 t < < curba,( ) D t ' estesituatsub dreapta( ) Dt ,iarpentru1 t > ,estesituat deasupraacesteidrepte(dupcumsepoate observa i n figur). Oyt( ) D t( ) D t '( ) 1, A i27Aadar,comparndceledoudobnzisimpleicompuseatuncicndtvariaz n intervalul( ) 0, avem: Dac0 1 t < < atunci( ) ( ) Dt D t ' > ; Dac 1 t = atunci( ) ( ) Dt D t ' = ; Dac 1 t > atunci( ) ( ) Dt D t ' < . Prinurmarepentruduratelemaimicidectunan,dobndasimplestemai mare dect cea compus, dobnzile sunt egale cnd durata este exact 1 an, iar cnd durata depete1an,dobndasimplrmnemereuidincencemaimicdectcea compus. 2.6.DOBNDA PE FRACIUNI DE AN. GENERALITI Atuncicndcalculareadobnziisefacepefraciunidean,dobndaadus pn la sfritul anului difer de aceea calculat cu procentul anual care s-a stabilit pentru fiecare fraciune din an. Pentru mai mult claritate s considerm exemplul urmtor: Presupunemcavemsumade100lei,cuprocentulde10%isefectum calculul dobnzii de dou ori pe an. nprimele6 luni,suma100deleivaaduce5Iei.Deci,lasfritulacestei prime perioade, vom avea 100 5 +lei, adic 105 lei. n cea de a doua perioad vom avea: 100 lei vor aduce dobnda 5 lei 5 lei vor aduce dobnda 0, 25 lei Deci105 lei vor aduce dobnda 5, 25lei Aadar, pe timp pe un an, suma de 100 lei va aduce o dobnda de 10, 25lei. Primul procent de 10% poart numele de procent nominal, iar cel de-al doilea de 10, 25% poart numele de procent real sau efectiv. a) Relaia ntre dobnda unitar nominal i cea efectiv Snotmprin100i procentulefectiv,iarprin100 j procentulnominal;deciieste dobnda unitar anual efectiv, iarjdobnda unitar anual nominal. 28Spresupunemcperioadaeste1/ k dinan,iar ki dobndaunitar corespunztoare acestei perioade. Aadar, kj ki = (II,6,1) sau kjik= (II,6,2) n consecin, n cazul unei calculri a dobnzii dekori pe an, dobnda unui leu, care se va cuveni pentru fiecare din aceste perioade egale cu 1k din an, este 1kik= , iar dobnda unitar real, efectiv, pentru ntreg anul estei . S stabilim care este relaia care leag dobnda unitar efectiv, de dobnda unitar nominalj . S considerm suma de 1 leu i s o supunem unui calcul al dobnzii dekori pe an. Vom avea succesiv: 1 leu devine la sfritul perioadei 1-a, 1ki + ; 1 leu devine la sfritul perioadei a 2-a,( )21ki + ; 1 leu devine la sfritul perioadeik ,( ) 1kki + . Deoarece 1 leu aduce efectiv ntr-un anilei vom avea egalitatea: ( ) 1 1kki i + = +(II,6,3) sau: 1 1kjik| |+ = + |\ . (II,6,4) Din aceast relaie deducem:1 1kjik| |= + |\ .,(II,6,5) i ( )11 1kj k i (= + ( , (II,6,6) formulecuajutorulcroraputemtrecedeladobndaunitariefectivlacea nominal i invers. 29Esteuorderemarcatcntreacestedoudobnziavemtotdeauna inegalitatea: j i