Cornel MARIN

ELEMENTE DE BAZ N REZISTENA

MATERIALELOR I TEORIA ELASTICITII

1dr. ing. Cornel MARIN

ELEMENTE DE BAZ N REZISTENA

MATERIALELOR I TEORIA ELASTICITII

Recenzia tiinific:

Prof. dr. ing. Nicolae ILIESCU

Conf. dr. ing. Anton Marian HADAR

2Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

MARIN, CORNELELEMENTE DE BAZ N REZISTENA MATERIALELOR I TEORIA

ELASTICITII / Cornel Marin, - Trgovite : Editura Macarie, 2002

210 p; 25cm - (Universitaria)

Bibliogr.

ISBN

I. -

Tehnoredactare computerizat: Cornel MARIN

2002 - Toate drepturile sunt rezervate autorului

3CUPRINSPREFACAPITOLUL I INTRODUCERE1.1. Obiectul disciplinei Rezistena Materialelor1.2. Problemele Rezistenei materialelor1.3. Metode de studiu, modele de calcul i ipoteze de lucru folosite n Rezistena materialelor1.4. Clasicarea sarcinilor exterioare1.5. Fore elementare interioare i eforturi1.6. Tensiuni, deformaii i deplasri1.7. Curba caracteristic a materialului1.8. Coeficieni de siguran i rezisene admisibile

CAPITOLUL II DIAGRAME DE EFORTURI N BARELE DREPTE. RELAIILEDIFERENIALE NTRE EFORTURI2.1. Diagrame de eforturi axiale2.2. Diagrame de eforturi tietoare i eforturi ncovoietoare2.3. Diagrame de eforturi torsionale

CAPITOLUL III CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECIUNILOR PLANE3.1. Definiii3.2. Calculul momentelor de inerie la translaia axelor. Formulele lui Steiner.3.3. Variaia momentelor de inerie cu rotaia axelor3.4. Valori extreme ale momentelor de inerie axiale3.5. Cercul momentelor de inerie3.6. Caracteristici geometrice ale seciunilor plane simple3.7. Caracteristici geometrice ale seciunilor plane compuse

CAPITOLUL IV NCOVOIEREA BARELOR DREPTE4.1. Definiii4.2. Tensiunea la ncovoierea pur. Formula lui Navier4.3. Calcule de rezisten ale barelor supuse la ncovoiere4.4. Tensiuni tangeniale la ncovoierea simpl. Formula lui Juravski4.5. Lunecarea longitudinal a barelor cu seciune compus supuse la ncovoiere simpl.4.6. Deformaiile barelor supuse la ncovoiere. Ecuaia diferenial a fibrei medii deformate.a. Metoda funciei de ncrcare sau a funciei de forb. Metoda lui Mohr

CAPITOLUL V GRINZI CONTINUEa. Ecuaia celor trei momente sau ecuaia lui Clapeyron.b. Metoda funciei de ncrcare.5.1. Grinda continu pe trei reazeme rigide punctuale situate la acelai nivel cu axa barei.5.2. Grinda continu pe patru reazeme rigide punctuale situate la acelai nivel cu axa barei.5.3. Grinda continu ncastrat la un capt i situat pe un reazem punctual la acelai nivel cu axa barei.5.4. Grinda continu ncastrat la un capt i situat pe dou reazeme punctuale la acelainivel cu axa barei.5.5. Grinda continu ncastrat la ambele capete fr reazem intermediar.5.6. Grinda continu ncastrat la ambele capete i situat pe un reazem punctual la acelai

4 nivel cu axa barei .CAPITOLUL VI NTINDEREA I COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE6.1. Generaliti.6.2. Tensiuni i deformaii n bara solicitat la ntindere compresiune.6.3. Deformaii i deplasri.6.4. Energia potenial de deformaie la solicitarea de ntindere-compresiune6.5. Probleme static nedeterminate de ntintindere i compresiune

CAPITOLUL VII RSUCIREA BARELOR DREPTE DE SECIUNE CIRCULARI INELAR7.1. Generaliti.7.2. Tensiuni tangeniale i deformaii la rsucire7.3. Energia potenial de deformaie la solicitarea de rsucire7.4. Calculul arcurilor elicoidale cilindrice

CAPITOLUL VIII STUDIUL DEPLASRILOR PRIN METODE ENERGETICE8.1. Generaliti.8.2. Lucrul mecanic al forelor sau cuplurilor exterioare8.3. Teorema reciprocitii lucrului mecanic (Betti)8.4. Teorema reciprocitii deplasrilor (Maxwell)8.5. Metoda Mohr Maxwell pentru calculul deplasrilora. Calculul deplasrilor la solicitarea de ntindere - compresiuneb. Calculul deplasrilor i rotirilor la solicitarea de ncovoierec. Calculul rotirilor la solicitarea de rsucire8.6. Metoda lui Vereceaghin de integrare grafic8.7. Regula lui Simpson pentru calculul integralelor8.8. Teorema lui Castigliano

CAPITOLUL IX SISTEME STATIC NEDETERMINATE DIN BARE DREPTE9.1. Generaliti9.2. Metoda eforturilor. Sisteme de baz9.3. Aplicaia 19.4. Simetrii n sisteme static nedeterminate9.5. Calculul deplasrilor n sisteme static nedeterminate9.6. Aplicaia 2

CAPITOLUL XFLAMBAJUL DE COMPRESIUNE AXIAL A BARELOR DREPTE10.1 Generaliti10.2. Formulel lui Euler pentru calculul forei critice de flambaj de compresiune al bareidrepte10.3. Limitele de aplicare ale formulei lui Euler. Flambajul elastic i plastic.10.4. Calculul la flambaj al barelor drepte.

CAPITOLUL XII SOLICITRI SIMPLE ALE BAREI CURBE PLANE CU AXACIRCULARE11.1. Relaii difereniale dintre eforturi i sarcinile exterioare. Diagrame de efortuturi11.2. Tensiuni n bare curbe plane cu axa circular11.3. Calculul deplasrilor pentru bare curbe plane11.4. Aplicaie

5CAPITOLUL XII SOLICITRI DINAMICE12.1. Generaliti12.2. Solicitri dinamice prin fore de inerie12.3. Solicitri dinamice prin oc

CAPITOLUL XIII ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITII

13.1. STAREA SPAIAL DE TENSIUNI I DEFORMAII N JURUL UNUIPUNCT DIN INTERIORUL UNUI CORP ELASTIC13.1.1. Componentele tensorului tensiunilor din jurul unui punct din interiorul corpului elastic13.1.2. Componentele tensorului deformaiilor in jurul unui punct din interiorul corpuluielastic13.1.3. Ecuaiile difereniale de echilibru ale tensiunilor. Condiiile de contur.13.1.4. Ecuaiile difereniale ale deformaiilor elastice. Ecuaiile geometrice (formuleleCauchy)13.1.5. Condiiile de continuitate ale deformaiilor elastice sau ecuaiile lui Saint Venant.13.1.6. Legea lui Hooke generalizat (ecuaiile fizice).13.1.7. Variaia tensiunlor din interiorul unui corp. Tensiuni i direcii principale. Elipsoidultensiunilor. Tensiuni octaedrice. Cercurile tensiunilor.13.1.8. Variaia deformaiilor din interiorul unui corp. Deformaii i direcii principale. Relaiadintre constantele E, G, .13.1.9. Deformaia volumic specific (ecuaia lui Poisson)13.1.10. Expresia energiei poteniale de deformaie totale, de modificare a formei i demodificare a volumului

13.2. STAREA PLAN DE TENSIUNI I DEFORMAII N JURUL UNUI PUNCTDIN INTERIORUL UNUI CORP ELASTIC13.1.1. Tensiuni i direcii principale penru starea plan de tensiuni. Cercul lui Mohr.13.1.2. Cazuri particulare ale strii plane de tensiuni

CAPITOLUL XIV TEORII DE REZISTEN14.1. Generaliti14.2. Teoriile clasice de rezisten14.3. Teoria lui Mohr

6PREFAAceast lucrare este rezultatul experienei autorului n activitatea de curs i seminar la

disciplina Rezistena materialelor, activitate desfurat ncepnd din 1994 cu studenii

Facultii de Inginerie Electric i Colegiului Universitar Tehnic din cadrul Universitii

Valahia Trgovite.

Lucrarea cuprinde 14 capitole fiind structurat ntr-o form clasic, cu o parte teoretic

de prezentare bine fundamentat i cu aplicaii practice specifice, ntr-o form accesibil sper,

tuturor studenilor de la specializrile facultilor i colegiilor tehnice , fiind n concordan cu

Programa analitic a disciplinei Rezistenei materialelor (partea I).

Autorul sper c prezentarea sub aceast form a teoriei i problemelor de Rezistena

materialelor va fi util pentru nsuirea cunptinelor de baz de ctre toi studenii interesai,

precum i pentru rezolvarea unor aplicaii practice inginereti de ctre ingineri i specialitii

proiectani n domeniul mecanic. De asemenea autorul recomand folosirea n paralel cu acest

curs pentru partea aplicativ a culegerii de probleme aprut anterior n Editura Macarie n

anul 2001: REZISTENA MATERIALELOR- PROBLEME DE EXAMEN. Acest curs iculegerea de probleme sunt disponibile i pe site-ul Universitii Valahia Trgovite care

poate fi accesat pe adresa: www/intranet/valahia.ro.

Autorul mulumete pe acest cale tuturor studenilor i colegilor pentru sugestiile pe

care le-au adus pe tot parcursul redactrii acestei lucrri (nceput din anul 1994). De asemena

doresc s i mulumesc d-lui prof. dr. ing. Nicolae ILIESCU, eful Catedrei de Rezistena

materialelor din cadrul Universitii POLITEHNICA Bucureti i d-lui Conf. dr. ing. Anton

HADAR de la aceeai Catedr, pentru observaiile fcute i rbdarea de care au dat dovad la

parcurgerea manuscrisului.

Mulumesc de asemenea d-lui prof. dr. ing. Mihail ATANASIU care prin bogata sa

experien de peste 50 de ani n nvmntul superior, a contribuit substanial la pregtirea

mea pentru doctorat (fiindu-mi conductor de doctorat din 1996) i la formarea mea ca i

cadru didactic. Sugestiile i remarcile D-sale n ceea ce prvete calitatea actului de nvmnt

i rigoarea tiinific a oricrui curs sau articol publicat, au contribuit deplin la apariia sub

aceast form a prezentei lucrri.

De asemenea doresc s mulumesc clduros sponsorilor care au contribuit la apariia

acestei prime ediii i pe care i asigur de recunotina beneficiarilor acestei lucrri.

Trgovite Autorul

7CAPITOLUL IINTRODUCERE

1.1. Obiectul disciplinei Rezistena materialelorMecanica este disciplina tehnic general care s-a impus ca ramur a stiinei

odat cu enunarea celor trei principii de ctre Isaac Newton, principii care definescechilibrul respectiv micarea corpurilor sub aciunea forelor exterioare exercitateasupra lor.

Mecanica clasic este o ramur a mecanicii ce studiaz echilibrul respectivmicarea sistemelor mecanice macroscopice (sisteme discrete rigide sau deformabilede puncte materiale i sisteme continue rigide - continuum material) pentru caremicarea se efectueaz cu viteze neglijabile n raport cu viteza luminii.

Mecanica fluidelor este o ramur a mecanicii care studiaz echilibrul respectivmicarea sistemelor materiale continue deformabile de tipul fluidelor - incompresibile(hidrostatica i hidrodinamica) sau de tipul gazelor - compresibile (aerostatica iaerorodinamica).

Mecanica cereasc este o ramur a astronomiei care studiaz micareacorpurilor cereti sub aciunea forei de atracie universal.

Mecanica relativist studiaz micarea sistemelor de particule elementare dinstructura materiei care se efectueaz cu viteze comparative cu viteza luminii iredefinete noiunile de spaiu, timp i mas (care formeaz o unitate indisolubil isunt interdependente): spaiul nu mai este omogen i izotrop, timpul nu mai esteomogen, masa este variabil, depinznd de viteza cu care se mic particula.

Mecanica cuantic studiaz micarea particulelor elementare din structuramateriei (electroni, mezoni, nucleoni) innd seama att de proprietile lor materialect i de cele de und.

ncepnd cu revoluia tehnic din secolul XIX din Mecanica clasic s-audesprins diferite ramuri tehnice cu preocupri de sine stttoare i cu un pronunatcaracter aplicativ, aceste discipline fiind cunoscute sub denumirea general deMecanic tehnic:1. Statica construciilor este disciplina care se ocup cu studiul echilibrului

elementelor de construcii civile static determinate i mai ales studiul sistemelorstatic nedeterminate situate pe medii rigide sau elastice;

2. Rezistena materialelor este o disciplin tehnic general care se ocup cu studiulechilibrului elastic al tensiunilor din interiorul unui corp solicitat de un sistem desarcini exterioare i se bazeaz pe ipoteza corpului deformabil care ine seama deproprietile reale de elasticitate sau plasticitate ale corpurilor.

8Din aceast disciplin s-au desprins apoi noi ramuri cum sunt:3. Teoria elasticitii i Teoria plasticitii ce studiaz starea general de tensiuni i

deformaii care se produce n interiorul unui corp datorit aciunii unui sistem desarcini exterioare sau a unor cmpuri termice, care se bazeaz pe ipotezacomportrii liniar elastice respectiv neliniar plastic a materialului;

4. Teoria stabilitii elastice studiaz echilibrul la limit al corpurilor elastice supuseanumitor sarcini exterioare, condiiile n care aceste corpuri i pierd echilibrulelastic stabil care caracterizeaz n general starea de tensiuni din interiorul lor;

5. ncercrile mecanice experimentale este o disciplin complementar Rezisteneimaterialelor, care se ocup cu determinarea experimental a caracteristicilorfizico-mecanice ale materialelor precum i cu studiul experimental al strii detensiuni i deformaii n diferite elemente de construcii;

6. Experimentul numeric este o disciplin aprut recent n practica inginereasc carecare se ocup cu determinarea experimental-numeric a strii de tensiuni ideformaii pe un model virtual, utiliznd programe de analiz cu elemente finitesau programe de analiz cu elemente de frontier, valori validate de rezultateleanalitice sau experimentale cunoscute (pachetul de analiz cu elemente finiteANSIS 5.7 este validat de cca. 7000 de rezultate analitice sau experimentale).Experimentul numeric s-a dezvoltat independent pe baza urmtoarelor metode :a. Metoda diferenelor finite care utilizeaz un model matematic diferenial al

fenomenului care este transpus ntr-o form compatibil cu modul de operareal calculatorului; aceast metod se bazeaz pe aproximarea localpunctiform a variabilei de cmp, precum i a derivartelor ei cu ajutorul uneireele rectangulare din domeniul studiat.

b. Metoda elementelor finite utilizeaz un model matematic integral alfenomenului studiat, model care se obine cu ajutorul metodelor variaionale.Spre deosebire de metoda diferenelor finite, se aproximeaz variabila decmp cu ajutorul unor funcii de aproximare pe subdomenii elementare aledomeniului studiat numite elemente finite. De exemplu teorema destaionaritate a energiei poteniale elastice a unui corp este o astfel de formvariaional (integral) utilizeazat n studiul strii de tensiuni i deformaiintr-un corp elastic.

c. Metoda elementelor de frontier utilizeaz de asemenea un model matematicintegral al fenomenului studiat. Aceast metod a aprut ca o alternativ ametodei elementelor finite n cazul unor probleme de frontier cum ar fi deexemplu: probleme cu gradieni foarte mari pe frontiera domeniului, cudomenii infinite, cu discontinuiti i concentratori de tensiuni, etc. Deexemplu teorema reciprocitii lucrului mecanic (BETTI) este o formvariaional (integral) pe frontiera domeniului..

Alte discipline din Mecanica tehnic sunt: Teoria profilelor cu perei subiri, Teoriaplcilor plane i curbe, Metoda strilor limit, Fotoelasticitatea, Tensometria,Stabilitatea echilibrului elastic al plcilor, Similitudinea sistemelor elastice, Fluajul.

91.2. Problemele Rezistenei materialelorn general n problemele de Rezistena materialelor se determin sau verific

valorile anumitor mrimi n funcie de altele pe baza unor relaii matematicespecifice. Aceste mrimi pot fi grupate n trei clase:1. mrimi ce caracterizeaz geometria piesei (forma i dimensiunile piesei sau forma

i mrimea diferitelor seciuni);2. mrimi ce caracterizeaz configuraia i intensitatea sarcinilor exterioare (tipul,

valoarea i modul de aplicare a sarcinilor exterioare);3. mrimi ce caracterizeaz proprietile fizico-mecanice ale materialului (limita de

elasicitate, de curgere, rezistena la rupere, etc.) i sigurana n funcionare a piesei(coeficienul de siguran, rezistena admisibil, etc).

n funcie de mrimile necunoscute, problemele Rezistenei materialelor pot fin general de trei categorii:1. Probleme de dimensionare atunci cnd se cunosc sarcinile din exploatare,

caracteristicile fizico-mecanice ale materialului, elemente legate de sigurana nfuncionare impus piesei i se dorete proiectarea formei optime, determinareadimensiunilor piesei pentru ca acestea s ndeplineasc:(a) condiiile de rezisten, rigiditate i stabilitate impuse piesei n timpul

funcionrii n ansamblul din care fac parte;(b) condiiile de economicitate (costuri minime legate de de material);(c) condiiile de rentabilitate (costuri minime legate de tehnologia de fabricaie);

2. Probleme de verificare atunci cnd se cunosc forma i dimensiunile piesei,configuraia i mrimea sarcinilor, caracteristicile mecanice ale materialului i sedorete s se verifice dac sunt respectate condiiile de rezisten, rigiditate saustabilitate pentru un anumit coeficient de siguran impus;

3. Probleme de calcul a sarcinii capabile cnd se cunosc forma i dimensiunilepiesei, configuraia de ncrcare, caracteristicile mecanice ale materialului i sedetermin sarcina capabil (sarcina maxim) ce o poate suporta piesa pentru unanumit coeficient de siguran impus piesei.

1.3. Metode de studiu, modele de calcul i ipoteze de lucrufolosite n Rezistena materialelorMetodele de studiu clasice i moderne utilizate pentru rezolvarea aplicaiilor

tehnice de Rezistena materialelor sunt:1. Metode teoretice bazate pe construcii logice, algoritmi de calcul sau programe

speciale care utilizeaz un anumit aparat matematic care furnizeaz rezultateteoretice acceptabile pentru un calcul ingineresc;

10

2. Metode experimentale pe modelul real sau pe o machet, avnd ca scopverificarea rezultatelor obinute folosind metodele teoretice, n scopul validriialgoritmilor de calcul sau programelor de calcul folosite.

3. Metode experimental-numerice pe modelul virtual se bazeaz pe simulareafenomenului fizic pe un model analitic, creat pa baza modelului matematic cecaracterizeaz fenomenul (ecuaiile difereniale, condiiile la limita domeniului icondiii iniiale n cazul fenomenelor ce se desfoar n timp).

Calculul ingineresc s-a dezvoltat n mod sistematic pe baza experimentului pemodelul real, care a fost absolut necesar pentru confirmarea ipotezelor de lucru i amodelului de calcul adoptat. Limitele experimentului pe modelul real s-au restrns totmai mult odat cu dezvoltarea sistemelor tehnologice, a imposibilitii reproducerii lascar de laborator a unor instalaii i procese noi care au aprut.

Aceste schimbri au condus la apariia experimentului numeric. Dezvoltareafoarte rapid a tehnicii hardware (n special apariia calculatorului personal i astaiilor grafice) i software (apariia programelor profesionale de analiz i simulare)a dus la dezvoltarea ntr-un ritm extraordinar a experimentului numeric. Modelulmatematic ce caracterizeaz un fenomen necesit transcrierea lui sub o formcompatibil cu modul de operare al calculatorului, acest lucru realizndu-se cuajutorul programe specializate cu elemente finite avnd la baz un aparat matematicriguros.

La rezolvarea unei probleme de Rezistena materialelor o influen hotrtoareasupra rezultatului l are precizia calculului numeric, ntruct rezultatele obinutetrebuie s fie ct mai apropiate de cele reale (determinate experimental), n RezistenaMaterialelor se admit erori de calcul n limitele de %,52 .

Modelul de calcul folosit n calculele analitice din Rezistena materialelor esteo reprezentare simplificat (schematizat) a piesei i configuraiei de ncrcare cusarcini exterioare coninnd informaiile eseniale care definesc: geometria corpului,modul de constrngere (legturile cu mediul fix i legturile cu celelalte elemente aleansamblului din care facre parte) i configuraia de ncrcare. Modelul de calculutilizeaz diferite ipoteze simplificatoare care scot n eviden i rein aspecteleeseniale ale geometriei corpului, legturilor i configuraiei de ncrcare.

Dup mrimea relativ a dimensiunilor principale ale geometriei corpului, sefolosesc trei tipuri de modele :1. Modelul de tip bar (fig. 1.1.a) se utilizeaz atunci cnd una dintre dimensiunile

corpului este mult mai mare n raport cu celelalte dou. Elementele specifice aleacestui tip de model sunt: (a) axa longitudinal a barei i (b) seciunea normal(pe axa longitudinal); n funcie de forma axei longitudinale se deosebesc: baredrepte, curbe, cotite. Exemple de piese ce utilizeaz modelul de tip bar: axul depiston, biela, tija unei supape, ina de cale ferat, bara de filetare a strungului, axulcu came al unui motor, arcul elicoidal, arborele unui reductor, arborele cotit alunui motor, etc. Un caz particular al modelului de tip bar este firul flexibil carepreia numai fore de ntindere.

11

2. Modelul de tip plac (fig. 1.1.b) se utilizeaz atunci cnd una dintre dimensiunilecorpului este mult mai mic n raport cu celelalte dou; elementele specificeprincipale ale acestui tip de model sunt: (a) suprafaa median a plcii (forma imrime) i (b) grosimea plcii. n funcie de forma suprafaei mediane sedeosebesc: plci plane (circulare, dreptunghiulare, etc.), plci curbe (de revoluie,riglate, etc.). n funcie de grosime: plci subiri, plci groase, plci de grosimeneuniform, etc. Plcile foarte subiri se mai numesc membrane i suport numaieforturi de ntindere. Exemple: discul unei supape, planaiba unui strung, capulunui piston, o foaie de geam, planeul unei camere, capacul unui rezervor,cilindrul unui motor, rezervoarele cilindrice, sferice, conice , etc.

3. Modelul de tip bloc regulat (fig. 1.1.c) se utilizeaz atunci cnd cele treidimensiuni ale corpului sunt cam de acelai ordin de mrime; se pot modela pieseavnd o form geometric simpl: sfer, cilindru, con, prism, cub, etc. Exemple:bile i role de rulmeni, matrie simple, roi dinate, arbori scuri, batiuri de maini,fundaii, blocuri de beton, etc.

Rezolvarea clasic a multor aplicaii tehnice se bazeaz deci pe creerea unormodele de lucru i introducerea unor ipoteze simplificatoare de calcul, ipotezerezonabile care simplific modelul real i ilustreaz ct mai fidel comportarea globala sistemului real.

n Rezistena materialelor se utilizeaz n mod curent urmtoarele ipotezesimplificatoare numite i ipoteze de baz ale Rezistenei materialelor:1. ipoteza mediului continuu, omogen i izotrop;2. ipoteza deformaiilor mici n raport cu dimensiunile corpului supus aciunii unor

sarcini exterioare;3. ipoteza seciunii plane a unei bare supus la ncovoiere (ipoteza lui BERNOULLI)

i a liniei drepte perpendiculare la suprafaa median a plcii supuse la ncovoiere(ipoteza lui KIRKHHOFF);

4. ipoteza privind ponderile relative ale tensiunilor sau a unor tipuri de solicitrintr-un corp supus aciunii unor sarcini exterioare: unele dintre tensiuni pot fineglijate n raport cu altele (de exemplu ntr-o bar dreapt tensiunile tangenialeproduse de eforturile tietoare se neglijeaz n raport cu cele normale produse de

b.a. c.Fig.1.1

12

eforturile ncovoietoare, sau ntr-o bar curb tensiunile normale produse deeforturile axiale se neglijeaz n raport cu cele normale produse de momentelencovoietoare; ntr-o plac tensiunile normale dup o direcie perpendicular lasuprafaa plcii se neglijeaz n raport cu cele radiale sau circumfereniale, etc.)

5. ipoteza privind legea distribuiei tensiunilor ntr-o seciune oarecare a unei bare:! distribuia uniform a tensiunilor normale pe suprafaa transversal n cazul

unei bare solicitat la eforturi axiale,! distribuia liniar a tensiunilor n cazul unei bare solicitat la ncovoiere pur

(NAVIER),! distribuia liniar a tensiunilor tangeniale n cazul unei bare de seciune

circular solicitat la rsucire,! distribuia uniform a tensiunilor tangeniale ntr-o seciune longitudinal n

cazul unei bare solicitat la ncovoiere simpl (JURAVSKI);6. ipoteza privind valabilitatea legii lui HOOKE sau a unei relaii liniare dintre

tensiuni i deformaii (n cazul solicitrilor n domeniul elasto-plastic a unormateriale cum ar fi cele elasto-plastice, rigido-plastice, ideal elsto-plastice, idealplastice, etc. se folosesc anumite legi dintre tensiuni i deformaii).

7. principiul suprapunerii efectelor sau principiul independenei aciunii forelor,care se bazeaz pe ipoteza privind valabilitatea legii lui HOOKE;

8. ipoteza lui SAINT VENANT privind efectul unei sarcini distribuite pe o suprafacare este acelai cu efectul unei sarcini concentrate echivalente, ntr-o zon acorpului ndeprtat de zona de aciune a sarcinii distribuite;

1.4. Clasificarea sarcinilor exterioare

n timpul funcionrii, orice pies de main sau element de construcie estesupus unor sarcini exterioare, care n funcie de efectul pe care l produc asupra luipot fi de urmtoarele dou tipuri: fore sau cupluri de fore. Sarcinile exterioarereprezint msura aciunilor altor corpuri sau cmpuri exterioare asupra pieseistudiate. Clasificarea sarcinilor exterioare se face dup urmtoarele criterii:1. dup modul de aplicare: sarcini active (aplicate direct) i sarcini pasive (aplicate

indirect) prin intermediul elementelor de legtur, numite i fore de legur saureaciuni;

2. dup modul de distribuie: sarcini concentrate, sarcini distribuite pe o zon sau peo suprafa a corpului, sarcini volumice distribuite n toat masa corpului (deexemplu greutatea, fora electromagnetic);

3. dup cauza producerii: sarcini datorate interaciunii mecanice (de contactmecanic) i sarcini datorate unor cmpuri exterioare (gravitaionale, electrice,electromagnetice, etc.);

4. dup variaia n timp a poziiei i direciei lor: sarcini fixe i sarcini mobile;5. dup variaia n timp a intensitii lor: sarcini statice i sarcini dinamice;

13

6. dup efectul produs n piesa solicitat: fore (care produc solicitri de ntidere,compresiune i forfecare) i cupluri de fore (care produc solicitri de ncovoierei de rsucire);

7. dup natura lor: sarcini fundamentale (sarcini permanente, utile, suplimentarecontrolate) i sarcini accidentale sau ntmpltoare (necontrolate).

1.5. Fore elementare interioare i eforturiSub aciunea sarcinilor exterioare iau natere n interiorul piesei forele

elemetare interioare respectiv tensiunile (definite ca raportul dntre forele elementarei aria elementar corespunztoare) caracterizate printr-o anumit distribuie caredepinde de mai muli factori cum ar fi: mrimea i modul de aplicare a sarcinilorexterioare, geometria corpului, direcia de msurare, proprietile mecanice alematerialului, etc.

Determinarea distribuiei i valorilor extreme ale tensiunilor n interiorul unuicorp este una dintre problemele cele mai importante ale Rezistenei materialelor.Dup stabilirea zonelor n care se produc i valorilor acestor tensiuni, pe baza uneiTeorii de rezisten se determin tensiunea echivalent i se determin coeficientulde siguran n raport cu tensiunea admisibil a materialului.

Forele interioare sau eforturile din seciunea unei bare se pot pune n evidencu ajutorul metodei seciunilor (Ritter) de la calculul grinzilor cu zbrele. Secionndcu un plan imaginar o grind cu zbrele se introduc n seciunile barelor respectiveforele interioare sau eforturile N, care mpreun cu forele exterioare direct aplicateFi i cu forele de legtur H,V, N corespunztoare fiecrei pri trebuie s se afle nechilibru (vezi fig1.2).

Fig.1.3

z

y

x

P

Fig 1.4

y

x

z

y

z

C

dA

C

MM

dF

Fig. 1.2

H 11

V

812

10

9

F1

N86

N87N97

6 5

2

N68

N78

N797 4

3

1

F2 N

F4F3Fore direct

aplicate

Fore delegtur

Fore delegtur

Fore directaplicate

Fore interioare(eforturi)

14

Se consider o bar dreapt avnd axa longitudinal Ox (fig.1.3) ncrcat cuun sistem de sarcini exterioare (direct aplicate i de legtur) care se secioneaz cuun plan imaginar P transversal i perpendicular pe ax, obinndu-se dou pri.Pentru a se pstra echilibrul celor dou pri este necesar s se introduc pe fiecarefa a seciunii forele elementare interioare (care sunt de fapt forele interatomice alereelei cristaline secionate de planul imaginar) egale i opuse pe cele dou fee aleseciunii, conform principiului aciunii i reaciunii din Mecanica clasic (fig.1.4).

Dac n jurul unui punct M se consider o arie elementar dA (elementul dearie dA poate fi o fa a unui element de volum dV) atunci raportul dintre foraelementar interioar dF i aria elementar dA se numete tensiune:

dAdFp = (1.1)

Dac se reduc aceste fore elementare dF care acioneaz pe toat suprafaa ncentrul de greutate al seciunii barei considerate se obine:! pentru faa din stnga a seciunii (faa pozitiv) un torsor (int) format din

rezultanta ( intR ) i cuplul rezultant ( intM ) ;

! pentru faa din dreapta a seciunii (faa negativ) un torsor (-int) format dinrezultanta (- intR ) i un cuplu rezultant (- intM ) (fig.1.5).

Reducnd i sarcinile exterioare n acelai punct C, se obine:! pentru partea din stnga torsorul forelor exterioare ( extstg ) format din rezultanta

extstgR i cuplul rezultant

extstgM ;

! pentru partea din dreapta torsorul forelor exterioare ( extdr ) format din rezultantaext

drR i cuplul rezultant extdrM (fig.1.5).

Ecuaiile de echilibru al forelor pentru fiecare dintre cele dou pri se scriu:

a. pentru partea din stnga: extstgintext

stgint ==+ 0 (1.2)

sau : ;MM;RR intextstgintext

stg 00 =+=+

z

x

z

C

x

yy

intR

intM

Fig 1.5

intM

intR

Faa pozitiv Faa negativstgiF driF

C

extstgM

extdrM

extdrR

extstgR

15

;MM;RR extstgintext

stgint

==

b. pentru partea din dreapta: extdrintext

drint ==+ 0

sau ;MM;RR intextdrintext

dr 00 == (1.3)

extdrintext

drint MM;RR ==

Concluzii: elementele torsorului forelor interioare corespunztoare feei din dreapta (-int)

sunt egale cu elementele torsorului forelor exterioare ce acioneaz asupra priidin stnga ( extstg );

elementele torsorului forelor interioare corespunztoare feei din stnga (int) suntegale cu elementele torsorului forelor exterioare ce acioneaz asupra prii dindreapta ( extdr );

Dac se descompun elementele torsorului forelor interioare de pe faa dinstnga (sau de pe faa din dreapta) dup cele trei direcii ale triedrului triortogonaldrept Cxyz (fig. 1.6) se obin ase componente notate cu: Nx, Ty, Tz, Mtx, Miy, Miznumite eforturi secionale (legate de seciunea barei).

Pentru elementele torsorului forelor interioare sunt valabile urmtoarele relaiivectoriale:

zyxint TTNR ++= (1.5)

txiziyint MMMM ++= (1.6)

n funcie de efectul pe care l produc n bara dreapt, eforturile secionale auurmtoarele denumiri:

Nx eforturi axiale , produc solicitarea de ntindere sau compresiune; Ty , Tz eforturi tietoare , produc solicitarea de forfecare; Miy , Miz eforturi ncovoietoare , produc solicitarea de ncovoiere; Mtx eforturi de rsucire , produc solicitarea de rsucire sau torsiune.

z

NxTy

Tz

C

xyintR

z

Miy

Miz

Mt

C

xy

(a) (b)

intM

Fig. 1.6

16

Variaia eforturilor pe lungimea barei se reprezint grafic sub formadiagramelor de eforturi, pentru trasarea crora se ine seama de urmtoareleconvenii de semne (conform fig.1.7): eforturile de pe faa din stnga seciunii (faa pozitiv) sunt pozitive dac au

acelai sens cu axa respectiv i negative dac dac au sens invers; eforturile de pe faa din dreapta seciunii (faa negativ) sunt pozitive dac au sens

invers axei respective i negative dac au acelai sens; un efort axial Nx pozitiv ntr-o seciune produce solicitarea de ntindere iar un

efort axial negativ produce solicitarea de compresiune; eforturile Miy i Miz pozitive produc alungirea fibrei inferioare, respectiv

comprimarea fibrei superioare dac privim n sens invers axelor Oy respectiv Oz; efortul Tz este pozitiv dac produce rotirea n sens orar a celor dou seciuni

privind n sens invers axei Oy iar efortul Ty este pozitiv dac produce rotirea nsens antiorar a celor dou seciuni privind n sens invers axei Oz ;

Pentru un sistem de fore coplanare (din planul xOz , fig. 1.8) regula semnelorde mai sus aplicat eforturilor N, Miz i Tz pe cele dou fee ale seciunii barei (carecorespund selor dou sensuri de parcurgere) este prezentat n fig. 1.8;

y

MtxMiyNx

Miz

Tz

Ty

x

zb.

Fig 1.7

faanegativ

y Miy

NxMiz

MtxTz Ty

x

z

faapozitiv

a.

Fig 1.8

faa negativ

MiyNx

Tz

x

z

MiyNx

Tz

x

z

Regula corespundeensului de parcurgerede la dreapta- stnga

faa pozitiv

Regula corespundeensului de parcurgerede la stnga-dreapta

17

1.6. Tensiuni, deformaii i deplasriSecionnd o pies cu un plan imaginar, asupra ariei elementare A din

vecintatea punctului M, va aciona fora interioar elementar F (fig.1.9). Sedefinete tensiunea ca valoarea la limit a raportului dintre fora interioar elementar

F i aria elementar A :

dAFd

AFlimp

A=

= 0

(1.7)

Mrimea tensiunii depinde att de mrimea idirecia forei Fd ct i de orientarea normaleisuprafaei considerate dA (fig.1.9), deci tensiunea peste o mrime tensorial .

Tensiunea p se descompune n:

! componenta dup normala ui la suprafaa elementar dA numit tensiunenormal ;

! componenta i dup o direcie vi cuprins n planul suprafeei elementare dA,numit tensiune tangenial. Aceast component se descompune la rndul eidup cele dou direcii uj i uk din planul seciunii obinndu-se tensiunile jirespectiv ki (primul indice indic direcia, al doilea indic normala la suprafa).

ntre aceste componente se poate scrie relaia vectorial:

kijiiiip ++=+= (1.8)

i relaia scalar:222222

kijiiiip ++=+= (1.9)

Unitatea de msur n Sistemul Internaional pentru tensiuni ( , ) este

Pascalul: 1Pa= 21mN i multiplul ei 1MPa= 22

6 110mm

NmN

=

Dac se consider trei planeperpendiculare ale unui sistem triortogonaldrept Oxyz de versori i, j i k , matricea celornou tensiuni normale i tangeniale definite nraport cu aceste plane, se numete tensorultensiunilor i definete complet starea detensiuni n jurul punctului considerat:

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T (1.10)

ui

vi

ji

ki i

pi

uj

uk

M

A

Fig. 1.9

O

y

z Fig. 1.10

x

x

zx

yx

zyy

xy

xyy

zy

z

yz

xz

zxzx

x

yz

z

xz

18

Sub aciunea sarcinilor exterioare corpurile se deformeaz, adic i schimbforma i dimensiunile iniiale. Deformaiile sunt de dou feluri: liniare i unghiulare.

Pentru a pune n eviden deformaiile liniare se consider o pies cilindric delungime L0 i diametru d0, solicitat la ntindere de o for axial F (fig. 1.11.a). Barasufer o deformaie liniar longitudinal numit lungire longitudinal ( L=L1 -L0) io deformaie liniar transversal ( d0=d1 - d0) numit contracie transversal. Pentru deformaiile liniare se utilizeaz ns urmtoarele mrimi adimensionale:

! deformaia specific longitudinal sau alungirea: 0LL

l

= (1.10)

! deformaia specific transversal : 0dd

t

= (1.11)

ntre cele dou mrimi exist relaia de legtur: lt = (1.12)

unde este coeficientul contraciei transversale (sau coeficientul lui Poisson).

Pentru a pune n eviden deformaiile unghiulare se consider o piescilindric de diametru d solicitat solicitat la rsucire de un moment Mtx (fig. 1.11.b)Dac se studiaz deformaia un element paralelipipedic drept din vecintateaconturului (dV) se observ c sufer deformaii unghiulare: unghiurile iniiale de /2ntre muchiile concurente n punctul M se modific cu valoarea (n radiani) care senumete deformaie unghiular specific sau lunecare specific ( > 0 dac unghiulscade).

n cazul general, starea de deformaii din jurul unui punct M, raportat la unsistem de axe triortogonal drept Mxyz (fig. 1.12) se exprim n funcie de lungirilespecifice: x, y, z corespunztoare celor trei direcii i lunecrile specifice: xy, yz,zx, corespunztoare fiecrui plan, care sunt elementele unei matrici simetrice T,numit tensorul deformaiilor specifice:

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

21

21

21

21

21

21

(1.13)

b.

Mt

dV

MtdV

Fig. 1.11

d0-dd0

F F L0

a.

L0+L

19

Deplasarea reprezint drumulparcurs de un punct M n raport cu unsistem de referin fix Mx y z, i seexprim prin deplasrile u, v, w, dupdirecia axelor Mx, My, respectiv Mz(fig. 1. 12). n aceeai figur sunt reprezentate isemnificaiile deformaiilor specifice: x,y, z i lunecrilor specifice: xy, yz, zx.

1.7. Curba caracteristica a materialuluincercarea la traciune conform STAS SR EN 10002-1/1995 (nlocuiete STAS

200-85) se face n scopul determinrii urmtoarelor caracteristici mecanice-alungirea procentual la rupere (A)-limita de curgere convenional (Rp)-limita de extensie convenional (Rt)-limita de curgere remanent (Rr)ncercarea la traciune const n aplicarea progresiv a unei fore de ntindere F

pe direcie longitudinal asupra unei piese cilindrice de o anumit form numitepruvet pn la ruperea ei. Deformaiile longitudinale L ale piesei se nregistreazgrafic pe o diagram n funcie de fora de traciune F obinnduse o diagram ca nfig.13.a pentru materiale liniare (oeluri carbon, aliate, etc.), sau ca n fig. 13.b. pentrumateriale neliniare (bronzuri, alame, aliaje neferoase, etc.) .

Semnificaia notaiilor de pe curbele din fig. 13, conform STAS SR EN 10002-1/1995 este urmtoarea:

FF

FmaxFmax FuFeH FuFtFeL Fp

L 0,2%L0 0,5%L0Lungirea la rupere L Lungirea la rupere

b.a.

CC

DAB D

AB

Fig. 1.13

M

dy(1+y)

dz(1+z)

/2-xy

/2-yz /2-zx

dx(1+x)

dxdy

x

x

dz

w

vu

y

y

z

z

Fig. 1.12

M

20

! FeH fora de traciune n momentul cnd se nregistreaz prima scdere a sarcinii ;! FeL fora de traciune cea mai mic nregistrat n timpul curgerii plastice a

materialului epruvetei;! Fmax fora de traciune maxim nregistrat;! Fu fora de traciune din momentul ruperii epruvetei (ultima valoare nregistrat

nainte de rupere);! Ft fora de traciune nregistrat, corespunztoare unei valori prescrise a lungirii

totale (L= 0,5 L0);! FP fora de traciune nregistrat, corespunztoare unei valori a alungirii prescrise

= 0,2% (neproporionale sau remanente).Pe baza acestor diagrame se poate reprezenta grafic variaia deformaiilor

longitudinale specifice n funcie tensiuni obinndu-se o reprezentare = f()numit curba caracteristic a materialului (fig.1.14).

Conform STAS SR EN 10002-1/1995, pe curba caracteristic (fig. 1.14) sedeosebesc urmtoarele puncte ce corespund unor caracteristici importante alematerialului1. Punctul P corespunde limitei de proporionalitate P care este valoarea maxim a

tensiunii atins n material pentru care mai este valabil legea lui Hooke: = E (unde E este modulul de elasticitate sau modulul lui Young).Limita de proporionalitate convenional se determin din condiia ca abatereamodulului de elasticitate EP (corespunztoare punctului P) fa de valoarea E0determinat pentru prima poriune a curbei caracteristice s nu depseasc 10%:

e = %E

EE p 1000

0

< 10%.

Valoarea tensiunii corespunztoare punctului P de pe curba caracteristic carendeplinete aceast condiie se numete limita de proporionalitate convenionali se noteaz p10.

C

D

S

O

EP

RrRm

alungirea la rupere An=r % %

Fig. 1.14

pr0.01

21

2. Punctul E corespunde limitei de elasticitate e sau valoarea tensiunii atins nmaterial pn la care comportarea materialului este perfect elastic (dup anulareaforei de ntindere epruveta revine exact la forma iniial). Experienele au artatc nu exist materiale perfect elastice i epruveta sufer o deformaie remanent.Se definete limita de elasticitate tehnic e0,01 corespunztoare unei valoriconvenionale maxime a deformaiei specifice remanente r = 0,01% .

3. Punctul C corespunde limitei de curgere aparent Rc sau valoarea tensiunii dinepruvet pentru care lungirea epruvetei crete cnd sarcina F rmne practicconstant. Dup atingerea limitei de curgere aparent Rc , curba caracteristic areun traseu orizontal, uneori sinuos, numit palier de curgere. La unele materiale,palierul de curgere nu exist, ceea ce face ca limita de curgere aparent s nupoat fi stabilit.Se definete limita de curgere remanent Rr0,2 ca valoarea tensiunii pentru care ladescrcarea epruvetei se produce o alungire remanent r = 0,2% ;

4. Punctul D corespunde rezistenei la rupere Rm sau valoarea tensiunii din epruvetcorespunztoare valorii maxime a sarcinii i se determin cu relaia:

Rm = 0S/Fmaxunde: Fmax - este fora maxim nregistrat n timpul ncercrii;

S0 - aria seciunii iniiale a epruvetei.5. Punctul S corespunde producerii ruperii pentru care se definesc:

! Alungirea la rupere An este dat de raportul procentual dintre creterealungimii epruvetei (msurat dup rupere) i lungimea iniial. Alungirea larupere se noteaz cu An i se calculeaz deci cu relaia:

An = [ ]%LLLu 100

0

0

unde Lo este lungimea iniial a epruvetei, Lu - lungimea ultim dintre repere, msurat dup rupere.

Indicele n este un factor dimensoinal pentru epruvete de seciune circular este:00 d/Ln = , unde d0 este diametrul seciunii iniiale a epruvetei. Determinarea

alungirii la rupere se face n general, pe epruvete avnd n = 5 sau n = 10.! Gtuirea la rupere Z este dat de raportul procentual ntre variaia ariei

seciunii transversale a epruvetei S=So- Su i aria suprafaei seciunii iniialei se calculeaz cu relaia:

Z = [ ]%S

SSo

uo 100

unde Su este aria seciunii transversale minime a epruvetei dup ncercareS0 este aria seciunii iniiale a epruvetei

22

1.7. Coeficieni de siguran i rezistene admisibilePentru funcionarea corespunztoare a unei piese n ansamblul din care face

parte se impun n general una sau mai multe din urmtoarele condiii :a) condiii de rezisten: piesa corespunde rolului funcional din punct de vedere al

rezistenei atunci cnd tensiunea echivalent maxim nu depete o anumitvaloare stabilit convenional numit tensiune admisibil (a):

ech < aSe cunosc cinci teorii clasice de rezisten i o teorie modern pentru calculultensiunii echivalente (vezi capitolul XV). Tensiunea admisibil a se determin nfuncie de una dintre caracteristicile mecanice ale materialului (limita de curgere,rezistena de rupere, etc) cu ajutorul relaiei :

r,c

r,ca c

=

cc este coeficientul de siguran fa de limita de curgere pentru materiale tenace;cr - coeficientul de siguran fa de limita de rupere pentru materiale fragile.Coeficientul de siguran c (cc,cr) ine seama de tipul materialului, de tehnologia deobinere a semifabricatului, tratamentele termice aplicate, de durata de utilizare, detipul sarcinilor aplicate, de regimul de funcionare, de modelul de calcul ales, decondiiile de lucru (temperatura, agentul de lucru, etc).

b) Condiii de rigiditate: piesa corespunde rolului funcional din punct de vedere aldeformaiilor produse sub aciunea sarcinilor exterioare, dac acestea nu depescanumite limite, n caz contrar aceste deformaii pot duce la pierderea roluluifuncional sau la distrugerea sa.

c) Condiii de stabilitate: piesa corespunde rolului funcional din punct de vedere alstabilitii echilibrului elastic sub aciunea sarcinilor exterioare, dac aceste sarcininu depesc anumite valori critice, dei condiiile de rezisten i rigiditate suntsatisfacute; funcionarea piesei n astfel de cazuri este compromis sau pierdereaechilibrul stabil poate duce la distrugerea ei.

23

CAPITOLUL IIDIAGRAME DE EFORTURI N BARELE DREPTERELAIILE DIFERENIALE NTRE EFORTURI I FORELE

EXTERIOARE

Se consider modelul de tip bar solicitat de un sistem de fore coplanarecuprinse n planul Oxz. Eforturile secionale pe faa negativ (partea din dreapta aseciunii corespunztoare sensului de parcurgere de la stnga spre dreapta) secalculeaz ca sum a tuturor proieciilor forelor dup axele Cx, Cz respectiv amomentelor fa de Cy, ce acioneaz asupra prii din stnga, cu respectareaconveniei de semne stabilite n capitolul I (fig. 2.1).

2.1 Diagrame de eforturi axialeSe consider o bar dreapt supus aciunii unor fore axiale concentrate P i

distribuite axial qx i un tronson de lungime dx aflat la distana x de captul din stngaal barei. Pe feele elementului vom avea eforturile axiale (pozitive) Nx respectivNx+dNx (fig. 2.2). Variaia eforturilor axiale Nx pe lungimea barei ca o funcie de x:Nx=Nx(x) se reprezint sub forma diagramei de eforturi axiale. n continuare vomnota Nx cu N.

Pentru a scrie relaiile difereniale dintre eforturile axiale i forele exterioarevom scrie ecuaia de echilibru a forelor exterioare i eforturilor din cele dou fee cedelimiteaz elementul considerat:

-N+qx dx+N+dN=0 (2.1)

Fig 2.1

Faa negativMiyNx

Tz

x

zx

Fig 2.2

Nx N+dN

x dx

qx

24

Rezult dN=-qx dx sau xqdxdN

= (2.2)

Dac se integreaz prima relaie (2.2) se obine expresia eforturilor axiale nfuncie de forele exterioare: = dxq)x(N x (2.3)

Pe baza relaiei (2.3) se traseaz diagramele de eforturi axiale.Este evident faptul c dac qx=0, N=constant, adic n absena sarcinilor

distribuite eforturile axiale sunt constante pe acea poriune.n dreptul forelor axiale concentrate trebuiesc determinate cele dou valori ale

efortului n seciunea respectiv: limita la stnga (Nst) respectiv la dreapta (Ndr).Exemplu:S de traseze diagrama de eforturi axiale pentru bara dreapt ncrcat cu un

sistem format din dou fore axiale distribuite: qx1 , qx2 i trei fore axiale concentrate4P, P i 2P ca n fig.2.3.

Se nlocuiete legtura din seciunea 0 (ncastrarea) cu o for de legtur H0(ntruct nu exist alte sarcini exterioare:T=0, Mi=0, Mt=0) i se scrie ecuaia deechilibru a forelor exterioare i de legtur pe direcia axial (fig. 2.4):

-H0 + q1x 3a + 4P P - q2x 2a + 2P=0 (2.4)De unde rezult: H0 = 6P (2.5)

! Pe tronsonul 0-1avem:

+== 1110 CxaPdxq)x(N x (2.6)

Fig 2.3

3a

4Pqx1=P/a

3aa a

P 2Pqx2=2P/a0 1 3 42

Fig 2.4

3a

4Pqx1=P/a

3aa a

P 2Pqx2=2P/a0 1 3 42

H0

25

Constanta de integrare C1 se determin din condiia la limit a tronsonului 0-1:

x=0 N(0)=+H0 deci C1=6P Pax)x(N

+=

610 (2.7)

n seciunea 1 vom avea efortul: N1=N0-1(3a)=3P! Pe tronsonul 1-2 avem:

== 221 Cdxq)x(N x (constant) (2.8)Constanta de integrare C2 se determin din condiia la limit a tronsonului 1-2: x=0 N(0)=N1=3P deci C2=3P N1-2=3P (2.9)

! Pe tronsonul 2-3 avem:

== 332 Cdxq)x(N x (constant) (2.10)Constanta de integrare C3 se determin din condiia la limit a tronsonului 2-3: x=0 N(0) =N2dr= N2st -4P=-P deci C3=-P N2-3=-P (2.11)

! Pe tronsonul 3-4 avem:

+== 4243 2 CxaPdxq)x(N x (2.12)

Constanta de integrare C4 se determin din condiia la limit a tronsonului 3-4:

x=0 N(0)=N3dr=N3st +P=0 deci C4=0 Pax)x(N 243 = (2.13)

n seciunea 4 vom avea efortul: N4=N3-4(a)=2P. Se observ c efortul axialdin seciunea de capt este egal cu fora exterioar ce acioneaz n aceast seciune(2P) i este pozitiv, conform conveniei de semne pentru faa pozitiv stabilit lacapitolul I; spunem c diagrama de eforturi se nchide.

Diagrama de eforturi axiale pentru exemplul considerat are forma din fig. 2.5.

Fig 2.5

3a

4Pqx1=P/a

3aa a

P 2Pqx2=2P/a0 1 3 42

6P

+

-+

6P

3P

-P

2P

26

2.2 Diagrame de eforturi tietoare i eforturi ncovoietoareSe consider o bar dreapt supus aciunii unor fore perpendiculare pe axa

Ox concentrate i / sau distribuite, momente dup axa Oy i un tronson din aceastbar aflat la distana x de captul din stnga de lungime dx, pe feele cruia vom aveanumai eforturile tietoare (pozitive) Tz i Miy respectiv Tz+dTz i Miy +dMiy (fig. 2.6).Variaia eforturilor Tz i eforturilor Miy pe lungimea barei ca funcii de x: Tz=Tz(x) iMiy =Miy(x) se reprezint sub forma diagramelor de eforturi tietoare respectiv adiagramelor de eforturi ncovoietoare. n continuare vom nota Tz cu T i Miy cu Mi.

Pentru a scrie relaiile difereniale dintre eforturile T i M i forele exterioarevom scrie ecuaiile de echilibru a forelor exterioare i eforturilor din cele dou feece delimiteaz elementul considerat :

( )

( )[ ]dxcuraportindxneglijeazaseTdxdMdMMdxqTdxMM

dxqdTdTTdxqTF

zz'C

zzz

2

2

02

0

00

==+++=

==+++=

(2.14)

Dac se integreaz prima relaie (2.14) se obine expresia eforturilor tietoarefuncie de forele exterioare: = dxq)x(T z (2.15)

Dac se integreaz i a doua relaie (2.14) se obine expresia eforturilorncovoietoare funcie de eforturile tietoare: = Tdx)x(M (2.16)

Pe baza relaiilor (2.15) i (2.16) se traseaz diagramele de eforturi T i M.Se observ c: dac qz=0 T=constant adic n absena sarcinilor distribuite

eforturile tietoare sunt constante pe acea poriune, respectiv dac T=0 M=constant, dac eforturile tietoare sunt nule pe o poriune a barei, eforturilencovoietoare sunt constante pe acea poriune.

n dreptul forelor (sau momentelor) concentrate trebuie s se determine celedou valori ale efortului n seciunea respectiv, sau limitele funciilor 2.15 (respectiv2.16) la stnga Tst (Mst) respectiv la dreapta Tdr (Mdr).

Fig 2.6

T T+dTx dx

qz

M M+dMC C

27

ExempluS de traseze diagramele de eforturi tietoare i eforturi ncovoietoare pentru

bara dreapt ncrcat cu un sistem format din forele distribuite qz1=2q , qz2=q,forele concentrate F1=4qa, F2=5qa i momentele ncovoietoare M1=2qa2, M2=8qa2ca n fig.2.7.

Se nlocuiete legtura din stnga (ncastrarea) prin fora de legtur V0 imomentul de legtur M0 (ntruct nu exist sarcini i cupluri axiale, H0 =0, Mt=0)(vezi fig. 2.8) i se scriu ecuaiile de echilibru ale forelor exterioare i de legtur:Fz=0 +V0 + q1z 2a F1 +F2 - q2x 4a =0 V0 = qa (2.17)MOy=0 - M0 + 2q2aa +4qa3a - 2qa2 5qa5a+q4a7a - 8qa2 =0

M0 = qa2 (2.18)

! Pe tronsonul 0-1 avem:

Eforturile tietoare: +== 1110 2 Cqxdxq)x(T z (2.19)Constanta de integrare C1 se determin din condiia la limit pe tronsonul 0-1:

x=0 T(0)=+V0 deci C1=qa qaqx)x(T +=

210 (2.20)

n seciunea 1 vom avea efortul: T1=T0-1(2a)=-3qa

Eforturile ncovoietoare: ++== 2210 CqaxqxTdx)x(M (2.21)Constanta de integrare C2 se determin din condiia la limit a tronsonului 0-1:

Fig 2.7

qz1

4aaqz2

2a 2a

F2

F1

M1 M2

Fig 2.8

qz1=2q

4a

z

0 1 3 42

qz2=q2a 2a

F2=5qaM1=2qa2 M2=8qa2

F1=4qa

M0

V0x

a

28

x=0 M(0)=+M0 deci C1=qa2 2210 qaqaxqx)x(M ++= (2.22)

n seciunea 1 vom avea efortul: M1=M0-1(2a)=-qa2

! Pe tronsonul 1-2 avem:

Eforturile tietoare: == 321 Cdxq)x(T z (constant) (2.23)Constanta de integrare C3 se determin din condiia la limit pe tronsonul 1-2: x=0 T(0)=T1=-3qa deci C2=-3qa T1-2=-3qa (2.24)n seciunea 2 vom avea efortul: T2st=T1-2(a)=-3qa

Eforturile ncovoietoare: +== 421 3 CqaxTdx)x(M (2.25)Constanta de integrare C4 se determin din condiia la limit pe tronsonul 1-2:

x=0 M(0)=M1 deci C1=-qa2 221 3 qaqax)x(M = (2.26)

n seciunea 2 vom avea efortul: M2st=M1-2(a)=-4qa2

! Pe tronsonul 2-3 avem:

Eforturile tietoare: == 532 Cdxq)x(T z (constant) (2.27)Constanta de integrare C5 se determin din condiia la limit pe tronsonul 2-3: x=0 T(0)=T2dr= T2st +4qa=qa deci C5=q T2-3=qa (2.28)n seciunea 3 vom avea efortul: T3st=T2-3(2a)=qa

Eforturile ncovoietoare: +== 632 CqaxTdx)x(M (2.29)Constanta de integrare C6 se determin din condiia la limit pe tronsonul 2-3: x=0 M(0)=M2dr=M2st+2qa2=-2qa2 deci C6=-2qa2

232 2qaqax)x(M = (2.30)

n seciunea 3 vom avea efortul: M3=M2-3(2a)=0! Pe tronsonul 3-4 avem:

Eforturile tietoare: +== 7243 Cqxdxq)x(T z (2.31)Constanta de integrare C7 se determin din condiia la limit pe tronsonul 3-4: x=0 T(0)= T3dr= T3st -5qa=-4qa deci C1=-4qa

qaqx)x(T 443 = (2.32)

n seciunea 4 vom avea efortul: T4=T3-4(4a)=0

Eforturile ncovoietoare: +== 82

43 42CqaxqxTdx)x(M (2.33)

Constanta de integrare C8 se determin din condiia la limit a tronsonului 3-4:

29

x=0 M(0)=M3 deci C1=0 qaxqx)x(M 42

2

43 = (2.34)

n seciunea 4 vom avea efortul: M4=M3-4(4a)=-8qa2

Se observ c n seciunea 4 avem eforturile: T4=0 i M4=-8qa2. Se observ cn seciunea din captul din deapta efortul tietor este zero i efortul ncovoietor esteegal cu momentul exterior ce acioneaz n aceast seciune (8qa2) cu semn schimbat,(conform conveniei de semne pentru faa pozitiv); spunem c diagramele deeforturi se nchid.

Diagramele de eforturi tietoare i ncovoietoare pentru exemplul considerat auforma din fig. 2.9.

Axa ordonatelor pentru diagrama de eforturi ncovoietoare este orientat n jos.

qz1=2q

4a

z

0 1 3 42

qz2=q2a 2a

F2=5qaM1=2qa2 M2=8qa2

F1=4qa

M0=qa2

V0=qax

a

Diagrama T

Diagrama M

+

+

Fig 2.9

-3qa

qa

-4qa

++

+

--

--

-qa2

-4qa2

-2qa2

-8qa2

qa2

1,25qa2

a/2

qa

30

2.3 Diagrame de eforturi torsionaleSe consider o bar dreapt supus aciunii unor momente axiale concentrate i

distribuite mx i un tronson din aceast bar aflat la distana x de captul din stnga,de lungime dx, pe feele cruia vor aciona numai eforturile axiale (pozitive) Mtxrespectiv Mtx+dMtx (fig. 2.10). Variaia eforturilor axiale Mtx pe lungimea barei cafuncii de x: Mtx = Mtx (x) se reprezint sub forma diagramei de eforturi axiale.

Pentru a gsi relaiile difereniale dintre eforturile Mtx i cuplurile axialeexterioare vom scrie ecuaia de echilibru a cuplurilor exterioare i eforturilor ceacioneaz asupra elementul considerat :

- Mtx +mx dx+ Mtx +dMtx =0 (2.35)

Rezult dMtx =-mx dx sau xtx mdxdM

= (2.36)

Dac se integreaz prima relaie (2.36) se obine expresia eforturilor axiale nfuncie de forele exterioare: = dxm)x(M xtx (2.37)

Pe baza relaiei (2.37) se traseaz diagramele de eforturi torsionale.Este evident faptul c dac mx=0 Mtx =constant, adic n absena sarcinilor

distribuite eforturile torsionale sunt constante pe acea poriune.n dreptul momentelor axiale concentrate trebuie s se determine cele dou

valori ale efortului Mtx n seciunea respectiv sau limitele funciei 2.37:la stnga (Mtx st) respectiv la dreapta (Mtx dr).

Exemplu:S de traseze diagrama de eforturi axiale pentru bara dreapt ncrcat cu un

sistem format din dou cupluri distribuite mx1=Pa/a , mx2=2Pa/a i dou cupluriconcentrate Mtx1 =5Pa, Mtx2 =3Pa ca n fig.2.11.

Fig 2.10

Mtx Mtx+dMtx

x dx

mx

Fig 2.11

4a

Mtx1mx1

3aa 2a

mx2

0 1 3 42

Mtx2

31

Se nlocuiete legtura din seciunea 0 (ncastrarea) cu cuplul de legtur Mt0(ntruct nu exist alte sarcini exterioare: H0=0, V0=0 i Miy=0) i se scrie ecuaia deechilibru a sarcinilor exterioare i cuplului de legtur (fig. 2.12):

-Mt0 + mx1 4a + Mtx1 m2x 2a - Mtx2 =0 (2.38)De unde rezult: Mt0 = 2Pa (2.39)

! Pe tronsonul 0-1:

+== 1110 CPxdxm)x(M xtx (2.40)Constanta de integrare C1 se determin din condiia la limit a tronsonului 0-1:

x=0 Mtx (0)=+ Mt0 deci C1=2Pa ( )Pax)x(M tx 210 += (2.41)n seciunea 1 vom avea efortul: Mt1 = Mtx 0-1(4a)=-2Pa

! Pe tronsonul 1-2: == 221 Cdxm)x(M xtx (constant) (2.42)Constanta de integrare C2 se determin din condiia la limit a tronsonului 1-2: x=0 Mtx (0)= Mt1=-2Pa deci C2=-2Pa Mtx 1-2=-2Pa (2.43)

! Pe tronsonul 2-3: == 332 Cdxm)x(M xtx (constant) (2.44)Constanta de integrare C3 se determin din condiia la limit a tronsonului 2-3: x=0 Mtx (0) = Mt2dr= Mt2st -5Pa=-7Pa deci C3=-7Pa Mtx 2-3=-7Pa (2.45)

! Pe tronsonul 3-4:

+== 4243 2 CPxdxm)x(M x (2.46)Constanta de integrare C4 se determin din condiia la limit a tronsonului 3-4:

x=0 Mtx (0)= Mt3=-7Pa deci C4=-7Pa PaPx)x(M tx 7243 = (2.47)

n seciunea 4 vom avea efortul: Mt4= Mtx 3-4(2a)=-3Pa. Se observ c efortulaxial din seciunea de capt este egal cu momentul exterior ce acioneaz n aceastseciune (3Pa) cu semn schimbat, conform conveniei de semne pentru faa pozitiv;spunem c diagrama de eforturi se nchide.

Fig 2.12

4a

Mtx1=5Pamx1=P

3aa 2a

0 1 3 42

Mtx2=3PaMt0=2Pax

mx2=2P

32

Diagrama de eforturi axiale pentru exemplul considerat are forma din fig. 2.13.

Fig 2.13

4a

Mtx1=5Pamx1=P

3aa 2a

0 1 3 42

Mtx2=3PaMt0=2Pax

mx2=2P

Diagrama Mt +

2Pa

-2Pa

-7Pa

-3Pa-

+

33

CAPITOLUL IIICARACTERISTICI GEOMETRICE ALE

SECIUNILOR PLANE

3.1. DefiniiiSe consider o seciune transversal plan ntr-o bar avnd aria A, un element

de arie elementar dA al seciunii i un sistem rectangular de axe Oyz. Poziia acestuielement de arie n raport cu axele sistemului rectangular este dat coordonatele (y , z)i respectiv n raport originea O de distana r (fig.3.1).

! Momentul static ale seciuni plane n raport cu axa Oz (Sy) respectiv Oy (Sz), estedefinit prin integrala:

==A

zA

y dAySrespectivdAzS (3.1)

Dimensiunea pentru momentul static este [ ]S L= 3 n Sistemul Internaional unitatea de msur pentru momentul static este m3 .

innd seama de relaia pentru calculul coordonatelor centrului de greutate alseciunii :

A

dAzzrespectiv

A

dAyy ACAC

== , (3.2)

rezult: ;AyS;AzS CzCy == (3.3)

unde: A este aria seciunii plane respective;zC, yC sunt coordonatele centrului de greutate al seciunii.n raport cu un sistem central de axe (un sistem pentru care OC), momentele

statice ale seciunii plane sunt nule (cf. 3.3), deoarece: yC = zC = 0.

dA

Fig. 3.1

y

z

y

zCO

r

C

z

yC

C

Fig. 3.2

dA dAy

z

+y-y

O

34

! Momentul de inerie axial al seciunii plane n raport cu axa Oy i Oz, este definitprin integrala (strict pozitiv):

==A

zA

y dAyIrespectivdAzI22 (3.4)

! Momentul de inerie polar al seciunii plane n raport cu polul O este definit prinintegrala (strict pozitiv):

( ) +=+==A

zyA

IIdAzydArI 2220 (3.5)

Se observ c momentul de inerie polar este egal cu suma momentelor deinerie (axiale) fa de dou axe rectangulare ce trec prin polul respectiv.

! Momentul de inerie centrifugal al seciunii plane n raport cu axele rectangulareOy i Oz, este definit prin integrala:

=A

yz dAyzI (3.6)

Din relaia (3.6) se observ c momentele de inerie centrifugale pot fi pozitive,negative sau nule. O seciune plan avnd cel puin o ax de simetrie aremomentul de inerie centrifugal nul fa de sistemul pentru care una din axe esteaxa de simetrie. Proprietetea este evident dac se ine seama c seciunea esteformat n perechi de elemente de arie simetrice (fig. 3.2) i se poate scrie:

0=+ dAyzdAyz (3.7)

Dimensiunea corespunztoare pentru momentele de inerie este [ ] 4LI = .nSistemul Internaional unitatea de msur pentru momentul de inerie este m4

! Raza de inerie a seciunii plane axial (n raport cu o ax) respectiv polar (nraport cu polul O), se definete prin relaiile:

AIi;

AIi;

AI

i zzy

y0

0 === (3.8)

Dimensiunea corespunztoare pentru raza de inerie este [ ] Li =n Sistemul Internaional unitatea de msur pentru raza de inerie este m.

Din formulele (3.8) rezult: .AiI;AiI;AiI zzyy ===200

22

deci razele de inerie reprezint distana fictiv de la axa sau polul considerat pnla un punct n care ar fi concentrat ntreaga arie a seciunii considerate.

! Modulul de rezisten al seciunii plane n raport cu o ax sau cu un pol, sedefinete ca raportul dintre momentul de inerie respectiv i distana de la acea axsau acel pol pn la punctul cel mai ndeprtat al seciunii:

.rIW;

yIW;

zI

Wmax

Omax

zz

max

yy

0=== (3.9)

Dimensiunea corespunztoare pentru modulul de rezisten este [ ] 3LW = .

35

3.2. Calculul momentelor de inerie la translaia axelor Formulele lui Steiner.Se consider o seciune plan care se raporteaz la un sistem de axe Oyz, i un

sistem de axe Oyz paralel cu sistemul Oyz (fig. 3.3), obinut prin dou translaiiefectuate cu distana a dup axa Oy i respectiv b dup axa Oz.

Un element de arie dA al seciunii plane are coordonatele (y, z) n raport cusistemul de axe Oyz, respectiv coordonatele (y, z) n raport cu sistemul de axeOyz(fig. 3.3). ntre aceste coordonate exist relaiile:

bz'z;ay'y +=+= (3.10)

Aplicnd relaiile (3.4) se calculeaz momentul de inerie al seciunii A nraport cu axa Oy respectiv axa Oz:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

++=++=+==

++=++=+==

AaaSIdAaayydAaydA'yI

AbbSIdAbbzzdAbzdA'zI

zz'z

yy'y

22222

22222

22

22(3.11)

Aplicnd relaiile (3.6) se calculeaz momentul de inerie centrifugal alseciunii A n raport cu axele Oy i Oz:

( )( ) ( )abAbSaSII

dAabbyazyzdAbzaydA'z'yI

zyyz'z'y

'z'y

+++=

+++=++== (3.12)Rezult astfel formulele lui Steiner pentru calculul momentelor de inerie la

translaia axelor:

AabbSaSIIA)ba(aSbSIIII

AaaSII;AbbSII

zyyz'z'y

zyO'z'y'O

zz'zyy'y

+++=

++++=+=

++=++=22

22

22

22

(3.13)

Dac sistemul Oyz este un sistem central de axe (OC), fa de acestamomentele statice i sunt nule (Sy =Sz=0) i formulele lui Steiner (3.13) au formaparticular:

dA

Fig. 3.3

y

z

O

bCO

y'

z'

a

z'

y'

z

y

dA

Fig. 3.4

y

z

O

y'

z'

z

y

z'y'

36

AddII

dddunde;AdII

AdII

AdII

CCC

CC

CC

CC

y'yy'yyz'z'y

z'zy'yC'O

z'zz'z

y'yy'y

+=

+=+=

+=

+=

2222

2

2

(3.14)

3.3. Variaia momentelor de inerie la rotaia axelorSe consider o seciune plan i dou sisteme rectangulare de axe: sistemul

iniial Oyz, respectiv sistemul Oyz rotit cu unghiul fa de Oyz (fig.3.4). Unelement de arie dA al seciunii are coordonatele y i z n raport cu sistemul de axeOyz, respectiv coordonatele y i z, n raport cu sistemul de axe Oyz. ntre celedou perechi de coordonate exist relaiile, conform figurii 3.4:

=

+=

sinycosz'zcosysinz'y

(3.15)

Aplicnd relaiile (3.4) se poate calcula momentul de inerie al seciunii A nraport cu axele Oy respectiv Oz:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )+=

+==

+=+=+=

++=+==

+===

22

22

2222

2222

2

2

sincosIcossinIII

dAsinycoszcosysinzdA'z'yI

IIIIdA'z'yI

cossinIcosIsinIdAcosysinzdA'yI

cossinIsinIcosIdAsinycoszdA'zI

yzzy'z'y

'z'y

yz'y'zO

yzzy'z

yzzy'y

(3.16)

Deoarece IO = IO se observ c suma momentelor de inerie axiale, n raport cuorice pereche de axe rectangulare ce trec printr-un punct O, este un invariat.Formulele (3.16) se mai pot scrie n funcie de unghiul 2 astfel:

.cosIsinII

I

;sinIcosIIII

I

;sinIcosIIII

I

yzzy

'z'y

yzzyzy

'z

yzzyzy

'y

+

=

+

+=

++

=

222

2222

2222

(3.17)

3.4. Valori extreme ale momentelor de inerie axialeDeoarece momentele de inerie Iz i Iy depind de unghiul 2, se poate

determina valoarea extrem a acestora i poziiile axelor de coordonate pentru care

37

momentele de inerie au valori extreme. Pentru aceasta se anuleaz derivatele nraport cu unghiul 2:

( )

( ) 02cos2sin22

02cos2sin22

'''

'''

==+

=

==

=

zyyzzyz

zyyzzyy

IIII

ddI

IIII

ddI

(3.18)

Din relaia (3.18) rezult urmtoarea proprietate: momentele de inerie axialeau valori extreme fa de acel sistem de axe n raport cu care momentul de ineriecentrifugal este nul. Reciproca acestei proprieti nu este adevrat.

=

=

zy

yz

zy

yz

III

arctgII

Itg

22

22 1 (3.19)

respectiv: 2/22 1212 +=+= (3.20)

Deci cele dou direcii pentru care momentele de inerie sunt maxime sauminime sunt perpendiculare. Dac se nlocuiesc n expresiile (3.17) valorile lui 21respectiv 22 obinute, rezult valorile extreme ale momentelor de inerie axiale:

( ) 2221 421

2 yzzyzy

, IIIII

I ++

= (3.21)

Aceste valori se numesc momente de inerie principale, iar axelecorespunztoare (perpendiculare ntre ele) se numesc axe de inerie principale. Dacse nsumeaz momentele de inerie principale (3.21), rezult:

I1 + I2 = Iy +Iz = constant; (3.22)Deci suma momentelor de inerie axiale fa de orice pereche de axe

rectangulare ce trec printr-un punct dat, este un invariat.

3.5. Cercul momentelor de inerieRelaiile (3.17) pentru calculul momentelor de inerie n raport cu un sistem de

axe rotit cu unghiul se mai pot scrie sub forma:

;2sin2cos22'

yzzyzy

y IIIII

I

=

+ (3.23)

.2cos2sin2''

yzzy

zy III

I +

=

Ridicnd la ptrat expresiile (3.23) i nsumnd membru cu membru rezult:

.22

2

2

2''

2

' yzzy

zyzy

y III

III

I +

=+

+

(3.24)

38

Expresia obinut reprezint ecuaia unuicerc ntr-un sistem de axe n care pe abscis semsoar momentele de inerie axiale, iar peordonat momentele de inerie centrifugale(fig.3.5) avnd centrul n punctul C decoordonate:

+

0,2

zy IIC

i raza:

( ) 22 421

yzzy IIIR += .

3.6. Caracteristici geometrice ale unor seciuni plane simpleSe consider urmtoarele seciuni simple:

! O seciune plan simpl n form de dreptunghi, cu laturile b i h raportat lasistemul central de axe Oyz (fig.3.6). Un element de arie, al acestui dreptunghi, seobine ca o fie ngust, de lungime b i nlime dz, situat la distana z de axaOy: dA=bdz. Momentul de inerie axial al seciunii dreptunghiulare, n raport cuaxa Oy, se poate scrie:

+

===

2

2

322

12

h

hy .

bhdzbzdAzI (3.25)

Dac se procedeaz n mod similar pentru calculul momentul de inerie axial nraport cu axa Oz (elementul de arie se ia paralel cu axa Oz, dA=hdy) se obine:

.hbdyhydAyI

b

bz

+

===

2

2

322

12(3.26)

Momentul de inerie polar, n raport cu punctul O, se calculeaz cu relaia:

121212

2233 )hb(AhbbhIII zyO+

=+=+= (3.27)

unde A=bh este aria seciunii dreptunghiulare.Din cauza simetriei, fa de axele Oy i Oz, momentul de inerie centrifugal

este nul : Iyz = 0. (3.28)Razele de inerie, se calculeaz cu relaiile:

63

63 b

AIi;h

AI

i zzy

y ==== (3.29)

Fig. 3.5

Iz, Iy

Iyz

IzIy

C

2

M(Iy, Iyz)

M(Iz, Iyz)

39

63 220

0

)hb(AIi

+== (3.30)

Modulele de rezisten n acest caz, se calculeaz cu relaiile:

.hbArIW

;hbyIW;bh

zI

W

max

OO

max

zZ

max

yy

6

6622

22

+==

====

(3.31)

! O seciune simpl circular pentru care elementul de arie se consider un inel deraz r i lime dr (fig. 3.7): drrdA = 2

(3.32)Momentul de inerie polar se scrie:

322

42

0

22 ddrrrdArI/d

O

=== (3.33)

Din cauza simetriei exist relaia: zyzyO IIIII 22 ==+= (3.34)

de unde rezult momentele de inerie axiale:

642

4dIII Ozy

=== (3.35)

Tot datorit simetriei, momentul de inerie centrifugal este nul: Iyz = 0. Razelede inerie pentru seciunea circular sunt:

44

64 24 d

dd

AI

ii yzy =

=== (3.36)

424

32 24

00

dd

dAIi =

== (3.37)

Modulele de rezisten pentru seciunea circular sunt:

Fig. 3.7z

Cd y

dr

rz

yz dz

y

dy

b

C

Fig. 3.6

h

40

;32

264

2

34 dd

ddI

WW yzy

==== (3.38)

.16

232

2

340 d

dd

dIWo

=== (3.39)

! o seciune simpl sub form de triunghioarecare raportat la un sistem de axe Oyz(axa Oy coincide cu baya triunghiului, ca nfig. 3.8). Baza triunghiului este b, nlimeah, iar elementul de arie dA este o fiengust cu baza variabil b i nlimea dz,paralel cu axa Oy i situat la distana zfa de axa Oy.Pe baza asemnrii triunghiurilor avndbazele b i b se poate scrie relaia:

;'h

zhbb = de unde rezult:

( ).' zhhbb = (3.40)

n acest caz suprafaa elementului de arie se scrie:

( ) ;' dzzhhbdzbdA == (3.41)

Aplicnd formula (3.4) se poate calcula momentul de inerie al seciuniitriunghiulare fa de axa Oy (care coincide cu baza triunghiului):

( ) .bhdzzhhbzdAzI

h

y 12

3

0

22=== (3.42)

Dac dorim s determinm caracteristicile geometrice n raport cu un sistem deaxe central, se aplic n mod corespunztor formulele lui Steiner (3.14) pentrutranslaia axelor de coordonate:

362312

3232 bhbhhbhAzII CyyC =

==

Raza de inerie este: ;hbh

bhA

Ii Cyy 6

2236

3

=== (3.43)

Modulul de rezisten este:24

3236

2

3

bhh

bh

zI

Wmax

yy === (3.44)

y

z

zdz

b

Fig. 3.8

h

C

b'

h/3

O

41

3.7. Caracteristici geometrice pentru seciuni plane compusePentru calculul caracteristicilor geometrice ale seciunilor plane compuse se

descompun acestea n suprafee simple (ale cror caracteristici se pot calcula uor),apoi se nsumeaz innd seama de formulele pentru translaiile sau rotaiile axelor decoordonate locale fa de sitemul de axe central. Dac seciunea plan compusprezint goluri, termenii corespunztori apar n formule cu semnul minus (sau sescad).

Pentru exemplificare, se consider o seciuneplan compus, n form de L, pentru care secere s se determine:! poziia centrului de greutate,! momentele de inerie i modulele de

rezisten fa de cele dou axe centrale CyCi CzC (fig.3.9).

! razele de inerie corespunztoare;! modulele de rezisten .

Pentru rezolvarea problemei, se descompune seciunea n dou dreptunghiuri,notate cu 1 i 2, avnd centrele de greutate notate n figur cu C1 i respectiv C2. nnotarea momentelor de inerie, indicele superior se refer la numrul dreptunghiuluiseciunii compuse, iar indicele inferior la axa n raport cu care se calculeaz acestea.Cu dyy au fost notate distanele dintre axe, iar cu A ariile dreptunghiurilorcorespunztoare.! Calculul momentului de inerie al seciunii fa de axa Oy :

Momentul de inerie al dreptunghiului 1, fa de axa central corespunztoareacestuia C1y1 este:

( ) .aaaI )(y 1264

124 431

1== (3.45)

Momentul de inerie al aceluiai dreptunghi, fa de axa Oy, se determin utilizndformula lui Steiner pentru translaia axelor:

( ) .aaaadAII yy)(y)(y 1225624

1264 42242

111

11=+=+= (3.46)

Pentru dreptunghiul 2 se procedeaz similar i se obine momentul de inerie fa de axa central corespunztoare acestuia C2y2:

;aaaI )(y 122

122 432

2=

= (3.47)

respectiv momentul de inerie fa de axa Oy:

z

y

Fig. 3.9

4a C

2aa

a

C1

C2

z1

y1

zC

yC

y2

z2

O

42

.aaaadAII yy)(

y)(

y 128

22

122 42242

222

22=

+=+= (3.48)

Momentul de inerie al ntregii seciuni fa de Oy se obine prin nsumareavalorilor obinute pentru momentele de inerie ale dreptunghiurilor :

4444

21 2212

264128

12256 aaaaIII )(y

)(yy ==+=+= . (3.49)

Raza de inerie a seciunii compuse n raport cu axa Oy este:

;311

622

2

4

aaa

AI

i yy === (3.50)

Modulul de rezisten fa de aceeai ax se calculeaz astfel:

.a,aa

zI

Wmax

yy

34

554

22=== (3.51)

! n mod similar se calculeaz momentul de inerie al seciunii fa de axa Oz :Momentul de inerie al dreptunghiului 1, fa de axa central C1z1 este:

( )124

124 431

1

aaaI )(z == (3.53)

Momentul de inerie al aceluiai dreptunghi fa de axa Oz, utiliznd formulalui Steiner pentru translaia axelor este:

( ) .aa,aadAII zz)(z)(z 1216504

124 42242

111

11=+=+= (3.54)

Se procedeaz similar pentru dreptunghiul 2 i se obine momentul su deinerie fa de axa central C2z2:

;a)a(aI )(z 128

122 432

2=

= (3.55)

respectiv momentul de inerie fa de axa Oz:

( )12

10422128 42242

222

22

aaaadAII zz)(

z)(

z =+=+= (3.56)

Momentul de inerie al ntregii seciuni fa de Oz se obine prin nsumareavalorilor obinute pentru cele dou dreptunghiuri:

4444

21 1012

12012

10412

16 aaaaIII )(z)(

zz ==+=+= . (3.57)

Raza de inerie a seciunii compuse n raport cu axa Oz este:

35

610

2

4

aaa

AIi zz === (3.58)

43

Modulul de rezisten fa de aceeai ax este:

34

33333

10 a,aa

yIWmax

zz === (3.59)

! Momentul de inerie centrifugal al seciunii fa de axele Oy i Oz.Momentul de inerie centrifugal al dreptunghiului 1, fa de axele centrale C1y1 iC1z1 este nul deoarece ambele sunt axe de simetrieMomentul de inerie centrifugal al aceluiai dreptunghi fa de axele Oy i Oz,utiliznd formula lui Steiner pentru translaia axelor (3.14) este:

( ) 42111 425040111 a)a(a,addAII yyzz)(yz)(yz =+=+= (3.60)Se procedeaz similar pentru dreptunghiul 2 i se obine momentul su de ineriecentrifugal fa de axele Oy i Oz:

( ) 42222 225020222 a)a(a,addAII yyzz)(yz)(yz =+=+= (3.61)Momentul de inerie centrifugal al ntregii seciuni se obine prin nsumareavalorilor obinute pentru cele dou dreptunghiuri:

421 6aIII )(yz)(

yzyz =+= . (3.62)

n rezolvarea unor probleme de Rezistena materialelor intervin nscaracteristicile geometrice fa de axele centrale i principale ale seciunii. Pentrudeterminarea lor n cazul unor seciuni compuse, se aplic relaiile lui Steiner pentrutranslaia axelor, dup ce n prealabil s-au determinat caracteristicile geometrice fade dou axe oarecare (Oy i Oz) i poziia centrului de greutate al seciunii. Dupdeterminarea acestor caracteristici se pot determina: momentele de inerie principale(maxim i minim n raport cu direciile principale), modulul de rezisten i razele deinerie corespunztoare.

Pentru figura compus considerat (fig. 3.9) vom calcula:! Poziia centrului de greutate al seciunii (fig. 3.9):

a,aa

a,aaaAA

dAdAd

aaa

aaa,aAA

dAdAd

yyyyyy

zzzzzz

C

C

5124

5022424

22504

22

22

21

21

22

22

21

21

21

21

=

+

+=

+

+=

=

+

+=

+

+=

(3.63)

! Momentele de inerie al ntregii seciuni fa de axele Cz i Cy utiliznd formulalui Steiner (3.14) pentru translaia axelor:

( )( ) 42242

42242

5851622

4610

a,a,aadAII

aaaadAII

CC

CC

yyyy

zzzz

===

===

(3.64)

! Razele de inerie ale seciunii compuse n raport cu axele Cz i Cy :

44

1217

658

32

64

2

4

2

4

aaa,

AI

i;aaa

AI

i CC

C

C

yy

zz ====== (3.65)

! Modulele de rezisten fa de aceleai axe:

34

34

4352582

24 a,

a,a,

zI

W;aaa

yI

Wmax

yy

max

zz

C

C

C

C====== (3.66)

! Momentul de inerie centrifugal al ntregii seciuni fa de axele Cz i Cy utilizndformula lui Steiner (3.14) pentru translaia axelor:

( )( ) 424 35166 aa,aaaddAIICCC yyzzyzyz

=== (3.67)

! Poziia axelor principale cu ajutorul relaiei (3.19):

02

01 565116565263331

22 ,si,,

II

Itg

CC

C

zy

yz===

= (3.68)

! Momentele de inerie principale fa de noile axe Czm i Cym rotite cu ungiul 1 sedetermin utiliznd formula (3.21):

( )44

4422

5210257

25124

21

2a,IIrespectivaII

a,a,IIIII

I

zmminymmax

yzzyzy

minmax, CCCCC

====

=++

=

(3.69)

! Razele de inerie ale seciunii compuse n raport cu axele Czm i Cym :

;aaa,

AIi;a

aa

AI

i zmzmym

ym 2410

652

35

610

2

4

2

4

====== (3.70)

! Modulul de rezisten fa de axa Cym (fig. 3.10):

.a,cosasinacosa,z;a,sinacosa,z

;a,)z;zmax(zunde

;a,a,

azI

W

E

A

EAmax

max

ymym

2362250683252

6832

7273683210

111

11

34

=++=

=+=

==

===

! Modulul de rezisten fa de axa Czm (fig. 3.10):

;a,cosasina,y;a,cosasina,y

;a,sina,y;a,)y;y;ymax(yunde

;a,a,

a,yIW

O

D

B

ODBmax

max

zmzm

5651515651250

1181525651

5971565152

11

11

1

34

=+=

=+=

==

==

===

Fig. 3.10

C

2aa

a

zC

yC

O

0,5a

A B

D

E

2,5a

zm

ym

ymax

zmax

1

1

45

CAPITOLUL IVNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

4.1. DefiniiiO bar dreapt este supus la ncovoiere dac ntr-o seciune oarecare

acioneaz eforturi ncovoietoare Miy , Miz. Dac forele care acioneaz sunt situatentr-un plan de simetrie ce conine axa barei, spunem c bara este supus lancovoiere plan simpl dac n seciunea ei apar i eforturi tietoare, respectivncovoiere pur, dac n seciunea ei apar numai eforturi ncovoietoare (eforturitietoare sunt nule).

Dac planul de aciune al forelor exterioare este diferit de planele de simetrieale barei, sau dac bara nu are nici un plan de simetrie, spunem c avem ncovoiereoblic. Dac forele care acioneaz asupra barei nu sunt situate ntr-un singur plan,dar intersecteaz axa longitudinal a barei spunem c bara este supus la ncovoierestrmb. Dac forele care acioneaz asupra barei nu intersecteaz axa longitudinala barei, spunem c bara este supus la ncovoiere cu rsucire.

4.2. Tensiunea la ncovoiere pur. Formula lui NavierSe consider o bar dreapt supus la ncovoiere pur i un element din

aceast bar de lungime dx aflat la distana x de captul ei (fig. 4.1).Se fac urmtoarele notaii:MN o fibr situat la distana z fa deaxa neutr CC;d rotirea relativ a celor 2 supra-feeale seciunii elemntului dx; raza de curbur a fibrei mediideformate: = ddx , ntruct fibra dx nui modific lungimea.Se folosete ipoteza lui Bernoulli pentrusuprafeele seciunii :

=

+

=

=

=

zdx

dxdx)z(MN

MN'N'MMN

)MN( (4.1)

Fibra medie deformat poate fi considerat o curb rectificabil z=f(x) (funciederivabil de dou ori) pentru care se poate scrie raza de curbur cu ajutorul relaieicunoscute din geometria diferenial:

Fig 4.1

Miy Miy+dMi

z

dx

M N

C C

M M

x

d

46

211

zz

+

=

(4.2)

Folosind ipoteza deformaiilor mici se poate neglija 2z n raport cu 1 i relaia(4.2) se mai scrie:

2

21dx

zdz ==

(4.3)

Folosind legea lui Hooke (care exprim relaia liniar ntre tensiunile ideformaia specific a fibrei MN determinat cu relaia 4.1) tensiunea normal lancovoierea pur se scrie:

zEzEE =

== (4.4)

unde dxd

=

=1 este rotirea specific a seciunii barei supus la ncovoiere.

Conform celor stabilite la capitolul I eforturile secionale sunt rezultatulreduceri forelor interioare elementare n centrul de greutate al seciunii. n cazulbarei drepte supus a ncovoiere pur, n seciune apar numai tensiuni normale careproduc fore elementare normale la seciune dF= dA. Putem deci scrie relaiile deechivalen:

===A

iyA

dAzM;dAN 00 (4.5)

Din prima relaie (4.5) rezult: 000 === yyA

SSEzdAE , adic

axa Oy trece prin centrul de greutate al seciunii C. Din a doua relaie (4.5) rezult:

iyyiyA

MIEsauMdAzE == 2 y

iy

EIM

= (4.6)

Temenul de la numitor EIy se numete rigiditatea la ncovoiere a barei supusla ncovoiere.nlocuind relaia (4.6) n (4.4) se obine formula lui Navier:

zI

MzE

y

iy== (4.7)

Aceast formul arat c tensiunea lancovoierea pur ntr-un punct al seciunii estedirect proporional cu momentul ncovoietordin seciune i cu distana z pn la axaneutr. Este evident faptul c pentru punctelesituate pe axa Cy tensiunile sunt nule (=0)de aceea axa Cy se mai numete ax neutr.Tensiunea maxim (n valoare absolut) seobine pentru punctele situate la distana ceamai mare de axa neutr:

C y

zmax

min

Fig 4.2

zmax zC

47

y

iy

max

y

iymax

y

iymax W

M

zI

Mz

IM

=== (4.8)

unde Wy este modul de rezisten la ncovoiere n raport cu axa Oy (fig.4.2).Semnul lui max depinde de semnele mrimilor Miz i zmax.

4.3. Calcule de rezisten al barelor supuse la ncovoierea. Calcule de verificareSe consider o bar dreapt ncrcat cu un sistem de fore, pentru care se

cunosc: valoarea forelor i modul de amplasare, legturile i dimensiunile barei,forma i dimensiunile seciunii i materialul din care este executat. Pentruverificarea la ncovoiere a barei se parcurg urmtoarele etape:1. se determin reaciunile i se traseaz diagrama eforturilor ncovoietoare;2. se determin seciunile periculoase ale barei i valoarea momentului ncovoietor

maxim (n modul) ;3. se determin modulul de rezisten al seciunii (seciunilor) barei;4. se calculeaz tensiunea max pentru seciunea periculoas i se compar cu

tensiunea admisibil a materialului: trebuie ndeplinit condiia: amax

Rezistena admisibil se determin n funcie de tensiunea de curgere c(pentru materiale ductile) respectiv n funcie de rezistena de rupere r (pentrumateriale fragile) i coeficientul de siguran corespunztor:

c

ca c

= , respectiv:

r

ra c

= (4.9)

b) Calcule de dimensionareSe consider o bar dreapt ncrcat cu un sistem de fore, pentru care se

cunosc: valoarea forelor i modul de amplasare, legturile i dimensiunile barei,forma seciunii i materialul din care este executat bara. Pentru dimensionarea bareisupus la ncovoiere se parcurg urmtoarele etape:1. se determin reaciunile i se traseaz diagrama eforturilor ncovoietoare;2. se determin seciunile periculoase ale barei i valoarea momentului ncovoietor

maxim (n modul);3. se determin modulul de rezisten al barei Wy n funcie de parametrul s al

seciunii: 3sWiy = ; (4.10)4. se calculeaz parametrul s al seciunii din condiia:

33

a

maxiy

a

maxiy

a

maxiyynec

Ms

Ms

MW

=== (4.11)

48

c) Calculul sarinii capabileSe consider o bar dreapt ncrcat cu un sistem de fore, pentru care se

cunosc urmtoarele elemente: direcia forelor i modul de amplasare, legturile idimensiunile barei, forma i dimensiunile seciunii barei i materialul din care esteexecutat bara. Pentru calculul sarcinii capabile se parcurg etapele:1. Se determin reaciunile i se traseaz diagrama eforturilor ncovoietoare.2. Se determin seciunile periculoase ale barei i valoarea momentului ncovoietor

maxim (n modul) n funcie de sarcina parametric P.3. Se determin modulul de rezisten al seciunii barei Wy ;5. Se calculeaz sarcina capabil Pcap din condiia:

aycapmaxiy WPM == (4.12)

4.4. Tensiuni tangeniale la ncovoierea simpl.Formula lui Juravski.

Se consider o bar dreapt supus la ncovoiere simpl (ntr-o seciune a eiexist att eforturi Miy ct i Tz) i un element din aceast bar de lungime dx aflat ladistana x de captul barei fig. 4.3.

Fie AB o linie paralel cu axaneutr Cy situat la distana z fa deaceasta, de lungime b;

Pe suprafaa elementar dA aflatn vecintatea liniei AB acioneaz atttensiunile normale datorate efortuluincovoietor Miy (care se calculeaz cuajutorul formulei lui Navier) ct itensiuni tangeniale datorate eforturilortietoare Tz.

Teorema dualitii tensiunilortangeniale stabilete c tensiuniletangeniale situale n dou planeperpendiculare i care suntperpendiculare pe muchia comun (liniade intersecie a celor dou plane) suntegale i opuse: xz=zx (4.13)

Deci tensiunile tangeniale (zx) care acioneaz asupra elementului de arie dAsituat pe faa seciunii transversale ABED sunt egale cu tensiunile tangeniale (xz)care acioneaz asupra elementului da arie dA situat n seciunea longitudinalABBA (fig. 4.3).

Fig 4.3

y

z

CMiyTz

A B

BA

b

dx

D E

D E

dA

zx

xz

C Miy+d Miy

Tz+d Tz

49

Eforturile secionale se obin prin reducerea forelor interioare elementare ncentrul de greutate al seciunii. n cazul de fa asupra elementului de arie dinseciunea transversal acioneaz:! fora elementar normal: dFn= dA! fora elementar tangenial: dFt= zx dA .

Pentru eforturile din seciunea barei sunt valabile relaiile de echivalen: ====A

iyA

zxzA

dAzM;dAT;dAN 000 (4.14)

Vom scrie n continuare ecuaia de echilibru pentru forele care acioneazasupra elementului de bar situat sub planul longitudinal ABBA:

( )

==+

=

+

+

=++

'D'E'B'Ay

iyxz

'D'E'B'A y

iyxz

'D'E'B'A y

iyiyxz

ABED y

iy

'D'E'B'Axz

ABED

dAzI

dMbdxdAz

IdM

bdx

dAzI

dMMbdxdAz

IM

dAdbdxdA

0

0

0

(4.15)

innd seama de relaia pentru momentul static al seciunii aflat sub linia ABfa de axa neutr Cy: =

'D'E'B'Ay dAz*S i de relaia diferenial dintre eforturile Tz i

Miy: dxdM

T iyz = din ultima relaie rezult formula lui Juravski:

y

yzxzzx

y

yiyxz bI

*ST

bI*S

dxdM

=== (4.16)

Este evident faptul c eforturile tangeniale zx pe linia DE sunt nule (deoarecemomentul static al seciunii aflat sub linia DE fa de axa Cy este nul) ceea ce aratc tensiunile tangeniale din vecintatea conturului sunt nule. De fapt tensiuniletangeniale n vecintatea conturului sunt paralele cu acesta. Tensiunea tangenialmaxim se obine pentru valorile S*max i bmin.

Exemplul 1 Se consider o bar dreapt avndseciunea dreptunghiular bh (fig.4.4).Tensiunile tangeniale zx pe linia AB sedetermin formula lui Juravski :

y

yzzx bI

*ST=

n care momentul static al poriunii dinseciunea barei situat sub linia AB (vezifig. 4.4) se calculeaz astfel :

y

z

z

Sy*= A* zCb

C

Fig. 4.4

h

C

zC

A*

max

(z)A B

50

Sy*= A* zC=

=

+

22

42221

2zhbzhzhb (4.17)

Deci obinem:

=

==2

32

2

412312

42 hz

bhT

bhzhT

bI*S

T zzy

yzzx (4.18)

Tensiunile tangeniale zx se reprezint n fig. 4.4. ca o funcie de gradul al IIlea (o parabol), avnd un maxim pentru z=0:

bhT, zmaxzx 51= (4.19)

Deci tensiunile tangeniale maxime zxmax apar n punctele axei neutre i sunt1,5 ori mai mari dect tensiunea tangenial medie calculat cu formula de laforfecarea pieselor subiri.

Exemplul 2 Se consider o bar dreapt avndseciunea circular (fig.4.5) de diametrud. Tensiunile tangeniale zx pe linia ABse determin formula lui Juravski :

y

yzzx bI

*ST=

unde momentul static al poriunii dinseciunea barei situat sub linia AB secalculeaz astfel (vezi fig. 4.5):

Sy*= A* zC (4.20)

( )= cossind*A4

2

(4.21)

( ) )cossin()cos(sind

cossind

cosdcossindsindd

z 'C

=

=

31

4

3434 22

22

Deci obinem: = 33

12sind*S y ; de asemenea = sindb .

Introducnd n formula lui Juravski se obine:

=

== 224

33

316641

12sin

dT

dsindsindT

bI*S

T zzy

yzzx (4.22)

C

A*

max

(z)

F