ECUAII DE FORMA ax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xR

ECUAII DE FORMA ax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xR

Definiie. O ecuaie de forma ax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xR se numete ecuaie de gradul al doilea cu o necunoscut.a coeficientul lui x2b coeficientul lui xc termen liber

ex: 1) 2x2-5x+0,7=0 a=2; b= - 5; c=0,7 2) a=.............. b=.............. c=............. 3) x2 +2x=0 a=............. b=.............. c=............. 4) x2 -3=0a=.............. b=.............. c=...........

Definiie. Se numete soluie (rdcin) a ecuaiei ax2+bx+c=0, un numr real s care nlocuit n ecuaie, n locul lui x, d o propozitie adevrat: as2+ bs + c = 0 A rezolva o ecuaie nseamn a-i determina mulimea soluiilor. ex: 1). 2x2-5x+3=0 are ca soluii x=1 i . De ce?

2). are ca soluii x=3 i x= - 3.

Definiie. Dou ecuaii de forma ax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xR se numesc echivalente dac au aceeai mulime de soluii.

ex: 1). 2x2-5x+3=0 i 4x2-10x+6=0 au aceeai mulime de soluii S={1; }

REZOLVAREA ECUAIEI DE FORMA ax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xRA. CAZURI PARTICULARE

Forma general a ecuaiei de gradul al doilea cu o necunoscut este ax2+bx+c=0.

1. Cazul cnd c = 0ax2 + bx = 0 x(ax+b) = 0

ex.1): x2 + 2x = 0 x(x+2) = 0 ex.2): -x2 + 3x = 0..

2. Cazul cnd b = 0ax2 + c = 0 ax2 =- c x2 = Dac < 0 => S = Dac = 0 => S = {0} Dac > 0 => S =

Ex.1): x2 + 9 = 0 ; membrul stng este numr strict pozitiv, niciodat nu poate fi egal cu zero. Deci ecuaia nu are soluii (rdcini).Ex.2): 5x2-30 = 0 x2 6 = 0 ........................................Ex.3): 8x2 + 3 = 0.................................................................Ex.4): x2 1 = 0....................................................................

B.CAZUL GENERALax2+bx+c=0, a,b,cR, a0, xR

Notm , numit discriminantul ecuaiei ax2+bx+c=0.

Discuie1 dac > 0 atunci ecuaia ax2+bx+c=0 are dou soluii reale, distincte x1 si x2 care se calculeaz cu formula:

2dac = 0 atunci ecuaia ax2+bx+c=0 are dou soluii reale confundate (o solutie dubl): x1 = x2 care se calculeaz cu formula: 3dac < 0 atunci ecuaia ax2+bx+c=0 nu are nici o soluie real.

Exemplul 1

ecuaia are dou soluii reale diferite

a=1 b=-5 c=6

>0

.

S={3; 2}

Exemplul 2

S={4; 4}ecuaia are dou soluii reale confundate a=1 b= -8 c=16Exemplul 3

a=1 b= -8 c=16

ecuaia nu are soluii reale S=;

TESTR1R2Ex.1 Verificai dac numrul real =1 este soluie a ecuaiei:

Forme particulareEx.2 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:4x2-2x=0

Ex.3 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:x2-25=0

Forma general. Formula de rezolvareEx.4 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: x2-7x+12=0

Ex.1 Verificai dac numrul real =2 este soluie a ecuaiei:

Forme particulareEx.2 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:5x2-x=0

Ex.3 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:x2+1=0

Forma general. Formula de rezolvareEx.4 Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: x2-6x+8=0

x2+2x+1=0,

x2+4x+4=0CORECTAREA TESTULUIR1R2Ex.1 x2+2x+1=0, =1 Pentru =1 avem 12+2 1+1=0 4=0 (F)Deci, 1 nu este solutie. Ex.2 4x2-2x=0 x(4x-2)=0

Ex.3 x2-25=0 x2=25>0 S = Ex.4 x2-7x+12=0a=1 b= -7 c=12

Ex.1 Pentru =2 avem 22+4 2+4=0 16=0 (F)Deci, 2 nu este solutie.Ex.2 5x2-x=0 x(5x-1)=0 Ex.3 x2+1=0 x2=-1