Ecuatii de gradul al II-lea. Relatiile lui Viete. In mod traditional, acest capitol facea parte din programa clasei a VIII-a.Incepandcuanulscolar1993-1994,afosttrecutlaclasaaIX-a. Actualizarea corespunzatoare a manualelor s-a produs abia in 1999.Continutul acestui capitol este urmatorul: Formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al doilea. Rezolvarea unor cazuri particulare; Discutia naturii si semnelor radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea cu coeficienti reali; RelatiileluiVietesicatevaaplicatii:descompunereatrinomului de gradul al II-lea in factori etc. Nu prezentam aici formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al II-lea si nicirelatiileluiViete.Vomanalizainsacatevaexercitiidemaimultetipuri. Deocamdata, vom discuta numai despre rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea in multimea numerelor reale. Ex.1.Fienumerelereale 1 2 1 2, , , p p q q astfelincat( )1 2 1 22 p p q q + .Sa se arate ca cel putin una dintre ecuatiile: 21 122 200x p x qx px q+ + + + are radacinile reale. Solutie. Sa presupunem prin absurd ca ambele ecuatii nu au radacini reale. Inseamna ca discriminantii ambelor ecuatii sunt negativi: 21 1 122 2 24 04 0p qp q < < Rezulta 2 21 21 2,4 4p pq q > > . Utilizand relatia specificata in ipoteza si cele doua inegalitati, deducem ca: ( ) ( )2 2 2 221 2 1 21 2 1 2 1 22 02 2p p p pq q p p p p+ ++ > > < ,absurd.Rezulta ca, cel putin una din ecuatii are radacini reale. Ex. 2. Sa se rezolve in R ecuatiile: a) 2248 4103 3x xx x| `+ . , b) ( )( )2 23 2 9 20 72 x x x x + + + Solutie. a) Se observa ca, notand: 2 22 22 24 16 4 482 3 83 9 3 3x x x xt t tx x x x + + Ecuatiadevinedeci 2 23 8 10 3 10 8 0 t t t t + + .Aceastaare radacinile 1 242,3t t . Trebuie acum sa rezolvam ecuatiile: 21,242 6 12 0 3 213xx x xx t 23 44 44 12 0 2, 63 3xx x x xx . Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci: { 3 21; 2;6 t b)InmultindceledouatrinoamedegradulalII-lea,obtinemoecuatiede gradulalIV-learelativgreuderezolvat.Ideeaestesadescompunem trinoameleinfactori,grupanddiferitfactoriiliniarirezultati.Ingeneral,daca avem o ecuatie de gradul al IV-lea de forma: ( )( ) ( )( ) ( ) x a x b x c x d p + + + + undea b c d s + + , aceasta se reduce la rezolvarea a trei ecuatii de gradul al II-lea.Intr-adevar, ecuatia( ) se scrie: ( )( )2 2x sx ab x sx cd p + + + + Se noteaza 2y x sx +si obtinem rezolventa de gradul al II-lea: ( ) ( ) y ab y cd p + + cusolutiile 1 2, y y .Ramaneapoisarezolvam ecuatiile 20, 1, 2kx sx y k + . Sarevenimlaecuatianoastra.Observamca( )( )23 2 1 2 x x x x + + + +si ca( )( )29 20 4 5 x x x x + . Avem deci: ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 21 2 4 5 72 2 5 1 4 723 10 3 4 72x x x x x x x xx x x x+ + + + Se noteaza 23 y x x si se obtine rezolventa: ( )( )21 210 4 72 14 32 0 2, 16 y y y y y y . Raman de rezolvat ecuatiile de gradul al II-lea: 21 23 2 0 1, 2 x x x x + 23,43 733 16 02x x xt Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci: 3 731; 2;2 t ' ' Ex. 3. Daca, , a b c sunt numere intregi impare, sa sa arate ca: { 20 x ax bx c + + QUtilizand eventual acest rezultat, sa se determine numarul intreg prim p stiind ca ecuatia 23 0 x x p + admite radacini intregi. Solutie. Presupunem ca ecuatia 20 ax bx c + + ar admite o radacina rationala, decideforma( )0, , , 0, , 1mx mn n mnn Z (conditiaca sim n safieprime intre ele exprima de fapt ideea ca fractia mn sa fie simplificata pana la forma ireductibila). Inlocuind 0x in ecuatie si eliminand numitorii, gasim: ( )2 20 am bmn cn + + Avem urmatoarele posibilitati: a) par,impar m n .Inacestcaz,numerele 2 siam bmn sunt pare, iar 2cneste impar. Suma celor trei este un numar impar, deci nu poate fi zero. b) impar,par m n . Caz similar cu cel precedent. c), mn ambeleimpare.Inacestcaz,toatenumerele 2 2, , am bmn cn sunt impare. Suma lor este un numar impar, deci nu poate fi zero. Cu aceasta, am epuizat toate posibilitatile (sim n nu pot fi ambele pare, deoarecearrezulta( ) , 1 mn ).Rezultacaecuatiadatanuadmiteradacini rationale. Observatie.Rezultatulramanevalabilpentruoriceecuatiealgebricade grad par cu coeficientii numere intregi impare. Sa trecem sa rezolvam si partea a doua (propusa la admitere in Facultatea de Matematica prin 1982). Pentru ca ecuatia sa poata avea radacini intregi, cel putinuncoeficienttrebuiesafieparsiacestaestep .Pedealtaparte, numarulp esteprim,decinupoatefipardecatdaca2 p t .Incercandpe rand ambele valori, obtinem2 p . Ex. 4. Fie, , a b cR . Sa sa arate ca radacinile ecuatiei: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 x a x b x b x c x c x a + + sunt reale. Sa se deduca de aici inegalitatea: ( ) ( )22 2 23 , , , a b c a b c a b c + + + + R . Solutie.Putempresupune(faraarestrangegeneralitatea)caa b c . Notam cu( ) f x membrul stang al ecuatiei date. Se observa ca: ( ) ( )( ) 0 f a a b a c ( ) ( )( ) 0 f b b c b a ( ) ( ) ( ) 0 f c c a c b Functiaf fiindcontinuapeR,rezultacaseanuleazaodatape intervalul[ ] ; a b siincaodatapeintervalul[ ] ; b c ,ceeacedemonstreazaca radacinile ecuatiei date sunt reale.Desfacem ecuatia sub forma: ( ) ( )23 2 0 x a b c x ab bc ca + + + + + si scriem conditia: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 222 2 20 3 02 3 022 2 2 2 2 23 3 3 2 2 23a b c ab bc caa b c ab bc ca ab bc caa b c ab bc caa b c ab bc caa b c a b c ab bc caa b c a b c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ex. 5. Fie ecuatia 20 x px q + cu radacinile 1 2, x x . Sa se exprime in functie dep siq : a) 2 2 3 3 4 41 2 1 2 1 2; ; x x x x x x + + +b) 2 21 2 1 21 1 1 1;x x x x+ +c) 1 2x x +(in ipoteza ca 1 20, 0 x x ). Solutie. Conform relatiilor lui Viete, avem 1 21 2x x px x q+ ' a)Folosim relatiile: ( ) ( )2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 x x x x x x x x x x x x p q + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x p pq + + + + + + + ( ) ( )( )2 22 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 2 4 2 22 22 2 4 2x x x x xx x x x x xxp q q p pq q+ + + + + + b)Avem: ( )1 21 2 1 21 10x x pqx x x x q++ 2 2 21 22 2 2 2 21 2 1 21 1 2 x x p qx x xx q+ + c) ( )21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 x x x x x x p q x x p q + + + + + + Ex. 6. Fie 1 2, x x radacinile ecuatiei 23 4 0 x x + . Sa se calculeze: 2 21 1 2 22 21 1 2 24 5 4 56 10 6 10x x x xEx x x x + + + + + Solutie.Seobservacaradacinileecuatieidatenusuntreale.Determinarea lor(canumerecomplexe)urmatadeintroducereainexpresiearconducela calcule greu de finalizat. Ideea de rezolvare este: a)satinemcontca 1 2, x x suntradacinileecuatieidate,adica 23 4 0, 1, 2k kx x k + . Rezulta: 2 22 24 5 3 4 1 16 10 3 4 3 6 6 3k k k k k kk k k k k kx x x x x xx x x x x x + + + + + + b)Expresia devine ( ) ( )1 2 1 21 2 1 21 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2x x x xEx x x x| ` + + . , Inparanteza,seefectueazaaducerealaacelasinumitorsise finalizeaza calculele, tinand cont ca 1 21 234x xx x+ ' (relatiile Viete). Rezulta: ( )( )1 2 1 21 2 1 24 3 2 1 1 3 13 4 2 3 2 2x x x xEx x x x + + + + Ex. 7. Se da ecuatia( )22 2 10 0, mx m x m m Ra)Pentrucevalorirealealeluim,ecuatiaareradacinidesemn contrar ? b)Sasedetermineorelatieindependentademintreradacinile ecuatiei.Cuajutorulacesteia,sasedeterminevalorileradacinilor egale. Solutie. a) Se pun conditiile: 1 200 P x x ' < Rezulta sistemul: ( ) ( )( ] [ )( ) ( )( ) ( )222 6 4 0 2 10 0101000; 2 1;; 10 0;; 10 0;m m m mmmmmmmmm + + + + ' ' ++> < ' b) Conform relatiilor lui Viete, avem: 1 21 22 410mS x xmmP x xm + '+ Intre aceste doua relatii, trebuie eliminatm. Pentru aceasta, scriem: 4 4 202 2 5 10 510 10 201 1 2 2 210 5 2 2 2 5 12 0S S Sm m mP P Pm m mS P P S ' ' ' + Aceastaesterelatiacautata.Pentrudeterminarearadaciniloregale, inlocuim 11 2212 S xx xP x ' in relatie. Rezulta: 1 2 2 21 1 1 11 22SAU2 10 12 0 5 6 03x xx x x xx x + + ' Intrucatexercitiulnuceresivalorileluimpentrucareecuatiaare radacini egale, nu ne obosim sa le determinam. Observatie.Multeexercitiicerdiscutianaturiisisemnelorradacinilor ecuatiilordegradulaldoilea(bineinteles,faraarezolvaecuatiile).Nuvom includeinacestmaterialexercitiideacesttip,darprezentamtabelulcarele faciliteaza rezolvarea. 1 2S x x +1 2P x x Discutie +++ 1 2 1 20, 0, x x x x > > ++0 1 20, 0 x x >++- 1 2 2 10, 0, x x x x < > >+0+ Imposibil (22 1 10 0 S x x P x ) +00Imposibil (daca 1 20 0 x x ) +0- 1 2 2 10, 0, x x x x < > +-+ 1 2 1 20, 0, x x x x < < +-0 1 20, 0 x x 000 1 20 x x 0-+ 1 20 x x