ecuația functionala cauchy

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro


ECUATIA FUNCTIONALA CAUCHY

Rezumat. In aceasta lectie vom face o prezentare generala a ecuatiefunctionale Cauchy.

Lectia se adreseaza elevilor clasei a X-a.Autor: Monea Mihai, Profesor, Colegiul National Decebal Deva.Data: 25.11.2013.

Ecuatiile functionale ocupa un rol foarte important ın matematica.Diferite ıncercari de a rezolva astfel de ecuatii au condus chiar ladezvoltarea unor ramuri ale matematicii. Pentru studiul introductivputem recomanda doua lucrari excelente mentionate ın bibliografie, re-spectiv [1] si [4] . In aceasta lectie vom face o prezentare generala unuirezultat celebru, numit ecuatia functionala Cauchy.

Definitia 1. Ecuatia{f : R→ R,

f (x+ y) = f (x) + f (y) ,∀x, y ∈ R (EC)

se numeste ecuatia functionala Cauchy.

Scopul nostru este sa rezolvam aceata ecuatie. Apeland doar lacunostinte specifice clasei a X-a vom putea prezenta doar doua cazuricomplete. Pentru ınceput lasam tema cititorului sa demonstreze rezul-tatele cuprinse ın teorema urmatoare:

Teorema 2. Orice functie f : R→ R care verifica (EC) are urmatoareleproprietati:

a) f (0) = 0;b) f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ R;c) f (x− y) = f (x)− f (y) ,∀x, y ∈ R;d) f (x1 + x2 + ...+ xn) = f (x1)+f (x2)+...+f (xn) ,∀n ∈ N, n ≥ 2,

∀x1, ..., xn ∈ R;e) f (nx) = nf (x) ,∀n ∈ N, n ≥ 2,∀x ∈ R.

Concluzia obtinuta la punctul e) al Teoremei 2 poate fi extinsa dupacum urmeaza:

1



2 ECUATIA FUNCTIONALA CAUCHY

Teorema 3. Daca o functie f : R→ R verifica (EC) atunci

f (rx) = rf (x) ,∀x ∈ R, r ∈ Q.

Demonstratie. Daca ın punctul e) al teoremei precedente facem trans-formarea x→ x

nobtinem

f(xn

)=f (x)

n.

Presupunem pentru ınceput r ≥ 0. Atunci exista p ∈ N, q ∈ N∗ astfelıncat r = p

q. Atunci

f (rx) = f

(p

qx

)= pf

(x

q

)=p

qf (x) = rf (x) .

Daca r < 0 atunci

f (rx) = f (− (−rx)) = −f (−rx) = − (−f (rx)) = f (rx)

si se obtine astfel concluzia.�

Acestea sunt toate rezultatele care se pot obtine pana ın acest mo-ment. Daca notam a = f (1), atunci deducem ca

f (x) = ax, ∀x ∈ Q.

Se prefigureaza astfel concluzia ca aceasta ecuatie admite ca solutiifunctiile

f : R→ R, f (x) = ax.

Este evident ca aceste functii sunt solutii dar nu avem certitudineaca sunt singurele. Pentru a obtine concluzii mai clare este nevoie saımbunatatim ipotezele. Astfel obtinem urmatoarele doua rezultate fun-damentale legate de ecuatia functionala Cauchy, pe care le prezentamınsotite de demonstratii..

Teorema 4. Singurele solutii monotone ale ecuatiei Cauchy suntfunctiile

f : R→ R, f (x) = ax.

Demonstratie. Putem presupune ca functiile cautate sunt crescatoare,cazul celalalt tratandu-se analog. Pornind de la concluzia f (x) =ax, ∀x ∈ Q, deducem a ≥ 0. Presupunem prin reduceree la absurdca exista y ∈ R pentru care

f (y) 6= ax.



ECUATIA FUNCTIONALA CAUCHY 3

Atunci f (y) < ay sau f (y) > ay. Daca f (y) < ay atunci

f (y)

a< y,

deci exista r ∈ Q astfel ca

f (y)

a< r < y,

(vezi [5]). Atuncif (y) < ar < ay.

Dar inegalitatea r < y conduce la concluzia

f (r) ≤ f (y) ,

adicaar ≤ f (y)

ceea ce ne conduce la contaradictie. Asadar presupunerea este falsa,deci

f (x) = ax,∀x ∈ R.�

Pentru urmatorul caz avem nevoie de cateva rezultate preliminare.Ca aplicatii ale axiomei lui Arhimede se pot demonstra urmatoarele:

- Fie ε > 0 si x, y ∈ R astfel ıncat |x− y| < εn, pentru orice n ∈ N∗.

Atunci x = y.- Fie ε > 0 si x, y, z ∈ R cu x < y < z. Atunci exista n ∈ N∗ astfel

ıncat x < y − εn< y < y + ε

n< z.

- Fie ε > 0 si x ∈ R. Atunci pentru orice n ∈ N∗ exista q ∈ Q astfelıncat |q − r| < ε

n.

Lasam cititorului placerea de a descoperi singur demonstratiile. Noivom completa cu urmatoarea lema.

Lema. Daca f este o functie care verifica (EC) si este marginita peun interval marginit si ınchis, atunci exista ε > 0 astfel ıncat f estemarginita pe intervalul [−ε, ε] .Demonstratie. Fie intervalul [a, b] pe care admitem ca functia f estemarginita. Atunci exista M > 0 astfel ca

|f (x)| ≤M, ∀x ∈ [a, b] .

Obtinem

x− a+ b

2∈[−b− a

2,b− a

2

]




si

f

(x− a+ b

2

)= f (x)− f

(a+ b

2

),

ceea ce conduce la ∣∣∣∣f (x− a+ b

2

)∣∣∣∣ ≤ 2M,

adica f este marginita pe intervalul [−ε, ε], unde ε = a+b2

. �

Cu ajutorul rezultatelor descrise anterior putem enunta si demonstrateorema care urmeaza.

Teorema 5. Singurele solutii ale ecuatiei Cauchy, marginite pe uninterval marginit si ınchis sunt functiile

f : R→ R, f (x) = ax.

Demonstratie. Conform lemei putem presupune acum ca exista nu-merele δ, M > 0 astfel ıncat f (x) ∈ [−M, M ] ,∀x ∈ [−δ, δ] . Putempresupune δ ∈ Q pentru ca, ın caz contrar gasim δ1 ∈ Q cu 0 < δ1 < δ.

Fie r ∈ [−δ, δ] ∩ (R−Q). Atunci exista m ∈ N∗ astfel ca oricare arfi n ∈ N, n > m sa existe q ∈ Q astfel ıncat

−δ < r − δ

n< q < r +

δ

n< δ.

Obtinem

n |q − r| < δ,

deci f (n |q − δ|) ∈ [−M,M ] . Atunci

f (|q − r)| ∈[−Mn,M

n

],

pentru orice n ∈ N, n > m.Dar |q − r| ∈ {q − r, r − q} atunci f (|q − r|) ∈{f (q)− f (r) , f (r)− f (q)} , deci

|f (q)− f (r)| < M

n,

pentru orice n ∈ N, n > m.Atunci

|f (r)− ar| = |f (r)− f (r) + aq − ar|

≤ |f (q)− f (r)|+ |a| |q − r| ≤ M

n+|a| δn

=M + |a| δ

n,

pentru orice n ∈ N, n > m. Deducem astfel ca f (r) = ar ceea ce ıncheiedemonstratia. �



ECUATIA FUNCTIONALA CAUCHY 5

Pornind de la rezultatete obtinute anterior putem analiza si alteecuatii .

Ecuatia 6. {f : R→ R,

f (x+ y) = f (x) f (y) ,∀x, y ∈ R

Sa observam ca daca exista y ∈ R pentru care f (y) = 0, atunci

f (x) = f (x− y + y) = f (x− y) f (y) = 0,

pentru orice x ∈ R. Deci functia f = 0 este solutie. Mai departe putempresupune f (x) 6= 0,∀x ∈ R. Atunci

f (x) = f(x

2+x

2

)=

(f(x

2

))2

> 0, ∀x ∈ R.

Prin urmare putem logaritma relatia

f (x+ y) = f (x) f (y)

si obtinem

lg f (x+ y) = lg f (x) + lg f (y) ,

ceea ce conduce la concluzia ca functia

g : R→ R, g (x) = lg f (x)

verifica (EC). Stiind ca functia logaritm este monotona si marginitape orice interval ınchis, putem aplica rezultatele Teoremelor 5 si 6. Dinegalitatea

lg f (x) = g (x)

obtinem

f (x) = 10g(x)

si putem enunta doua concluzii:- singurele solutii nenule si monotone ale ecuatie 6 sunt reprezentete

de functiile

f : R→ R, f (x) = ax,

unde a > 0.- singurele solutii nenule marginite pe un interval ınchis ale ecuatiei

6 sunt reprezentate de functiile

f : R→ R, f (x) = ax,

unde a > 0.




Ecuatia 7. {f : (0,∞)→ R,

f (xy) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R

Daca x, y > 0 atunci exista a, b ∈ R astfel ca x = 10a si y = 10b. Inaceste conditii consideram functia

g : R→ R, g (x) = f (10x) ,

care verifica (EC). Folosind proprietatile functiei exponentiale si relatia

f (x) = g (lg x)

obtinem concluziile:- singurele solutii monotone ale ecuatiei 7 sunt reprezentate de

functiilef : (0,∞)→ R, f (x) = a lg x,

unde a ∈ R.- singurele solutii marginite pe orice interval ınchis ale ecuatiei 7

sunt reprezentate de functiile

f : (0,∞)→ R, f (x) = a lg x,

unde a ∈ R.

Lasam cititorului curiozitatea de a aprofunda acest subiect si de aanaliza si alte ecuatii functionale cunoscute, ca de exemplu, ecuatia luiJensen

Bibliografie

[1] J. ACZEL, Functional Equations and Their Applications, Academic Press, NewYork, 1966.

[2] V. POP, Ecuatii functionale, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.[3] V. RADU, Lectii de matematici elementare II, Ed. Augusta, Timisoara, 2000.[4] C. SMALL, Functional Equations and How to Solve Them, Springer, Boston,

2007.[5] D. SCHWARTZ, Multimea R a numerelor reale, http://www.viitoriolimpici.ro.

ecuația functionala cauchy

Documents