echilibrul punctului material
TRANSCRIPT
Echilibrul punctului material
5.1. Notiuni introductive
Vom defini în cele ce urmeaza câteva din notiunile folosite în acest capitol.
Punctul material liber este punctual material care poate ocupa orice pozitie în spatiu.
Punctul material supus la legaturi (legat) este punctul caruia i se impune o restrictie geometrica (de exemplu obligatia de a ramâne pe o suprafata sau pe o curba).
Numarul gradelor de libertate reprezinta numarul de parametrii scalari independenti necesari pentru a determina la un moment dat pozitia punctului material (sau a rigidului).
Pozitia unui punct material în spatiu este determinata cu ajutorul a trei parametri scalari independenti, ca de exemplu coordonatele carteziene x, y, z. Deci, un punct material liber în spatiu are trei grade de libertate.
Pozitia unui punct material pe o suprafata este data prin doi parametrii scalari independenti. Astfel, daca suprafata este planul Oxy este suficient sa cunoastem coordonatele x si y ale pozitiei punctului material. Un punct material aflat pe o suprafata are doua grade de libertate.
Un punct material obligat sa ramâna pe o curba are doar un singur grad de libertate. El se poate deplasa doar în lungul curbei.
În fine, un punct material fixat nu are nici un grad de libertate.
5.2. Echilibrul punctului material liber
Conditia necesara si suficienta ca un punct material liber, care se afla în repaus sau în miscare rectilinie si uniforma, sa ramâna în aceiasi stare mecanica sub actiunea unui sistem de n
forte concurente, , este ca rezultanta a fortelor sa fie nula. Aceasta conditie rezulta din aplicarea principiilor inertiei si actiunii fortei.
În consecint& 10410q164k #259;, conditia de echilibru a punctului material liber este :
(5.1)
Proiectând aceasta relatie vectoriala pe axele unui sistem cartezian Oxyz se obtin ecuatiile scalare de echilibru :
, , (5.2)
Daca sistemul de forte este plan si daca notam cu Oxy planul fortelor, conditiile scalare de echilibru au forma :
, (5.3)
5.3. Echilibrul punctului material legat.
Axioma legaturilor. Clasificarea legaturilor.
5.3.1. Axioma legaturilor
Se considera un punct material M aflat în echilibru pe o suprafata (S) si actionat de un
sistem de forte exterioare a caror rezultanta este (figura T 5.1). Spre deosebire de cazul
punctului material liber, când era necesar ca pentru a se realiza echilibrul, aceasta conditie nu mai trebuie respectata pentru punctul material legat ca urmare a existentei legaturilor, care exercita asupra punctului material anumite constrângeri mecanice reprezentate prin forte de legatura (reactiuni). Pentru a rezolva problema punctului material legat se foloseste axioma legaturilor, al carui enunt în cazul general este :
Axioma legaturilor : Orice legatura poate fi suprimata si înlocuita cu elemente mecanice (forte, momente) corespunzatoare.
În cazul unui punct material legat, legatura se înlocuieste cu o reactiune ’, astfel încât conditia necesara si suficienta pentru ca un punct material supus la legaturi sa fie în echilibru este ca rezultanta fortelor direct aplicate si a fortei de legatura sa fie nula :
(5.4)
adica reactiunea (forta de legatura) ’ sa fie direct opusa rezultantei a fortelor direct aplicate.
Figura T 5.1
Observatia i) În cazul în care punctul material este supus mai multor legaturi atunci ’ reprezinta rezultanta fortelor de legatura corespunzatoare fiecarei legaturi în parte.
5.3.2. Clasificarea legaturilor punctului material
Legaturile punctului material sunt în numar de trei si anume: rezemarea pe o
suprafata, rezemarea pe o curba (plana sau strâmba) si prinderea cu fire.
Ele pot fi:
a) cu frecare – daca suprafata sau curba de reazem apartin unor corpuri reale, care au la suprafata asperitati care se opun deplasarii dând nastere unor forte de frecare.
b) fara frecare – atunci când se presupune ca suprafata sau curba de reazem apartin unor corpuri ideale, perfect lucioase, care nu conduc la aparitia unor forte de frecare.
5.4. Echilibrul punctului material supus la legaturi fara frecare
5.4.1. Echilibrul pe o suprafata fara frecare (lucie, neteda)
Se considera un punct material M rezemat pe o suprafata (S) si actionat de forte direct
aplicate a caror rezultanta este si de reactiunea ’ (direct opusa lui ). Rezultanta (figura T 5.2) se descompune în:
- componenta normala (dupa normala în M la (S));
- componenta tangentiala (din planul tangent (P) la (S)).
Figura T 5.2 Figura T 5.3
La rândul ei, reactiunea ’ se descompune dupa aceleasi directii în componentele si
. Forta cauta sa îndeparteze punctul M de pe suprafata (S). Efectul ei este anulat de forta
, numita reactiune normala:
(5.5)
Forta determina deplasarea punctului M pe suprafata (S). Ei i se opune componenta
, numita forta de frecare:
(5.6)
Deoarece suprafata este considerata lucie (fara frecare), forta este nula astfel încât utilizând relatia (5.6) putem scrie ca:
(5.7)
adica, pentru a se realiza echilibrul pe suprafata (S), rezultanta fortelor direct aplicate trebuie sa fie dirijata dupa normala la suprafata în punctul respectiv (figura T 5.3).
Ecuatia vectoriala de echilibru este:
(5.8)
si ea are urmatoarele proiectii pe axele unui reper cartezian:
, , (5.9)
Daca suprafata (S) este data prin ecuatia f(x, y, z) = 0, deoarece parametrii directori ai
normalei sunt , reactiunea normala va avea expresia:
(5.10)
iar ecuatia vectoriala de echilibru va fi:
(5.11)
Ecuatiile scalare de echilibru
, , (5.12)
formeaza împreuna cu ecuatia suprafetei f(x, y, z) = 0 un sistem de patru ecuatii în
necunoscutele .
5.4.2. Echilibrul pe o curba fara frecare (lucie, neteda)
Se considera un punct material M rezemat pe o curba ( C ) si actionat de forte direct aplicate a caror
rezultanta este si de reactiunea ’ (figura T 5.4). Rezultanta se descompune în:
- componenta (dupa tangenta în M la curba ( C ));
- componenta (din planul normal în M la curba ( C )).
Reactiunea ’ se descompune dupa aceleasi directii în componentele si . Relatiile (5.5) si (5.9) precum si comentariile asociate lor ramân valabile si în acest caz (figura T 5.5).
Figura T 5.4 Figura T 5.5
Daca curba este data ca intersectie de doua suprafete:
(5.13)
atunci planul normal la curba ( C ) poate fi obtinut cu ajutorul normalelor la cele doua suprafete, reactiunea normala având forma:
(5.14)
Din (5.8) si (5.13) se obtin urmatoarele ecuatii scalare de echilibru:
,
(5.15)
care împreuna cu ecuatiile (5.13) ale suprafetelor formeaza un sistem de cinci ecuatii în necunoscutele
.