1

1.Dinamica punctului material liber1.1 Ecuaiile difereniale ale micrii Dinamica studiaz micarea corpurilor materiale innd cont de forele ce acioneaz asupra acestora.

Principiul independenei aciunii forelor se scrie :

(1.1)

Sau nc

(1.2)

ori

(1.3)Ecuaia (1.1) sub una din formele (1.2), (1.3) se numete ecuaia fundamental a dinamicii

Problemele de dinamic a punctului material pot fi :

- probleme directe (se dau m, F i se cere )

- probleme indirecte (se dau m i i se cere F)

Sistemul de coordonate: legat de reperul fa de care studiaz micarea Coordonate carteziene :

EMBED Equation.3

(1.4)

Unde X,Y,Z sunt proieciile vectorului pe axele sistemului ales. Necunoscutele problemei sunt funciile

ntr-un sistem de coordonate cilindrice cu versorii se va putea scrie:

Sau, innd cont de expresiile componentelor acceleraiilor cunoscute de la Cinematic:

(1.5)

n care necunoscutele sunt ,

, iar sunt componentele forei pe axele sistemului ntr-un sistem de coordonate sferice vom avea :

(1.6)

Iar ntr-un sistem de coordonate intrinseci :

(1.7)

1.2 Integrala general a ecuaiilor difereniale ale micrii Fie ecuaiile de micare de forma (1.4). Fora F poate fi funcie de timp, de coordonatele curente x,y,z i de componentele vitezei , , . Prin urmare ecuaiile au forma :

(1.8)

n general, studiul micrii conduce la rezolvarea unui sistem de 3 ecuaii difereniale de ordinul doi. Soluia general are forma :

(1.9)

n care Ci (i=1,2.6) sunt constante arbitrare.

Funciile (1.9) reprezint integrala general a ecuaiilor difereniale ale micrii.

Se observ c existena constantelor arbitrare permite ca punctul care se mic sub aciunea unei fore date poate s descrie diferite traiectorii. Precizarea traiectoriei . Dac funciile din membrul drept al ecuaiilor (1.8) sunt olomorfe n vecintatea sistemului de valori , x = x0, y = y0, z = z0, , , exist trei funcii unice , i care verific sistemul (1.8) i care pentru ndeplinesc condiiile:

,, .

(1.10) , ,

Condiiile (10) reprezint poziia iniial respectiv viteza iniial ale punctului material i se numesc condiile iniiale ale micrii. Cunoaterea lor permite determinarea constantelor (i-1,26) prin rezolvarea sistemului:

(1.11)

Introducnd valorile determinate (i-1,26) n (1.9) se obine integrala particular a sistemului de ecuaii difereniale ale micrii care verific att sistemul (1.8) ct i condiiile iniiale (1.11). Prin urmare, condiile iniiale ale micrii determin n mod univoc micarea punctului material sub aciunea unei fore date. 1.3 Integralele prime ale sistemului de ecuaii difereniale ale micriiFie sistemul format din ecuaiile

(1.12)

obinute prin derivarea soluiilor (1.9) i n care se consider ca necunoscute mrimile (i-1,26). Rezolvnd acest sistem algebric se obine

. (1.13)

.

Aceste funcii reprezint integralele prime ale ale sistemului de ecuaii difereniale .

2.teoremele dinamicii punctului material 2.1 Teorema impulsului

Definiie: Impulsul unui punct material este vectorul a crui expresie este:

(2.1)

Impulsul are aceiai direcie cu viteza, iar dimensiune sa este [H]= LMT-1

Fie ecuaia fundamental a dinamicii (1.3) (2.2)

sau innd seama de (2.1) (2.3)

Relaie care exprim teorema impulsului :

Derivata n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal cu n orice moment cu fora rezultant ce acioneaz asupra acestuia

n proiecii avem:

(2.4)

Dac X = 0 rezult = const., sau nc

(2.5) Relaia (2.5) este o integral prim a micrii. Dac F = 0 avem: , adic , adic punctul descrie o micare rectilinie i uniform

2.2 Teorema momentului cinetic

Definiie: Momentul cinetic al unui punct material n raport cu un punct fix O, este

momentul vectorului impuls al punctului n raport cu punctul O:

(2.6) Sau nc

(2.6) Dimensiunea sa este: [KO] = L2MT-1 Fie ecuaia fundamental a dinamicii (1.3) pe care o vom nmuli vectorial la stnga cu :

(2.7) Deoarece

se poate scrie

astfel nct (2.7) devine:

i n final

(2.8) Aceast relaie exprim Teorema momentului cinetic:

Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al unui punct material calculat n raport cu un punct fix O este egal cu momentul forei rezultante calculat n raport cu acelai punct O

Cum

Din (2.8) se obin ecuaiile scalare:

(2.9)

Dac momentul forei n raport cu axa Ox este nul (fora i axa Ox sunt cooplanare) prima ecuaie din (2.9) devine de unde rezult imediat:

(2.10)

obinndu-se o integral prim a ecuaiei difereniale a micrii.

Dac momentul forei n raport punctul O este nul ( suportul forei trece prin punctul O n tot timpul micrii) atunci vectorul se conserv, rezultnd trei integrale prime:

(2.11)

Relaie care se poate pune sub forma:

(2.12)

n care vectorul este dat de

(2.13)

nmulind scalar ambele pri ale egalitii (2.12) cu i innd seama c

rezult:

(2.14)

adic

(2.15)

de unde rezult c punctul material rmne n tot timpul micrii ntr-un plan ce conine punctul O - plan definit de ecuaia (2.15). n cazul micrii ntr-un plan se pot folosi coordonatele polare, caz n care vom avea , acum

relaia (2.12) devine : (2.16)sau n modul

(2.17)

Avnd n vedere i expresia vitezei areolare rezult

(2.18)

adic punctul se mic cu vitez areolar constant.

Se observ de asemenea c vectorul este tot timpul normal pe planul micrii.

2.3 Teorema energiei cinetice Energia cinetic a unui punct material de mas m aflat n micare cu viteza este scalarul E dat de relaia:

(2.19) Lucrul mecanic elementar al forei corespunztor deplasrii se exprim prin produsul scalar al vectorului cu vectorul :

(2.20)

Deoarece ,

rezult (2.21) Deasemenea, ntruct relaia (2.20) poate fi pus sub forma:

(2.22)

n care este unghiul format de vectorulcu tangenta la traiectorie ( fig.1.1)

Figura 1.1 Lucrul mecanic corespunztor unei deplasri finite din A n B, este dat de integrala

(2.23)

n general integrala este curbilinie fapt ce implic cunoaterea prealabil a traiectoriei punctului material. n cazul particular cnd modulul forei este constant, iar suportul formeaz acelai unghi (= constant) cu tangenta la traiectorie n intervalul considerat, atunci:

(2.24)

innd cont de faptul c din (2.20) rezult:

, relaie care arat c lucrul mecanic al rezultantei este egal cu suma algebric a lucrurilor mecanice ale forelor componente ce acioneaz asupra punctului material.

2.4 Teorema energiei cinetice

Dac nmulim scalar cu ecuaia (1.3)obinem:

(2.25)

innd cont c , vom putea scrie:

(2.26)

Dar cum , vom avea n final:

(2.27)

relaie care exprim teorema variaiei energiei cinetice sau pe scurt teorema energiei cinetice:

,, n fiecare moment din timpul micrii, difereniala expresiei energiei cinetice este egal cu expresia lucrului mecanic elementar corespunztor forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material Energia cinetic crete dac lucrul mecanic este pozitiv i scade dac lucrul este negativ. Integrnd ambii membrii ai egalitii (2.27)ntre dou puncte A i B de pe traiectorie , rezult:

(2.28)

n care

(2.29)

Relaia (2.28) exprim teorema energiei cinetice sub form finit.

Uniti de msur:

n tehnic se folosete frecvent noiunea de putere care exprim lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp. n sistemul SI avem

1Watt = 1joule /sec.

n domeniul automobilelor se mai utilizeaz i Calul putere - CP (horse power - HP)

1KW =103W= 1,36 CP

sau 1CP= 0,736 KW 2.5 Teorema conservrii energiei mecanice Dac fora are proprietatea c proieciile ei pe axele de coordonate pot fi puse sub forma:

; ;

(2.30)n care este o funcie scalar de coordonatele punctului de aplicaie a forei:

Funcia astfel definit se numete funcie de for, spunnu-se c fora deriv dintr-o funcie de for:

(2.31) Condiiile necesare i suficiente pentru ca fora s dmit o funcie de for sunt:

; ; . (2.32)

Lucrul mecanic elementar devine :

(2.33) n care este difereniala total a funciei .

n acest caz relaia (2.27) devine:

(2.34)

Sau integrnd : (2.35)

n care h este o constant de integrare, numit ,,constanta energiei.

Lucrul mecanic al forei cnd punctul de aplicaie se deplaseaz din A n B devine:

(2.36)

n care i sunt valorile funciei n punctul B, respectiv A. Se observ c lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs ci numai de poziia iniial A respectiv final B. Dac punctul descrie un drum nchis, lucrul mecanic al forei va fi nul. Relaia (2.28), innd cont de (2.36) devine: (2.37)

n locul funciei se poate considera funcia definit prin relaia:

V=-U (2.38)

numit funcie potenial. Acum se poate scrie:

(2.39)

de unde prin integrare se obine:

E+V =const. (2.40)

Mrimea V reprezint energia potenial (de poziie) a punctului material, iar suma dintre energia cinetic i energia potenial se numete energia mecanic:

Em=E+V

Relaia (2.40) exprim teorema conservrii energiei mecanice:

,,Dac fora rezultant deriv dintr-o funcie de for, energia mecanic a punctului material se conserv Forele care deriv dintr-o funcie de for se numesc fore conservative n sensul c acionnd asupra unui punct material energia mecanic a acestuia se conserv. EMBED Equation.DSMT4

P

A

B

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

traiectoria

_1214482216.unknown

_1214560406.unknown

_1214562122.unknown

_1214736085.unknown

_1214739107.unknown

_1214740046.unknown

_1214740563.unknown

_1214741708.unknown

_1221296277.unknown

_1214741961.unknown

_1214742363.unknown

_1214741831.unknown

_1214740943.unknown

_1214741038.unknown

_1214740787.unknown

_1214740406.unknown

_1214740500.unknown

_1214740331.unknown

_1214739548.unknown

_1214739952.unknown

_1214740024.unknown

_1214739296.unknown

_1214739492.unknown

_1214739285.unknown

_1214739130.unknown

_1214737031.unknown

_1214739051.unknown

_1214737320.unknown

_1214738968.unknown

_1214736402.unknown

_1214736990.unknown

_1214736181.unknown

_1214564591.unknown

_1214565829.unknown

_1214735911.unknown

_1214735999.unknown

_1214735868.unknown

_1214565127.unknown

_1214565212.unknown

_1214565308.unknown

_1214565066.unknown

_1214562448.unknown

_1214562646.unknown

_1214563518.unknown

_1214564417.unknown

_1214563685.unknown

_1214562709.unknown

_1214563307.unknown

_1214562572.unknown

_1214562267.unknown

_1214562310.unknown

_1214562156.unknown

_1214561254.unknown

_1214561899.unknown

_1214562055.unknown

_1214561947.unknown

_1214562022.unknown

_1214561497.unknown

_1214561696.unknown

_1214561372.unknown

_1214560732.unknown

_1214561079.unknown

_1214561190.unknown

_1214560781.unknown

_1214560596.unknown

_1214560669.unknown

_1214560444.unknown

_1214558733.unknown

_1214559474.unknown

_1214560025.unknown

_1214560148.unknown

_1214560297.unknown

_1214560107.unknown

_1214559689.unknown

_1214559924.unknown

_1214559571.unknown

_1214558973.unknown

_1214559164.unknown

_1214559245.unknown

_1214559085.unknown

_1214558901.unknown

_1214558931.unknown

_1214558816.unknown

_1214483458.unknown

_1214558095.unknown

_1214558399.unknown

_1214558506.unknown

_1214558162.unknown

_1214557852.unknown

_1214558030.unknown

_1214483592.unknown

_1214482826.unknown

_1214483012.unknown

_1214483086.unknown

_1214482866.unknown

_1214482572.unknown

_1214482693.unknown

_1214482528.unknown

_1214476755.unknown

_1214478809.unknown

_1214479378.unknown

_1214481208.unknown

_1214481362.unknown

_1214481712.unknown

_1214481272.unknown

_1214479446.unknown

_1214479468.unknown

_1214479403.unknown

_1214478880.unknown

_1214479297.unknown

_1214479346.unknown

_1214479226.unknown

_1214478847.unknown

_1214478862.unknown

_1214478824.unknown

_1214478319.unknown

_1214478478.unknown

_1214478565.unknown

_1214478697.unknown

_1214478499.unknown

_1214478386.unknown

_1214478465.unknown

_1214478354.unknown

_1214477294.unknown

_1214477379.unknown

_1214478222.unknown

_1214477377.unknown

_1214476907.unknown

_1214476988.unknown

_1214476811.unknown

_1214474791.unknown

_1214475552.unknown

_1214476333.unknown

_1214476725.unknown

_1214476739.unknown

_1214476370.unknown

_1214475811.unknown

_1214476014.unknown

_1214475696.unknown

_1214475356.unknown

_1214475491.unknown

_1214475541.unknown

_1214475386.unknown

_1214475191.unknown

_1214475200.unknown

_1214474964.unknown

_1214474239.unknown

_1214474553.unknown

_1214474709.unknown

_1214474765.unknown

_1214474651.unknown

_1214474515.unknown

_1214474534.unknown

_1214474250.unknown

_1214473787.unknown

_1214474101.unknown

_1214474182.unknown

_1214473907.unknown

_1214473421.unknown

_1214473428.unknown

_1214473233.unknown