Download - Transformata Fourier Proprietati
-
1
Transformata Fourier
Introducere
Sistemele liniare invariante n timp sunt de departe cele mai studiate i utilizate sisteme n
prelucrarea semnalelor. Un sistem se numete liniar dac rspunsul acestuia la suma a dou semnale
este identic cu suma rspunsurilor la ecare semnal n parte. Un sistem se numete invariant n timp
dac rspunsul su la un semnal este acelai indiferent de momentul cnd este aplicat semnalul
respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se tie c funciile proprii ale sistemelor liniare
invariante n timp (pe scurt, SLIT) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dac la intrarea unui SLIT aplicm
o cosinusoid pur de frecven 0, atunci la ieire vom avea tot o cosinusoid pur 0 (bineneles,
avnd alt amplitudine i faz). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un
semnal de intrare oarecare, cu condiia s putem scrie semnalul respectiv ca o sum (e i innit) de
cosinusoide.
Semnalele periodice pot scrise ca o sum numrabil de componente sinusoidale ale cror
amplitudini i faze pot calculate cu uurin din semnalul respectiv, acestea fiind seriile Fourier.
Transformata Fourier generalizeaz aceasta descompunere de semnal ntr-o sum de sinusoide i
pentru semnalele neperiodice.
S ncepem prin a studia forma spectrului semnalului periodic n funcie de perioada sa . Se observ
c pe msur ce crete, componentele din spectrul semnalului se ndesesc. Acest lucru este
natural, ntruct creterea lui este echivalent cu scderea frecvenei fundamentale
i
deci, cu scderea intervalului de frecven ntre dou componente succesive. Figura 1. ilustreaz un
exemplu. Evident, la limit, cnd T , componentele frecveniale se contopesc, iar spectrul
semnalului devine de natur continu.
-
Ajungem, deci, la definiia transformatei Fourier.
Fie un semnal de modul integrabil:
Atunci, se denete transformata Fourier a semnalului
Semnalul original x(t) poate recuperat din transformata
Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic n func
perioada T. (b) Modulul coeficien
perioada T1>T. (d) Modulul coeficien
Este important, pentru nelegerea noiunilor, s
relaiile (2) i (3) i cele care descriu descompunerea
periodic:
ia transformatei Fourier.
un semnal de modul integrabil:
nete transformata Fourier a semnalului ca ind semnalul obinut dup
recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers:
Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic n funcie de perioad: (a) Semnal periodic de
perioada T. (b) Modulul coeficienilor Anc pentru semnalul din figura (c) Semnal periodic de
T. (d) Modulul coeficienilor Anc pentru semnalul din figura (c).
elegerea noiunilor, s observm similitudinile i diferenele ntre
iile (2) i (3) i cele care descriu descompunerea n serie Fourier complex a unui semnal
2
(1)
inut dup:
(2)
lui invers:
(3)
: (a) Semnal periodic de
(c) Semnal periodic de
pentru semnalul din figura (c).
i diferenele ntre
plex a unui semnal
-
3
Se observ c semnicaia valorilor X() este similar cu cea a coecienilor Anc, cu singura diferen
c, n cazul transformatei Fourier, numrul de cosinusoide n care se descompune semnalul devine
innit nenumrabil. Modulul |X()| si faza () ale cantitii complexe X()= |X()| exp(j())
sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecven ce intr n descompunerea spectral a
semnalului x(t). ntr-adevr, observnd c, n ipoteza unui semnal x(t) cu valori reale, valorile
transformatei Fourier situate simetric fa de 0 sunt complex conjugate:
(4)
Atunci (3) poate fi rescris ca:
(5)
n continuare, folosind faptul c , avem z+z* =2 {z} si c
{X() exp(jt)} = {|X()| exp(j(t + ()))} = |X()| cos(t + ()), (5) devine:
, (6)
relaie ce justific afirmaia despre semnificaia modulului i fazei lui .
-
4
Proprietile transformatei Fourier
Transformata Fourier este liniar.
Fie x(t) si y(t) dou semnale de modul integrabil i e a i b dou constante complexe.
Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul c aceasta comut
(7)
Deplasarea n timp cu o cantitate constant t0 a unui semnal corespunde unei deviaii induse n faza
spectrului:
(8)
(9)
Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecven constant 0 corespunde nmulirii semnalului n
timp cu o cosinusoid complex:
(10)
-
5
(11)
O contracie a semnalului cu o constant corespunde unei relaxri a spectrului cu aceeai
constant i vice-versa.
(12)
(13)
unde
(14)
(15)
(16)
Se aplic relaia precedent.
-
6
Transformata Fourier conserv energia semnalului.
(17)
(18)
(19)
Se folosete simetria ntre relaiile care dau transformata Fourier direct i invers.
Spectrul semnalului obinut prin convoluia temporal a dou semnale se obine ca produsul
spectrelor celor dou semnale. Fie x(t) i y(t) dou semnale de modul integrabil, i e z(t) produsul lor
de convoluie:
(20)
Atunci, ntre transformatele Fourier ale celor trei semnale ale loc relaia:
(21)
-
7
(22)
Spectrul semnalului obinut prin produsul a dou semnale se obine prin convoluia spectrelor celor
dou semnale. Fie x(t) si y(t) dou semnale de modul integrabil, i e z(t) semnalul obinut prin
produsul lor:
, (23)
Atunci, ntre transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relaia:
(24)
-
Transformatele Fourier ale ctorva semnale de interes
n relaia de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac:
Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier
Transformatele Fourier ale ctorva semnale de interes
a folosit proprietatea impulsului Dirac:
Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier
8
(25)
(26)
(27)
-
Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate
imposibilitii calculului limitei
rezultatul anterior (conform cruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este func
se aplic proprietatea simetriei transformatei Fourier, care a
unei operaii de simetrizare, dou func
timp i care n frecven. Rezultatul anterior poate
de unde, aplicnd relaia (19), avem:
Intr-adevr, calculnd transformata Fourier invers a semnalului
ceea ce completeaz demonstraia noastr
Figura 3: Semnalul constant
Avnd n vedere semnicaia transformatei Fourier a unui semnal, era normal s
rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de
sinusoide intr numai componenta de frecven
La fel ca i n cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funciei
poate abordat n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate
transformatei Fourier.
Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate fcut direct, datorit
. Pentru rezolvarea problemei, se folose
rezultatul anterior (conform cruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcia constant
se aplic proprietatea simetriei transformatei Fourier, care arm c, cu excepia unor constante i a
funcii fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat
. Rezultatul anterior poate scris compact ca:
adevr, calculnd transformata Fourier invers a semnalului , avem
ia noastr.
Semnalul constant i transformata sa Fourier
caia transformatei Fourier a unui semnal, era normal s ne atept
rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de
componenta de frecven zero, adic semnalul constant!
i n cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funciei x(t) = cos(n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate i proprieti ale
9
cut direct, datorit
rezolvarea problemei, se folosete
ia constant) i
ia unor constante i a
ii fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat n
(28)
(29)
, avem
(30)
teptm la acest
rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de
) = cos( 0t) nu ale
-
Pornind de la forma complex a descompunerii unui semnal periodic n serii Fourier:
i folosind rezultatul anterior i teorema deplas
Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur
Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(
pornind de la:
La fel ca n cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul ob
ntruct arat faptul c descompunerea unui semnal co
cosinusoide este compus dintr-o singur
Pornind de la forma complex a descompunerii unui semnal periodic n serii Fourier:
i teorema deplasrii n frecven, avem succesiv:
Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur i transformata sa Fourier
Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(0t) se poate deduce n mod absolut similar
La fel ca n cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obinut mai sus este intuitiv,
ntruct arat faptul c descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecven 0 ca o sum de
singur cosinusoid, i anume cea pe frecvena respectiv
10
(31)
t) se poate deduce n mod absolut similar
(32)
inut mai sus este intuitiv,
ca o sum de
i anume cea pe frecvena respectiv!
-
Fie semnalul:
Transformata Fourier a lui x(t) se calculeaz direct precum:
Unde cu sinc(x) am notat funcia sinus cardinal:
Figura 5: Semnalul de tip box si transformata
Aplicnd rezultatului anterior teorema simetriei
transformata Fourier a unei funcii de tip sinc este o funcie box:
Rezultatul de mai sus este extrem de util n studiul fil
Transformata Fourier a lui x(t) se calculeaz direct precum:
ia sinus cardinal:
Figura 5: Semnalul de tip box si transformata Fourier
teorema simetriei i folosind faptul c funcia box e par
ii de tip sinc este o funcie box:
Rezultatul de mai sus este extrem de util n studiul filtrelor lineare.
11
(33)
(34)
(35)
ia box e par, rezult c
(36)
-
Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal
Aplicaii ale transformrilor
Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului n raport cu frecven
extrem de important n studiul ulterior al modului n care semnalul se
Transformata Fourier Discret (TFD) i Transformata Fourie
care permit calculul facil al spectrului de frecven
date realizat pe baza relaiei
reprezint un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare
s vedem acum dac spectrul secven
s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer
discret, trebuie menionat c, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c
secvena de date de la care acesta provine este periodic. Deci secven
TFD, este privit ca provenind dintr-un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te
reprezint perioada de eantionare. Reciproc, dac
cruia i va corespunde spectrul rezultat se ob
Cele menionate au consecine importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat
iniial unei secvene ce conine un numr
reflectat fidel n spectrul su.
Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal i transformata sa Fourier
transformrilor Fourier
Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului n raport cu frecvena, analiz
extrem de important n studiul ulterior al modului n care semnalul se propag prin diverse sisteme.
i Transformata Fourier Discret Rapida (TFDR) sunt instrumente
care permit calculul facil al spectrului de frecven al unei secvene de date. Spectrul secvenei de
,
pentru n=0,1,2,...,N-1
un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare
s vedem acum dac spectrul secvenei de date este acelai cu spectrul semnalului din care aceasta
a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer la semnale periodice care au un spectru
, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c
de date de la care acesta provine este periodic. Deci secvena de N date creia i se aplic
un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te
antionare. Reciproc, dac aplicm TFD unei secvene de N date, semnalul
cruia i va corespunde spectrul rezultat se obine multiplicnd prin periodicitate aceast secven
importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat
numr ntreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal, situa
12
a, analiz
prin diverse sisteme.
Discret Rapida (TFDR) sunt instrumente
e de date. Spectrul secvenei de
(37)
un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare. Trebuie
ei de date este acelai cu spectrul semnalului din care aceasta
la semnale periodice care au un spectru
, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c
reia i se aplic
un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te
e de N date, semnalul
dicitate aceast secven.
importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat
un semnal sinusoidal, situaie
-
Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secven
Se observ c n al doilea caz, atunci cnd secven
rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl
periodicitate a secvenei , reprezentat n figura 7.b, care nu este sinusoid
determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci n cazul n care
de N eantioane prelevat din sem
Atunci cnd se preia o poriune din N eantioane dintr
c se preia o
dac semnalul analizat este periodic i numai prelund o
numr ntreg de perioade.
Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secvenele de date
Se observ c n al doilea caz, atunci cnd secvena nu conine un numr ntreg de perioade, spectrul
rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl
ei , reprezentat n figura 7.b, care nu este sinusoid. n concluzie, dac trebuie
unui semnal folosind TFD, atunci n cazul n care semnalul este periodic, secven
din semnal trebuie s conin un numr ntreg de perioade.
iune din N eantioane dintr-un semnal, fr a le schimba valoarea, se zice
. Am vzut ca prin TFD putem obine spectrul corect numai
i numai prelund o fereastr dreptunghiular care con
13
r ntreg de perioade, spectrul
rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin
. n concluzie, dac trebuie
este periodic, secvena
un numr ntreg de perioade.
un semnal, fr a le schimba valoarea, se zice
ine spectrul corect numai
dreptunghiular care conine un
-
Figura 8: Poriune
n caz contrar, alterarea spectrului de frecven
ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu
are astfel de salturi, precum zonele ncercuite din figura 8.a.
Soluia de nlturare a variaiilor mari
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este
relaia
iune de semnal preluat cu i fr ferestruire
rar, alterarea spectrului de frecven se datoreaz cu prioritate zonelor de margine ale
ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu
are astfel de salturi, precum zonele ncercuite din figura 8.a.
iilor mari din zona de margine a unei poriuni de semnal, o constituie
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este
14
se datoreaz cu prioritate zonelor de margine ale
ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu
iuni de semnal, o constituie
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este cel descris de
(38)
-
15
Se observ c poriunea prelevat se nmulete cu funcia , numit funcie fereastr. Aa cum
este artat n figura 8, funcia fereastr trebuie s aib amplitudinea unitar pe toat lungimea
poriunii de semnal prelevate, mai puin n zonele de capete unde ea trebuie s descreasc uniform
ctre zero. Exist mai multe funcii care au aceast proprietate, unele dintre ele consacrate deja n
literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiular (relaia 39), fereastra Welch (relaia
40), fereastra Hanning (relaia 41).
(39)
(40)
(41)
n exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenei prelevate (N), sau poate fi mai mic dect N,
i atunci algoritmii 39, 40, 41 se mpart n dou, cte o jumtate pentru fiecare capt al secvenei,
aa cum este ilustrat n figura 8.
n concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplic secvenei numerice creia urmeaz s-i fie
aplicat transformarea TFD sau alt transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuia
nefast a poriunilor de capt ale secvenei prelevate, n spectrul de frecven al semnalului. Tehnica
de ferestruire mai este folosit pentru a ajusta i ali algoritmi de procesare numeric i anume pe cei
cu rolul de filtru numeric.
Spectrul unui semnal nu ofer o informaie intuitiv, sub aspectul energetic, a contribuiei fiecrei
armonici la alctuirea semnalului. Pentru aceasta se folosete o alt mrime denumit
, care arat contribuia energetic a fiecrei armonici. Prin analogie cu energia
semnalelor analogice, energia total a unei secvene de N eantioane se exprim ca fiind suma
ptratelor eantioanelor. Energia semnalului n transformata Fourier se regsete cu ajutorul
teoremei Parseval:
(42)
Contribuia la energia total a semnalului, corespunztoare fiecrei armonici rezultate prin
transformarea Fourier a semnalului, este urmtoarea:
(43)
Unde sunt coneficienii compleci rezultai din transformarea Fourier a semnalului .