Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Şiruri de numere reale- sinteză-
Lect. univ. dr.Anca GRAD17 noiembrie 2017
1 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
TerminologieFie m ∈ N fixat. Considerăm mulţimea Nm = {n ∈ N : n ≥ m}.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale orice funţie
f : Nm → R.
Şirul f : Nm → R ataşează fiecărui nr. natural n ≥ m, nr. real
f (n) :not.= xn.
Notaţiile uzuale folosite pentru un şir sunt
(xn)n∈Nm , sau (xn)n≥m sau (xn, xn+1, ..., xn, ...).
Când nu există pericol de confuzie notăm simplu (xn).Pentru n ∈ Nm arbitrar, nr. real xn s.n. termenul de rang n sautermenul general al şirului (xn)n∈Nm .
2 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
TerminologieFie m ∈ N fixat. Considerăm mulţimea Nm = {n ∈ N : n ≥ m}.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale orice funţie
f : Nm → R.
Şirul f : Nm → R ataşează fiecărui nr. natural n ≥ m, nr. real
f (n) :not.= xn.
Notaţiile uzuale folosite pentru un şir sunt
(xn)n∈Nm , sau (xn)n≥m sau (xn, xn+1, ..., xn, ...).
Când nu există pericol de confuzie notăm simplu (xn).Pentru n ∈ Nm arbitrar, nr. real xn s.n. termenul de rang n sautermenul general al şirului (xn)n∈Nm .
2 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
TerminologieFie m ∈ N fixat. Considerăm mulţimea Nm = {n ∈ N : n ≥ m}.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale orice funţie
f : Nm → R.
Şirul f : Nm → R ataşează fiecărui nr. natural n ≥ m, nr. real
f (n) :not.= xn.
Notaţiile uzuale folosite pentru un şir sunt
(xn)n∈Nm , sau (xn)n≥m sau (xn, xn+1, ..., xn, ...).
Când nu există pericol de confuzie notăm simplu (xn).Pentru n ∈ Nm arbitrar, nr. real xn s.n. termenul de rang n sautermenul general al şirului (xn)n∈Nm .
2 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
TerminologieFie m ∈ N fixat. Considerăm mulţimea Nm = {n ∈ N : n ≥ m}.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale orice funţie
f : Nm → R.
Şirul f : Nm → R ataşează fiecărui nr. natural n ≥ m, nr. real
f (n) :not.= xn.
Notaţiile uzuale folosite pentru un şir sunt
(xn)n∈Nm , sau (xn)n≥m sau (xn, xn+1, ..., xn, ...).
Când nu există pericol de confuzie notăm simplu (xn).Pentru n ∈ Nm arbitrar, nr. real xn s.n. termenul de rang n sautermenul general al şirului (xn)n∈Nm .
2 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.
Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă
∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .
Dacă limita unui şir există, ea este unică.
Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.
∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
3 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.
Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă
∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .
Dacă limita unui şir există, ea este unică.
Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.
∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
3 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.
Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă
∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .
Dacă limita unui şir există, ea este unică.
Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.
∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
3 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.
Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă
∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .
Dacă limita unui şir există, ea este unică.
Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.
∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
3 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.
Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă
∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .
Dacă limita unui şir există, ea este unică.
Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.
∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .
3 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Notaţielim
n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).
Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă
∃ limn→∞
xn şi limn→∞
xn ∈ R.
Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.
Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.
Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.
4 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale
Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci
limn→∞
xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.
Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm
converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.
Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci
limn→∞
xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.
limn→∞
xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.
5 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale
Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci
limn→∞
xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.
Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm
converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.
Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci
limn→∞
xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.
limn→∞
xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.
5 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale
Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci
limn→∞
xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.
Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm
converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.
Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci
limn→∞
xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.
limn→∞
xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.
5 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale
Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci
limn→∞
xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.
Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm
converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.
Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci
limn→∞
xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.
limn→∞
xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.
5 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale
Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci
limn→∞
xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.
Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm
converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.
Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci
limn→∞
xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.
limn→∞
xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.
5 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0
nε = 1;
I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0
nε =[1
ε
]+ 1;
I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;
I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.
6 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Convergenţă, monotonie şi mărginire
Teorema 5 Orice şir convergent este mărginit.
Teorema 6 Orice şir nemărginit este divergent.
Observaţie: Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu,şirul cu termenul general
xn = (−1)n, n ∈ N.
7 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Convergenţă, monotonie şi mărginire
Teorema 5 Orice şir convergent este mărginit.
Teorema 6 Orice şir nemărginit este divergent.
Observaţie: Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu,şirul cu termenul general
xn = (−1)n, n ∈ N.
7 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Convergenţă, monotonie şi mărginire
Teorema 5 Orice şir convergent este mărginit.
Teorema 6 Orice şir nemărginit este divergent.
Observaţie: Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu,şirul cu termenul general
xn = (−1)n, n ∈ N.
7 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Convergenţă, monotonie şi mărginire
Teorema 5 Orice şir convergent este mărginit.
Teorema 6 Orice şir nemărginit este divergent.
Observaţie: Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu,şirul cu termenul general
xn = (−1)n, n ∈ N.
7 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 7 [ a lui Weirstrass](de convergenţă a şirurilor monotone şi mărginite)
Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci u.a.s. adevărate:1. Şirul (xn)
crescătorşi
mărginit superior=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = sup{xn : n ∈ Nm}
.
2. Sirul (xn)descrescător
şimărginit inferior
=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = inf{xn : n ∈ Nm}
.
3. Sirul (xn)
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent.
8 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 7 [ a lui Weirstrass](de convergenţă a şirurilor monotone şi mărginite)
Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci u.a.s. adevărate:1. Şirul (xn)
crescătorşi
mărginit superior=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = sup{xn : n ∈ Nm}
.
2. Sirul (xn)descrescător
şimărginit inferior
=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = inf{xn : n ∈ Nm}
.
3. Sirul (xn)
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent.
8 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 7 [ a lui Weirstrass](de convergenţă a şirurilor monotone şi mărginite)
Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci u.a.s. adevărate:1. Şirul (xn)
crescătorşi
mărginit superior=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = sup{xn : n ∈ Nm}
.
2. Sirul (xn)descrescător
şimărginit inferior
=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = inf{xn : n ∈ Nm}
.
3. Sirul (xn)
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent.
8 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 7 [ a lui Weirstrass](de convergenţă a şirurilor monotone şi mărginite)
Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci u.a.s. adevărate:1. Şirul (xn)
crescătorşi
mărginit superior=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = sup{xn : n ∈ Nm}
.
2. Sirul (xn)descrescător
şimărginit inferior
=⇒
(xn) este convergent
şilim
n→∞xn = inf{xn : n ∈ Nm}
.
3. Sirul (xn)
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent.
8 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:
I
monoton
şimărginit
=⇒ (xn) este convergent;
I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n
n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.
Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci
(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.
Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.
9 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 9 [ a lui Cantor]: Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri⊆ R care satisfac proprietăţile:i) ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;
ii) limn→∞
(yn − xn) = 0.
Atunci şirurile (xn) şi (yn) sunt convergente şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn.
Observaţie Teorema de mai sus folosită pentru delimitareaconstantei e, prin particularizarea
xn =(1 + 1
n
)nşi yn =
(1 + 1
n
)n+1
10 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 9 [ a lui Cantor]: Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri⊆ R care satisfac proprietăţile:i) ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;
ii) limn→∞
(yn − xn) = 0.
Atunci şirurile (xn) şi (yn) sunt convergente şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn.
Observaţie Teorema de mai sus folosită pentru delimitareaconstantei e, prin particularizarea
xn =(1 + 1
n
)nşi yn =
(1 + 1
n
)n+1
10 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Teorema 9 [ a lui Cantor]: Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri⊆ R care satisfac proprietăţile:i) ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;
ii) limn→∞
(yn − xn) = 0.
Atunci şirurile (xn) şi (yn) sunt convergente şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn.
Observaţie Teorema de mai sus folosită pentru delimitareaconstantei e, prin particularizarea
xn =(1 + 1
n
)nşi yn =
(1 + 1
n
)n+1
10 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Trecerea la limită în inegalităţiTeorema 10: Fie (xn) şi (yn) ⊆ R, două şiruri care au limită.Daca ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,
atuncilim
n→∞xn ≤ lim
n→∞yn.
Teorema 11 [a cleştelui]: Fie (xn), (yn) şi (zn) ⊆ R, trei şiruri şifie p ∈ N a.î.
xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ∈ N, n ≥ pDacă
limn→∞
xn = limn→∞
zn
atunci şirul (yn) are limită şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn = limn→∞
zn.
11 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Trecerea la limită în inegalităţiTeorema 10: Fie (xn) şi (yn) ⊆ R, două şiruri care au limită.Daca ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,
atuncilim
n→∞xn ≤ lim
n→∞yn.
Teorema 11 [a cleştelui]: Fie (xn), (yn) şi (zn) ⊆ R, trei şiruri şifie p ∈ N a.î.
xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ∈ N, n ≥ pDacă
limn→∞
xn = limn→∞
zn
atunci şirul (yn) are limită şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn = limn→∞
zn.
11 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Trecerea la limită în inegalităţiTeorema 10: Fie (xn) şi (yn) ⊆ R, două şiruri care au limită.Daca ∃p ∈ N a.î.
xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,
atuncilim
n→∞xn ≤ lim
n→∞yn.
Teorema 11 [a cleştelui]: Fie (xn), (yn) şi (zn) ⊆ R, trei şiruri şifie p ∈ N a.î.
xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ∈ N, n ≥ pDacă
limn→∞
xn = limn→∞
zn
atunci şirul (yn) are limită şi
limn→∞
xn = limn→∞
yn = limn→∞
zn.
11 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0,∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0,∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale
Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii
Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi
limn→∞
(xn + yn) = limn→∞
xn + limn→∞
yn;
2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi
limn→∞
(cxn) = c(lim
n→∞xn)
;
3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim
n→∞(xnyn) = lim
n→∞xn · limn→∞
yn;
4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci şirul(
xnyn
)este
convergent şi
limn→∞
xnyn
=lim
n→∞xn
limn→∞
yn.
12 Anca Grad Siruri de numere reale