Download - Ref integrala L
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 1/17
UNIVERSITATEA „SPIRU HARET”FACULTATEA DE MATEMATICĂ – INFORMATICĂSPECIALIZAREA MATEMATICĂDISCIPLINA ANALIZĂ REALĂ
REFERAT CU TEMA:
INTEGRALA LEBESGUE
OCHIROŞI(STOICA) IULIAAnul III, Grupa 300
1
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 2/17
Analizând procedeul de integrare a lui Riemann, Lebesgue îşi
dă seama de unele din carenţele acestuia ( cum ar fi utilizarea
acelor diviziuni ale unui interval [a, b] ce presupun respectarea
ordinii punctelor din [a, b], precum şi a tipului de sume integralecorespunzătoare aestor diviziuni, a căror construcţie este
condiţionată de această ordine) şi propune un nou procedeu de
integrare, mai general, bazat pe teoria măsurii.
În acest material este prezentată :
integrala unei funcţii etajate şi nenegative;
integrala unei funcţii măsurabile nenegative definite pe unspaţiu oarecare cu măsură ( X , Α, µ);
integrala unei funcţii măsurabile reale.
1.Integrala unei funcţii etajate şi nenegative
Definiţia 1. Fie ( X , Α, µ) un spaţiu cu măsură şi fie ∑=
=n
iiAiaf
1
χ o
funcţieΑ- etajată
(pe scurt, etajată) şi nenegativă, unde
( )n
ii
a1=
şi ( ) niiA
1= au semnificaţiile cunosute: ai valori ale lui f distincte
între ele, respectiv mulţimile { } { }( )iii af axf xA 1)(; −=== .
I. Numim integrală a funcţiei f pe X ∑∫ =
=n
iii
X
Aafd 1
)(µ µ
II. Spunem că funcţia f este integrabilă pe X dacă
∫ ∞<X fd µ
Pentru integrala funcţiei f pe X se mai folosesc şi notaţiile ∫ X
fd
sau ∫ X
dxxf )( sau ∫ X
xd xf )()( µ .
2
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 3/17
Observaţii. I. Este evident că ∫ X
fd este un element din [0, +∞ ].
II.Definiţia de mai sus trebuie înţeleasă cu convenţia de
calcul din , 000 =∞⋅=⋅∞ ; în particular, dacă f(x) = ∞ pentru
orice
x Є X, iar µ(X) = 0 atunci ∫ X
fd = 0.
Def iniţia 2. Fie T Є Α şi ∑=
=n
iiAiaf
1
χ o funcţie etajată şi
nenegativă.
I. Numim integrală Lebesgue a funcţiei f pe mulţimea
măsurabilă T ∫ ∫ =X
T
T
d f fd µ χ µ .
II. Spunem că f este integrabilă pe mulţimea măsurabilă T
dacă ∫ T
fd < ∞ .
Pentru integrala funcţiei f pe T se mai folosesc şi notaţiile:
∫ T
dxxf )( şi ∫ T
xd xf )()( µ .
Observaţie. Din definiţia integralei se vede că ( )∫ ∑=
=T
n
iii T Aafd
1
µ µ
Exemplul 1. Fie T =[a, b] un interval compact al lui şi fie
= T d i ni r a t i o n axp e n t r u
T d i nr a t i o n a l xp e n t r u
xf .0
,1
)(
3
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 4/17
Atunci ( ) ( )∫ ∩−⋅+∩⋅=T
QT T QT fd )(01 µ µ µ , unde µ este măsura Lebesgue
pe ; cum µ(Q)=0, rezultă că µ(T∩Q)=0, de unde
∫ =∩−⋅+=T
QT T fd 0))((00 µ µ
Teoremă 1. Dacă f,g : X →[0, +∞] sunt funcţii etajate atunci:
I. ∫ ∫ ∫ +=+X X X
gd fd d g f µ µ µ )( ;
II. ∫ ∫ =X X
fd cd cf µ µ )( , c Є (0, ∞)
III. pentru orice şir de mulţimi mutual disjuncte ⊂∈ N k k T )( Α
are
loc:;
1
1∫ ∑∫ ∞
=
∞
=
=
k
k T k k T
fd fd µ µ
IV. f≤ g ∫ ∫ ≤⇒X X
gd fd µ µ .
Demonstraţie. Fie ∑=
=n
iiAiaf
1
χ şi g=∑=
m
jjBjb
1
χ unde atât mulţimile
( ) n
iiA1= cât şi mulţimile m
jB 1)( = sunt mutual disjuncte.
I. se observă că
II. este o conseinţă a definiţiei 1.
III. Fie ∞==1k
k T T .Atunci
∑ ∫ ∑∑
∑ ∑ ∑∫ ∑
∞
=
∞
= =
=
∞
= =
∞
==
=∩=
=∩=∩=∩=
11 1
1 1 1 11
(
)()()(
k k T k
n
ik ii
n
i k
n
i k k iik ii
T
n
iii
fd T Aa
T AaT AaAT afd
µ µ
µ µ µ µ
IV. Se observă că
4
∫∑ ∑∑ ∑∑ ∑
∑∑∫ ∫ ∑ ∑
+=∩+=∩+∩
=∩+∩=+=+
= == == =
= == == =
X
n
i
m
jjiji
m
j
n
iijj
n
i
m
jjii
m
j
n
iijj
n
i
m
jjii
X
n
i
m
jjjI i
d gf BAbaABbBAa
ABbBAaBbAag d f d
µµµµ
µµµµµ
)()()()()(
)()()()(
1 11 11 1
1 11 11 1
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 5/17
,
unde ci, j este valoarea lui f pe Ai ∩ Bj iar ci,j ≤bj . Atunci
∫ ∑∑ ∑ ∫ = = =
==∩=X
n
i
m
j
m
j X
jjjij gd BbBAbfd 1 1 1
) )(( µ µ µ µ
2.Integrala unei funcţii măsurabile
Fie (X, Α, µ) un spaţiu oarecare cu măsură şi fie f : X→ o funcţie
măsurabilă; asociem funcţiei f cele două funcţii nenegative f + , f -
, date prin: f +=sup {f , 0} , f - = inf { f ,0}, numite respectiv
parte pozitivă şi parte negativă a funcţiei f . Se ştie că f este
măsurabilă dacă şi numai dacă f + , f – sunt măsurabile.
5
∑∑∫ ∑= ==
∩==n
i
m
jjiji
X
n
iii BAcAafd
1 1,
1
)()( µ µ µ
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 6/17
Întrucât f măsurabilă implică f + , f - măsurabile , se poate
vorbi de existenţa integralelor ∫ ∫ −+
X X
d f d f µ µ , . Cu ajutorul acestor
integrale se defineşte integrala unei funcţii măsurabile şi
nenegative:
Definiţie. Fie f : X→ măsurabilă.
I. Dacă măcar una din integralele ∫ ∫ −+
X X
d f d f µ µ , este
finită, numim integrală Lebesgue a funcţiei f pe
X diferenţa dintre integrala părţii pozitive şi
integrala părţii negative, adică ∫ ∫ ∫ −+ −=X X X
d f d f fd µ µ µ
II. Spunem că f este integrabilă pe X dacă ambele
integrale ∫ ∫ −+
X X
d f d f µ µ , sunt finite.
Vom folosi notaţiile ∫ X
fd sau ∫ X
dxxf )( sau ∫ X
xd xf )()( µ pentru
integrala funcţiei pe X; de asemenea notăm prin L(X, Α, µ) sau
L(X) clasa tuturor funcţiilor integrabile pe X.
Observaţii.1. Dacă pentru funcţia f se poate defini integrala, spunem
că integrala există, în caz contrar spunând că integrala nu există.
2. Dacă f ≤ 0, rezultă că f + = 0 şi f - = -f şi atunci ∫ ∫ −−=X X
d f fd µ µ )( .
Teoremă 2.1. Funcţia măsurabilă f : X→ este integrabilă
pe X dacă şi numai dacă |f | este integrabilă pe X.
Demonstraţie. Dacă f Є L(X) atunci f + şi f - Є L(X) şi deci |f |=f +
+f - este funcţie măsurabilă şi nenegativă, este integrabilă pe X
întrucât
6
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 7/17
∞<+=∫ ∫ ∫ −+
X X X
d f d f d f µ µ µ .
Reciproc, dacă |f | Є L(X) atunci cum f + ≤ |f |şi f - ≤ |f |, atunci
∫ ∫ ∞<≤+
X X
d f d f µ µ
şi∫ ∫ ∞<≤−
X X
d f d f µ µ
, adică f +
şi f -
Є L(X),ceea ce implică f Є L(X).
Observaţie. Dacă X = N , mulţimea numerelor naturale, iar µ măsura pe P
(N) ; dacă f este o funcţie definită pe N cu valori reale atunci f reprezintă un
şir de numere reale f(n) = an , pentru orice n, număr natural. Integrala
Lebesgue a funcţiei f pe N, înzestrat în acest mod ca spaţiu cu măsură, se va
reduce la ∑∫ ∞
==
1nn
N
afd µ , unde seria este interpretată ca ∑ ∑∞
=
∞
=
−+ −1 1n n
nn aa dacă nu
este de forma ∞ - ∞, caz în care ∫ N
fd nu există. În realitate apar
următoarele situaţii:
1. ∑∑∞
=
−∞
=
+ ∞<∞<11
,n
nn
n aa . Seria este absolut convergentă şi integrala ∫ N
fd este
egală cu suma seriei.
2. ∑∑∞
=
−∞
=
+ ∞<∞=11
,n
nn
n aa . Seria ∑∞
=1nna diverge la + ∞ şi ∫
N
fd =+∞.
3. ∑∑∞
=
−∞
=
+ ∞=∞<11
,n
nn
n aa . Seria ∑∞
=1nna diverge la + ∞ şi ∫
N
fd = - ∞.
4. ∑∑∞
=
−∞
=
+ ∞==11 n
nn
n aa . Seria ∑∞
=1nna nu este absolut convergentă, putând fi ori
divergentă ori semiconvergent, dar ∫ N fd
nu există chiar dacă seria ∑
∞
=1nna
este semiconvergentă.
Deci dacă se utilizează sumarea din punctul de vedere ai integralei
Lebesgue, seriile semiconvergente sunt considerate ca divergente.
7
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 8/17
Prin urmare integrabilitatea Lebesgue coincide cu convergenţa absolută
a seriei, fapt care este de altfel firesc, întrucât ordinea termenilor şirului ( an)
nu joacă nici un rol în integrabilitate, seria trebuind să conveargă oricare ar fi
ordinea termenilor, ceea ce echivalează cu absoluta convergenţă.
Teoremă 2.2. Fie f : X→ o funcţie măsurabilă. Dacă ∫ X
fd
există
( în particular dacă f Є L(X)) şi c Є atunci ∫ X
cfd µ există (respectiv
c f Є L(X)) şi ∫ X
cfd µ =c ∫ X
fd .
Demonstraţie. Cazul c = 0 este banal.
a) Să presupunem c >0 ; atunci (cf) + =cf + , (cf) - =cf - , deci
∫ X
cfd µ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−=−=−= −+−+−+
X X X X X X X
fd cd f cd f cd cf d cf d cf d cf µ µ µ µ µ µ µ )()( Cu
m ∫ X
fd există, rezultă din egalitatea de mai sus că şi
∫ X
cfd µ şi, în plus are loc ∫ X
cfd µ =c ∫ X
fd .
b) Dacă c < 0, atunci (cf) + =-cf - , (cf) - =-cf + , deci, obţinem
∫ X
cfd µ = ∫ ∫ ∫ ∫ =−−−=− +−−+
X X X X
d cf d cf d cf d cf µ µ µ µ )()()()(
=-c ∫ ∫ ∫ =−− +−
X X X
fd cd f cd f µ µ µ )( , cum ∫ X
fd există, din ultima
relaţie se vede că există şi ∫ X
cfd µ şi, în plus are loc
∫ X
cfd µ =c ∫ X
fd .
8
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 9/17
Teoremă 2.3. Fie f ,g : X→ măsurabile şi să presupunem
că f+g este bine definită. Dacă ∫ X
fd şi ∫ X
gd µ există iar ∫ X
fd +
∫ X
gd µ este bine definită (nu este de forma ∞- ∞sau - ∞+ ∞)
atunci
∫ +X
d g f µ )( = ∫ X
fd µ + ∫ X
gd µ .
În plus, dacă f Є L(X) şi g Є L(X) atunci f+g Є L(X).
Demonstraţie. 1
Teoremă 2.4. Fie f.g: X→ măsurabile. Dacă f=g (a.p.t.) iar
∫ X
fd există atunci există şi ∫ X
gd µ iar ∫ X
fd = ∫ X
gd µ .
Demonstraţie. Cum f=g (a.p.t.), rezultă că f + = g + (a.p.t.) ,
f - = g - (a.p.t.) , aplicând teorema 2.2 obţinem că
∫ ∫ ++ =X X
d g d f µ µ iar ∫ ∫ −− =X X
d g d f µ µ , de unde rezultatul teoremei.
Teoremă 2.5. Dacă f : X→ este nula a.p.t. pe X atunci:
I. ∫ X
fd = 0
II. Dacă f ≤ g a.p.t.atunci ∫ X
fd ≤ ∫ X
gd µ .
Demonstraţie. I. rezultă din teorema 4 ţinănd seama că
funcţiile nule (a.p.t.) sunt măsurabile.
II. Cum g=f +(g –f) rezultă conform teoremei 3 că
1 Vezi Anca Precupanu: Analiză matematică.Funcţii reale, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti,1976
9
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 10/17
∫ X
gd µ = ∫ X
fd + µ µ d f g d f g X X ∫ ∫
−+ −−− )()( . Dar ( g-f) - =0 a.p.t., de
unde, conform cu I. , rezultă că ∫ X
fd µ ≤ ∫ X
gd µ .
Observaţie. Teorema 2.5 este importantă întrucât ne arată că în procesul deintegrare de tip Lebesgue mulţimile de măsură nulă au un efect nul, nici
integrabilitatea, nici valoarea integralei nefiind afectate de schimbarea
valorilor funcţiei pe o mulţime de măsură nulă.
3.Integrala unei funcţii măsurabile reale
Integrala Lebesgue (L) constituie o extensiune a integralei
Riemann (R), bucurându-se de o proprietate remarcabilă, care o
face să fie superioară integralei Riemann, şi anume, proprietatea
de aditivitate numărabilă (vezi teorema 3), proprietate care
este mai generală decât aditivitatea finită faţă de interval ce
apare în cazul integralei (R). Integrala Lebesgue (L) esteconstruită pe clasa mulţimilor măsurabile (L) , în timp ce integrala
Riemann (R)este definită pe lasa intervalelor (compacte sau
eventual necompacte în cazul integralelor (R) generalizate sau
10
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 11/17
“improprii”) ale lui , care este cuprinsă în clasa mulţimilor
măsurabile Lebesgue.
Să amintim mai întâi unele rezultate din teoria integralei
Riemann.Fie [a,b] un interval compact al lui şi fie f : [a,b]→ o
funcţie mărginită pe [a,b]. Să considerăm o diviziune arbitrară a
intervalului [a,b], adică:
∆: a = x 0 < x 1 < ... <x n = b.
se observă că mulţimile
(1 ) Ei = [x 0 , x 1] , Ei = ( x i-1 , x i ) , pentru i = 1,2,3, ..., nformează o partiţie, prin mulţimi măsurabile, a intervalului [a,b].
Să notăm prin (2) Mi =iE x
xf ∈
)(sup , mi =iE x
xf ∈
)(inf , i = 1,2,3, ..., n
şi să considerăm următoarele sume
∑=
−∆ −=n
iiii xxM S
11)( , ∑
=−∆ −=
n
iiii xxms
11)( , numite respetiv sumă
Darboux superioară şi sumă Darboux inferioară corespunzătoare
diviziunii ∆.
Spunem că f este integrabilă Riemann pe [a,b] dacă ,
pentru orice >0, există o diviziune ∆ a intervalului [ a,b] astfel
încât
ε <− ∆∆ sS , ceea ce implicăDD
sS ∈∆
∆∈∆∆ =supinf , unde D reprezintă mulţimea
tuturor diviziunilor intervalului [a,b]; valoarea comună este tocmai
integrala Riemann a funcţiei f pe [a,b], notată prin
(R) ∫ b
a
dxxf )( .
11
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 12/17
Teoremă. 3.1.Dacă f : [a,b]→ o funcţie mărginită şi
integrabilă Riemann pe [a,b] atunci este integrabilă Lebesgue pe
[a,b] iar
(R) ∫ b
a
dxxf )( =(L) ∫ b
a
fd µ .
Demonstraţie. Cum f este integrabilă Riemann pe [a,b], rezultă
că există un şir de diviziuni { }N k k ∈∆ ale intervalului [a,b] astfel încât
k sS
k k
1<− ∆∆ , oricare k , număr natural.
Să notăm punctele diviziunii k ∆ prin k ix i = 1,2,3, ..., nk , prin k
iE
mulţimile de tip (1) iar prin k i
k i mM , numerele de tip (2).
Observăm că sumele k k sS ∆∆ , se pot scrie ca integralele unor funcţii
etajate pe care le vom nota respectiv prin k k f f , .
În adevăr, ∫ ∑∑ ==−===
−∆
b
a
k
k n
i
k i
k i
k n
i
k i
k i
k ik
d f LE M xxM S µ µ )()()(11
1 , iar
∫ ∑∑ ==−===
−∆
b
a
k
k n
i
k i
k i
k n
i
k i
k i
k ik
d f LE mxxms µ µ )()()(11
1
Se observă că k k f f f ≤≤ , oricare k, număr natural.
FieN k
k
N k k
f f f f ∈∈
== inf ,sup şi astfel f f f ≤≤ .
În continuare se arată ă ultima relaţie se transformă în
egalitate a.p.t. .
Se consideră mulţimile { } ∞=
>−∈=>−∈1
1)()(;0)()(;
j jxf xf X xxf xf X x
şi se arată că fiecare din mulţimile ce apar în membrul al doilea al
egalităţii de mai sus este de măsură Lebesgue nulă.
Fie
>−∈=j
xf xf X xA j
1)()(; , unde j este număr natural arbitrar
fixat şi se notează α µ =)( jA .
12
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 13/17
Atunci N k j
f f j
f f k k ∈∀>−⇒>− ,
11şi deci,
N k j
d f f d f f k
X k
jAk k k ∈∀≥>−≥−> ∫ ∫ ,0)()(
1 α µ µ , de unde rezultă =0
Cum j este număr natural arbitrar fixat şi se notează{ } 0)0)()(;(0)( =>−∈⇒= xf xf X xA j µ µ , deci f f f == (a.p.t.)
Cum k k f f , sunt funcţii măsurabile , fiind funcţii etajate, rezultă că
f este măsurabilă.
Dar prin ipoteză funcţia f este mărginită, ceea ce împreună
cu măsurabilitatea funcţiei antrenează integrabilitatea Lebesgue a
lui f pe [a,b].Observaţii. 3.1.Reciproca acestei teoreme nu este adevărată, aşa cum se
poate vedea analizând funcţia din exemplul 1 pag.3.
Am văzut deja că funcţia
[ ]
[ ]
= bad i ni r a t i o n a l xp e n t r u
bad i nr a t i o n a l xp e n t r uxf
,.0
,,1)( este integrabilă Lebesgue iar
(L) ∫ b
a
fd µ =0.
Observăm însă că această funcţie nu este integrabilă Riemann, întrucât
S∆=1 şi s∆=0 pentru orice ∆ Є D, decik
sS k k
1<− ∆∆ nu poate avea loc.
13
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 14/17
2. Există funcţii integrabile Riemann în sens generalizat 2 care nu sunt
integrabile Lebesgue, aşa cum se vede din exemplul următor.
Exemplul 3.1. Fie funcţia
=
∞∈=
0,1
),0(,s i n
)(xd a că
xd a căx
x
xf despre care se
ştie că este integrabilă (R) în sens generalizat pe [0,∞ ) dar pentru
care nu există (R) dxf ∫ ∞
0
. Pe de altă parte, f Є L ([0,∞ )) dacă şi
numai dacă |f | Є L ([0,∞ )) şi atunci, ţinând seama că [0,∞ )=
)[∞=1 ,0n
n iar funcţia ν(A)=∫ A
d f µ , pentru oricare A Є Α, este o
măsură pe Т, (clasa tuturor mulţimilor măsurabile Lebesque),
avem
(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞
∞→∞→
∞
+∞====0000
)()(lim)(lim dxf Rdxf Rd f Ld f n
n
n
nµ µ , deci ∉f L ([0,∞ ))
În continuare este prezentat un caz în care integralitatea (R)
în sens generalizat antrenează integralitatea (L).
Teoremă 3.2. Dacă f: → este mărginită iar |f |este
integrabilă (R) pe ( -∞, +∞) atunci f Є L (( -∞, + ∞ )) şi
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−= fdxRfdxL )()( .
2 Fie f: → , spunem că funcţia este integrabilă Riemann ( în sensgeneralizat ) pe ( -∞, +∞) dacă, pentru a şi b numere reale, f este mărginită
şi integrabilă Riemann pe [a, b ] iar ∫ −∞→∞→
b
aab
fdxlim există şi este finită.
14
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 15/17
Demonstraţie. Conform teoremei 3.1. avem
ℜ∈∀≤=∫ ∫ ∫ ∞
∞−
badxf Rdxf Rdxf Lb
a
b
a
,,)()()( , rezultă că |f | Є L( ) şi deci
f Є L( ) . Ţinând seama de faptul că teoremei 3.1. ne asigură că
(R) ∫ b
a
dxxf )( =(L) ∫ b
a
fdx , apoi aplicând definiţia integralei (R)
generalizate obţinem că ∫ ∫ +∞
∞−
+∞
∞−
= fdxRfdxL )()( .
S-a constatat că utilizarea unor proprietăţi ale integralei (L)
în cazul unor funcţii integrabile (R) oferă eleganţă şi uşurinţă înstabilirea unor proprietăţi ale integralei (R).
În aest sens este prezentat următorul exemplu.
Exemplul 3.2. (Funcţia lui Riemann) . Fie f : [-1,1]→ ,
definită prin
[ ] ( )
∈=
−ℜ∩−∈=
=N nş ie l eî n t r ep r i m eî n t r e g in u m e r es u n t nu n d e m
n
mxd a că
n
Qxs a uxd a că
xf ,
,,
1
1,10,0
)(
Funcţia f este continuă în orice punct iraţional din [-1,1], este
mărginită pe [-1,1] şi cum mulţimea discontinuităţilor sale,
Q∩[-1,1],este numărabilă, deci de măsură Lebesgue 0, rezultă căf ЄR([-1,1]) Recurgând la definiţia integralei (R) am putea calcula
(R) .)(1
1
∫ −
dxxf
15
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 16/17
Se poate obţine cu uşurinţă valoarea (R) ,)(1
1
∫ −
dxxf ţinând
seama că f Є L([-1,1]) ( teorema 3.1.).
În adevăr, cum f = 0 (µ-a.p.t.) rezultă că (L) 0)(1
1
=∫ −
dxxf , de
unde întrucât f ЄR([-1,1]) avem şi (R) 0)(1
1
=∫ −
dxxf .
Bibliografie:
Anca Precupanu: Analiză matematică.Funcţii reale, EdituraDidactică şi Pedagogică, Bucureşti,1976
Ion Chiţescu: Elemente de teoria măsurii şi integralei,Editura
Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 1999
16
8/7/2019 Ref integrala L
http://slidepdf.com/reader/full/ref-integrala-l 17/17
E. Câmpu, I.Chiţesu, Gh.Sireţchi: Analiza matematică, Tipografia
Universităţii din Bucureşti
17