Download - Met. de Rez. Circuite
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
II. 5. METODE DE REZOLVARE A REŢELELOR ELECTRICE
5. a. Teoremele lui Kirchhoff.
5. b. Metoda curenţilor ciclici.
5. c. Metoda potenţialelor de noduri.
5. d. Suprapunerea regimurilor permanente.
5. e. Teorema sursei echivalente de tensiune (Thevenin)
5. f. Teorema sursei echivalente de curent (Norton)
5. g. Aplicaţii.
5. a. Teoremele lui Kirchhoff
Rezistorii şi sursele se numesc elemente electrice. Un ansamblu de
elemente electrice asociate într-un mod arbitrar se numeşte reţea electrică.
Reţelele electrice sunt alcătuite din: noduri de reţea, laturi de reţea şi ochiuri
de reţea.
Se numeşte nod de reţea punctul de întâlnire a cel puţin trei curenţi.
Se numeşte ramură de reţea sau latură de reţea, porţiunea de reţea
cuprinsă între două noduri succesive.
Se numeşte ochi de reţea, linia poligonală închisă alcătuită din linii
de reţea.
205
Bazele fizice ale electromagnetismului
Un exemplu de reţea electrică este cel din figura 120.
Fig. 120- Reţea electrică.
Kirchhoff a arătat, în anul 1848, că, pe baza legilor lui Ohm, se pot
formula anumite teoreme ce permit aflarea curenţilor electrici prin ramurile
reţelei atunci când se cunosc caracteristicile elementelor electrice. Deoarece
teoremele lui Kirchhoff sunt deduse din legile lui Ohm, ele nu aduc
informaţii de natură fizică noi.
Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la nodurile de reţea.
Deoarece regimul de curent este staţionar, în conformitate cu legea
conservării sarcinii electrice, în orice punct al circuitului electric sarcina
electrică trebuie să rămână constantă. Aceasta înseamnă că suma sarcinilor
electrice care intră într-un nod într-un anumit interval de timp, trebuie să
fie egală cu sarcina ce iese din nod în acelaşi interval de timp. Aceasta
poate fi exprimată matematic folosind următoarea convenţie de semn: se
consideră pozitivi curenţii care intră într-un nod de reţea şi negativi curenţii
care ies din nodul de reţea. Adică:
(II. 43)
Formula (II. 43) reprezintă expresia matematică a primei teoreme a
lui Kirchhoff.
R3
R2
R1E1
E2
206
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
Fie ramura de reţea din figura 121
Fig. 121- Referitor la demonstrarea teoremei II a lui Kirchhoff.
În conformitate cu legea lui Ohm, rezultă:
(II. 44)
Dacă curentul circulă în sens invers prin ramura din figura 121
putem scrie:
(II. 45)
În primul caz diferenţa de potenţial este pozitivă iar în cel de al
doilea caz negativă.
Pot exista ramuri ca cea din figura 122.
Fig. 122- Referitor la demonstrarea teoremei II a lui Kirchhoff.
În conformitate cu legea lui Ohm, rezultă:
(II. 46)
În acest caz diferenţa de potenţial este pozitivă.
Pentru a sintetiza aceste relaţii într-una singură se fac convenţiile:
- se alege un sens de parcurs al laturii ce ne fixează sensul diferenţei
de potenţial;
A Ii Emi Ri B
A Ii Emi Ri B
207
Bazele fizice ale electromagnetismului
- se consideră pozitivi curenţii care au acelaşi sens cu sensul pozitiv
ales şi negativi ceilalţi;
- se consideră pozitive tensiunile electromotoare care au acelaşi sens
cu sensul pozitiv ales (sursa este parcursă de la borna negativă la cea
pozitivă).
Cu aceste convenţii, relaţiile (II. 44), (II. 45) şi (II. 46) se scriu, în
mod unitar, astfel:
VA-VB=RiIi-Ei (II. 47)
Pentru un ochi de reţea, putem alege sensurile pozitive ale laturilor
astfel încât să determine un sens unic pe conturul ochiului. Parcurgând orice
ochi, pentru care am ales un sens pozitiv de parcurgere, vom reveni în
punctul de plecare astfel încât diferenţa dintre punctul de plecare şi punctul
de sosire este 0. Adunând relaţiile (II. 47) şi ţinând cont de ceea ce am spus
mai sus rezultă:
sau:
(II. 48)
Formula (II. 48) reprezintă expresia matematică a celei de a doua
teorema a lui Kirchhoff. În cuvinte aceasta se poate enunţa astfel: Suma
tensiunilor electromotoare de pe un ochi de reţea este egală cu suma
căderilor de tensiune de pe laturile ochiului de reţea.
Ecuaţiile (II. 43) şi (II. 48) aplicate unei reţele electrice permit
determinarea curenţilor prin ramuri. Deoarece în stabilirea regimului reţelei
contează de fapt diferenţele de potenţial - potenţialul unuia dintre noduri
poate fi luat ca reper - numărul de ecuaţii furnizat de prima teoremă este
egal cu n-1, dacă n este numărul total de noduri din reţea.
208
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
Şi cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff conduce la un sistem de
ecuaţii mai mare decât numărul de ecuaţii independente. Pentru a alege
ecuaţiile independente se stabilesc ochiurile de reţea independente. Se
numesc ochiuri de reţea independente ochiurile de reţea ce conţin fiecare
câte o ramură pe care nu o conţine un alt ochi. Euler a demonstrat că
numărul ochiurilor independente este dat de relaţia:
p=l-(n-1) (II. 49)
unde: p este numărul ochiurilor independente, l numărul laturilor reţelei, iar
n numărul de noduri.
Teoremele lui Kirchhoff permit aflarea rezistenţei echivalente pentru
o porţiune de reţea aflată între două noduri. Spre exemplu, fie reţeaua
electrică din figura 123.
Fig. 123- Sistem de rezistori legaţi în serie.
Rezistorii din figura 123 sunt legaţi în serie. Diferenţa de potenţial
pe fiecare rezistor este:
VA-VM=R1I şi VM-VB=R2I.
Diferenţa de potenţial de la capetele porţiunii de reţea este:
VA-VB= R!I +R2I = (R1+R2)I=RI
Notând cu R rezistenţa echivalentă am obţinut, deci:
R=R1 + R2
Prin generalizare rezultă:
(II. 50)
A R1 R2M B
209
Bazele fizice ale electromagnetismului
Dacă rezistorii sunt legaţi în paralel, ca în figura 124, în nodul A
putem aplica prima teoremă a lui Kirchhoff.
Fig. 124 - Gruparea paralelă a rezistorilor.
Obţinem:
I=I1+I2+..... +IK
Diferenţa de potenţial dintre punctele A şi B este:
VA- VB=R1I1=... =RKIK=RI
Aflând din ultima ecuaţie curenţii electrici şi înlocuindu-i în prima ecuaţie,
rezultă:
(II. 51)
5. b. Metoda curenţilor ciclici
Se poate înlocui prima teoremă a lui Kirchhoff cu un sistem de
curenţi ciclici care acţionează pe fiecare ochi de reţea. Cu ajutorul curenţilor
ciclici curentul pe fiecare ramură devine egal cu suma algebrică a curenţilor
ciclici care trec prin acea ramură. Aplicând cea de a doua teoremă a lui
A I B
I1
I2
I3
Ik
R1
R2
Rk
210
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
Kirchhoff pe ochiurile independente se pot afla curenţii ciclici şi de aici
curenţii prin ramuri.
Metoda curenţilor ciclici este avantajoasă în cazul reţelelor cu multe
ochiuri.
Să aplicăm metoda curenţilor ciclici pentru a afla sursa echivalentă a
unei baterii de m surse grupate în paralel, ca în figura 125.
Fig. 125 - Baterie de elemente legate în paralel.
Presupunem că toate sursele au aceeaşi rezistenţă internă R0. Alegem
ochiurile independente formate din rezistorul R şi una din surse. Alegând pe
fiecare un curent ciclic de valoare I1, I2,..., Im şi aplicând a doua teoremă a
lui Kirchhoff, obţinem:
E1= (I1+I2+... +Im)R+I1R0
E2= (I1+I2+... +Im)R+I2R0
......................................
Em= (I1+I2+... +Im)R+ImR0
Adunând toate ecuaţiile din sistemul de mai sus, rezultă:
E1+E2+... Em=m (I1+I2+... Im)R+(I1+I2+... +Im)R0
Curentul electric prin rezistorul R este:
I= I1+I2+... +Im
Şi are valoarea:
R
E2,R0
E1,R0
Em,R0
211
Bazele fizice ale electromagnetismului
Dacă înlocuim ansamblul de surse cu o sursă de tensiune
electromotoare E şi rezistenţa internă R0/m (deoarece rezistenţele interne
sunt grupate în paralel), curentul electric prin rezistorul R va fi:
Din egalitatea ultimelor ecuaţii, rezultă:
(II. 52)
Dacă toate sursele au aceeaşi tensiune electromotoare, relaţia (II. 52)
arată că tensiunea electromotoare echivalentă este egală cu una din
tensiunile electromotoare ale elementelor.
5. c. Metoda potenţialelor de noduri
În metoda potenţialelor de noduri se aleg ca necunoscute auxiliare
potenţialele nodurilor. Aceasta se bazează pe aplicarea legii lui Ohm
generalizată pentru fiecare ramură. Pentru aplicarea acestei metode se aleg
perechile de noduri independente.
Dacă numărul de noduri este n numărul de perechi de noduri
independente este: u=n-1
După stabilirea perechilor de noduri independente, se aplică legea lui
Ohm generalizată pentru fiecare pereche de noduri independente. Sistemul
212
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
de ecuaţii astfel obţinut se completează cu sistemul de ecuaţii obţinut prin
aplicarea primei teorema a lui Kirchhoff.
5. d. Suprapunerea regimurilor permanente.
Analizând sistemul de ecuaţii (II. 43) şi (II. 48) constatăm că el este
un sistem de ecuaţii liniare. Cu alte cuvinte intensităţile curenţilor electrici
prin laturi sunt funcţii liniare de tensiunile electromotoare ale surselor.
Fie K una din laturile reţelei şi E1, E2,..., Em tensiunile
electromotoare ale surselor din reţea. Intensitate curentului electric prin
această latură va fi:
Dacă în locul surselor iniţiale punem sursele de tensiune
electromotoare E1’,E2’,..., En’ rezultă:
Făcând ca sistemul să conţină simultan ambele sisteme de surse,
rezultă:
Din compararea expresiilor curenţilor IK, I’K şi I’’K se obţine:
IK”=IK+IK’ (II. 53)
Ecuaţia (II. 53) poate fi uşor generalizată la suprapunerea unui
număr oarecare de sisteme de surse. Pe baza acestei observaţii, metoda
suprapunerii regimurilor permanente constă în menţinerea pe rând în circuit
a unei singure surse şi înlocuirea celorlalte cu rezistenţele lor interne.
Curentul final printr-o ramură fiind suma curenţilor astfel calculaţi.
213
Bazele fizice ale electromagnetismului
Pentru a vedea modul de aplicare al acestei metode să considerăm
bateria de elemente din figura 126.
Fig. 126 - Baterie de elemente grupate în serie.
Păstrând doar prima sursă şi înlocuindu-le pe celelalte cu rezistenţa
lor internă, curentul prin rezistorul de sarcină este:
Procedând în mod analog, prin păstrarea elementului K şi înlocuirea
celorlalte cu rezistenţele lor interne, se obţine curentul:
Aplicând relaţia (II. 53) generalizată rezultă:
Dacă înlocuim bateria de surse cu o sursă de tensiune electromotoare
E=E1+E2+... +En şi rezistenţa internă Ri=nR0, prin circuit va trece acelaşi
214
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
curent. În cazul în care sursele au aceeaşi tensiune electromotoare E0,
tensiunea electromotoare echivalentă este:
E=nE0 (II. 54)
Formula (II. 54) ne arată că pentru a obţine o sursă cu tensiune
electromotoare mai mare trebuie să grupăm mai multe elemente în serie. În
aceste condiţii rezistenţa internă se măreşte.
5. e. Teorema sursei echivalente de tensiune (Thevenin)
Când este necesar să se cunoască numai intensitatea curentului care
parcurge o anumită ramură a unei reţele, sau intensitatea curentului care
trece printr-o derivaţie nouă care se conectează la două puncte oarecare ale
reţelei, este inutil să se aplice teoremele lui Kirchhoff pentru întreaga reţea.
Un ansamblu de generatoare şi consumatoare ce se conectează prin
mai multe puncte la restul reţelei se numeşte porţiune de reţea sau reţea
neizolată.
O reţea neizolată poate fi înlocuită cu o alta fără ca intensităţile prin
punctele de acces şi potenţialele acestor puncte să se modifice. Reţeaua ce
înlocuieşte reţeaua neizolată se numeşte schemă echivalentă.
O reţea neizolată care are doar două borne de acces se numeşte reţea
dipolară activă.
Teorema sursei de tensiune echivalente afirmă că intensitatea
curentului care traversează o ramură suplimentară, constituită dintr-un
rezistor de rezistenţă R, conectat între două puncte A şi B ale unei reţele,
este aceeaşi cu cea datorată unei surse de tensiune electromotoare E0 egală
cu diferenţa de potenţial care există între punctele A şi B înainte de
215
Bazele fizice ale electromagnetismului
conectarea noii derivaţii şi de rezistenţă interioară Ri egală cu rezistenţa
echivalentă a reţelei pasivate între punctele A şi B.
Se numeşte reţea pasivată, reţeaua în care sursele se înlocuiesc cu
rezistenţele lor interne.
Pentru demonstrarea acestei teoreme se foloseşte metoda
suprapunerii regimurilor permanente
Fie o reţea, reprezentată simbolic în figura 127.
Fig. 127- Reţea dipolară activă.
Dacă între punctele A şi B se aşează un rezistor de rezistenţă R, se
obţine schema din figura 128.
Fig. 128- Rezistor aşezat le bornele unei reţele dipolare active.
A + - B
A + - B
RI
216
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
Într-o primă etapă se înlocuiesc sursele cu rezistenţele lor interne iar
în noua ramură se pune o sursă cu tensiunea electromotoare
E0=VA-VB
legată cu polul negativ în punctul A. În aceste condiţii se obţine schema din
figura 129.
Curentul electric ce trece prin noua ramură este:
Dacă se reintroduc sursele, deoarece E0 este egală şi de sens contrar
tensiunii VA-VB rezultă că prin circuit va trece curentul:
I”=0
Fig. 129- Referitor la teorema sursei de tensiune echivalentă.
În conformitate cu metoda suprapunerii regimurilor permanente,
rezultă că prin noua ramură va trece un curent de intensitate:
(II. 55)
Formula (II. 55) reprezintă forma matematică a teoremei sursei de
tensiune echivalente.
A + - B
I’R
E0
- +
217
Bazele fizice ale electromagnetismului
5. f. Teorema sursei echivalente de curent (Norton)
Teorema sursei echivalente de curent afirmă că diferenţa de
potenţial de la capetele unei ramuri suplimentare, constituită dintr-un
rezistor de rezistenţă R, conectat între punctele A şi B ale unei reţele active
este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IS care parcurge reţeaua
când este scurtcircuitată între aceste puncte şi suma conductanţelor
exterioare G şi interioară Gi egală cu conductanţa reţelei pasive între
punctele A şi B.
În conformitate cu teorema lui Thevenin, curentul prin noua ramură
este:
Dacă rezistenţa externă este zero, curentul este:
Folosind expresia curentului de scurtcircuit, curentul prin noua
ramură poate fi exprimat şi astfel:
Definind conductanţele prin relaţia:
rezultă:
218
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
Deoarece:
rezultă:
(II. 56)
Relaţia (II. 56) reprezintă expresia matematică a legii lui Norton.
5. g. Aplicaţii
Problema 5. 1.
Fie reţeaua electrică din figura 130. Să se determine intensitatea
curentului din latura de rezistenţă R3 prin metodele: teoremele lui Kirchhoff,
Thevenin, Norton, metoda curenţilor ciclici, metoda superpoziţiei şi metoda
potenţialelor de noduri.
Fig. 130- Referitor la problema 5. 1.
Soluţia 1.
219
Bazele fizice ale electromagnetismului
Aplicând teoremele lui Kirchhoff se obţine sistemul de ecuaţii:
I1-I2-I3=0
R1I1+R3I3=Ue1
R2I2-R3I3=Ue2
din care rezultă:
Soluţia 2.
Aplicând teorema lui Thevenin, curentul prin rezistenţa R3 este dat
de relaţia:
în care
şi
Înlocuind în prima formulă se obţine:
Soluţia 3.
Aplicând teorema lui Norton, curentul din rezistenţa R3 se poate
calcula cu ajutorul curentului de scurtcircuit care se formează la
scurtcircuitarea bornelor A şi B, din relaţia:
220
Metode de rezolvare a reţelelor electrice
în care:
Înlocuind în expresia lui I3 se obţine acelaşi rezultat.
Soluţia 4.
Se aplică teorema curenţilor ciclici celor două ochiuri independente.
Sistemul de ecuaţii ce se obţine este:
(R1+R3)I’-R3I”=Ue1
R3I’+(R2+R3)I”=Ue2
Curentul prin latura de rezistenţă R3 se calculează cu relaţia:
I3=I’-I”
Soluţia 5.
Folosind teorema superpoziţiei, presupunând că acţionează numai
pila de tensiune electromotoare Ue1, avem:
şi
În mod asemănător se obţine curentul I3” în ipoteza că acţionează
numai pila de tensiune electromotoare Ue2. Conform teoremei superpoziţiei,
rezultă:
I3=I3”-I3”
Soluţia 6. 7
221
Bazele fizice ale electromagnetismului
Dacă se aplică teorema potenţialelor de noduri se obţine o singură
ecuaţie cu o singură necunoscută V1. Avem:
(G1+G2+G3)V1=Ue1G1+(-Ue2)G2
Curentul prin rezistorul R3 se calculează cu formula:
222