Matematici speciale
Functii complexe
Martie 2018
ii
“In matematica nu intelegi lucrurile. Doar te obisnuiesti cu ele”
John von Neumann
4Functii complexe
Numere complexe
Orice numar complex are o unica reprezentare:
𝑧 = 𝑥 + 𝑖 · 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ R
Numerele complexe pot fi reprezentate grafic printr-un vector orientat cuoriginea in originea reperului si varful in punctul 𝐴(𝑥, 𝑦). Spunem ca 𝑧 esteafixul punctului 𝐴(𝑥, 𝑦). Mai jos putem observa cum numarul complex 𝑧 = 2+3𝑖
este reprezentat atat prin intermediul unui vector de pozitie−→𝑂𝐴 cat si prin
intermediul punctului 𝐴(2, 3):
Numim 𝑥 = Re(𝑧) parte reala si 𝑦 = Im(𝑧) parte imaginara a numaruluicomplex 𝑧. Daca 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C numim 𝑧 = 𝑥− 𝑖𝑦 conjugatul numaruluicomplex 𝑧. Imaginea conjugatului se obtine prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥:
1
Partea reala si partea imaginara satisfac relatiile:
𝑅𝑒(𝑧) =𝑧 + 𝑧
2, 𝐼𝑚(𝑧) =
𝑧 − 𝑧
2𝑖
Suma a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:
𝑧1 +𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)+(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 +𝑥2 + 𝑖(𝑦1 +𝑦2)
si imaginea sa se obtine prin regula paralelogramului:
Diferenta a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:
𝑧1−𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)−(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1−𝑥2 + 𝑖(𝑦1−𝑦2)
si imaginea sa se obtine cu regula triunghiului apoi se aplica o translatie panain originea reperului:
2
Pentru produsul a doua numere complexe 𝑧1 si 𝑧2 avem regula naturala:
𝑧1 ·𝑧2 = (𝑥1+𝑖𝑦1)·(𝑥2+𝑖𝑦2) = 𝑥1 ·𝑥2−𝑦1𝑦2+𝑖(𝑦1𝑥2+𝑥1𝑦2)
E de fapt inmultirea obisnuita a doua paranteze tinand cont de noutatea:
𝑖2 = −1
Reprezentarea grafica a produsului o vom prezenta mai tarziu, dupa ce vomintelege mai bine informatiile codificate in scrierea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
Lungimea vectorului prin care un numar complex este reprezentat se numestemodulul numarului complex. Modulul numarului complex 𝑧 = 𝑥+ 𝑖𝑦 se noteaza|𝑧| sau folosind litera 𝑟.
|𝑧| =√𝑧 · 𝑧 =
√𝑥2 + 𝑦2
Modulul coincide cu norma euclidiana a vectorului prin care 𝑧 este reprezentat:
3
Daca 𝑧 = 0, putem forma inversul sau folosind regula:
1
𝑧=
𝑧
|𝑧|2=
𝑥− 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Inversul unui numar complex se reprezinta prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥 apoiinversiune fata de cercul unitate. Vectorul care reprezinta numarul complex 1
𝑧indica in acelasi sens ca si 𝑧 dar are lungimea 1
𝑟 , cand 𝑧 are lungimea 𝑟.
Catul a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 e de fapt produsul lui 𝑧1 cu inversul lui𝑧2:
𝑧1𝑧2
= 𝑧1 ·1
𝑧2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 1
𝑥2 + 𝑖𝑦2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑥22 + 𝑦22
=𝑥1 · 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 − 𝑖(𝑦1𝑥2 + 𝑥1𝑦2)
𝑥22 + 𝑦22
Unghiul 𝜃 format de semiaxa pozitiva 𝑂𝑥 si vectorul−→𝑂𝐴, prin care numarul
complex e reprezentat, se numeste argumentul numarului complex 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
4
Avem urmatoarea formula pentru a obtine acest unghi:
𝜃 = arctg(𝑦𝑥
)+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z
Deoarece cos si sin sunt 2𝜋-periodice, argumentul nu este unic determinat, ci𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋, . . . reprezinta alte argumente posibile ale lui 𝑧.
Din aceasta cauza vom nota cu:
arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z
multimea tuturor argumentelor.Pentru 𝑟 := |𝑧| =
√𝑥2 + 𝑦2 se observa pe baza figurii anterioare ca:
Reprezentarea trigonometrica (polara) a unui numar complex:Fiecare numar comlex poate fi reprezentat sub forma:
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
unde 𝑟 si 𝜃 se vor numi coordonatele polare ale lui 𝑧.
Cautam sa aflam reprezentarea trigonometrica a lui 𝑧 = −√
3−𝑖. Deoarece𝑥 = −
√3 si 𝑦 = −1 obtinem:
𝜃 = arctg(𝑦𝑥
)= arctg
(√3
3
)=
𝜋
6+ 𝑘𝜋
Punctul 𝐴(−√
3,−1) (imaginea lui 𝑧) se afla in cadranul III din aceastacauza ar trebui sa avem:
𝜋 < 𝜃 <3𝜋
2.
O astfel de valoare se obtine pentru 𝑘 = 1, deci 𝜃 = 𝜋6 +1·𝜋 = 7𝜋
6 . Modulul
Exemplu:
5
sau este 𝑟 = |𝑧| =√
(−√
3)2 + (−1)2 = 2. Prin urmare reprezentarea
trigonometrica (polara) este:
𝑧 = 2
(cos
7𝜋
6+ sin
7𝜋
6
)�
Argument principal: Vom nota unghiul 𝜃 pentru care are loc:
−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋
prin Arg(𝑧) si il vom numi argumentul principal a lui 𝑧. Are loc relatia:
arg(𝑧) = Arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ZZ.
In exemplul anterior argumentul ales a fost 𝜃 = 7𝜋6 . Cu ajutorul for-
mulei Arg(𝑧) = 𝜃 ± 2𝑘𝜋 ∈ (−𝜋, 𝜋], 𝑘 ∈ N, cautam sa obtinem argumentulprincipal.
Din aceasta cauza: Arg(𝑧) = 7𝜋6 − 2𝜋 = − 5𝜋
6 .
Asadar avem inca o posibila reprezentare trigonometrica:
𝑧 = 2
(cos
(−5𝜋
6
)+ sin
(−5𝜋
6
))�
Exemplu:
In acest moment putem sa dam o semnificatie grafica produsului a douanumere complexe cu ajutorul reprezentarilor polare:
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 + 𝜃2))
6
Putem astfel intelege ce se intampla la inmultirea lui 𝑧2 cu 𝑧1. Numarul complex𝑧1 transforma vectorul de pozitie a lui 𝑧2 rotindu-l cu un unghi 𝜃1 = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) injurul originii apoi scalandu-l incat sa aibe lungimea egala cu produsul lungimilorcelor doi vectori. Asadar o inmultire cu un numar complex este din punct devedere geometric o rotatie si apoi o scalare. O situatie asemanatoare are locpentru catul lor:
𝑧1𝑧2
=𝑟1𝑟2
(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2))
Una dintre motivatiile formei trigonometrice este posibilitea de a exprima ele-gant puterea unui numar complex:
Formula lui Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃), pentru orice 𝑛 ∈ Z.
Radacinile ecuatiei 𝑤𝑛 = 𝑧:Pentru orice numar natural 𝑛 ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑧 are exact 𝑛 solutii, mai exact:
𝑛√𝑧 = 𝑛
√|𝑧|(
cos𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
),
unde 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.
Ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑖, 𝑤 ∈ C va avea trei solutii. Se observa usor, reprezentandgrafic numarul 𝑖, ca |𝑖| = 1 si 𝜃 = 𝜋
2 , asadar:Pentru 𝑘 = 0 :
Exemplu:
7
𝑤1 =3√
1
(cos
𝜋2
3+ 𝑖 sin
𝜋2
3
)= cos
𝜋
6+ 𝑖 sin
𝜋
6
=
√3
2+
1
2𝑖
Pentru 𝑘 = 1 :
𝑤2 =3√
1
(cos
𝜋2 + 2𝜋
3+ 𝑖 sin
𝜋2 + 2𝜋
3
)= cos
5𝜋
6+ 𝑖 sin
5𝜋
6
= cos(𝜋 − 𝜋
6
)+ 𝑖 sin
(𝜋 − 𝜋
6
)= − cos
𝜋
6+ 𝑖 sin
𝜋
6= −
√3
2+
1
2𝑖
si pentru 𝑘 = 2 :
𝑤3 =3√
1
(cos
𝜋2 + 4𝜋
3+ 𝑖 sin
𝜋2 + 4𝜋
3
)= cos
9𝜋
6+ 𝑖 sin
9𝜋
6
= cos3𝜋
2+ 𝑖 sin
3𝜋
2= cos
(2𝜋 − 𝜋
2
)+ 𝑖 sin
(2𝜋 − 𝜋
2
)= cos
𝜋
2− 𝑖 sin
𝜋
2= −𝑖
�
Pentru orice 𝑛 ∈ N exista exact 𝑛 radacini de ordinul 𝑛 ale numarului𝑧 = 1, mai precis:
𝜀1 = cos2𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝜋
𝑛
𝜀2 = cos4𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
4𝜋
𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝜀𝑘 = cos2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝑘𝜋
𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝜀𝑛 = 1
Radacinile unitatii 𝜀𝑛 = 1:
Din punct de vedere grafic imaginile acestora sunt 𝑛 puncte situate pe cercul deraza 1 si origine 𝑂 (cercul unitate).
Functii complexe
O functie cu valori complexe este o functie 𝑓 : 𝐷 → C pentru care domeniulde valori este o submultime a lui C. Atunci cand 𝐷 ⊂ C spunem ca avem ofunctie complexa.
8
De obicei scriem:𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦),
unde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, pentru o functie complexa 𝑓. Astfel 𝑢, 𝑣 vor fi functii reale.
Functii liniare: O functie complexa 𝑓 se numeste lineara daca exista con-stantele complexe 𝑎, 𝑏 ∈ C, 𝑎 = 0, astfel incat:
𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
∙ Pentru 𝑎 = 1 se obtine ceea ce in geometrie numim translatie in directiaindicata de 𝑏:
𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
∙ Cand 𝑎 ∈ R+ si 𝑏 = 0 obtinem o scalare cu factorul de scalare a>0:
𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧, 𝑧 ∈ C.
adica modulul lui 𝑧 va fi marit (𝑎 > 1) sau micsorat (0 < 𝑎 < 1).∙ Daca 𝑎 ∈ C astfel ca |𝑎| = 1 si 𝑏 = 0 atunci obtinem o rotatie in
jurul originii, in sens pozitiv trigonometric, de unghi 𝜃 = Arg(𝑎):
𝑓(𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧, 𝑧 ∈ C.
Remarca:
Structura unei aplicatii liniare:Orice aplicatie liniara 𝑓 : C → C se descompune in:
𝑓 = 𝑓3 ∘ 𝑓2 ∘ 𝑓1
unde cele trei functii reprezinta:1) 𝑓1(𝑧) == (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧 o rotatie in jurul originii
2) 𝑓2(𝑧) = |𝑎|𝑧 o scalare
3) 𝑓3(𝑧) = 𝑧 + 𝑏 o translatie de ”vector” 𝑏
In continuare vom incepe sa studiem varianta complexa a unor functii ele-mentare. Unele astfel de extinderi nu conduc la functii propriu-zise ci la ceeace vom numi functii multivalente: adica functii care asociaza unui numar 𝑧 maimulte posibile valori.
Functia exponentiala complexa:Functia exponentiala exp : C → C este definita prin:
exp(𝑧) = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 := 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin 𝑦
9
Se observa usor ca de fapt |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 si arg(𝑧) = 𝑦 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z.
Proprietatile functiei exponentiale:
i) functia exponentiala este o functie 2𝜋𝑖-periodica:
𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧, 𝑧 ∈ C.
ii) 𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤, 𝑧, 𝑤 ∈ C,
iii)𝑒𝑧
𝑒𝑤= 𝑒𝑧−𝑤
iv) (𝑒𝑧)𝑛 = 𝑒𝑛𝑧, 𝑛 ∈ Z.
Logaritmul complex:Functia mutivalenta:
Ln(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · arg(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · (𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋)
se numeste logaritm complex Ln : C* → C si reprezinta solutia ecuatiei:
𝑒𝑤 = 𝑧.
Proprietatile logaritmului complex:Pentru orice 𝑧, 𝑤 = 0 au loc:
i) Ln(𝑧) + Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤)
ii) Ln𝑧 − Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤
)iii) Ln(𝑧𝑛) = 𝑛 · Ln(𝑧), 𝑛 ∈ Z.
Egalitatile de mai sus trebuie interpretate ca identitati intre multimi si nuintre numere complexe, caci functia multivalenta complexa returneaza ca valoareo multime de numere si nu un numar.
”Functia” putere:Putem defini ridicarea la putere complexa cu ajutorul logaritmului complex:
𝑧𝛼 = 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖 arg(𝑧))
unde 𝛼 ∈ C este o constanta complexa.
10
Functia putere definita mai sus este tot multivalenta deci nu e propriu-ziso functie. Insa expresia 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖Arg(𝑧)) numita valoare principala a functieiputere 𝑓(𝑧) = 𝑧𝛼 este o functie complexa de 𝑧 (atribuie o unica valoare fiecaruinumar 𝑧).
Proprietatile alegbrice obisnuite ale functiei putere nu se aplica varianteicomplexe. Regula 𝑧𝛼 · 𝑤𝛼 = (𝑧𝑤)𝛼, de exemplu, nu e valabila pentruorice 𝑧, 𝑤 ∈ C* si 𝛼, 𝛽 ∈ C. Spre exemplu, tinand cont de definitia functieimutivalente putere:
(−1)𝑖 · (−1)𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1))𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1)))
= 𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋)𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋) =1
𝑒2𝜋+4𝑘𝜋
dar si:
[(−1) · (−1)]𝑖 = 1𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(1)) = 𝑒−(0+2𝑘𝜋) =1
𝑒2𝑘𝜋
Remarca:
Functiile trigonometrice si hiperbolice complexe:Urmatoarele functii sunt extinderi ale functiilor reale corespunzatoare:
sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧
2𝑖, sinh 𝑧 =
𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧
2
cos 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
2, cosh 𝑧 =
𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2
Aceste functii sunt continue si derivabile pe C !
Proprietati elementare :Pentru orice 𝑧 ∈ C :
i) cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 si cosh2 𝑧− sinh2 𝑧 = 1
ii) cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧 si sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧
iii) in C au loc, la fel ca in R, regulile:
sin(𝑧1 ± 𝑧2) = sin 𝑧1 cos 𝑧2 ± sin 𝑧2 cos 𝑧1,
cos(𝑧1 ± 𝑧2) = cos 𝑧1 cos 𝑧2 ∓ sin 𝑧1 sin 𝑧2.
11
Complex versus real
In planul complex distanta se calculeaza prin:
𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| =√
(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2, 𝑧, 𝑤 ∈ C.
Tinand cont de aceasta putem sa vizualizam o vecinatate deschisa in jurul lui𝑧0 ca fiind un disc centrat in 𝑧0 si de raza 𝛿, adica multimea:
𝐷(𝑧0, 𝛿) = {𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿}.
Siruri convergente:Fie (𝑧𝑛)𝑛 un sir de numere complexe si 𝑧 ∈ C. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:
𝑧𝑛 → 𝑧, fur 𝑛 → ∞ ⇔ Re(zn) → Re(z) pentru Im(zn) → Im(z), si 𝑛 → ∞
In C o functie 𝑓 : 𝐷 → C are limita 𝐿 in punctul 𝑧0 daca si numai dacapentru toate sirurile (𝑧𝑛)𝑛, care converg la 𝑧0, sirul 𝑓(𝑧𝑛) converge la 𝐿.
Diferenta dintre cazul complex si cel real este ca in C sirurile nu se apropiede limita doar dintr-o directie ci se pot apropia dintr-o infinitate de directii sautraiectorii:
12
In cazul sirurilor reale aproprierea de limita se face doar pe o traiectorie ori-zontala (axa 𝑂𝑥). In complex convergenta este mai greu de realizat dupa cumarata urmatorul exemplu.
Limita lim𝑧→0
𝑧
2𝑧nu exista !
Consideram un sir (𝑧𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑥 la 0, deexemplu 𝑧𝑛 = 1
𝑛 . Atunci vom avea:
𝑓(𝑧𝑛) =𝑧𝑛2𝑧𝑛
=1𝑛2𝑛
=1
2→ 1
2.
Dar pentru un alt sir (𝑤𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑦 la 0, deexemplu 𝑤𝑛 = 1
𝑛 𝑖, va rezulta:
𝑓(𝑤𝑛) =𝑤𝑛
2𝑤𝑛=
− 𝑖𝑛
2𝑖𝑛
= −1
2→ −1
2.
Deci o contradictie cu criteriul lui Heine. �
Ilustrare:
Limita unei functii complexe:Fie 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si 𝐿 = 𝑎 + 𝑖𝑏, atunci lim
𝑧→𝑧0𝑓(𝑧) = 𝐿
daca si numai daca:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎 und lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑏.
Calculam limita lim𝑧→1+𝑖
(𝑧2 + 1). Fie 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, ca de obicei. Atunci:
𝑓(𝑧) = 𝑧2 + 𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 𝑖 = 𝑥2 − 𝑦2 + (2𝑥𝑦 + 1)𝑖
Pentru a aplica ultima teorema, consideram 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 si 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 1.Aici 𝑧0 = 1 + 𝑖, deci 𝑥0 = 1 si 𝑦0 = 1.
Atunci:lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)(𝑥2 − 𝑦2) = 0
si:lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)(2𝑥𝑦 + 1) = 3
si limita exista si e 𝐿 = lim𝑧→1+𝑖
(𝑧2 + 1) = 0 + 3𝑖. �
Exemplu:
13
Continuitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C o vecinatate deschisa a lui 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. O functie 𝑓 : 𝐷 → C :
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
este continua in 𝑧0, daca functiile reale 𝑢, 𝑣 sunt continue in (𝑥0, 𝑦0).
Functia exponentiala 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 este continua pe C, caci 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 si𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦 sunt ambele produse de functii reale continue.
Derivabilitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu. O functie 𝑓 : 𝐷 → C se numeste derivabila complexin 𝑧0 ∈ 𝐷, daca exista limita:
𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
Numarul complex 𝑓 ′(𝑧0) se numeste derivata lui 𝑓 in 𝑧0.O functie se numeste olomorfa in 𝑧0 ∈ C cand este definita intr-o vecinatatedeschisa a acestuia 𝐷(𝑧0, 𝛿) ⊂ C si este derivabila complex in toate punctelevecinatatii.
Functia 𝑓(𝑧) = 𝑥 + 4𝑖𝑦 nu este derivabila complex in niciun punct 𝑧0 !Sa consideram 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si sa formam limita:
𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0= lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)
Daca ne apropiem de (𝑥0, 𝑦0) vertical, adica prin siruri (𝑥0, 𝑦𝑛) cu 𝑦𝑛 → 𝑦0obtinem:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)= lim
𝑛→∞
(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(4𝑦𝑛 − 4𝑦0)
(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(𝑦𝑛 − 𝑦0)= 4
�
Exemplu:
Derivabilitatea complexa este ceva mai pretentioasa decat simpla derivabi-litate a componentelor 𝑢 si 𝑣 dupa cum arata teorema Looman-Menchoff :
14
Derivabilitate complexa vs. derivabilitate reala:Fie functia 𝑓 : 𝐷 → C definita prin 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦), atunci cand𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 si sunt indeplinite urmatoarele conditii:
i) 𝑓 este continua intr-o vecinatate a lui 𝑧0 ∈ 𝐷.
ii) derivatele partiale 𝜕𝑢𝜕𝑥 ,
𝜕𝑢𝜕𝑦 si 𝜕𝑣
𝜕𝑥 ,𝜕𝑣𝜕𝑥 exista intr-o vecinatate a lui 𝑧0.
iii) functiile 𝑢, 𝑣 satisfac intr-o vecinatate a lui 𝑧0 conditiile Cauchy-Riemann:
𝜕𝑢
𝜕𝑥=
𝜕𝑣
𝜕𝑦,
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −𝜕𝑣
𝜕𝑥.
Atunci functia 𝑓 este derivabila complex in 𝑧0 (chiar olomorfa).
Vom studia olomorfia functiei 𝑓(𝑧) = cos 𝑧 intr-un punct oarecare notat𝑧0 = 𝑥0+𝑖𝑦0 �
Exemplu:
Reguli de derivare pentru functii olomorfe (ca si in cazul real):
i) liniaritate: (𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑔(𝑧))′ = 𝛼𝑓(𝑧)′ + 𝛽𝑔(𝑧)′
ii) regula produsului: (𝑓(𝑧)𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
iii) regula catului:
(𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
)′
=𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) − 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
𝑔2(𝑧)
iv) derivarea functiilor compuse: 𝑓(𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑔(𝑧))𝑔′(𝑧)
Probleme propuse
Problema 1. Demonstrati ca: sinh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 = 𝑛𝜋𝑖 sicosh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 =
(12 + 𝑛
)𝜋𝑖.
Problema 2. Scrieti urmatoarele numere complexe in forma polara:
𝑧1 = −√
2 −√
2𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖.
i) Aflati argumentul principal 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) si apoi calculati (−√
3 − 𝑖)50.
ii) Pentru numerele complexe 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 5𝑖, verificati ca au loc:
𝐴𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2)
15
𝐴𝑟𝑔
(𝑧1𝑧2
)= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) −𝐴𝑟𝑔(𝑧2)
in schimb:𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2)
𝑎𝑟𝑔
(𝑧1𝑧2
)= 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2).
Problema 3. Aratati ca |Re 𝑧| ≤ |𝑧| si |Im 𝑧| ≤ |𝑧|. Demonstrati identitatea:
|𝑧 + 𝑤|2 = |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2𝑅𝑒(𝑧𝑤), 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶
si inegalitatea triunghiului |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|.
Problema 4. Schitati multimea punctelor 𝑧, in planul complex, care satisfacurmatoarele conditii:
i) 1 < |𝑧 − 1 − 𝑖| ≤ 2
ii) |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1|
iii) |𝐴𝑟𝑔(𝑧)| < 𝜋4
iv) Re ((1 + 𝑖)𝑧 − 1) = 0
v) 0 < Re 𝑧 < 1.
Problema 5. Rezolvati in C ecuatia:
sin 𝑧 = 2
Problema 6. Rezolvati in C ecuatiile:
𝑧6 = 1 + 𝑖
𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0
𝑧4 + 1 = 0
Calculati apoi√
3 +√
3𝑖.
Problema 7. Aratati ca urmatoarele functii sunt olomorfe in 𝑧0 = 0:
𝑓(𝑧) = cos 𝑧, 𝑔(𝑧) = sinh 𝑧, ℎ(𝑧) = 𝑒𝑧.
Problema 8. Demonstrati identitatile:
cos(𝑧 + 𝑤) = cos 𝑧 cos𝑤 − sin 𝑧 sin𝑤
sin(2𝑧) = 2 sin 𝑧 cos 𝑧
sin2 𝑧 + cos2 𝑧 = 1
pentru orice 𝑧, 𝑤 ∈ lC.
16
Bibliografie
[1] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis withApplications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.
[2] C. I. Hedrea. Notite de curs: Matematici speciale, 2016.
[3] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die kom-plexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer VerlagHeidelberg, 2009.
17
18