Download - Integrale Multiple Improprii
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
1/34
Tema. Studiul i unele aplicaii ale
integralelor improprii multiple
A efectuat studenta gr. MI41Z
Certan Corina
Bli- 2014
Universitatea de Stat A.Russo din BliFacultatea de tiine Reale, Economice i ale Mediului
Catedra de matematic i informatic
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
2/34
Cuprins:
Integralimproprie de speaI
Integralimproprie de speaII
Integrale duble improprii Integrale triple improprii
Unele aplicaiiale integralelor improprii
Problema lui Cauchy pentru ecuaiaconductibilitiitermice
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
3/34
Integralele improprii au o serie de proprieti comune cuale integralei definite sau care provin din acestea. nunele situaii,o substituie adecvat poate transforma o integral pe interval
nemrginitcum este, de exemplu, una de forma()+
ntr-o integralpe interval finit. De exemplu, dac cu > 0,+ atunci,punnd
obinem
1 1 .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
4/34
Definiia1. Fie funcia()definitpe intervalul,)iintegrabilpe orice segment , , adicpresupunem c exist integrala definit () pentru orice > .Dacexistlimitafinit
lim+
, (1)
atunci aceastlimitse numeteintegralimpropr ie
de speantiise noteaz
. ( 2 )+
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
5/34
Dacavem o funcie: , atunci ar putea avea sensintegrala improprie cu ambele limite de integrare infinite
, (3)++ unde
este un punct arbitrar fixat.
Integrala improprie + se considerconvergentdacinumai dacsunt convergente ambeleintegrale improprii din membrul drept al egalitii(3).Exemplul 1. S se studieze la convergen integrala
.+
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
6/34
Rezolvare. Conform definiieiintegralei improprii aflm
l i m+ l i m+ 13 1
+
13 lim+ 1 1 13 .Rspuns. Integrala dateste convergentieste egalcu
.
Teorema 1 (Testul de comparaie). Dac funciile, : ,) +sunt nenegativeiintegrabile pe oricesegment
, ,) 0()(), atunci
a) convergena integralei ()+ implicconvergenaintegralei ()+ i
++
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
7/34
b) divergena integralei ()+ implic divergenaintegralei
()+ .
Exemplul 2 ([2]).Sse cerceteze natura integralei
1 .+ Rezolvare. Constatmcpentru
1avem
1 1 < 1 .Observmc
l i m 1 1 1.+ Conform testului de comparaie, integrala
+
de
asemenea este convergentivaloarea ei este mai micdect1.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
8/34
Definiia 2. Fie : , ) , , o funcienemrginit n
i integrabil pe orice segment
, , adicpresupunem cexistintegrala definit () pentru orice > 0. Dac exist limitafinit
lim , (4)atunci aceastlimitse numeteintegralimpropr ie de
speadouaise noteaz . (5)
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
9/34
Exemplul 3. Fie
. ()+
Dacnu inemcont de intervalul de variaieal lui iaplicmla integrala
formula Newton-Leibnitz,
1 ,avem 1 11 2,
ceea, ce ne pare imposibil, deoarece de obicei, integrndfunciipozitive, avem iun rezultat pozitiv. Greealaconstnaplicarea ilegal a formulei Newton-Leibnitz la integrala
improprie (*).
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
10/34
ntr-adevr, funciade sub semnul integralei tindela infinit, pentru 0 . Dar, atunci (*) trebuie calculat casum
. ns,
l i m l i m 1 1 . Analogic i-n cazul integralei
.Ceea ce nseamn
cintegrala dateste divergent.Pentru determinarea convergenei integralelor
improprii ale funciilordiscontinuie iaprecierea valorilor loradesea pot fi aplicate teoreme analoage teoremelor pentru
aprecierea integralelor cu limite infinite.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
11/34
Definiia 3. Fie
o funcie real definit pe un domeniu
nemrginitiintegrabilpe orice subdomeniu compact care
are arie, a lui D. Spunem c este integrabil pe , dacexist un numr real , astfel nct pentru oriceexhaustiune
a lui
savem
+ , ()ivom scrie , .
Despre integrala din membrul stng spunem c esteconvergentpe mulimea.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
12/34
Vom analiza un exemplu:
Exemplul 4. Precizaicondiiile de convergen a urmtoareiintegrale
1
,()
este mrginitde 1.Funciade sub semnul integralei este mrginitntoatepunctele, aflate n interiorul elipsei
1. La frontiera
domeniului ea tinde spre infinit. Pentru a soluionaproblemaconvergenei,vom trece la coordonatele polare generalizate : c os , sinsau
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
13/34
Calculm Jacobianul acestei transformri:
cos sin sin cos .Avem
1 1 12 2 1
1
()
1 +
1 1 0
11
1
.Avem trei cazuri:
Cazul I : 1 > 0 < 1, avem .Cazul II : , avem
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
14/34
Cazul III : 1 0 1, avem l n 1 10
.Rspuns: Integrala este convergentpentru < 1.Definiia 4. Spunem c
este integrabilimpropr iu pe
dac exist un numr
, astfel nct pentru orice ir de
vecinti ale lui , cu+
0,s avem +
, \
ivom scrie , .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
15/34
Exemplul 5. Sanalizmnatura integralei
,()
unde este discul 1.Aceast integral dubl este improprie, deoarecefuncia de sub semnul integralei nu este mrginit pe acest
domeniu (norigine ea tinde spre infinit).Pentru soluionarea acestei probleme, vom trece la
coordonatele polare, unde
cos , sin , :
1 1 ;limitele de integrare:
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
16/34
Integrala va avea urmtoareaform
.()
Deoarece
( 2 )
34
1 0
2 34 32 ,rezultc
32 .() Rspuns : Integrala dubl improprie este convergent i este egalcu
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
17/34
Integrale triple improprii
Teorema 2 (Convergena absolut). Fie un domeniumrginitnchisdin i fie o funcienemrginitnvecintatea unui punct , ( ) . Dac n vecintateaacestui punct, funciasatisface condiia
() 3 ,atunci integrala
()()
este convergent.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
19/34
Exemplul 6. Scalculmintegrala triplimproprie
.+
+
+
Observmcdomeniul de integrat este
: 0 < 0 < 0 < ,
adic I octant. La transformarea de coordonate (trecnd lacoordonatele sferice) lui iva corespunde domeniul
: 0 20 2
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
20/34
Trecem la coordonatele sferice:
c o s s i n s i n s i n c o s .
Atunci elementul de volum se exprimastfel: sin, iar .Vom calcula integrala de la funciadatpeporiuneadomeniului
care se coninenbila centratnorigine de raza .Avem
s i n c o s 20 2
.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
21/34
=,= , == 12 0 12
lim+ 12 lim+ 12 .+
Ultima integral este integrala lui Poisson, care este egal cu
. Deci,
2 4 8 .Rspuns: .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
22/34
UNELE APLICAII ALE INTEGRALELOR IMPROPRII
Exemplul 7. Fie c de-a lungul axei este uniformdistribuit o mas cu densitatea egal cu
1, iar punctul
(0,1)este un punct material cu masa . Sse afle forade atraciea corpului de ctre axa .Rezolvare.Din consideraiide simetrie, foraeste orientatde-a lungul axei
ctreoriginea acesteia. Separm pe axa
oporiuneelementar , (Fig. 2.1).
Fig. 2.1. Fora de atracie a corpului de ctre axa
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
23/34
Dup legea lui Newton fora, cu care aceastporiuneatragecorpul de mas
, este egalcu
1 .Proieciaacestei forepe direcianegativa axei se obinenmulind mrimea forei cu cosinusul unghiului
(unghiul
dintre foriaceastdirecie),adic . Deci, 1 .De aici
1 .+
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
24/34
Fie
, atunci
ia valori ntre
i
. De asemenea,
observmc11 11 1 , .
Prin urmare
cos 2.
Rspuns: 2 .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
25/34
Exemplul 8. Gsiiforacu care punctul material cu masa (din exemplul precedent) este atras de masa repartizat
uniform de-a lungul semiaxei 0 < .Rezolvare. Aici trebuie s considermproieciile forei peambele axe.Din exemplul precedent, avem ,inplus 1 s i n 1 ,de unde
1 .+
D
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
26/34
Deoarece 1
12
1 1 1 ,atunci 11 0 .naa fel, fora
este egal cu
2 i formeaz un unghi de
45cu direcianegativa axei ndirecienegativ,adicesteorientatspre punctul 1, 0 de pe axa .Exemplul 9. Dup cum am observat, suprafaa unei figuri,
mrginit de liniile
1 , 0 , este infinit. Curios este
faptul c, volumul corpului format la rotirea acestei figuri n jurulaxei , este finit, avnd o valoare de
++
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
27/34
PROBLEMA LUI CAUCHY PENTRU ECUAIA
CONDUCTIBILITAII TERMICEIntegralele improprii i gsesc aplicaii n rezolvarea
diverselor probleme de fizic matematic. n acest paragrafvom ilustra aplicarea integralelor improprii de spea I nsoluionarea problemei lui Cauchy pentru ecuaiaconductibilitiitermice.
FORMULAREA PROBLEMEI LUI CAUCHYDe gsit funcia , > 0 , < < care satisfaceecuaiaconductibilitiitermice
(6)
icondiiainiial= < < , (7)unde este o funciecontinuimrginit.
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
28/34
ndeplinirea condiiei iniiale o vom nelege n acel sens, c
, este continucnd
0, adic
lim , .
UNICITATEA SOLUIEI PROBLEMEI LUI CAUCHY
Unicitatea soluiei problemei Cauchy vom demonstra-o,
presupunnd, c soluia , este mrginit n ntregdomeniul, adicexisto constantpozitiv > 0 ,astfel nct
, < , , 0 .
Astfel, vom admite, prin absurd, c exist aa dou soluii(,) i (,) ale ecuaiei 6 , care satisfac aceeaicondiieiniial 7 .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
29/34
EXISTENA SOLUIEI PROBLEMEI LUI CAUCHY
Soluiile pariale ale ecuaiei (6)au forma : ,
,
() cos () sin O soluie parial a ecuaiei (5)pentru orice()i esteIarsoluia fundamental a ecuaiei conductibilitii termice
6este funcia
, , 12 privit ca funcie de , .
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
30/34
CORECTITUDINEA FORMULARII PROBLEMEI LUI
CAUCHY
(dependena continu a soluiei problemei lui Cauchy de funcia
iniial)
Fie (,)este soluia ecuaiei (6)ce satisface condiiainiial 7 , iar (,)soluia ecuaiei (6)ce satisfacecondiia iniial
= .Dar atunci funciile (,)i (,)se exprim prin formulalui Poisson : , 12 ( ) + ,
+
-
7/22/2019 Integrale Multiple Improprii
31/34
Fie c condiiile iniiale se deosebesc infinit de puin, adic fie
() < , , .
Ne intereseaz ct de mult se deosebesc soluiile corespunztoare.
Estimm diferena:
, ( , ) 12
( ) +
12 +