Download - Elemente de statistica descriptiva
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
ELEMENTE
DE
STATISTICA
DESCRIPTIVACursul 2
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
STATISTICA DESCRIPTIVAPopulatie, Caracteristica discreta, continuaPrezentarea datelor: tabele (frecvente), grafice (histograme), indicatori statistici (de localizare, de imprastiere)Construirea si utilizarea histogrameiVariabile aleatoare, discrete si continueFunctii de repartitie, functii de probabilitateRepartitii discrete clasice, binomiala, hipergeometrica, PoissonAplicatii
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Populaţie statisticã, colectivitate statisticã, lot.Mulţimea elementelor luate în studiuUn element al populaţiei statistice se numeşte unitate statisticãsau individ statistic.
Populatii: finite, infinitePopulatii: omogene, neomogene
Caracteristicã, sau variabilãProprietatea comunã tuturor unitãţilor statistice provenite dintr-o populaţie omogenã
Caracteristici: cantitative, calitativeCaracteristici: discrete, continue
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Aplicaţia 2.1• Un lot de bucse cu diametrul de 10±0,1 produse prin sinterizare reprezintã o populaţie statistică omogenã. Mulţimea bucselor produse de SC Sinterom SA într-o lunã reprezintã o populaţie neomogenã;• Datele experimentele provenite din mãsurarea forţei de aşchiere la rectificare reprezintã o populaţie statisticã omogenã. Datele experimentale provenite din mãsurarea regimului de aşchiere (s,t,v) la rectificare reprezintã o populaţie neomogenã.
Exemple de caracteristici - cantitative - exprimate prin valori numerice- dimensiune, greutate- calitative - exprimate prin atribute ca bun - defect; satisfãcãtor - nesatisfãcãtor etc.Caracteristicile cantitative pot fi- discrete - numerele care le reprezintã aparţin mulţimii numerelor întregi sau raţionale (numãrul de piese defecte dintr-un lot)- continue - dacã într-un interval se poate obţine orice valoare realã pentru caracteristicã - abateri dimensionale, forta, intensitate..
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Cercetare:
- completa;
- selectiva (esantion)Valoarea numericã a unei caracteristici cantitative referitoare la o unitate statisticã se numeşte valoare observatã. Totalitatea valorilor observate formeazã datele experimentale
PREZENTAREA DATELOR EXTERIMENTALE
- TABELE
- GRAFICE
- INDICATORI STATISTICI
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Softuri pentru prelucrarea datelor experimentaleEXCEL
STATGRAF
GNUPLOT
Q-DAS
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Etapele prelucrarii datelor experimentaleCaracteristici discrete si/sau continue
• Achizita datelor (tabelul datelor primare)
• Sortare (crescatoare/descrescatoare)
• Deterninarea amplitudini A
• Determinarea numarului de clase
• Determinarea marimii intervalului
• Determinarea frecventelor
• Tabelul frecventelor
• Trasarea histogramei (repartitia in frecventa)
• Calculul indicatorilor statistici
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
1. Achizita datelor
Tabelul Datelor Primare
2. Sortare (crescatoare/descrescatoare)
Tabelul Valorilor Ordonate
60 77 71 74 78 66 76 74 82 6973 72 61 76 67 73 75 68 72 7971 69 82 72 62 83 73 68 74 7273 83 67 85 70 75 63 76 72 7769 71 72 76 67 80 73 77 65 74
60 62 64 65 65 66 67 67 67 6868 69 69 69 70 71 71 71 72 7272 72 72 72 73 73 73 73 73 7474 74 74 75 75 76 76 76 76 7777 77 78 79 80 82 82 83 83 85
Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. Discrete
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
XX minmaxA −=
Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. Discrete
3. Deterninarea amplitudini A A=25
4.1 Relaţia lui H.A.Sturges nlg322,31m ∗+=
4.2 Relaţia lui H.B.Mann şi
A. Wald pentru n>100
4.3 pentru n>100
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= )1n(41 5
1
4m
nm =
4. Deterninarea numarului de clase
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
4.1 Relaţia lui H.A.Sturges nlg322,31m ∗+=
4.2 Relaţia lui H.B.Mann şi
A. Wald pentru n>100
4.3 pentru n>100
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= )1n(41 5
1
4m
nm =
Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. discrete
4. Deterninarea numarului de clase
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
6.1 Frecventa absoluta
6.2 Frecventa relativa
nm
1iia =∑
=
naf i
i=
nnAFaAAFaA d
d
i
niid
cc
i
1iic ==== ∑∑
==
6.3 Frecventa cumulata
Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. Discrete
6. Calculul frecventelor
5. Determinarea marimii subintervalului
u=A/m=25/5=5
ai
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Intervalulde
grupare
Frecvenţa Frecvenţa cumulatã
absolutãai
relativãfi
absolutãcrescãtoare
Ac
relativãcrescãtoare
Fc
absolutãdescrescãtoare
Ad
relativãdescrescãtoare
Fd
(60-65] 6 0,12 6 0,12 50 1,00(65-70] 11 0,22 17 0,34 44 0,88(70-75] 20 0,40 37 0,74 33 0,66(75-85] 9 0,18 46 0,92 13 0,26(85-85] 4 0,08 50 1,00 4 0,08
Amplitudine
Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. Discrete
7. Tabelul frecventelor
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Diagramele repartiţieiHistograme
0
5
10
15
20
0
0,2
0,4
0 20 40 60
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
Poligonul frecventelor
2% 10%
14%
32%
24%
10%8%
Diagrama circulara
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Diagramele repartiţieiHistograme
60 65 70 75 80 8562 < D < 82
Frecventa
ai
fi
6/5x3+11+20+9+4/5x2=45,2
ai=45,2
fi=90,4%
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Diagramele repartiţieiHistograme
60 65 70 75 80 85
Frecventa
ACi
FCi
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Indicatorii statisticiTendinte:
- de localizare
- de împrãştiere Indicatori de localizare
Media aritmetica n]x[M
n
1iix∑
==
Media geometrica
Media armonica
Media patratica
ni
]x[M
n
1iixa∑
==
nn
1ii
nn21g xxxxM ... ∏
=
=∗∗∗=
∑=
= n
1i i
a
xM 1
n
n
n
1ii
p
xM
∑==
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Mediana [ ]xM 2/)1n(e +=2
)xxM 12n()2/n(e
++=
Mod, Modala - valoarea de pe abscisa care are frecventa maxima
Valoare centrala 2XXX minmax
c
+=
2xXX
supi
infi
ci
+=
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de localizare1. Pentru repartiţii unimodale simetrice, abaterea medianei faţã de media aritmeticã este egalã cu o treime din abaterea modului faţã de media aritmeticã:
3Mx
Mxo
e−
=−
2. Pentru repartiţii unimodale simetrice, abaterea medianei faţã de media aritmeticã este egalã cu o treime din abaterea modului faţã de media aritmeticã;3. Mediile aritmeticã şi pãtraticã sunt influenţate de valorile mari ale seriei; 4. Mediana nu este influenţatã de valorile extreme;5. Mediile geometricã şi armonicã sunt influenţate de valorile mici şi reduc din influenţa valorilor mari;6. Intre cei patru indicatori ai mediei existã relaţia:
MxMM pga <<<
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Indicatori de imprastiere
[ ]( )
ni
xD
n
1i
2]x[Mx∑ −==
Dispersie
[ ] ∑ −∑ −
=
= ∗=∗
=n
1ii
2
n
1ii
2
f])x[Mx(a])x[Mx(
ini
xD
[ ]1n
ixD
1nn]x[
n
1i
2
C
])x[Mx(D −
=∗−
=∑ −=
[ ] ∑∑ −
=
= −∗==n
1i
22i
n
1i
2
]x[Mx])x[Mx(
n1
ni
xDAbaterea medie patratica
xx minmaxW −=Amplitudinea
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Intervalul intercuartilic ai
Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax
Intervalul intercuartilic
MQQ
QQQ
e
13
2
13q−
=−
=Coeficient de variatie
intercuartilic
[ ]xssau
]x[MxD
CC vv ==Coeficient de variatie
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de imprastiere:1. Suma algebricã a abaterilor faţã de media aritmeticã este egalã cu zero. Notând abaterea valorii de ordinul I în raport cu media aritmeticã:
xx ii −=ε
Media aritmeticã a abaterilor este:
0xxn
xnxn
1)xx(n1
n1 n
1i
n
1iii
n
1ii =−=∑ ∑
∗−=−=∑=
= ==εε
[ ]( )
ni
xD
n
1i
2]x[Mx∑ −==
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de imprastiere:2. Suma abaterilor pãtratice are valoarea minimã atunci când sunt calculate în raport cu media aritmeticã. Considerând suma abaterilor pãtratice în raport cu valoarea arbitrarã x0.
[ ]∑ ∑ −−−=−= =
n
1i
n
1i0i
20i
2 )xx()xx()xx(
[ ]202
02
01111
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i ii
n
i
n
i
n
i
nx x x x x x x x x x x x− − − = − − ∗ − ∗ − + −∑∑∑∑
====
∑ ∑ −∗+−=−= =
n
1i
n
1i0
2i
20i
2 )xx(n)xx()xx(
= 0
∑ ∑ −>−= =
n
1i
n
1ii
20i
2 )xx()xx( xx 0 =
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
MOMENTEMomente absolute de ordinul k la care valorile sunt considerate în raport cu originea
Momente centrate de ordinul k (la care valorile sunt exprimate în raport cu o valoare arbitrarã)
∑=
=n
1i
kik xm n
1 fxaxm i
n
1i
kii
n
1i
kik n
1∗=∗= ∑∑
==
xn1 n
1ii1 xm == ∑
=
∑ −=
=n
1i
k
k )x(M in1 δδ f)x(a)x(M i
n
1i
k
i
n
1i
k
k iin1
∗=∗= ∑ −∑ −==
δδδ
∑ −=
=n
1i
k
k )xx(M in1 f)xx(a)xx(M i
n
1i
k
i
n
1i
k
k iin1
∗=∗= ∑ −∑ −==
[ ]xDin1 n
1i
2
2 )xx(M == ∑ −=
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
[ ]
mmmmmmMmmmmM
mmMM
1213144
312133
2122
1
36423
xD
0
−+−=
+−=
=−=
=
Corectia momentelor - Corectia Shepard
Cauza abaterilor: gruparea pe clase & uniformitate in clasa
ϖ
ϖ
ϖ 4244
222
2407
21121
mmm
mm
+−=
−=
ω reprezintã amplitudinea intervalului de grupare
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Indicatori pentru asimetrie şi aplatizare
Coeficient de asimetrie
Coeficient de aplatizare
[ ]xDM
MM
33
2/32
31
==γ
[ ] 33xD
MMM
24
22
42
−=−=γ
γ1>0 γ1=0 γ1<0
γ2<0γ2=0 γ2>0
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Tipuri de functii de repartitie
Repartiţie binomialã Repartiţie antimodalã
Repartitie unimodala
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Variabile
aleatoare
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
VARIABILE ALEATOAREVariabila aleatoare este acea mãrime care în cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscutã aprioric.
Pentru un şir de mãsurãtori, variabila aleatoare este o noţiune care-l caracterizeazã din douã puncte de vedere:- caracterizare din punct de vedere cantitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii privind valoarea numericã a mãrimii mãsurate- caracterizare din punt de vedere calitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii privind frecvenţa de apariţie a unei valori numerice într-un şir.
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
VARIABILE ALEATOARE
Variabile aleatoare
discrete (∈ Z )
- numarul de piese defecte
ni1,:Xsau...,,...,
:Xpx
pppxxx
i
i
n21
n,21 ≤≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Variabile aleatoare
continue (∈ Q, R )
- dimensiunea unui semifabricat
x1, x2, x3,…..xn - sirul valorilor masurate
p1, p2, p3,…..pn - probabilitatea aparitiei valorii xi
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Aplicaţia 2.2Se aruncã un zar de 100 de ori obţinându-se pentru cifra 1 10apariţii, pentru cifra 2 18 apariţii pentru cifra 3 20 apariţii pentru cifra 4 12 apariţii pentru cifra 5 25 de apariţii pentru cifra 6 15 apariţii. Probabilitatea apariţiei cifrelor 1,2,...,6 este:
15,010015)6(P25,0
10025)5(P12,0
10012)4(P
20,010020)3(P18.0
10018)2(P10,0
10010)1(P
======
======
Tabloul repartiţiei este
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛15,025,012,020,018,010,0654321
:X
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
pxx iii )(P)X(P ===
Functie de repartitie
1n
1iip =∑
=
1 2 3 4 5 6
0,18
18% 0,15
15%
0,25
25%
0,12
12%
0,20
20%
0,10
10%
Probabilitatea = Frecventa relativa
pi = fi
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Probabilitatea
evenimentului X<xi.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++ p...pppppxxx21...,1,
...,:X
n21
n,21
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6
variabila
prob
abili
tate
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8
variabilapr
obab
ilita
te
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛15,025,012,020,018,010,0654321
:X
P(1<X<5)= P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
Evenimente compatibile si independente
P(1<X<5)= p2 + p3 + p4
P(X<xi) = ?
Variabila aleatoare
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Functie de probabilitate )X(P)(F xx kk ≤=
∑ ∑ ∑= = =
====≤=k
1i
k
1i
k
1ikkikk pxxxx )(P)X(P)X(P)(F
2. Variabile aleatoare continue
Functie de repartitie
∫ ∫∞− ∞−
==<=x x
dx)x('Fdx)x(f)xX(P)x(F
Functia de probabilitate
)x('Fx
)x(F)xx(F)x(f lim0x
=−+
=→ ∆
∆∆
P(X<x) se citeşte probabilitatea ca X sã fie cel mult egal cu x.
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
x
f(x)
f(x)dx
x
f(x)
Element de probabilitate
00,12
0,280,5
0,70,88
1
00,20,40,60,8
11,2
-5 0 5 10
x
F(x)
- asimptotã dreapta F(x)=0;- asimptotã dreapta F(x)=1;- funcţie strict crescãtoare; pentru x1<x2 ⇒F(x1)<F(x2)
0
10
20
30
Axis Title
frec
vent
a ∫∞
∞−
==<= 1dx)x(f)xX(P)x(F
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
3. Apartenenţa unei variabile aleatoare la un interval dat
Se cunoaste: functia de repartitie F(x), f(x)
Se cere: P(a≤X≤b).
- A - evenimentul X<b;- B - evenimentul X<a;- C - evenimentul a≤X≤b.
B şi C sunt incompatibile
A=B U C
a b x
f(x) P(a≤X<b)
U )C(P)B(P)CB(P)A(P +==
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
)bXa(P)aX(P)bX(P <≤+<=<)aX(P)bx(P)bXa(P <−<=≤≤
)a(F)b(F)bXa(P −=<≤∫ ∫∫∞−∞−
=−=<≤a b
a
b
dx)x(fdx)x(fdx)x(f)bXa(P
Functii de repartitie
Functii de repartitie discrete- binomiala (cu intoarcere)- hipergeometrica (fara intoarcere)- Poisson
Functii de repartitie continue- normala (Gauss - Laplace)- Student- χ2- Fischer
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Repartitia binomiala Dintr-n lot format din “N” bucati se extrag consecutiv faraa pune piesa extrasa la loc “n” piese.- p coeficientul de rebut; probabilitatea de-a extrage opiesa defecta- q coeficientul de piese bune; probabilitatea de-a extrageo piesa buna Repartitia binomialas=1 se extrage o singura piesa
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−
pqCpqCpqCpqCpqC
n0nn
kknkn
22n2n
11n1n
0n0n ......
n...k...210
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pq10
s=2 se extrag doua piese⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pqp2q21022
s=n se extrag “n” piese
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
qpCknkk
n)k(P)kX(P−
===Functia de repartitie
0,27249
0,052830,00647 0,00056 0
00,10,20,30,40,50,60,70,8
0 1 2 3 4 5
p=4%n=20
P(k)
k
00,10,20,30,40,50,60,70,8
0 2 4 6 8 10
p=4%
p=6%
p=8%
p=10%
n=20
k
P(k)
∑ ∑= =
−===≤
k
0x
k
0x
xnxxn qpC)x(P)k(F)kx(PFunctie de probabilitate
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Media M[X], µ, X [ ] ∑ ∑ ∗∗=∗== =
−n
1i
n
0k
knkii qpkpxXM
Mod Mo )pnp(M)qnp( o +<<−
Dispersia D[X], σ2, S2[ ] npq)p1(npXD =−=
Abaterea standard σ, s npq=σ
Momente mk, Mk[ ] [ ]
)npq3pq61(npqM)pq(npqMnpqXDMnpXMm
43
21
+−=−=====
Asimetria γ1 npqpq
1−
=γ
Excesul γ2 npqpq61
2−
=γ
Indicatori statistici
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Aplicatia 2.3
Dintr-un lot de 400 de bucati, cu un coeficient de rebut de 5% se extrag consecutiv fara a pune piesa extrasa la loc 3 piese.
Sa se construiasca variabila aleatoare a numarului de piese defecte
Sa se ia decizia de acceptare sau respingere a lotului
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Repartitia hipergeometrica
Dintr-un lot format din “n” bucati se extrag consecutiv punind piesa extrasa la loc “m” piese.- p coeficientul de rebut; probabilitatea de-a extrage opiesa defecta- a numarul de piese defecte a=p*n- q coeficientul de piese bune; - b numarul de piese bune
CCC
mn
kmb
ka)k(P)kX(P
−
===
∑=
−==≤
k
0k
km
b
kam
n
CC1)k(F)kX(P
Functie de probabilitate
Functie de repartitie
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Media M[X], µ, X [ ] ∑ =∗==
n
1iii mppxXM
Mod Mo
qpmMqpmmnDaca2n
1mpnpnmM2n
1mqnpnm
0
o
+<<−>>+
+++<<
+−+−
Dispersia D[X], σ2, S2[ ]
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=>>
−−
=
nm1mpqXDmnDaca
1nmnmpqXD
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Aplicatia 2.4
Dintr-un lot de 100 de bucati, cu un coeficient de rebut de 4% se extrag consecutiv punind de fiecare data piesa extrasa la loc 3 piese.
Sa se construiasca variabila aleatoare a numarului de piese defecte
Sa se ia decizia de acceptare sau respingere a lotului
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
4.2 Repartitia Poisson
Functie de probabilitate
- densitate de aparitie & media aparitiilor
pentru p<0,1 si np>5
Functie de repartitie
( )ee
t!k!k
)k(P)kX(Pk
t
k
µλ µλ −− ====
∑=
−=≤k
0k
k
!k)kX(P e
µµ
e)np( np
k
k)k(P)kX(P −===
0,3032
0,07580,012630,001 0,000013
0,00015
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3 4 5 6 7
P(k)
k0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 5 10 15 20
u=0,5
u=2
u=5
u=1
k
P(k)
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
Media M[X], µ, X [ ] ∑ ∑ =−
=∗==
∞
=
−−
n
1i 0k
1k
ii 1kepxXM µµµµ
Mod Mo )M1 o µµ <<−
Dispersia D[X], σ2, S2[ ] µ=XD
Abaterea standard σ, s µσ =
Momente mk, Mk
µµµµ
µµµµµµ2
432
323
221
3MMM
3mmm
+===
++=+==
Asimetria γ1µ
γ1
1 =
Excesul γ2 µγ 1
2 =
CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA
STATISTICA DESCRIPTIVAPopulatie, Caracteristica discreta, continuaPrezentarea datelor: tabele (frecvente), grafice (histograme), indicatori statistici (de localizare, de imprastiere)Construirea si utilizarea histogrameiVariabile aleatoare, discrete si continueFunctii de repartitie, functii de probabilitateRepartitii discrete clasice, binomiala, hipergeometrica, PoissonAplicatii