Download - ECUATII LOGARITMICE
1
FIŞA CU PROBLEME
1.Să se rezolve inecuaţiile şi ecuaţiile
a) 04423 =−−+ xxx
b) xx
x>
−+56
54
c) 342 −>− xxx
d) 11642 2 +−=−+− xxxx
e) 16 2 +=−− xxx
f) 122 −>+ xxx
g) 35243
8+−−=
−− xxx
x
h) 0783456 222 =+−−+−++− xxxxxx
i) 1123 =−+− xx
j) 26533 23 −>−+− xxxx
k) ( )8112
41
21 2+
+−<+
+−xxxx
l) 0;49149121
21
≠=
++
+
−
xxx
m) 5118
18133
33
=−−+
++−xx
xx
n) 14250552 −<+− xxx
o) xa
xaxaxaxa=
−−+−++ (discuţie după Ra∈ )
p) Să se rezolve şi discute ecuaţia , discutându-se după valorile parametrului real m :
21212 =−−+−+ xxmxx .
2
Soluţie : condiţii de existenţă : [ )
( )[ )+∞∈⇔≥−+
∈⇔≤+−⇔+−≥⇔↑−≥⇔≥−−
+∞∈⇔≥−=∆
,1012
2,32048312412012
,10116
2222
xxx
xxxxxxxxxx
xx
.
După intersecţie rezultă [ ]2;1∈x .
Cu substituţia 01 ≥=− yx avem 12 += yx şi ecuaţia echivalentă
: 21121212 22 =−++⇔=+−+++ ymyyymyy .
y 0 +1 ∞+
1+y y+1 y+1
1−y -y+1 0 y-1
( )yE y+1+m(-y+1) y+1+m(y-1)
Dacă [ ]1,0∈y avem y+1+m(-y+1)=2 ( )1,1,1
11=∈≠=
⇔−=−⇔mRymy
mmy .
Dacă [ )+∞∈ ,1y avem y+1+m(y-1)=2 ( )1,1,1
11−=∈−≠=
⇔+=+⇔mRymy
mmy
Revenind la substituţia 01 ≥=− yx avem soluţia { }
[ ) [ ]1,1,,11,1,2−∈+∞∈
−∉=mx
mx
r) 11223 3 22 =−−− xx
Soluţie : condiţii de existenţă :
+∞∪
−∞−∈⇔≥ ,
36
36,
322 xx
Notăm
=−
=−
vx
ux3 2
2
1
23 cu condiţia implicită u≥0.
Prin ridicare la putere avem :
=−
=−32
22
123
vxux de unde prin eliminarea lui x obţinem ecuaţia :
13 32 += vu
3
( ) ( ) 0443044313144131213
12 223323232 =−−⇔=−−⇔+=++⇔+=+⇒
+=
=−vvvvvvvvvvv
vuvu
−=
==
⇒
32
20
3
2
1
v
vv
Condiţia de existenţă 31
321 332 −≥⇒≥+= vvx deci toate 3 soluţiile sunt acceptabile.Se
obţin soluţiile
±±±957,3,1 .
2. 3 2 3 23 35 2 2 1 6x x x x x− + + + + − + − =
2.Determinaţi elementele mulţimii : { }xxxRx −≥+−∈ 365/ 2
3.Să se rezolve sistemele de ecuaţii :
a)
+−=+−=−
33
3
8yxyxyxyx
b)
=−−+=−−+
8244
yxyxyxyx { }40,41=S
c)
=+
=+−
+−+
53
10
22 yxyxyx
yxyx
( ) ( ){ }1,2;1,2 −−=S
d) ( )
=−+
=−++
8)(6
6 23
3
yxyxyxyx
e)
−=−+=−+1214322
yxxyxyyx
f)
=−+=−++
17363
yxxyxyx
g )
−=++=++−=++
19
1
333
222
zyxzyx
zyx
4
h)
=+=−
yyxxxyyx2
34232
322
i)
=−+=++
22)(3
2
22
xyyxyxyx
j)
=−+−=−
33 23 2 77
xyyxyxyx
4.Să se rezolve ecuaţiile şi inecuaţiile :
a) 28824 1 ≤+ +xx
b) 3521 53353 ++++ ⋅−=+ xxxx
c) 1227
21
3229 −++−=− xxxx
d) 05005525 33 =−⋅− −− xx
e) 5439 313 22
=− +++ xx
f) 121 66222 +++ +=++ xxxxx
g) 6427
43
3106
<
−+− xx
h) 18991
=+ xx
i) 15,1 694 ++ =+ xxx
j) 012264331
=+−+
xx
k) 12005210102 3122 =⋅⋅−⋅ ++ xxxx
l) 096132 12 =+⋅− − xxx
m) 302222 123 =+++ +++ xxxx
n) 096132 12 =+⋅− − xxx
o) 302222 123 =+++ +++ xxxx
p) 222 11 2
=+ +− xx
q) ( ) ( ) 459 3log1log 95 =− +− xx y
5
ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE DE FORMA
f(x)=g(x)
Obs : când se cere rezolvarea unei ecuaţii de forma ( ) ( )xgxf = pot interveni următoarele
situaţii :
i) f- strict monotonă şi g- funcţie constantă ⇒ ecuaţia are o singură soluţie;(X)
ii) f – strict crescătoare ; g -strict descrescătoare ⇒ f-g strict monotonă şi atunci ecuaţia
( )( ) 0=− xgf are soluţie unică care se observă ;(X)
iii) f- strict convexă (concavă) şi g- constantă sau liniară⇒ ecuaţia are cel mult 2
soluţii(XI)
iv) f- convexă şi g- concavă ⇒ f-g convexă şi atunci ecuaţia ( )( ) 0=− xgf are cel mult 2
soluţii (XI).
v) dacă atât f cât şi g sunt convexe se aplică teorema lui Lagrange (clasa XI)
Propr: i) Dacă α>0 şi f convexă atunci α.f convexă;
ii) Suma a 2 funcţii convexe este convexă;
iii) Dacă φ(u) convexă şi crescătoare iar u=f(x) este convexă atunci şi funcţia
compusă φ(f(x))va fi convexă;
iv) O funcţie f(x) convexă pe intervalul I , diferită de o constantă , nu poate atinge
valoarea cea mai mare în interiorul intervalului.
Câte rădăcini reale are ecuaţia :
−=
−
21log
31log
31
21 xx ?
1. xxxxxxxx 6040302412564278 +++=+++
Soluţie : ecuaţia din enunţ este echivalentă cu :
⇔⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++ xxxxxxxxxxxxxxxx 5435425324325432 3333
abdcdabcdabcdcba +++=+++⇔ 3333
6
Însă 0,,,3333 >∀+++≥+++ dcbaabdcdabcdabcdcba cu egalitate d.n.d. a=b=c=d.
De aici rezultă x=0.
2. xxx 543 =+
Soluţie : observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei date . Pt. a demonstra că soluţia
obţinută este unică , în cazul acestui tip de ecuaţii se procedează în felul următor :
• se împarte ecuaţia la puterea bazei celei mai mari : 154
53
=
+
xx
;
• se arată că expresia obţinută ( ) ∗+→
+
= RRfxf
xx
:;54
53 este injectivă sau
strict monotonă.
• în ambele cazuri orice paralelă la axa OX va intersecta graficul funcţiei într-un
singur punct şi atunci soluţia ecuaţiei f(x)=a , unde ∗+∈ Ra va fi unică.
În particular ( )xx
xf
+
=
54
53 este strict descrescătoare , ca fiind suma a 2 funcţii strict
descrescătoare ( ) 1=⇒ xf are singura soluţie x=2.
Obs: orice funcţie strict monotonă este injectivă.
3. ( ) ( ) 3132132532 3 −=−−−xx .
Soluţie : avem ( ) 31526323
−=− şi ecuaţia se mai poate scrie :
( ) ( ) 3132132531526 33 −=−−−xx
Se observă că x=3 este soluţie a ecuaţiei , arătăm că e unică.
Deoarece 32531526 −<− voi împărţi ecuaţia la termenul cel mai mare :
( )1
325
2131332531526
3
3
=−
−+
−−
x
x
Întru-cât 21313 > avem mai sus sumă de funcţii strict descrescătoare ; unica soluţie este
x=3.
4. xxxxxx 20...161514...21 +++=+++
Soluţie :
7
11520...
1517
1516
1514...
152
151
15:20...161514...21
=
−−
−
−
++
+
⇔
⇔+++=+++
xxxxxx
xxxxxxx
Ecuaţia va avea soluţie unică deoarece funcţia din membrul stâng este strict
descrescătoare iar în membrul drept avem o constantă. Se verifică că x=0 e unica soluţie.
5. xxxxxxxx 15121091413118 +++=+++
6. xxxxxxxx 2224 5133213532 +⋅⋅=⋅+⋅
Soluţie : xxxxxxxx 2224 5133213532 +⋅⋅=⋅+⋅ xxxxxxxx 135:5131213512 22 ⋅+⋅=⋅+⇔
⇔
⋅+=+
⋅⇔
x
x
x
x
x
xx
x
135
135
5121
135122 xxxx 22
135
1312
135
1312
+
=
+
Dacă notez xx
=
=
135;
1312 βα avem
( ) ( )( )
=+=
⇔=−+−⇔=−−−⇔+=+1
0102222
βαβα
βαβαβαβαβαβα
Avem ecuaţiile :
=⇔=
+
=⇔
=
21135
1312
0135
1312
x
xxx
xx
Să se rezolve ecuaţia : ( )xxxx 1542251411 −=+ Soluţie :
( )( )
1251542
2514
2511
25:2515421411
1542251411
=
+
+
⇒
⇒=++⇐
−=+
↓↓↓
xxx
xxxxx
xxxx
Deoarece în ultima relaţie avem o sumă de trei funcţii descrescătoare , ecuaţia va avea o unică soluţie . Se observă că x=2 este unica soluţie .
7. ( ) xxx 323
6 log2log =+
Soluţie : condiţie de existenţă x>0.
8
Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a
celor doi logaritmi cu u :
( ) Ruuxxx ∈==+ ,log2log 323
6
( )⇒
=⇒=
=+⇒
==+
23
23
3
236
32
log
6
log2log u
u
xux
xx
uxuxx
⇒⋅=+ uuuuu
3:2333 23
143
414:413213
222222 =
+
⇒=+=+⇒
uuuuu
uu
sau - ecuaţie ce are soluţia u=2.
Cum ( ) ∗+→
+
= RRfxf
xx
:;43
41 22 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi unică .
RMT42009. ( ) ( )3 22 log log sintgx x=
Soluţie : condiţie de existenţă 0 cos 02 ;2
sin 0 sin 0 2tgx x
x k kx x
ππ π> > ⇔ ⇔ ∈ + > >
.
Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a
celor doi logaritmi cu u :
( ) ( )3 22 log log sin ,tgx x u u R= = ∈
( )( )
223
22
22
2
2 log 33log sin sin 4sin 2
sin 431 sin 1 4
43 12 4 4 12 3 : 3 4 13
u u
uu
uu
u
uu u u u u u u u
tgx u tg xtgxx u xx
xtg xx
= = =⇒ ⇒ = = =
⇒ = ⇔ =− −
⇔ − = ⇔ + = ⇔ + =
Ecuaţia de mai sus are soluţia unică u=-1, deoarece în membrul stâng avem o sumă a
două funcţii strict crescătoare . 11 sin 22 6
u x x kπ π= − ⇔ = ⇔ = +
Cum ( ) ∗+→
+
= RRfxf
xx
:;43
41 22 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi unică .
9
8. ( ) xxxx 6463
14 loglog =++
Soluţie : condiţie de existenţă x>0.
Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a
celor doi logaritmi cu u :
( )⇒
==⇒⋅==++
⇒=
=++uu
uuu
xxxx
uxuxxx
6
63
64
6314
2647214
loglog
⇒⋅=++ uuuuuu 2:72222 23
171
72
747:712471222 =
+
+
⇒=++=++⇒
uuuuuuuuuu sau - ecuaţie ce are
soluţia u=1.
Cum ( ) ∗+→
+
+
= RRfxf
xxx
:;71
72
74 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi
unică .
8. Să se rezolve ecuaţia : ( )3 488 1024log logx x x x+ + =
9. ( ) xxx 94
12 log21log =+
10. ( ) xx 32 log1log =+
11. ( ) ( ) Nxxx ∈+=+ ,23log32log2 23
11.Câte soluţii are ecuaţia ( ) ( )axbx ba −=− loglog unde 10 <<< ab ?
11. Câte soluţii reale are ecuaţia ( ) ( )2lg12log 2 +=+ xxx
11. ( ) na
naa xxxn loglog =+
+ , unde a>1 , 2, ≥∈ nNn sunt date.
Soluţie : condiţie de existenţă x>0.
Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a
celor doi logaritmi cu t :
( ) ( ) ( ) ⇒++=+⇒
=
+=+ ⋅ tntnttn
tn
tnn
aaaaaaax
aaxx:
1=
++
+
⇒t
n
t
n
n
aaa
aaa
10
Deoarece funcţia ( )t
n
t
n
n
aaa
aaatf
++
+
= este strict descrescătoare , ecuaţia f(t)=1 are
soluţia unică t=1 de unde nax = .
11. Să se rezolve în R ecuaţia : ( )2122log 2
22
2 ++
=+xxx
Soluţie :
Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a
celor doi logaritmi cu u :
( ) ∗+∈=
++
=+ Ruuxxx ,
2122log 2
22
2
( ) ( )⇒
+=+
≥⇒≥−
=⇒
+=+=+
2222
2
22
2
21210
222
21222
xux
ux
xuxx
uu
2
2 22
2212
22
+
−=+
−⇒
uu
u ( )( ) ( ) ( ) 01442222142 2222 =−+−+−−⇔ uuu uu
În membrul stâng avem suma a 3 expresii pozitive , întru-cât 21
≥u , deci egalitate nu
poate fi decât dacă 021
=⇒= xu .
12. ( ) xxxxx 32
32 log21log +=+++ .
Soluţie : condiţie de existenţă x>0 .
( ) 0log1log2 32
32 =−+++− xxxxx
01log3log122
332 =
+++−+−
xxxxx
( ) 03
1log12
32 =
+++−
xxxx
Însă ( ) 01 2 ≥−x şi 01log1131log
31log 33
2
3 ≥≥
++=
++x
xxxx
cu egalitate în (1) dacă x=1 şi în (2) dacă 121=⇔=+ x
xx
11
Unica soluţie este x=1. q.e.d.
13.21
3loglog
3log
63
233
=
−
xxx
12. Să se rezolve în R ecuaţia : xxxx 5243 +=+
Soluţie : scriem xxxx 4523 −=− (1).
Observăm că dacă împărţim la puterea bazei celei mai mari obţinem
152
54
53
=
−
+
xxx
; însă nu obţinem o funcţie monotonă.
Aplicăm o altă metodă : pres. x fixat şi fie [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) x
x
yygg
yyff
=+∞→
=+∞→
,,05,4:
,,03,2:.
Aplicănd teorema lui Lagrange funcţiilor f , g pe intervalele disjuncte [2,3] resp. [4,5]
rezultă că există ( ) ( ) ( ) ( )5,43,2 21 ∈∈ xşix λλ a.î. ( )( )xxxx
xxx
xxx
12
11
4523
−
−
⋅=−⋅=−λλ .
Atunci (1) ( ) ( )( )10
02
112
11 =
=⇒=−⇔ −−
xx
xxx xx λλ sunt singurele soluţii . q.e.d.
OBS: Este important ca intervalele pe care aplicăm teorema creşterilor finite să fie
disjuncte deci λ1 ≠ λ2.
13. ( ) ( ) ( ) ( )xxxx322332233333 ++−=++−
Soluţie :
14. xxxx 109154 +=+ .
15. xxxxxx 65227423 +⋅+=+⋅+ .
14. ( )( ) ( ) ( ) 12322313 +−=+−−− xxx xxxx
15. ( ) ( )2 3log 3 log 22 1 3x x+ = + +
Soluţie : condiţie de existenţă 23
≥x
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12232232232313 1 =
+−
⇔+=−⇔+=−−−− +x
xxxxx
xxxxxxxx
Rămâne soluţia dată de 21223
=⇔=+− x
xx .
12
15. 32523 231 +=⋅+ −− xxx .
Soluţie : observ că x=1 şi x=2 sunt soluţii ale ecuaţiei date.
Pentru a demonstra că acestea sunt singurele soluţii consider ( ) 32523 231 −−⋅+= −− xxxxf şi
atunci derivata ( )
−
+
=⋅−⋅+=′ −− 2ln
435ln
85
523ln
8382ln235ln523ln3 231
xxxxxxxf este
descrescătoare pe R deci ecuaţia ( ) 0=′ xf are o singură rădăcină pe R.
Alcătuind şirul lui Rolle rezultă că f are exact două rădăcini care le-am determinat
( ) ( ) 010 == ff .
16. Câte rădăcini reale are ecuaţia :
−=
−
21log
31log
31
21 xx ?
Soluţie( clasa a XI-a):
Condiţii de existenţă
+∞∈ ,
21x .
−=
−
⇔
=−
=−
⇒=
−=
−
31
21
31
21
31
21
21
31
21log
31log
31
21
tt
t
t
not
x
xtxx ecuaţie care are soluţia
x=1.Cercetăm dacă mai sunt şi alte soluţii.
Fie ( )
−−
−
=→
31
21
31
21,:
tt
tfRRf avem ( ) ⇔=
−
=′ 0
31ln
31
21ln
21 tt
tf
( )2,12ln3ln
2lnln3lnln
23ln
2ln3lnln
2ln3lnlog
2ln3ln
23
230 ∈
−−
===⇔=
⇔ t
t
t ∞− 1 t0 2 ∞+
( )tf ′ + + + + 0 - - -
f(t) 0 <0
Rezultă că f are exact 2 rădăcini , pe 1 şi pe ( )2,0t∈α .
În consecinţă ecuaţia dată are rădăcini pe 31
21
65
+
α
şi .
13. Să se rezolve în R ecuaţia 01lg10lg 24lg =−−+ xxx x .
13
Soluţie : xxx xx2lglglg 1010 =⇒= . Notăm tx =2lg .
Ecuaţia devine 011010 2 =−−+ ttt . Funcţiile ( ) ( ) 110;10,:, 2 −−==→ tttgtfRRgf t
sunt convexe pe R , deci funcţia f+g este convexă pe R , aşadar ecuaţia ( )( ) 0=+ tgf are
cel mult 2 soluţii.
Observăm că ( )( ) 00 =+ gf şi ( )( ) { }
∈⇔∈⇒=+
101,101,001 xtgf .
14. Rxxxx
xx ∈=−
+− ;12
322
32
Soluţie :
( )( ) ( ) 03:222
322232
222
2222
2
22
≠−−−−=−⇔
−=−⇔=−+
−
−−
xxxxx
xxxx
xxx
xxxxxx
12
222
22
−=−−
−⇔
−
xxx
xxx
(1)
Deoarece funcţia ( ) xxfRRf 2;: =→ + este strict crescătoare rezultă că raportul
( ) ( )21
21
21 ,0 xxxx
xfxf≠∀≥
−− ; contradicţie cu (1).
Deci pt. { }3,0∉x nu putem avea egalitate în (1).
Rămâne numai cazul { }3,032 ∈⇔=− xxxx care verifică ecuaţia dată.
15. 0,122
23 32
≠+
=− xx
xxx
15. [ ] [ ]xxx 56525 ⋅=+ .
Soluţie : ecuaţia este echiv. cu : [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } 6555:56525 =+⇔⋅=+ + xxxxxxx
1. [ ] 0≤x şi cum { } [ ) [ ] { } 655551,0 10 =+<+⇒∈ xxx deci nu avem soluţii.
2. [ ] 1=x { } { } [ ] { } 101015.
=+=+=⇒=⇒=⇒ xxxxxec
3. [ ] 2≥x[ ]
{ }[ ] { } 62655
155255
0>≥+⇒
=≥
≥⇒ xx
x
x
deci nu avem soluţii.
14
Rămâne soluţia x=1.
15. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei : { } [ ] xxx 543 =+
16. Să se rezolve inecuaţia : xxxx 64123 +≥+
Soluţie : observăm că x=0 este soluţie a inecuaţiei date. Consider cazurile :
i) x>0
Conform inegalităţii mediilor avem : 0,646662362123 ≥∀+≥+=⋅=≥+ xxxxxxxxx
deci orice nr. pozitiv este soluţie a inecuaţiei.
ii) x<0 ; notăm u=-x>0 şi inecuaţia se rescrie : ⇔+≥+ −−−− uuuu 64123
uuuuu
1261
41
121
31
⋅
+
≥
+
⇔ uuu 2314 +≥+⇔
Deoarece în ambii membrii avem funcţii convexe aplicăm teorema lui Lagrange pt.
funcţiile :
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) u
u
yygg
yyff
=+∞→
=+∞→
,,02,1:
,,04,3:.
Ambele fiind continue şi derivabile pe intervalele respective rezultă că există
( ) ( )2,14,3 ∈∈ bşia a.î. 1
1
1234
−
−
⋅=−=−
uuu
uuu
buua .
Inecuaţia devine : ( ) 101
110
1111 ≥
⇔≥≥−⇔⋅≥⋅
−−−
>−−−− ⇔
uuu
uuuuu
bababaubuau şi cum
a>b 1101 −≤⇔≥⇔≥−⇔ xuu
( ] [ )+∞∪−∞−= ,01,S
3.a) Demonstrati ca ( )43 2log 4 3 2log 3 ,x x R+ ≥ ∀ ∈ .
b) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia :
( ) ( ) ( )4 3 2 23 5 2 3log 4 3 log 1 log 1 log 4x x x+ + + + + =
15
ALTE TIPURI DE ECUAŢII ŞI INECUAŢII
1).(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=3x2
2). ( ) ( )42442 112)2( −+=++−− xxxxx
3) ( )( ) ( )2
222 1212)2( −≥−−−−−− xxxxxx
4) 113 ≥−− xx
5) 211 5 25 2 =−−+−+ xxxx
6) ( ) ( )( ) ( ) 128
4111
1188
4242
=−++
+−+++xx
xxxx
7) 110623 =++− xx
Soluţie : condiţie de existenţă 10−≥x
cu notaţia
=−
=+
ux
vx3 62
10
=−
=+⇔
3
2
6210
uxvx de unde prin eliminarea lui x între cele 2 ecuaţii se
ajunge la 262 32 =−uv
Se obţine sistemul :
=−
=+
262132 uv
vu ( ) 0244202612 2332 =++−⇔=−−−⇒ uuuuu
( )( ) 201242 2 =⇒=+−+⇔ uuuu
72623 =⇒=− xx
8) ( ) ( ) 30639
39663955
55
=−−−
−−−−−xx
xxxx
16
LOGARITMI
bxba ax log=⇔=
În scrierea balog , a este numit baza logaritmului, 1,0 ≠≠ aa ; b este numărul pt. care se
calculează logaritmul.
Numărul balog reprezintă exponentul puterii la care trebuie ridicată baza a pentru a
obţine numărul b.
Exemple :
25
5
21
9
32
52log
2log
399.213log
82.38log
=⇔=
===
==
xx
calculeazăsenu
căpt
căpt
01log0log 0 =⇔= aa a
na
a
naa
na
a
na
a
1log
21log
log
1log
=
=
=
=
FORMULE UTILE :
• yxyx aaa loglog)(log +=⋅ (logaritmul produsului este suma logaritmilor)
• yxyx
aaa logloglog −= (logaritmul câtului este diferenţa logaritmilor)
• xx aa log1log −=
• Rnxnx an
a ∈∀⋅= ;loglog
17
• Nnn
xx ana ∈∀= ;loglog
• a
xxb
ba log1loglog ⋅= (formula de schimbare a bazei logaritmului aceluiaşi număr)
Consecinţe :
• a
bb
a log1log =
• xxa
xx aa
aaa
loglog1logloglog 11 −=⇒⋅=
• ba ba =log
• ab cc ba loglog =
Ecuaţii elementare :
bxba ax log=⇔=
ca axcx =⇔=log
ccx bxbxcb =⇔=⇔=log
1a). ( ) ( ) 5lg2lg6lg3lg +=++− xx { }4=S
1b). ( ) ( ) 4lg7lg2lg1lg −=++− xx
1. 2loglog2
316 =+ xx xx { }3 44;4=S
Soluţie : condiţii de existenţă 2;161;0 ≠≠> xxx
⇔=+ 2log21log3
216 xx xx
2
2log2
116log
3=+⇔
xxx
x
2)2log1(2
12log41
3=
−+
+⇔
xx
etc.
2. xx xx 8log8log4loglog 16422 +=+
18
Soluţie : condiţii de existenţă 41;
21;0 ≠≠> xxx
( )4
log3log8log41
16log18log8log 2
222
216xxxx +
=+=⋅=
xxxx22
2
42 log1
22log4log
2log14log
+===
xxxx22
2
84 log2
34log8log
4log18log
+===
4log8log8loglog 24162 xxxx −=− xx
xx22
22 log1
2log23
4log3log
+−
+=
+−⇔
( )( )( )xx
xx
22
22
log1log21log
41log3
++−
=− ( ) ( )( ) 0
log1log21
431log
222 =
++
−−⇔xx
x
21log2 =⇒= xx , cealaltă cu notaţia ux =2log implică 0293 2 =++ uu cu soluţiile
6579
2/1±−
=u sau 6579
2/1 2±−
=x
=±−6
579
2;2S
2. a) Să se arate că relaţia yxyx aaa ⋅=+ 222
implică x=y.
b) Să se rezolve ecuaţia : xxxx aaa ⋅=+ 22
3. Calculaţi :
100log...logloglog 243132 ≠>>++++ ++ xxaaaaa n
xxxx n
4. ( ) ( ) 2log1log 312 33 xxx xx =−+−
5. xx x 1002lg =+ { }10=S
a) 2 32 log 3 logx xx x=
b) 2 33 log 2 logx xx x= .
Soluţie :
19
a) ( )33 2 3
2 3
log2 2 log 2 log log 23 log 3
xx
x
x xx
= ⇔ = ⇔ =
b) ( )33 3 3
2 2
log3 3 log 2 log log 22 log 2
xx
x
x xx
= ⇔ = ⇔ =
6. ( ) ( )14log2log22log2 1333 −+=−+ −xx { }4=S
7. ( ) ( ) 2sin2cos2 1264 22
=−++ +−− xxx xx
8. xxx cba +=2 în ipoteza că abc = .
Soluţie : xxx cba +=2 ( ) ( ) ⇒=+−⇔+−= 22 :0220xx
xxxxx abababcab
2
2
2
2
2012012
xnot
x
x
x
x
abzunde
zz
b
a
a
b
==+−⇔=+−
{ }1;2022 −∈⇒=−+⇔ zzz
Soluţia acceptabilă este z=1şi atunci x=0.
8. Fie ( ), , 1,a b c∈ ∞ . Rezolvaţi ecuaţia : ( )2 2 3x x x x x x x xa a b b c a b c+ + = + −
9. Să se arate că dacă yx zy lg11
lg11
10;10 −− == atunci zx lg11
10 −=
10. 412222 278987898
xxx
xxxxxxxx+
=
+−−+−+
+−++−
Soluţie :
Condiţii de existenţă : ( ) ( )
( ) ( ) ( ] [ )+∞∪∞−∈⇒
+∞⊂∞−∈⇔≥+−
+∞+∪−∞−∈⇔≥+−,71,
,71,078
,7474,0982
2
xxxx
xxx.
Cu notaţiile : ( ) ( ) 78;98 22 +−=+−= xxxFxxxE ecuaţia se mai poate scrie :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2441
22 22:2xxxxx
xFxExFxE ==−+++
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) 221
21
21
21 22 =
−+
+
xx
xFxExFxE
20
Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122
221
21
21
21 22 ==
−=
−⋅
+
xFxExFxExFxExx
Cu notaţia ( ) =xα ( ) ( ) 2
21
21 x
xFxE
+ avem ( ) ( ) ( )( ) 0121 2 =−⇔=+ x
xx α
αα
( ) ( ) 11==⇔
xx
αα ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 1
21
21
21
21 22 =
−=
+
xx
xFxExFxE
0=⇔ x sau ( ) ( ) ( ) ( ) 121
21
21
21
=−=+ xFxExFxE (1).
Relaţiile (1) dau ( ) ( ) 0;2 == xFxE { }7,10782 ∈⇔=+−⇔ xxx
{ }7,1,0=S
11. Să se rezolve ecuaţia
( )42222 22222
xxx
nmnaxxmaxxnaxxmaxx −=
+−−+−+
+−++− ;
unde Rnma ∈,, ; 0≥> nm şi ma ≥ .
Soluţie :
Condiţii de existenţă : ( ] [ )( ] [ )
+∞++∪−−∞−∈⇔≥+−
+∞−+∪−−∞−∈⇔≥+−
,,02
,,02
222
222
naanaaxnaxx
maamaaxmaxx.
Deoarece 0≥> nm intersecţia dă ( ] [ )+∞−+∪−−∞−∈ ;, 22 naanaax
Cu notaţiile : ( ) ( ) naxxxFmaxxxE +−=+−= 2;2 22 ecuaţia se mai poate scrie :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )24422 :2xxxxx
nmnmnmxFxExFxE −=−−=−++ (1)
( ) ( ) ( ) ( ) 21111 22 =
−−
−+
−+
−
xx
xFnm
xEnm
xFnm
xEnm
(1)
Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 2222 =
−−
=
−−
=
−−
−⋅
−+
−
xxxx
nmnm
nmxFxExF
nmxE
nmxF
nmxE
nm
21
Ştim că dacă produsul a 2 expresii este constant , atunci suma este minimă când
expresiile sunt egale.
( ) ( ) ( ) ( ) kxFnm
xEnm
xFnm
xEnm
xx
=
−−
−=
−+
−22 1111
0=⇔ x (2) sau ( ) ( ) ( ) ( )xFnm
xEnm
xFnm
xEnm −
−−
=−
+−
1111 (3).
În ambele cazuri (2) şi (3) se obţine k=1 şi valoarea minimă este 2.
Atunci ecuaţia din (1) va avea numai soluţiile obţinute din (2) şi (3).
Relaţiile (3) dau ( ) ( ) 0; =−= xFnmxE )(4;02 22 nanaxx −=∆=+−⇔
Deoarece 0≥∆ ; ecuaţia ( ) 0=xF are 2 soluţii eventual confundate : naax −±= 22/1 .
Întru-cât x=0 verifică ecuaţia avem soluţiile { }naaS −±= 2;0 .
12. ( ) 0;0lg244 22 >=++− xyxyxx
=
21,2S
13. ( ) ( ) ( ) ( ) 2;,1;1...31
2111log...1log1log 32 ≥+∞−∈
++
+
=−+++++++ nx
nnxxx
xxx
n 14.
1,0;043log
61log1log6log 61
2
61
2 ≠>=++++ xxxx
x
x
Soluţie : folosim formula xx aa
loglog 1 −=
xxx 6
16
61 loglog1log =−= −
( ) 6log226log1log
161log
61log 1 xx
x
xx
x
=−⋅−=⋅=
6log2
6log1log 6
xx
x ==
ynot
xx
xx
x ==++++ 6log;043
6log26log2
6log16log 2
2
043221
22 =++++⇒
yy
yy ,etc.
22
=361;
61S
15. 014
2coslog2sinlog4212 =+
++
πxx
++±= πππ karctgkS
31;
4
16. 0log40log14log 43
162
2
=+− xxx xxx
17. axa
axaxax a
xa
xa
xa
a =+++ 2222 loglogloglog
18. ( ) ( )13log279log 12
12 ++=+ −− xx
19. [ ] 3log31log 33 =
++ xx
Soluţie :
[ ] 331log3 =
++⇒= yyyx
Dar avem [ ] [ ] [ ] 1131
31
+=+
+<
+≤ yyyy [ ] 2
31,1 =
+=⇒ yy (altă posibilitate nu există)
deci
∈∩
<+≤
<≤2,
35
3312
21y
y
y
∈⇔<≤⇒ 23
5
3 3,32log35 xx
INECUAŢII LOGARITMICE
Rezolvarea lor se bazează pe faptul că funcţia logaritmică este strict crescătoare dacă
baza este supraunitară şi este strict descrescătoare dacă baza este subunitară.
<<>
><⇔<
10
1;log
aax
aaxcx c
c
a
<<>
><⇔<
10
1;log
xxb
xxbcb c
c
x
<<<
>>⇔
10;
1;
xbx
xbx
c
c
23
1. ( ) 02log 2
21 >+ xx
2. 03
12loglog 22
4 <
+−
+ x
xx
Soluţie : condiţii de existenţă
( )( )
+∞∪−∞−∈⇔
+∞−∈⇔
>+−
>+
tabelulvezix
x
xx
x
,213,
,4
03
12
02
4
( )
+∞∪−−∈⇒ ,,2
13,4x
i)condiţia ( )2,412
40 −−∈⇒<+
< xx
( )3,030
37
023122
3121
312log1log
312loglog 2
242
24
−∞−∈⇔<+⇔>+−
⇔
>−+−
⇔>+−
⇔>+−
⇔<
+−
⇒ ++
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
Intersectând condiţia cu soluţia avem ( )3,4 −−∈x .
ii) condiţia ( )+∞−∈⇒>+ ,212
4 xx
Se obţine ca şi mai sus ( )+∞−∈ ,3x .
Intersectând condiţia cu soluţia avem ( )+∞−∈ ,2x .
Reunind cele două cazuri avem ( ) ( )+∞−∪−−∈ ,23,4x (1).
Intersectând condiţia de existenţă cu soluţia (1) avem ( )
+∞∪−−∈ ,
213,4x q.e.d.
3. ( ) 1,0;0156log 2 ≠><++ aaxxa
4. ( ) ( ) 1,0;34log353log 2 ≠>−<−− aaxxx aa
x ∞− -3 21 ∞+
2x-1 - - - - - - 0 + + +
3+x - - - 0 + + + + +
E + + + / - - 0 + + +
24
5. 1,0;156
54log ≠><−+ xx
xx
x
Soluţie : condiţia de existenţă { }1\56,0
56,
450
5654
..............................0
∈⇒
−∈⇒>
−+>
xxx
xx
x ∞− 45
− 56 ∞+
4x+5 - - - 0 + + + + +
6-5x + + + + 0 - -
E - - - / + + 0 - -
Scriem xx
xxx log
5654log <
−+ şi distingem cazurile :
i) ( )1,0∈x
∞−∈⇒>−⇒>
−+−
⇒>−−+
⇒>−+
⇒56,0560
565250
5654
5654 2
xxxxxx
xxx
xxbază
subunitară
Intersectând soluţiile se obţine Φ=S
ii) ( )+∞∈ ,1x
+∞∈⇒<−⇒<
−+−
⇒<−−+
⇒<−+
⇒ ,560560
565250
5654
5654 2
supxx
xxxx
xxx
xxbaza
raunitară
Intersectând soluţiile se obţine
+∞= ,
56S .
Reunind soluţiile pe cazuri avem
+∞∈ ,
56x (1).
Intersectând soluţia (1) cu condiţia de existenţă avem Φ=S q.e.d.
6. 0loglog >+ xx axa (discuţie după a>0)
7. ( ) 1,0;62log4log ≠>+< aax xaa
25
8. ( ) 7log2333log 9124
3 <+− +xx
9. { }2,1,0;21
254log 2 ±∉≥
−− x
xx
x
Soluţie :
Condiţie de existenţă :
+∞∈⇒>− ,
45054 xx (1).
2222 log
254log
21
254log x
xx
xx
xxx ≥
−−
⇔≥
−−
Deoarece ⇒
+∞∈ ,
45x 12 >x
xxxxxx 254
254 2 −≥−⇔≥
−−
⇒
( ) ( )[ ]
∈−
+∞∪∞−∈−=−
2,0;2
,20,;22 2
2
2
xxx
xxxxx
Rezultă subcazurile :
1) ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,20,x
[ ]5;1056542 22 ∈⇒≤+−⇒−≤−⇒ xxxxxx intersectând avem ( ]5;2∈x
2) [ ]2;0∈x
( ] [ )+∞+∪−∞−∈⇒≥−+⇒−≤−⇒ ,1616,052542 22 xxxxxx , intersectând avem
[ ]2,16 −∈x .
Reunim cazurile [ ]5;16 −∈x (2)
Intersectând acum (2) cu condiţia (1) avem [ ] { }2\5;16 −∈x .
10. 4
1loglog 23
29
xx −≥
11. ( ) ( ) 693log33log 1
313 −<−⋅− +xx
12. xx xx 2log)2(log +>+
26
Soluţie : condiţia de existenţă ( ) { }1\,002
0
+∞∈⇔>+
>x
xx (*)
Notez ( ) yxx =+ 2log şi atunci ecuaţia se rescrie
( ) ( )+∞∪−∈⇔>−
⇔>−⇔> ,10,101011 2
yy
yy
yy
y
y ∞− - - -1 - - - 0 + + +1 + + ∞+
y2-1 + + + 0 - - - 0 + + +
E - - - 0 + + / - - 0 + + +
i) ( )1,0∈x (1)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )221;2121;211
01210211020211
2121log2log1log2log1log
12log02log1101
212
+−∈⇔+−∈−>⇔
<−−−>⇔>−+
−>⇔<>+−−>⇔
<+>+>⇔>+<+<⇔
>+<+<−⇔><<−
xxşix
xxşixx
xxşixsauxx
şix
xxsauxx
xxsauxx
xsauxysauy
baza
subunitarăxxxxx
xx
Intersectând soluţia (2) cu restricţia (1) avem ( )1,0∈x .
ii) ( )+∞∈ ,1x (3)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )41;,2121,1
01210211020211
2121log2log1log2log1log
12log02log1101
212
−∞−∈⇔+∞+∪−∞−∈−<⇔
>−−−<⇔<−+
−<⇔><+−−<⇔
>+<+<⇔>+<+<⇔
>+<+<−⇔><<−
xxşix
xxşixx
xxşixsauxx
şix
xxsauxx
xxsauxx
xsauxysauy
baza
subunitarăxxxxx
xx
Intersectând soluţia (4) cu restricţia (3) nu avem soluţie în acest caz.
Reunind soluţiile obţinute pe cazuri şi intersectând cu condiţia (*) avem ( )1,0∈x q.e.d.
13. ( ) 1)23(loglog 2
212 ≤+− xx
Soluţie :
27
( ) 1)23(loglog 2
212 ≤+− xx ( ) 2232log)23(loglog 2
22
212 ≥+−⇔≤+−⇔ xxxx
baza
subunitară
( ) ( ) ( )+∞∪∞−∈⇔≥−⇔ ,30,03 xxx q.e.d.
14. ( )1,0,22log2log ∈≥+
++
baba
abba
abba .
15. 0;43loglog1 19831983 >>−+− xxx
16. 0;1,0,1log12
log51
>≠><+
+−
xaaxx aa
Soluţie :
1log12
log51
<+
+− xx aa
01log12
log51
<−+
+−
⇔xx aa
) )( )( )) 01
log12
log51 log5log1
log5log1
<−+
+−
⇔ −+−+
xx
a
x
a
xaa
aa
xx
( )( ) 0log1log5
6log5log2
<+−
+−xx
xx
aa
aa ( )( ) yxxx
xx not
aaa
aa =<+−
−−⇔ log;0
log1log5)3)(log2(log
y ∞− -1 2 3 5 ∞+
(y-2)(y-3) + + + + + 0 - - 0 + + +
(5-y)(y+1) -- - - 0 + + + + + 0 - - - -
E - - - / + + 0 - - 0 + + / - -
( ) ( ) +∞∪∪−∞−∈⇒ ,53,21,y
i) ( )1,0∈a
+∞∈⇒>⇒<⇒−< ,111loglog1log
ax
ax
axx aaa
22log axxa <⇒>
33log axxa >⇒<
28
55log axxa <⇒>
( ) ( )523 ,,,1 aaaa
x ∞−∪∪
+∞∈⇒
ii) ( )+∞∈ ,1a
∈⇒>⇒<⇒−<
ax
ax
axx aaa
1,011loglog1log
22log axxa >⇒>
33log axxa <⇒<
55log axxa >⇒>
( ) ( )+∞∪∪
∈⇒ ,,1,0 532 aaa
ax
17. { }35;0;2135log
2
25,0 ±∉−>− xx
x
Soluţie :
Condiţia de existenţă ( ) ( )( ) 035350351035 22
<+−
⇔<−
⇔−⋅>−
xxx
xx
xx
x ∞− 35− 0 35 ∞+
x2-35 + + + 0 -- - - - 0 + + +
x - - - - - 0 + + + +
E(x) - - - 0 + + + 1 - - - 0 + + +
( ) ( )35,035, ∪−∞−∈⇒ x (1).
023523541log35log
2135log
2221
41
2
41
2
25,0 <−−
⇔<−
⇒
>
−⇒−>
− −
xx
xx
xx
xx baza
subunitară
( ) ⇔>−+
⇔<−−
⇔ −⋅ 03520235 22
1 xxx
xxx
29
x ∞− -7 0 5 ∞+
x2+2x-35 + + + 0 - - - - 0 + + +
x - - - - - 0 + + + +
E(x) - - - 0 + + + / - - - 0 + + +
( ) ( )+∞∪−∈⇒ ,50,7x
Intersectând soluţia obţinută cu condiţia de existenţă (1) avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )35;535;7,50,735,035, ∪−−=+∞∪−∩∪−∞−∈⇒ x
18. 2;0;16
86log2
2
≠>>+− xxxx
x
Soluţie : condiţii de existenţă ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∈⇔
+∞∪∞−∈⇔>+−≠>
,42,0,42,086
2;02 x
xxxxx (1)
2log
686log
2
2
2
xxxxx >
+−
i) ( )2,0∈x (2) ( )8;108926
86 2)32
∈⇔<+−⇔<+−
⇒ xxxxxxbaza
subunitară
Intersectând soluţia obţinută cu restricţia (2) avem ( ) ( ) ( )2,12,08,1 =∩∈x
ii) ( )+∞∈ ,4x (3) ( ) ( )+∞∪∞−∈⇔>+−⇔>+−
⇒ ,81,08926
86 2)32
xxxxxxbaza
subunitară
Intersectând soluţia obţinută cu restricţia (3) avem ( ) ( ) ( ) ( )+∞=+∞∩+∞∪∞−∈ ,8,4,81,x
Reunind soluţiile obţinute în cazurile i) şi ii) avem soluţia finală : ( ) ( )+∞∪∈ ,82,1x
18. ( )22 2log 1 log 6 2x x x x+ − = −
19. ( )3
34log 1 log 9x x + =
19. ( ) 0;2010lg2 <≤− − xx x
Soluţie :
( ) ⇔≤− − 2010lg2 xx ( ) [ ]4,5020201020 22lg2 −∈⇔≤−+⇔−≤−⇔≤−⇔ − xxxxxx x
Intersectând soluţia obţinută cu condiţia de existenţă avem ( ) ( ) ( )0,50,4,5 −=∞−∩−∈x
30
20. Să se arate că : 56log5log4log3log 5432 >+++
21. ( ) ( )34log353log 2 −<+− xxx aa
22. ( ) 7log2333log 3124
3 <+− +xx
23. 131log
2
31 >
+−
xx
24. 111loglog
212 >
+−
xx
INEGALITĂŢI LOGARITMICE
25. Să se arate că : 23logloglog ≥++ yxz zxyzxy unde ( ) ( )+∞∈∈ ,1,,1,0,, zyxsauzyx .
26.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 atunci 12
log2
log2
log ≥
+
+
+ baaccb
cba
27.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 atunci 2 2 2log log log 1
log 2log log 2log log 2loga b c
b c c a a b
b c ac a a b b c
+ + ≥+ + +
.
28.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 sau a,b,c ( )0,1∈ atunci
( )log log log 4 log log loga b c ab bc cabc ca ab c a b+ + ≥ + +
29. Fie a,b,c ( )+∞∈ ,1 .Aratati ca : 2 2 2log log log 1a b b c c a
a b c+ + ≤ .
30.Să se arate că ( )2 2
log log ; , 1,a b a ba a b b a b a b+ ++ ≤ + ∀ ∈ ∞
31
SISTEME DE ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE
a)
=+
=+
−
−−
865
2522
yy
yy
xx
xx
a) 4 2 4 2
2 2 4
2 2 128x y y x
x y+ +
+ =
+ =
b) ( ) 0,;
loglog>
+=−=
yxyyxyx
yx
xx
xy
c)
=+
=+
1716
31loglog22
42
yxy
x
d)
=⋅
−=⋅
1log2log
2log12loglog
2
12
2 x
y
y
xx
Soluţie : prelucrez a doua ecuaţie :
2log2log2log
22log1log2
2log
22log
log2log2log
1log2log
22
2
22
2
xxyy
yyyy
y
xx
y
x===⇒=⋅⇒
=⋅=
=⋅
yx =⇒ care înlocuită în prima ecuaţie dă :
32
2222log2log112log11log
log2log12loglog 2
2
212 =⇒=⇔=⇔−=−⇔−=⇔−=⋅ yy
y
yy yyyyy
Soluţia este 2== yx .
e) ( )
−−
=−++
=−−
yxyyxyx
yx
2621
25010 lg3
{ }30;34=S
f)
=−=+
23232loglog 23
yx
yx
g) 0,;3loglog2
0loglog
22
>
=+=−
yxyx
yx xy
h)
=⋅=−
576234)(log 2
yx
xy
i)
=−=−
0350)5()3(
lglg
5lg3lg
yx
yx
j)
==⋅−
71lg21lg
2 yxyx
k)
⋅==++−
xy
xyxx282
11822
l)
=+−
=
−
−−
1183665
32
23
yxxy
yxyx
m)
==
⋅
+
2413
coscos
2cos2cos
yx
yx
+= ππ kS
43
SISTEME CIRCULARE
1.
=−
=−
55
2
2
xyyx
2.
=+
=+
abxyabyx
2
2
3.
+=
+=
aybxybyaxx
3
3
33
4.
+=
+=
yxyyxx
55
3
3
.
5.
=+
=+
4242
2
2
xyyx
6.
+−=
−=3
3
33
xxyyyx
7.
+−+=
+−+=
545
545
xxy
yyx
Soluţie 1 :
( )
=+++
−+++
+
=−⇔=
+++−
++++−⇔
+++−
−+++
−=−⇔+−+++−+=−⇒
+−+=
+−+=
055
14545
11
00
551
454511
554545554545
545
545
yxxy
yx
yxxyyx
yxxy
xyxyyxyxxyyx
xxy
yyx
a) 5450 +−+=⇒=⇒=− xxxxyyx (1)
Observăm că ecuaţia (1) are soluţia x=4 .Aceasta este unică deoarece dacă raţionalizăm
avem ecuaţia echivalentă 545
40+++
=xx
x unde în stânga avem o funcţie strict
crescătoare iar în dreapta o funcţie strict descrescătoare.Atunci sistemul are unica soluţie
( )4,4 .
8.
=+
=+
axyayx
2
2
9.GM1/1984.
=+
=+
−
−
1
1
1
1
ax
y
ay
x
10.
=−−−=−−−
0112201122
2
2
xyyx (generalizare )
34
11.GM 11/1987.
=−+−=−+−
0101
23
23
yxyxyx
12. Să se rezolve sistemul :
( )( )( )
=+++
=+++=+++
xzzzzyyyyxxx
1lg1lg1lg
2
2
2
Soluţie1 : cu notaţia f:R→R , ( ) ( )1lg 2 +++= xxxxf sistemul devine :
( )( )( )
===
xzfzyfyxf
(1).
Deoarece suma a 2 funcţii strict crescătoare este strict crescătoare şi funcţia compusă a 2
funcţii strict crescătoare este strict crescătoare rezultă că f este strict crescătoare şi
fff este strict crescătoare .
Aplicănd metoda substituţiei se ajunge la ecuaţia ( )( ) xxfff =
( ) ( ) ( )( )
zyxzyxxzy
zfyfxf ==⇒≤≤≤≤
⇔≤≤1
Din ( ) 0;0;01lg 2 ===⇒=+++ zyxxxxx
( )0,0,0=S
Solutie 2 :
( ) ( )
( )( )
2
2
2
lg 1
lg 1
lg 1
notx x x y f x
y y y z
z z z x
+ + + = = + + + = + + + =
unde ( ) ( )
( )
2
2
2
: , lg 1
1 1 ln10 0,1 ln10
f R R f x x x x
xf x x Rx
→ = + + +
+ + ⋅′ = > ∀ ∈+ ⋅
x −∞ 0 +∞
f’(x) + + + + +
f(x) −∞ 0 +∞
35
Functia data transforma intervalul [ )0,+∞ in el insusi , iar f este crescatoare pe acest
interval si putem aplica T1 :
( ) ( ) ( ) ( )3 2 2lg 1 lg 1 0 0f x x f x x x x x x x x x= ⇔ = ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇔ = cu ( )0,0,0S =
13. Fiind date numerele [ ]1,1,, −∈cba rezolvaţi sistemul :
=−+−
=−+−
=−+−
czxxzbyzzyaxyyx
22
22
22
111111
Soluţie : condiţii de existenţă : [ ]1,1,, −∈zyx
Avem
( )( )( )
( ) cbazyx
cxzbzyayx
cxzbzyayx
arcsinarcsinarcsin2...........................................
arcsinarcsinarcsin
arcsinarcsinarcsin
++=++
=+=+=+
⇔
=+=+=+
2arcsinarcsinarcsin acbz −+
=⇒ şi analoagele. q.e.d.
14.
=+
=+=+
xxzzzzyyyyxx
2
2
2
222
( olimpiadă Germania 1980 ) .
15.
=−+−=−+−=−+−
xzzzzyyyyxxx
287228722872
23
23
23
( Matematika v şkole 1985)
16.GM.4/1991.
+=+=
+=
2
2
2
121212
xxzzzyyyx
.
Solutie :
( )( )( )
( ) 2: , 2 1x f yy f z unde f R R f x x xz f x
= = → = + =
.
36
Avem ( )2
2
1 2 0,1
xf x x Rx
+′ = > ∀ ∈+
de unde rezulta ca functia f este strict crescatoare si pe
baza teoremei 1 avem ( ) ( ) ( )3 2 21 1 1 0 0f a a f a a a a a a a a= ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =
deci unica solutie a sistemului este ( )0,0,0
17.( )( )( )
+=+=+=
xzzzyyyxx
121212
22
22
22
Solutie :
( )
2
2
2
2
2
2
21
21
21
zxz
yzy
xy f xx
= +
= +
= =
+
unde ( )
( )( )
2
2 2
22
2 1: , 2 11 1
4
1
xf R R f xx x
xf xx
→ = = − + +
′ =+
x −∞ 0 1 +∞
f’(x) - - - - 0 + + +
f(x) 2 0 1 2
Avem ( )( ) ( ) ( )[ )( ) [ ) ( )
,0 0,2 1
0, 0,2 2
f
f
−∞ =
+∞ =.
In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu avem solutie iar in cazul (2) functia
transforma intervalul [0,1] in el insusi , iar f este crescatoare pe acest interval si putem
aplica T1 : ( ) ( ) ( )232
2 1 0 11
af a a f a a a a a aa
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =+
cu ( )1,1,1S =
18.
=−+=−+=−+
020202
255
255
255
zzxxyyzzxxyy
( Bulgaria 1987 ).
37
Solutie :
( )( )( )
( ) ( )( )
42 555
22 22
2 1, 21 11
y f xx x xz f y unde f x f xx xxx f z
− =− ′= = = + + + =
x −∞ -1 0 1 +∞
f’(x) - - - 0 + + 0 - -
f(x) 0 -1 0 1 0
Functia f transforma intervalul [ ]1,1− in el insusi si este crescatoare pe acest interval de
unde cu teorema 1 avem :
( ) ( ) ( )( ) { }23 2 25
2
2 1 1 0 1,0,11
af a a f a a a a a a aa
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ∈ −+
cu
( ) ( ) ( ){ }0,0,0 , 1, 1, 1 , 1,1,1S = − − − .
19.
=−+−=−+−=−+−
027279027279027279
23
23
23
zzxyyzxxy
( Matematika v şkole 1980).
Solutie :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
333
33 33 33 3
223333
39 2 33 : 3 ,
3 3 33
noty x x f x
xz y y unde f R R f x x x f xx x
x z z
= − − = − ′= − − → = − − = − + = − −
x −∞ 32
3 +∞
f’(x) - - - - 0 + + +
f(x) +∞
33 22
3 +∞
38
Functia f transforma intervalul [ )3,+∞ in el insusi si este crescatoare pe acest interval de
unde cu teorema 1 avem : ( ) ( ) ( )33 33 3 3f a a f a a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = cu
( )3,3,3S = .
20.RMT1/1981.
=−+−=−+−=−+−
033033033
3223
3223
3223
ayaayzazaazyaxaaxx
Solutie :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
333
3 33 3 3 2 2 33 3
333
3
22 2 33
: 3 3 ,
3 23 3 3
noty x x a f x
z y y a unde f R R f x a x a ax a x a
x z z a
a a x af xax a x a
= − − = = − − → = − − = − + = − −
−′ =+ −
x −∞ 2a a +∞
f’(x) - - - - 0 + + +
f(x) +∞
3 22
a a +∞
Functia f transforma intervalul [ ),a +∞ in el insusi si este crescatoare pe acest interval de
unde cu teorema 1 avem : ( ) ( ) ( )33 33f y y f y y y y a y y a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = cu
( ), ,S a a a= .
21.
=−=−=−
cbxazcbzaycbyax
2
2
2
unde .0,0,0 >>> cba
Solutie : se va rezolva mai jos aceasta problema generalizata.
39
22.
=+
=+
=+
ax
z
az
y
ay
x
1
1
1
( olimpiadă Olanda )
Solutie :
( )1
1
1
notx a f y
y
y az
z ax
= − = = − = −
unde ( )
( ) 2
1: ,
1 0
f R R f x ax
f xx
→ = −
′ = > deci f crescatoare pe R.
x −∞ a
2 42
a a− − 2 4
2a a+ − 0
( )f x′ + + + + + + + +
( )f x a 1a
a−
2 42
a a− − 2 4
2a a+ − +∞ −∞
Avem ( )( ) ( ) ( )[ )( ) ( ) ( )
,0 , 1
0, , 2
f a
f a
−∞ = +∞
+∞ = −∞. Distingem cazurile :
i) a<0 ; in cazul (2) intervalele sunt disjuncte deci nu avem solutie iar in cazul (1)
intersectia ne da intervalul ( ),0a . Caut un interval care sa fie transformat prin functia f in
acelasi interval , deci caut solutiile ecuatiei f(x)=x .Acestea sunt 2
1/24
2a ax ± −
= .
Cand a<0 avem ( )
( ) ( )
2 2 2
22
2
22 2 2 2 2
4 4 02 2
4 42
4 02
4 4 1 4 42
a a a a
a a a a a A
a a
a a a a a a a a a A
+ − − −= <
+ −> ⇔ − >
− −<
− −> ⇔ − − > ⋅ − ⇒ − < − ↑ ⇒ − <
40
Prin urmare functia f transforma intervalul 2 24 4,
2 2a a a a − − + −
in el insusi.
Pe acest interval functia f fiind crescatoare avem ( ) ( )21
3 42
T a af x x f x x x ± − = ⇔ = ⇔ ∈
.
2 2 24 4 4, ,2 2 2
a a a a a aS ± − ± − ± − =
ii) Daca a>0 se gasesc aceleasi solutii.
23. GM.2/1991
−=−
−=−−=−
32
32
32
431431431
xxzzzyyyx
24. GM.10/1998.( )( )( )
+=++=++=+
xzzzxzyyyzxyxxy
131313
3
3
3
25. RMT2/1985. ( )( )( )( )( )( )
=++=++=++
yzzxyyzxx
912291229122
.
Solutie :
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 2 2 19
1 2 2 191 2 2 19
notx x z f x
y y x
z z y
+ + = = + + = + + =
unde ( ) ( )( )
( )
1: , 2 2 19
4 59
f R R f x x x
xf x
→ = + +
+′ =
x −∞ 54
− 1 +∞
f’(x) - - - 0 + + + +
f(x) +∞ 18
− 1 +∞
41
Observ ca ( )
[ )( ) [ ) ( )
5 1, , 14 8
1, 1, 2
f
f
−∞ − = − +∞ +∞ = +∞
.In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu
putem avea solutie iar in cazul (2) f find crescatoare cu teorema 1 avem
( ) ( )1
3 1T
f x x f x x x= ⇔ = ⇔ = si solutia sistemului ( )1,1,1 .
26.GM 9-10/1982.
=−=−=−
cxbazczbaycybax
27. Să se rezolve sistemul :
+=
+=
+=
yyz
zzx
xxy
2
2
2
Soluţie 1 :
cu notaţia f:R*→R , ( )x
xxf 2+= sistemul devine :
( )( )( )
===
xzfzyfyxf
(1).
i) Pres că ( ) ( )
00023
>⇒>⇒> yzx . Observ că dacă 0>x avem ( ) 222=⋅≥+=
xx
xxxf
medii.
deci 2,2,2 ≥≥≥ zyx (4) .
Din
( ) ( )23
2321112231112
2
2
2
44=⋅≤
++=++≤⇒
++=++⇒
+=
+=
+=
zyxzyx
zyxzyx
yyz
zzx
xxy
( ) ( ) ( ) 2022223000
===⇒=−+−+−⇒=++⇒≥≥≥
zyxzyxzyx
este unica soluţie .
42
ii) Pres . că ( ) ( )
00023
<⇒<⇒< yzx .Observ că sistemul nu se schimbă dacă
zzyyxx −→−→−→ , deci dacă are soluţia ( )aaa ,, atunci are şi soluţia ( )aaa −−− ,, .
( ) ( ){ }2,2,2;2,2,2 −−−=S .
Soluţie 2 : ecuaţia y
yx 22 += privită în y are forma ( )24022 22 −=∆=+− xxyy . Ca să
avem soluţii trebuie ca ( ] [ )+∞∪−∞−∈⇔≥∆ ,22,0 x şi 222/1 −±= xxy
a) xyxxyxxy ≥⇒≥−=−⇒−+= 022 22 , iar din celelalte ecuaţii se obţine
zxyz ≥≥ ; deci 2===⇒≥≥≥ zyxyzxy
b) xyxxyxxy ≤⇒≤−−=−⇒−−= 022 22 , iar din celelalte ecuaţii se obţine
zxyz ≤≤ ; deci 2−===⇒≤≤≤ zyxyzxy .
Obs :
i) un sistem de forma (1) se numeşte sistem circular de gradul 3 .
ii) Dacă permutăm circular necunoscutele x,y,z ( xzyx →→→ ) sistemul nu se
schimbă.
iii) Un sistem circular de gradul 2 nu este altceva decât un sistem simetric.
iv) Un sistem circular de gradul n are forma generală :
( )( )
( )( )
==
==
−
1
1
32
21
...................
xfxxfx
xfxxfx
n
nn
(5)
v) Un sistem circular dacă admite soluţie atunci aceasta este de forma ( )aaa ,, ,
Ra∈ .
vi) Cu metoda substituţiei rezolvarea sistemului (5) se reduce la a rezolva ecuaţia :
( ) ( )( ) ( )1321 ...... xfffxffxfxfunctiin
====
−
( )22 xfx n=
43
…………….
( )nn
n xfx =
Deci un sistem circular admite numai soluţii de forma ( )aaa ,...,, unde a este soluţie a
ecuaţiei ( )afa n= .
vii) În anumite cazuri ecuaţia ( )afa n= este imposibil de rezolvat de exemplu în
cazul sistemului (27) avem ( ) ( )
+=→+∞
xxxfRf 2
21,,0: şi de rezolvat
ecuaţia ( )afa 3= .
Definiţie : fie AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă .Un punct al mulţimii A se
numeşte punct fix dacă este soluţie a ecuaţiei ( ) xxf = .
Obs : a este punct fix pentru funcţia f dacă este abscisa unui punct de intersecţie a
graficului funcţiei f cu prima bisectoare ( o funcţie dată poate să nu aibă puncte fixe sau
să aibă unul sau mai multe puncte fixe ).Vom nota cu Ff mulţimea tuturor punctelor fixe
ale funcţiei f .
Teoremă 1 : Dacă AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă şi { }aFf = iar f strict
crescătoare atunci { }aF nf = .
Exemplu 27 : pt . funcţia ( )
+=→
xxxfAAf 2
21,: avem ( ] [ )+∞∪−∞−= ,22,Im f .
Rezultă că A este închisă faţă de funcţia f dacă ]( [ )+∞∪−∞−= ,22,A .Studiem dacă f
crescătoare . Avem ( ) Axx
xxf ∈>−
=′ ,02
22
2
Deci f strict crescătoare pe A . Atunci ecuaţia ( ) aaf =3 este echivalentă cu
( ) Aaaaa
aaaf ∈±=⇔=⇔=
+⇔= 222
21 2 .Q.E.D.
Obs : dacă f strict descrescătoare atunci teorema nu mai are loc.
Contraexemplu : ( ) { } ( ) ( )( ) ( ) xxxffxfFxxfRRf f =−−==⇒=⇒−=→ 20,: deci
RFf =2 .În acest caz vom utiliza un alt criteriu dat de teorema de mai jos.
44
Teoremă 2 : dacă AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă are proprietatea că
( ) ( ) Ayxyxcyfxf ∈∀−≤− ,; unde 10 <≤ c atunci { } ∗∈∀== NnaFF nff , .
Exemplu7: avem [ ) ( )545
40545,,5:+++
=+−+=+∞−xx
xxxff deci este
descrescătoare şi vom aplica teorema 2. Avem ( )+∞= ,0Im f deci ( )+∞= ,0A
( ) ( ) ( )
yx
yxyxyx
yxyx
yxyx
yx
yxyxyyxxyfxf
−≤
+−≤
++++
+++−≤
+++−
−+++
−=
=+−+−+−+=+++−+−+=−
≥≥≥≥
532
521
4521
551
45451
554545
554545545545
554545
Deci ( ) ( ) Ayxyxcyfxf ∈∀−≤− ,; şi atunci ecuaţia ( )( ) ( ) xxfxxff =⇔=
28. GM 11-12/1986.
( )( )( )( )
=−=−=−=−
12121212
axuauzazyayx
Solutie :
( ) ( )
( )
( )
( )
{ } ( ) ( ) ( )( )2
12
12 1 1: , 0,
1 2 22
12
notx f y
y a
yz a
unde f R a R f x f x x Rx a x az
u a
ux a
∗
= = −
= − ′− → = = − < ∀ ∈ − − = − = −
x −∞
2 12
a a− + a 2 1
2a a+ + +∞
f’(x) - - - - -
f(x) 0
2 12
a a− + −∞ +∞ 2 1
2a a+ + 0
45
29. GM.10/1991
=++=++=++=++
xuuuzzzyyyxx
45454545
2
2
2
2
.
Solutie :
( )( )( )( )
x f uu f zz f yy f x
= = = =
unde ( )( )
2: , 5 4
2 5
f R R f x x x
f x x
→ = + +
′ = +
x −∞ 52
− +∞
f’(x) - - - 0 + + +
f(x) +∞ 94
− +∞
Avem ( )
( )
5 9, , 12 4
5 9, , 22 4
f
f
−∞ − = − +∞ − +∞ = − +∞
In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu putem avea solutie.
In cazul (2) consider restrictia lui f pe care o notez tot cu
( ) 29 9: , , , 5 44 4
f f x x x − +∞ → − +∞ = + + .Deoarece f crescatoare pe 9 ,
4 − +∞
avem cu
T.1 ( ) ( ) ( ) ( )24 92 0 2 , 2, 2, 24
f a a f a a a a S = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ∈ − +∞ ⇒ = − − − .
30. RMT1/1990.
=+=+=+=+
xuuzzyyx
21212121
2
2
2
2
.
46
31. GM.7/1991
=−=−
=−=−
−
cbxaxcbxax
cbxaxcbxax
n
nn21
21
232
221
......................... a,b,c>0.
Solutie : din prima ecuatie a sistemului rezulta
( ) ( ) ( )2 2 2: ,
notc by c by bx f y unde f R R f y f y ya a a+ + ′= = → = = .
x −∞ 0
2 42
a a bcb
− − 2 4
2a a bc
b+ − +∞
f’(x) - - - 0 + + + + + +
f(x) +∞ c
a
2 42
a a bcb
− − 2 4
2a a bc
b+ − +∞
Avem ( )( ) ( )
[ )( ) ( )
,0 , 1
0, , 2
cfacfa
−∞ = +∞ +∞ = +∞
In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu putem avea solutie.
In cazul (2) consider restrictia lui f pe care o notez tot cu f
[ ) ( )2
: 0, , ,c c byf f ya a
+ +∞ → +∞ = .Deoarece f crescatoare pe [ )0,+∞ teorema 1 cere
solutiile ecuatiei ( )2
2 20 4c bxf x x x bx ax c a bca+
= ⇔ = ⇔ − + = ∆ = − .Disting cazurile
i) 2 4a bc< ⇒ ecuatia nu are solutii deci sistemul nu are solutii.
ii) 2 4a bc= ⇒ ecuatia are o solutie , ,2 2 2 2a a a ax Sb b b b
= ⇒ =
iii) 2
21/2
442
a a bca bc xb
± −> ⇒ =
Solutiile sunt amandoua pozitive.
47
Inseamna ca functia f transforma intervalul 2 24 4,
2 2a a bc a a bc
b b
− − + −
in el insusi si cu
T1 pe acest interval se obtin solutiile date tocmai de capetele intervalului.
2 2 24 4 4, ,2 2 2
a a bc a a bc a a bcSb b b
± − ± − ± − = .
32. GM.5/1992
−=
−=−=
12....................
1212
21
232
221
xx
xxxx
n
.
Solutie :
( )( )
( )
( )
1 2
2 3 2
1
: , 2 1....................
n
x f xx f x
unde f R R f x x
x f x
= = → = − =
( ) 4f x x′ =
x −∞ -1 12
− 0 1 +∞
f’(x) - - - - - 0 + + + +
f(x) +∞ 1 12
− -1 1 +∞
Functia f transforma intervalul [ )1,+∞ in el insusi , aici functia este crescatoare si cu
teorema 1 avem ( ) ( )3 2 12 1 0 ,12
f a a f a a a a a = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ ∈ −
convine numai
( )1,1,1S = .
Functia f transforma intervalul 1 ,12
− in el insusi dar are monotonie oscilanta .
Voi aplica teorema 1 separat pe intervalele [ ]1 ,0 0,12
si − .
Avem 1 1: ,0 , 12 2
f − → − − si cu T1
48
( ) ( )3 2 12 1 02
f a a f a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − si obtin 1 1 1, ,2 2 2
S = − − −
.
Apoi [ ] [ ]: 0,1 1,1f → − si cu T1
( ) ( )3 22 1 0 1f a a f a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = si obtin ( )1,1,1S = .
33.Determinaţi soluţiile strict pozitive ale sistemului :
=−
=−=−
12
322
221
1..................
11
xx
xxxx
n
.
Solutie :
( )( )
( )( )
( ) ( )
2 121 2
3 2222 3
121
1
11
................. : , 1 , 2..................1 n n
n
n
x f xx x x f xx x
unde f R R f x x f x xx f x
x xx f x
−
= − = = − = ′⇔ → = − = −
= − = =
x −∞ 1 5
2− − 1 5
2− 0 1 +∞
f’(x) + + + 0 - - - - -
f(x) −∞ 1 5
2− − 1 5
2− 1 0 −∞
Functia f transforma intervalul 1 5 1 5,2 2
− − −
in el insusi si f este crescatoare pe acest
interval , deci cu teorema 1 avem ( ) ( ) 2 1 512
nf a a f a a a a a − ± = ⇔ = ⇔ − = ⇔ ∈
cu
solutiile 1 5 1 5 1 5, ,...,2 2 2
S − ± − ± − ± =
49
34.
=+
=+
=+
1
32
2
21
1
22.........................
22
22
xx
x
xx
x
xx
x
nn
35.
+=
+=
+=
+=
−−
nn
nnn
xaxx
xaxx
xaxx
xaxx
1
11
223
112
2
2
...................
2
2
Solutie :
( )2 1 11
3 22
11
1
122
122
...................
122
122
not
n nn
nn
ax x f xx
ax xx
ax xx
ax xx
−−
= + =
= + = +
= +
unde ( )
( )2
2
1: ,2
2
af R R f x xx
x af x cu radacinile ax
→ = +
−′ = ±
x −∞ a− 0 a +∞
f’(x) + + + 0 - - - - - - 0 + + +
f(x) −∞ a− −∞ +∞ a +∞
Avem
(( ) ( ( )
( )( ) ( ( )
( )( ) ( ( )
( )( ) ( ) ( )
, , 1
,0 , 2
0, , 3
, , 4
f a a
f a a
f a a
f a a
−∞ = −∞
− = −∞ −
= +∞
+∞ = +∞
50
Observ ca in cazurile (2) si (3) intervalele sunt disjuncte , deci nu putem avea solutie.
In cazul (1) avem
( ) ( ) ( )21
2,2
Tn x af I I f crescatoare f x x f x x x x a x a
x+
= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Obtinem solutia ( ), ,a a a .
In cazul (4) avem
( ) ( ) ( )21
2,2
Tn x af I I f crescatoare f x x f x x x x a x a
x+
= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
Obtinem solutia ( ), ,a a a− − −
5. Să se rezolve în numere reale sistemul : 23 2
23 2
23 2
x yy
y zz
z xx
= +
= + = +
36.
21 2 122 3 2
21
1 2 21 2 2
..................1 2 2n n
x x xx x x
x x x
+ = ≥ + = ≥ + = ≥
37. GM.6/1987.Fie , 2 , ,n N n a b R∈ ≥ ∈ . Să se arate că sistemul de inecuaţii
+≤+≤
+≤+≤
−
baxxbaxx
baxxbaxx
n
nn
12
21
322
221
........................ are soluţie unică în Rn cba =+⇔ 42 .
38.
=+=+=+
zxz
yzy
xyx
543543543
39. ( )( )( )
3 4 5 13 4 5 23 4 5 3
x y z
z x y
y z x
+ = + = + =
.
51
Solutie : putem presupune fara a restrange generalitatea ca x y z≤ ≤ (4). ( ) ( )3 1
5 3 4 3 4 5x y z x y zx y z x z≤ ≤ ⇒ = + ≥ + = ⇒ ≥ (5). Din (4) si (5) rezulta ca x y z= = iar din (1)
avem 3 4 5x x x+ = cu solutia 2 si pentru sistem avem solutia unica (2,2,2).
40. ( )( )( )
3 4 5 5 13 4 5 5 23 4 5 5 3
x x x x
y y y y
z z z z
yxx
+ + = ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅
39.( )
( ) ( )( )
+−
=−
=+−
x
xx
x
yyy
y
1181
1612
322
PROBLEME DIVERSE
1. Fie numerele 521 ,...,, aaa în progresie geometrică astfel încât suma logaritmilor în baza
3 a acestor numere să fie egală cu 2. Să se găsească aceste numere ştiind că 2log3
53 −=
aa .