Download - Date Modele
-
DATE STATISTICE
MODELE STOCASTICE
TESTE DE CONCORDANTA (goodness-of-t)
fenomen aleator. &
date statistice model stocastic& .
test de concordanta
Fenomene aleatoare
prin natura lor; Exemple din biologie, medicina, -nante prin modul de colectare a datelor; Exemple din son-daje statistice
(A) DATE STATISTICE
1. Valori calitative;Exemplu: intrebare cu raspunsuri posibile "f. nemul-
tumit", "nemultumit", "indiferent", "multumit", "foartemultumit"n indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o aceeasicategorie, raspund la intrebare
> rasp=c("fnem","nem","ind","mul","fmul")> p=c(0.2,0.3,0.1,0.3,0.1)> x x"fmul" "ind" "mul" "mul" "nem" "nem" "fmul" "nem" "nem"
"nem" "fnem" "fnem" "nem" "nem" "nem" "mul" "fnem" "fnem""fnem" "nem" "fnem" "mul" "fnem" "fnem" "mul" "nem" "nem""mul" "nem" "mul" "mul" "ind" "fmul" "mul" "fmul" "fnem" "nem""nem" "fmul" "nem" "mul" "fnem" "mul" "nem" "nem" "fnem""nem" "fnem" "ind" "nem"
1
-
2. Valori cantitative
apartinand unei multimi cel mult numarabile de nu-mere reale apartinand lui R sau unui interval inclus in R
Exemplu: nota obtinuta la un examen ( 0 = absent)n indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o
aceeasi categorie
> nota=c(0:10)> p=c(0.05,0,0,0,0.3,0.2,0.15,0.1,0.05,0.1,0.05)> y y4 6 8 4 4 6 5 5 9 7 8 4 6 9 4 8 4 4 4 7 5 5 6 5 7
Exemplu: tensiunea arteriala sistolican indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o
aceeasi categorie
> z z11.4, 14.2, 14.9, 12.5, 12.8, 13.8, 10.7, 13.1, 15.1, 11.4,
11.6, 15.5, 11.8, 12.9, 15.3, 13.7, 13.5, 11.8, 11.9, 12.9,13.3, 14.2, 14.5, 12.7, 12.4, 13.7, 10.9, 15.4, 14.1, 9.4,12.5, 11.7, 13.2, 14.9, 14.5, 13.5, 12.5, 13.8, 13.3, 12.8,10.5, 12.1, 13.5, 14.6, 10.7, 12.1, 10.9, 11.5, 11.7, 11.1
Statistica descriptiva (pt datele statistice)
1. Repartitia de frecvente
valori distincte x "fnem" "nem" "ind" "mul" "fmul"frecvente 1250
1950
350
1150
550
valori distincte y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10frecvente 0 0 0 0 825 525 425 325 325 225 0
2
-
2. Histograma
interv val z [9,10) [10,11) [11,12) [12.13) [13,14) [14.15) [15,16]frecv cum 150
550
1050
1150
1150
850
450
package:........graphics.........R Documentation
Description: The generic function hist computes ahistogram of the given data values. If plot=TRUE,the resulting object of class "histogram"is plotted byplot.histogram, before it is returned.Usage: hist(x, ...)Arguments: x: a vector of values for which the his-
togram is desired.
3. Indicatori de pozitie (date cantitative)
Datele (x1; :::; xn)Datele ordonate x(1) x(2) ::: x(n)Minim, maxim, cuartile
x(1) = minixi
x(n) = maxixi
Q2 =Me =
x(k+1); n = 2k + 1
12
x(k) + x(k+1)
; n = 2k
Q1 = mediana pt. x(1) ::: MeQ3 = mediana pt. Me ::: x(n)
Media (de selectie)
x =1
n
nXi=1
xi
> x3, 4, 6, 5, 5, 7, 3, 5, 6, 4, 5, 7, 4, 3, 2, 4, 4, 5, 7, 5, 6, 4, 5, 2, 6,
4, 8, 6, 7, 5, 7, 4, 4, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 4, 3, 7, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 5, 5, 7, 5,7, 7, 5, 4, 4, 7, 3, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 4, 5, 8, 2, 6, 4, 6, 5, 5, 5, 3, 5, 4,3, 7, 7, 2, 4, 5, 4, 6, 5, 3, 1, 5, 7, 4, 5, 3, 3, 10, 6, 7, 6> summary(x)Min........1st Qu...... Median....... Mean....... 3rd Qu......... Max.0.00 .......4.00 ...........5.00 .............4.81 ..........6.00 ...........10.00
3
-
4. Indicatori de variabilitate (date cantitative)
Amplitudineaa = x(n) x(1)
Dispersia de selectie, abaterea standard
s2 =1
n 1nXi=1
(xi x)2
s =ps2
Functii din R
> mean(x)[1] 4.81
> var(x)[1] 3.165556
> sd(x)[1] 1.779201
5. Indicatori ai formei (date cantitative)
Notam momentele de selectie centrate, de ordin 3 si 4cu
m3 =1
n
nXi=1
(xi x)3
m4 =1
n
nXi=1
(xi x)4
Coecient de asimetrie (skewness)
1 =m3q(s2)
3
Coecient de aplatizare (kurtosis)
2 =m4
(s2)2 3
4
-
(B) MODELE STOCASTICE (variabile aleatoare)
(;K; P) ; 2 v Rk; k 1;Spatiul starilor (al valorilor) (S;S)S = A R; A cel mult numarabila;.....(A;P (A))S = R; ::::: (R;B)Variabila aleatoare = functie masurabila X : ! S
1. Repartitia lui X
P X1 : S ! [0; 1]
Variabila aleatoare cu repartitie discretaP X1
(fxg) = p (x; ) 2 [0; 1] ; x 2 A
P X1 =Xx2A
p (x; ) fxgXx2A
p (x; ) = 1
Exemple:
X Uf1; :::; rg; r 2 N; r 2; A = f1; 2; :::; rg (ex: numarul depuncte la aruncarea unui zar),
P X1 =rX
x=1
1
r fxg
X B (1; ) ; 2 (0; 1) ; A = f0; 1g (ex: aparitia unui "succes"intr-o proba cu doua rezultate posibile),
P X1 =1X
x=0
x (1 )1x fxg
X B (r; ) ; 2 (0; 1) ; A = f0; 1; :::; rg (ex: numarul de "suc-cese" in r probe independente, cu cate doua rezultateposibile),
P X1 =rX
x=0
Cxr x (1 )rx fxg
5
-
X Po () ; 2 (0;1) ; A = N (ex: numarul de defectece pot identicate la piesele dintr-un lot de volummare),
P X1 =1Xx=0
x
x!exp () fxg
Variabila aleatoare cu repartitie continua si cu densi-tate de repartitie
P X1(fxg) = 0; 8x 2 R
P X1(B) =
ZB
f (x; ) dx;
f (x; ) 0; 8x 2 RZR
f (x; ) dx = 1
Exemple:
X U (0; ) ; 2 (0;1) ;
f (x; ) =
1 ; x 2 [0; ]0; x =2 [0; ]
X Expo(); 2 (0;1) ;
f (x; ) =
1 exp
x ; x 2 [0;1)0; x 2 (1; 0)
X Gamma (; ) ; 2 (0;1) ; 2 (0;1) ;
f (x;; ) =
1() x1 exp
x ; x 2 [0;1)0; x 2 (1; 0)
X N ; 2 ; = ; 2 2 R (0;1) ;fx;; 2
=
1p22
exp
122
(x )2; x 2 R
6
-
densitatea N (0; 1)f (x) = 1p
2exp
12x2
52.50-2.5-5
0.3
0.2
0.1
0
x
y
x
y
2. Functia de repartitie a lui X
F : R ! [0; 1]F (y) =
P X1
((1; y)) = P (X < y)
F (y) =Xx2Ax
-
107.552.50
1
0.75
0.5
0.25
0
x
y
x
y
3. Cuantila de rang a lui X
Fie 2 (0; 1) xat.Notam q 2 S cu proprietatea
P (X < q) P (X q)
Pentru modelele cu repartitie continua,
P (X < q) = P (X q) =
4. Medie, momente; dispersie
M (X) =
Z
XdP =
8
-
Exemple:
X Uf1; :::; rg; r 2 N; r 2;
M (X) =rX
x=1
x 1r=r + 1
2
D2 (X) =r2 112
X B (1; ) ; 2 (0; 1) ;
M (X) =1X
x=0
x x (1 )1x =
D2 (X) = (1 )
X B (r; ) ; 2 (0; 1) ;
M (X) =rX
x=0
x Cxr x (1 )rx = r
D2 (X) = r (1 )
X Po () ; 2 (0;1) ;
M (X) =1Xx=0
x x
x!exp () =
D2 (X) =
X U (0; ) ; 2 (0;1) ;
M (X) =
Z0
x 1dx =
2
D2 (X) =2
12
X Expo(); 2 (0;1) ;
M (X) =
1Z0
x 1exp
x
dx =
D2 (X) = 2
9
-
X Gamma (; ) ; 2 (0;1) ; 2 (0;1) ;
M (X) =1
() 1Z0
x x1 expx
dx =
D2 (X) = 2
X N ; 2 ; = ; 2 2 R (0;1) ;M (X) =
1p22
1Z1
x exp 122
(x )2dx =
D2 (X) = 2
5. Functie generatoare, functie caracteristica
Fie P X1 =1Px=0
p (x; ) fxg: Functia generatoare asociataeste
GX : [1; 1] ! R
GX (t) =1Xx=0
p (x; ) tx
Pentru variabile cu medie (dispersie) nita se vericarelatiile
M (X) = G0X (1)
D2 (X) = G00X (1) +G
0X (1) (G0X (1))2
Fie variabila aleatoare X; cu valori in R: Functia car-acteristica asociata este
'X : R ! C'X (t) =M
eitX
Daca repartitia PX1 are densitatea de repartitie f (x; ) ;
atunci'X (t) =
ZR
eitx f (x; ) dx
Pentru variabile cu medie (dispersie) nita se vericarelatiile
M (X) =1
i '0X (0)
D2 (X) = '00X (0) + ('0X (0))2
10
-
6. Transformata Laplace
Fie variabila aleatoare X; cu valori in R+: TransformtaLaplace asociata este
: R+ ! R+ () =M
eX
Daca repartitia P X1 pe (R+;B+) are densitatea de
repartitie f (x; ) pentru x 0; atunci
() =
1Z0
exf (x; ) dx
11
-
(C) CONCORDANTA DINTREDATE STATISTICE / MODEL STOCASTIC
Datele statistice sunt valori observate ale unor vari-abile aleatoare independente, identic repartizate, cu repar-titia data de un model stocastic.Analiza de statistica descriptiva ne permite sa alegem
un model stocastic - drept sursa posibila a datelor sta-tistice.
Consideram modelul stocastic reprezentat de variabilaaleatoare X cu repartitia PX1 complet specicata. Negli-jam indicele ; caci presupunem cunoscuta valoarea para-metrului. Fie modelul stocastic dat de variabila aleatoare X curepartitia P X1 si functia de repartitie F (y) :
Fie "observatiile" X1; :::; Xn; care sunt variabile aleatoareindependente, identic repartizate, cu repartitia P X1
Fie datele statistice (x1; :::; xn) = (X1; :::; Xn) (!)Problema: Putem conrma ipoteza ca datele statistice
(x1; :::; xn) furnizate de un beneciar provin intr-adevar dinmodelul considerat?
Vom compara functia de repartitie "teoretica" F (y) cuo functie construita din datele statistice (x1; :::; xn) :
Spatiul de selectie ndimensional
Fie modelul stocastic P X1 cu multimea valorilor luiX egala cu S = A (cel mult numarabila) sau cu S = R:Fie observatiile X1; :::; Xn v.a.i.i.r. (P X1):Spatiul de selectie ndimensional este campul de prob-
abilitate construit pe multimea valorilor lui (X1; :::; Xn) : An; (P (A))n ;
nOi=1
P X1i!
Rn;Bn;
nOi=1
P X1i!
12
-
Functia de repartitie de selectie (empirica)
Fie functia de repartitie complet specicata, F (y) ; pen-tru variabila aleatoare X : ! S:Fie observatiile X1; :::; Xn v.a.i.i.r. ca si X:
DEFINITIE: Functia de repartitie de selectie
Fn (; ) : R ! [0; 1]
Fn (y; !) =1
n card fi j i 2 f1; :::; ng; xi = Xi (!) < yg
Observatie:Fn (y; !) =
1
nnXi=1
IfXi
- adicaIfXi
-
"Distanta" Kolmogorov dintre functia de repartitie deselectie si functia de repartitie a modelului
Dn (!)=pnsupy2RjFn (y; !) F (y)j
Pentru datele statistice (X1; :::; Xn) (!) = (x1; :::; xn) ; se poatecalcula valoareafDn = pn max
1injFn (xi; !) F (xi)j
TEOREMA LUI KOLMOGOROV
Fie modelul probabilist dat de o variabila aleatoare X;cu functia de repartitie F (y) continua. Daca fXn; n 1geste un sir de variabile aleatoare independente, identicrepartizate ca si X pentru care notam fFn (y; !) ; n 1g sirulfunctiilor de repartitie de selectie atunci, pentru oricez 2 R; are loc convergenta
limn!1P (Dn < z) = K (z) ;
unde K (z) este functia de repartitie Kolmogorov,
K (z)= 1 21Xj=1
(1)j1 exp 2j2z2Pentru demonstratie:PARTHASARATHY, K., R., Probability measures on
metric spaces, Academic Press, 1967.
TESTUL LUI KOLMOGOROVDECONCORDANTA( R:.....ks.test for one sample)
Fie datele statistice (x1; :::; xn) si e modelul stocasticdat de variabila aleatoare X cu functia de repartitie F (y)continua.Pentru 2 (0; 1) arbitrar xat, notam z1 cuantila de
rang (1 ) a repartitiei Kolmogorov,K (z1) = 1
15
-
Formulam ipoteza H :{variabilele aleatoare indepen-dente si identic repartizate X1; :::; Xn care au generat datelestatistice au functia de repartitie F (y)}
Algoritm:
Se ordoneaza datele statistice, x(1) x(2) ::: x(n) Se calculeaza F x(i) si Fn x(i); ! ; i = 1; :::; n Se calculeaza fDn = pn max
1inFn x(i); ! F x(i)
Regula de decizie: Daca fDn z1; decidem sa resp-ingem ipoteza H (nu avem concordanta intre modelsi datele statistice)
Comentariu: Testul se bazeaza pe teorema lui Kol-mogorov (este un test asimptotic), deci n trebuie sa emare (n 100)======================
16
-
APLICATIE: TESTAREA NORMALITATIIDATELOR
Input : (x1; :::; xn) = (X1; :::; Xn) (!)
H : f variabilele aleatoare independente X1; :::; Xn au repartitienormala g
(a) Partea exploratorie
> data c (x1; :::; xn)> mean(data)> var(data)> hist(data)
qq - line (quantile - quantile line)
X N ; 2 , X
N(0; 1)
FN(;2) (x) = , FN(0;1)x
=
z =1
(x ) ; 2 (0; 1)
> qqnorm(data)> qqline(data)
(b) Test de concordanta
Pentru a utiliza ks.test (for one sample) trebuie saspecicam valorile ; 2> ks.test(data)
p value = 1KfDn
p value 0:05 ! respingem ipoteza H (respingem normalitatea)Observatie: Exista o varianta a testului, testul Lil-
liefors, in care programul isi alege singur valorile = mean(data)
= sd(data)
17
-
Alt test de concordanta este "Testul Chi Patrat", con-struit pentru modele stocastice P X1 avand functia derepartitie F (y) continua sau nu.
AUXILIAR: Convergenta in repartitie
Notam cu fn; n 1g si probabilitati pe (R;B) (reparti-tii)Notam cu fFn; n 1g si F functiile de repartitie core-
spunzatoare,Fn (y) = n (1; y)F (y) = (1; y)
Notam cu f'n; n 1g si ' functiile caracteristice core-spunzatoare,
'n (t) =
ZR
eitxdn (x)
' (t) =
ZR
eitxd (x)
Pentru cazul cand fn; n 1g si sunt probabilitati pe(R+;B+) ; notam cu f n; n 1g si transformatele Laplacecorespunzatoare,
n () =
Z(0;1)
exdn (x)
() =
Z(0;1)
exd (x)
DEFINITIE (convergenta slaba, sau convergenta inrepartitie)
n =) daca Z
R
hdn !n!1
ZR
hd
pentru orice functie h continua si marginita, denita peR cu valori in R:
18
-
TEOREMA 1O conditie necesara si sucienta ca n =) este ca
Fn (y) !n!1 F (y) pentru orice y care este punct de continui-
tate al lui F:
TEOREMA 2 (PAUL LEVY)a) Daca n =) ; atunci 'n !
n!1 ' uniform pe orice com-pact din R:b) Notam cu f'n; n 1g functiile caracteristice corespun-
zatoare repartitiilor fn; n 1g: Daca 'n (t) !n!1 ' (t) pentru
orice t si ' este continua in origine, atunci exista o repar-titie asa incat n =) ; iar ' este functia caracteristicapt :
TEOREMA 3Fie fn; n 1g si probabilitati pe (R+;B+) :a) Daca n =) ; atunci n () !
n!1 () pentru orice 0:b) Notam cu f n; n 1g transformatele Laplace core-
spunzatoare repartitiilor fn; n 1g: Daca n () !n!1 ()
pentru orice > 0 si lim!0
() = 1; atunci exista o repartitie asa incat n =) ; iar este transformata Laplace pt :
TEOREMA LIMITA CENTRALA (LINDEBERG -LEVY)Fie fXn; n 1g un sir de variabile aleatoare indepen-
dente, identic repartizate, cu M (Xn) = 8n si D2 (Xn) = 2
-
Repartitia "CHI Patrat" cu d grade de libertate (d 2 N)
X2 (d) , f (x) = 12d=2 d2xd=21 exp
x2
; x 0
'2(d) (t) = (1 2it)d=2
2(d) () = (1 + 2)d=2
Repartitia Multinomiala M (r; p1; :::; pd)
DenitieX = (X1; :::; Xd)
0 M (r; p1; :::; pd) daca
P X1 =rX
x1;:::;xd=0x1+:::+xd=r
r!
x1!:::xd!(p1)
x1 ::: (pd)xd (x1;:::;xd)
unde r 2 N; pi 2 [0; 1] pentru i = 1; :::; d siPd
i=1 pi = 1
Experiment: O urna cu bile de d culori, din care sefac r extrageri cu revenire. Vectorul aleator X = (X1; :::; Xd)inregistreaza numarul de bile de ecare culoare care aufost extrase.
Bibliograe:Dumitrescu M, Florea D, Tudor C, Probleme de teoria
probabilitatilor si statistica matematica, Editura Tehnica,1985======================
20
-
TEOREMA LUI PEARSON
Pentru r 2 N consideram urmatoarele variabile aleatoare:
Yr = (Yr1; :::; Yrd)0 M (r; p1; :::; pd) ; cu pi 2 [0; 1] ;8i;
dXi=1
pi = 1
X2r =dXj=1
(Yrj rpj)2rpj
Notam repartitia lui X2r cu Gr = P X2r1
: Atunci
Gr =)r!1
2 (d 1)
(spunem ca sirul fX2r ; r 1g converge in repartitie la o vari-abila repartizata CHI Patrat cu (d 1) grade de libertate).
Demonstratie (prof. Ioan Cuculescu)
In schema multinomiala ( d culori, r extrageri inde-pendente) apar r partitii independente, corespunzatoarecelor r extrageri,n
A(k)j ; j = 1; :::; d
o; k = 1; :::; r
NotamYrj =
rXk=1
IA(k)j; j = 1; :::; d
Zr =
Yr1 rp1p
rp1; :::;
Yrd rpdprpd
0Atunci
X2r = kZrk2
X2r () =Mexp
kZrk2
Vom arata ca
X2r () !r!1 (1 + 2)(d1)=2
Notamv = (v1; :::; vd)
0
t = (t1; :::; td)0
21
-
exp kvk2
=
dYj=1
expv2j
Dar
expv2j = 'N(0;2) (vj) = 1p
4
1Z1
exp (ivjtj) exp 14t2j
dtj
Notand cu < v; t > produsul scalar, putem scrie
exp kvk2
=
1
(4)d=2
1Z1
:::
1Z1
exp (i < v; t >) exp 14ktk2
dt1:::dtd
Putem scrie
X2r () =1
(4)d=2
1Z1
:::
1Z1
M
exp (i < Zr; t >) exp
14ktk2
dt1:::dtd
=1
(4)d=2
1Z1
:::
1Z1
M
' (1) exp
14ktk2
dt1:::dtd
Identicam urmatorii vectori independenti, identic repar-tizati
fk =
1pp1IA(k)1; :::;
1ppdIA(k)d
0; k = 1; :::; r
cuM (fk) =
p1pp1; :::;
pdppd
0= (pp1; :::;
ppd)
0; k = 1; :::; r
< Zr; t >=1pr(< f1; t > +:::+ < fr; t > rM (< f ; t >))
DarM (< f ; t >) =< M (f) ; t >=
dXj=1
tjppj
M (< f ; t >)2=M
0@ dXj=1
tjppjIA(k)j
1A2 =M0@ dXj=1
t2jpjIA(k)j
1A = dXj=1
t2j
D2 (< f ; t >) =dXj=1
t2j 0@ dXj=1
tjppj
1A2
22
-
Consideram fu1; :::; udg o baza ortonormala a lui Rd; cuu1 =
pp1; :::;
ppd0:
D2 (< f ; t >) = ktk2 < t;u1 >2=dXj=2
< t;uj >2
Pentru sirul de variabile aleatoare independente, iden-tic repartizate
f< Zr; t >; r = 1; 2; :::g ;de medie 0;aplicam teorema limita centrala si teorema luiPaul Levy (pentru t = 1) :
' (1) !r!1 'N(0;D2()) (1) = exp0@1
2
dXj=2
< t;uj >2
1ARezulta
X2r () !r!11
(4)d=2
1Z1
:::
1Z1
exp
0@12
dXj=2
< t;uj >2
1Aexp 14ktk2
dt1:::dtd
Dar trecerea de la coordonatele ft1; :::; tdg la coordonatelefv1 =< t;u1 >; :::; vd =< t;ud >g este ortogonala, deci de deter-minant 1:
limr!1 X2r () =
1
(4)d=2
1Z1
:::
1Z1
exp
0@12
dXj=2
v2j
1A exp0@ 1
4
dXj=1
v2j
1A dv1:::dvd =1
(4)d=2
0@ 1Z1
exp
v
2
4
dv
1A0@ 1Z1
exp
v2
1
4+1
2
dv
1Ad1 =1
(4)d=2 p
p4 ()(d1)=2
1
4+1
2
(d1)=2=
1
(4)(d1)=2
1
4+1
2
(d1)=2= (1 + 2)
(d1)=2
Am demonstrat deci ca
X2r () !r!1 (1 + 2)(d1)=2
23
-
si cum (1 + 2)(d1)=2 este transformata Laplace corespun-zatoare repartitiei 2 (d 1) ; am obtinut c.t.d.
Testul Chi Patrat pentru concordanta dintre modelulstocastic si datele statistice
Fie datele statistice (x1; :::; xn). Din interpretarea lor,plus elementele de statistica descriptiva, alegem un posi-bil model stocastic din care ar proveni aceste date (cavalori ale unor observatii independente, identic reparti-zate).
Notam P X1 modelul ales si cu S = X () spatiul star-ilor. Partitionam X () in d submultimi masurabile fA1; :::; Adg;Ai \Aj = pentru i 6= j;
Sdi=1Ai = X () :
Calculam
pj = P (X 2 Aj) ; j = 1; :::; d; pj 2 [0; 1] 8j;dXj=1
pj = 1
Formulam ipoteza ca observatiile independente, iden-tic repartizate X1; :::; Xn care au produs datele statis-tice (x1; :::; xn) au repartitia P X1
H : fX1; :::; Xn sunt identic repartizate ca si Xg
Daca ipoteza H este adevarata, atunci functioneazateorema lui Pearson. Calculam
nj = card fi j i = 1; :::; n; xi 2 Ajg =nXi=1
IAj (xi) ; j = 1; :::; d
dXj=1
nj = n
24
-
Calculam "distanta Pearson" dintre (p1; :::; pd) sin1n ; :::;
ndn
S2n =
dXj=1
n
pj
njn pj
2=
dXj=1
(nj npj)2npj
Fie 2 (0; 1) arbitrar xat valoarea acceptata a proba-bilitatii de eroare (respingerea ipotezei H cand aceastaeste adevarata).
Fie hd1;1 cuantila de rang (1 ) a repartitiei 2 (d 1) :
REGULA DE DECIZIE: Daca S2n hd1;1, deci-dem sa respingem ipoteza H
Comentarii:
- Testul se bazeaza pe teorema lui Pearson (este untest asimptotic), deci n trebuie sa e mare (n 100)- Recomandari pentru alegerea valorii d :
d ' 1 + 3:322 log nd =
hn3
i- Recomandari pentru alegerea elementelor partitiei:
Aj asa incat pj ' 1d; j = 1; ::; d
- Pentru implementarea in R
p value = F2(d1)S2n
Daca p value 0:05; decidem sa respingem ipoteza H
25