DATE STATISTICE

MODELE STOCASTICE

TESTE DE CONCORDANTA (goodness-of-t)

fenomen aleator. &

date statistice model stocastic& .

test de concordanta

Fenomene aleatoare

prin natura lor; Exemple din biologie, medicina, -nante prin modul de colectare a datelor; Exemple din son-daje statistice

(A) DATE STATISTICE

1. Valori calitative;Exemplu: intrebare cu raspunsuri posibile "f. nemul-

tumit", "nemultumit", "indiferent", "multumit", "foartemultumit"n indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o aceeasicategorie, raspund la intrebare

> rasp=c("fnem","nem","ind","mul","fmul")> p=c(0.2,0.3,0.1,0.3,0.1)> x x"fmul" "ind" "mul" "mul" "nem" "nem" "fmul" "nem" "nem"

"nem" "fnem" "fnem" "nem" "nem" "nem" "mul" "fnem" "fnem""fnem" "nem" "fnem" "mul" "fnem" "fnem" "mul" "nem" "nem""mul" "nem" "mul" "mul" "ind" "fmul" "mul" "fmul" "fnem" "nem""nem" "fmul" "nem" "mul" "fnem" "mul" "nem" "nem" "fnem""nem" "fnem" "ind" "nem"

1

2. Valori cantitative

apartinand unei multimi cel mult numarabile de nu-mere reale apartinand lui R sau unui interval inclus in R

Exemplu: nota obtinuta la un examen ( 0 = absent)n indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o

aceeasi categorie

> nota=c(0:10)> p=c(0.05,0,0,0,0.3,0.2,0.15,0.1,0.05,0.1,0.05)> y y4 6 8 4 4 6 5 5 9 7 8 4 6 9 4 8 4 4 4 7 5 5 6 5 7

Exemplu: tensiunea arteriala sistolican indivizi independenti, alesi in mod aleator dintr-o

aceeasi categorie

> z z11.4, 14.2, 14.9, 12.5, 12.8, 13.8, 10.7, 13.1, 15.1, 11.4,

11.6, 15.5, 11.8, 12.9, 15.3, 13.7, 13.5, 11.8, 11.9, 12.9,13.3, 14.2, 14.5, 12.7, 12.4, 13.7, 10.9, 15.4, 14.1, 9.4,12.5, 11.7, 13.2, 14.9, 14.5, 13.5, 12.5, 13.8, 13.3, 12.8,10.5, 12.1, 13.5, 14.6, 10.7, 12.1, 10.9, 11.5, 11.7, 11.1

Statistica descriptiva (pt datele statistice)

1. Repartitia de frecvente

valori distincte x "fnem" "nem" "ind" "mul" "fmul"frecvente 1250

1950

350

1150

550

valori distincte y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10frecvente 0 0 0 0 825 525 425 325 325 225 0

2

2. Histograma

interv val z [9,10) [10,11) [11,12) [12.13) [13,14) [14.15) [15,16]frecv cum 150

550

1050

1150

1150

850

450

package:........graphics.........R Documentation

Description: The generic function hist computes ahistogram of the given data values. If plot=TRUE,the resulting object of class "histogram"is plotted byplot.histogram, before it is returned.Usage: hist(x, ...)Arguments: x: a vector of values for which the his-

togram is desired.

3. Indicatori de pozitie (date cantitative)

Datele (x1; :::; xn)Datele ordonate x(1) x(2) ::: x(n)Minim, maxim, cuartile

x(1) = minixi

x(n) = maxixi

Q2 =Me =

x(k+1); n = 2k + 1

12

x(k) + x(k+1)

; n = 2k

Q1 = mediana pt. x(1) ::: MeQ3 = mediana pt. Me ::: x(n)

Media (de selectie)

x =1

n

nXi=1

xi

> x3, 4, 6, 5, 5, 7, 3, 5, 6, 4, 5, 7, 4, 3, 2, 4, 4, 5, 7, 5, 6, 4, 5, 2, 6,

4, 8, 6, 7, 5, 7, 4, 4, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 4, 3, 7, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 5, 5, 7, 5,7, 7, 5, 4, 4, 7, 3, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 4, 5, 8, 2, 6, 4, 6, 5, 5, 5, 3, 5, 4,3, 7, 7, 2, 4, 5, 4, 6, 5, 3, 1, 5, 7, 4, 5, 3, 3, 10, 6, 7, 6> summary(x)Min........1st Qu...... Median....... Mean....... 3rd Qu......... Max.0.00 .......4.00 ...........5.00 .............4.81 ..........6.00 ...........10.00

3

4. Indicatori de variabilitate (date cantitative)

Amplitudineaa = x(n) x(1)

Dispersia de selectie, abaterea standard

s2 =1

n 1nXi=1

(xi x)2

s =ps2

Functii din R

> mean(x)[1] 4.81

> var(x)[1] 3.165556

> sd(x)[1] 1.779201

5. Indicatori ai formei (date cantitative)

Notam momentele de selectie centrate, de ordin 3 si 4cu

m3 =1

n

nXi=1

(xi x)3

m4 =1

n

nXi=1

(xi x)4

Coecient de asimetrie (skewness)

1 =m3q(s2)

3

Coecient de aplatizare (kurtosis)

2 =m4

(s2)2 3

4

(B) MODELE STOCASTICE (variabile aleatoare)

(;K; P) ; 2 v Rk; k 1;Spatiul starilor (al valorilor) (S;S)S = A R; A cel mult numarabila;.....(A;P (A))S = R; ::::: (R;B)Variabila aleatoare = functie masurabila X : ! S

1. Repartitia lui X

P X1 : S ! [0; 1]

Variabila aleatoare cu repartitie discretaP X1

(fxg) = p (x; ) 2 [0; 1] ; x 2 A

P X1 =Xx2A

p (x; ) fxgXx2A

p (x; ) = 1

Exemple:

X Uf1; :::; rg; r 2 N; r 2; A = f1; 2; :::; rg (ex: numarul depuncte la aruncarea unui zar),

P X1 =rX

x=1

1

r fxg

X B (1; ) ; 2 (0; 1) ; A = f0; 1g (ex: aparitia unui "succes"intr-o proba cu doua rezultate posibile),

P X1 =1X

x=0

x (1 )1x fxg

X B (r; ) ; 2 (0; 1) ; A = f0; 1; :::; rg (ex: numarul de "suc-cese" in r probe independente, cu cate doua rezultateposibile),

P X1 =rX

x=0

Cxr x (1 )rx fxg

5

X Po () ; 2 (0;1) ; A = N (ex: numarul de defectece pot identicate la piesele dintr-un lot de volummare),

P X1 =1Xx=0

x

x!exp () fxg

Variabila aleatoare cu repartitie continua si cu densi-tate de repartitie

P X1(fxg) = 0; 8x 2 R

P X1(B) =

ZB

f (x; ) dx;

f (x; ) 0; 8x 2 RZR

f (x; ) dx = 1

Exemple:

X U (0; ) ; 2 (0;1) ;

f (x; ) =

1 ; x 2 [0; ]0; x =2 [0; ]

X Expo(); 2 (0;1) ;

f (x; ) =

1 exp

x ; x 2 [0;1)0; x 2 (1; 0)

X Gamma (; ) ; 2 (0;1) ; 2 (0;1) ;

f (x;; ) =

1() x1 exp

x ; x 2 [0;1)0; x 2 (1; 0)

X N ; 2 ; = ; 2 2 R (0;1) ;fx;; 2

=

1p22

exp

122

(x )2; x 2 R

6

densitatea N (0; 1)f (x) = 1p

2exp

12x2

52.50-2.5-5

0.3

0.2

0.1

0

x

y

x

y

2. Functia de repartitie a lui X

F : R ! [0; 1]F (y) =

P X1

((1; y)) = P (X < y)

F (y) =Xx2Ax

107.552.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

3. Cuantila de rang a lui X

Fie 2 (0; 1) xat.Notam q 2 S cu proprietatea

P (X < q) P (X q)

Pentru modelele cu repartitie continua,

P (X < q) = P (X q) =

4. Medie, momente; dispersie

M (X) =

Z

XdP =

8

Exemple:

X Uf1; :::; rg; r 2 N; r 2;

M (X) =rX

x=1

x 1r=r + 1

2

D2 (X) =r2 112

X B (1; ) ; 2 (0; 1) ;

M (X) =1X

x=0

x x (1 )1x =

D2 (X) = (1 )

X B (r; ) ; 2 (0; 1) ;

M (X) =rX

x=0

x Cxr x (1 )rx = r

D2 (X) = r (1 )

X Po () ; 2 (0;1) ;

M (X) =1Xx=0

x x

x!exp () =

D2 (X) =

X U (0; ) ; 2 (0;1) ;

M (X) =

Z0

x 1dx =

2

D2 (X) =2

12

X Expo(); 2 (0;1) ;

M (X) =

1Z0

x 1exp

x

dx =

D2 (X) = 2

9

X Gamma (; ) ; 2 (0;1) ; 2 (0;1) ;

M (X) =1

() 1Z0

x x1 expx

dx =

D2 (X) = 2

X N ; 2 ; = ; 2 2 R (0;1) ;M (X) =

1p22

1Z1

x exp 122

(x )2dx =

D2 (X) = 2

5. Functie generatoare, functie caracteristica

Fie P X1 =1Px=0

p (x; ) fxg: Functia generatoare asociataeste

GX : [1; 1] ! R

GX (t) =1Xx=0

p (x; ) tx

Pentru variabile cu medie (dispersie) nita se vericarelatiile

M (X) = G0X (1)

D2 (X) = G00X (1) +G

0X (1) (G0X (1))2

Fie variabila aleatoare X; cu valori in R: Functia car-acteristica asociata este

'X : R ! C'X (t) =M

eitX

Daca repartitia PX1 are densitatea de repartitie f (x; ) ;

atunci'X (t) =

ZR

eitx f (x; ) dx

Pentru variabile cu medie (dispersie) nita se vericarelatiile

M (X) =1

i '0X (0)

D2 (X) = '00X (0) + ('0X (0))2

10

6. Transformata Laplace

Fie variabila aleatoare X; cu valori in R+: TransformtaLaplace asociata este

: R+ ! R+ () =M

eX

Daca repartitia P X1 pe (R+;B+) are densitatea de

repartitie f (x; ) pentru x 0; atunci

() =

1Z0

exf (x; ) dx

11

(C) CONCORDANTA DINTREDATE STATISTICE / MODEL STOCASTIC

Datele statistice sunt valori observate ale unor vari-abile aleatoare independente, identic repartizate, cu repar-titia data de un model stocastic.Analiza de statistica descriptiva ne permite sa alegem

un model stocastic - drept sursa posibila a datelor sta-tistice.

Consideram modelul stocastic reprezentat de variabilaaleatoare X cu repartitia PX1 complet specicata. Negli-jam indicele ; caci presupunem cunoscuta valoarea para-metrului. Fie modelul stocastic dat de variabila aleatoare X curepartitia P X1 si functia de repartitie F (y) :

Fie "observatiile" X1; :::; Xn; care sunt variabile aleatoareindependente, identic repartizate, cu repartitia P X1

Fie datele statistice (x1; :::; xn) = (X1; :::; Xn) (!)Problema: Putem conrma ipoteza ca datele statistice

(x1; :::; xn) furnizate de un beneciar provin intr-adevar dinmodelul considerat?

Vom compara functia de repartitie "teoretica" F (y) cuo functie construita din datele statistice (x1; :::; xn) :

Spatiul de selectie ndimensional

Fie modelul stocastic P X1 cu multimea valorilor luiX egala cu S = A (cel mult numarabila) sau cu S = R:Fie observatiile X1; :::; Xn v.a.i.i.r. (P X1):Spatiul de selectie ndimensional este campul de prob-

abilitate construit pe multimea valorilor lui (X1; :::; Xn) : An; (P (A))n ;

nOi=1

P X1i!

Rn;Bn;

nOi=1

P X1i!

12

Functia de repartitie de selectie (empirica)

Fie functia de repartitie complet specicata, F (y) ; pen-tru variabila aleatoare X : ! S:Fie observatiile X1; :::; Xn v.a.i.i.r. ca si X:

DEFINITIE: Functia de repartitie de selectie

Fn (; ) : R ! [0; 1]

Fn (y; !) =1

n card fi j i 2 f1; :::; ng; xi = Xi (!) < yg

Observatie:Fn (y; !) =

1

nnXi=1

IfXi

adicaIfXi

"Distanta" Kolmogorov dintre functia de repartitie deselectie si functia de repartitie a modelului

Dn (!)=pnsupy2RjFn (y; !) F (y)j

Pentru datele statistice (X1; :::; Xn) (!) = (x1; :::; xn) ; se poatecalcula valoareafDn = pn max

1injFn (xi; !) F (xi)j

TEOREMA LUI KOLMOGOROV

Fie modelul probabilist dat de o variabila aleatoare X;cu functia de repartitie F (y) continua. Daca fXn; n 1geste un sir de variabile aleatoare independente, identicrepartizate ca si X pentru care notam fFn (y; !) ; n 1g sirulfunctiilor de repartitie de selectie atunci, pentru oricez 2 R; are loc convergenta

limn!1P (Dn < z) = K (z) ;

unde K (z) este functia de repartitie Kolmogorov,

K (z)= 1 21Xj=1

(1)j1 exp 2j2z2Pentru demonstratie:PARTHASARATHY, K., R., Probability measures on

metric spaces, Academic Press, 1967.

TESTUL LUI KOLMOGOROVDECONCORDANTA( R:.....ks.test for one sample)

Fie datele statistice (x1; :::; xn) si e modelul stocasticdat de variabila aleatoare X cu functia de repartitie F (y)continua.Pentru 2 (0; 1) arbitrar xat, notam z1 cuantila de

rang (1 ) a repartitiei Kolmogorov,K (z1) = 1

15

Formulam ipoteza H :{variabilele aleatoare indepen-dente si identic repartizate X1; :::; Xn care au generat datelestatistice au functia de repartitie F (y)}

Algoritm:

Se ordoneaza datele statistice, x(1) x(2) ::: x(n) Se calculeaza F x(i) si Fn x(i); ! ; i = 1; :::; n Se calculeaza fDn = pn max

1inFn x(i); ! F x(i)

Regula de decizie: Daca fDn z1; decidem sa resp-ingem ipoteza H (nu avem concordanta intre modelsi datele statistice)

Comentariu: Testul se bazeaza pe teorema lui Kol-mogorov (este un test asimptotic), deci n trebuie sa emare (n 100)======================

16

APLICATIE: TESTAREA NORMALITATIIDATELOR

Input : (x1; :::; xn) = (X1; :::; Xn) (!)

H : f variabilele aleatoare independente X1; :::; Xn au repartitienormala g

(a) Partea exploratorie

> data c (x1; :::; xn)> mean(data)> var(data)> hist(data)

qq - line (quantile - quantile line)

X N ; 2 , X

N(0; 1)

FN(;2) (x) = , FN(0;1)x

=

z =1

(x ) ; 2 (0; 1)

> qqnorm(data)> qqline(data)

(b) Test de concordanta

Pentru a utiliza ks.test (for one sample) trebuie saspecicam valorile ; 2> ks.test(data)

p value = 1KfDn

p value 0:05 ! respingem ipoteza H (respingem normalitatea)Observatie: Exista o varianta a testului, testul Lil-

liefors, in care programul isi alege singur valorile = mean(data)

= sd(data)

17

Alt test de concordanta este "Testul Chi Patrat", con-struit pentru modele stocastice P X1 avand functia derepartitie F (y) continua sau nu.

AUXILIAR: Convergenta in repartitie

Notam cu fn; n 1g si probabilitati pe (R;B) (reparti-tii)Notam cu fFn; n 1g si F functiile de repartitie core-

spunzatoare,Fn (y) = n (1; y)F (y) = (1; y)

Notam cu f'n; n 1g si ' functiile caracteristice core-spunzatoare,

'n (t) =

ZR

eitxdn (x)

' (t) =

ZR

eitxd (x)

Pentru cazul cand fn; n 1g si sunt probabilitati pe(R+;B+) ; notam cu f n; n 1g si transformatele Laplacecorespunzatoare,

n () =

Z(0;1)

exdn (x)

() =

Z(0;1)

exd (x)

DEFINITIE (convergenta slaba, sau convergenta inrepartitie)

n =) daca Z

R

hdn !n!1

ZR

hd

pentru orice functie h continua si marginita, denita peR cu valori in R:

18

TEOREMA 1O conditie necesara si sucienta ca n =) este ca

Fn (y) !n!1 F (y) pentru orice y care este punct de continui-

tate al lui F:

TEOREMA 2 (PAUL LEVY)a) Daca n =) ; atunci 'n !

n!1 ' uniform pe orice com-pact din R:b) Notam cu f'n; n 1g functiile caracteristice corespun-

zatoare repartitiilor fn; n 1g: Daca 'n (t) !n!1 ' (t) pentru

orice t si ' este continua in origine, atunci exista o repar-titie asa incat n =) ; iar ' este functia caracteristicapt :

TEOREMA 3Fie fn; n 1g si probabilitati pe (R+;B+) :a) Daca n =) ; atunci n () !

n!1 () pentru orice 0:b) Notam cu f n; n 1g transformatele Laplace core-

spunzatoare repartitiilor fn; n 1g: Daca n () !n!1 ()

pentru orice > 0 si lim!0

() = 1; atunci exista o repartitie asa incat n =) ; iar este transformata Laplace pt :

TEOREMA LIMITA CENTRALA (LINDEBERG -LEVY)Fie fXn; n 1g un sir de variabile aleatoare indepen-

dente, identic repartizate, cu M (Xn) = 8n si D2 (Xn) = 2

Repartitia "CHI Patrat" cu d grade de libertate (d 2 N)

X2 (d) , f (x) = 12d=2 d2xd=21 exp

x2

; x 0

'2(d) (t) = (1 2it)d=2

2(d) () = (1 + 2)d=2

Repartitia Multinomiala M (r; p1; :::; pd)

DenitieX = (X1; :::; Xd)

0 M (r; p1; :::; pd) daca

P X1 =rX

x1;:::;xd=0x1+:::+xd=r

r!

x1!:::xd!(p1)

x1 ::: (pd)xd (x1;:::;xd)

unde r 2 N; pi 2 [0; 1] pentru i = 1; :::; d siPd

i=1 pi = 1

Experiment: O urna cu bile de d culori, din care sefac r extrageri cu revenire. Vectorul aleator X = (X1; :::; Xd)inregistreaza numarul de bile de ecare culoare care aufost extrase.

Bibliograe:Dumitrescu M, Florea D, Tudor C, Probleme de teoria

probabilitatilor si statistica matematica, Editura Tehnica,1985======================

20

TEOREMA LUI PEARSON

Pentru r 2 N consideram urmatoarele variabile aleatoare:

Yr = (Yr1; :::; Yrd)0 M (r; p1; :::; pd) ; cu pi 2 [0; 1] ;8i;

dXi=1

pi = 1

X2r =dXj=1

(Yrj rpj)2rpj

Notam repartitia lui X2r cu Gr = P X2r1

: Atunci

Gr =)r!1

2 (d 1)

(spunem ca sirul fX2r ; r 1g converge in repartitie la o vari-abila repartizata CHI Patrat cu (d 1) grade de libertate).

Demonstratie (prof. Ioan Cuculescu)

In schema multinomiala ( d culori, r extrageri inde-pendente) apar r partitii independente, corespunzatoarecelor r extrageri,n

A(k)j ; j = 1; :::; d

o; k = 1; :::; r

NotamYrj =

rXk=1

IA(k)j; j = 1; :::; d

Zr =

Yr1 rp1p

rp1; :::;

Yrd rpdprpd

0Atunci

X2r = kZrk2

X2r () =Mexp

kZrk2

Vom arata ca

X2r () !r!1 (1 + 2)(d1)=2

Notamv = (v1; :::; vd)

0

t = (t1; :::; td)0

21

exp kvk2

=

dYj=1

expv2j

Dar

expv2j = 'N(0;2) (vj) = 1p

4

1Z1

exp (ivjtj) exp 14t2j

dtj

Notand cu < v; t > produsul scalar, putem scrie

exp kvk2

=

1

(4)d=2

1Z1

:::

1Z1

exp (i < v; t >) exp 14ktk2

dt1:::dtd

Putem scrie

X2r () =1

(4)d=2

1Z1

:::

1Z1

M

exp (i < Zr; t >) exp

14ktk2

dt1:::dtd

=1

(4)d=2

1Z1

:::

1Z1

M

' (1) exp

14ktk2

dt1:::dtd

Identicam urmatorii vectori independenti, identic repar-tizati

fk =

1pp1IA(k)1; :::;

1ppdIA(k)d

0; k = 1; :::; r

cuM (fk) =

p1pp1; :::;

pdppd

0= (pp1; :::;

ppd)

0; k = 1; :::; r

< Zr; t >=1pr(< f1; t > +:::+ < fr; t > rM (< f ; t >))

DarM (< f ; t >) =< M (f) ; t >=

dXj=1

tjppj

M (< f ; t >)2=M

0@ dXj=1

tjppjIA(k)j

1A2 =M0@ dXj=1

t2jpjIA(k)j

1A = dXj=1

t2j

D2 (< f ; t >) =dXj=1

t2j 0@ dXj=1

tjppj

1A2

22

Consideram fu1; :::; udg o baza ortonormala a lui Rd; cuu1 =

pp1; :::;

ppd0:

D2 (< f ; t >) = ktk2 < t;u1 >2=dXj=2

< t;uj >2

Pentru sirul de variabile aleatoare independente, iden-tic repartizate

f< Zr; t >; r = 1; 2; :::g ;de medie 0;aplicam teorema limita centrala si teorema luiPaul Levy (pentru t = 1) :

' (1) !r!1 'N(0;D2()) (1) = exp0@1

2

dXj=2

< t;uj >2

1ARezulta

X2r () !r!11

(4)d=2

1Z1

:::

1Z1

exp

0@12

dXj=2

< t;uj >2

1Aexp 14ktk2

dt1:::dtd

Dar trecerea de la coordonatele ft1; :::; tdg la coordonatelefv1 =< t;u1 >; :::; vd =< t;ud >g este ortogonala, deci de deter-minant 1:

limr!1 X2r () =

1

(4)d=2

1Z1

:::

1Z1

exp

0@12

dXj=2

v2j

1A exp0@ 1

4

dXj=1

v2j

1A dv1:::dvd =1

(4)d=2

0@ 1Z1

exp

v

2

4

dv

1A0@ 1Z1

exp

v2

1

4+1

2

dv

1Ad1 =1

(4)d=2 p

p4 ()(d1)=2

1

4+1

2

(d1)=2=

1

(4)(d1)=2

1

4+1

2

(d1)=2= (1 + 2)

(d1)=2

Am demonstrat deci ca

X2r () !r!1 (1 + 2)(d1)=2

23

si cum (1 + 2)(d1)=2 este transformata Laplace corespun-zatoare repartitiei 2 (d 1) ; am obtinut c.t.d.

Testul Chi Patrat pentru concordanta dintre modelulstocastic si datele statistice

Fie datele statistice (x1; :::; xn). Din interpretarea lor,plus elementele de statistica descriptiva, alegem un posi-bil model stocastic din care ar proveni aceste date (cavalori ale unor observatii independente, identic reparti-zate).

Notam P X1 modelul ales si cu S = X () spatiul star-ilor. Partitionam X () in d submultimi masurabile fA1; :::; Adg;Ai \Aj = pentru i 6= j;

Sdi=1Ai = X () :

Calculam

pj = P (X 2 Aj) ; j = 1; :::; d; pj 2 [0; 1] 8j;dXj=1

pj = 1

Formulam ipoteza ca observatiile independente, iden-tic repartizate X1; :::; Xn care au produs datele statis-tice (x1; :::; xn) au repartitia P X1

H : fX1; :::; Xn sunt identic repartizate ca si Xg

Daca ipoteza H este adevarata, atunci functioneazateorema lui Pearson. Calculam

nj = card fi j i = 1; :::; n; xi 2 Ajg =nXi=1

IAj (xi) ; j = 1; :::; d

dXj=1

nj = n

24

Calculam "distanta Pearson" dintre (p1; :::; pd) sin1n ; :::;

ndn

S2n =

dXj=1

n

pj

njn pj

2=

dXj=1

(nj npj)2npj

Fie 2 (0; 1) arbitrar xat valoarea acceptata a proba-bilitatii de eroare (respingerea ipotezei H cand aceastaeste adevarata).

Fie hd1;1 cuantila de rang (1 ) a repartitiei 2 (d 1) :

REGULA DE DECIZIE: Daca S2n hd1;1, deci-dem sa respingem ipoteza H

Comentarii:

- Testul se bazeaza pe teorema lui Pearson (este untest asimptotic), deci n trebuie sa e mare (n 100)- Recomandari pentru alegerea valorii d :

d ' 1 + 3:322 log nd =

hn3

i- Recomandari pentru alegerea elementelor partitiei:

Aj asa incat pj ' 1d; j = 1; ::; d

- Pentru implementarea in R

p value = F2(d1)S2n

Daca p value 0:05; decidem sa respingem ipoteza H

25