CATEDRA 13
METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
Capitulo XIII
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
II. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES2.1. Aspectos básicos.2.2. Teorema de Schur y Gershgorin2.3. Problemas propios de una matriz.2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mínimoscuadrados2.5. Método de QR de Francis para problemas de valorespropios2.6. Método mixtos evaluación de la determinante Iteraciónen un subespacio
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C0NTENIDO
Competencias:. Explica los conceptos de valores y vectores propios deuna matriz cuadrada.
. Explica los conceptos de polinomio característico y ecuación característica de una matriz.
. Explica el concepto de base propia.
. Explica el concepto de matriz diagonalizable.
. Determina cuando una matriz es diagonalizable y hallarla matriz de transición necesaria para diagonalizarla.
Definición:
VECTOR Y VALOR PROPIO
Dada la Matriz A nxn se llama valor propiode A al escalar y vector propio de Aal vector no nulo v tal que: nx1
AV= V
valor propio
vector propio
POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
SEA A y SEA V NO NULO,
AV = V entonces :
P( ) = det ( A- I)
det ( A - I ) = 0
nxn nx1
polinomio característico
ecuacióncaracterística
Tal que
SEA UN VALOR PROPIO DE A EL CONJUNTO:
nxn
CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO
CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
E = { V (A- I)V = 0 }nx1
observe que los v son las soluciones del sistemahomogéneo (A - I)V=0
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
1. Se halla los valores propios que son las raíces 1, 2 ,..., n de p( ) = det(A- I )= 0
2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A- I)v= 0, correspondiente a cada valor propio i
( son los vi )
EJEMPLO:
Hallar los valores y vectores propios de
A=
110421001
2.1. ASPECTOS BÁSICOSPara ingresar a los estudios de los valores propios de
una matriz debemos tener cierta familiaridad conmatrices y determinantes los números complejos.MATRICES, DEFINICIÓN, INTERPRETACIÓN
DEFINICIÓN: Llamaremos matriz a un arreglorectangular de entes (números, funciones, etc)ordenados en filas y columnas.
18/12/2013 10
2.1. Aspectos básicos.
2.1.2. ORDEN DE UNA MATRIZ: Se llama así al productode las filas y columnas
18/12/2013 11
2.1. Aspectos básicos.
nmmnmimm
ni
ni
ni
aaaa
aaaaaaaaaaaa
21
333231
222221
111211............
225243
525078990143
columnasfilasijnmij aa
2.1.3. MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNAMATRIZ FILA: Llamaremos matriz fila o vector fila aaquella matriz que posee sólo una fila y n columnas.La representamos del siguiente modo:
MATRIZ COLUMNA: Llamaremos matriz columna ovector columna a aquella matriz que posee sólo unacolumna y m filas.La representamos del siguiente modo:18/12/2013 12
2.1. Aspectos básicos.
nnaaaaA 11131211 ...,,,,
11
2111
mxma
aa
A
2.1.4. IGUALDAD DE MATRICES:Las matrices son iguales si tienen el mismo orden; esdecir el número de filas y columnas de cada una debende ser iguales y además cada elemento de una de ellastiene que ser igual al correspondiente de la otra.Su representación matricial es:
2.1.5. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
18/12/2013 13
2.1. Aspectos básicos.
njmiijij baBA ,...,3,2,1,...,2,1;
mnm
n
aa
aaA
1
111
2.1.5.SUMA DE MATRICES:Dadas las matricesla suma de ambas es otra matriz en la que cadaelemento de es igual a la suma de los elementoscorrespondientes de .Su representación matricial es:
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2.1. Aspectos básicos.
nmijnmij bByaA
nmijnmijij babaBAC
)(
2.1.6. PRODUCTO DE MATRICESEl producto de DOS es una matriz . El producto de lasmatrices estará definido correctamente si ; es decir si elnúmero de columnas de la matriz es igual al número defilas de la matriz .Su representación matricial es:
18/12/2013 15
2.1. Aspectos básicos.
nmijnpijpmij cBACbBaA
;
njmibacp
kkjikij ,...,1;,...,1;.
1
2.1.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:1.MATRIZ CUADRADA: Cuando m=n ; se llama matrizcuadrada de orden y se denota por .
18/12/2013 16
2.1. Aspectos básicos.
nnijAA
102221106552'0897465000111111207800075968578234567890
7A
2.MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Llamaremos matriztriangular superior a aquella matriz cuyos elementosson ceros para ; y se representa como:
18/12/2013 17
2.1. Aspectos básicos.
nn
nnn
a
aaaaaaaaa
A
0000
...00
...0
...
333223221131211
3.MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Llamaremos matriz triangularinferior a aquella matriz cuyos elementos son ceros para ; y serepresenta como:
4.MATRIZ DIAGONAL: Llamaremos matriz diagonal a aquellamatriz donde todos sus elementos son ceros para , y serepresenta de la siguiente forma:
18/12/2013 18
2.1. Aspectos básicos.
nnmmm aaaa
aaaaa
a
A
321
3332312221
11
0...0...00...00
nna
aa
a
A
0000
0...000...000...00
3322
11
5. MATRIZ ESCALAR: Es aquella matriz diagonal donde todos loselementos son igual a una constante ; y se representa de lasiguiente manera:6. MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz escalar con ; y se representade la siguiente manera7. MATRIZ TRANSPUESTA: Dada una matriz ; llamaremostranspuesta de A denotada por a la matriz
(5) (6) (7)
18/12/2013 19
2.1. Aspectos básicos.
nmijaA
tA mnjia
mnnnn
mmm
t
mnmmm
nnn
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
...
...
...
...
...
...
...
...
321
333231323222121312111
321
333323122322211131211
K
KK
K
A
0000
0...000...000...00
10000
0...1000...0100...001
A
8. MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz cuadrada essimétrica si se cumple que los elementos ; es decir .
9. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si
10.MATRIZ HERMITIANASLas matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetríaconjugada se le llama matriz Hermitianas es decir: , endonde * indica la conjugada compleja
(9) (10)18/12/2013 20
2.1. Aspectos básicos.
jiaa jiij ;
tAA
tAA
064602420
064602420
664602420
tt AAA
11. MATRIZ BANDAEs una matriz cuadrada en donde la mayor parte de los
elementos son ceros y los elementos con valor significativo estánagrupados alrededor de su diagonal principal en este caso sellama matriz banda.
18/12/2013 21
2.1. Aspectos básicos.
1100012100
012100012100011
A
Obs.•Las líneas paralelas a la diagonal principal se le llamacodiagonales.•El número total de diagonal y codiagonales con elementossignificativos es el ancho de banda (3 en este ejemplo).•Para matrices simétricas puede también hablarse de un ancho desemi – banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemploprecedente).•Una matriz banda tiene baja densidad. Considerando densidadcomo la razón entre el número de elementos con valorsignificativo y el número total de elementos.
18/12/2013 22
2.1. Aspectos básicos.
2.1.8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZDefinición: Determinante de una matriz A denotada por .
2.1.8.1. MENOR COMPLEMENTARIODefinición: Llamaremos menor complemento de un elementode una matriz A de tercer orden al determinante de una matrizcuadrada de segundo orden que se obtiene después de eliminar lafila i y la columna j; .El menor complementario de se denota por .
18/12/2013 23
2.1. Aspectos básicos.
AA )det(
22211211
aaaa
A 12212211 ..)det( aaaaA
"" ijM
)( ijMija ijM
Ejemplo
el menor complementario de:
es de es
2.1.8.2. COFACTOR DE UN ELEMENTOSea un elemento de una matriz A denotaremos cofactor yse define como:
18/12/2013 24
2.1. Aspectos básicos.
333231232221131211
33aaaaaaaaa
aA ij
33322322
11 aaaa
M11a
33321312
21 aaaa
M21a
ija ijA
ijji
ij MA 1
333231232221131211
aaaaaaaaa
A
1313
3113
121221
12
111111
11
1
1
1
MMA
MMA
MMA
131312121111 MaMaMaA
2.1.8.3. Propiedades:1. Si se intercambian una fila por una columna en su determinantesu valor no se altera.
2. Si todos sus elementos de una fila o columna son ceros eldeterminante es cero.3. Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas eldeterminante cambia de signo.
18/12/2013 25
2.1. Aspectos básicos.
333222111
321321321
cbacbacba
cccbbbaaa
321
321
321
321
321
321
cccaaabbb
cccbbbaaa
2.1.8.3. Propiedades:4. Si un determinante tiene dos filas ó dos columnas iguales oproporcionales su valor es cero.
5. Todos los elementos de una fila o columna de un determinantese multiplica por un número el valor del determinante quedamultiplicado por el número.
18/12/2013 26
2.1. Aspectos básicos.
0
321321321
ccckakakaaaa
321321321
321321321
321321321
cccbbbaaa
kccckbkbkbaaa
cckcbbkbaaka
2.1.8.3. Propiedades:6. Si todos los elementos de una fila o columna son expresadoscomo la suma de dos o más números, el determinante puedeexpresarse como la suma de dos o más determinantes
7. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se lemultiplica por m y a este resultado se le suma otra fila o columnael valor del determinante no se altera
18/12/2013 27
2.1. Aspectos básicos.
323232
321321321
321321321
cczbbyaax
cccbbbaaa
cczcbbybaaxa
322132213221
321321321
ccmccbbmbbaamaa
cccbbbaaa
2.1.8.4. ObservacionesLa determinante de una matriz triangular es igual al producto delos elementos de su diagonal principal.2.1.8.5. MATRIZ DE COFACTORESSea la matriz
entonces llamamos matriz de cofactores de la matriz A a la matriz; donde
18/12/2013 28
2.1. Aspectos básicos.
333231232221131211
aaaaaaaaa
A
333231232221131211
AAAAAAAAA
CA ijji
ij MA 1
414221422422414
315153531
CAA
2.1.8.6. MATRIZ ADJUNTASe llama así a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores y sedenota por
2.1.8.7. MATRIZ INVERSA.Supongamos la matriz cuadrada tiene , entonces la inversa de lamatriz A denotada por es
18/12/2013 29
2.1. Aspectos básicos.
332313322212312111
)(AAAAAAAAA
CAAadj t
3636126363
)(363
6126363
987654321
AadjCAA
ACAAadj
AA
t )(11
21.1.8.8. RANGO DE UNA MATRIZ:Se llama rango de una matriz A de orden nxn, al orden de lamatriz cuadrada mas grande contenida en A cuyo determinantees diferente de cero y se denota r(A) = rango de A.Debemos resaltar que el r(A) ≤ min:{m,n} donde la matriz A en de
orden de mxn.2.1.8.10. LONGITUD DE UN VECTORSupongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| esdefinido como un número positivo o cero1,2.
18/12/2013 30
2.1. Aspectos básicos.
En términos de producto punto
,
ANGULO ENTRE VECTORESEl coseno entre dos vectores es dado porEjemploSean los vectores
PERPENDICULARIDAD DE VECTORESDos vectores son ortogonales si el coseno entre ellos es cero esdecir si solo siEjemplo:Sean los vectores x=(2,3,3,4), y =(4,-3,7,-5) sonortogonales pues X*y=2*4+3(-3)+3*7+4(-5)=0
18/12/2013 31
2.1. Aspectos básicos.,
2.1.9. ESPACIO VECTORIAL Cn
El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores X endonde , Si al vectorcomplejo x es multiplicado por también complejo el resultado esotro vector complejo así:2.1.10. NORMA DE VECTORESLa norma Euclidiana se define:
,
18/12/2013 32
2.1. Aspectos básicos.,
,,
2.1.10. VALOR PROPIO DE UN MATRIZ AAhora consideremos A una matriz de orden nxn cuyos elementospueden ser complejos y sea un escalar (numero complejo). Si laecuación
(1)Tiene una solución no trivial es decir entonces , es unvalor propio de A . Un vector x distinto de cero que satisface laecuación (1) es un vector propio de A correspondiente al valorpropioEjemplo: Consideremos la Ecuación siguiente
.
18/12/2013 33
2.1. Aspectos básicos.
Esta ecuación nos afirma que -2 es un valor propio de matriz 3x3y que (1,3,-4)T, es un vector propio correspondiente.La condición de que la ecuación (1) tenga una solución no triviales equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones.
mapea algún vector distinto de cero en 0 (2)es singular (3)
(4)
18/12/2013 34
2.1. Aspectos básicos.
2.1.11. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA MATRIZ ADebemos decir que podemos resolver la relación (4) para lasincógnitas , y de esta manera determinamos los valores propiosde A. Resaltando que a esta relación se le conoce como ecuacióncaracterística de la matriz A . Nosotros podemos escribir estaecuación mas detalladamente así:
18/12/2013 35
2.1. Aspectos básicos.,,,
00000
......
......
......
......
det
321
321
22232221
11131211
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
2.1.12. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A,Podemos observar que la ecuación (4) tiene la forma de unpolinomio de grado n en la variable , a esto se le llama polinomiocaracterístico de A, de lo cual podemos decir que una matriz denxn tiene exactamente n valores propios, siempre y cuando secuenten con las multiplicidades que tienen como raíces de laecuación característica.
18/12/2013 36
2.1. Aspectos básicos.
Ax
Axx
x
, ,
Ax
xx
Ax
,,
EjemploSea la matriz , calcular los autovalores de A
Los autovalores de A sonUn auto vector de A asociado con una solución de
así queEjemploDada la matriz A determinar
18/12/2013 37
2.1. Aspectos básicos.,
2.1.13. RADIO ESPECTRAL DE UNA MATRIZRadio espectral de una matriz A se define así:en donde es un autovalor de AEjemplo: Consideremos la matriz sus autovaloresson:
El radio espectral se encuentra estrechamente vinculada con lanorma de una matriz.Para la norma matricial
18/12/2013 38
2.1. Aspectos básicos.,
INDEPENDENCIA LINEALDiremos que los vectores no nulos sonlinealmente independientes si el único conjunto denúmeros reales tal que , es:
en caso contrario se dirá que losvectores son dependientes.EjemploDados los vectores del vector
18/12/2013 39
2.1. Aspectos básicos.,
INDEPENDENCIA LINEALSi es un conjunto Linealmente
Independiente de n vectores en Rn, entonces para cadavector x en Rn, existe un único conjunto de númeroreales , tal queen este caso se dice que es una base de Rn.
Ejemplo:Sean los vectores .Si losnúmeros son tales que como
18/12/2013 40
2.1. Aspectos básicos.
Pues la única solución al sistema es entonces elconjunto , es Linealmente independiente en R3, y por lotanto es una base de R3. Entonces cualquier vector en R3, puedeescribirse de la siguiente manera:
18/12/2013 41
2.1. Aspectos básicos.,
INDEPENDENCIA LINEAL DE AUTOVECTORES
Si A es una matriz y son autovalores distintosde A con autovectores correspondientes ,entonces , es linealmente independiente.Un conjunto de vectores es ortogonal , si,
y demás entonces el conjuntoes ortogonal.
18/12/2013 42
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL,
INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ORTOGONALESUn conjunto ortogonal de vectores que no contenga elvector cero es linealmente independiente.Ejemplo: El conjunto de vectores,
forman un conjunto ortogonal, pues para estos vectorestenemos que:
18/12/2013 43
,
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL
Este conjunto forman un conjunto ortogonal por heredar laortogonalidad de
Diremos que una matriz Q de dimensiones nxn es una matrizortogonal si , debemos aclarar que esta terminologíaprovienen del hecho de que las columnas de una matriz ortogonalforman un conjunto ortogonal.
18/12/2013 44
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL
Ejemplo. Considerando el ejemplo anterior la matrizortogonal será:
Observemos que: Q*Qt=I
Además se tiene que,
18/12/2013 45
,
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICESSEMEJANTESSe dice que dos matrices A y B de dimensiones nxn sonsemejantes si existe una matriz P tal que A=P-1BP. Dosmatrices semejantes tienen los mismos autovectores.Supongamos que las matrices A y B son semejantes de
orden nxn, y que es un autovalor de A con un autovectorasociado x. En estas condiciones diremos que es unautovalor de B y además si A=P-1BP., entonces Px es unautovector de B asociado a
18/12/2013 46
,
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL
Obsérvese que la determinación de los autovaloresde una matriz triangular de orden nxn esrelativamente sencilla, pues en este caso es lasolución de la ecuación
, si solo si paraalgún i .
18/12/2013 47
,
2.2. INDEPENDENCIA LINEAL
TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
Teorema 1. Todas las matrices semejantes tienen losmismos valores propios .
Pues supongamos que A y B son dos matrices semejantesesto es
Veamos que A y B tienen el mismo polinomiocaracterístico
18/12/2013 48
,
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
Obsérvese:Que se a considerado que el determinante delproducto de dos matrices es el producto de susdeterminantes, y el determinante de la inversa deuna matriz es el reciproco de su determinante.
18/12/2013 49
,*
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
TEOREMA DE SCHUR.Sea A una matriz de orden nxn cualquiera, entoncesexiste una matriz U ortogonal tal que T=U-1AU, donde T estriangular superior cuyos elementos diagonales son losautovalores de la matriz A.Debemos manifestar que el teorema de Schur garantizaque la matriz triangular existe, pero su prueba noproporciona la construcción de T.En otras palabras SCHUR afirmo que toda matriz cuadrada
es unitariamente semejante a una matriz triangular.
18/12/2013 50
,
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
Corolario 1: toda matriz cuadrada es semejante unamatriz triangular.Corolario 2. Toda matriz Hermitiana es semejanteunitariamente a una matriz diagonal.Pues si A es Hermitiana, entonces A=A*, y sea U unamatriz untaría tal que UAU*, es triangular superior. Eneste caso (UAU*)*, es triangular inferior, pero, (UAU*)*=U** A* U*= UAU*, De esta manera la matriz UAU* estriangular superior e inferior en consecuencia se trata deuna matriz diagonal
18/12/2013 51
,
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
Ejemplo
LOCALIZACIÓN DE LOS VALORES PROPIOSTEOREMA DE GERSHGORINSea A una matriz nxn y denotemos por Ri, el círculo delplano complejo con centro en aii y radio , es decir
18/12/2013 52
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
,
En donde C denota el conjunto de los números complejos.Entonces los autovalores de la matriz A están contenidosen , es más, si la unión de estos k círculos no secortan con los demás n-k círculos entonces dicha unióncontiene precisamente k autovalores contando lasmultiplicidadesEjemploLos círculos del teorema de Gershgorin son:
18/12/2013 53
,
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
,
Como los R1 y R2 son disjuntos de R3, existen dosautovalores en y uno con R3
18/12/2013 54
,
2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Eje Imaginario
Eje Real
En ítems anteriores ya se ha se conceptualizo un espaciocomplejo Cn, En este espacio el producto nos permitedefinir el concepto de ortogonalidad, es decir dos vectoresx, y son ortogonales si , lo que podemosgeneralizarlo considerando un conjunto en Cn,diremos que los vectores vi y vj, son ortogonales si.
Si en este caso se dice que el conjunto de losvectores es ortonormal
18/12/2013 55
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
Ejemplo.Determinar si los vectores son ortogonales x1 =[10,10] y .x2 =[-2,2]
Pues ,
Sin embargo si tenemos x1 =[10,10] y . x2 =[2,-2.0003],son casi ortogonales lo que induce al estudio de criteriosde Ortagonalizacion
18/12/2013 56
, 2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
2.3.1. MÉTODO DE ORTAGONALIZACION DE GRAMSCHMIDTConsideremos dos vectores x1 , y x2 en el plano XYlinealmente Independientes, a partir de estos vectoresconstruyamos los vectores e1 y e2, ortogonales.Supongamos x1= e1, y e1 como componente de e2perpendicular a x1, en consecuencia ,gráficamente es
18/12/2013 57
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
e2X2
X1=e1
X2
E1
En donde debemos de encontrar de tal manera quees decir:
Consecuentemente se tiene que
De esta manera e2 se encuentra en función de x1 y x2, y seha ortogonalizado dichos vectores.
18/12/2013 58
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
Ejemplo.Ortogonalizar x1 =[4,6]t y . x2 =[8,0]t
HacemosPrimero: consideramos el primer vector
Segundo: determinamos
18/12/2013 59
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
Tercero: determinamos el segundo vector ortogonal.
18/12/2013 60
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
–
-1 –
-2 --
-3 -
-4 -
1 2 3 4 5 6
4 –
3 –
2 --
1 -
Gráficamente
Para un conjunto de n vectores LinealmenteIndependientes de n componentes. A partir de ellos sepuede construir un conjunto de ortogonalde la siguiente manera.Primero: consideramos el primer vector
Segundo:
Tercero:
18/12/2013 61
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,*
,
Afirmación1.Una sucesión de vectoresortogonales genera una base ortogonal del espaciogenerado por para .
Cuando el proceso de Ortagonalizacion de Gram-Schmidt,se aplica a las columnas de una matriz, se puedeinterpretar el resultado como una factorización matricial.
18/12/2013 62
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
Pues los productos internos que aparecen en el calculo seguarda en una matriz que será uno de los factores.
Aplicamos el proceso a las columnas A1, A2, ...,An de unamatriz A de mxn y finalmente se llega después de n pasosa una matriz B de mxn cuyas columnas forman unconjunto de ortogonal
18/12/2013 63
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
2.3.2. PROBLEMA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOSEl problema de los mínimos cuadrados para sistemas deecuaciones lineales es justamente una aplicación de lasfactorizaciones ortogonales. Consideremos un sistema dem ecuaciones con n incógnitas, es decir
Ax=b
En este sistema de ecuaciones A es una matriz de mxn, xes de nx1, y b es de mx1
18/12/2013 64
2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
,
,
Vamos a considerar que el rango de A es n de donde .Por lo general el sistema no tiene solución, comoconsecuencia de que b no pertenece al espacio Cm, dedimensión n. generado por las columnas de A .En consecuencia generalmente se quiere encontrar una xque minimice la norma del vector residual b-Ax. Lasolución en mínimos cuadrados del sistema planteado esel vector x que hace de , un mínimo el cual xserá único según el supuesto del rango de A.
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2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
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LEMA: Si x es tal que A*(Ax-b)=0 entonces x es unasolución del problema de mínimos cuadrados.Si suponemos que A se a factorizado de la forma A= BT, lasolución en mínimos cuadrados del sistema Ax=b será lasolución exacta del sistema nxn Tx=(B*B )-1 B*b. el cual severifica usando el lema anteriorA*Ax=(BT)*BTx=T* B*BTx = T* B*B(B*B )-1 B*b=T*B*b=A*bVeer demostracion en Analisis numerico de David Kincaid;Ward Cheney
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2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
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La matriz (B*B )-1es un matriz diagonal , estadiagonal es calculado por el algoritmo modificado deGram-Schmidt cuyo algoritmo evita el calculo de raícescuadradas.
Otra manera de abordar el problema de mínimoscuadrados asociado al sistema Ax=b es utilizardirectamente el lema citado de esta manera , seráun mínimo si A* (Ax-b)=0.
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2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
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FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREs uno de los métodos mas útiles para factorizarortogonalmente. La idea es factorizar una matriz A deorden mxn como un productoA=QREn donde Q es una matriz unitaria de mxm y R una matriztriangular superior de mxn, vale destacar que el algoritmode factorización produce Q*A=RConstruyéndose Q* paso a paso como un producto dematrices unitarias que tiene la forma de,
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREsto se le conoce con el nombre de transformaciones deHouseholderPrimero, determinamos el vector con la característicaque l-vv*, sea untaría de tal manera que (I-vv* )A iniciecon tener la forma de R es decir una matriz triangularsuperior de orden mxm es decir su primera columna debede tener la forma , y denotamos la primeracolumna de A con A1,Queremos que , esto se realiza como sigue:
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERPrimero, elegimos un número complejo ,sea real.Segundo, hacer ,En donde ,Obsérvese que aquí se admite dos valores para , en estecaso nosotros elegimos la que permita realizar menoscancelaciones al calcular el valor de v es decir,
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERLos siguientes pasos son similares al primero, puesdespués de k pasos se habría conseguido multiplicar porla izquierda por k matrices untarías, obteniendo de estamanera lo siguiente,
,En dondeJ : es una matriz triangular superior de KxK0: es la matriz nula de (m-k)xkH: es una matriz de kx(n-k) W: es una matriz (m-k)x(n-k),18/12/2013 71
2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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Se afirma que existe un vector tal que I-W*, es unamatriz unitaria de orden m-k con la característica de que(I-W*) tiene ceros por debajo del elemento en su primeracolumna, esto es, .En esta relación , es una matriz unitaria y lodenotamos por Uk+1, y el proceso termina cuando lacolumna (n-1) - ésima de R queda en la forma apropiada yconsecuentemente tenemos, Q* A = R, en donde Q*
denota el producto de todas las matrices unitarias que sehan usado como factores dado que Q es una matrizunitaria, A=QR .
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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Observemos que Q*= Qn-1Qn-2....Q1
en este caso , siendo, se puede observar que Uk es Hermitiana
consecuentemente tenemos,
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
Ejemplo.Sea la matriz
Paso IPrimero: Calculamos como , pues A1es real
Segundo, hacer
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
En este caso el primero factor unitario
Tercero. Calculamos U1A
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,*
Paso IIPrimero: Calculamos
Segundo, hacer
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
En este caso el primero factor unitario
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
Tercero. Calculamos U2 U1A
Paso IIIPrimero: Calculamos
Segundo
En este caso el primero factor unitario
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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En este caso el primero factor unitario
En este caso la matriz triangular superior es
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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Tercero. Calculamos Q* U3 U2 U1A
Luego A=QR
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2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,
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La descomposición en valores singulares es otra manera defactorizar matrices que tiene una diversidad de aplicaciones en elmundo real.Se afirma que toda matriz compleja A de orden mxn se puedefactorizar en la formaA=PDQEn donde
P= es una matriz de orden mxmD= es una matriz de orden mxnQ= es una matriz de orden nxn
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DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS
Ejemplo
Se tiene que:
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DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS
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Entonces A=PDQ
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DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS
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Muchas Gracias 84