catedra metodos numericos 2013 - unsch 11 [modo … · n 1(x) ..... a1 g1(x) ... los puntos y que...

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 12

Capitulo X

Integración Numérica

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

2.2.0. INTRODUCCIÓN2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON ENDIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS2.2.6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIASDIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn

2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA

3

C0NTENIDO

2.2.0. INTRODUCCIÓNEn el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la maneracomo determinar una función o funciones a partir de un conjunto dedatos discretos, i.e., puntos tabulados, situación que siempre se enfrentacualquier investigador, para decir generalmente un Ingeniero siempretiene al frente esta problemática fenómeno que será el objetivo de esteítem.Pues es común encontrar datos con valores discretos, y sin embargonosotros queremos encontrar valores entre estos puntos discretos, y estoes lo que lo llamamos ajuste de curvas y, generalmente se usa elprocedimiento de mínimos cuadrados.Cuando existe un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa loque se llama interpolación.

4

2.2.0. INTRODUCCIÓN

Las funciones de aproximación generalmente esobtenida por combinación lineal de funcioneselementales, que toman la forma de:En donde:

ai: Son constantes que deseamos encontrar,i=1,2,...,ngi(x): Son funciones elementales específicas,i=1,2,...,n

5


nixgaxgaxgaxga nnnn 0:)()(........)()( 001111

Ejemplo:1.gi (x): Puede ser la familia de monomiosen luego tenemos la combinación lineal:

2. La familia de funciones elementales de Fourier, enfunción de “x”1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, sen 3x, cos 3x,..La combinación lineal que genera aproximaciones dela forma:

6


nxxxx ,.....,,: 10

00

11

22

11 .............)( xaxaxaxaxaxaxp i

in

nn

n

n

ii

n

ii xisenbxiaa

110 cos

Observación:1. De las tres familias observadas podemos decir quela primera es la más utilizada y la más sencilla en sumanejo.2. ¿Qué buscamos en esta unidad?

Buscamos unan función f(x) a partir de unatabulación funcional f (x):

7


Punto 0 1 2 ..... nVariable x0 x1 x2 .... xn

Función f (x0) f (x1) f (x2) ....... f (xn)

Es decir queremos aproximar a f(x) por medio de lafamilia elemental de monomios

es decir,

, que se puede realizar por medio de los siguientescriterios:Ajuste exactoMínimos cuadrados

8


ni xxxxx ,......,,.....,,, 210

00

11

22

11 .............)( xaxaxaxaxaxaxp i

in

nn

n

Ajuste Exacto:Consiste en determinar una función polinomial quepase por los puntos proporcionados tubularmente.Esto es:

9


Mínimos Cuadrados:Consiste en determinar una función polinomial que pase porlos puntos y que cumpla la condición de minimizar la suma delas desviaciones (di) elevados al cuadrado.i.e.; = mínimoEncontrado el polinomio de aproximación podemos utilizarlopara determinar otros puntos que no están en la tabla,mediante una evaluación, fenómeno que se llamaInterpolación, así mismo se puede derivar o integrar con lafinalidad de buscar alguna otra información adicional de lafunción tabular.:

10


n

iid

0

2

Podemos decir que la interpolación lineal es el eje paramuchos métodos numéricos y de gran relevancia en laingeniería, puesto que una gran información se encuentraen su forma tabular como veremos más adelante y esusado por una diversidad de métodos numéricos, porejemplo si integramos este método tendremos el métodode integración trapezoidal.¿En qué consiste este método?Supongamos que tenemos los siguientes cuadros::

11

2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL

Cuadro 1

Cuadro 2

12


Puntos 0 1 2 3 4 56

f(x) 56 78 113 144 181 205 214X 1 2 5 10 20 30 40

Puntos 0 1 23

f(x) 56 ¿-? 113 181 214X 1 2 5 20 40

Cuadro 1

Supongamos por un instante que sólo se dispone delcuadro 2 y que queremos el valor de la variable “y=f(x)”cuando x tiene un valor de 2 unidades. Una manera muycomún es considerar la ecuación de una línea recta así:

, y sustituirlos valores de los puntos 0 y 1, obteniendo dosecuaciones con variables a0 y a1

Punto “0” = (1,56); punto 1: (5,113); (x, f(x))

13


Cuadro 1

xaaxp 10)(

10

10

511356

aaaa

574 1a8.412.1456

2.14457

0

1

a

a

Luego la ecuación de la función lineal:p(x) = 41.8 + 14.2xEsta ecuación puede ser usado para calcular f (x) cuando x= 2

14


Cuadro 1

2.704.288.412)2.14(8.41)2( f

Observación:Si queremos una mejor aproximación para nuestra funcióndeberíamos considerar otro punto más y tendremos:

En general tendremos la siguiente aproximaciónpolinomial.

15


Cuadro 1

2210)( xaxaaxp

nn

iin xaxaxaxaaxp ..............)( 2

210

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONEn esta oportunidad presentaremos los polinomios dellamados de Newton como previos al proceso recursivo,p0; p1; p2;....; pn,en donde cada pk se obtiene simplementeañadiendo un término a pk-1 , y al final del proceso pn seencuentra formado por una suma de términos

16


Cuadro 1

Comentarios:El método anterior tiene su punto débil en laaproximación exacta, al realizar la interpolación, pues setenía que solucionar un sistema de ecuaciones que suorden dependía de la exactitud de la aproximación, con lafinalidad de salvar estos inconvenientes, surgen otrosmétodos de aproximación polinomial, que realicencálculos directos sin desarrollar tales sistemas deecuaciones que envuelven cierta dificultad en su solución.Entre estos métodos tendremos la aproximaciónpolinomial de LaGrange. El método que consiste en:

17

2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE

Primero: Supongamos una función desconocida f (x) dadaen forma tabular y se asume un polinomio de primergrado es decir una línea recta el cual se puede escribir dela siguiente manera:

1. Supongamos que la ecuación de un recta se escribe así:

18


)()()( 0110 xxaxxaxP

En donde:x0, x1: Son valores de la función en puntos conocidos [x0, f(x0)], [x1, f (x1)]a0, a1: Coeficientes por determinar, y lo encontramoshaciendo las consideraciones siguientes:Determinando a0 para ello consideramos

Determinando a1 para ello hacemos:

19


10

0

10

0010000

)()()()(

xxxf

xxxP

axxaxPxx

01

1

01

1101111

)()()()(

xxxf

xxxP

axxaxPxx

Luego:

2. Supongamos un polinomio de segundo grado

20


)()()()()()()(

)()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

1100

01

01

10

10

001

11

10

0

xfxLxfxLxPxxxx

xfxxxx

xfxP

xxxx

xfxx

xxxf

xP

))(())(())(()( 1022012102 xxxxaxxxxaxxxxaxP

En donde:x0, x1, x2 son los valores de los puntos conocidos [x0, f(x0)],[x1, f(x1)], [x2, f(x2)]

Si

Si

Si

21


))(()(

))(()(

2010

0

2010

0200 xxxx

xfxxxx

xPaxx

))(()(

))(()(

2101

1

2101

1211 xxxx

xfxxxx

xPaxx

))(()(

))(()(

1202

2

1202

2222 xxxx

xfxxxx

xPaxx

Luego:En donde:

3. Podemos suponer un polinomio de grado n:

22


)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxP

))(())((

)(;))((

))(()(;

))(())((

)(1202

102

2101

201

2010

210 xxxx

xxxxxL

xxxxxxxx

xLxxxx

xxxxxL

)()(......)()(.....)()()()()( 1100 nniin xfxLxfxLxfxLxfxLxP

En donde:

Que en general el polinomio se puede escribir:, polinomio LaGrange

23


))....().....()(()).....().....()((

)(

))....().....()(()).....().....()((

)(

))....().....()(()).....().....()((

)(

110

110

112101

201

002010

210

niiiii

nii

ni

ni

ni

ni

xxxxxxxxxxxxxxxx

xL

xxxxxxxxxxxxxxxx

xL

xxxxxxxxxxxxxxxx

xL

n

iiin xfxLxP

0)()()(

En donde:,

La aproximación polinomial de LaGrange, esla combinación lineal de f(xi ) y de loscoeficientes Li(X).

24


n

ijj ji

ji xx

xxxL

0 )(

)()(

Ejemplo:Supongamos que tenemos la función tabular

a) Determinar la aproximación polinomial de LaGrangeusando todos los puntosb) Determinar el valor aproximado de f (x) para x = 1.

25


i 0 1 2 3

F(Xi) -3 0 5 7

Xi 0 1 3 6

Solución:Debemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos loque induce la existencia de un polinomio de tercer orden

26


90)3)(1(

)36)(16(6)3)(1(

))()(())()((

)(

18)6)(1(

)63)(13)(03()6)(3)(0(

))()(())()((

)(

10)6)(3(

)61)(31)(01()6)(3)(0(

))()(())()((

)(

18)6)(3)(1(

)60)(30)(10()6)(3)(1(

))()(())()((

)(

)7)(()5)(()0)(()3)(()(3)()()()()()()()()(

231302

2103

321202

3102

312101

3201

302010

3210

3210

332211003

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxL

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxL

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxL

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxL

xLxLxLxLxPxfxLxfxLxfxLxfxLxP

Operando tenemos:

El valor aproximado de la función cuando x = 1.8

27


31546

3030

23

3 xxxP

2176.23)8.1(1546

30)8.1(

30)8.1()8.1(

23

3 P

Así como podemos aproximar una función mediante laaproximación polinomial de LaGrange, también podemosaproximar la derivada y la integral de una función condiferencias divididas. La derivada y la integralrespectivamente el polinomio de interpolación, que enrealidad es el principio básico para la diferenciación eintegración de los métodos numéricos.Supongamos una función f (x) con derivada en el punto x0analíticamente esta dado por:

28

2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

)(')()(

lim0

0

0

xfxx

xfxfxx

Pero cuando la función es dada de manera tabular, setiene.

29


)(..........)(..........)()()(........................................10

10

10

ni

ni

xfxfxfxfxfxxxxxniPunto

La derivada sólo puede obtenerse de manera aproximada,por ejemplo si se desea calcular la derivada de f(x) en elpunto “x” tal que x0 < x < x1

Esto se determina así:

La expresión de la derecha se llama primera diferenciadividida de f (x) respecto a los valores de x0 y x1 y sedenota generalmente f [x0, x1], esto es,

30


1001

01 ,)()(

)(' xxxxx

xfxfxf

01

0110

)()(,

xxxfxf

xxf

Observación:1. Se debe destacar que la relación entre la primeradiferencia dividida y la primera derivada esta dada por elteorema del valor medio.

Siempre que f (x) cumpla con las condiciones del teoremadel valor medio.2. Podemos generalizar para un orden más alto en dondeel argumento es se llama diferencia dividida, de ordencero:

31


),(,)(')()(

1001

01 xxccfxx

xfxf

i.e

32


0

1102110

,.....,,,.....,,,.....,,

xxxxxfxxxf

xxxfi

iii

55

44

33

22

11

00

xfx

xfx

xfx

xfx

xfx

xfx

45

4554

34

3443

23

2332

12

1221

01

0110

,

,

,

,

,

xxxfxf

xxf

xxxfxf

xxf

xxxfxf

xxf

xxxfxf

xxf

xxxfxf

xxf

35

4354543

24

3243432

13

2123321

02

1021210

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

xxxxfxxfxxxf

xxxxfxxfxxxf

xxxxfxxfxxxf

xxxxfxxfxxxf

25

4325435432

14

3214324321

03

2103213210

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

xxxxxfxxxfxxxxf

xxxxxfxxxfxxxxf

xxxxxfxxxfxxxxf

TerceroSegundoPrimero

Observación:Para formar la expresión se requiere i + 1 puntos.El numerador es la recta de dos diferencias de orden i – 1.El denominador es la recta de los argumentos no comunesen el numerador.Ejemplo:

Supongamos que tenemos la siguiente información

33


142722518)(632012543210

xfx

Puntos

Obtenido del polinomio

La primer diferencia dividida en los puntos (0), (1) y (1),(2)

La segunda diferencia dividida para (0), (1) y (2)

34


22 23 xx

13)2(1)18(5)()(

,01

0110

xx

xfxfxxf 3

)1(0)5(2)()(

,12

1221

xx

xfxfxxf

5

)2(0)13(3,,`

,,02

1021210

xx

xxfxxfxxxf

De esta manera construimos la tabla de diferenciasdivididas

35


Puntos X f(x) 1º orden 2º orden 3º 0rden 4º orden0 -2 -18

131 -1 -5 -5

3 12 0 -2 -1 0

0 13 2 -2 3 0

9 14 2 7 9

455 6 142

Observemos que:Todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismovalor independiente del valor de las x que se usen para calcularse.Las diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo quetiene afinidad con el criterio que la derivada de tercer orden es unaconstante y la de cuarto orden es cero, para cualquier valor de x.El razonamiento anterior nos induce a decir que si al construir unatabla de diferencias divididas en alguna columna el valor esconstante y la siguiente columna es cero la información provienede un polinomio de grado igual al orden de las diferencias quetengan valores constantes.

36


El razonamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomioes de grado 3 es decir mi polinomio será:

En nuestro ejemplo se tiene:.

37


...))((,,)(,,...,,)( 1021001001

0010

xxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfxp

k

jj

n

kk

))()((,,,))((,,)(,)( 2103210102100100 xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp

)0)(1)(2(1)1)(2(5)2(1318)( xxxxxxxp

22)( 23 xxxp

2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTONSupongamos que tenemos una función tabular y que queremos

aproximar mediante un polinomio de primer grado:

1. Aproximación por un Polinomio de Primer Grado

38

2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

ni

ni

xfxfxfxfxfxfxxxxxxniPuntos

210

210

)(

210

)()( 0101 xxaaxP

En donde:x0 : Es la abscisa del punto “0”a0, a1: Constantes por determinar

Si

Consecuentemente tendremos:

39


01

0110

0

0111

000000

)()()(

xxxfxf

axxxx

xfxPaxx

xfaxfxPaxx

101 , xxfa

)()( 0

0

0101 xx

xxxfxf

xfxP

10001 ,)()( xxfxxxfxP

2. Aproximación por un Polinomio de Segundo Grado

En donde:

x0, x1 : Son las abscisas de los puntos “0” y “1”

a0, a1, a2: Constantes que debemos encontrar

Si:40


)()()()( 1020102 xxxxaxxaaxP

41


210011202

120101022

02

01

01

12

02

2

1202

0201

0102

21202

02102222

10101

011

01

01211

00200

,,))()((

)()()()()(

)()(

)()(

))((

)()(

))(()()(

,)()(

xxxfxxxxxx

xxxfxfxxxfxfa

xxxx

xfxfxx

xfxf

a

xxxx

xxxx

xfxfxfxf

axxxx

xxaaxPaxx

xxfaxx

xfxfaxx

axPaxx

xfaxPaxx

Luego tenemos:

GENERALIZACIÓN

En donde:: Son las abscisas de los puntos 0, 1, 2, …, n: Son coeficientes por determinar y están dados por

42


21010110002 ,,)()(,)()( xxxfxxxxxxfxxxfxP

)(...)()(...)()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP

nxxx ,...,, 10

naaa ...,,, 10

nn xxxfaxxxfaxxfaxfa ,....,,;....;,,;,; 10210210100

Esto es tendremos la siguiente aproximación polinomial

Polinomio de aproximación de Newton

43


nn

n

xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxP

,...,,))...()((...,,))((,)()(

1010

210101000

ij

i

n

jjn xxaxP

1

00)(

Ejemplo:Determinar la aproximación polinomial de Newton para lainformación tabular e interpolar para x = 2DIFERENCIAS DIVIDIDAS

44


Diferencias divididas Puntos

X f[x] 1º dividida 2º dividida 3º dividida

0 1 5614.2

1 5 113 -0.314.5 0.019

2 20 181 0.0811.68

3 40 214

i.e

Observación:

45


)1(2.1456,)()( 01000101 xxxxxfxfxxaaxP

2.14

457

1556113,

01

0110

xx

xfxfxxf

10210

01001020102

,,,))(()()(

xxxxxxxfxxxxfxfxxxxaxxaaxP

7.7153.12.70521251.0622.14562

2.70122.145625151.012.1456

5.41568

15113181,

51.019

7.9120

2.145.4,,,,

2

1

2

1212

21

02

1021210

PP

xxxxPxx

xfxfxxf

xxxxfxxf

xxxf

i.e

Pero:

Si x=2

46


31031020103 )( xxxxxxaxxxxaxxaaxP

011.039429.0

14051.0081.0,,,,

,,,

;51.0,,;2.14,;56

03

21032132103

2102101100

xxxxxfxxxf

xxxxfa

xxxfaxxfaxfa

)20)(5)(1(019.0)5)(1(51.0)1(2.1456)(

081.0540

5.468.1,,,,

3

13

2132321

xxxxxxxPxx

xxfxxfxxxf

67.72969.07.71)202)(52)(12(019.0)52)(12(51.0)12(2.1456)2()2( 3

Pf

Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con lossiguientes datos:

Y utilizar la información de dicha tabla, paraconstruir el polinomio de interpolación de Newton.Solución.

47


Supongamos que la distancia entre dos argumentos (abscisas)consecutivas cualquiera es igual, en toda la función tabular y sea“h”.El polinomio de aproximación de Newton se puede escribir demanera más simple, para nuestro propósito, consideremos otropunto S; definido por:

x: Es el valor que se quiere interpolar. Pero:

48

2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS

shxx 0

niihxxhxxhxxhxx i ,....,2,1...,,3,2, 0030201

Que ocurre si restamos xi en ambos miembros

Si consideramos el desarrollo general del polinomio de Newton, i.e.:

49


)(;....);3();2();1(,...,2,1;

)(

321

00

0

nshxxshxxshxxshxxniPara

ishxxihxshx

xishxxx

n

i

i

))...()((...))(()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP

))1()...(1(,...,,..)2)(1(,...,,...

)2)(1(,,,)1(,,,)(

103

10

33210

22101000

nssshxxxfssshxxxf

ssshxxxxfsshxxxfhsxxfxfshxPn

nn

n

O

Observemos que la última relación de aproximación se puedesimplificar si hacemos ingresar los operadores lineales y,conocidos como:

: Operador lineal en diferencias hacia delante: Operador lineal en diferencias hacia atrás

En dondePrimera Diferencia

50


n

k

k

i

kkn ishaxP

0

1

0)()(

)(xf

)()()( xfhxfxf

La segunda diferencia

La tercera diferencia

En general:

51


)(2 xf

)()(2)2()()()()(

)()())()(()())(( 2

xfhxfhxfxfhxfhxfhhxf

xfhxfxfhxfxfxf

)(3 xf

)()(3)2(3)3()()())()((2)2()2(

)()(2)2())()(2)2(())(( 2

xfhxfhxfhxfxfhxfhxfhhxfhxfhhxf

xfhxfhxfxfhxfhxfxf

))(()( 1 xfxf ii

De manera análoga para el operador lineal de diferencia hacia atrásPrimera Diferencia

Segunda Diferencia

En general:

52


)(xf )()()( hxfxfxf

)(2 xf

)2()(2)()2()()()()()())()(())((

hxfhxfxfhxfhxfhxfxfhxfxfhxfxfxf

)(()( 1 xfxf ii

Que ocurre si aplicamos al primer valor funcional f [x0] de una tablaproporcionada.

53


3

03

30123

3210

20

2

2012

210

010100

100101

01000

!332)(33

,,,

222

,,

)(1,,)(:

,

hxf

hxfxfxfxfxxxxf

parah

xfh

xfxfxfxxxf

Para

xfh

xxfxxfhxfie

xxfhxxxx

xfxfxfhxfxf

En general:

De manera análoga para el operador de diferencias hacia atrás

Consecuentemente al sustituir en

Es conocido como el polinomio de Newton en diferencia finita haciadelante.

54


n

nn

hn

xfxxxf

!

)(,...,, 0

10

nn

n

nn hnxfxxxxf

!)(,,...,, 011

nixxxf n ,...,2,1,0,,...,, 10

)(!

))1()...(2)(1(...!2

)1()( 002

000 xfn

nssssxfssxfsxfshxP nn

Ejemplo:Supongamos que tienen las siguientes tabulaciones:

Aproximar la función tabulada usando el polinomio de Newton endiferencias finitas hacia delante e interpole para 64SoluciónEn este conjunto de datos tenemos que h = 10, el valor porinterpolares 64El valor de s es

55


30.5957.5084.4205.3671.3094.24)(1009080706050543210

xfx

Puntos

4.14.110

50640

Sh

xxs

PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDENPara n = 1

En donde

56


17.32)17.5(4.194.24

)( 001

xfsxfxP

17.594.2411.300

01000

xf

xfxfxfhxfxf

03.0

01.0

06.009.008.0

194.085.077.0

73.873.779.594.517.5

30.59100557.5090484.4280305.3670211.3060194.24500

14

04

23

13

03

32

22

12

02

4

3

2

1

0

432

xfxf

xfxfxf

xfxfxfxf

xfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxPunto iiiiii

Es preciso destacar que en realidad se esta extrapolando, pues elvalor de x queda fuera del intervalo de los puntos que se usan paraformar el polinomio de aproximación.Debemos observar que el polinomio de aproximación descrita enfue estructurado considerando x0 como pivote y luego si queremosaplicar para los puntos (1) y (2) debemos modificar así:

57


1

1

112

11 !))1()...(1(...

!2)1()( xf

nnsssxfssxfsxfshxfxP n

in

2

11)( xfsxfxP

4.010

60641

hxx

s 49.32)94.5(4.011.30)64( f

Debemos resaltar que si deseamos aproximar con unpolinomio de segundo grado se requieren tres puntos,tendríamos dos alternativas, tomar como puntos (0),(1) y (2) ó (1), (2) y (3), en este caso tomaría la primeraserie por que el valor a interpolar está más al centro,luego tendríamos:

58


385.3277.0!2

)14.1(4.1)17.5(4.194.24)64(

4.1;!2

)1()(

2

02

002

P

sxfssxfsxfxP

APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIAEn los ítems anteriores para interpolar entre n+1 puntos seusaron polinomios de grado n, para decir para un conjunto de 8puntos se puede obtener un polinomio de grado 7, pareceráque se llevaba todo correctamente pero sin embargo se teníanresultados erróneos como errores de redondeo y los puntoslejanos.

Una alternativa para mitigar estos errores fue pensarconsiderar polinomios de grado inferior en subconjunto dedatos y a tales polinomios se llamaran funciones segmentarias.

59


APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIAPor ejemplo, las curvas de tercer grado usadas para

unir cada par de puntos se llaman segmentariascubicas. Tales funciones d se pueden construir de talmanera que las conexiones entre las ecuacionescubicas adyacentes sean suaves, pareciera que lasaproximaciones de tercer grado de las segmentariasserian inferior a la aproximación de séptimo grado.Veamos algunos gráficos que ilustran mejor la idea.

60


.

61


x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

Caso (a) Caso (b)

Caso (c) Caso (d)

En definitiva las figuras plasman mejor laidea de la aproximación segmentaria, lasfiguras de a hasta c representan lasoscilaciones de una función suaveDebemos destacar que esta aproximacióntambién se le llama aproximación spline,en ingles para dibujar curvas suaves através de un conjunto de puntos.

62


INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL

La unión mas simple entre dos puntos es una recta, lassegmentarias de primer grado para un grupo de datosordenados se define como un conjunto de funciones lineales.

63

2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA,,

De donde la pendiente mi de la línea recta que une lospuntos.

Esta relación se usa para evaluar la función de cualquierpunto entre x0 y x1,EjemploDado el siguiente conjunto de datos,

Ajuste con segmentaras de primer orden y evalué la función en x=5

64

2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA,,,

x 3 4.5 7 9f(x) 2. 1 2.5 0.5

SoluciónPrimero. Usar los datos para determinar las pendientesentre los puntosPara decir en el intervalo [4.5 ,7] la pendiente calculamos

usando el modelo planteado .n

65


El valor en x=5 es 1.3 .

.

66


x

f(x)

Segmentaria de primer orden

x

f(x)Segmentaria de Segundo orden

x

f(x)Segmentaria de Tercer orden

Interpolacion cubica

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICAEn esta oportunidad el objetivo de las segmentariascuadrática es obtener un polinomio de segundogrado para cada intervalo en el conjunto de datos,enGeneral el polinomio en cada intervalo se representaasí,

67


En donde a, b y c son tres constantes desconocidas yse requieren tres ecuaciones, en el caso que setengan n+1 datos existen n intervalos y por cadaintervalo se requieren tres ecuaciones es decir 3n, sedeben tener en consideración los siguientes criterios.

1. Los valores de la función de polinomiosadyacentes deben de ser guales en los nodosinteriores esta condición lo representamos de lasiguiente manera.

68


Para i=2 a n como solo se emplean dos nodosinteriores cada ecuación proporciona n-1 condicionesen total 2n-2 .2. La primera y la ultima función deben de pasar a

través de los puntos extremos esto agrega dosecuaciones mas

69


3. Las primeras derivadas en los nodos interioresdeben de ser iguales es decir,

En consecuencia en general tenemos,

para i=2 a n, esto proporciona otras n-1 condiciones.4. Suponga que en el primer punto de la derivadaes cero, esta condición se representa así,a1=0.Esto quiere decir que los dos primeros puntos seunirán con una línea recta.

70


Ejemplo. Considerando el conjunto de datos

Ajuste usando segmentarias de segundo grado yestime el valor de x=5SoluciónEn este problema tenemos cuatro datos y n=3intervalos por lo tanto 3(3)=9 incógnitas que debende determinarse, consideran las dos condiciones delprimer criterio es decir 2(3)-2=4 condiciones

71


x 3 4.5 7 9

f(x) 2. 1 2.5 0.5

Evaluando las dos condiciones del segundo criterio setienen 2 ecuaciones

72


A seguir consideramos la continuidad de lasderivadas la cual crea 3-1=2 ecuaciones esto deltercer criterio.

Por ultimo consideramos el cuarto criterio quedetermina que a1=0, como esta relación nos dice demanera exacta que a1 tiene como valor ceroentonces se reduce a determinar ocho ecuacionessimultaneas.

73


Este sistema se puede resolver usando cualquiertécnica analizado y tenemos:

74


a1=0 b1=-1 c1=5.5a2=0.64 b2=-6.76 c2=18.465a3=-1.6 b3=24.6 c3=-91.3

Consecuentemente tenemos las siguientesrelaciones para cada intervalo.

Como x=5 usamos f2 para determinar suaproximación

75


INTERPOLACIÓN POR SEGMENTARÍAS CUBICASEn esta oportunidad tenemos como objetivo de encontrar un

polinomio de interpolación de tercer grado para cadaintervalo entre los nodos.

Para n+1 datos existen n intervalos en consecuencia 4nincógnitas que debemos evaluar requiriéndose 4ncondiciones para evaluar. Las cuales se obtienen de lassiguientes consideraciones:Los valores de la función deben de ser iguales en los nodosinteriores (2n-2 condiciones)

76


•La primera y la ultima función deben pasar a través delos puntos extremos (2 condiciones)•Las primeras derivadas en los puntos interiores debende ser guales (n-1 condiciones)•Las segundas derivadas en los nodos interiores debende ser iguales (n-1 condiciones)•Las segundas derivadas en los nodos extremos sonceros (2 condiciones ) esta condición dice que la funciónen los extremos se vuelve en una línea recta, lo queinduce a que se le llame segmentara natural o lineal.

77


Las cinco condiciones anteriores permiten obtener 4necuaciones requeridas para obtener los 4n coeficientes.Para determinar las ecuaciones de la segmentariacubica tenemos la siguiente relación valida para cadaintervalo.

78


Esta ecuación solo contiene dos incógnitas las segundasderivadas en los extremos de cada intervalo.Las incógnitas se evalúan usando la siguiente relación.

Si escribimos esta relación para todos los nodosinteriores resultan n-1 ecuaciones simultáneas con n-1incógnitas. No debemos olvidar que las segundasderivadas en los puntos extremos son ceros.

79


Ejemplo.Considerando el conjunto de datos

Ajuste usando segmentarias de tercer grado y estime elvalor de x=5SoluciónPrimero: Usaremos la ultima relación llamado @ con lafinalidad de obtener un conjunto de ecuaciones para lassegundas derivadas en los nodos.

80


x 3 4.5 7 9f(x) 2. 1 2.5 0.5

pero como por ser segmentaria natural

De manera análoga se aplica al segundo punto interior yobtenemos

Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente ytenemos

81


Valores que serán sustituidos en & junto con los valoresde las x y las f(x),

Esta ecuación es la segmentaria cubica para el primerintervalo de igual manera se obtienen para el segundo ytercer intervalo

82


O

Las tres ecuaciones se pueden usar para calcular valoresdentro de cada intervalo.

Por ejemplo x=5 se encuentra dentro del segundointervalo se calcula como sigue

83


EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN YAPROXIMACIÓN FUNCIONALDetermine el polinomio que interpolan los siguientes conjuntosde datos: Primer grado, segundo grado, tercer grado, y cuartogrado.

18/12/2013 84


I 0 1 2 3 4f(xi) 40 45 50 55 60xi 2 3 5 6 8

I 0 1 2 3 4f(xi) 10 15 20 25 30xi 0 1 2 3 4

.

85


I 0 1 2 3 4f(xi) 140 245 450 655 960xi 1 5 10 15 20

I 0 1 2 3 4f(xi) 1 -3 2 4 10xi 3 1 2 6 9

I 0 1f(xi) 3 7xi 5 -1

I 0 1 2f(xi) 146 2 1xi 7 1 2

.

86


I 0 1 2 3f(xi) 10 146 2 1xi 3 7 1 1

I 0 1 2 3f(xi) 12 20 50 55xi 3 7 1 2

II Encuentre un polinomio de Interpolación de Lagrange,Diferencias Divididas y Newton.

87


I 0 1 2 3

f(xi) 3 2 -4 5

xi 1 2 0 3

I 0 1 2

f(xi) 11 7 28

xi 2 0 3

II Encuentre un polinomio de Interpolación deLaGrange, Diferencias Divididas y Newton.

88


I 0 1 2

f(xi) 1 -1 0

xi 0 1 -2

I 0 1 2

f(xi) 10 5 20

xi 2 1 2

III Determinar la interpolación en los puntos dadosusando los dos polinomios :Para el caso (a)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4Para el caso (b)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4Para el caso (c)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 3IV: Solucionar las siguientes problemáticas1.- Se conoce que la densidad del carbonato neutro de

potasio en solución acuosa varia en temperatura y ensu concentración de acuerdo a la siguienteinvestigación:

18/12/2013 89


.

90


T(ºC)

c(%)

0 40 80 100

4 1.0381 1.0276 1.0063 0.9931

12 1.1160 1.1013 1.0786 1.0663

20 1.1977 1.1801 1.1570 1.1451

28 1.2846 1.2652 1.2418 1.2301

a) Calcular la densidad a 40ºC y 15% de concentraciónb) Calcular la densidad a 50º Cy 28% de concentraciónc) Calcular la concentración que tiene una solución dedensidad 1.129 a una temperatura 60ºC2.- Supongamos que se tiene un conjunto de datos,donde e representa los voltios y p los kilowatios en unacurva de pérdida en el núcleo para un motor eléctrico:a) Construir una tabla de diferencias divididasb) Usando el polinomio de Newton de segundo gradoaproxime el valor correspondiente a e = 90 voltios .

91


.

3.- Se tiene los siguientes datos tabulados

92


I 0 1 2 3 4 5 6

E 40 60 80 100 120 140 160

P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59

Puntos 0 1 2 3a = l/r 140 180 220 240y = p/a 12,800 7,500 5,000 3,800

Donde y = p/a es la carga en lb/pul2 que causa laruptura de una columna de hierro dulce con extremosredondeados y a es la razón de la longitud de lacolumna al mínimo radio de giro en su seccióntransversal a = l/rDeterminar el polinomio de tercer grado que pasa porestos puntos en sus distintas formasa) Aproximación polinomial simpleb) Formula de LaGrangec) Aproximación de Newton y Diferencias Divididas.

93


33

22103 )( xaxaxaaxp

Muchas Gracias

catedra metodos numericos 2013 - unsch 11 [modo … · n 1(x) ..... a1 g1(x) ... los puntos y que...

Documents