Download - brosura matematica gimnaziu
F O R M U L E F O R M U L E F O R M U L E F O R M U L E
D E CA L CU LD E CA L CU LD E CA L CU LD E CA L CU L
P R E SCU R TA TP R E SCU R TA TP R E SCU R TA TP R E SCU R TA T
E X E R CIE X E R CIE X E R CIE X E R CIŢŢŢŢII II II II
P R O P U SE P R O P U SE P R O P U SE P R O P U SE ŞŞŞŞI I I I
R E Z O L VR E Z O L VR E Z O L VR E Z O L VĂĂĂĂR IR IR IR I
M A TE R IA L M A TE R IA L M A TE R IA L M A TE R IA L
R E A L IZ A T R E A L IZ A T R E A L IZ A T R E A L IZ A T
D E E L E V II D E E L E V II D E E L E V II D E E L E V II
CL A SE I a V IICL A SE I a V IICL A SE I a V IICL A SE I a V II----a Ba Ba Ba B
ŞŞŞŞCO A LA N R . 6 CO A LA N R . 6 CO A LA N R . 6 CO A LA N R . 6
““““M IH A I E M IN E SCUM IH A I E M IN E SCUM IH A I E M IN E SCUM IH A I E M IN E SCU ”””” V A SLU I,V A SLU I,V A SLU I,V A SLU I,
PR O F . G IA N IN A E L E N A B U SU IO CPR O F . G IA N IN A E L E N A B U SU IO CPR O F . G IA N IN A E L E N A B U SU IO CPR O F . G IA N IN A E L E N A B U SU IO C
Exerci ţii în care se folose şte
formula:
Standard:1.Calcula ţi: 2.Calcula ţi: 3.Calcula ţi:a) a) a)b) b) b)c) c) c)d) d) d)e) e) e)f) f)g) g)h) h)
4.Stabili ţi valoarea de adevar:
a)
b)
c)
d)
(((( ))))24 y++++
(((( ))))223 ++++x
(((( ))))235 ++++y
(((( ))))24 yx ++++
(((( ))))23 xz ++++
(((( ))))236 ++++
(((( ))))236 ++++
(((( ))))26 yx ++++
(((( ))))234 ++++
(((( ))))2yx ++++
(((( ))))24 z++++
(((( ))))22 y++++
(((( ))))23 x++++
(((( ))))25 z++++
(((( ))))262 ++++
(((( ))))25 x++++
(((( ))))23++++x
(((( ))))2yz ++++
(((( ))))232 xy ++++
(((( ))))2626 ba ++++
(((( ))))27bx ++++
(((( )))) 9302535 22 ++++++++====++++ yyy
(((( )))) 18369 22 ++++++++====++++ xx
(((( )))) 442 2 ++++++++====++++ xxx
(((( )))) 36126 22 ++++++++====++++ yyy
(((( )))) 222 2 bababa ++++++++====++++
5.Completaţi spaţiile libere cu nr. reale
astfel încât egalitaţile sa fie adevărate.
a)
b)
c)
d)
Mediu:1.Calcula ţi:
a)
b)
c)
d)
(((( )))) 2510...... 2 ++++++++====++++ xx
(((( )))) ...1236... 2 ++++++++====++++ xx
(((( )))) ...2045... 22 ++++++++====++++ yy
(((( )))) 1624......3 2 ++++++++====++++ yy
(((( )))) (((( ))))222322 ++++++++++++ xx
(((( )))) (((( ))))22 2332 ++++−−−−++++ xx
(((( )))) (((( ))))22 45 −−−−−−−−++++ xx
(((( )))) (((( ))))22222 ++++−−−−++++ xx
2.Calcula ţi:a)
b)
c)
d)
3. Calcula ţi:a)
b)
c)
4.Calcula ţi:a)
b)
c)
d)
5.Efectua ţi:a)
b)
c)
(((( )))) (((( ))))223773 ++++−−−−++++
(((( )))) (((( ))))227337 ++++−−−−++++
(((( ))))23322 yx ++++
(((( )))) (((( ))))22323 22 yxyx ++++−−−−++++
(((( ))))232 xy ++++
(((( ))))22,01,0 x++++
(((( ))))222 1,02,0 yx ++++
(((( ))))2002,0003,0 yx ++++
(((( ))))222,0 ++++x
(((( ))))233,0 xy ++++
(((( ))))245 5,05 yx ++++
(((( )))) (((( ))))2222 42 xx ++++++++++++
2101
252
Avansat:1.Calcula ţi:a)
b)
c)
2.Dacă: afla ţi:
3.Compara ţi numerele:a) şi
b) şi
4.Arătaţi că suma a 4 numere întregi consecutive e divizibil ă cu 2.
5.Ştiind c ă calcula ţi:
a)
b)
(((( )))) (((( )))) (((( ))))22213423532 −−−−++++−−−−−−−−−−−−
(((( )))) (((( )))) (((( ))))22222 32513 −−−−++++−−−−−−−−−−−− xxx
22
32
3
132
23
−−−−−−−−
−−−− xx
,51 ====++++x
x 88 1
xx ++++.
85 ++++ 76 ++++
187 ++++ 520 ++++
61
====++++a
a
22 1
aa ++++
44 1
aa ++++
Exerci ţii în care se folose şteformula:
Standard:
1)Calculati:a)b)c)
2) Efectuati folosind formule de calcul presscurtat:
a)b)
3)Determinati valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii pentru orice
:a)b)c)
4)Copiati si completati cu termenii care lipsesc, astfel încât propoziţii să devină adevărate:
a)b)c)
5) Efectuati:
a)b)c)d)
(((( )))) 222 2 bababa ++++−−−−====−−−−
(((( ))))2115 yx −−−−
(((( ))))232−−−−a
(((( ))))235 bx −−−−
(((( ))))2712 yx −−−−(((( ))))23−−−−x
Ryx ∈∈∈∈,(((( ))))222 yxyx ++++====++++
(((( )))) 16913 22 ++++++++====++++ xxx(((( )))) 62523
2++++====++++
(((( )))) ...10...... 2 ++++−−−−====−−−− xx(((( )))) ......92...3 22 ++++++++====++++ x
(((( )))) ......5... 22++++++++====−−−− x
(((( ))))23−−−−x(((( ))))234 bx −−−−(((( ))))2610 xy −−−−(((( ))))2515 yx −−−−
Mediu
1)Calculati:
a)b)c)
2) Efectuati:
a)b)
3) Următoarele egalităţi conţin greşeli.Calculaţi şi precizaţi care sunt greşelile:
a)b)
4) Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:
a)
b)
c)
5) Calculati folosind formula:
a)b)
c)
d)
e)
(((( ))))2105 xy ++++−−−−
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]254131427 xyyxx −−−−++++−−−−−−−−(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]2963771311 yxyxxyyxyx ++++++++−−−−++++++++−−−−
(((( )))) (((( ))))(((( )))) 4422222 2 yxxyyxyx −−−−−−−−−−−−++++−−−−++++
(((( )))) (((( ))))2233 yxyx −−−−−−−−++++
(((( )))) 221412 22−−−−−−−−++++++++====−−−−−−−− yyy
(((( )))) 144244221 2 ++++−−−−++++−−−−++++====−−−−−−−−−−−− xyxyxyx
9341
321 2 ++++−−−−====
++++−−−− xxx
(((( )))) 22 242 bababa ++++−−−−====−−−−
(((( )))) 22 4,004,02,0 xxx ++++−−−−====−−−−
(((( )))) 222 2 bababa ++++−−−−====−−−−
(((( ))))252 −−−−x(((( ))))212 −−−−−−−− x
2
32
−−−−x
2
21
34
−−−− yx
(((( ))))212 −−−−
Avansat
1)Efectuati:
a)
b)
c)
2)Calculati:
a)
b)
3)Daca , calculati
unde
4)Aratai ca numerele:
sunt irationale.
5)Comparati numerele:
a)
b)
(((( ))))(((( )))) (((( ))))2222 xxx −−−−−−−−−−−−−−−−
(((( )))) (((( ))))22 2552 −−−−−−−−−−−− xx(((( )))) (((( ))))22
323322 −−−−−−−−++++
(((( )))) (((( ))))2222 22 ++++−−−−−−−− xxxx
(((( )))) (((( )))) (((( ))))22 2221 ++++−−−−++++−−−−−−−− xxxx
51 ====++++a
a8
84
4 11a
asia
a ++++++++
Ra ∈∈∈∈
72;35;75 ++++−−−−++++
7685 ++++++++ si520187 ++++++++ si
Exerci ţii în care se folose şte formula:
Standard:
1.Alegeţi r ăspunsul corect. Doar un singur
răspuns este corect!
Care este rezultatul calculului: ?
a)
b)
c)
2.Completaţi spaţiile libere cu termenii care
lipsesc:
a)
b)
c)
(((( )))) (((( ))))bcacabcbacba ++++++++++++++++++++====++++++++ 22222
(((( ))))2223 zyx ++++++++2243 zyx ++++++++
xzzyxyzyx 641249 22242 ++++++++++++++++++++(((( ))))34 2 ++++xx
(((( )))) xcbcxbbxb 844...4...... 222 ++++++++++++++++++++====++++++++(((( )))) ......9... 2222 ++++++++++++++++====++++++++ zyaza(((( )))) ............25...16...34 222 ++++++++++++++++++++====++++++++ zxyx
3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor urm ătoare:
a)
b)
c)
4. Calculaţi:
a)
b)
c)
5. Calculaţi:
a)
b)
c)
(((( )))) xzyzxyzyxzyx 2222222 ++++++++++++++++++++====++++++++
(((( ))))xcycxy
cyxcyx6411256
644916874 2222
++++++++++++++++++++====++++++++
(((( )))) 2222 3649623 cbacba ++++++++====++++++++
(((( )))) ====++++++++2
25 z
(((( )))) ====++++++++2
38 x
(((( )))) ====++++++++2
527
(((( )))) ====++++++++2
62 x
(((( )))) ====++++++++ 27ba
(((( )))) ====++++++++2
310 z
Mediu:
1.Calculaţi:
a)
b)
c)
d)2.Stabiliţi dacă următoarele egalităţi sunt
adevărate:
a)
b)
c)
d)
3.Efectuaţi următoarele calcule:
a)
b)
4.Completaţi spaţiile libere cu termenii lipsa:
a)
b)
c)
5. Corectaţi greşelile din următoarele
egalităţi :
a)
b)
c)
(((( )))) ====++++++++ 2432 zyx
====
++++++++2
221
x
====
++++++++2
221
x
(((( )))) ====++++−−−− 212yx
(((( )))) 36123432122132
++++====++++++++====++++++++(((( )))) 232422 44242 xxxxxxx −−−−−−−−++++++++++++====−−−−++++
(((( )))) 342623 52522255 xxxxxxx ++++++++++++++++++++====++++++++
(((( )))) yyxxyxyx 12464923 442824 ++++++++++++++++++++====++++++++
(((( )))) ====++++++++ 232 zyx
(((( )))) ====++++++++2
23x
(((( )))) .........4......... 2222 ++++++++++++++++++++====++++++++ zyx
(((( )))) ...24...4...... 222 ++++−−−−−−−−++++++++====++++−−−− bybxbxb(((( )))) ...46.........2...3 2 ++++++++++++++++++++====++++++++ zyxyzx
(((( )))) xyyxayxyx 24242 222 ++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−====++++−−−−(((( )))) 2222 9612962332 baabbaba ++++−−−−++++−−−−++++====−−−−++++
(((( )))) 222512 22−−−−++++−−−−++++====−−−−−−−− yyyy
Avansat:
1.Dacă: , calculaţi:
2.Să se efectueze:
a)
b)
c)
3.Să se arate că oricare ar fi ,atunci numărul A este un patrat perfect,unde:
4. Se stie că ,
şi ;
Să se calculeze:
5. Să se arate ca dacă
, atunci
72523
====−−−−====++++====
cba (((( ))))2cba ++++++++
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))222 137272335 zxyxyxzyx ++++−−−−++++−−−−−−−−++++++++
(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))22
2
6232623322332212432
−−−−−−−−++++++++++++−−−−++++++++−−−−++++
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))32322276276322342
++++++++++++−−−−−−−−−−−−++++
Na∈∈∈∈
(((( ))))(((( )))) 131 22 ++++++++++++++++++++==== aaaaA
Rcba ∈∈∈∈,, 21====++++++++ cba
12====++++++++ cabcab
222 cba ++++++++
.,, Rcba ∈∈∈∈
(((( )))) (((( ))))2222 3 cbacba ++++++++====++++++++
cba ========
Exerciţii în care se foloseşte formula:
Standard1.Calculati:a)b)c)d)
2.Stabiliti valoarea de adevar a propozitiilor:a)b)c)d)
3. Completati spatiile libere astfel încât următoarele egalităţile să fie adevărate:a)b)
c)d)
4. Calculaţi în două moduri:a)b)c)d)
5.Calculati folosind formula:
a)b)c)d)
22)()( bababa −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
);52()52( −−−−⋅⋅⋅⋅++++ xx);45()54( xyyx −−−−⋅⋅⋅⋅++++
);12()12( −−−−⋅⋅⋅⋅++++ xx);5382()5382( −−−−⋅⋅⋅⋅++++
(((( )))) ;)( 22 baabba −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++;2525)55()55( 22 xyxyyx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++;22516)154()415( 22 yyxyyx −−−−====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
249)43()34( xxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
;64100)8(......)8( −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++;494....)2(....)(.... 2 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++ aa
;25....)5(....)( 2aa −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++;........)20(....)20( 2x−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
);13()13( −−−−⋅⋅⋅⋅++++);
21
3()321
( xx ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
);2()2( −−−−⋅⋅⋅⋅++++ xx
);4()4( ++++⋅⋅⋅⋅−−−− xx
22)()( bababa −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
);32()32( ++++⋅⋅⋅⋅−−−− xx
);23()23( yxyx ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
);10025()25100( ++++⋅⋅⋅⋅−−−−);()( yxyx ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
Mediu
1.Completaţi spaţiile libere astfel încât să fie
adevărate egalităţile:
a)
b)
c)
d)
2. Calculaţi:
a)
b)
c)
d)
3. Stabiliţi dacă următoarele egalităţi sunt
Adevărate:
a)
b)
c)
d)
4. Calculaţi folosind formula:
a)
b)
c)
d)
5.Corectati greselile din urmatoarele
egalitati :
a)
b)
c)
;9........)(....)( ++++====++++⋅⋅⋅⋅−−−− xx
;3.....)(.....)( 2 −−−−====++++⋅⋅⋅⋅−−−− xxx
;425)2(....)2(.... 22 xyxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
.....;)100(...........)100( 2 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++ x
);32()32( 22 xzabxzab ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
);25()25( yxyx ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
);1()1( yxyx ++++++++⋅⋅⋅⋅++++−−−−
);1()1( ++++++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++−−−− zyxzyx
;)()( 22 yxxyyx −−−−====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
;25)5()5( 2xxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
;6416)48()84( 2 −−−−====++++⋅⋅⋅⋅−−−− aaa
;9)3()3( 22 yxxyxy −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
22)()( bababa −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
);2()2( cabcab ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
);12()12( yxyx ++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++
);23()23( yxyx ++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−);4()2()2( 2 ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++ xxx
;494)74()74( 2 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++ xxx
;225)25()25( 2xxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++25)5()5( xxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++
Avansat
1.Calculati (x+y)(x-y) daca:
a)
b)
2. Fie numerele:
Calculaţi media geometrică a celor două
numere.
3. Calculaţi:
4. Calculaţi pentru:
şi iar
5. Scrieţi expresia următoare ca o
diferenţă de pătrate:
,662323 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====x ;2323 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====y
,20
)32(20
⋅⋅⋅⋅====x1000
)42(1000
⋅⋅⋅⋅====y
);56()45()34()23()12( −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====a
);56()45()34()23()12( ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++====b
);23
()22
3( 11 −−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ yx
yx
)()( yxyx −−−−⋅⋅⋅⋅++++
),()( babax −−−−⋅⋅⋅⋅++++==== )()( dcdcy −−−−⋅⋅⋅⋅++++====
;3355
++++====++++====
ba
;22266
++++====++++====
dc
;)()(4)(4 2222 zyxyxyx −−−−−−−−++++−−−−−−−−++++
Testul 1
1.Să se calculeze :
a)
b)
c)
d)
2. Calcula ţi:
a)
b)
c)
d)
3.Calcula ţi ştiind c ă :şi
4.Calcula ţi :
5.Calcula ţi suma ştiind c ă :şi .
6.Calcula ţi suma a+b stiind ca :
şi ;
7.Calcula ţi produsul ştiind c ă:şi
2)7( ++++a
2)3( −−−−b
)32()32( ++++⋅⋅⋅⋅−−−− xx
2)4( −−−−−−−− x
)3()3( cabcab ++++⋅⋅⋅⋅−−−−
)2()2( ++++++++⋅⋅⋅⋅++++−−−− yxyx
)23()32( abccba ++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−
xxxxxx :)2()2()3(4 22 −−−−++++++++−−−−++++
2)( yx ++++
45 ++++====x 45 −−−−====y
22 )32()13( ++++++++−−−− xx
22 ba ++++5====++++ ba 15====ab
10====−−−− ba 4022 ====−−−− ba
ba ⋅⋅⋅⋅9====++++ ba 8122 ====++++ ba
Testul 2
1. Calculati :
a)
b)
c)
d)
2. Completaţi cu termenii lipsă spaţiile
Punctate astfel încât să obţineţi propoziţii
adevărate.
a)
b)
c)
d)
3. Calculaţi :
4. Efectuaţi :
5. Calculati :
6. Ştiind că ,
calculaţi
7. Calculaţi suma a+b ştiind că :
şi .
2)27( x++++
)2()2( bb ++++⋅⋅⋅⋅−−−−2)23( xyx ++++++++
...10...)5( 2 ++++++++====++++ xx22 ...5)5( yy ++++−−−−====−−−−
......4)34( 22 ++++−−−−====−−−− a
2......)22( 2 ++++−−−−====−−−−y
2)3( x−−−−
22 )73()73( ++++++++−−−−
22 )23()2)(2(2)32( ++++++++−−−−++++−−−−−−−− xxxx
2)1()4( −−−−⋅⋅⋅⋅−−−− yy
62 ====++++a
a
22 1
aa ++++
4====−−−− ba 5622 ====−−−− ba