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Clasa a XII-a - Analiza - 1 Partea I - Primitive
Definitia 11 :
- Fie I un interval si o functie ;
- Spunem ca f admite primitive pe I daca exista o functie astfel incat :
1). este derivabila pe ;
2). , .
Functia F se numeste primitivaprimitiva a functiei f .
Propozitie :
- Fie o primitiva a functiei RIf : ;
- Atunci orice alta primitiva a lui f este de forma :
unde : o functie constanta pe .
Definitia 22 :
- Fie , unde , o functie care admite primitive ;
- Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinitaintegrala nedefinita a functiei f si se noteaza cu :
dxxf
Observatii :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 2 Partea I - Primitive
1).1). Exprimarile “ Sa se calculeze o primitiva a functiei f “ si “ Sa se calculeze ”sunt sinonime .
2). 2). Daca este o primitiva a lui pe , atunci multimea tuturor primitivelor lui este :
unde :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 3 Partea I - Primitive
1).1). O functie care admite primitive areare proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate).
2).2). O functie care nu are proprietatea lui Darboux , nu admite primitivenu admite primitive .
3).3). Orice functie continuafunctie continua , unde , admite primitiveadmite primitive .
4).4). Daca si nu este un intervalnu este un interval , atunci nu admite nu admite primitiveprimitive pe .
5).5). Exista functii care admit primitiveadmit primitive si nu sunt continuenu sunt continue (discontinuitati de speta a doua) .
6).6). Daca doua functii RIgf :, admit primitive , atunci orice combinatie liniara a lor :
admit primitiveadmit primitive , si avem relatia :
7).7). Daca dintre doua functii RIgf :, , una admite primitiveuna admite primitive si cealalta nu admite primitivecealalta nu admite primitive , atunci functiile :
si nu admit primitivenu admit primitive .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 4 Partea I - Primitive
Fie RIgf :, , , doua functii care admit primitive pe si , atunci functiile si admit primitive si au loc relatiile :
1). ;
2). ;
3).
unde este multimea functiilor constante pe si este o primitiva a lui .
1).1).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 5 Partea I - Primitive
2).2).
3).3).
4).4).
5).5).
6).6).
7).7).
8).8).
9).9).
10).10).
11).11).
12).12).
13).13).
14).14).
15).15).
16).16). .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 6 Partea I - Primitive
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). x
xxf1
, ;0x ;
3). x
xxf1
, ; 4). , Rx ;
5). , ; 6). , ;
7). , ; 8). ,
2;0
x
;
9). , Rx ; 10). 14
12
x
xf , ;
11). , ; 12). , ;
13). , ; 14). , ;
15). , ; 16). , ;
17). , ; 18). , ;
19). , ; 20). , ;
21). x
xf
8
12
, 22;22x ; 22). , ;
23). ,
2;0
x ; 24). , ;
25). 423 xxxf , ; 26). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 7 Partea I - Primitive
27). , ; 28). , ;
29). 11 xxxxf , ;
30). , ;0x ; 31). ,
;0x ;
32). , ;0x ; 33). , 1;1x ;
34). , .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 8 Partea I - Primitive
Teorema :
- Daca sunt functii derivabile cu derivatele continue , atunci functiile :
, ,
admit primitive pe si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia :
numita formula de integrare prin parti pentru integrale nedefinite .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). , ;
3). , ; 4). , ;
5). , ; 6). , ;
7). , ; 8). , ;
9). , ; 10). , ;
11). , ; 12). , ;
13). , ; 14). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 9 Partea I - Primitive
15). , ; 16). , ;
17). , ; 18). , ;
19). , ; 20). , ;
21). , ; 22). , ;
23). , ; 24). , ;
25). , ; 26). , ;
27). , ; 28). , ;
29). , ; 30). , ;
31). , .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). , ;
3). , ; 4). ,
5). , ; 6). , ;
7). , ; 8). , ;
9). , ; 10). , .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). , ;
3). , ; 4). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 10 Partea I - Primitive
5). , ; 6). , ;
7). , ; 8). , ;
9). , ; 10). , ;
11). , ; 12). , .
Metoda schimbarii de variabila , denumita si metoda substitutiei , permite calculul primitivelor (integralelor nedefinite) pornind de la formulele uzuale de integrare si cele de derivare a functiilor compuse .
Teorema :
- Fie doua intervale si
si
doua functii . Daca :
1). ;
2). Functia este derivabila pe ;
3). Functia admite primitive pe ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 11 Partea I - Primitive
atunci functia admite primitive pe .
Mai mult , daca este o primitiva a functiei pe , atunci functia
este o primitiva a functiei , adica are loc egalitatea :
S-a presupus S-a presupus interval si interval si derivabila cu derivata continua derivabila cu derivata continua .
1). ,
2). ,
3). ,
4). ,
5). ,
6). ,
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 12 Partea I - Primitive
7). ,
8). ,
9). ,
10). ,
11). ,
12). ,
13). ,
14). ,
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 13 Partea I - Primitive
Teorema :
- Fie doua intervale si
si RI :
doua functii . Daca :
1). Functia este bijectiva ;
2). Functia este derivabila pe J si oricare ar fi Jx ;
3). Functia 'fh admite primitive pe J ,
atunci functia f admite primitive pe I .
Mai mult , daca este o primitiva a functiei pe , atunci
functia este o primitiva a functiei pe , adica are loc egalitatea :
CHdxxf 1
Observatia 1 :
Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare de variabila sunt pur conventionale .
In realitate avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de aplicare a ei :
Avem de calculat : Ixdxxf , .Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui , o functie derivabila RI : si o functie
primitivabila astfel incat oricare ar fi .
2). Facem inlocuirile formale si ;
Obtinem primitiva , pe care o calculam . Fie .
3). Revenim la vechea variabila , punand in expresia primitivei ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 14 Partea I - Primitive
Obtinem .
Avem de calculat : .Atunci :
1). Punem in evidenta un interval si o functie bijectiva si derivabila .
2). Facem inlocuirile formale si ;
Obtinem , pe care o calculam .
Fie .
3). Revenim la vechea variabila , punand in expresia primitivei ;
Obtinem .
Avem de calculat : .Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui , o functie injectiva cu
derivabila , si o functie , astfel incat .
2). Facem inlocuirile formale si ;
Obtinem primitiva , pe care o calculam .
Fie .
3). Revenim la vechea variabila , punand in expresia primitivei ;
Obtinem : .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 15 Partea I - Primitive
Observatia 2 :
In toate cele trei variante ale formulei schimbarii de variabila expuse mai sus , expresia functiei se impune din context , analizand expresia functiei .
Observatia 3 :
Nu exista reguli de calcul al primitivelor decat pentru clase restranse de functii elementare .
Observatia 4 :
Problema gasirii primitivelor este inversa aceleia a derivarii . Problema gasirii primitivelor este insa mult mai dificila decat problema derivarii .
Daca derivatele functiilor elementare sunt de asemenea functii elementare , primitivele functiilor elementare nu sunt totdeauna functii elementare .
Pentru unele functi elementare nici nu se stie daca primitivele lor sunt tot functii elementare .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , Rx ; 2). ,
Rx ;
3). , Rx ; 4). ,
2;
2
x ;
5). ,
2;
2
x ; 6). , ;
7). , ;
8). , Rx ; 9). ,
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 16 Partea I - Primitive
10). , ; 11). ,
Rx ;
12). , Rx ; 13). ,
;
14). , ;
15). , ;
16). , ; 17). , 1;0x
;
18). , Rx ; 19). ,
Rx ;
20). , ; 21). ,
;
22). , ;
23). Rx ;
24). , ; 25).
, ;
26). , Rx ; 27). ,
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 17 Partea I - Primitive
28). , Rx ; 29). ,
;
30). , ; 31). ,
Rx ;
32). , ; 33). ,
;
34). , ; 35). ,
.
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , Rx ; 2).
, Rx ;
3). , Rx ; 4). ,
Rx ;
5). , Rx ; 6). ,
Rx ;
7). , Rx ; 8).
, Rx ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 18 Partea I - Primitive
9). , ; 10). , Rx
;
11). , Rx ; 12).
, ;
13). , ;14).
, Rx ;
15). , Rx ; 16). ,
Rx ;
17). , Rx ;
18). , ; 19). , Rx ;
20). , ; 21). ,
;
22). , Rx ; 23). , ;
24). , Rx ; 25).
, Rx ;
26). , ; 27). , ;
28). , ; 29). , Rx ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 19 Partea I - Primitive
30). , Rx ; 31). , ;
32). , ; 33). , Rx
;
34). , ; 35). , ;
36). , ; 37). , ;
38). , Rx ; 39). , ;
40). , ; 41). , ;
42). ; Rx ; 43). ,
;
44). , ; 45).
, Rx ;
46). , ; 47). , ;
48). , ; 49). , ;
50). , ; 51). , ;
52). , ; 53). ,
;
54). , ; 55). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 20 Partea I - Primitive
56). , ; 57). , ;
58). , Rx ; 59). , Rx ;
60). , ; 61). , ;
62). , ; 63). , Rx ;
64). , ; 65). , ;
66). , ; 67). , Rx ;
68). , ; 69). , Rx ;
70). , Rx ; 71). ,
Rx ;
72). , ; 73). , ;
74). , ; 75). , ;
76). , Rx ; 77). , Rx ;
78). , ; 79). , ;
80). , ; 81). , Rx ;
82). , Rx ; 83). ,
Rx ;
84). , Rx ; 85). , Rx
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 21 Partea I - Primitive
86). , Rx ; 87).
, Rx ;
88). , Rx ; 89). , Rx ;
90). , Rx ; 91). , Rx ;
92). , Rx ; 93). , ;
94). , ; 95). , Rx ;
96). , Rx ; 97). ,
Rx ;
98). , Rx ; 99). ,
Rx ;
100). , Rx ; 101). , ;
102). , Rx ; 103).
, Rx ;
104). , Rx ; 105). , ;
106). , Rx ; 107). ,
Rx ;
108). , Rx ; 109). , Rx ;
110). , Rx ; 111). , Rx ;
112). , Rx ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 22 Partea I - Primitive
113). , ; 114). , Rx ;
115). , ; 116). , Rx
;
117). , Rx ; 118). , ;
119). , ; 120). , ;
121). , ; 122). , Rx ;
123). , Rx ; 124). , Rx ;
125). , ; 126). ,
Rx ;
127). , ; 128). , Rx ;
129). , Rx ; 130). , Rx ;
131). , Rx ; 132). , Rx ;
133). , Rx ; 134). , Rx ;
135). , Rx ; 136). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 23 Partea I - Primitive
137). , ; 138). , ;
139). , Rx ; 140). ,
Rx ;
141). , Rx ; 142). , Rx ;
143). , Rx ; 144). ,
;
145). , ; 146). , Rx
;
147). , Rx ; 148). , Rx ;
149). , Rx ; 150). , ;
151). , Rx ; 152). , Rx ;
153). , ; 154). , ;
155). , Rx ; 156). ,
;
157). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 24 Partea I - Primitive
158). , ; 159). , Rx ;
160). , ;
161). , ;162). , ;
163). , ; 164). ,
;
165). , ; 166). ,
167). , ; 168). , ;
169). , Rx ; 170). , ;
171). , Rx ; 172). ;
173). , ; 174). , ;
175). , ; 176). , ;
177). , ; 178). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 25 Partea I - Primitive
179). , ; 180).
, Rx ;
181). , ; 182). ,
;
183). , Rx ; 184). ,
;
185). . .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 26 Partea I - Primitive
Definitia functiei rationalefunctiei rationale :
- Fie I un interval din ;- Functia se numeste rationala daca exista doua polinoame si cu
coeficienti numere reale , astfel incat :
si
Definitia functiei rationale simplefunctiei rationale simple :
- O functie rationala se va numi simpla daca este de una din urmatoarele forme :
1). ;
2). , unde ;
3). , unde si .
TEOREMA de descompunere a functiilor rationalede descompunere a functiilor rationale :
- Afirma ca orice functie rationala se scrie , in mod unic , ca o suma finita de functii rationale simple .
In consecinta , integrarea functiilor rationale se reduce la integrarea functiilor rationale simple .
La calculul integralei unei functii rationale pot aparea doua cazuri :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 27 Partea I - Primitive
Daca in integrala , polinoamele nu au radacini comune si
vom scrie ca o suma de functii rationale simple .
Daca :
a). are radacini simple , atunci si functia
rationala se poate scrie in mod unic sub forma :
b). are radacini multiple , de exemplu , atunci
se poate scrie sub forma :
c). se poate descompune sub forma :
,
unde ,
atunci se poate scrie sub forma :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 28 Partea I - Primitive
Daca se imparte la si atunci se poate scrie :
unde : si sunt respectiv catul si restul impartirii .
Pentru determinarea coeficientilor , se aduce la acelasi numitor in membrul drept si se pune conditia ca numaratorii celor doi membri sa coincida . Se obtine un sistem liniar in care necunoscutele sunt coeficientii cautati ( metoda coeficientilor nedeterminati ).
Exercitiul nr. 1 :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 29 Partea I - Primitive
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). , ;
3). , ; 4). , ;
5). , ; 6). , 0x ;
7). , ; 8). , .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). ,
;
3). , ;
4). , ;
5). , ; 6).
, ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 30 Partea I - Primitive
7). , ; 8). , ;
9). , ; 10). , ;
11). , ;
12). , ; 13). , ;
14). , ; 15). ,
;
16). , .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , ; 2). ,
;
3). , ; 4). ,
;3x ;
5). , ; 6).
, ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 31 Partea I - Primitive
7). , ;
8). , ;
9). , ;
10). , ;
11). , ; 12). ,
;
13). , ;
14). ;
15). , .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , 1x ; 2). ,
1x ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 32 Partea I - Primitive
3). , 1x ; 4).
, ;
5). , ; 6).
, 1x ;
7). , 1x ; 8). ,
;
9). , ; 10).
, 1x ;
11). , ;
12). , ; 13). ,
;
14). , ; 15). , ;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 33 Partea I - Primitive
16). , ; 17).
, ;
18). , ; 19). ,
;
20). , ; 21). ,
;
22). , ; 23).
, ;
24). , ; 25).
, ;
26). , .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 34 Partea I - Primitive
1). , ; 2). ,
;
3). , ; 4). ,
;
5). , ; 6). ,
;
7). , ; 8). ,
;
9). , ; 10). ,
;
11). , ; 12). , .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ; 2). ;
3). ; 4).
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 35 Partea I - Primitive
5). ; 6).
;
7). ; 8).
;
9). ; 10).
;
11). ; 12). ;
13). ; 14). ;
15). .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ; 2). ;
3). ; 4).
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 36 Partea I - Primitive
5). ; 6).
;
7). ;
8). ;
9). ; 10).
;
11). ;12). ;
13). ; 14). ;1x ;
15). ;1x ; 16). ;1x
;
17). .
Exercitiul nr. 8 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 37 Partea I - Primitive
1). ; 2).
;1x
3). ; 4).
;
5). ; 6).
7). ; 8).
;
9). .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ; 2).
;
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 38 Partea I - Primitive
3). ; 4).
;
5). ; 6).
.
Exercitiul nr. 10 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). ; 2).
;
3). ; 4).
;
5). ; 6).
;
7). .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 39 Partea I - Primitive
Daca functia de sub integrala este de forma :
unde , atunci punand , unde este cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor se ajunge la o integrala de functie rationalao integrala de functie rationala .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 40 Partea I - Primitive
11). 12).
13). 14).
15). 16).
17). 18).
19). 20).
21). 22).
23). 24).
25). 26).
27). 28).
29). 30).
31). 32).
33). 34).
35). 36).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 41 Partea I - Primitive
I.
Daca functia de sub integrala este de forma :
atunci se face substitutia , iar de aici ajungand in final la o
integrala asociata de functie rationala in .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
11). .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 42 Partea I - Primitive
II.
In cazul integralelor de tipul
,
2dx
cbxax
xPm
fiind polinom de grad
Se scrie :
(*)
unde este un polinom de grad 1m cu coeficienti nedeterminati , iar este un
parametru real . Se determina polinomul si numarul prin derivarea identitatii
(*) .
III.
In cazul integralelor de tipul :
cu ajutorul substitutiei :
aceasta se reduce la tipul precedent .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 43 Partea I - Primitive
In cazul integralelor binome :
,
calculul primitivelor functiilor binomiale se reduce la calculul functiilor rationale numai in urmatoarele cazuri stabilite de Cebisev :
Se face substitutia :
unde este multiplu comun al numitorului lui si .
Se face substitutia :
unde este numitorul lui .
Se face substitutia :
.
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 44 Partea I - Primitive
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2). Rx
3).
,1
12
dxxx
4).
5). Rx 6).
7). 8). Rx
9). 10).
11). 2x 12).
13). Rx 14). Rx
15). Rx 16).
17). 18).
19). 20).
21). 22).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 45 Partea I - Primitive
23). , 24). ,
25). , 26). , Rx
27). 28).
29). 30). .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). Rx 2).
3). 4). Rx
5). Rx 6).
7). Rx 8).
9). Rx 10).
11). Rx 12). Rx
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 46 Partea I - Primitive
13). 14).
Rx
Exercitiul nr. 3 :
Fie . Sa se calculeze :
1). Rx 2).
3). 4).
5). Rx 6). Rx
7). 8).
Exercitiul nr. 4 ( Duca )
Fie . Sa se calculeze :
1). , 2). ,
3). , 4). ,
Exercitiul nr. 5 ( Duca )
Sa se calculeze :
1). 2).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 47 Partea I - Primitive
3). , Rx 4).
5). 1,0x 6). ,
7). Rx 8).
9). 10).
11). Rx 12).
13). 14).
15). 16). Rx
17). 18). Rx
19). 20).
21). 22).
23). 24).
25). Rx 26).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 48 Partea I - Primitive
Integralele de tipul
se rationalizeaza prin substitutiile lui EULERsubstitutiile lui EULER :
Daca ecuatia
are radacinile reale si
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 49 Partea I - Primitive
se face substitutia :
sau
Daca , atunci
se face substitutia :
Daca , atunci
se face substitutia :
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 50 Partea I - Primitive
5). 6).
7). 8).
9). 10).
11). 12).
13).
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). , 2). ,
3).
dxxxx 42
12
, 4). ,
5). , 6). ,
7). , 8). ,
9). , 10).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 51 Partea I - Primitive
11). , 12). ,
13). 14).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 52 Partea I - Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile la puterea intai :
Daca functia de sub semnul integrala este de forma :
adica avem :
unde este o functie rationala
Atunci folosindu-ne de formulele trigonometrice :
si
prin substitutia universala :
se poate obtine o integrala asociata de functie rationala in .Intr-adevar :
,
iar din :
Observatii :
Prezenta functiilor trigonometrice la puteri mai mari conduce la functii
rationale mai complicate si deci calcule mai greoaie .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 53 Partea I - Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile la puteri mai mari :
In astfel de situatii se recomanda scrierea functiei R sub una din formele :
Daca
se recomanda substitutia :
Daca
se recomanda substitutia :
Daca
atunci se recomanda :
1). Trecerea de la patrate la cosinusuri de argument dublu dupa formulele :
,
sau2). Substitutia
cand arctgtx
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 54 Partea I - Primitive
iar : ,
Daca
atunci se recomanda exprimarea puterilor pare ale lui in functie de :
Exercitiul nr. 1 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2). ,
3). , 4).
5). 6).
7).
8). 9).
10). , unde este un numar real .
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 55 Partea I - Primitive
Exercitiul nr. 2 :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
11). 12).
13). 14).
15). 16).
17). 18).
19). 20).
21). 22).
23). 24).
25). 26).
27). 28).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 56 Partea I - Primitive
29). 30).
31). 32).
33). 34).
35). 36).
37). 38).
39). 40).
41). 42).
43). 44).
45). 46).
47). 48).
49). 50).
51). 52).
53). daca ; si apoi pentru
54). 55).
56). 57).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 57 Partea I - Primitive
58). 59).
60). 61).
62). 63).
64). 65).
66). 67).
68). 69).
70). 71). ,
72). , 73).
74). 75).
Exercitiul nr. 3 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 58 Partea I - Primitive
3). 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
11). 12).
13). 14).
15). 16).
17). 18).
19). 20).
21). 22).
23). 24).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 59 Partea I - Primitive
Exercitiul nr. 4 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). , 8).
9). 10).
11). 12).
13). 14).
15). 16).
17). 18).
19). 20).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 60 Partea I - Primitive
21). 22).
Exercitiul nr. 5 ( Duca ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). 8).
Exercitiul nr. 6 ( Mihalca + Nita ) :
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1). 2). 3).
4). 5). , 6).
7). 8). 9). ,
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 61 Partea I - Primitive
10). 11). 12).
13). 14).
15). 16). 17).
18). 19). 20).
21). 22). 23).
24). 25). 26).
27). 28). 29).
30). 31). 32).
Primitive
Clasa a XII-a - Analiza - 62 Partea I - Primitive
33). 34).
35). 36). .
Primitive