Download - Algoritmul Gauss
-
7/25/2019 Algoritmul Gauss
1/3
5.2.2.8. Rezolvarea sistemului ecuaiilor normale
Rezolvarea se face, n principiu, prin metoda substituiei. Sistemul de ecuaii fiind simetricfa de o diagonal se rezolv prin eliminri succesive prin aplicarea unui algoritm de calcul. Celmai uor este algoritmul Gauss-oolittle a criu sc!em literar este dat n tabelul ".#".
Algoritmul Gauss-Doolittle pentru rezolvarea sistemului
ecuaiilor normale (schema literar)
Tabelul 5.25
d$% d&% d$# d S
% # ' ( " )
%. /aa/ /ab/ /ac/ /ad/ /a/ /aS/
#. - /aa/
/aa/
-/ab/
/aa/
-/ac/
/aa/
-/ad/
/aa/
-/a/
/aa/
-/aS/
/aa/
'. /bb/ /bc/ /bd/ /b/ /bS/
(. - *ab//ab/
/aa/
- /ac//ab/
/aa/
- /ad//ab/
/aa/
- /a/ /ab/
/aa/
- /aS//ab/
/aa/
". /bb.%/ /bc.%/ /bd.%/ /b.%/ /bS.%/
). - /bb.%/
/bb.%*
- /bc.%/
/bb.%/
- /bd.%/
/bb.%/
- /b.%/
/bb.%/
- /bS.%/
/bb.%/
+. *cc* *cd* *c* *cS*
. - *ac* *ac*
*aa*
- *ad* *ac*
*aa*
- *a * *ac*
*aa*
- *aS* *ac*
*aa*
. - *bc.%* *bc.%*
*bb.%*
- *bd.%**bc.%*
*bb.%*
- *b .%* *bc.%*
*bb.%*
- *bS.%**bc.%*
*bb.%*
%. *cc.#* *cd.#* *c.#* *cS.#*
%%. - *cc.#**cc.#*
- *cd.#**cc.#*
- *c .#*
*cc.#*
- *cS.#**cc.#*
%#. *dd* *d* *dS*
%'. - *ad* *ad*
*aa*
- *a * *ad*
*aa*
- *aS* *ad*
*aa*
%(. - *bd.%* *bd.%*
*bb.%*
- *b .%* *bd.%*
*bb.%*
- *bS.%* *bd.%*
*bb.%*
%". - *cd.#* *cd.#*
*cc.#*
- *c .#* *cd.#*
*cc.#*
- *cS.#* *cd.#*
*cc.#*
%). *dd.'* *d.'* *dS.'*
%+. - *dd.'**dd.'*
- *d .'*
*dd.'*
- *dS.'**dd.'*
%. ** *S*%. - *a * *a*
*aa*
- *aS* *a*
*aa*
#. - *b .%* *b.%*
*bb.%*
- *bS.%* *b.%*
*bb.%*
#%. - *c .#* *c.#*
/cc.2/
-*cS.#* *c.#*
/cc.2/
##. - *d .'* *d.'* - *dS.'* *d.'*
-
7/25/2019 Algoritmul Gauss
2/3
/dd.3/ /dd.3/
#'. *.(* *S.(*
Calculele efective, pentru e$emplul considerat, sunt date n tabelul ".#) care s-a completat
astfel/
pe liniile %, ', +, %# i % s-au nscris coeficienii ecuaiilor normale calculai anterior0
liniile #, ), %%, %+, care reprezint ecuaiile de eliminare, se calculeaz cu ase zecimale ise controleaz n mod obligatoriu. ac suma pe fiecare din aceste linii este zero, saudifer cu cel mult % - # uniti la a easea zecimal, calculele sunt bine fcute i se poatetrece mai departe. 1n caz contrar, se depisteaz greala pe treapta respectiv a tabelului,deoarece ea nu poate proveni dec2t din calcule n ipoteza c i tabelul ecuaiilor normale afost verificat prin sum. 3oate celelalte valori se calculeaz numai cu patru zecimale, iar
ultimele dou *.(* i *S.(* trebuie s fie egale.
ezolvarea sistemului ecuaiilor normale
Tabelul 5.2!
d$% d&% d$# d S
% # ' ( " )
%. "+,%++% ')#,)%+ - ''(,) - #(','"+ '#(,+) - )+,++
#. -%, - ,)'"+" 4 ,"+(# 4 ,(#+)( - ,"))#+ 4 %,%(+%
'. %(',+))) - "#',)"'% - ),'"" "),"( - %##,('#%
(. - #',)%)( 4 #%','% 4 %"",+'" - #),""( 4 ('%,)+
". %#,%"# - '%,)#%# - ("(,#'# '"',(( - ++,+("%
). -%, ,#")# ,'+"))# - ,##'%% ,)"+")
+. %+',')) (",') - '#,+"(' - %+'+,#%
. - %),+# - %(',#(% %,+' - ',+++
. - +,+)% - %%),)" ,++ - #(,'(#
%. %"),("#' "",('%# #(," - #'(,+'(
%%. - %, - ,')%' - ,%)"% %,""'#" %#. (,%'# - ),'%+' - (",("
%'. - %(,#+) %',"' - #,#+'
%(. - %+,)'++ %'#,+++ - #,)##
%". - ##+,"+' - ),++' ,)("
%). ((),+%# +,)(++ - "#",')"%
%+. - %, - ,%+)") %,%+)""
%. '(,"%) - (%)",#''
%. - %",' '),)"%(
#. - %','%)+ #'',%(
#%. - (%,%+) '),))"+
##. - %',()' #,(( #'. ')),#'%+ ')),#'#"
5.2.2.9. Calculul coreciilor
"oreciilese aduc coor#onatelor provizorii. 5alorile necunoscutelor, respectiv al coreciilor,se obin prin calcul cumulat 6tabelul ".#+7. 1n baza relaiilor de calcul ale coreciilor se competeazfiecare linie cu valorile corespunztoare ale coeficienilor ecuaiilor de eliminare, e$trai dinalgoritmul de calcul 6liniile #, ), %%, %+ din tabelul ".#)7.
-
7/25/2019 Algoritmul Gauss
3/3
Rezolvarea se face merg2nd n tabel de 8os n sus/ valorile obinute se nscriu n ordineaobinerii lor, folosind cifre cu caractere nclinate sau o alt culoare. 9rima corecie, adic #$%&,rezult direct din algoritmul de calcul iar valorile #'%&, #$! i #'! se deduc n continuare. 3oatecoreciile se obin n#m.
Corectitudinea acestui calcul se poate verifica imediat prin nlocuirea valorilor obinute necuaiile rezolvate 6liniile %, ", % i %) din tabelul ".#)7 pe care trebuie s le satisfac. C2ndcoreciile se calculeaz cu ase zecimale este suficient ca la control primele trei zecimale s fieidentice. ac nlocuim coreciile calculate n prima ecuaie vom obine/
*aa* d$)4 *ab* d&)4 *ac* d$+'4 *ad* d&+'4 *a* : , respectiv
"+,%++% 6- ,("+"7 4 ')#,)%+ 6- ,'''+7 4 6- ''(,)7 6- ,)++#7 4 6-
#(','"+7 6- ,%+)")7 4 '#(,+) : 4 ,".
iferena fa de zero fiind foarte mic, calculul se consider bun.;n astfel de control se poate face pentru fiecare din cele patru ecuaii.
"alculul coreciilor
Tabelul 5.2%
*ab* d&)*aa*
-*ac* d$+'*aa*
-*ad* d&+'*aa*
-*a *
*aa*
- ,)'"+" d&) 4 ,"+(# d$+' 4 ,(#+)( d&+'4 ,#('++" - ,")"% - ,+"# - ,"))#+ - ,("+" d$)
-*bb.%* d$+'*bb.%*
-*bd.%* d&+'*bb.%*
-*b .%*
*bb.%*
4 ,#")# d$+' 4 ,'+"))# d&+'- ,#(" - ,))%'+ - ,##'%% - ,'''+ d&)
-*cd.#* d&+'*cc.#*
-*c .#*
*cc.#*
-,')%" d&+'4 ,)(% - ,%)"% - ,)++# d$+'
-*d .'*
*dd.'*
- ,%+)") - ,%+)") d&+'
d&+': - ,%+)")
d$+': - ,%)"% 4 6- ,')%"7 6- ,%+)")7 : - ,)++#
d&): - ,##'%% 4 ,'+"))# 6- ,%+)")7 4 6,#")#7 6- ,)+##7 : - ,'''+
d$): - ,"))#+ 4 ,(#+)( 6- ,%+)")7 4 6,"+(#7 6- ,)+##7 4 6- ,)'"+"7 6- ,'''+7 :
- ,("+"