7/25/2019 Algoritmul Gauss

1/3

5.2.2.8. Rezolvarea sistemului ecuaiilor normale

Rezolvarea se face, n principiu, prin metoda substituiei. Sistemul de ecuaii fiind simetricfa de o diagonal se rezolv prin eliminri succesive prin aplicarea unui algoritm de calcul. Celmai uor este algoritmul Gauss-oolittle a criu sc!em literar este dat n tabelul ".#".

Algoritmul Gauss-Doolittle pentru rezolvarea sistemului

ecuaiilor normale (schema literar)

Tabelul 5.25

d$% d&% d$# d S

% # ' ( " )

%. /aa/ /ab/ /ac/ /ad/ /a/ /aS/

#. - /aa/

/aa/

-/ab/

/aa/

-/ac/

/aa/

-/ad/

/aa/

-/a/

/aa/

-/aS/

/aa/

'. /bb/ /bc/ /bd/ /b/ /bS/

(. - *ab//ab/

/aa/

- /ac//ab/

/aa/

- /ad//ab/

/aa/

- /a/ /ab/

/aa/

- /aS//ab/

/aa/

". /bb.%/ /bc.%/ /bd.%/ /b.%/ /bS.%/

). - /bb.%/

/bb.%*

- /bc.%/

/bb.%/

- /bd.%/

/bb.%/

- /b.%/

/bb.%/

- /bS.%/

/bb.%/

+. *cc* *cd* *c* *cS*

. - *ac* *ac*

*aa*

- *ad* *ac*

*aa*

- *a * *ac*

*aa*

- *aS* *ac*

*aa*

. - *bc.%* *bc.%*

*bb.%*

- *bd.%**bc.%*

*bb.%*

- *b .%* *bc.%*

*bb.%*

- *bS.%**bc.%*

*bb.%*

%. *cc.#* *cd.#* *c.#* *cS.#*

%%. - *cc.#**cc.#*

- *cd.#**cc.#*

- *c .#*

*cc.#*

- *cS.#**cc.#*

%#. *dd* *d* *dS*

%'. - *ad* *ad*

*aa*

- *a * *ad*

*aa*

- *aS* *ad*

*aa*

%(. - *bd.%* *bd.%*

*bb.%*

- *b .%* *bd.%*

*bb.%*

- *bS.%* *bd.%*

*bb.%*

%". - *cd.#* *cd.#*

*cc.#*

- *c .#* *cd.#*

*cc.#*

- *cS.#* *cd.#*

*cc.#*

%). *dd.'* *d.'* *dS.'*

%+. - *dd.'**dd.'*

- *d .'*

*dd.'*

- *dS.'**dd.'*

%. ** *S*%. - *a * *a*

*aa*

- *aS* *a*

*aa*

#. - *b .%* *b.%*

*bb.%*

- *bS.%* *b.%*

*bb.%*

#%. - *c .#* *c.#*

/cc.2/

-*cS.#* *c.#*

/cc.2/

##. - *d .'* *d.'* - *dS.'* *d.'*

7/25/2019 Algoritmul Gauss

2/3

/dd.3/ /dd.3/

#'. *.(* *S.(*

Calculele efective, pentru e$emplul considerat, sunt date n tabelul ".#) care s-a completat

astfel/

pe liniile %, ', +, %# i % s-au nscris coeficienii ecuaiilor normale calculai anterior0

liniile #, ), %%, %+, care reprezint ecuaiile de eliminare, se calculeaz cu ase zecimale ise controleaz n mod obligatoriu. ac suma pe fiecare din aceste linii este zero, saudifer cu cel mult % - # uniti la a easea zecimal, calculele sunt bine fcute i se poatetrece mai departe. 1n caz contrar, se depisteaz greala pe treapta respectiv a tabelului,deoarece ea nu poate proveni dec2t din calcule n ipoteza c i tabelul ecuaiilor normale afost verificat prin sum. 3oate celelalte valori se calculeaz numai cu patru zecimale, iar

ultimele dou *.(* i *S.(* trebuie s fie egale.

ezolvarea sistemului ecuaiilor normale

Tabelul 5.2!

d$% d&% d$# d S

% # ' ( " )

%. "+,%++% ')#,)%+ - ''(,) - #(','"+ '#(,+) - )+,++

#. -%, - ,)'"+" 4 ,"+(# 4 ,(#+)( - ,"))#+ 4 %,%(+%

'. %(',+))) - "#',)"'% - ),'"" "),"( - %##,('#%

(. - #',)%)( 4 #%','% 4 %"",+'" - #),""( 4 ('%,)+

". %#,%"# - '%,)#%# - ("(,#'# '"',(( - ++,+("%

). -%, ,#")# ,'+"))# - ,##'%% ,)"+")

+. %+',')) (",') - '#,+"(' - %+'+,#%

. - %),+# - %(',#(% %,+' - ',+++

. - +,+)% - %%),)" ,++ - #(,'(#

%. %"),("#' "",('%# #(," - #'(,+'(

%%. - %, - ,')%' - ,%)"% %,""'#" %#. (,%'# - ),'%+' - (",("

%'. - %(,#+) %',"' - #,#+'

%(. - %+,)'++ %'#,+++ - #,)##

%". - ##+,"+' - ),++' ,)("

%). ((),+%# +,)(++ - "#",')"%

%+. - %, - ,%+)") %,%+)""

%. '(,"%) - (%)",#''

%. - %",' '),)"%(

#. - %','%)+ #'',%(

#%. - (%,%+) '),))"+

##. - %',()' #,(( #'. ')),#'%+ ')),#'#"

5.2.2.9. Calculul coreciilor

"oreciilese aduc coor#onatelor provizorii. 5alorile necunoscutelor, respectiv al coreciilor,se obin prin calcul cumulat 6tabelul ".#+7. 1n baza relaiilor de calcul ale coreciilor se competeazfiecare linie cu valorile corespunztoare ale coeficienilor ecuaiilor de eliminare, e$trai dinalgoritmul de calcul 6liniile #, ), %%, %+ din tabelul ".#)7.

7/25/2019 Algoritmul Gauss

3/3

Rezolvarea se face merg2nd n tabel de 8os n sus/ valorile obinute se nscriu n ordineaobinerii lor, folosind cifre cu caractere nclinate sau o alt culoare. 9rima corecie, adic #$%&,rezult direct din algoritmul de calcul iar valorile #'%&, #$! i #'! se deduc n continuare. 3oatecoreciile se obin n#m.

Corectitudinea acestui calcul se poate verifica imediat prin nlocuirea valorilor obinute necuaiile rezolvate 6liniile %, ", % i %) din tabelul ".#)7 pe care trebuie s le satisfac. C2ndcoreciile se calculeaz cu ase zecimale este suficient ca la control primele trei zecimale s fieidentice. ac nlocuim coreciile calculate n prima ecuaie vom obine/

*aa* d$)4 *ab* d&)4 *ac* d$+'4 *ad* d&+'4 *a* : , respectiv

"+,%++% 6- ,("+"7 4 ')#,)%+ 6- ,'''+7 4 6- ''(,)7 6- ,)++#7 4 6-

#(','"+7 6- ,%+)")7 4 '#(,+) : 4 ,".

iferena fa de zero fiind foarte mic, calculul se consider bun.;n astfel de control se poate face pentru fiecare din cele patru ecuaii.

"alculul coreciilor

Tabelul 5.2%

*ab* d&)*aa*

-*ac* d$+'*aa*

-*ad* d&+'*aa*

-*a *

*aa*

- ,)'"+" d&) 4 ,"+(# d$+' 4 ,(#+)( d&+'4 ,#('++" - ,")"% - ,+"# - ,"))#+ - ,("+" d$)

-*bb.%* d$+'*bb.%*

-*bd.%* d&+'*bb.%*

-*b .%*

*bb.%*

4 ,#")# d$+' 4 ,'+"))# d&+'- ,#(" - ,))%'+ - ,##'%% - ,'''+ d&)

-*cd.#* d&+'*cc.#*

-*c .#*

*cc.#*

-,')%" d&+'4 ,)(% - ,%)"% - ,)++# d$+'

-*d .'*

*dd.'*

- ,%+)") - ,%+)") d&+'

d&+': - ,%+)")

d$+': - ,%)"% 4 6- ,')%"7 6- ,%+)")7 : - ,)++#

d&): - ,##'%% 4 ,'+"))# 6- ,%+)")7 4 6,#")#7 6- ,)+##7 : - ,'''+

d$): - ,"))#+ 4 ,(#+)( 6- ,%+)")7 4 6,"+(#7 6- ,)+##7 4 6- ,)'"+"7 6- ,'''+7 :

- ,("+"