“De cand matematicienii au invadat teoria relativitatii, nu o maiinteleg nici eu.”

Albert Einstein

5Transformari integrale

Vibratiile muzicii

Orice sunet, indiferent de sursa, este cauzat de ceva care vibreaza. Faravibratie nu exista sunet. Aceasta vibratie determina particulele de aer aflate inapropierea sursei sa vibreze si ele, iar acestea la randul lor le determina pe celedin apropierea lor sa vibreze creand in final ceea ce numim unda sonora.

La fel ca un val al marii, cu cat se misca unda sonora mai departe cu atatdevine mai slaba, pana ce in cele din urma dispare. Daca vibratia initialacauzeaza o unda suficient de puternica va ajunge la urechile noastre si va fiinregistrata ca un sunet. Auzim un sunet pentru ca aerul vibreaza impotrivatimpanelor urechii, care la randul lor vor vibra. Aceste vibratii sunt apoi anal-izate de catre creier si sunt inregistrate ca fiind muzica, zgomot de trafic, pasaricare canta, etc. Deoarece undele sonore sunt culese de timpanele fiecaruia siinterpretate de catre creier, sunt sanse mari ca nimeni sa nu auda acelasi sunetin acelasi mod in care il aud altii. Orice vibratie completa a undei sonore se

1

numeste ciclu. Numarul de cicluri realizate intr-o secunda se numeste frecventavibratiei. Una dintre diferentele perceptibile dintre doua sunete consta in inal-timea sunetului. O vibratie de frecventa mare va produce o nota mai inalta iaro vibratie de frecventa mai mica va produce o nota mai joasa.

Frecventa este masurata in hertzi, un hertz insemnand un ciclu pe secunda.Urechea umana poate percepe sunetele cuprinse intre 16 Hz si 16 kHz. Frecven-tele notelor, care pot fi cantate la un pian, sunt cuprinse intre 27.5 Hz si 4kHz.Nota produsa de un diapazon se numeste ton pur, deoarece consta dintr-un toncare suna la o singura frecventa. Sunetul instrumentelor provine de la tonuridiferite care suna la diverse frecvente. Chiar si o singura nota cantata la unpian e formata, de fapt, din multiple tonuri care suna impreuna la frecventeusor diferite.

Sa examinam indeaproape unul dintre cele mai elementare semnale, semnalulsinusoidal (cosinusoidal) care produce tonurile pure

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜑) = 𝐴 cos(2𝜋𝜔𝑡 + 𝜑)

unde 𝐴 reprezinta amplitudinea semnalului (valoarea maxima pe care o poateavea vibratia, masurata din pozitia de echilibru), 𝜔0 este frecventa angularasau radiana masurata in radiani/secunda. Apoi 𝜔 este frecventa (Hz) si 𝜑 estefaza initiala (rad). Avem relatiile evidente 𝜔0 = 2𝜋

𝑇 = 2𝜋𝜔 si 𝜔 = 1𝑇 , unde 𝑇

este perioada semnalului (s). Putem la fel de bine folosi functia sinus pentru areprezenta matematic un semnal sinusoidal.

Daca semnalul de mai sus este considerat ca fiind un semnal audio atuncivaloarea 𝑥(𝑡) indica schimbarile de presiune in urechile noastre ca functie detimp. O valoare negativa semnifica o presiune situata sub presiunea mediuluiambient iar o valoare pozitiva indica o presiune mai mare. Deci 𝑥(𝑡) fiind osinusoida indica faptul ca presiunea aerului in urechile noastre oscileaza intr-omaniera indicata de sinusoida. Sunetul pe care il vom auzi in acest caz va fi unton pur. Frecventa, dupa cum am spus si mai sus, determina inaltimea tonuluiiar amplitudinea determina volumul tonului.

Sa consideram spre exemplu 𝑥(𝑡) = 3 cos(2𝜋 · 2 · 𝑡− 3𝜋4 ). Se poate observa

ca valoarea maxima este 𝐴 = 3 si se obtine pentru 3/16, cand argumentulcosinusului este 0.

Semnalul de mai sus nu poate fi perceput de urechea umana fiind prea jos,frecventa 𝜔 fiind de doar 2 𝐻𝑧. Semnalele audio elementare nu suna prea grozav,puteti testa aici cam toata gama perceptibila urechii.

Vom studia acum un semnal foarte comun, cel produs de tonul de apel clasical unui celular. Acesta se compune in general din doua tonuri pure, la frecventepe care omul le poate percepe. Spre exemplu

𝑥(𝑡) = 𝐴1 sin(2𝜋 · 350𝑡) + 𝐴2 sin(2𝜋 · 450 · 𝑡)

2

contine doua sinusoide la frecvente 350 𝐻𝑧 si 400 𝐻𝑧. Mai jos avem reprezentataforma de unda a semnalului obtinut din combinarea celor doua semnale.

Suprinzator este faptul ca toate sunetele pot fi construite din tonuri puresi in mod analog toate semnalele continue deterministe (depind de timp) pot fiobtinute prin combinatii de sinusoide. Stim deja, din teoria seriilor Fourier, caorice semnal periodic poate fi descompus sub forma:

𝑥(𝑡) =𝑎02

+

∞∑𝑛=1

[𝑎𝑛 cos

(2𝑛𝜋

𝑇𝑡

)+ 𝑏𝑛 sin

(2𝑛𝜋

𝑇𝑡

)]unde 𝑇 este perioada semnalului iar coeficientii descompunerii se obtin conform

regulilor 𝑎𝑛 =2

𝑇

∫ 𝑎+𝑇

𝑎

𝑥(𝑡) cos

(2𝑛𝜋

𝑇𝑡

)𝑑𝑡 si 𝑏𝑛 =

2

𝑇

∫ 𝑎+𝑇

𝑎

𝑥(𝑡) sin

(2𝑛𝜋

𝑇𝑡

)𝑑𝑡.

In cele ce urmeaza vom discuta despre posibilitatea de a descompune unsemnal neperiodic si depre ”multidimensionalitatea” semnalelor. In lumea re-ala, semnalele nu se comporta exact dupa cum arata formatul lor matematicpredefinit, si asta deoarece prezinta ”impuritati”(noise). Semnalele sunt adeseadistorsionate si de multe ori sursa lor este necunoscuta.

Daca am putea descompune semnalul in frecventele care il constituie, amputea usor sa blocam anumite frecvente si sa le anulam contributia. E ceea ceBBC-ul a facut in timpul Cupei Mondiale de Fotbal din 2010. Va mai amintiticat de iritant era sunetul vuvuzelelor de pe fundalul comentariilor sportive? Dinfericire, sunetul produs de vuvuzele avea o inaltime(frecventa) relativ constantaundeva in jurul a 235 𝐻𝑧 si asta a permis celor de la BBC sa puna la dispozitiatelespectatorilor optiunea de a filtra semnalul si de a putea urmari partidele faraenervantul zgomot pe fundal.

De retinut ca un semnal este in general reprezentat in domeniul timp: ampli-tudinea este exprimata in functie de timp. Insa atunci cand noise-ul este prezento astfel de reprezentare poate fi inutila deoarece face semnalul sa para aproape

3

aleator. Daca insa trecem in domeniul frecventa si reprezentam amplitudineaca functie de frecventa obtinem informatii suplimentare, deosebit de utile.

Spectrul frecventei unui semnal reprezinta gama de frecvente continute intr-un semnal. Spre exemplu, semnalul tonului de apel contine doua frecvente,dupa cum arata figura de pe pagina anterioara. Spectrul poate fi gandit ca fiindo ”biblioteca” completa a semnalului. Wikipedia va prezinta un gif extrem deilustrativ al descompunerii unui semnal pentru identificarea spectrului sau

Sunt multe domenii unde analiza frecventelor ofera o mai buna intelegeredecat analiza in domeniul timp, muzica fiind cel mai celebru dintre ele. Toatateoria instrumentelor muzicale este construita in jurul descompunerii sunetelorcomplexe in componentele separate de frecventa diferita (notele muzicale). Inastrononie studiul spectrului radiatiei electromagnetice, care provine de la stelesau alte corpuri ceresti, poate oferi informatii despre compozitia chimica, tem-peratura, densitate, masa, luminozitate sau deplasare (efectul Doppler).

Vestea buna este ca putem sa facem usor trecerea din domeniul timp indomeniul frecventa, si inapoi, printr-un ”portal” numit transformata Fourier asemnalului

𝑋(𝜔) = 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑥(𝑡) · 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

Mai sus, 𝐹 [𝑥(𝑡)] reprezinta numele unei functii si anume transformata func-tiei 𝑥(𝑡) prin aplicatia 𝐹 , deci ne asteptam sa o putem evalua intr-un punct 𝜔.Pentru a simplifica notatia se foloseste in general dualitatea: transformata lui𝑥(𝑡) este 𝑋(𝜔), a lui 𝑓(𝑡) este 𝐹 (𝜔), etc.

4

Transformarea inversa, si implicit recuperarea semnalului daca stim frecven-tele sale, se face prin

𝑥(𝑡) = 𝐹−1 [𝑋(𝜔)] (𝑡) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑋(𝜔) · 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔.

Ar fi de observat aici ca 𝜔 nu reprezinta frecventa in formulele anterioare cifrecventa angulara. Expresia transformatei Fourier relativ la frecventa angularaeste la fel de populara ca si varianta care uzeaza de frecventa propriu zisa

𝑋(𝜔) = 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) =

∫ ∞

−∞𝑥(𝑡) · 𝑒−𝑖2𝜋𝜔𝑡 𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝐹−1 [𝑋(𝜔)] (𝑡) =

∫ ∞

−∞𝑋(𝜔) · 𝑒𝑖2𝜋𝜔𝑡 𝑑𝜔.

schimbarile constand in disparitia constantei din fata integralei si aparitia lui2𝜋 la exponentiala. Pe parcursul acestei fise vom folosi transformata Fourierangulara, propusa de prima varianta. Conexiunea intre ele se face prin formula

𝑋𝑎𝑛𝑔(𝜔) =1√2𝜋

𝑋( 𝜔

2𝜋

).

In concluzie, transformata Fourier ofera posibilitatea de a obtine spectrulfrecventei unui semnal neperiodic, o tehnica extrem de utila in teoria sem-nalelor. Inainte de a trece la listarea principalelor proprietati ale acestei trans-formari, vom prezenta interpretarile practice ale unor expresii matematice careapar frecvent in teoria semnalelor.

Energia unui semnal continuu este definita prin

𝐸 =

∫ ∞

−∞|𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡

iar puterea semnalului prin

𝑃 = lim𝑇→∞

1

2𝑇

∫ 𝑇

−𝑇

|𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡

care pentru un semnal periodic de perioada 𝑇0 devine 𝑃 =1

𝑇0

∫ 𝑎+𝑇

𝑎

|𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡,

pentru un 𝑎 oarecare.Transformata Fourier este in mod standard definita pentru semnale cu en-

ergie finita si atunci cunoscuta teorema a lui Plancherel∫ ∞

−∞|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡 =

∫ ∞

−∞|𝑋(𝜔)|2𝑑𝜔

spune, de fapt, ca energia totala a semnalului este egala cu energia totala atransformatei, adica transformata conserva energia. Daca semnalul are energiefinita, stim in plus ca transformata Fourier inversa exista, fiind cea mai simplaconditie care garanteaza existenta inversei.

Deoarece pentru multe semnale puterea poate fi finita iar energia infinita,

se impune uneori o alta restrictie semnalelor si anume ca

∫ ∞

−∞|𝑥(𝑡)| 𝑑𝑡 < ∞

5

(finite-action signal). O astfel de restrictie este suficienta pentru a ne asigura catransformata Fourier exista si este marginita, in cazul semnalelor continue, caci

|𝑋(𝜔)| ≤∫ ∞

−∞|𝑥(𝑡)| 𝑑𝑡, ∀𝜔 ∈ R.

Mai mult, orice semnal care satisface

∫ ∞

−∞|𝑥(𝑡)| 𝑑𝑡 < ∞ si care este marginit

va avea energia finita. Insa, conditia de absolut integrabilitate nu este suficientapentru a garanta existenta transformatei inverse.

Transformata Fourier

∙ vom investiga mai de aproape transformata Fourier angulara

𝑋(𝜔) = 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑥(𝑡) · 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

cu inversa

𝑥(𝑡) = 𝐹−1 [𝑋(𝜔)] (𝑡) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑋(𝜔) · 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔.

∙ cele doua formule de mai sus au forme particulare daca 𝑥(𝑡) este o functiepara sau impara

=⇒ daca 𝑥(𝑡) para

𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) =2√2𝜋

∫ ∞

0

𝑥(𝑡) cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡

=⇒ daca 𝑥(𝑡) impara

𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) =2√2𝜋

∫ ∞

0

𝑥(𝑡) sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡

uneori notam aceste transformari 𝑋𝑐(𝜔), respectiv 𝑋𝑠(𝜔) si le numim transfor-matele prin cosinus, sinus

=⇒ formula de inversare pentru o functie para devine acum

𝑥(𝑡) =2√2𝜋

∫ ∞

0

𝑋𝑐(𝜔) cos(𝜔𝑡) 𝑑𝜔

iar cea pentru o functie impara

𝑥(𝑡) =2√2𝜋

∫ ∞

0

𝑋𝑠(𝜔) sin(𝜔𝑡) 𝑑𝜔

B principalele proprietati ale transformatei sunt listate in continuare

∙ Transformata Fourier este o transformare liniara

𝐹 [𝑎 · 𝑥(𝑡) + 𝑏 · 𝑦(𝑡)](𝜔) = 𝑎 · 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) + 𝑏 · 𝐹 [𝑦(𝑡)](𝜔)

6

∙ Proprietatea de dilatare/contractare

𝐹 [𝑥(𝑎𝑡)](𝜔) =1

|𝑎|𝐹 [𝑥(𝑡)]

(𝜔𝑎

), 𝑎 = 0

∙ Proprietatea de intarziere

𝐹 [𝑥(𝑡− 𝑎)](𝜔) = 𝑒−𝑖𝑎𝑡𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔)

∙ Proprietatea de depasire

𝐹 [𝑒𝑖𝑎𝑡𝑥(𝑡)](𝜔) = 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔 − 𝑎)

∙ Derivarea functiei original

𝐹 [𝑥(𝑛)(𝑡)](𝜔) = (𝑖𝜔)𝑛𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔)

∙ Derivarea imaginii

𝑑𝑛

𝑑𝜔𝑛𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) = (−𝑖)𝑛𝐹 [𝑡𝑛𝑥(𝑡)](𝜔)

unde notatia din stanga inseamna a 𝑛-a derivata in raport cu 𝜔∙ Transformata produsului de convolutie

𝐹 [(𝑥 * 𝑦)(𝑡)](𝜔) =√

2𝜋 · 𝐹 [𝑥(𝑡)](𝜔) · 𝐹 [𝑦(𝑡)](𝜔)

prin produsul de convolutie a doua semnale intelegem functia (semnalul)

(𝑥 * 𝑦)(𝑡) =

∫ ∞

−∞𝑥(𝑠)𝑦(𝑡− 𝑠) 𝑑𝑠

Exista unele limitari in uzul seriilor Fourier si a transformatelor Fourierpentru analizarea semnalelor si a sistemelor. Un semnal trebuie sa fie ab-solut integrabil pentru a avea o reprezentare bazata pe o serie sau trans-formare Fourier. Daca luam in considerare semnalul rampa 𝑥(𝑡) = 𝑡 · 𝑢(𝑡)acesta nu poate fi analizat cu transformata Fourier nefiind absolut integra-bil sau de energie finita. Transformata Laplace ajuta la depasirea acestorobstacole. Poate fi gandita ca o extensie, o generalizare, a transformateiFourier. Acum argumentul transformatei va fi un numar complex, notatuneori cu 𝑝 si numit frecventa complexa.

Remarca

7

Transformata Laplace

∙ transformata Laplace a unei functii 𝑓(𝑡) (semnal) este definita prin

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝) =

∫ ∞

0

𝑓(𝑠)𝑒−𝑠𝑝𝑑𝑠

si va transforma o functie 𝑓(𝑡) in alta care depinde de 𝑝, notata de obicei cuℒ[𝑓(𝑡)](𝑝) sau 𝐹 (𝑝).

∙ functia 𝑓(𝑡) este numita functie original (semnalul sursa) si in generaltrebuie sa satisfaca anumite conditii, vezi curs, integrala fiind convergenta atuncicand 𝑅𝑒 𝑝 > 0.

∙ majoritatea proprietatilor sunt identice cu cele ale transformatei Fourier,diferentele aparand uneori la nivelul constantelor

∙ ℒ este o transformare liniara

ℒ[𝑎 · 𝑓(𝑡) + 𝑏 · 𝑔(𝑡)](𝑝) = 𝑎 · ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝) + 𝑏 · ℒ[𝑔(𝑡)](𝑝)

∙ Transformata Laplace are inversa liniara

ℒ−1[𝑎 · 𝐹 (𝑝) + 𝑏 ·𝐺(𝑝)](𝑡) = 𝑎 · ℒ−1[𝐹 (𝑝)](𝑡) + 𝑏 · ℒ−1[𝐺(𝑝)](𝑡)

∙ Dilatarea/Contractia

ℒ[𝑓(𝑎𝑡)](𝑝) =1

|𝑎|ℒ[𝑓(𝑡)]

(𝑝𝑎

)∙ Scalarea exponentiala (depasire)

ℒ[𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)](𝑝) = ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝− 𝑎)

∙ Proprietatea de intarziere

ℒ[𝑓(𝑡− 𝑎)](𝑝) = 𝑒−𝑎𝑝ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝)

∙ Transformata integralei

ℒ[∫ 𝑡

0

𝑓(𝑠)𝑑𝑠

](𝑝) =

1

𝑝ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝)

∙ Transformata produsului de convolutie (teorema lui Borel)

ℒ[(𝑓 * 𝑔)(𝑡)](𝑝) = ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝) · ℒ[𝑔(𝑡)](𝑝)

de remarcat ca dispare coeficientul din fata, comparativ cu transformata Fourier,insa in acest context produsul de convolutie este definit ca fiind

(𝑓 * 𝑔)(𝑡) =

∫ 𝑡

0

𝑓(𝑠)𝑔(𝑡− 𝑠) 𝑑𝑠

∙ Transformata derivatei

ℒ[𝑓 (𝑛)(𝑡)](𝑝) = 𝑝𝑛ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝) − 𝑝𝑛−1𝑓(0) − 𝑝𝑛−2𝑓 ′(0) − . . .− 𝑓 (𝑛−1)(0)

8

∙ Derivata transformarii

(ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝))(𝑛)

= (−1)𝑛ℒ[𝑡𝑛𝑓(𝑡)](𝑝)

∙ transformata Laplace poate fi folosita pentru a calcula integrale impropriiconform formulei: ∫ ∞

𝑝

𝐹 (𝑠)𝑑𝑠 = ℒ[𝑓(𝑡)

𝑡

](𝑝)

daca recunoastem integrandul ca fiind o transformata Laplace a unei functii𝑓(𝑡).

∙ adaugam alte trei proprietati extrem de utile in practica

Teorema valorii initiale

lim𝑡→0𝑡>0

𝑓(𝑡) = lim𝑝→∞

𝑝 · ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝)

∙ problemele rezolvate din sectiunea urmatoare arata in ce contexte pot fiaplicate aceste doua teoreme

Teorema valorii finale

lim𝑡→∞

𝑓(𝑡) = lim𝑝→0

𝑝 · ℒ[𝑓(𝑡)](𝑝)

∙ in general vom folosi de tabelul de transformate pentru a calcula transfor-mata inversa ℒ−1 insa este mult mai simplu sa folosim teoria reziduurilor

O formula pentru transformata inversa ℒ−1

𝑓(𝑡) = ℒ−1[𝐹 (𝑝)](𝑡) =∑

toti polii lui 𝐹 (𝑝)

Rez

(𝐹 (𝑝)𝑒𝑝𝑡

)

Aflam transformarea inversa a lui

𝐹 (𝑝) =1

(𝑝 + 3)2(𝑝− 1)

In acest caz 𝐹 (𝑝) are un pol de ordin 2 in 𝑝 = −3 si un pol de ordin1 in 𝑝 = 1. Au loc urmatoarele formule, conform fisei despre integralecomplexe:

Res(𝐹 (𝑝)𝑒𝑝𝑡, 1) = lim𝑝→1

(𝑝− 1)𝑒𝑝𝑡

(𝑝 + 3)2(𝑝− 1)=

𝑒𝑡

(1 + 3)2

(in reziduul de mai sus 𝑡 este un parametru)

Exemplu instructiv

9

Res(𝐹 (𝑝)𝑒𝑝𝑡,−3) = lim𝑝→−3

((𝑝 + 3)2

𝑒𝑝𝑡

(𝑝 + 3)2(𝑝− 1)

)′

= − 𝑡𝑒−3𝑡

4− 𝑒−3𝑡

42

(derivarea e relativ la 𝑝)

astfel

𝑓(𝑡) = ℒ−1

[1

(𝑝 + 3)2(𝑝− 1)

](𝑡) =

𝑒𝑡

16− 𝑡𝑒−3𝑡

4− 𝑒−3𝑡

16, 𝑡 ≥ 0.

∙ mai jos avem un tabel uzual de transformate Laplace

Domeniul timp 𝑓(𝑡) Domeniul frecventa 𝐹 (𝑝)

𝛿(𝑡) 1

𝛿(𝑡− 𝑎) 𝑒−𝑎𝑝

𝑢(𝑡) 1𝑝

𝑡 · 𝑢(𝑡) 1𝑝2

𝑡𝑛 · 𝑢(𝑡) 𝑛!𝑝𝑛+1

𝑡𝛼 · 𝑢(𝑡) Γ(𝛼+1)𝑝𝛼+1

𝑒𝜔𝑡 · 𝑢(𝑡) 1𝑝−𝜔

𝑎𝜔𝑡 · 𝑢(𝑡) 1𝑝−ln𝜔

sin(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝜔𝑝2+𝜔2

cos(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝑝𝑝2+𝜔2

sinh(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝜔𝑝2−𝜔2

cosh(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝑝𝑝2−𝜔2

𝑒−𝑎𝑡 sin(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝜔(𝑝+𝑎)2+𝜔2

𝑒−𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝑝+𝑎(𝑝+𝑎)2+𝜔2

𝑒−𝑎𝑡 sinh(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝜔(𝑝+𝑎)2−𝜔2

𝑒−𝑎𝑡 cosh(𝜔𝑡) · 𝑢(𝑡) 𝑝+𝑎(𝑝+𝑎)2−𝜔2

∙ uneori functia treapta 𝑢(𝑡) este omisa in astfel de tabele, puteti face ab-stractie de ea, rolul ei este sa anuleze partea din functie pentru care 𝑡 < 0 caciintegrala transformatei Laplace se refera la intervalul [0,∞)

10

Probleme rezolvate

Problema 1

Calculati transformata Fourier pentru urmatoarele semnale elementare

a) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑎|𝑡|, 𝑎 > 0

b) 𝑥(𝑡) = 𝐴 · Π(𝑡𝜏

)=

{𝐴, 𝑡 ∈ [−𝜏

2 , 𝜏2 ]

0, in rest

Solutie: a) O reprezentare in domeniul timp al lui 𝑥(𝑡) arata in felul urmator

Prin aplicarea formulei transformatei Fourier ajungem la

𝑋(𝜔) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑒−𝑎|𝑡|𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 =

1√2𝜋

∫ 0

−∞𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +

1√2𝜋

∫ ∞

0

𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

din cauza felului in care functia modul se comporta, apoi putem scrie

𝑋(𝜔) =1√2𝜋

∫ 0

−∞𝑒(𝑎−𝑖𝜔)𝑡 𝑑𝑡 +

1√2𝜋

∫ ∞

0

𝑒−(𝑎+𝑖𝜔)𝑡 𝑑𝑡

=1√2𝜋

𝑒(𝑎−𝑖𝜔)𝑡

𝑎− 𝑖𝜔

0−∞

+1√2𝜋

𝑒−(𝑎+𝑖𝜔)𝑡

−(𝑎 + 𝑖𝜔)

∞0

Valorile in ±∞ trebuie vazute ca o trecere la limita, prin definitia integralelorgeneralizate. Ambele valori vor fi 0, in mare din cauza prezentei lui 𝑒𝑎𝑡 respectivalui 𝑒−𝑎𝑡

lim𝑡→−∞

𝑒(𝑎−𝑖𝜔)𝑡

𝑎− 𝑖𝜔= lim

𝑡→−∞𝑒𝑎𝑡

cos(𝜔𝑡) + 𝑖 sin(𝜔𝑡)

𝑎− 𝑖𝜔= 0

caci al doilea factor este un numar complex marginit. Analog se trateaza cealaltalimita implicata in formulele de mai sus. In final doar valorile in 0 conteaza

𝑋(𝜔) =1√2𝜋

1

𝑎− 𝑖𝜔+

1√2𝜋

1

𝑎 + 𝑖𝜔=

1√2𝜋

2𝑎

𝑎2 + 𝜔2

O reprezentare a acesteia in domeniul frecventa (angulara) este disponibilape pagina urmatoare

11

b) Semnalul 𝑥(𝑡) = 𝐴 · Π(𝑡𝜏

)poarta numele de puls dreptunghiular si vom

arata ca transformata sa are legatura cu functia sinc(𝑥) =

{sin 𝑥𝑥 , 𝑥 = 0

1, 𝑥 = 0

Prin definitie:

𝑋(𝜔) =1√2𝜋

∫ ∞

−∞𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 =

1√2𝜋

∫ 𝜏2

− 𝜏2

𝐴𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

=1√2𝜋

𝐴𝑒−𝑖𝜔𝑡

−𝑖𝜔

𝜏2

− 𝜏2

=1√2𝜋

𝐴

(𝑒−𝑖𝜔 𝜏

2

−𝑖𝜔− 𝑒+𝑖𝜔 𝜏

2

−𝑖𝜔

)= − 𝐴√

2𝜋𝑖𝜔

(cos

(−𝜔

𝜏

2

)+ 𝑖 sin

(−𝜔

𝜏

2

)− cos

(𝜔𝜏

2

)− 𝑖 sin

(𝜔𝜏

2

))=

2𝐴√2𝜋𝜔

sin(𝜔𝜏

2

)=

𝐴𝜏√2𝜋

sin(𝜔 𝜏

2

)𝜔 𝜏

2

=𝐴𝜏√2𝜋

sinc(𝜔𝜏

2

)imaginea in domeniul frecventa fiind

Problema 2

Sa se rezolve ecuatia integrala∫ ∞

0

𝑔(𝑢) cos(𝑢𝑡) 𝑑𝑢 = 𝑓(𝑡)

unde 𝑓(𝑡) =

{1 − 𝑡, 𝑡 ∈ [0, 1]

0, 𝑡 > 1.

12

Solutie: Ecuatia poate fi scrisa sub forma echivalenta√2

𝜋

∫ ∞

0

𝑔(𝑢) cos(𝑢𝑡) 𝑑𝑢 =

√2

𝜋𝑓(𝑡)

in care membrul stang seamana cu transformata prin cosinus a unei functii 𝑔,deci putem interpreta egalitatea ca fiind de forma:

𝐺𝑐(𝜔) =

√2

𝜋𝑓(𝜔)

Aceasta strategie are sens doar daca la final functia 𝑔 gasita se dovedeste a fipara. Interpretand ecuatia in acest mod, functia 𝑔 poate fi aflata prin aplicareatransformatei inverse prin cosinus functiei din dreapta, adica

𝑔(𝑢) =

√2

𝜋

∫ ∞

0

𝐺𝑐(𝜔) cos(𝜔𝑢) 𝑑𝜔 =

√2

𝜋

∫ ∞

0

√2

𝜋𝑓(𝜔) cos(𝜔𝑢) 𝑑𝜔

=2

𝜋

∫ ∞

0

𝑓(𝜔) cos(𝜔𝑢) 𝑑𝜔 =2

𝜋

∫ 1

0

(1 − 𝜔) cos(𝑢𝜔)𝜔 =2

𝜋

1 − cos𝑢

𝑢2

care este evident o functie para.

Problema 3

Gasiti functiile original pentru urmatoarele tranformate Laplace

a) 𝑋 (𝑝) =1

𝑝2 − 3𝑝 + 2

b) 𝑌 (𝑝) =1

𝑝2 (𝑝2 + 1).

Solutie: a) Ideea este sa reducem functiile date la expresii care se aflain tabelul de transformate, folosind teoria functiilor rationale. Descompunemtransformata Laplace 𝑋(𝑝) data astfel

𝑋 (𝑝) =1

𝑝2 − 3𝑝 + 2=

1

(𝑝− 1) (𝑝− 2)=

1

𝑝− 2− 1

𝑝− 1

si folosim formula

ℒ[𝑒𝑎𝑡

](𝑝) =

1

𝑝− 𝑎

din tabelul de transfromate Laplace. Vom obtine functia original

𝑥 (𝑡) = ℒ−1

[1

𝑝− 2− 1

𝑝− 1

](𝑡) = ℒ−1

[1

𝑝− 2

](𝑡)−ℒ−1

[1

𝑝− 1

](𝑡) = 𝑒2𝑡 − 𝑒𝑡.

b) Metoda 1 : Din nou descompunem functia data astfel

1

𝑝2 (𝑝2 + 1)=

𝐴𝑝 + 𝐵

𝑝2+

𝐶𝑝 + 𝐷

𝑝2 + 1,

iar dupa identificarea coeficientilor obtinem

𝐴 = 0, 𝐵 = 1, 𝐶 = 0, 𝐷 = −1,

13

ceea ce conduce la

𝑌 (𝑝) =1

𝑝2− 1

𝑝2 + 1.

Folosind din nou formulele

ℒ [𝑡𝑛] (𝑝) =𝑛!

𝑝𝑛+1si ℒ [sin 𝑎𝑡] (𝑝) =

𝑎

𝑝2 + 𝑎2,

din tabelul de transfromate Laplace, rezulta functia original

𝑦 (𝑡) = ℒ−1

[1

𝑝2− 1

𝑝2 + 1

](𝑡) = ℒ−1

[1

𝑝2

](𝑡) − ℒ−1

[1

𝑝2 + 1

](𝑡) = 𝑡− sin 𝑡.

Metoda 2 : Putem sa folosim formula de inversare care uzeaza de teoriareziduurilor

𝑦(𝑡) = ℒ−1[𝑌 (𝑝)](𝑡) =∑

toti polii lui 𝑌 (𝑝)

Rez(𝑌 (𝑝)𝑒𝑝𝑡

)Se observa usor ca 𝑌 (𝑝) are un pol dublu in 𝑝1 = 0 si doi poli simpli in

𝑝2 = 𝑖, respectiv 𝑝3 = −𝑖.

Rez(𝑌 (𝑝)𝑒𝑝𝑡, 0) = lim𝑝→0

(𝑝2

𝑒𝑝𝑡

𝑝2(𝑝2 + 1)

)′

= lim𝑝→0

𝑡𝑒𝑝𝑡(𝑝2 + 1) − 2𝑝𝑒𝑝𝑡

(𝑝2 + 1)2= 𝑡

Atentie la faptul ca derivarea se face intotdeauna relativ la variabila 𝑝, atuncicand avem de a face cu poli de ordin superior in aplicarea formulei de inversare.

Rez(𝑌 (𝑝)𝑒𝑝𝑡, 𝑖) = lim𝑝→𝑖

(𝑝− 𝑖)𝑒𝑝𝑡

𝑝2(𝑝2 + 1)=

𝑒𝑖𝑡

−2𝑖=

𝑖𝑒𝑖𝑡

2

=− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡

2

Rez(𝑌 (𝑝)𝑒𝑝𝑡,−𝑖) = lim𝑝→−𝑖

(𝑝− (−𝑖))𝑒𝑝𝑡

𝑝2(𝑝2 + 1)=

𝑒−𝑖𝑡

2𝑖=

−𝑖𝑒−𝑖𝑡

2

=− sin 𝑡− 𝑖 cos 𝑡

2

In final adunand aceste valori

𝑦(𝑡) = 𝑡− sin 𝑡

Problema 4

Rezolvati problema Cauchy⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑥′′ + 2𝑥′ + 5𝑥 = 0

𝑥 (0) = 1

𝑥′ (0) = 0

,

folosind transformata Laplace.

14

Solutie: Vom trece din domeniul timp in domeniul frecventelor. Fenomenulsuprinzator este urmatorul: in domeniul frecventelor ecuatia diferentiala devineuna algebrica usor de rezolvat.

Folosind asadar transformata Laplace vom transforma intreaga ecuatie difer-entiala tinand cont de proprietatile transformatei

ℒ [𝑥] (𝑝)𝑛𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑒

= 𝑋 (𝑝)

ℒ [𝑥′] (𝑝) = 𝑝𝑋 (𝑝) − 𝑥 (0) = 𝑝𝑋 (𝑝) − 1,

ℒ [𝑥′′] (𝑝) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝 · 𝑥 (0) − 𝑥′ (0) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝,

ceea ce implica, datorita proprietatii de liniaritate a transformatei

𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝 + 2 [𝑝𝑋 (𝑝) − 1] + 5𝑋 (𝑝) = 0,

de unde obtinem apoi

𝑋 (𝑝) =𝑝 + 2

𝑝2 + 2𝑝 + 5=

𝑝 + 1

(𝑝 + 1)2

+ 22+

1

(𝑝 + 1)2

+ 22

=𝑝 + 1

(𝑝 + 1)2

+ 22+

1

2· 2

(𝑝 + 1)2

+ 22

In acest moment avem expresia transformatei Laplace a unei solutii 𝑥(𝑡) core-spunzatoare problemei Cauchy. Pentru a obtine aceasta solutie va trebui safolosim transformata inversa si tabelul de transformate

𝑥 (𝑡) = ℒ−1 [𝑋(𝑝)] (𝑡) = 𝑒−𝑡 cos 2𝑡 +1

2𝑒−𝑡 sin 2𝑡

= 𝑒−𝑡

(cos 2𝑡 +

1

2sin 2𝑡

).

Problema 5

Integrati ecuatia 𝑥′′′+𝑥′′−2𝑥 = 𝑡, unde 𝑥 (0) = 𝑥′ (0) = 0 si 𝑥′′ (0) = −1.

Solutie: Vom aplica din nou tehnica transformarii Laplace pentru a obtineinitial o imagine a ecuatiei in domeniul frecventelor

ℒ [𝑥] (𝑝)𝑛𝑜𝑡= 𝑋 (𝑝) ,

ℒ [𝑥′′] (𝑝) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝 · 𝑥 (0) − 𝑥′ (0) = 𝑝2𝑋 (𝑝)

ℒ [𝑥′′′] (𝑝) = 𝑝3𝑋 (𝑝) − 𝑝2 · 𝑥 (0) − 𝑝 · 𝑥′ (0) − 𝑥′′ (0) = 𝑝3𝑋 (𝑝) + 1,

ℒ [𝑡] (𝑝) =1

𝑝2,

conform formulei de transformare a derivatelor si respectiv tabelului de trans-formate pentru ultima relatie.

Prin urmare imaginea ecuatiei in domeniul frecventelor este

𝑝3𝑋 (𝑝) + 1 + 𝑝2𝑋 (𝑝) − 2𝑋(𝑝) =1

𝑝2

15

cu observatia ca deja am folosit conditiile initiale ale ecuatiei in aflarea trans-formarilor de mai sus.

Aceasta ecuatie se rezolva usor si se obtine:

𝑋 (𝑝) =1 − 𝑝2

𝑝2 (𝑝3 + 𝑝2 − 2)=

(1 − 𝑝) (1 + 𝑝)

𝑝2 (𝑝− 1) (𝑝2 + 2𝑝 + 2)

= − 𝑝 + 1

𝑝2 (𝑝2 + 2𝑝 + 2)= −1

2

1

𝑝2+

1

2

1

(𝑝 + 1)2

+ 1

In final pentru a obtine solutia ecuatiei diferentiale date trebuie sa aflam imag-inea inversa a solutiei obtinute in domeniul frecventelor

𝑥(𝑡) = ℒ−1[𝑋(𝑝)](𝑡) = ℒ−1

[−1

2

1

𝑝2+

1

2

1

(𝑝 + 1)2 + 1

](𝑡)

= −1

2ℒ−1

[1

𝑝2

](𝑡) +

1

2ℒ−1

[1

(𝑝 + 1)2 + 1

](𝑡) = −1

2𝑡 +

1

2𝑒−𝑡 sin 𝑡

conform tabelului de transformate si a liniaritatii transformarii inverse.

Problema 6

Rezolvati urmatorul sistem de ecuatii diferentiale{𝑥′ − 𝑥− 2𝑦 = 𝑡

−2𝑥 + 𝑦′ − 𝑦 = 𝑡

avand conditiile initiale 𝑥 (0) = 2, 𝑦 (0) = 4.

Solutie: Intai notam cu 𝑋(𝑝) si 𝑌 (𝑝) transformatele Laplace ale necunos-cutelor 𝑥(𝑡), respectiv 𝑦(𝑡).

ℒ [𝑥] (𝑝) = 𝑋 (𝑝), ℒ [𝑦] (𝑝) = 𝑌 (𝑝)

Apoi transformam ceilalti termeni ai sistemului, tinand cont de proprietatiletransformate Laplace

ℒ [𝑥′] (𝑝) = 𝑝𝑋 (𝑝) − 𝑥 (0) = 𝑝𝑋 (𝑝) − 2

ℒ [𝑦′] (𝑝) = 𝑝𝑌 (𝑝) − 𝑦 (0) = 𝑝𝑌 (𝑝) − 4,

ℒ [𝑡] (𝑝) =1

𝑝2,

Imaginea sistemului in domeniul frecventa este⎧⎪⎨⎪⎩𝑝𝑋 (𝑝) − 2 −𝑋 (𝑝) − 2𝑌 (𝑝) =

1

𝑝2

−2𝑋 (𝑝) + 𝑝𝑌 (𝑝) − 4 − 𝑌 (𝑝) =1

𝑝2

si obtinem ca

𝑋 (𝑝) + 𝑌 (𝑝) =1

𝑝− 3

(6 +

2

𝑝2

)𝑋 (𝑝) − 𝑌 (𝑝) = − 2

𝑝 + 1,

16

de unde rezulta

𝑋 (𝑝) =3

𝑝− 3+

1

𝑝2 (𝑝− 3)− 1

𝑝 + 1

=3

𝑝− 3− 1

9

1

𝑝− 1

3

1

𝑝2+

1

9

1

𝑝− 3− 1

𝑝 + 1

=28

9

1

𝑝− 3− 1

9

1

𝑝− 1

3

1

𝑝2− 1

𝑝 + 1

si obtinem functia original prin inversare, ca la exercitiile anterioare

𝑥 (𝑡) =28

9𝑒3𝑡 − 1

9− 1

3𝑡− 𝑒−𝑡.

Pentru a gasi functia original 𝑦 (𝑡) putem sa nu mai recurgem la 𝑌 (𝑝) ci sainlocuim in sistemul de ecuatii diferentiale. Vom folosi prima ecuatie din sistem,unde avem nevoie de derivata lui 𝑥 (𝑡) care este

𝑥′ (𝑡) =28

3𝑒3𝑡 − 1

3+ 𝑒−𝑡

si obtinem

𝑦 (𝑡) =𝑥′(𝑡) − 𝑥(𝑡) − 𝑡

2=

28

9𝑒3𝑡 − 1

9− 2

3𝑡 +

1

2𝑒−𝑡.

In concluzie solutia sistemului este⎧⎨⎩ 𝑥 (𝑡) = 289 𝑒3𝑡 − 1

9 − 13 𝑡− 𝑒−𝑡

𝑦 (𝑡) = 289 𝑒3𝑡 − 1

9 − 23 𝑡 + 1

2𝑒−𝑡

.

Problema 7

Determinati solutia ecuatiei 𝑥′′ + 𝑥 = 1cos 𝑡 cu datele initiale 𝑥 (0) = 0 si

𝑥′ (0) = 2.

Solutie: Aplicam transformata Laplace atat membrului drept cat si a mem-brului stang. Constatam un prim obstacol: nu putem ınlocui direct transformata

Laplace a functiei1

cos 𝑡caci nu e in tabel si nici nu e clar cum sa o deducem din

proprietatile ℒ.

Pentru moment vom continua cu notatia ℒ[

1

cos 𝑡

](𝑝), suntem in faza de

negare a problemei :)). In partea stanga avem

ℒ [𝑥] (𝑝) = 𝑋 (𝑝) , ℒ [𝑥′′] (𝑝) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝 · 𝑥 (0) − 𝑥′ (0) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 2.

Transformata ecuatiei devine

𝑝2𝑋 (𝑝) − 2 + 𝑋 (𝑝) = ℒ[

1

cos 𝑡

](𝑝) ,

de unde rezulta

𝑋 (𝑝) =2

𝑝2 + 1+

1

𝑝2 + 1· ℒ

[1

cos 𝑡

](𝑝)

17

Din cauza ca ultimul termen are un coeficient care depinde de 𝑝 (deci nu econstant relativ la 𝑝) nu putem sa aplicam transformata inversa in acest moment.Houston we have a problem !

Vom depasi acest obstacol daca reusim sa vizualizam factorul 1𝑝2+1 ca pe o

transformata Laplace. Cu ajutorul tabelului se gaseste rapid 1𝑝2+1 = ℒ [sin 𝑡] (𝑝)

Acum modul in care ℒ se comporta cu produsul de convolutie salveaza ziua

𝑋 (𝑝) = 2ℒ [sin 𝑡] (𝑝) + ℒ [sin 𝑡] (𝑝) · ℒ[

1

cos 𝑡

](𝑝)

= ℒ [2 sin 𝑡] (𝑝) + ℒ[sin 𝑡 * 1

cos 𝑡

](𝑝)

= ℒ[2 sin 𝑡 + sin 𝑡 * 1

cos 𝑡

](𝑝)

In final

𝑥 (𝑡) = ℒ [𝑋(𝑝)] (𝑡) = 2 sin 𝑡 + sin 𝑡 * 1

cos 𝑡

care se scrie desfasurat sub forma

𝑥 (𝑡) = 2 sin 𝑡 +

𝑡∫0

sin (𝑡− 𝜏)

cos 𝜏𝑑𝜏 =

= 2 sin 𝑡 +

𝑡∫0

sin 𝑡 cos 𝜏 − sin 𝜏 cos 𝑡

cos 𝜏𝑑𝜏

= 2 sin 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡 + cos 𝑡 · ln (cos 𝑡) .

Problema 8

Rezolvati ecuatia 𝑥 (𝑡) = 2 sin 4𝑡 +

𝑡∫0

sin 4 (𝑡− 𝑢)𝑥 (𝑢) 𝑑𝑢.

Solutie: Ecuatia data se poate pune ın forma echivalenta

𝑥 (𝑡) −𝑡∫

0

𝑥 (𝑢) sin 4 (𝑡− 𝑢) 𝑑𝑢 = 2 sin 4𝑡.

Transformata Laplace a membrului drept este

ℒ [2 sin 4𝑡] =8

𝑝2 + 16,

iar ın partea stanga din teorema lui Borel rezulta

ℒ

⎡⎣ 𝑡∫0

𝑥 (𝑢) sin 4 (𝑡− 𝑢) 𝑑𝑢

⎤⎦ (𝑝) = ℒ [𝑥 (𝑡) * sin 4𝑡] (𝑝)

= 𝑋 (𝑝) · 4

𝑝2 + 16.

18

Atunci avem

𝑋 (𝑝) −𝑋 (𝑝) · 4

𝑝2 + 16=

8

𝑝2 + 16,

de unde obtinem

𝑋 (𝑝) =8

𝑝2 + 12=

8

𝑝2 +(2√

3)2 =

8

2√

3· 2

√3

𝑝2 +(2√

3)2

Prin urmare solutia ecuatiei date este

𝑥 (𝑡) =8

2√

3· sin

(2√

3𝑡)

=4√

3

3· sin

(2√

3𝑡).

Problema 9

Rezolvati problema Cauchy⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑥′′ + 𝑡𝑥′ − 𝑥 = 0

𝑥 (0) = 0

𝑥′ (0) = 1

,

folosind transformata Laplace.

Solutie: Aplicam transformata Laplace si obtinem

ℒ [𝑥] (𝑝) = 𝑋 (𝑝) ,

ℒ [𝑡𝑥′] (𝑝) = − [𝑝𝑋 (𝑝)]′+ 𝑥 (0) =

= −𝑋 (𝑝) − 𝑝𝑋 ′ (𝑝)

ℒ [𝑥′′] (𝑝) = 𝑝2𝑋 (𝑝) − 𝑝𝑥 (0) − 𝑥′ (0)

= 𝑝2𝑋 (𝑝) − 1,

de unde rezulta

𝑋 ′ (𝑝) +2 − 𝑝2

𝑝·𝑋 (𝑝) = −1

𝑝.

De remarcat faptul ca atunci cand ecuatia diferentiala are coeficienti caredepind de 𝑡, imaginea ecuatiei in domeniul frecventa va fi tot o ecuatia diferen-tiala. Ecuatia din domeniul frecventa nu este intotdeauna mai usor de rezolvatdecat cea initiala ! In cazul nostru insa, avem o ecuatie neomogena liniara deordinul intai, de forma generala

𝑋 ′ (𝑝) + 𝑎 (𝑝) ·𝑋 (𝑝) = 𝑏 (𝑝)

care are solutia generala

𝑋 (𝑝) = 𝑒−

∫𝑎 (𝑝) 𝑑𝑝

⎡⎢⎣𝑘 +

∫𝑏 (𝑝) · 𝑒

∫𝑎 (𝑝) 𝑑𝑝

𝑑𝑝

⎤⎥⎦ .

19

In cazul nostru avem 𝑎 (𝑝) =2 − 𝑝2

𝑝si 𝑏 (𝑝) = −1

𝑝, de unde dupa ınlocuirea

ın solutia generala rezulta

𝑋 (𝑝) = 𝑘 · 𝑒𝑝2

2

𝑝2+

1

𝑝2.

Intrusul este constanta 𝑘 si trebuie eliminat. Pentru aceasta avem nevoie deinformatii suplimentare. Avem in maneca cativa asi: conditiile initiale si teo-remele valorii initiale/ finale. Daca tinem cont de conditia 𝑥 (0) = 0, atunciconform teoremei valorii initiale

lim𝑡→0𝑡>0

𝑥(𝑡) = lim𝑝→∞

𝑝 · ℒ[𝑥(𝑡)](𝑝)

prin urmare lim𝑝→∞

𝑝 ·𝑋(𝑝) = 0 si fenomenul are loc doar daca impunem conditia

𝑘 = 0, ceea ce conduce in final la 𝑋 (𝑝) =1

𝑝2.

In concluzie, solutia ecuatiei este functia original

𝑥 (𝑡) = ℒ−1 [𝑋(𝑝)] (𝑡) = 𝑡

Probleme propuse

A. Consolidare cunostinte

Problema A.1. Studiati modul in care convolutia imbunatateste din punct devedere matematic comportamentul semnalului puls dreptunghiular

Π(𝑡) =

{1, |𝑡| < 1

2

0, altfel

argumentand matematic ceea ce acest gif exprima, si anume relatia

(Π * Π)(𝑡) = Λ(𝑡)

unde Λ este semnalul puls triunghiular

Λ(𝑡) =

{1 − |𝑡|, |𝑡| ≤ 1

0, altfel

20

Folositi articolul Wikipedia pentru a vizualiza corect produsul de convolutie siargumentati mai departe faptul ca semnalul (Π * Π * Π)(𝑡) arata precum indesenul de mai jos

B. Tehnica de calcul

Problema B.1. Aflati transformata Laplace a urmatoarelor functii

i) 𝑓(𝑡) = 𝑒−3𝑡 cos(2𝑡)

ii) 𝑓(𝑡) = cos(2𝑡− 3)

iii) 𝑓(𝑡) = sin 𝑡 cos(3𝑡)

iv) 𝑓(𝑡) = 𝑡3 sinh(2𝑡)

Problema B.2. Gasiti functia original pentru urmatoarele transformari:

i) 𝐹 (𝑝) =1

𝑝3 − 5𝑝2 + 6𝑝

ii) 𝐹 (𝑝) =7𝑝2 − 2𝑝

(𝑝2 + 4)(𝑝2 − 9)

Problema B.3. Rezolvati problema Cauchy⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑥′′ − 𝑥′ − 6𝑥 = 0

𝑥 (0) = 0

𝑥′ (0) = −1

,

folosind tehnica transformarii Laplace.

Problema B.4. Rezolvati ecuatia 𝑥′′′ + 2𝑥′′ + 2𝑥′ + 𝑥 = 1, cu datele initiale𝑥 (0) = 𝑥′ (0) = 𝑥′′ (0) = 0.

21

Problema B.5. Rezolvati sistemul de ecuatii diferentiale⎧⎨⎩ 𝑥′ + 4𝑥 + 4𝑦 = 0, 𝑥 (0) = 3

𝑦′ + 2𝑥 + 6𝑦 = 0, 𝑦 (0) = 15.

Problema B.6. Rezolvati ecuatia integrala

𝑥′ (𝑡) =

𝑡∫0

𝑥 (𝑢) cos (𝑡− 𝑢) 𝑑𝑢, cu 𝑥 (0) = 1.

Problema B.7. Rezolvati problema Cauchy⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑡𝑥′′ + 𝑥′ + 𝑥 = 0

𝑥 (0) = 1

𝑥′ (0) = −1

,

folosind transformata Laplace.

C. Probleme cu caracter practic-aplicativ

Problema C.1. Intr-o imagine noise-ul poate fi vazut ca fiind frecvente nedoritein reprezentarea imaginii in domeniul frecventelor. Eliminarea acestor frecventeducand la eliminarea noise-ului in domeniul spatial. Pentru aceasta se folosestetransformata Fourier 2-dimensionala

𝐹 (𝜔1, 𝜔2) =1

2𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖(𝜔1𝑥+𝜔2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

Problema C.2. Problema circuite [Schaum Electric circuits]

22

Bibliografie

[1] M. Wickert. Signals and Systems for Dummies, Wiley&Sons, 2013.

[2] P. Cuff. ELE 201: Information Signals, Princeton University, SpringSemester, 2016-2017.

[3] Signal Processing stackexchange https://dsp.stackexchange.com/

[4] R. Negrea. Note de curs MS, 2020.

[5] C. Hedrea. Fise de seminar MS, 2015.

[6] O. Lipovan. Analiza Matematica: Calcul integral, Ed. Politehnica, 2007.