Copyright Paul GASNER 1
9. Interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă cu substanţa.
Polarizarea dielectricilor
Copyright Paul GASNER 2
Cuprins
● Mecanisme de polarizare a dielectricilor● Polarizarea electronică şi ionică● Polarizarea orientaţională● Variaţia permitivităţii cu frecvenţa● Reprezentări grafice
Copyright Paul GASNER 3
9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● în teoria benzilor de energie, izolatorii sau dielectricii sunt consideraţi
substanţele a căror bandă interzisă are o lăţime mai mare de 3eV
● sub acţiunea unui câmp electric exterior ei prezintă un fenomen de polarizare datorat redistribuirii sarcinilor electrice în interiorul substanţei şi/sau reorientării momentelor de dipol
● mecansimele de polarizare:
– polarizarea electronică
– polarizarea ionică
– polarizarea orientaţională (dipolară)
– polarizarea interfacială● polarizabilitatea unui material va fi dată de:
(9.1.1) T=oieif
Copyright Paul GASNER 4
9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● vectorul polarizare sau intensitate de polarizare este definit prin
momentul dipolar al unităţii de volum şi, la un dielectric liniar, este proporţional cu câmpul electric extern aplicat
unde χ este susceptibilitatea electrică
● câmpul electric din interiorul dielectricului este
● vectorul inducţie electrică sau deplasare va fi
● la nivel atomic sau molecular apare noţiunea de polarizabilitate atomică sau moleculară , iar momentul dipolar al atomului este
(9.1.2) P=0E0
P
E0
(9.1.3) E=E0E0
0
(9.1.4) D=0E0P=0 1 E0=0r
E0
(9.1.5) p=0E0
Copyright Paul GASNER 5
9.1 Momentul atomic dipolar● la moleculele simetrice este o constantă, iar pentru cele asimetrice un
tensor de ordinul II
● Legătura dintre polarizabilitate şi polarizare – adică dintre mărimile macroscopice şi microscopice – este dată de
unde Nv este densitatea volumică a atomilor (moleculelor) substanţei respective iar câmpul electric local rezultant, precum şi de relaţia Clausius-Mosotti ce dă legătura dintre polarizabilitate şi permitivitate relativă
● câmpul electric din interiorul dielectrcului este
unde câmpul de polarizare datorat redistribuirii momentelor dipolare este
(9.1.6) P=N v p=N v0 E
(9.1.7) E=E0E pol
(9.1.8) E pol=P
30
E
Copyright Paul GASNER 6
9.1 Momentul atomic dipolar● atunci câmpul electric va fi
iar polarizarea
● comparând cu (9.1.2) se ajunge la cunoscuta relaţie Clausius-Mosotti
(9.1.9) E=r2
3E0
(9.1.11)r−1
r2=
N v3
(9.1.10) P=N v0r2
3E0
Copyright Paul GASNER 7
● într-un dielectric nepolar pot lua naştere dipoli induşi sub acţiunea unui câmp electric extern
● câmpul electric rezultant este
● forţa cu care câmpul electromagnetic acţionează asupra electronului este
● forţa elastică
● forţa de atenuare
9.2 Polarizarea electronică şi ionică
(9.2.1) E= E0 e j t
(9.2.3) F=−q E r v×B≈0
(9.2.2) E r=E r 0 e j t
(9.2.4) F el=−m0 e0 e2 r
(9.2.5) F at=−m0 eed rdt
Copyright Paul GASNER 8
● ecuaţia de mişcare va fi
● având în vedere că
soluţia ecuaţiei (9.2.6) este
şi se poate scrie
● pe de altă parte
9.2 Polarizarea electronică şi ionică
(9.2.6) d 2
dt 2eddt0 e
2 r=−q E r
m0 e
(9.2.8) Pe= P0 e e j t
(9.2.7) Pe=−q N vr
(9.2.9) −2 je0 e2 r=−N v q2
m0 e
E r
(9.2.10) Pe=N veE r
Copyright Paul GASNER 9
● în final polarizabilitatea electronică va avea forma
● pentru un ansamblu de ioni, polarizabilitatea ionică va fi în mod analog
9.2 Polarizarea electronică şi ionică
(9.2.11) e=q2
0 m0 e −2 je0 e2
(9.2.12) i=q2
0 m0 i −2 ji0 i2
Copyright Paul GASNER 10
● asupra dielectricului acţionează un câmp electric treaptă
● polarizarea ionică şi electronică Pie se
obţine relativ repede, polarizarea totală fiind
● ecuaţia care descrie acest proces de relaxare este
unde o este timpul de relaxare macroscopic şi
9.3 Polarizarea orientaţională 9.3.1 Regim tranzitoriu
P t = P ie Pot (9.3.1)
d Po
dt= 10
[ P− P ie− Pot ](9.3.2)
(9.3.3) P= P ie Po∞
Copyright Paul GASNER 11
este valoarea maximă a polarizării după un timp suficient de mare
● impunând condiţia la limită
se obţine soluţia
9.3.1 Regim tranzitoriu
Po0=0(9.3.4)
Pot = P− P ie 1−e−t /0 (9.3.5)
Copyright Paul GASNER 12
● dacă asupra dielectricului se aplică un câmp electric variabil, atunci
fiind acum o mărime complexă. Ţinând seama de faptul că la frecvenţe foarte mari se manifestă doar polarizaţia ionică şi electronică, se poate scrie
● ecuaţia care descrie variaţia în timp a polarizării este
cu soluţia generală
9.3.2 Regim sinusoidal
(9.3.6)
(9.3.7)
P t =0 E0 e j t
P ie=0ieE=0 r∞−1 E
d Po
dt= 1 [0 r0−r∞ E0 e j t− Po ](9.3.8)
(9.3.9) Po=0 [r∞−1r0−r∞
122− jr0−r∞
122 ] E0 e j t
Copyright Paul GASNER 13
● ţinându-se seama de aceste relaţii în (9.3.6) se poate deduce expresia polarizabilităţii orientaţionale
unde
9.3.2 Regim sinusoidal
(9.3.10)
(9.3.11)
o=o0
1 jo
o0=00
N v
Copyright Paul GASNER 14
9.4 Variaţia permitivităţii electrice cu frecvenţa
(9.4.1) ro=1
2 N v
3o
1−N v
3o
(9.4.2) ro' =
12 K 1/3 K 22o
2
K 222o
2
(9.4.4) x=o
K 2
, K 0=K 1
K 2
● ţinând seama de ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivitatea relativă complexă specifică proceselor de polarizare orientaţională este
● dacă se notează prin K1= Nv o K v / 3)o(0) se obţine
● pentru uşurinţă se notează
(9.4.3) ro' =
K 1o
K 222o
2
Copyright Paul GASNER 15
9.4.1 Spectrul de rezonanţă a permitivităţii orientaţionale
(9.4.5) ro' −1=K 0
1
1x2 , ro' '=K 0
x
1x2
şi atunci
ln 1
’r0
tg ’’r0
Copyright Paul GASNER 16
● analog celor de mai sus, din expresiile polarizabilităţilor electronice şi ionice şi ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivităţile electronice şi ionice vor avea forma:
respectiv
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(9.4.6) re' −1=
K e 0 e2 −2
0 e2 −2 20 e
2 2
(9.4.7) re' '=
K e0 e
0 e2 −2 20 e
2 2
(9.4.8) ri' −1=
K i 0 i2 −2
0 i2 −2 20 i
2 2
(9.4.9) ri' '=
K i0 i
0 i2 −2 20 i
2 2
Copyright Paul GASNER 17
unde:
● relaţiile de mai sus sunt dificil de urmărit şi se impune analiza lor pe benzi de frecvenţă. Datorită similarităţii relaţiilor se va discuta doar cazul polarizării ionice
– frecvenţe mici şi
– frecvenţe apropiate de : , , unde au loc fenomene de rezonanţă pronunţate:
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(9.4.10) K e=N v q2
0 m0 e
, 0 e2 =0 e
2 −K e
3
(9.4.12)
≪0 i
(9.4.13)
ri' ≈1
K i
0 i2 , ri
' '≈0
(9.4.11) K i=N v q2
0 m0 i
, 0 i2 =0 i
2 −K i
3
0 i2 2≪ 0 i
2 −2 2
0 i ≈0 i =0 i−≪
ri , res' =1
K i
2 0 i
20 i
2 /4
Copyright Paul GASNER 18
● prin substituţia
relaţiile de mai sus devin
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(9.4.14)
(9.4.16)
(9.4.15) x=20 i
ri , res' ' =
K i
4 0 i
0 i
20 i2 /4
ri , res' =1−
K i
0 i0 i
x
x21
(9.4.17) ri , res' ' =
K i
0 i 0 i
1
x21
1
0.5
i0~ 2/~
00 ii 2/~00 ii
i0
max,/ riri
max,/ riri
Copyright Paul GASNER 19
– frecvenţe mari şi
9.4.2 Spectrul permitivităţii
(9.4.18)
log
re
ri
ro
log o i0~ e0
~
r
r
≫0 i
0 i2 2≫ 0 i
2 −2 2
ri' ≈1−
K i
0 i2 , ri
' '≈0
Copyright Paul GASNER 20
● planul
● obţinerea unor relaţii analitice simple pentru domeniul microundelor se poate realiza prin considerarea valorilor limită: – permitivitatea totală statică şi
● permitivitatea relativă datorată polarizărilor ionice şi electronice pot fi considerate constante
● atunci permitivitatea relativă este
de unde
9.5 Reprezentări grafice 9.5.1 Semicercul Debye
(9.5.1)
(9.5.3)
(9.5.2)
r=r∞r0−r∞
1 jo
r' ;r
' '
r0=r 0r∞=r ∞
r∞=r∞' =ri
' re' ∈ℝ
r'=r∞
r0−r∞
12o2
r' '=r0−r∞
12o2o
Copyright Paul GASNER 21
r
r 0r r rr 02
1
1 ,
rr 021
● unghiul de pierderi este dat de
● Relaţiile (9.5.2)-(9.5.4) se numesc ecuaţii Debye pentru relaxarea dielectrică
9.5.1 Semicercul Debye
(9.5.4) tan=r
' '
r'
Copyright Paul GASNER 22
● Reprezentările acestor mărimi în planul complex se numesc mai general diagrame Argand. Eliminând în ecuaţiile (9.5.2)-(9.5.3) se obţine
● pornind de la (9.5.1) şi notând
se obţine
9.5.2 Diagrama Argand
(9.5.5) r'−r0r∞
2 2
r' '2= r0−r∞
2 2
(9.5.6) z1=r0−r∞
1 jo
, z2=z1 jo
(9.5.7) r=r∞z1 , r 0−r∞=z1 1 jo =z1z2
tan=∣z1∣∣z2∣=o
(9.5.8)
Copyright Paul GASNER 24
● unui dielectric îi sunt caracteristici mai mulţi timpi de relaxare formând o distribuţie de timpi de relaxare şi în plus pot interveni o serie întreagă de rezonanţe locale chiar ionice sau electronice
● polarizarea poate fi scrisă ca rezultatul unei combinaţii liniare de polarizări parţiale p
0(,t) specifice fiecărui
● unde g(i) este ponderea statistică şi satisface relaţia
● prin generalizare se ajunge la expresia
cu condiţia de normare
9.5.3 Diagrama Cole-Cole
(9.5.9) P0t =∑i
p0 i i , t g i
(9.5.10) ∑i
g i=1
(9.5.11) P0t =∫0
∞
p0 i , t g dt
(9.5.12) ∫0
∞
g dt=1
Copyright Paul GASNER 25
● ecuaţiile Debye devin
● se impune cunoaşterea funcţiei de distribuţie g() a timpilor de relaxare
● K. S. Cole şi R. H. Cole au propus o soluţie empirică pentru r:
unde h este o constantă de material, proporţională cu gradul de libertate internă a moleculelor; variază invers proporţional cu temperatura şi pentru h=0 (9.5.15) devine chiar ecuaţia Debye
● ultima relaţie poate fi scrisă sub forma
9.5.3 Diagrama Cole-Cole
(9.5.15)
(9.5.14)
(9.5.13) r'=r∞r0−r∞ ∫
0
∞ g d 122
r' '=r0−r∞ ∫
0
∞ g d 122
r=r∞r0−r∞
1 j 1−h , 0≤h≤1
Copyright Paul GASNER 26
unde şi reprezintă ecuaţia unui cerc de rază
cu centrul în
● timpul de relaxare poate fi determinat din expresia
unde
9.5.3 Diagrama Cole-Cole
(9.5.17)
(9.5.16) [ 12 r0r∞ −r' ]
2
[ 12 r0−r∞ tanr' ' ]
2
=14r0−r∞
2sec2
=h/2 12r0−r∞ sec
r0−r∞
2,−1
2r0−r∞ tan
0=v /u 1−h
uv 2
=[r0−r
' ]2r' ' 2
[r' −r∞ ]
2r
' ' 2(9.5.18)