A. Mărimi fiziceA.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scăderea vectorilorA.5. Inmulțirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalareA.8. Funcția putere și radicalA.9. Funcții trigonometriceA.10. Derivata unei funcțiiA.11. Funcția exponentială și logaritmicăA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funcțiilor compuseA.15. Funcții vectorialeA.16. Aplicații:

a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor în cazul general

Mărimile fizice

sunt de doua feluri:1. Mărimi scalare2. Mărimi vectoriale

A.1. Mărimi fizice scalare

sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)

Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea

A.2. Mărimi fizice vectoriale

sunt caracterizate de: valoare, direcție, sensExemple: viteza, accelerația, forțaVectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere

obișnuite cu sageată desupra: v

Vectorul este reprezentat de o sageată

Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție

Direcția sa este determinată de dreapta suport

A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c

a

b

c

se face dupa regula paralelogramului:suma a doi vectori este egală cu diagonala paralelogramului având drept laturi cei doi vectori

Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitionează astfel încat originea celui

de-al doilea să coincidă cu capatul primului.Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește

originea primului cu capatul celui de-al al doilea

a

b

c

A.4. Scăderea vectorilora + b = c → b = c - a

b

a

c

este operația inversă adunării și se face astfel încâtvectorul diferentă c să unească capetele celor doi,cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)

A.5. Inmulțirea unui vectorcu un scalar

este operația de multiplicare a vectorului de λ ori

b = a λ

a b

Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sensDacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus

Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direcțiile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit și sistem cartezien:

a=ax+ay

=axex+ayey

Aici am definit vectorii unitari:ex ey

drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1

a

axex

ey

A.6. Descompunerea vectorilor

este operația inversa compunerii

X

Y

ay

Rezulta ca un vector în planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (a x,a y)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y

A.7. Dependenta funcționalăa mărimilor fizice scalare

Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă,definind astfel o funcție de o variabilă.

Reprezentare grafică a funcției într-un sistem decoordonate perpendiculare este dată de mulțimea

punctelor reprezentate de curba: y=f(x)

Funcția inversă: x=f-1(y): este curba simetrica față de prima bisectoare: y=xdeoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc

y=x

A.8. Funcția putere și radical Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr

natural datFuncția inversă radical: y-1(x)=x1/n

prima bisectoare

A.9. Funcții trigonometricedefinite în triunghiul dreptunghic

φ 90o

90o -φ

a (catetă)

b (catetă)

c (ipotenuza)

cossin)ctg(90

abtg

)90sin(cos

)90cos(sin

o

o

o

cacbcateta opusă / ipotenuză

cateta alturată / ipotenuză

cateta opusă/ catata alaturată

Suma unghiurilor înorice triunghi este 180o

Cercul trigonometriceste un cerc de raza 1 în care

unghiurile se masoară în sens orar invers

y

xO A

Funcțiile trigonometricesunt definite ca de obicei:sin φ = AP / OP = APcos φ = OA / OP = OA

Din teorema lui PitagoraAP2 + OA2 = OP2 = 1rezultă: sin2 φ + cos2 φ = 1

φ

sin φ

cos φ

Masurarea unghiurilor în radiani

R

RΔl

Δl

razacercrcului.de.lungimea.aani)unghi(radi

Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel:

360o → 2πR/R=2π180o → π

90o → π/2Numărul irațional π≈3.141593 este egal

cu raportul dintre lungimea cercului și diametru

a. Caz particular: φ=45o

2145cos45sin

caoo

21

4cos

4sin

sau înradiani:

45o

45o

a

a

Teorema luiPitagora:c2 =2a2

90o

c

b. Caz particular: φ=30o si 60o

23

230cos60sin

21

260cos30sin

00

00

babb

23

6cos

3sin

21

3cos

6sin

sau înradiani:

60o

60o

60o 3

0o30o

60o

a

b

b

b

b

ba

bab

3

)2( 222

Folosind teorema luiPitagora în triunghiul

dreptunghic ABC exprimăm latura

a funcție de latura b

Ipotenuza ACeste diagonalăcare se imparte

în doua segmente

egale: c=2bA B

CD

Completăm triunghiul dreptunghic ABC cutriunghiul egal ACD formând dreptunghiul

ABCD

Ecuații trigonometrice simple

)12(1cos21cos

2)12(

20cos

22

1sin

22

1sin

0sin

nn

nn

n

n

n

φcos φ

sin φ

π/2+2nπ

-π/2+2nπ

(2n+1)π

2nπA

B

C

D

A,C

D

B,D

A

C

B

tgαdxdy

ΔxΔy

A.10. Derivata unei funcțiise definește ca limita raportului dintre

variația funcției și variația argumentului

Δx: este variația argumentuluiΔy: este variația funcției,dy: este variația pe dreaptătangenta in x.Observație: Δx=dx

Concluzie:derivata în punctul M(x,y)este tangenta trigonometrică a unghiului α dintre dreapta tangenta la curba în punctul M și axa Ox

dreapta secantă MM 1 la limitadevine dreapta tangentă la M

Exemplu de utilizare a derivațeiCalculul punctelor de extrem (maxime,

minime): y=f(x)

x

0dxdf

0dxdf

unde derivata de ordinul doieste derivată derivatei:

dxdf

dxd

dxfd2

2

funcțiacrește

funcțiascade

derivata scade,deci derivatade ordinul doieste negativă:

0

1

dxdC

nxdxdx n

n

Derivarea funcției putere

xdxdx

xΔxxΔx

xΔx)(xΔxΔy

Δx

2

22

2

0

22

In cazul generalFuncția putere y(x)=xnse derivează dupa formula:

Caz particular: pentru n=0obținem o constanta y(x)=C

Caz particular:y(x)=x2

Observație: n poate fi oricenumăr real pozitiv sau negativ

Produsul dintre o constantăși o funcție se derivează astfel: dx

dfCdxCfd

)(

Derivata sumei de funcții este: dx

dgdxdf

dxgfd

)(

xx

edxde

A.11. Funcția exponentialăsi logaritmică

Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca bazaa funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția:

sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimieste egală cu marimea însăși în fiecare punct x.

Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey )se mai numește logaritm natural .Derivata funcței inverse se calculează astfel:

xedyde

dydxdx

dydxxd

yy

1111ln

Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828

Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x)

Argumentul funcțieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !

Valori particulare

0ln01ln0

10

e

e

Operații cu exponențiale si logaritmi

nxnx

yxyx

xx

e)(e

eee

eex

lnln

xnx

yx(xy)eeeexy

n

yxyx(xy)

lnln

lnlnln

lnlnlnlnln

axxax e)(ea lnln exex ax

aa loglnloglog ln

Schimbarea bazei cu numarul real a>0

Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale

Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază

Logaritmul zecimal

n

...n

10lg

310lg

210lg

110lg

3

2

n

....

.

.

-n

10lg

310lg0010lg

210lg010lg

110lg10lg

3

2

1

4343.0lglglnlglglog ln

10

eexexx x

Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,

care se poate calcula folosind logaritmul natural:

Urmatoarele relații sunt utile:

Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul

zecimal:

3026.210ln10lnlg10lnln lg

xx x

A.12. Numere complexe

1

sincos

i

)ir(ibaz

sincos

22

rbra

bar

Un numar complex este definit asfel:

Numarul i se numește unitate imaginară.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)având mărimea (denumită și modul) rși formând unghiul φ cu axa X

a

b

z

φ

r

abtg

A.13. Formula lui EulerUn număr complex având modulul r=1

poate fi reprezentat de relația de mai jos,care poartă numele de formula lui Euler

iπeiπ)(-e- iπ

ln1ln1

Formula permite definirealogaritmului din numere

negative

Importante sunt urmatoarele

cazuri particulare:

1

2/

iπ

i

e

ie

sincos iei

Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elvețiana

care a trăit în St. Petersburg (Rusia)

iei

)1ln(

1

Derivarea funcțiilor trigonometrice

poate fi facută folosind formula lui Euler

cossin)sin(cos)(

)sin(cossincos

iii

ieiddei

ddei

dd

ddi

dd i

ii

Identificand partea reala și cea imaginarăobținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și

cos

)2

cos(sincos

)2

sin(cossin

dddd

)2

sin()2

cos()

2(

2

ieeeiii

sau egalitatea echivalenta:

Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zși a funcțiilor trigonometrice crește cu

π/2

iez )

2(

ie

ddz

φ

φ+π/2

Relațiile trigonometricepot fi deduse în mod simplu

folosind formula lui Euler

)sincoscos(sinsinsincoscos)sin)(cossin(cos)sin()cos(

)(

iiii

eee iii

sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(

Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem:

cossin22sin1cos2sin21sincos2cos 2222

Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2 α+cos2 α=1):

A.14. Derivarea funcțiilor compusef(x)=f(g(x))

se face înmulțind și împarțind cu dg:

dgdf

dxdg

dxxgdf

))((

Exemple

xxdxdg

dgdg

dxxdxggf

xxdggd

dxdg

dxxdxggf

cossin2sinsin;

cos2sinsin;sin

222

22

2

A.15. Funcții vectoriale

a. Vectorul dependent de timppoate fi considerat ca o funcție vectorială

dependentă de un scalar (timpul)Exemplu: vectorul de poziție r(t)

este un vector cu originea fixă, al cărui capăt se mișcă pe o curbă numită traiectorie

r(t)

b. Funcția de două variabilepoate fi considerată o funcție scalară, care

depindede un vector bidimensional, definit

de cele doua coordonate (x,y)

Reprezentare grafică a funcției de 2 variableeste suprafața z=z(x,y)=f(x,y)

Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data

A.16. Aplicatiia. Compunerea vectorilor perpendiculari

F 1 (cateta)

F 2

(cateta)Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F 1=3 si F 2=4

Conform teoremei lui Pitagora:Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor

catetelordeci marimea rezultantei este:

52516922

21 FFF

F (ipotenuza)

b. Compunerea vectorilor în cazul generalse face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul

dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC.Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2

F 1

F 2

F

OCA

B

φ φ

F 2cos φ

F 2sin φ

cos2

)sin(coscos2

sin)cos(

212

22

1

222221

21

222

221

2

FFFF

FFFF

FFFF

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem: