Dan ZAHARIAMaria ZAHARIA

Solufllle testelor de autoevaluarepot fl consultate la adresa:

http://www.editu rapa ralela45. roldownload/sol utii-teste-de-autoevaluare

-consolidare-clasa6-sem 2_201 7,rar

ilx0[rtx00m0ff10

Glmrtrul-ilanGa a ll-aedi[ia aY-a, revizuitd

mrr 1000*00nmllilur

€uprins

AEITMDTTeA, *pCrunNIErpitelul l, RAflOARTfi $I pflOp0flTtt,,,,,,,, .,,..,.,....,,,..,.,,,,5

1, Rapoerte ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,52. Proeentc,, ,,.,,.,,...,,....113, Propo{ii,,...,,,,,..,.,.,!..., ,,,,,,...,,,,,,,.15Probleme de matcmatiedaplieatdlnviala eotidian6.,.,, ,,,,,,,,,,.19Reeapitulare qi sistematizare prin teste ,..,,......, ,,,,,,,,..,.,..,,,,,,,,21Test de autoevalaare ,,,,,,.,,,,,,,,,,,,,,,.23

crpirslul tL MARtrMt pR0p6flTl0tA[ff.... ,,,,,,.,.,",,,.,,,,,,,2s1, M6,rimi direet propo{ionale ,,,,,,,.,, ,,..,,,.,,,,,,,,.,252, M6rimi invcrs propo{iona1e.,..,,.. ,,,,,,,..,,,,,,.,,,,27Reeapitulare gi sistematizare prin teste ,,,,,,,,,,,, ,..",,,,,,,,,,,,,,,,,..32Probleme de matematied, aplieatdlnvia[a sotidian6.,.., ...,,,.,..,33

fiL$M[ilT$ B[ gEGATffiANE A DATSLOR' RSfNEfif;TTARSADATSIoR pRlN 6EAFI€[....,...,.,,. ,,,...,...,....,.,3s

Test de autoevaluare .,,.,..,............,..39

€epitslulfit, tuM[Rs ittruet,.. ..,,...,......,.".411. Num[r tntreg. Mullimea numerelor intregi. Opusul unui num6r tntreg.Reprezentarea pe axi a numerelor lntregi ,,,..,.....412, Modulul unui numlr lntreg. Compararea gi ordonarea numerelor tntregi.....,,.. .......,.,46Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ ...,...................50Test de autoevaluare ........,,.,..,,.......51

opffEATlt €u tuM$n$ irtnret... ..............53l, Adunarea numerelor intregi. Sc[derea numerelor lntregi ..................,.,..532. Propriet6tile adundrii numerelor intregi .....,....56Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ......................,59Test de autoevaluare .......................613. inmullirea numerelor intregi. Propriet6!i... ......634. Impdrfirea numerelor intregi .......685. Multimea multiplilor unui num[r 1ntreg.......... ,.....,...........,.71Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ................,.".,,.73Test de autaevaluare ..."................".,756. Mullimea divizorilor uuui numdr intreg.,........ ,,,,,,,,,,.,,.",,,",777. Puterea unui numdr intreg eu exponent numEr natural. Reguli de caleul cu puteri.....808. Ordinea efeetu6rii operaliilor gi folosirea parantezelor .......85Reeapitulare gi sistematizare prin testc ........,.,. ...,...,.............,.88Test de autoeyaluare ..,.,,.,.,.............89

IEUATIL TNfi6UATTT, PROilLffMfi 6AflS SE flS''OtVA CU AiltJtOflUtticuATfitoR....,,,,,.:... ..,..,..,....,.......er1. Rezolvarea unor eeuafii ln mulgimea numerelsr lnuegi ......,...,,..,. .,,,.........,912, Rezolvarea unor ineeuafii tn mulfimea numerelor intregi,........ ....,....,....953. Rezolvarea problemelor eu ajutorul eeualiilor ........,,,,,...,...98Rccapitulare gi sistematizare prin teste ..,,,....... ........,.,....,.....101

Probleme de matematicdaplicatd"inviala cotidian6..... .........102Test de autoevaluare .....................105

GbOMhfETE

Cepitolul l, ptuRFbirDlet;LAfliTAt[t ...........107l. Aria unui triunghi (intuitiv pe retele de p6trate)... ........,....1072. Drepte perpendiculare. Distan{a de la un punct la o dreapt6. Oblice ........................1 I I3. lnillimea ln triunghi; concurenla indllimilor unui triunghi.......................................1 14

4. Congruenla triunghiurilor dreptunghice............. ...............1 16

5. Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi. Constructia bisectoarei unuiunghi cu rigla pi compasul. Concurenfa bisectoarelor unghiurilor unui triunghi ..........1196. Mediatoarea unui segment. Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segmen!construcfia mediatoarei unui segment cu rigla negradatf gi compasul. Mediatoarelelaturilor unui triunghi; concurenla mediatoarelor laturilor unui triunghi......................1227. Simetria fald de o dreapt6..... .....125Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ...............,.....128Test de autoevaluare .....................131

tapituiul ii, pAflAtufr,Lt5rtt. . ..... .....................133l. Unghiuri determinate de doub drepte cu o secant[ ............1332. Drepte paralele. Criterii de paralelism. Construcfia unei drepte paralelecu o dreaptl da15............. ...............1343. Axioma paralelelor. Tranzitivitatea relaliei de paralelism ....................1364. Unghiuri determinate de doud drepte paralele cu o secantd ..................1375. Paralele intersectate de paralele. Linia mijlocie a unui triunghi (oplional)...............138Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .....................143Test de autoevaluare .....................145

crpftuiul trr, ffRupfltftifATt ALE TRttiNtil{tuRit0R ................ ....r471. Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi.Teorema unghiului exterior....... ....1472. Mediana in triunghi; concurenla medianelor unui triunghi.......................................1503. Propriet6file triunghiului isoscel (unghiuri,linii importante, simetrie).....................1534. Proprietlfile triunghiului echilateral (unghiuri, linii importante, simetrie) ...............156

5. Propriet6lile triunghiului dreptunghic (catetd opusd unghiului de 30o; medianacorespunz[toare ipotenuzei - teoreme directe qi reciproce) ......................1586. Relalii intre laturile qi unghiurile unui triunghi (oplional) ....................163Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................166Test de autoevaluare .....................167

1146trfrLfi fft ttufrft sftiMtisfRlAlti....... ... ......................16e

MUfifuLfr flft tfuStT }'tNALfi ...,173

pRUtiLtuMr fl rfr f frtu pflft EATtRft A 86fr EUfl$UfiItOR $cCItAflii .............. 1 82

lfrfitCAtll $i frA3PtlfrStrflI ......... .................187

Aritmeti*ffi. Ailgebrffi

Capitolul IRapmarte gi prmpoffil*

@ Competen{e speeifice

ldentificarea rapoartelor, procentelor gi proporliilor in enunfuri diverse

Reprezentarea unor date sub forml de tabele sau de diagramestatistice in vederea inregistrdrii, prelucrdrii gi prezentSrii acestora

Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelortn care intervin rapoarte, procente, propo4ii

Analizarea unor situalii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor

Cs. Rezolvarea cu ajutorul rapoartelor gi propo4iilor a unor situalii-probleml gi interpretarea rezultatelor

Cz.

Cr"

C+.

m 1" Rapoarte

1"1. Raport

Raportul adoudnumere agibcuD * 0 este cdfiila: b gi se noteazd {. Numerele a qib

b se numesc termenii raportului.

Ohservaqii:I. Raportul mlsurilor a doui mdrimi de acelagi fel se face dupd ce mirimile se mlsoar[

cu aceeagi unitate de m[sur6. Acest raport nu depinde de unitatea de mdsurd folositI.2. De multe ori se defineqte raportul a doud m6rimi care nu sunt de acelaqi fel. De

exemplu, viteza unui mobil este raportul dintre distanla parcurs6 de acesta qi timpul incare mobilul parcurge distanla respectivS.

1.2. ProbabilitateNumim probabilitatea realizdrii unui eveniment I raportul dintre num[ru] cazurilor

favorabile realizdrii evenimentului gi numdrul cazurilor posibile ale experienlei.

C'I

F-{

(,(,i4o\)lci.9+(,Eq)#o€

tXBmplUf intr-o cutie sunt 5 bile albe gi 2 negre. Mihaela extrage o bil6 la intimplaredin cutie. Care este qansa (probabilitatea) ca bila extras6 si fie albS? Care este probabi-Iitatea ca bila extrasi si fie neagr6?

a)P"(A)=i $ r,@)=|.

1,3, Tltlul unulelle,Numim titlul unui aliaj raportul dintre masa metalului prefios qi masa aliajului:

EXemplUt U, aliaj con{ine 812 g aur qi I188 g cupru. Care este titlul aliajului?Rezolvare: Masa aliajului este M:812 + 1188 = 2000 (g), masa aurului este

m: 8129, iar titlul aliajului este I = 3 = ::?^ =0,406 ." M 2000

{,4, Gonmntrdlld un€i sCIlutilNumim concentrafia unei solufii raportul dintre masa substanfei care se dizolv6 gi

masa solufiei.

[XemplUi intr-un vas se afl6 o solufie de sare in apb. Masa solufiei este de 120 g, iarcea a s5rii de 9,6 g. Care este concentrafia solufiei?

masa substanteiRezolvare: Concentrafia = :9'6 - 96

= o.o8 .r20 1200masa soluliei

EoI

H

C'c,vtoolsi.9oEq,

E'

=J..iixal

6

1,8, 3rarfr unul d€uenFie A qi B dou6 localitiiti reprezentate intr-un desen (harti). Raportul dintre distanfa

m6surati pe desen intre cele doul localit6ti qi distanfa m6suratil in teren (in realitate) este

scara desenului gi not[m:

a a I octivit6ti de ?nv6tore I I I

{ 3 Lungimea unui dreptunghi este de 8 m gi li{imea de 2 m. Completati:a) Raportul dintre lungimea gi litimea dreptunghiului este ...; acest raport aratii cd

lungimea este de ... ori mai mare decdt l6{imea. Altfel spus, lStimea dreptunghiului este de... ori mai mici decdt lungimea.

b) Raportul dintre lEfimea gi lungimea dreptunghiului este .... Acest raport aratE cd161imea este ... din lungirne.

ft O HdiF cu fructe cdntdregte 17 kg.a) CAfi va cdntiri o alt6 l6dip cu fructe, de trei ori mai grea dec6t prima?b) Care este raportul dintre masa primei l5dite qi masa celei de-a doua lddde?c) Care este raportul dintre masa celei de-a doua lidife qi masa primei hdite?

f. Calculati valorile rapoartelor de numere:

b) 12 si t44;

Ae) 2,1(3) 9i -

fs Calculati valoarea raportului dintre:a)24 m qi 12 km;

Q 25!m2 qi 102 ha;

b) 17 dm gi 1,7 hm;

d)2,(3)dm3 gi 0,(3) m3;

e) 3 h qi 20 minute qi I h 9i 40 minute.

f, intr-o cutie sunt 6 bile albe gi 4 bile rogii.a) Care este probabilitatea de a extrage o bil6 alb6?b) Dar una rogie?c) Care este probabilitatea de a extrage o bild care sd fie rogie sau alb6?

f,1Arunc6m \n zar. Care este probabilitatea apariliei fetei cu gase puncte? Dar a unei fetecu un num6r par de puncte?

11In penarul Mihaelei sunt 3 creioane galbene gi 2 albastre.a) Care este probabilitatea ca,ludnd un creion la int6mplare, acesta sE fie galben?b) Dar albastru?

fl Dintr-un lot de 40 de piese, 2 sunt defecte. Care este probabilitatea ca ludnd laintAmplare o pies6 ea sd nu aibb defect?

0r O um6 contine 20 de bile identice notate cu numere de la I la2}.Dinurnd se extrage laintdmplare o bil6. Care gans[ este mai mare: sd extragem o bil6 numerotat6 cu un p6tratperfect sau sI extragem o bil6 numerotatd cu un numSr prim?

{lsintr-un sac sunt ll bile rogii, T bile negre, l2bile albe qi 10 bile galbene. Care este

probabilitatea ca extrdgdnd o bil6la intdmplare ea si fie:a) alb6; b) rogie; c) neagrd sau galben6; d) albd sau rogie sau galbenl?

{{;intr-un top de h6rtie sunt 26 de coli de matematici, 15 coli de dictando qi 30 de colide hdrtie albd,. Care este probabilitatea ca extrdgdnd la int6mplare o coalS ea sE fie dematematic6?

llr Ce cantitate de argint se afl6 in 800 g de aliaj cu titlul de 0,375?

{3, Se face un aliaj topind la un loc 16 g aur c1234 g cupru. Care este titlul aliajului?

{|5 Se topesc la un loc 200 g de aliaj cu titlul de 0,480 cu 300 g de aur ptu. Care va fititlul noului aliaj obfinut?

lI*Un aliaj de platind are titlul de 0,800 qi contine 1968 g de platini purd. Aflali masa

aliajului.

{$sConcentralia de sare dintr-o solufie este de 171100. Ce cantitate de sare se gdsegte in2,75 t de solutie?

lf5 Completati urmdtorul tabel:

Scara Corespondenta intre distanteI : 1.000.000 la cm oe desen corespund ... km in real tate

I :250.000 la cm oe desen coresound ... km in real tatel:20 la cm oe desen coresound ... km in real tate

5:1000000 la cm oe desen coresound ... km in real tate

a) 120 9i 30;

d) 0,(2) 9i 0,(3);

q ,:qi r];

oIHoovtoG)o.9+oEq)

o

=

7

{8, Distanla Bucuregti - Baia Mare este de 594 km. Distanla pe o harti este de 4,5 cm.

a) Determina{i scara h6rfii.b) $tiind cE distanta Bucureqti - Bac6u este de 304 km, cdt mdsoard pe hart5 aceast6

distanfn?c) $tiind cI

distanfa real6.pe harti distan{a Bucuregti - Turnu-Severin este de 2,6 cm, calcula{i

trl0r Num[ru] a este de 3 ori mai mare decdt numirut a si ] Ain numdrul c. Afla{i:'4

a) raportul dintre a gi b;I

c) raportul dintre 3 9i -'4'e) de cdte ori este mai mare c decdt b; f) a cita parte din c este b.

10, Raportul dintre diametrul Lunii 9i diametrul Plm6ntului "rt. l. Raportul dintre11

diametrul Soarelui gi diametrul Pdmdntului ".1"

108. Afla{i raportul dintre diametrulI

Lunii 9i cel al Soarelui.

llr Mihai se pregitegte si meargl la un concurs de matematic6 gi pentru aceasta rezolvd

intr-o lund 1 ainnum5rul de probleme , iar adoua lun6 restul. Calculafi raportul dintreaJ

numirul problemelor rczolvate gi num5rul problemelor ce urmeazd a fi rezolvate daci

b) raportul dintre a gi c;

d) raportul dintre c Ai D;

Mihai avea derezolvat:a) 60 de probleme; b) 102 probleme.Ce observatii puteti face?

ll, Se consider6 un punct M pe segmentul lABl. $tiind c[ AB = l0 cm Si AM = 2 cm,calculafi valoarea rapoartelor:

.MBa)

-:, AM,

MA MA APa) _.. MP' AP'MP'.. NB NB PBb) _.

PN BP PNCe observafi?

b\W:, AB..AM

c)

-.,AB

(,I

l{

oovtoGri.9oEq)+c,

=

30. Se consider[ doud pdhate cu lungimile laturilor de 3 cm gi respectiv 9 cm.

a) Calculati raportul perimetrelor p6tratelor.b) Calculafi raportul ariilor pdtratelor.

E{, Raportul ariilor a doul pitrate ..r. }. Calcula{i raportul perimetrelor pdtratelor,4respective.

fS, Se consider6 un triunghi MNP qi pe laturile MP qi PN se iau punctele I gi B astfel

incdt MA : 3 cm 9i NB : 5 cm. Daci MP : 9 cm qi PN : 15 cm, calcula{i:

A

l$n Care este probabilitateaca, inlocuind la int6mplare pe.r cu o cifr6, numdrul 3.r4 sE fie

divizibil cu:a)2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 10; f)9?

l?t intr-o um5 sunt 45 de bile numerotate de la I la 45. Care este probabilitatea ca

extrigdnd un numdr el si confini cifra3?l0r Care este probabilitateacaaruncdnd doud zaruri si oblinem o dubl[?

l9t Care este probabilitatea ca, aruncdnd doul zaruri, si obfinem dou6 fe,te insumAnd

7 puncte?

30= La Tombola Mir,tiqorului,2175 de bilete au fost cump6rate de femei,3700 au fost

cumpdrate de b6rbali gi 125 au fost cumplrate de copii. Care este probabilitatea si fiecdgtigdtor un copil?Stlr intr-un vas se afld l2litri de solufie de apd cu sare avdnd concentra{ia de 8%. Prin

fierbere, dupi 5 ore s-au evaporat 4 litri de ap6. Care este concenfiafia solu{iei rdmase in vas?

3tr Pe o hart6 figureazd gradatia din figura al6turat['Care este scara he4ii?

3-Qr a) Scara unui desen este I : 42. Care este distanla real6 ce

corespunde pe desen unei distanfe de 4,7 cm?

b) Scara unui desen este I : 500. Care este distanfa pe desen ce

real6 de 12 m?c) Un desen realizatla scard reprezinti doud obiecte Or $i Oz. Obiectul 01 are lungimea real6

de 6 rn, iar pe desen are lungimea de I ,2 cm; obiectul 02 axe pe desen lungimea de I ,6 cm.

1) Care este scara desenului?2) Care este lungimea real6 a obiectului O2?

SG Se topesc impreun6 un aliaj ,4 din aur gi araml cu titlul 0,700 cu un aliaj B tot din aur

qi aram6 cu titlul de 0,820. Aflafi titlul noului aliaj in urmdtoarele situalii:a) c0nd din I se iau 4 ggi din B tot 4 g; b) c0nd din I se iau 3 g 9i din B 6 g.

fi$r Se topesc la un loc 20 galiaj cu titlul de 0,825, 15 g aliaj cu titlul de 0,620 9i 12 g

aliaj cu titlul de 0,900. Ce titlu va avea noul aliaj obfinut?

trQS' Dintr-un aliaj cu titlul de 0,850 se iau 12 g. Cdte gmme trebuie luate din alt aliaj cu

titlul de 0,650 pentru a se obline prin topire un nou aliaj cu titlul de 0,710?

Q?, Un aliaj cu masa de 30 g qi titlul de 0,870 se tope$te cu alte doul aliaje de mase egale,

unul cu titlul de 0,880 gi altul cu titlul de 0,790. Se obfine un nou aliaj cu titlul de 0,850.

Care este masa aliajului ob{inut?

S8' O solufie de sare (dizolvatd in ap6) c6ntdreqte 25 g. Concentra{ia soluliei este de

Cdtd ap[ hebuie sd adiugdm pentru a obfine o solufie de concentralie

I' in doud vase se afl6 solulii (o1et + api). Concentralia solu{iei din primul vas este

lcmAF---f---F--f--t----r\*------Y'------

200 km

reprezint[ o distan]5

9

10

J-:)5

3t20

oI

F{

(,c,vtclGd(,{aoE6).F(,

=

9

iar a celei din al doilea "st" 1. Se amestec d lO L de solufie din primul vas cu 4 / solulie

5

din al doilea vas. Care este concentralia soluliei obfinute?

l0r Stiind "e?:0.5.calculur' 2a+3b

.' 5b ' 8a-4b

llr DacI | : OJ61,aflali valoarea raportului

"!* Etapa locald, Dolj

lir Dacd a, b, c suntnumere naturale U, i=*=9 , ardtali cd a . b+ c este pltrat perfect.

Concursul interj udelean,, Grigore Moisil ", Oradea

43r Determinali numerele de forma abc astfelincat f=i{4r Stiind ,u5a+3b =52.calculati 9.' 3a-b b

llr Se considerd numerele: a : I + 2 + 3 + ... + 2Ol3$i b = 2 + 4 +6 + ... + 4026.Calculafi:

a) raportul dintre a gi b;b) raportul dintre suma gi diferenta numerelor b gi a.

i6r Se considerd egalitalile i=# ,i t=i,unde c, b qi c sunt numere naturale.

a) Arltafi cd,4 divide a.b) G6siti toate tripletele (a, b, c) care verific[ simultan relatiile din enunt.

prof. Cerasela Bociu

C?r gtiind ca J==+=-c - ;i Z+1*7 = 81, calculali(a + b + d: !.'a+2b+5c+7abc'27

4r* se dau numerele: prof simona Pop' prof' vasile $erdean

101s0

2.(3+32 +,.+32e\a) Ardtati cdx<1.b) Comparati numerele x giy.

lBr Afla1i numerele rafionale pozitive a, b, c,stiind c[ t=I, *= i ur'H=';,;;prof, Dorin Lin1, Maranda Linl, Deva

a + 8loMx=ffi'4€N'$i-Y=

oI

F{

ctC'UtC,oxi.gclEo,EI-

=-;il-

10