Eforturi i diagrame de eforturiEforturile sunt ntotdeauna asociate unei seciuni prin cmpul solid i reprezint msura solicitrii seciunii,acestea sunt n numr de ase sau pentru un cmp n plan,n numr de trei.Eforturile din seciune descriu i din punct de vedere fizic solicitarea acesteia i a cmpului: fora axial descrie ntinderea sau compresiunea,forele tietoare efectul de forfecare,momentele ncovoietoare,efectul de ncovoiere i momentul de torsiune,efectul de rsucire al corpului solid. Pe de alt parte,eforturile sunt fore interioare corpului solid,spre deosebire de aciuni sau reaciuni,care sunt fore exterioare,ntruct acioneaz pe suprafaa exterioar a corpului.Fiind fore interioare,eforturile nu se vd,ele trebuiesc imaginate,ns sunt fore fr de care nu se poate realiza proiectarea unui corp aflat sub aciunea ncrcrilor i reaciunilor.Acestea ntruct proiectarea unui corp solid,sau a unei construcii,nseamn cunoaterea parametrilor geometrici i fizici ai acestuia(dimeniuni,material).Aceast investigaie matematic trebuie fcut att pentru fiecare punct al corpului,ct i pentru fiecare seciune,n scopul determinrii acestor parametrii. Eforturile sunt aadar fore interioare care,aa cum am vzut,realizeaz echilibrul corpului obinut prin secionare.Prin secionarea corpului solid se obin dou seciuni: eforturile pe fiecare sunt egale,dar au sensuri contrare,ntruct pe baza Principiului aciunii i reaciunii,aciunea unei jumti de corp,rezultate prin secionare,asupra cellalt este nsotita de reaciunea celui din urm,egal i de sens contrar,asupra primului.Eforturile pot fi vzute deci i ca msura aciunii unei jumti de corp secionat,asupra celeilalte,sau ca msura reaciunii celei din urm asupra primeia. Pentru a gsi eforturile dintr-o seciune,vom foloi aadar condiia i ecuaiile de echilibru ale oricrui dintre cele doua corpuri obinute prin secionare,eforturile din cele dou seciuni fiind egale ca mrime,dar de sens contrar.Dac vom determina eforturile din fiecare seciune,vom putea reprezenta,pentru fiecare din cele ase eforturi,cate o curb de variaie a mrimii i sensului acestuia,numit diagram de efort.Orice corp are ns o infinitate de seciuni poibile,deci la urm aceast cale va duce la un process nesfrit.A face seciuni i a foloi ceea ce se numete metoda seciunilor,pentru a determina eforturile din cteva puncte ale corpului,reprezint totui o informaie necesar,ntr-o oarecare msur,pentru caracterizarea strii de solicitare a corpului.Acest procedeu de secionare a corpului trebuie nsa completat de un altul,care s permit extrapolarea rezultatelor obinute pentru o seciune,la mai multe seciuni vecine. Realizarea diagramelor de eforturi pentru un corp solid este cu att mai dificil cu ct modelul fizic al acestuia este mai complex.Astfel pentru modelul fizic de bloc sau modelul fizic de plac,trebuiesc rezolvate ecuaiile difereniale care descriu aceste modele,ns pentru modelul fizic de bar diagramele de eforturi se determin fr un calcul att de laborios.S ilustrm aadar cele prezentate anterior pentru modelul de bar! Pentru modelele de plac i bloc,foloirea metodei seciunilor i echilibrului prilor rezultate prin secionarea corpului,rmne un instrument la ndemn,nsa trasarea diagramelor de eforturi va fi completat n capitolele urmtoare. Se consider un corp solid avnd o dimeniune mult mai mare dect celelalte dou,pentru care se poate foloi un model fizic de bar.Acesta se afl n echilibru sub aciunea forelor i momentelor forelor date de aciuni i reaciuni.Dac izolm un corp de lungime infinitezimal,obinut prin secionarea corpului iniial cu dou planuri de seciune foarte apropiate,acetsea va trebui s fie la rndul lui n echilibru,sub aciunea forelor i momentelor date de aciunile de pe corpul iniial i de eforturile din cele dou seciuni realizate.

Fig? Eforturile pe un corp infinitezimal al unui model de bar. S observm c pe corpul infinitezimal acioneaz ncrcri provenite de la ncrcrile corpului iniial i care sunt distribuite pe aceast lungime infinitezimal.Acestea sunt reprezentate cu sensul lor pozitiv i sunt notate cu litere mici,pentru a distinge ntre fore concentrate ntr-un punct(litere mari) i fore distribuite.Prezena acestor ncrcri infinitezimale date de aciuni,face ca eforturile din seciunea din dreapta s fie diferite de cele din seciunea din stnga ale corpului infinitezimal; acesta este impus de condiia de echilibru al corpului. Scrierea celor trei ecuaii de echilibru,pentru corpul infinitezimal in plan,conduce la urmatoarele relaii:

ntruct reprezint o cantitate neglijabil. ntruct corpul infinitezimal este dat de dou seciuni foarte apropiate,se impune condiia la limit x0,deci vom obine:== =i ecuaiile difereniale:= == - (x)n care am artat c fiecare este o mrime care depinde de poziia x a seciunii alese: n fiecare alt seciune,vom arta alte eforturi.Aceste relaii difereniale leag fora axial i fora tietoare de ncrcrile distribuite avnd direcie orziontal ,sau vertical y,dar i momentul ncovoietor ,de fora tietoare i de ncrcarea momentului distribuit mz. Se cunoate c numai o funcie continu este diferenial pe domeniul de definiie,aadar aceste relaii difereniale nu pot fi aplicate dect pe domeniile de continuitate ale ncrcrilor,, i respectiv al forei tietoare . Folosirea acestora are avantajul c permite determinarea varietii eforturilor pe domeniile de continuitate aminitite,fr a fi necesar realizarea unei seciuni n fiecare punct al acestui domeniu.De aceea,metoda seciunilor se va folosi doar n capetele domeniului de continuitate,n punctele de discontinuitate,n timp ce ntre acestea variaia eforturilor va fi dat de relaiile difereniale anterioare. Pentru a nelege modul de aplicare al metodei seciunilor i al ecuaiilor difereniale,pentru determinarea diagramelor de eforturi,s considerm un corp static determinat ndeplinind criteriile pentru modelul fizic de bar.

Fig? Modelul real i modelul fizic de bar(diagrama corpului liber de legturi)Vom considera un sistem de referin global avnd originea n punctul A,, i sisteme de referin locale xoy,pentru fiecare corp.Se observ c ncrcrile i reaciunile de pe corp sunt continue pe urmtoarele intervale(subcorpuri): pe corpul BC ncrcarea vertical este constant i este data de o funcie continua pe acest interval,pe corpul CD ncrcarea este nul,la fel ca i pe corpul DE.Aadar pe intervalul BC,CD i DE vom putea folosi ecuaiile difereniale,iar n aceste puncte vom folosi metoda seciunilor.n prealabil ns,trebuie determinatp diagrama corpului liber de legturi i reaciunile din punctul E.

S lum pe rnd fiecare corp,avnd ncrcrile funcii continue.Corpul BC va trebui s fie n echilibru sub aciunea ncrcrilor i a eforturilor din seciunea C.

Fig? Diagrama corpului liber si diagramele de eforturi pentru corpul BC. Folosind ecuaiile de echilibru,eforturile din seciunea C vor fi:

n seciunea B valorile acestor eforturi vor fi reale . Un alt aspect important este folosirea sistemului de referin local al fiecrui corp xoy.Eforturile calculate vor trebuie interpretate n acest sistem.De aceea,dei aciunile i reaciunile sau forele exterioare,ca i dimensiunile corpului,pot fi evaluate i nelese ntr-un sistem global de referin,eforturile vor trebui interpretate ntotdeauna ntr-un sistem local,innd seama de sensurile fizice ale acestora:este pozitiv fora oscil de ntindere,fora tietoare care determin o rotire n sens ? a corpului i momentul ncovoietor care produce ntinderi la partea de jos a corpului. Cum variaz aadar fora oscil ntre punctele B i C,deci ntre valorile 0 i 0? Am spune c este constant.avnd valori reale n orice seciune.Dar acesasta,poate fi dovedit numai folosind ecuaii difereniale corespunztoare: .Cum ncrcarea ,avnd direcie orizontal,este nul pe lungimea acestui corp ,fora axial pe acest interval va fi o funcie constant prin integrarea ncrcrii:

Se obine o funcie constant.n schimb,forta tietoare ntre punctele B i C va avea o variaie liniar,ntruct ncrcarea este o funcie constant Aadar:

n cazul momentului ncovoietor,ncrcarea moment distribuit este nul,deci pentru determinarea variaiei acesteia trebuie integrat funcia forei tietoare .Se observ cu uurin c momentul ncovoietor va fi o funcie parabolic,de ordinul doi,doar cu valori negative ntruct derivata acestuia,fora tietoare,este o funcie care nu se anuleaz pe acest interval..Pentru a determina efortuile pe corpul CD va trebui s considerm o seciune nainte de punctul D,dar foarte aproape de acesta,ntruct este nevoie ca ncrcrile s fie funcii continue pe acest domeniu.Eforturile din seciunea C de pe corpul BC,determinate anterior,vor fi considerate cu sensuri contrare n seciunea C a corpului CD,pe baza Principiului aciunii i reaciunii.Aadar corpul CD va trebui s fie n echilibru sub aciunea ncrcrilor i a eforturilor din seciunile C i D. Acest corp infinitezimal va trebui s fie la rndul lui n echilibru.Fig? Diagrama corpului liber i diagramele de eforturi pentru corpul infinitezimal din punctul D Cele dou seciuni foarte apropiate vor fi denumite cu-la dreapta seciunii D,considernd sensul pozitiv de parcurgere dat de axa Ox- sau cu.Din scrierea ecuaiilor de echilibru rezult:

ntrucat cele dou seciuni care delimiteaz corpul infinitezimal sunt foarte apropiate momentele date de forele de pe corp vor fi neglijabile,motiv pentru care n ultima ecuaie .Aadar se poate oberva c prezena forei concentrate de 50KN n punctul D a dus la o discontinuitate doar in diagrama forei tietoare.Cu alte cuvinte,prezena unei fore concentrate sau a unui moment concentrat,va genra o discontinuitate doar n diagrama efortului care are aceeasi direcie cu aceast for sau momentul concentrat. Mai mult,aceast discontinuitate,sausalt n diagram,va avea ntotdeauna mrimea forei sau momentului concentrat i va fi n acelasi sens cu acesta(n cazul nostru n sens negativ al lui y). Pentru ultimul corp,DE,nu se rmne dect s verficm echilibrul,ntruct eforturile din cele dou capete ale domeniului sunt cunoscute.

Fig? Diagrama corpului liber i diagramele de eforturi pentru corpul DE. Condiiile ecuaiilor de echilibru date de proiecia forelor pe Ox i Oy este usor verificabil,iar pentru ecuaia de momente ale forelor vom scrie:

motiv pentru care corpul DE se afla n echilibru.Diagramele de for axial si de for tietoare vor indica funcii de valori constante ntruct att ncrcarea orizontala ,ct si cea vertical ,sunt nule pe tot domeniul considerat,iar diagrama de moment ncovoietor va arta o variaie liniar,ntrucat fora tietoare este constant i ncrcarea momentului distribuit este nul. Folosind acest procedeu se pot determina diagramele de eforturi pentru orice corpuri solide avnd o dimensiune mult mai mare dect celelalte dou(model fizic de bar).n final,se caut seciunea care are eforturile cele mai mari(cel mai mare nivel de solicitare)care se numete seciune critic.Dimensionarea sau verificarea acesteia este suficient pentru dimensionarea sau verificarea ntregului corp.n cazul nostru,seciunea critic este seciunea E dac se ine seama de momentul ncovoietor,sectiuni C dac se ine seama de faa tietoare,iar pentru fora axial se consider tot seciunea E,ntruct acesta are i momentul ncovoietor cu valoare maxim,dei toate seciunile ntre C i E au for axial maxim.n fiecare din aceste dou seciuni critice se vor considera pentru dimensionare,toate eforturile din seciune; de exemplu seciunea E se va dimensiona nu doar la momentul ncovoietor i fora axial,ci i la fora tietoare care este prezent n seciune. Un ultim aspect care trebuie menionat este acela c n exemplul nostru am considerat seciunea C nu doar pentru c acela era punctul unde continuitatea ncrcrii verticale lua sfrit,ci i pentru c axa corpului i modific orientarea (punctul C se numete nod).

Fig? Domeniile de continuitate al unui model de bar. Spre exemplu n cazul din stnga domeniile de continuitate vor fi n numr de trei(AB,BC,CD),n schimb ce pentru cazul din dreapta vor fi n numr de dou(AB,BD). Am ales s prezentm procedeul de determinare a diagramelor de eforturi pentru cel mai simplu model fizic,cel al barei,i am vzut c se folosesc att metoda seciunilor,ct i o serie de ecuaii difereniale care leag ncrcrile corpului de eforturile din seciune.n cazul unor corpuri solide reprezentate de modele fizice de plac,ncrcrile vor diferi nu doar n lungul unei singure direcii,ci n lungul celor dou direcii ce descriu planul plcii.De aceea,i eforturile vor fi funcii de dou variabile,iar diagramele acestor eforturi nu vor mai fi curbe plane,ci suprafee.Ecuaiile difereniale ce vor face legtura ntre eforturi i ncrcri nu vor mai fi ecuaii difereniale ordinare,ci ecuaii cu derivate pariale.Asupra unora din aceste elemente,vom reveni ns n discuia legat de modelele de plac din capitolele urmtoare. Un caz aparte de modele de bar sunt acelea care n seciune nu au dect eforturi axiale.Acestea mai poart numele de zbrele,iar n structurile din care sunt alctuite,structuri cu zbrele.Zbrelele au doar eforturi axiale ntruct structurile cu zbrele sunt considerate ca avnd noduri articulate,iar ncrcrile acioneaz doar n aceste noduri.Cele mai ntlnite astfel de structuri sunt la poduri,cum este Podul de la Cernavod,proiectat de Anghel Saligny.n lungul acestuia aciunile date de trafic sunt preluate de dou grinzi cu zbrele identice.Tot o structur cu zbrele,de data aceasta spaial este turnul Eiffel.

Fig? Grind cu zbrele cu ncrcri aplicate la noduri.Chiar dac barele acestor structuri cu zbrele nu sunt prinse articulat n noduri,aa cum nelegem ideea de articulaie,din analiza acestor structuri s-a observat c momentele ncovoietoare sunt mult mai mici dect eforturile axiale,astfel c ipoteza nodurilor articulate nu este departe de adevr. Un alt aspect este legat de faptul c,aa cum se poate observa din imaginile alturate,mbinarea dintre zbrele nu se face ntr-un punct,ci ntr-o zon n care apar mai multe elemente componente ale mbinrii: uruburi,sudur,gusee(piese plane prin intermediul crora se realizeaz pierderea unei bare de cealalt).Cu toate acestea,axele corpurilor reprezentate de zbrele se vor intersecta ntr-un punct care va fi nodul articulat al structurii cu zbrele.n zona de mbinare,guseele care de regul sunt tabele,vor avea o mai mare capacitate de deformare dect zbrelele(spunem c sunt elemente flexibile).Din acest motiv vor permite rotirea zbrelelor n jurul nodului. Cum zbrelele nu au dect eforturi axiale,iar ncrcrile nu sunt aplicate dect la noduri,eforturile vor fi construite pe lungimea barelor,ntruct ncrcarea avnd direcia n lungul barei va fi nul.De aceea trasarea diagramelor de eforturi la structurile cu zbrele presupune doar determinarea eforturilor axiale din fiecare zbrea.Odat cunoscute aciunile i reaciunile structurii cu zbrele,pe baza ecuaiilor de echilibru,eforturile axiale din zbrele se calzuleaz folosind condiia de echilibru a nodurilor,sau cea de echilibru al corpurilor obinute prin secionare(metoda seciunilor). Pentru scrierea ecuaiilor de echilibru ale nodului trebuie s ne reamintim c un punct material nu poate avea dect translaii,cu posibiliti de micare.Ca urmare,echilibrul acestuia va fi descris de trei ecuaii de proiecie ale forei,pentru un nod n spaiu,sau de dou ecuaii de proiecie de fore,pentru un nod n plan.n aceste condiii,folosind echilibrul unui nod n plan,nu pot fi determinate dect cel mult dou efoturi axiale,pentru dou zbrele care intr n nod.Dac avem un nod cu mai mult de dou zbrele,este deci nevoie s determinm n prealabil restul de eforturi axiale,folosind fie echilibrul unui nod vecin,fie metoda seciunilor.

Fig? Diagrama corpului liber de legturi si forele dintr-un nod al unei grinzi cu zbrele. Cunoscnd reaciunile din nodul ,vom izola acest nod i vom scrie cele dou ecuaii de echilibru ca proiecii ale forelor pe cele dou proiecii ale planului: .Necunoscutele vor fi cele dou eforturi axiale din barele AB i AC.Mai departe,putem trece la nodul C,ntruct se cunosc aciunea dar i efortul axial ,determinat anterior,rmnnd de aflat doar dou eforturi axiale.Nu se pot ns determina eforturile axiale ale zbrelelor din nodul B,dect dup ce am calculat eforturile zbrelelor din nodurile A i C,n aceast ordine. Metoda seciunilor permite determinarea direct a efortului axial dintr-o zbrea anume,fr a fi nevoie n prealabil de determinarea eforturilor din zbrelele cu o serie de alte noduri.

Fig? Diagrama corpului liber de legturi si eforturile axiale dintr-o seciune a unei grinzi cu zbrele.Prin secionarea S a grinzii cu zbrele,vom obine un corp sub aciunea ncrcrilor,a reaciunilor i a eforturilor axiale din cele trei zbrele.Acesta trebuie s fie n echilibru,dup cum grinda cu zbrele se afl n echilibru.ntruct corpul obinut prin secionare este alctuit dintr-un numr infinit de puncte,echilibrul acestuia se va evalua folosind trei ecuaii de echilibru:dou proiecii de fore i o proiecie de momente ale forelor.Ca urmare,toate cele trei eforturi axiale recunoscute pot fi determinate.n situaia n care sunt acionate mai mult de trei zbrele,este nevoie ca n prealabil eforturile axiale din restul de bare s fie determinate,fie folosind echilibrul nodurilor,fie o alt seciune.Aceast metod are avantajul,aa cum am menionat,c permite determinarea efortului axial dintr-o zbrea anume.Spre exemplu,daca vom dori evaluarea efortului axial din bara BE,vom scrie o ecuaie de moment al forelor din punctul ,din care singura necunoscut este efortul cutat(celelalte dou eforturi axiale necunoscute nu dau moment n raport cu acest punct). Toate structurile despre care am vorbit pn acum au fost structuri sau sisteme de corpuri static determinate.Aceasta ne-a permis determinarea diagramei corpului liber de legturi i a reaciunilor din reazeme folosind doar condiia i ecuaiile de echilibru.De cele mai multe ori ns,structurile construciilor sunt static nedeterminate,avnd mai multe necunoscute reacii dect ecuaiile disponibile de echilibru.O situaie aparte,care trebuie menionat n cazul structurilor alctuite din corpuri de tip bar,este gradul de nedeterminare static dat de contururil nchise,sau mai exact de forele interioare de legtur dintre corpuri.Chiar dac aparent o astfel de structur este static determinat ntruct are reazeme ce conduce la un numr de reaciuni egal cu cel al ecuaiilor disponibile de echilibru,forele interioare de legtur creeaz o structur static nedeterminat.Un astfel de exemplu este cel de mai jos.

Dei reaciunile pot fi determinate scriind ecuaiile de echilibru,eforturile dintr-o seciunie oarecare prin corpurile structurii sunt n numr mai mare dect ecuaiile de echilibru disponibile pentru corpul obinut prin secionare.Acestea sunt i ele structuri static nedeterminate.

Fig? Structurii static nedeterminate determinate de legturile dintre corpurile componente.Pentru rezolvarea structurilor static nedeterminate i trasarea diagramelor de eforturi sunt necesare condiii i ecuaii suplimentare,pe ln cele din echilibru.n statica construciilor,parte a Mecanicii construciilor,se disting dou direcii sau metode de rezolvare a acestor structuri:metoda forelor cnd condiiile suplimentare sunt determinate de fore i metoda deplasrilor cnd acestea sunt date de deplasri.Ambele metode transform structura real ntr-una ipotetic,numit structur sau sistem de baz,care poate fi abordat folosind condiia de echilibru,pentru ca dup acest pas s amendeze rezultatele obinute prin impunerea unor condiii care s transforme aceast structur ipotetic napoi n structur real.

Fig? Structura real i sistemul de baz n metoda forelor.Metoda forelor transform structura real n sistem de baz eliminnd toate necunoscutele reaciuni care mpiedic rezolvarea acesteia.Structura alctuit din doi stlpi i o grind are dou reazemei un numr de cinci reaciuni,aadar nu poate fi rezolvat folosind doar condiia de echilibru. Dac ns aceasta este transformat ntr-o structur avnd doar reazeme care implic trei reaciuni,adic aparent ntr-una static determinate,cele dou reaciuni suplimentare din articulaie vor devein necunoscutele problemei n acest pas.Aceast structur sau sistem de vaz,poate fi rezolvat determininnd nu doar eforturile ci i deplasrile din orice seciune:toate vor depinde de cele dou necunoscute introduse n problem,.Sistemul de baz va avea aadar n punctul reazemului articulat dou deplasri,una orizontal dat de fora necunoscut .Pe structura real ns n punctul respectiv aceste dou deplasri sunt nule,ntruct exist un reazem articulat care le mpiedic.Punnd deci condiia ca cele dou deplasri ipotetice ale structurii de baz s corespund deplasrilor de pe structura real,se obin dou ecuaii in care singurele necunoscute sunt cele dou fore de pe sistemul de baz.Determinarea acestora permite trecerea la structura real ntruct cunoscndu-le pe cele dou aceasta poate fi uor abordat pe baza celor discutate pn acum pentru structurile static determinate.

Fig? Structura real si sistemul de bar n metoda deplasrilor.Metoda deplasrilor transform structura real ntr-un sistem de bar punnd condiii suplimentare deplasrilor nodurilor.tim c orice punct material poate avea posibiliti de micare trei translaii n spaiu,sau dou n plan.Nodul dintre dou bare este alctuit din mai multe puncte,aadar n plan acesta va avea dou translaii i o rotire.Cunoaterea configuraiei deformate a structurii reale reprezint la rndul ei dac se tiu deplasrile nodurilor:translaii i rotiri.Transformarea nodurilor structurii reale ntr-unele care s aib aceste posibiliti de micare mpiedicate duce la obinerea unui sistem de bar care poate fi abordat element cu element sau corp cu corp,urmnd ca n final s se fac asamblarea acestora n structura real,dar i impunerea condiiilor pentru deplasrile reale ale nodurilor.n Statica construciilor,care este o metod de rezolvare a structurilor n scopul determinrii strii de eforturi i de deformaie barele sunt considerate rigide n lungul lor (nu i modific lungimea,deci discuia dintre cele dou noduri n aceast direcie nu se modific) deci distana dintre cele dou noduri n aceast direcie nu se modific).Aceasta este o simplificare pe care Statica o face dorind o metod de rezolvare facil,la ndemn.Astzi,ns apariia computerelor i a posibilitii de rezolvare automata a unui volum mare de ecuaii face ca aceste simplificri s nu mai fie neaprat necesare.Am considerat totui n reprezentarea sistemului de bar al structurii analizate aceast ipotez simplificatoare a rigiditii axiale a barelor.Sistemul de bar se obine prin blocarea rotirilor celor dou noduri care se deplaseaz(reprezentate prin ptrate) i blocarea translaiei pe orizontal a acestora(reprezentat prin pendulul rigid n nodul din dreapta) ntruct translaia pe vertical este nul ca urmare a rigiditii axiale a stlpilor.Aadar structura ipotetic,numit de bar,este alctuit din trei corpuri sau bare ale cror noduri nu se pot deplasa i care se afl sub aciunea ncrcrilor.Rezolvarea acestora se poate face individual numai c prezena blocajelor de la nivelul nodurilor va duce la apariia unor reaciuni n noduri care nu exist pe structura real.Trecerea la structura real,n pasul urmtor,se face impunnd condiia ca aceste reacii din nodurile barelor structurii de baz s fie nule,pentru a fi respectate condiiile date de structura real.Aceast metod a deplasrilormdei este una a crei metod este mai puin evident ca metdoa forelor,se preteaz foarte bine la calculul automat.Plecnd de la metoda deplasrilor a aprut i este astzi intenes folosit Metoda elementului finit,pe baza creia sunt construite foarte multe pograme de calcul i analiz structural.Elementul finit este,s spunem,elementul definit de dou noduri successive;n aceast metod forele sunt aplicate doar la noduri,deci n cazul nostru grinda ar fi mprit n dou elemente.Metoda elementului finit este ns o metod foarte modern capabil s abordeze structuri i probleme foarte complexe i orice tip de model fizic dintre cele de care am vorbit.Aplicaie.Se consider zidul de sprijin din figur care mpiedic alunecarea pmntului din spatele acestuia.Zidul de sprjin este din beton armat avnd greutatea specific 25 KN/.S se determine eforturile n seciunea de la baza zidului de sprijin.S se determine aceleai eforturi ntr-o seciune situat la 2 metri deasupra seciunii de la baz.Indicaii: Toate eforturile se vor reduce fa de centrul de greutate al seciunii.Se va ine seama de mpingerea pmntului i de greutatea zidului de sprijin pe o lungime de 1m.