curs_008_et_fiabilitate_2.doc

Ethan Frome

66control statistic i fiabilitate67control statistic i fiabilitate

CURSUL 8

MODELAREA COMPORTRII N FUNCIONARE

A INSTALAIILOR TEHNOLOGICE

CU AJUTORUL LANURILOR MARKOV

8.1. Sistemul de ecuaii asociat unui proces stocastic de tip Markov

Conceptele centrale ale modelrii markoviene sunt cele de stare i tranziie. Un sistem tehnic sau un element component se poate afla la un moment dat n una din urmtoarele stri: funcionare, avarie, rezerv etc.

Starea unui sistem se poate modifica n timp, sistemul evolund de la o stare la alta. Asemenea modificri ale strilor unui sistem se numesc tranziii.

Procesul stochastic este determinat de o familie de variabile aleatoare i corespunde ca model matematic unui proces empiric a crui dezvoltare n viitor este guvernat de legi probabilistice.

Procesul Markov este un proces aleatoriu definit de o familie de variabile aleatoare.

Cunoaterea strilor sistemului la momentele succesive (t1, t2, .. tn,), anterioare momentului (t), prin preluarea i prelucrarea unor informaii care privesc strile anterioare contribuie la cunoaterea sistemului la momentul (t).

Lanul Markov este un proces Markov definit de variabilele .

Cunoaterea strilor sistemului la momentele consecutive anterioare lui t, prin preluarea i prelucrarea unor informaii care privesc strile anterioare, contribuie la cunoaterea strii la momentul t, prin furnizarea unor informaii colectate din strile anterioare ns cuprinse toate n starea cea mai recent, respectiv starea corespunztoare momentului tn.

Procesul Markov este un proces aleatoriu definit de o familie de variabile aleatoare.

Lanul Markov este un proces Markov, definit de variabilele aleatoare care pot lua numai valori aparinnd unui ir infinit sau finit, n mod convenional putndu-se considera pentru ir infinit irul numerelor naturale sau n caz finit irul 1,2,3...N.

Caracteristica procesului de a putea evolua ntr-un ir finit sau infinit de stri ne conduce la lanuri Markov cu un numr finit de stri sau la lanuri Markov cu un numr infinit de stri.

Un proces stochastic este denumit proces Markov multiplu de ordin i dac satisface pentru orice ir finit de valori ale parametrului t condiia aleatoare depinde numai de ultimule i variabile anterioare:

Dac un sistem se poate afla la momentul t n una din strile j cu probabilitile Pj atunci probabilitatea ca sistemul s se afle la momentul t+t n starea k este:

EMBED Equation.3 (8.1)

unde pjk este probabilitatea de tranziie din starea j n starea k.

8.2. Fiabilitatea elementului simplu reparabil

Pentru exemplificare se va studia cazul unui singur element pe care l considerm c evolueaz din starea de funcionare n starea de defect i invers (fig.8.1).

Fig. 8.1. Evoluia unui element din starea de funcionare n starea de defect i invers

Se fac urmtoarele precizri:

- defectarea elementului considerat este un eveniment al crui probabilitate de realizare ntr-un interval t este , respectiv:


- repararea, respectiv readucerea n starea iniial este un eveniment a crui probabilitate n intervalul t este , respectiv:


- probabilitatea rmnerii n stare de funcionare:


- probabilitatea rmnerii n stare de reparare:


n acest context se va urmri evoluia elementului n intervalul infinitezimal de timp t, considernd:

- probabilitatea ca elementul s fie n stare de funcionare la timpul t este ;

- probabilitatea ca elementul s fie defect la timpul t este ;

- intensitatea de defectare este ;

- intensitatea de reparare este .

Sistemul se afl n stare de funcionare la momentul cu probabilitatea absolut . Aceast stare se poate obine din urmtoarele tranziii de la (t) la :

- din starea 0 de funcionare [probabilitatea ] tot n starea de funcionare 0 [probabilitatea ];

- din starea 1 de nefuncionare [probabilitatea ] n starea de funcionare 0 [probabilitatea ];

Conform relaiei (9.21) rezult c, dac se are n vedere evoluia elementului n intervalul de timp t, adic s determinm probabilitatea absolut se poate scrie:


Sistemul se afl n stare de nefuncionare la momentul cu probabilitatea absolut (membrul drept al relaiei (8.6). Aceast stare se poate obine din urmtoarele tranziii de la (t) la :

- din starea 0 de funcionare [probabilitatea ] n starea de nefuncionare 1 [probabilitatea ];

- din starea 1 de nefuncionare [probabilitatea ] tot n starea de nefuncionare 1[probabilitatea ];

Conform relaiei (8.1) rezult, dac se are n vedere evoluia elementului n intervalul de timp dt, adic s determinm probabilitatea absolut se poate scrie:


Rezult sistemul de ecuaii:


Grupnd termenii acestui sistem i mprind cu t se obine:


Punnd condiia se obine sistemul de ecuaii difereniale ataat unui proces Markov finit, omogen, cu timp continuu:


Pentru rezolvarea sistemului (8.10) se poate utiliza transformata Laplace, ale crei proprieti mai importante sunt:





Utiliznd transformata Laplace n rezolvarea sistemului se obine i innd seama de condiiile iniiale rezult:


Avnd n vedere condiiile iniiale se poate scrie:


Soluiile (n operaional) ale sistemului sunt:


Efectund trecerea n domeniul real rezult soluiile:


Particulariznd prin trecere la limit pentru se obin probabilitile absolute, independente de timp:

(8.19)

Sistemul de ecuaii (8.140 scris sub form matricial este:


sau sub form generalizat:


unde reprezint probabilitile absolute iar qij reprezint matricea de tranziie ale crei elemente satisfac relaiile:


Matricea de tranziie este o matrice ptratic, singular, ai crei termeni sunt intensiti de tranziie i are urmtoarele proprieti:

- matricea conine termeni pozitivi sau nuli pentru i j i reprezint probabiliti;

- suma termenilor fiecrei coloane este egal cu zero.

Prin urmare sistemul de ecuaii difereniale (8.22) este ataat unui proces Markov finit, simplu, cu timp continuu.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale, pentru calculele inginereti putem s ne limitm la un sistem de ecuaii algebrice n . Algebrizarea poate fi realizat considernd c la probabilitile absolute tind s devin independente de starea iniial i pot fi considerate constante, ceea ce conduce la iar sistemul de ecuaii difereniale devine:


Produsul matricei ptratice i a matricei coloan conduce la rezolvarea unui sistem algebric compatibil nedeterminat, nedeterminare ce se ridic prin introducerea ecuaiei suplimentare , provenit din , fiind probabilitatea absolut de stare, condiie care rezult i din considerarea unui cmp complet de evenimente.

Prin urmare, pentru un element simplu, sistemului de ecuaii difereniale trebuie s i se adauge ecuaia menionat. Rezult:


Condiiile iniiale sunt:


sau:


dup cum sistemul s-a aflat iniial n starea 0 sau n starea 1.

Trecnd la limit ecuaiile sistemului algebric de ecuaii difereniale rezult c i verific sistemul algebric:

(8.27)

n cazul n care exist mai mult de dou stri, probabilitile absolute de stare verific sistemul:


8.3. Calculul indicatorilor de fiabilitate ai elementului simplu reparabil

a) Analiza tranziiilor dintre stri

Graficul tranziiilor pentru un element simplu reparabil, dac notm cu 0 starea de funcionare i cu 1 starea de defect este artat n fig. 8.1.

b) Scrierea matricei intensitilor de tranziie

Matricea este o matrice ptrat cu dimensiunea dat de numrul strilor:

01

0

1

c) Scrierea ecuaiei matriceale i rezolvarea ei


respectiv:


din care rezult ecuaiile:


Soluiile sistemului sunt:

(8.32)

c) calculul indicatorilor de fiabilitate:

- Probabilitatea de succes i refuz

(8.33)

- Timpul mediu total probabil de succes:

(8.34)

- Timpul mediu total probabil de refuz:

(11.34)

- Numrul mediu probabil de avarii:

(8.35)

- Timpul mediu de funcionare:

(8.36)

Timpul mediu de reparare:

(8.37)

_1166455413.unknown

_1168597467.unknown

_1168598156.unknown

_1227875343.unknown

_1293644240.unknown

_1304067135.unknown

_1227875344.unknown

_1229449035.unknown

_1168598412.unknown

_1168599203.unknown

_1198912975.unknown

_1168598725.unknown

_1168598312.unknown

_1168597556.unknown

_1168597606.unknown

_1168597526.unknown

_1166461902.unknown

_1167836495.unknown

_1167840685.unknown

_1168361447.unknown

_1168597448.unknown

_1168361415.unknown

_1167840492.unknown

_1166465896.unknown

_1166467921.unknown

_1166853304.unknown

_1167835889.unknown

_1166973304.unknown

_1166852691.unknown

_1166852894.unknown

_1166853016.unknown

_1166468542.unknown

_1166468570.unknown

_1166468021.unknown

_1166466240.unknown

_1166466649.unknown

_1166467876.unknown

_1166466553.unknown

_1166466188.unknown

_1166466217.unknown

_1166466150.unknown

_1166463383.unknown

_1166464707.unknown

_1166465394.unknown

_1166464502.unknown

_1166462963.unknown

_1166463371.unknown

_1166462477.unknown

_1166456043.unknown

_1166457643.unknown

_1166458671.unknown

_1166461305.unknown

_1166461398.unknown

_1166461599.unknown

_1166461351.unknown

_1166459119.unknown

_1166460467.unknown

_1166460570.unknown

_1166459170.unknown

_1166459048.unknown

_1166458418.unknown

_1166458533.unknown

_1166457869.unknown

_1166456239.unknown

_1166457481.unknown

_1166456199.unknown

_1166456013.unknown

_1166455580.unknown

_1166455695.unknown

_1166455774.unknown

_1166455630.unknown

_1166455467.unknown

_1160496799.unknown

curs_008_et_fiabilitate_2.doc

Documents