Numele unitii de studiu

Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorStatica

1.3.2 Statica solidului rigidTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s aplice condiiile de echilibru n cazul solidului rigid foloseasc axioma legturilor n cazul solidului rigid supus la legturi fr frecare calculeze forele de reaciune n cazul legturilor elementare: reazem simplu, articulaie, ncastrare.1.3.3.1 Ecuaiile de echilibru ale solidului rigidSe consider un solid rigid, asupra cruia acioneaz un sistem de fore, S. Un solid rigid se gsete n echilibru dac sistemul de fore care acioneaz asupra sa este n echilibru.

i

pentru orice O punct din spaiu. Condiia necesar i suficient ca un solid rigid, aflat sub aciunea unui sistem de fore, s fie n echilibru este ca torsorul sistemului de fore, n raport cu un punct arbitrar din spaiu, s fie nul.

.(1)

1.3.3.2 Unghiurile lui Euler

Se introduc trei unghiuri :

- unghiul de precesie , care este unghiul i se afl n planul ();

- unghiul de rotaie proprie , unghiul NOx, care se afl n planul (Oxy);

- unghiul de nutaie , unghiul , care se afl n planul . Msurile unghiurilor i sunt, de asemenea, funcii de timp, iar ON este axa (linia) nodurilor , intersecia planelor (Oxy) i ().

Figura 1

Aceste trei unghiuri sunt independente. Ele se folosesc, alturi de coordonatele originii sistemului de coordonate mobil, pentru caracterizarea micrii sau poziiei de repaus a unui solid rigid. Cele trei unghiuri se numesc unghiurile lui Euler.

1.3.3.2 Statica solidului rigid supus la legturi fr frecare

Sunt posibile urmtoarele situaii:

dac n = r = m, sistemul are soluie unic, deci se determin toi parametrii geometrici i mecanici care apar n sistem. n acest caz, se spune c solidul rigid este n echilibru necondiionat.

Dac n = r < m, pentru compatibilitatea sistemului, trebuie ca minorii caracteristici s fie nuli, ceea ce presupune obinerea a m r relaii suplimentare, care se numesc condiii suplimentare de echilibru. Se spune c solidul rigid este n echilibru condiionat.

Dac , sistemul este compatibil nedeterminat. n aceast situaie, se numete static nedeterminat, iar numrul necunoscutelor secundare (n r) se numete grad de nedeterminare static.

Un solid rigid poate fi supus la foarte multe tipuri de legturi. n practic, cele mai ntlnite sunt: reazemul simplu, mai multe reazeme simple, solid rigid sprijinit pe un plan, articulaia, solid rigid cu o ax fix, ncastrarea, legtura prin fire.

1.3.3.2.1 Reazemul simplu

Reazemul simplu este legtura mecanic ce constrge solidul rigid s rmn cu un punct al su O pe o suprafa a altui solid rigid. Suprafaa este presupus lucie, fix i nedeformabil, chiar dac forele care acioneaz asupra rigidului sunt foarte mari. Reazemul simplu este o legtur geometric, staionar i olonom.

Solidul rigid cu un reazem simplu are cinci grade de libertate (din punct de vedere geometric scade cu unu numrul de grade de libertate).

Conform axiomei legturilor, reazemul unui solid rigid pe o suprafa introduce o reaciune orientat pe normala la suprafa, n sens opus gradului de mobilitate blocat.

Reprezentare

Figura 2

1.3.3.3.2 Articulaia

Legtura unui solid rigid care-l constrnge pe acesta s aib un punct al su n contact permanent cu un punct fix din spaiu se numete articulaie sferic. Dac solidul este obligat s rmn cu o ax a sa n permanent contact cu o ax fix din spaiu se numete articulaie cilindric.

Deci, din punct de vedere geometric, articulatia sferic micoreaz numrul de grade de libertate ale unui solid rigid cu trei uniti. Din punct de vedere mecanic, o articulaie sferic blochez trei grade de mobilitate ale rigidului, de exemplu deplasrile dup cele trei axe de coordonate. Conform principiului aciunii i reaciunii, n articulaia sferic se dezvolt trei reaciuni, dup direciile axelor (cele trei mobiliti blocate). Deci, articulaia sferic poate fi nlocuit printr-o reactiune , de modul i direcie necunoscute.

Figura 3

O articulaie cilindric poate fi nlocuit cu o reaciune al crei suport este situat n planul (Oxy), ale crei componente corespund gradelor de libertate blocate. n calcule, este de preferat s se introduc dou necunoscute scalare, proieciile reaciunii pe dou direcii din planul (Oxy), perpendicular pe axa fix (de regul direciile axelor Ox i Oy). Din punct de vedere geometric, o articulaie cilindric micoreaz numrul gradelor de libertate cu cinci uniti.

Din punct de vedere mecanic, o articulaie sferic poate fi nlocuit cu o fort , de modul i direcie necunoscute (Rx , Ry , Rz,), iar articulaia cilindric cu dou necunoscute .

Figura 4

1.3.3.3.3 ncastrarea

ncastrarea este legtura care constrnge solidul rigid s rmn cu o extremitate a sa fixat ntr-un alt solid rigid. Din punct de vedere geometric, ncastrarea ia solidului rigid toate gradele de libertate.

Aplicaie

S se determine reaciunile din articulaia A i din reazemul B pentru grinda cotit ABCD, ncrcat ca n fig. 5.

Soluie

Articulaia cilindric din A se nlocuiete cu , iar reazemul din B cu . Ecuaiile de echilibru se scriu

Figura 5

Din prima ecuaie, rezult . Rmne de rezolvat sistemul

sistem liniar de dou ecuaii cu dou necunoscute, care permite obinerea soluiilor prin urmtoarele calcule

1.3.3.3.4 Legturi prin fire sau bare

Prinderea solidului rigid cu fire mereu ntinse sau cu bare, se trateaz analog cu legtura prin fire de la punctul material. Dac, de un fir de lungime constant, este suspendat un solid rigid, corpul este obligat s se rezeme pe o sfer de raz egal cu lungimea firului. Reaciunea fiind pe direcia normalei, este orientat pe direcia firului sau barei. n concluzie, prinderea prin fire sau bare se nlocuiete cu o for n lungul firului, aa numita tensiune din fir. Legtura prin fir este o legtura unilateral, iar cea prin bar rigid este o legtur bilateral.

1.3.3.3.5 Cazul general al legturii fr frecare

Se consider un solid rigid, supus unei legturi fr frecare. Se noteaz cu i cele dou componente ale torsorului de reducere al forelor efectiv aplicate solidului, iar reprezint componentele torsorului de reducere al reaiunilor.

Condiiile de echilibru se scriu

Exerciii1. Care sunt condiiile de echilibru pentru un solid rigid supus la legturi fr frecare?2. Care sunt legturile elementare i cu ce se nlocuiesc ele?

3. Pe o grind omogen orizontal AB, ncastrat n A, sunt aezate dou corpuri cu greuti i , ca n fig. 6. S se determine fora de legtur i momentul cuplului de legtur din ncastrare.

Figura 6

Rezolvri:

1. Curs

2. Curs3. Fiind un sistem plan, ncastrarea se nlocuiete cu o for de mrime i direcie necunoscute, descompus n i i un moment M. Condiiile de echilibru conduc la ecuaiile de proiecii

,

de unde rezult

,

i o ecuaie de momente, din ,

,

de unde se obine

, i, folosind valorile numerice date, .

EMBED Equation.DSMT4

A

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0,4

0,8

EMBED Equation.3

VA

HA

14 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.14 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean7 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.

_1091259947.unknown

_1194241047.unknown

_1202821178.unknown

_1202821570.unknown

_1202879304.unknown

_1203781701.unknown

_1202879238.unknown

_1202821537.unknown

_1201753135.unknown

_1201753330.unknown

_1201753387.unknown

_1201753445.unknown

_1201753176.unknown

_1198496536.unknown

_1201623641.unknown

_1201623679.unknown

_1198496787.unknown

_1198471811.unknown

_1194105969.unknown

_1194236565.unknown

_1194239660.unknown

_1194113334.unknown

_1094563912.unknown

_1094564691.unknown

_1095773628.unknown

_1095773987.unknown

_1095773589.unknown

_1094563973.unknown

_1094564663.unknown

_1094564589.unknown

_1094563963.unknown

_1092466397.unknown

_1094563896.unknown

_1092466372.unknown

_1091258815.unknown

_1091258961.unknown

_1091259051.unknown

_1091258894.unknown

_1091258685.unknown

_1091258734.unknown

_1087762884.unknown

_1091258607.unknown

_1089201627.unknown

_1087596421.unknown