Lector dr. LIXANDRU ION

BIBLIOGRAFIE1) ARAMĂ L., MOROZAN T. – Culegere de probleme de analiza matematică.

Editura Universal. Bucureşti. 1996

2) CRAIU M., TĂNASE V. – Analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică.

Bucureşti. 1980

3) HALANAY A., OLARIU V., TURBATU S. – Analiză matematică. Editura Didactică şi

Pedagogică. Bucureşti. 1981

4) LIXANDRU I. – Sinteze şi probleme de analiză matematică. Editura Fundaţiei

Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi. 2005

5) LIXANDRU I. – Matematică. Editura Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi.

2008

6) LIXANDRU I. – Elemente de Analiză Matematică pentru Invăţământul Tehnic. Editura

Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi. 2011

7) PISKUNOV N. – Calcul diferentiel et integral. Editions Mir. Moscou. 1971

8) PRECUPANU A. – Bazele analizei matematice. Editura CANOVA. Iaşi. 1995

9) ROŞCULEŢ M., TOMA G., MASGRAS V., STANCIU T. – Probleme de analiză

matematică. Editura Tehnică. Bucureşti. 1993

10) SIREŢCHI GH. – Calcul diferenţial şi integral. Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică.

Bucureşti. 1985

11) STĂNĂŞILĂ O. – Analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică. Bucureşti. 1985

C1.

1. ŞIRURI DE NUMERE REALE

Se numeşte şir de numere reale orice funcţie ( ): , , ,n n

f f n x x n→ = ∈ ∀ ∈N R R N , ( )n nx

∈N,

( )nx .

Şirul ( )n nx

∈N se numeşte mărginit ,a b⇔ ∃ ∈ R astfel încât ,

na x b n≤ ≤ ∀ ∈ N .

Şirul ( )n nx

∈N este crescător 1 ,n nx x n+⇔ ≤ ∀ ∈ N . Notăm în acest caz ( )n

x ↑ .

Şirul ( )n nx

∈N este descrescător 1 ,n nx x n+⇔ ≥ ∀ ∈ N . Notăm în acest caz ( )n

x ↓ .

Şirul ( )n nx

∈N este monoton ⇔ ( )n

x ↑ sau ( )nx ↓ .

Şirul ( )n nx

∈N,

nx ∈ R este convergent către ( )0,a Nε ε∈ ⇔ ∀ > ∃ ∈R N astfel încât pentru

( )n N ε∀ ≥ , avem nx a ε− < . Se scrie în acest caz

nx a→ sau lim n

nx a

→∞= ;

Şirul ( )n nx

∈N, n

x ∈ R se numeşte şir Cauchy ( )0, Nε ε⇔ ∀ > ∃ ∈ N astfel încât

( ) , , n p nn N p x xε ε+∀ ≥ ∀ ∈ − <N . Un şir de numere reale este convergent ⇔ el este şir

Cauchy.

LIMITE FUNDAMENTALE

1. Fie ( ) ( ) 0,;...;... 001

101

10 ≠+++=+++= −−babnbnbnQanananP h

hh

k

kk . Atunci:

( )( )

>

⋅∞+

<

=

=∞→

hkb

a

hk

hkb

a

nQ

nP

n

,

,0

,

lim

0

0

0

0

; 2. Fie 0ln

lim; =∈∞→ kn n

nk N ; 3.

[ )

>∞+

∈=

∞→ 1,

1,0,0lim

q

qq

n

n

4. Dacă N∈> ka ,1 , atunci +∞=∞→ k

n

n n

alim

5. Dacă 0n

x → , atunci: a) sin

1n

n

x

x→ ; 1n

n

tg x

x→ ; 1;1

sin→→

n

n

n

n

x

xarctg

x

xarc;

b) rx

x

x

x

x

ea

x

a

n

r

n

n

n

n

x

n

x nn

→−+

→+

→−

→− 1)1(

;1)1ln(

;11

;ln1

; c) Dacă nx →+∞⇒

11

nx

n

ex

+ →

.

CRITERIUL RAPORTULUI

Dacă 0 ,n

x n> ∀ ∈ N şi ∃ 1l i m n

nn

xl

x

+

→ ∞= , atunci:

a) 1 0n

l x< ⇒ → ;

b) 1n

l x> ⇒ → + ∞ ;

c) 1l = nu se poate stabili natura şirului ( )n nx

∈ Ncu acest criteriu.

EXEMPLU: Să se calculeze l i m nn

x→ ∞

, dacă 1

2 !n

n n

nx

n +

⋅= .

1 1 11

2 1

2 ( 1 ) ! ( 1 )l i m l i m 2 l i m

( 1 ) 2 ! ( 1 ) ( 1 )

n n n

n

n n nn n nn

x n n n n

x n n n n

+ + ++

+ +→ ∞ → ∞ → ∞

+ + ⋅= ⋅ =

+ ⋅ + ⋅ +=

=

11 ( 1 )11 2

2 l i m 2 l i m 1 2 1 l i m 01 1

n n

nn n n

ne x

n n e

−+ − +−

→ ∞ → ∞ → ∞

= − = ⋅ = < ⇒ = + + .

Folosind criteriul Cauchy să se studieze convergenţa şirurilor

1.1

s i n s i n 2 s i n. . . ,

2 2 2n n n n

x x n xx x

+= + + + ∈ R . 2.

1 1 11 . . .

2 3nxn

= + + + +

1.n p nx x+ − =

1 2

s i n ( 1 ) s i n ( 2 ) s i n ( ). . .

2 2 2n n n p

n x n x n p x+ + +

+ + ++ + + ≤

++

++

++ 21 2

|)2sin(|

2

|)1sin(|nn

xnxn1 2

| s i n ( ) | 1 1 1. . .

2 2 2 2n p n n n p

n p x+ + + +

+≤ + + + =

1 1

11

1 1 122

12 2 212

p

n n nε

+ +

− = ⋅ < ⋅ = < ⇒−

( )1 1

l g l g1l g 2 l g 1

l g 2 l g 2n n N

e

ε εε

> ⇒ > ⇒ = + ⇒

( )nx - șir CAUCHY ( )n

x⇒ - convergent.

2. Pentru p n= avem

2 0

1 1 1 1 1 1 1 1. . . . . . ,

1 2 2 2 2 2 2 2n nx x n n

n n n n n n nε− = + + + ≥ + + + = ⋅ = = ∀ ∈ ⇒

+ +N

( )nx - nu este șir CAUCHY ( )n

x⇒ - divergent.

2. SERII DE NUMERE REALE

Fie ( ) ,n nn

x x∈

∈N

R . 1 21

. . .n

n n k

k

S x x x x=

= + + + = ∑ se numeşte şirul sumelor parţiale, ∑∞

1nx se

numeşte serie cu termenul general nx , iar 1 21

. . .n n n k

k n

R x x x∞

+ += +

= + + = ∑ este restul de ordin “n”.

Dacă există şi este finită l im nn

S S→ ∞

= , atunci seria ∑∞

1nx este convergentă şi suma ei este S,

adică 1

nx S∞

=∑ . În caz contrar seria se numeşte divergentă.

EXEMPLE DE SERII.

1) ∑∞

0

nq - seria geometrică; ea este convergentă 1q⇔ < . În acest caz ∑

∞

0

nq =

q−1

1;

;1;1

1...1 12 ≠

−

−=++++=⇒= −

qq

qqqqSqx

nn

n

n

n

>∞+

<=

∞→ 1,

1,0lim

q

qq

n

n.

Dacă 1=q , atunci +∞→=+++= nS n 1...11 , iar dacă 1−=q , atunci 02 =nS ; 112 =+nS şi

deci şirul nS este divergent.

2) ∑∞

1

1

n- serie armonică ⇒+++=⇒=⇒

nS

nx nn

1...

2

11

1nS nu este șir Cauchy nS⇒

divergent ⇒ serie divergentă;

3) n

n 1)1(

1

1 ⋅−∑∞

− - serie armonică alternantă – este convergentă şi n

n 1)1(

1

1 ⋅−∑∞

− = ln 2;

4) 1

1;

nα α

∞

∈∑ R – seria armonică generalizată; este convergentă 1α⇔ > .

CRITERIUL GENERAL DE CONVERGENŢĂ (CAUCHY).

Seria ∑∞

1nx este convergentă ( )0, Nε ε⇔ ∀ > ∃ ∈ N , astfel încât ( ) ,n N pε∀ ≥ ∀ ∈ N

avem 1

n p

k

k n

x+

= +∑ < ε.

CONSECINŢĂ.

Pentru ∞→p obţinem ( )0, Nε ε∀ > ∃ ∈ N ∀ ε > 0, astfel încât ( )n N ε∀ ≥ , astfel încât

∑+∞

+= 1nk

kx < ε 0nR⇔ → . Deci ∑∞

1nx este convergentă 0nR⇔ → .

EXEMPLU:

∑∞

1

1

n;

1nx

n⇒ = ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ...

1 2 2 1 2 2 2 2 2n nR R

n n n n n n n n n= + + + + ⇒ > + + + ≥ + + + =

+ + + +

1

1 1 1 1lim 0

2 2 2n nn

n R Rn n

∞

→ ∞= ⋅ = ⇒ ≥ ⇒ ≠ ⇒ ∑ este divergentă.

CRITERIUL NECESAR DE CONVERGENșĂ.

Dacă ∑∞

1nx este convergentă, atunci 0nx → . Reciproca nu este adevărată (vezi exemplul

precedent). Dacă ∑∞

1nx - convergentă atunci SS n → - finit. Cum 1−−= nnn SSx , atunci

0nx → .

CRITERIUL DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI.

I. CRITERII DE COMPARAŢIE.

Fie seriile ∑∞

1nx ,

1n

y∞

∑ cu , 0 ,n n

x y n> ∀ ∈ N .

1. Dacă ,n n

x y n≤ ∀ ∈ N , atunci:

a) 1

ny∞

∑ - convergentă ⇒ ∑∞

1nx - convergentă.

b) ∑∞

1nx - divergentă ⇒

1ny

∞

∑ - divergentă.

2. Dacă ∃ lim ,n

nn

xl l

y→ ∞∃ = – finit, 0l ≠ , atunci seriile ∑

∞

1nx ,

1ny

∞

∑ au aceeaşi natură.

EXEMPLE:

1. ⇒<∑∞

1;1

1

ααn α

nx n

1= . Fie

ny n

1= ; ⇒<⇒< nn

αα 1 ⇒>nn

11α nn yx < ;

cum ∑∞

1ny - divergentă ∑

∞

⇒1

1α

n- divergentă.

2. ∑∞

+1 2

1

n;

2

1

+=

nx n ; =

∞→

2

1

1lim

n

x n

n1

2lim =

+∞→ n

n

n; cum ∑

∞

1 2

1

1

n

este divergentă

∑∞

+⇒

1 2

1

n- divergentă.

II) CRITERIUL DE CONDENSARE (CAUCHY).

Dacă ( )0 , ;n n

x n x> ∀ ∈ ↓N , atunci seriile ∑∞

1nx şi ∑

∞

02

2 kxk - au aceeaşi natură.

EXEMPLU:

∑∞

1

1α

n, α ∈ R .

Fie 1

nxn α

= ; dacă 0 l im 0n

nx

→ ∞α ≤ ⇒ ≠ ⇒ serie divergentă. Dacă 0α > , aplicăm criteriul de

condensare Cauchy: ( )( )

( ) ( )1 1

2

10 ; , 2 2 2 2

2k

kk k k

n nk

x x x− α − α

α> ↓ ⋅ = ⋅ = = . Seria 1

0

( 2 ) kα∞

−∑

este o serie geometrică cu 1 12 ; 1 2 1 1 0 1q qα α α α− −= < ⇔ < ⇔ − < ⇔ > . Deci seria 1

1

n α

∞

∑

este convergentă 1α⇔ > .

III) CRITERIUL RAPORTULUI (D’ALEMBERT).

Fie 1

, 0 ,n n

x x n∞

> ∀ ∈∑ N , dacă 1l i m n

nn

xl

x

+

→ ∞∃ = , atunci:

1. 1l < ⇒1

nx

∞

∑ - convergentă;

2. 1l > ⇒1

nx

∞

∑ - divergentă;

3. 1l = ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.)

EXEMPLU:

0

2

!

n

n

∞

∑ ;2

!

n

nx

n= ;

11 2 ! 2

l im li m lim 0 1( 1) ! 2 1

n

n

nn n nn

x n

x n n

++

→ ∞ → ∞ → ∞= ⋅ = = < ⇒

+ + serie convergentă.

IV) CRITERIUL RAABE – DUHAMEL.

Fie 1

, 0,n nx x n∞

> ∀ ∈∑ N , dacă 1

lim 1 ,n

nn

xn l l

x→ ∞+

∃ − =

– finit, atunci:

1. 1l > ⇒1

nx∞

∑ - convergentă;

2. 1l < ⇒1

nx∞

∑ - divergentă;

3. 1l = ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.)

EXEMPLU:

( )1

!; 0

( 1)...( 1)

n

nα

α α α

∞

>+ + −∑ ; 1! 1

( 1)...( 1)n

n

n

xn nx

n x nα α α α+ +

= ⇒ = ⇒+ + − +

1lim 1n

nn

x

x

+

→ ∞= .

Deci nu se poate decide natura seriei cu criteriul raportului.

1

( 1)lim 1 lim 1 lim 1

1 1n

n n nn

x n nn n

x n n

α αα

→ ∞ → ∞ → ∞+

+ − − = − = = − + + .

Dacă 1 1 2α α− > ⇔ > ⇒ serie convergentă.

Dacă 1 1 2α α− < ⇔ < ⇒ serie divergentă.

Dacă 1 1 2α α− = ⇔ = ⇒ nu se poate decide natura seriei cu acest criteriu.

Pentru 2α = , seria devine: 1

!

2 3 ... ( 1)

n

n n

∞

⋅ ⋅ +∑ = 1

1

1n

∞

+∑ - serie divergentă. (seria armonică)

V) CRITERIUL BERTRAND.

Fie 1

, 0 ,n nx x n∞

> ∀ ∈∑ N , dacă 1

l im 1 1 lnn

nn

xn n B

x→ ∞+

∃ − − =

, atunci

1. 1B > ⇒ 1

nx∞

∑ - convergentă;

2. 1B < ⇒ 1

nx∞

∑ - divergentă;

3. 1B = ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.)

EXEMPLU:

∑∞

−

1

2

!!)2(

!!)12(

n

n. Se ştie că: ( ) ( )2 !! 2 4 6 .. . 2 " 2 "n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = semifactorial, iar

( ) ( )2 1 !! 1 3 5 .. . 2 1 " 2 1 "n n n− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − semifactorial.

2( 2 1) !!

( 2 ) !!n

nx

n

−=

2

1 2 11

2 2n

n

x n

x n

+ + ⇒ = → ⇒ +

nu se poate decide natura seriei cu criteriul

raportului.

2

21

2 2 ( 4 3 )1 1 1

2 1 ( 2 1)n

n

x n n nn n

x n n+

+ + − = − = → ⇒ + + nu se poate decide natura seriei cu criteriul

Raabe – Duhamel. 1

1 1 lnn

n

xn n

x +

− − ⋅ =

2

2 2

4 3 11 ln ln

4 4 1 4 4 1

n n nn n

n n n n

+ − −− = = + + + + 2

2

11

ln 0 14 1

4

nn

n

nn n

− − → < ⇒

+ +

seria este divergentă.

VI) CRITERIUL RADICALULUI (CAUCHY).

Fie 1

, 0 ,n n

x x n∞

> ∀ ∈∑ N , dacă l i m nn

nx l

→ ∞∃ = – finit, atunci:

1. 1l < ⇒1

nx∞

∑ - convergentă;

2. 1l > ⇒1

nx

∞

∑ - divergentă;

3. 1l = ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu. În acest caz se recomandă să se

arate că l i m 0n

nx

→ ∞≠ şi deci seria este divergentă.

EXEMPLU:

1

1; 0

2 1

nn

n

αα

∞ ⋅ + > − ∑ ;

n

nn

nx

−+⋅

=12

1α 1l i m l i m

2 1 2n

nn n

nx

n

α α→ ∞ → ∞

+= =

−.

Dacă 1 22

αα< ⇔ < ⇒ serie convergentă;

Dacă 1 22

αα> ⇔ > ⇒ serie divergentă;

Dacă 1 22

αα= ⇔ = ⇒ nu se poate decide natura seriei cu acest criteriu.

22 1 2 1

22 1 2 2l i m l i m l i m 1 l i m 1 0

2 1 2 1 2 1

nn nn n

nn n n n

nx e

n n n

− −

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞

+ = = + = + = ≠ − − −

. Conform

criteriului necesar de convergenţă, seria este divergentă.

VII) CRITERIUL LOGARITMIC

Fie 1

, 0,n nx x n∞

> ∀ ∈∑ N , dacă

1ln

limln

n

n

xl

n→ ∞∃ = , atunci:

1. 1l > ⇒1

nx∞

∑ - convergentă;

2. 1l < ⇒1

nx∞

∑ - divergentă;

3. 1l = ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.)

EXEMPLU:

ln

1

; 0na a

∞

>∑ ; ln

ln

1ln

ln ln ln; lim lim lim ln

ln ln ln

nn n

nn n n

x a n ax a a

n n n

−

→ ∞ → ∞ → ∞

−= = = = − .

Dacă 1 1ln 1 ln 1a a a e

e

−− < ⇔ > − ⇔ > = ⇒ serie divergentă.

Dacă 1 1ln 1 ln 1a a a e

e

−− > ⇔ < − ⇔ < = ⇒ serie convergentă.

Dacă 1 1ln 1 ln 1a a a e

e

−− = ⇔ = − ⇔ = = nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu.

Pentru 1

ae

= , seria devine: ln

1

1n

e

∞

∑ = 1

1

n

∞

∑ - serie divergentă.

CRITERIUL LEIBNIZ.

Seria 1

1

( 1) n

nx

∞−−∑ , cu 0 ,nx n> ∀ ∈ N se numeşte serie alternantă.

Dacă ( ) , 0n nx x↓ → , atunci seria 1

1

( 1) n

nx∞

−−∑ este convergentă. Dacă în plus seria modulelor

1n

x∞

∑ este convergentă, atunci seria iniţială 1

1

( 1) n

nx

∞−−∑ este absolut convergentă (A.C.).

În caz contrar seria iniţială este simplu convergentă (S.C.).

EXEMPLE:

1. ( ) 011

11

1 >=⇒⋅−∑∞

−

nx

nn

n ; ( ) ⇒→↓ 0, nn xx serie convergentă; cum ∑∞

1

1

n- divergentă

( )∑∞

− ⋅−⇒1

1 11

n

n - simplu convergentă.

2. 1

1

1( 1)

3n

nn

∞−−

⋅∑ ; 1

0 ,3n nn

x x nn

= ⇒ > ∀ ∈⋅

N ; ( )111

3( 1)n

n n n

n

x nx x x

x n

++= < ⇒ < ⇒ ↓

+.

Evident lim 0nn

x→ ∞

= .

Deci seria 1

1

1( 1)

3n

nn

∞−−

⋅∑ este convergentă. În continuare ne ocupăm de seria:

1 1

1

3n nx

n

∞ ∞

=⋅∑ ∑ ; 1 1

lim lim 13( 1) 3

n

n nn

x n

x n

+

→ ∞ → ∞= = <

+. Conform criteriul raportului seria

1nx

∞

∑ este

convergentă şi deci seria iniţială 1

1

( 1) n

nx∞

−−∑ este absolut convergentă.

C2

1. ŞIRURI DE FUNCŢII

Fie ( ) : kF X f f X= ⊂ →R R . Se numeşte şir de funcţii orice aplicaţie

( ) ( ) ( ): , ,nF X n f F x nφ φ→ = ∈ ∀ ∈N N .

Notăm şirul de funcţii prin: ( )( )Xx

nn xf

∈∈ N sau ( )

N∈nnf sau ( )nf .

Dacă şirul ( )( )0n nf x

∈ N este convergent, ( )0 0,x X x∈ - se numeşte punct de convergenţă.

Notăm cu ( )( )0 0nC x X f x= ∈ – convergent- mulţimea de convergenţă. Funcţia

( ) ( ): , l i m ,n

nf C f x f x x C

→ ∞→ = ∀ ∈R se numeşte funcţie limită.

EXEMPLU:

( ) ⇒+

+=→

1

1,:

2

22

n

xnxff nn RR ( ) 2lim xxf n

n=

∞→, ⇒∈∀ Rx ( ) 2,: xxff n =→ RR

Şirul de funcţii ( ) N∈nnf se numeşte punctual convergent sau simplu convergent la f şi notăm

s

nf f→ , dacă: ( ), 0 , ,x X N xε ε∀ ∈ ∀ > ∃ ∈ N , astfel încât ( ),n N xε∀ ≥ avem ( ) ( )nf x f x ε− < |.

EXEMPLU:

( )2

: , ,1n n

xf f x x

n→ = ∀ ∈

+R R R ; ( )l i m 0

nn

f x→ ∞

= ; ( )2

20n

xf x x n n

εε ε ε

ε−

− < ⇔ < + ⇔ >

( )2

, 1x

N xε

εε

−⇒ ∃ = + ∈

N , astfel încât ( ),n N xε∀ ≥ avem ( ) ,nf x xε< ∀ ∈ ⇒R 0

S

nf → .

Şirul de funcţii ( )N∈nnf se numeşte uniform convergent la f şi notăm

. .u c

nf f→ dacă

( )0 , Nε ε∀ > ∃ ∈ N , astfel încât ( )n N ε∀ ≥ avem, ( ) ( ) ,nf x f x x Xε− < ∀ ∈ .

EXEMPLU:

( ) 2

c o s: , ,

1n n

n xf f x x

n→ = ∀ ∈

+R R R ; ( ) ( ) 2 2

c o s 1l i m 0 0 ;

1 1

S

n n nn

n xf x f f x

n nε

→ ∞= ⇒ → = ≤ ≤ ⇒

+ +

( )2 2 1 1 11 1n n n N

ε ε εε ε ε

ε ε ε

− − −< + ⇒ > ⇒ > ⇒ ∃ = +

, dacă ( )1,0∈ε ; dacă 1≥ε , ( ) 1=εN ,

astfel încât ( ) ( ). .

, , , 0u c

n nf x n N X x fε ε< ∀ ≥ ∀ ∈ ⇒ →R .

TEOREMA 1.

Orice şir de funcţii uniform convergent este şi simplu convergent. Reciproca nu este adevărată.

EXEMPLU:

( ) 2 2

2: ,n n

n xf f x

n x+ →

+R R . ( )l i m 0 0

S

n nn

f x f→ ∞

= ⇒ → ; ( )( )

=+

−+⋅= 222

222' 2

2xn

xxnnxf n

( )( )222

222

xn

xnn

+

−;

( ) nxxf n =⇒= 0'

( )2

2

21 1 0

2n n

nM f n f

n= = = → ≠ ⇒ – nu este uniform convergent la 0.

TEOREMA 2. (CRITERIUL CAUCHY).

( ). .

0 ,u c

nf f Nε ε→ ⇔ ∀ > ∃ ∈ N , astfel încât ( ) ,n N pε∀ ≥ ∀ ∈ N , avem ( ) ( ) ,n p n

f x f x x Xε+ − < ∀ ∈

EXEMPLU:

( )1

s i n: ,

( 1 )

n

n n

k

k xf f x

k k=

→ =+∑R R .

( ) ( )1 1 1 1

s i n | s i n | 1 1 1

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1

n p n p n p n p

n p n

k n k n k n k n

k x k xf x f x

k k k k k k k k

+ + + +

+= + = + = + = +

− = ≤ ≤ = − + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ =

( )1 1 1 1 11 1

1 1 1n n N

n n p n

ε εε ε ε ε

ε ε− − = − < < ⇒ < + ⇒ > ⇒ ∃ = + ⇒ + + + +

nf - uniform convergent.

TEOREMA 3. (WEIERSTRASS).

Dacă 0 , , 0n n

a n a∃ > ∀ ∈ →N , astfel încât ( ) ( ) , ,n n

f x f x a n x X− ≤ ∀ ∈ ∀ ∈N , atunci . .u c

nf f→ .

EXEMPLU:

( ) 2

s i n: , 0

1

s

n n n

n xf f x f

n→ = ⇒ →

+R R . ( )

1

1

1

sin22 +

≤+

=nn

nxxf n

; cum . .

2

10 0

1

u c

nfn

→ ⇒ →+

.

x 0 n ∞+

( )xf n

' + + + + + 0 - - - - - -

( )xf n 0 M 0

TEOREMA 4. (TRANSFERUL CONTINUITĂŢII).

Dacă . .u c

nf f→ , nf – continue pe X , atunci f – continuă pe C , adică:

(1) ( ) ( )0 0

lim lim ( ) lim lim ( )n nx x n n x x

f x f x→ →∞ →∞ →

=

TEOREMA 5. (TRANSFERUL DERIVABILITĂŢII).

Dacă . .u c

nf f→ , nf – derivabile pe X , . .

'u c

nf g→ , atunci f – derivabilă şi 'f g= , adică:

(2) ( ) ( )'

'lim ( ) limn n

n nf x f x

→∞ →∞=

TEOREMA 6. (TRANSFERUL INTEGRABILITĂŢII).

Dacă . .u c

nf f→ , nf – integrabile pe [ ],a b , atunci f – integrabilă pe [ ],a b şi

(3) ( ) ( )lim limb b

n nn n

a a

f x dx f x dx→∞ →∞

=∫ ∫

2. SERII DE FUNCŢII

Fie ( )n nf

∈ N– şir de funcţii definite pe X ⊂ R , atunci ( ) ( )

1

n

n k

k

S x f x=

= ∑ se numeşte şirul sumelor

parţiale,∑∞

1

)( xf n - serie de funcţii, ( ) ( )∑∞

+=

=1nk

kn xfxR - restul de ordin n.

O serie de funcţii este simplu convergentă sau uniform convergentă, după cum şirul sumelor

parţiale este simplu sau uniform convergent.

TEOREMA 1. (CAUCHY).

Seria de funcţii ∑∞

1

)( xf n este uniform convergentă pe ( )0 ,X Nε ε⇔ ∀ > ∃ ∈ N , astfel încât

( ) ,n N pε ∗∀ ≥ ∀ ∈ N , avem 1

( ) ,n p

k

k n

f x x Xε+

= +

< ∀ ∈∑ .

TEOREMA 2.(WEIERSTRASS).

Dacă 0 ,n

a n∃ > ∀ ∈ N , astfel încât ( ) ,n nf x a n≤ ∀ ∈ N şi seria ∑∞

1na este convergentă, atunci seria

de funcţii ∑∞

1

)( xf n este uniform convergentă.

TEOREMA 3. (TRANSFERUL CONTINUITĂŢII).

Dacă ( ). .

1

( )u c

nf X S X

∞

→∑ şi n

f – continue atunci S – continuă, adică:

(4) 0 01 1

l i m ( ) l i m ( )n n

x x x xf x f x

∞ ∞

→ →=∑ ∑

TEOREMA 4. (TRANSFERUL DERIVABILITĂŢII).

Dacă . .

1

u c

nf S

∞

→∑ , n

f – derivabile şi . .

1

'u c

nf g

∞

→∑ , atunci S – derivabilă şi 'S g= , adică:

(5) '

1 1

( ) ' ( )n nf x f x∞ ∞

= ∑ ∑

TEOREMA 5. (TRANSFERUL INTEGRABILITĂŢII).

Dacă . .

1

u c

nf S∞

→∑ , n

f – integrabil pe [ ],a b , atunci S – integrabilă pe [ ],a b şi

(6) 1 1

( ) ( )b b

n n

a a

f x d x f x d x∞ ∞

=∑ ∑∫ ∫

3. SERII DE PUTERI. SERII TAYLOR

O serie de forma 0

;n

n na x a

∞

∈∑ R se numeşte serie de puteri.

Notăm 0

n

nC x a x

∞= ∈

∑R - convergentă. Funcţia :f C → R , ( )

0

,n

nf x a x x C

∞

= ∀ ∈∑ se numeşte

funcţie analitică. Pentru orice serie de puteri, 0 ,R R∃ ≥ - rază de convergenţă, astfel încât

a) ,x x R∀ < ⇒ serie uniform şi absolut convergentă

b) ,x x R∀ > ⇒ serie divergentă

În plus dacă 1l i m l i m | |n n

n nn

al a

a

+

→ ∞ → ∞∃ = = , atunci:

a) 0l R= ⇒ = + ∞ ; b) 1

0l lR

≠ ⇒ = .

OBSERVAŢII:

1. Pentru x R= , adică Rx ±= , se înlocuieşte în serie şi se studiază seriile numerice obţinute.

2. Dacă ( ) ∑∞

=0

n

n xaxS , atunci ( )xS se află prin derivare sau integrare, după forma lui na .

EXEMPLE:

1. ∑∞

1 n

xn

; 11 1l i m 1 1 , 1n

nn

n

aa R x x

n a R

+

→ ∞= ⇒ = = ⇒ = ⇒ ∀ < serie absolut convergentă;

, 1x x∀ > ⇒ serie divergentă; 1 1x x= ⇒ = ± . Pentru: 1

11x

n

∞

= ⇒ ∑ - divergentă;

1

11 ( 1 ) n

xn

∞

= − ⇒ −∑ - convergentă [ )1 , 1C⇒ = − .

Fie ( ) ( )' 1 2 1

1 1

11 . . . . . .

1

nn nx

S x S x x x x xn x

∞ ∞− −= ⇒ = = + + + + + = ⇒

−∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l n 1 ; 0 0 ; 0 0 l n 1S x x k S S k k S x x= − − + = = ⇒ = ⇒ = − − .

Pentru ( ) ( ) ( )1 1

1 11 1 l n 2 1 l n 2 1 l n 2

n nx S

n n

∞ ∞

= − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − =∑ ∑ .

2. 1

0

1( 1) . 1 lim 1 1, , 1n n

nn

n

an x a n R x x

a R

∞+

→ ∞+ = + ⇒ = = ⇒ = ∀ < ⇒∑ serie absolut convergentă;

, 1x x∀ > ⇒ serie divergentă; ( )0

1 1; 1 1x x x n∞

= ⇒ = ± = ⇒ +∑ - divergentă

0

1 ( 1) ( 1)nx n

∞

= − ⇒ − +∑ - divergentă ( )1,1C⇒ = − .

Fie ( ) 1

0 0 0

1( 1) ( )

1 1n n n x

S x n x S x dx x x x xx x

∞ ∞ ∞+= + ⇒ = = = ⋅ = ⇒

− −∑ ∑ ∑∫

( )'

2

1

1 (1 )

xS x

x x

= = − − .

Fie [ ]: , ,f a b f→ R – indefinit derivabilă în ( ),a bα ∈ ( ) ( )( ),nf nα∃ ∀ ∈ N . Atunci:

( ) ( )( )

1

( )

!

knk

n

k

fT x x

k

αα

=

= −∑ se numeşte polinom Taylor de gradul “n” asociat lui f în punctul α ;

( ) ( ) ( )n nR x f x T x= − se numeşte restul de ordin “n”, iar ( ) ( ) ( )

0 !

nnf

xn

αα

∞

−∑ - serie Taylor asociată

lui f în punctul α ; ( )( ) ( )

( )( )

11

1 !

nn

n

f cR x x

nα

++

= −+

(LAGRANGE) ( )( )xc ,α∈

Dacă 0α = ⇒ ( )( )

0

(0)

!

knk

n

k

fT x x

k=

= ∑ ; ( )

0

(0 )

!

nnf

xn

∞

∑ - serie Mac Laurin.

Dacă 0M∃ > astfel încât ( ) ( ) [ ], , ,nf x M x a b n≤ ∀ ∈ ∀ ∈ N , atunci seria Taylor asociată lui f în

punctul α este convergentă.

EXEMPLE:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 0 1n nx xf x e f x e f= = ⇒ = .

2

0

1 ...1! 2 ! ! !

n nx x x x x

en n

∞

= + + + + = ∑ .

11lim 0

!n

nn

n

aa R

n a

+

→ ∞= ⇒ = ⇒ = +∞ ⇒ serie uniform şi absolut convergentă pe R.

2. ( ) ( ) ( ) ( ) 10cos;00;sin '' =⇒=== fxxffxxf ; ( ) ( ) 00sin '''' =⇒−= fxxf ;

( ) ( ) 10cos '''''' −=⇒−= fxxf ; ( )( ) ( )( ) 10sin 44 =⇒= fxxf ;...

( )( )

=++

⋅−++−=+

...!12

1...!5!3!1

sin1253

n

xxxxx

nn ( )

( )∑∞ +

+⋅−

0

12

!121

n

x nn

( )( )!12

11

+⋅−−=

na

n

n ; n

n

n a

a 1lim +

∞→

( )( )

( )( )

=−

+⋅

+−

=+

∞→ n

n

n

n

n 1

!12

!32

1lim

1

( )( )⇒=

++∞→0

3222

1lim

nnn

⇒+∞=R serie uniform şi absolut convergentă pe R.

Analog ( )( )

=+⋅−++−= ...!2

1...!4!2

1cos242

n

xxxx

nn ( )

( )∑∞

⋅−0

2

!21

n

xn

n .

OBSERVAŢIE

Dezvoltarea funcţiilor în serii Taylor permite calculul valorilor aproximative a funcţiilor:

exponenţială, logaritmică, trigonometrice etc. Pentru a obţine o precizie dorită (de exemplu k

zecimale exacte) se pune condiţia ( )kn xR

10

1< , de unde se deduce n, adică numărul termenilor ce

trebuie sumaţi.

4. SERII FOURIER

Sistemul de funcţii [ ]1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,..., cos ,sin , ,x x x x nx nx x π π∈ − se numeşte sistem

trigonometric fundamental sau pe scurt, sistem trigonometric. El are o proprietate remarcabilă,

numită proprietatea de ortogonalitate: ( ) ( ) jinjidxxfxf ji ≠=∀=∫−

;,1,;0π

π

. Polinomul

(1) ( ) ( )0

1

cos sin2

n

n k k

k

aT x a kx b kx

=

= + +∑ se numeşte polinom trigonometric de ordinul „n” şi

perioadă 2T π= , iar

(2) ( )0

1

cos sin2 n n

aa nx b nx

∞

+ +∑ se numeşte serie trigonometrică de perioadă 2T π=

Dacă seria (2) este uniform convergentă pe [ ],π π− , deci există

( ) ( )0

1

cos sin2 n n

af x a nx b nx

∞

= + +∑ atunci f – continuă pe [ ],π π− şi

(3)1

( ) cos , 0n

a f x nxdx n

π

ππ −

= ∀ ≥∫ ; 1

( ) sin , 1n

b f x nxdx n

π

ππ −

= ∀ ≥∫ .

Coeficienţii ,n n

a b – daţi de (3) se numesc coeficienţi FOURIER, iar seria trigonometrică formată cu

aceştia se numeşte serie FOURIER.

CAZURI PARTICULARE.

1) Dacă f – pară ( ) ( )( )0

20 ; ( ) cos ; 0n nf x f x b a f x nxdx n

π

π− = ⇒ = = ∀ ≥ ⇒∫ serie de cosinus.

2)Dacă f –impară ( ) ( )( )0

20, 0 ; ( ) sin ; 1n nf x f x a n b f x nxdx n

π

π− = − ⇒ = ∀ ≥ = ∀ ≥ ⇒∫ serie de sinus

Funcţia f satisface condiţii de tip DIRICHLET pe ( ),π π− dacă:

a) f –mărginită: ( ) ( ), ,f x M x π π≤ ∀ ∈ − ;

b) f – are un număr finit de discontinuităţi de speţa întâi;

c) f – are un număr finit de extreme stricte.

În acest caz avem:

a) ( ), ,x xπ π∀ ∈ − – punct de continuitate ( ) ( )0

1

cos sin2 n n

af x a nx b nx

∞

⇒ = + +∑ ;

b) ( ), ,x xπ π∀ ∈ − – punct de discontinuitate de speţa întâi şi ( ) ( )0

1

cos sin2 n n

aS x a nx b nx

∞

= + +∑

avem: ( ) ( 0) ( 0)

2

f x f xS x

− + += ; c) ( ) ( ) ( 0) ( 0)

2

f fS S

π ππ π

− − + −− = = .

Dacă seria (3) este uniform convergentă, atunci:

(4) ( ) ( )2 2 2 20

1

1 1

2 n na a b f x dx

π

ππ

∞

−

+ + =∑ ∫ (PARSEVAL)

x 0 -π π

EXEMPLU

( ) [ ], ,f x x x π π= ∈ − şi să se deducă ∑∞

−12)12(

1

n.

π

Din grafic se deduce că f satisface condiţiile Dirichlet.

În plus ( ) ( )f x x x f x f− = − = = ⇒ - pară ⇒ 0nb =

2

0

0

2 2

02

xa x d x

π π

π π= = ⋅ ⇒∫ 0a π= ⇒

'

0 0

2 2 s inc o sn

n xa x n x d x x d x

n

π π

π π = = =

∫ ∫

= ( ) 22 20 00

2 2 2s in s in c o s 1 1 0

n

nx n x n x d x n x an n n

ππ π

π π π

− = = − − ⇒ =

∫ ;

( )

( )2 1 2 21

4 4 1c o s 2 1

2 ( 2 1)2 1na x n x

nn

πππ

∞

− = − ⇒ = − −−−

∑

Pentru 2

1

4 10 0

2 ( 2 1)x

n

ππ

∞

= ⇒ = − ⇒−∑ ∑

∞

=−1

2

2 8)12(

1 πn

( )3 3

2 2 2

3 3

xf x d x x d x

π π

π π

π ππ− −

= = =−∫ ∫ . Aplicând (4)

( )

2 3

421

1 6 1 2

2 32 1n

π πππ

∞

⇒ + = ⋅ ⇒−

∑

( )

2

42 21

1 6 1 6

62 1n

ππ π

∞

= ⇒−

∑ ( )

4

41

1

9 62 1n

π∞

=−

∑

C3.

1. DERIVABILITATE. DERIVABILITATEA FUNCŢIILOR REALE CU ARGUMENT

REAL

T

y

B

A

α

0 0x γ x

Fie ( )( ) DxxfxGDxDf f ∈=∈→⊂ ,;,: 0RR - graficul lui f ; ( )( )00 , xfxA ; ( )( )xfxB , ;

A – fix; B – variabil. Dacă B se deplasează pe fG către A, atunci intuitiv coarda AB se deplasează

către tangenta AT la grafic; ( ) ( )

00

0 ; xxABxx

xfxfm AB →⇔→

−

−= . Dacă există şi este finită

( ) ( )f

xx

xfxf

xx⇒

−

−→

0

0

0

lim - derivabilă în 0x şi ( ) ( ) ( ) ( )0

000

'

0

limxx

xfxfx

dx

dfxf

xx −

−==

→

( ); ,A T

m tg A T O xα α= = ⇒ ( ) ( ) ( )( )'0 0 0A T y f x f x x x− = −

Notând ⇒→=− 00 hxx ( ) ( ) ( )h

xfhxfxf

h

00

00

' lim−+

=→

Derivatele funcţiilor elementare

0' =c ; 1' =x ; ( ) 1' −= nnnxx ; ( )

xx

2

1'= ; ( ) xx

ee ='

; ( ) aaaxx ln

'= ; ( )

xx

1ln ' = ; ( )

axxa ln

1log ' =

( ) xx cossin ' = ; ( ) xx sincos ' −= ; ( )x

tgx2

'

cos

1= ; ( )

xctgx

2

'

sin

1−= ; ( )

2

'

1

1arcsin

xx

−= ;

( )2

'

1

1arccos

xx

−−= ; ( )

2

'

1

1

xarctgx

+= ; ( )

2

'

1

1

xarcctgx

+−=

Reguli de derivare

( ) '''gfgf +=+ ; ( ) ''

ff ⋅= λλ ; ( ) '''fggfgf +=⋅ ;

2

'''

g

fggf

g

f −=

; ( ) ( )( )''''

xfxf = ;

( ) ( )( )''''''xfxf = ;...; ( ) ( ) ( ) ( )( )'1

xfxfnn −= .

Notăm ( ) ( ) ( ) nnfDfDC ∃→= R: - continuă pe D .

Derivata funcţiilor compuse: ( )( ) ( ) '''uufuf ⋅=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn

n

kknk

n

n

n

n

n

nvuCvuCvuCvuCvu ⋅++⋅++⋅+⋅=⋅ −− ......'110 (LEIBNIZ)

Fie [ ] [ ]baxbaf ,,,: 0 ∈→ R . Atunci:

a) 0x - punct de maxim ( ) ( )0;, 00 >+−=∃⇔ εεε xxV , astfel încât ( ) ( ) [ ]baVxxfxf ,,0 ∩∈∀≤

b) 0x - punct de minim ( ) ( )0;, 00 >+−=∃⇔ εεε xxV , astfel încât ( ) ( ) [ ]baVxxfxf ,,0 ∩∈∀≥

c) 0x - punct de extrem ⇔ 0x - punct de maxim sau de minim.

TEOREMA FERMAT

Dacă ( ) [ ]0 0: , , , ,f a b x a b x→ ∈R - punct de extrem şi f - derivabilă în 0x , atunci ( ) 00' =xf .

Reciproca teoremei Fermat nu este în general adevărată. Punctele în care se anulează derivata întâi a

unei funcţii se numesc puncte critice. Folosind formula lui Taylor cu restul Lagrange se poate

preciza în ce condiţii reciproca teoremei Fermat este totuşi adevărată.

Fie [ ] ( ) ( ) [ ]( )baCfbaxbafn ,,,,,: 0 ∈∈→ R . Dacă ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 0

10

''0

' ==== −xfxfxf

n ;

( ) ( ) 00 ≠xfn , atunci:

1) n – par ⇒ a) ( ) ( ) 00 0 xxfn ⇒> - punct de minim; b) ( ) ( ) 00 0 xxf

n ⇒< - punct de maxim

2) n – impar ⇒ 0x - nu este punct de extrem.

Fie [ ] fbaf ,,: R→ - continuă pe [ ]ba, .

1) f - funcţie convexă, dacă tangenta la grafic în orice punct din [ ]ba, este situată sub grafic;

y

O a b x

2) f - funcţie concavă, dacă tangenta la grafic în orice punct din [ ]ba , este situată deasupra

graficului;

y

O a b x

3) [ ] 00 ,, xbax ∈ - punct de inflexiune, dacă tangenta la grafic în 0x , traversează graficul.

y

O a 0x b x

Folosind aceeaşi formulă Taylor se arată că dacă [ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( )baxbaCfbaxbafn ,,,,,,,: 00 ∈∈∈→ R

şi ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 01

0'''

0'' ==== − xfxfxf n ; ( ) ( ) 00 ≠xf n , atunci:

1) n – par ⇒ a) ( ) ( ) fxf n ⇒> 00 - convexă în ( )εε +−= 00 , xxV ;

b) ( ) ( ) fxfn ⇒< 00 - concavă în ( )εε +−= 00 , xxV ;

2) n – impar 0x⇒ - punct de inflexiune.

EXEMPLU

( ) ∗∈∈= NR nxexxfxn ;; ; ( ) ( )xnexexenxxf

xnxnxn +=+= −− 11' ;

( ) nxxxf −==⇒= 21' ;00 puncte critice

( ) ( ) ( ) ( ) xnxnxnexxnexxnexnxf

112'' 1 −−− ++++−= ; ( ) ( ) nnennf

−−−=− 1''

Dacă 1−n - par n⇔ - impar ( ) nxennfnn −=⇒>=−⇒ −− 01'' punct de minim;

Dacă n - par ( ) nxennfnn −=⇒<−=−⇒ −− 01'' punct de maxim.

( ) 00'' =f . Luând în formula LEIBNIZ xeu = şi n

xv = ( ) ( ) xnx

n

xnexxenCenxf +++=⇒ ...!! 1

( ) ( ) 0!0 >=⇒ nfn

1) Dacă n - par 0=⇒ x - punct de minim

2) Dacă n - impar 0=⇒ x - punct de inflexiune

Fie [ ] fbaf ;,: R→ se numeşte funcţie Rolle, dacă f - continuă pe [ ]ba, şi f - derivabilă pe ( )ba,

TEOREMA ROLLE

Dacă [ ] fbaf ;,: R→ - funcţie Rolle şi ( ) ( )bfaf = , atunci ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) 0' =cf .

TEOREMA LAGRANGE

Dacă [ ] fbaf ;,: R→ - funcţie Rolle, atunci ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )cfabafbf'−=− .

2. DERIVABILITATEA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT VECTORIAL

Fie 2:f D ⊂ →R R ; ( ) ( ) R∈=→∈∀ yxfzDyxf

,, ( )0 0,x y D∈ - fixat. Dacă există şi este finită

0

0 0 0

0

( , ) ( , )limx x

f x y f x y

x x→

−

−, atunci aceasta se numeşte derivata parţială de ordinul unu a lui f în raport

cu variabila x şi se notează ( ) ( )0

' 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , limx

x x

f x y f x yfx y f x y

x x x→

−∂= =

∂ −

Analog, ( ) ( )0

' 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , lim

yy y

f x y f x yfx y f x y

y y y→

−∂= =

∂ − se numeşte derivata parţială de ordin 1 a

lui f în raport cu y . Definiţii analoge au loc pentru funcţii de 3 sau mai multe variabile.

Practic, pentru a calcula x

f

∂∂

, se derivează f (după regulile obişnuite) în raport cu x , ca şi cum

celelalte variabile ar fi constante.

INTERPRETARE GEOMETRICĂ

În spaţiu ( )yxfz ,= reprezintă ecuaţia unei suprafeţe, dată explicit. Pentru 0xx = - fix se obţine o

curbă pe suprafaţă a cărei ecuaţie este ( )yxfz ,0= ; tangenta 1t la această curbă în ( )00 , yx este:

( )1t ( )( )0000 , yyyxy

fzz −

∂∂

=−

Ţinând cont că ( )1t se aflăî în planul 0xx = , ecuaţiile ei sunt:

( )1t ( )00

000

,10yx

y

f

zzyyxx

∂∂

−=

−=

−

şi deci ( )

∂∂

− 00 ,,1,0 yxy

f- reprezintă parametrii directori ai tangentei ( )1t la graficul funcţiei

( )yxfz ,0= . Analog pentru 0yy = , obţinem tangenta ( )2t :

( )2t ( )00

000

,01yx

x

f

zzyyxx

∂∂

−=

−=

−

şi deci ( )

∂∂

− 00 ,,1,0 yxx

f- reprezintă parametrii directori ai tangentei ( )2t la graficul funcţiei

( )0, yxfz = .

Prin definiţie planul determinat de ( )1t şi ( )2t se numeşte planul tangent la suprafaţă în punctul

( )( )00000 ,,, yxfzyx = ; N - normala la suprafaţă este vectorul perpendicular la planul tangent în

acest punct. Deci ( )

( )

⇒

∂

∂−

∂∂

−=

00

00

,01

,10

yxx

f

yxy

f

kji

N ( ) ( ) kjyxy

fiyx

x

fN −

∂∂

−∂∂

−= 0000 ,,

TEOREMA 1 (Lagrange).

Fie ( )20 0: , ,f D x y D⊂ → ∈R R , astfel încât ,

f f

x y

∂ ∂∃

∂ ∂ în D.

Atunci ( ) ( ) ( )0 0, , , , ,x y D x x y yξ η∀ ∈ ∃ ∈ ∈ astfel încât:

(1) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0, , , ,f f

f x y f x y y x x x y yx y

ξ η∂ ∂

− = − + −∂ ∂

DEMONSTRAŢIE

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000000 ,,,,,, yxfyxfyxfyxfyxfyxf −+−=− . Fie ( ) ( )yxfx ,=φ cu y – fixat şi

( ) ( )00, yxfy =ψ . Conform teoremei Lagrange, ( ) ( )yyxx ,,, 00 ∈∈∃ ηξ astfel încât

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )yxfyxfxxyx

fxxxx ,,, 000

'0 −=−

∂

∂=−=− ξξφφφ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )000000'

0 ,,, yxfyxfyyxy

fyyyy −=−

∂∂

=−=− ηηψψψ

CONSECINŢĂ.

Dacă f are derivate parţiale de ordinul unu mărginite în D, atunci f - continuă pe D.

TEOREMA 2. (Derivabilitatea funcţiilor compuse).

Fie ( ) ( )BCvuBvu 1,,:, ∈→⊂ RR ; ( ) ( ) R∈→∈∀ xvxuBxvu

,,

;

( ) ( ) ( ) ( ) RRR ∈→∈∀∈→⊂ vufAvuACfAff

,,;;: 12 . Deci ( ) ( ) ( )( )xvxufvuff ,, == . Atunci:

(2) dx

dv

v

f

dx

du

u

f

x

f⋅

∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

DEMONSTRAŢIE

Fie 00 , xBx ∈ - oarecare; ( ) ( ) 0000 ; vxvuxu == . Din teorema Lagrange, ( ) ( )vvuu ,,, 00 ∈∈∃ ηξ

astfel încât ( ) ( ) ( )( ) ( )( )⇒−∂∂

+−∂∂

=− 00000 ,,,, vvuv

fuuv

u

fvufvuf ηξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

00

0

0

0

00 ,,,,

xx

xvxvu

v

f

xx

xuxuv

u

f

xx

vufvuf

−

−

∂∂

+−

−

∂∂

=−

−ηξ . Pentru 00 uuxx →⇒→ ,

000 , vuvv →→⇒→ ηξ ; ( ) ( ) ( ) ( )00

'

0

0 xdx

duxu

xx

xuxu=→

−

−;

( ) ( ) ( ) ( )00'

0

0 xdx

dvxv

xx

xvxv=→

−

−.

CONSECINŢĂ

Fie ( ) ( )BCvuBvu 12 ,,:, ∈→⊂ RR ; ( ) ( ) R∈→∈∀ yxvyxuBxvu

,,,,

;

( ) ( ) ( ) ( ) RRR ∈→∈∀∈→⊂ vufAvuACfAff

,,;;: 12 .Deci ( ) ( ) ( )( )yxvyxufvuff ,,,, == .Atunci:

(3) y

v

v

f

y

u

u

f

y

f

x

v

v

f

x

u

u

f

x

f

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

∂

∂

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

∂

∂;

Formule analoge au loc şi pentru funcţiile de mai multe variabile.

EXEMPLU:

Dacă ( ) ( )2 2 2, , ,f x y z x y x y zφ= + − , atunci: ( )2 2 0f f f

x z y z x yx y z

∂ ∂ ∂− + − =

∂ ∂ ∂.

Fie ( )2 2 2, ,u x y v x y z f u vφ= = + − ⇒ = ; ' '2u v

f f u f vy x

x u x v xφ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂;

' '2u v

f f u f vx y

y u y v yφ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂; '2

v

f f u f vz

z u z v zφ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )2 2 ' 2 ' ' 2 ' 2 ' 2 '2 2 2 2 0u v u v v v

f f fx z y z x y x y z x z x y z y z x z y z

x y zφ φ φ φ φ φ

∂ ∂ ∂− + − = + − − − + =

∂ ∂ ∂.

Fie 2:f D ⊂ →R R astfel încât ,f f

x y

∂ ∂∃

∂ ∂. Dacă acestea sunt la rândul lor derivabile parţial pe D ,

atunci derivatele lor parţiale se numesc derivatele parţiale de ordinul doi ale lui f .

2''

2 xx

f ff

x x x

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ,

2''

2 yy

f ff

y y y

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂

, 2

''xy

f ff

x y x y

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ ∂

, 2

''yx

f ff

y x y x

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ; ultimele

două se mai numesc şi derivatele parţiale mixte de ordin doi. Dacă f are derivate parţiale mixte de

ordinul doi continue, atunci acestea sunt egale.

(4) 2 2

f f

x y y x

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂ (SCHWARZ)

EXEMPLU:

Fie ( )222

1,,

zyxzyxf

++= . Să se calculeze

2

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ (LAPLACIANUL lui f)

Fie 222zyxu ++=

2

11

udu

df

uf −=⇒=⇒ ;

u

x

zyx

x

x

u=

++=

∂∂

2222

2; analog

u

y

y

u=

∂∂

;

u

z

z

u=

∂∂

. 3

u

x

x

u

du

df

x

f−=

∂∂

⋅=∂∂

; analog 3

u

y

y

f−=

∂∂

; 3

u

z

z

f−=

∂∂

5

22

6

32

6

23

2

2 333

u

ux

u

uu

xxu

u

x

uuxu

x

f −=

−⋅=∂

∂⋅⋅−

−=∂

∂. Analog:

5

22

2

2 3

u

uy

y

f −=

∂

∂;

5

22

2

2 3

u

uz

z

f −=

∂

∂

( )0

33335

22

5

2222

=−

=−++

=∆⇒u

uu

u

uzyxf

RELAŢIA LUI EULER PENTRU FUNCŢII OMOGENE

Fie 3: ,f D f⊂ →R R se numeşte omogenă de ordin p

( ) ( ) ( ), , , , , , , ,pf tx ty tz t f x y z x y z D t⇔ = ∀ ∈ ∀ ∈ R . Dacă f - omogenă de ordin p şi are derivate

parţiale de ordinul unu, atunci:

(5) ( ), ,f f f

x y z pf x y zx

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂(EULER)

DEMONSTRAŢIE

Fie ( ) ( ) ( )( ) ( )zyxfttXftztytxftp ,,,, ===φ ; ( ) ( )⇒= −

zyxfpttp ,,1'φ ( ) ( )zyxpf ,,1' =φ ;

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⇒⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

= ztXz

fytX

y

fxtX

x

ft

'φ

( ) ( ) ( ) ( ) )5(,,,,,,1' ⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

= zyxz

fzzyx

y

fyzyx

x

fxφ

EXEMPLU ( ) xzzyyxzyxf222,, ++= ;

( ) ( ) fzyxttxzttzyttyxttztytxf ⇒++=++= 2223222222,, - omogenă de ordin 3=p

22 zxyx

f+=

∂∂

; yzxy

f22 +=

∂∂

; xzyz

f22 +=

∂∂

;

( )zyxfxzzyzyyxxzyxz

fz

y

fy

x

fx ,,3222 222222 =+++++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

3. DERIVATA DUPĂ O DIRECŢIE (VERSOR)

Fie f: D ⊂ R3 → R, M0(x0,y0,z0)∈ D, M0 - fix; M(x,y,z)∈D, M –variabil, astfel încât stMM =0 ,

0>t , s =s1 i + s2 j + s3 k ; 2 2 2

1 2 3s s s+ + = 1. Dacă există şi este finită 0

limMM →

( ) ( )|||| 0

0

MM

MfMf −, atunci

aceasta se numeşte derivata funcţie f în M0 , după direcţia versorului ( )0s M M t s=u u u u uurr r

şi se notează

ds

df(M0). Deci (1) ( ) ( ) ( )

MM

MfMfM

ds

df

MM

0

00

0

lim−

=→

stMM =0 10 tsxx =−⇒ ; 3020 ; tszztsyy =−=− . Notăm ( ) ( )302010 ,, tsztsytsxtX +++=

( ) 00 MX =⇒ ; ( ) ( )( )tXft =φ ; dacă 00 →⇒→ tMM . Deci ( ) ( ) ( ) ( )00

lim '

00 φ

φφ=

−=

→ t

tM

ds

df

t.

Dar ( ) ( ) ( ) ( )'1 0 2 0 3 00

f f fs M s M s M

x y zφ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂. Deci:

(2) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 3 0

f f f fM s M s M s M

s x y z

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂

Vectorul care are drept componente derivatele parţiale de ordinul I ale lui f se numeşte gradientul

lui f şi se notează gradf . Deci

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

z

f

y

f

x

fgradf ,, ; ( ) ⇒= 321 ,, ssss (3) gradfs

ds

df=

Dacă x

f

ds

dfsssis

∂∂

=⇒===⇒= 0,1 321 ; analog pentru y

f

ds

dfjs

∂

∂=⇒= ;

z

f

ds

dfks

∂∂

=⇒=

În concluzie derivatele parţiale de ordin I ale unei funcţii sunt derivatele acelei funcţii după

direcţiile axelor de coordonate.

EXEMPLU

( ) ( ) ( )6,5,4;1,1,1;,, 0222

MMzyxzyxf ++= ; s - versorul vectorului MM 0

( ) ( ) ( ) kjikzzjyyixxMM 5431212120 ++=−+−+−=

( ) ( ) ( ) 2525169212

212

2120 =++=−+−+−= zzyyxxMM

++== jiMM

MMs

25

4

25

3

0

0 k25

5

25

5,

25

4,

25

3321 ===⇒ sss

( ) ( ) ( ) 22;22;220

00

00

0 ==∂∂

==∂∂

==∂∂

MzM

z

f

MyM

y

f

MxM

x

f; ( )

25

24

25

10860 =

++=M

ds

df

C4.

DIFERENŢIABILITATE

1. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT REAL

Fie RR →⊂Df : ; −∈ fDx ,0 derivabilă în ( ) ( ) ( )⇒

−+=∃⇒

∞→ h

xfhxfxfx

n

000

'0 lim

( ) ( ) ( )0lim 0

'00 =

⋅−−+∞→ h

hxfxfhxf

n. Deci RR →∃ :T ; ( ) ( ) −⋅= ThxfhT ,0

' aplicaţie liniară

astfel încât ( ) ( ) ( )

0lim 00 =−−+

∞→ h

hTxfhxf

n. Aplicaţia liniară T se numeşte diferenţiala funcţiei f

în 0x şi se notează ( )0xdfT = .

RECIPROC

Dacă −→ TT ;: RR aplicaţie liniară ( ) hhT λ=⇒ ; dacă ( ) ( ) ( )

⇒=−−+

→0lim 00

0 h

hTxfhxf

h

( ) ( )−⇒=−

−+→

fh

xfhxf

h0lim 00

0λ derivabilă în 0x şi ( ) λ=0

'xf ; deci −f diferenţiabilă în 0x

−⇔ f derivabilă în 0x . ( ) ( )( ) ( ) hxfhhxdfhT ⋅=== 0'

0 λ ; pentru ( ) ( ) ⇒=⇒= 1'xfxxf

( )( ) hhdx = . În practică o funcţie se identifică cu mulţimea valorilor ei; deci ⇒= hdx

( )dxxfdf'= ; de unde şi notaţia ( )

dx

dfxf =' .

Fie ( ) ( ) ( )000 xfhxfxf −+=∆ - variaţia funcţiei f în 0x( ) ( )

⇒=−∆

⇒→

0lim 0

0 h

hTxf

h

( ) ( )[ ] ⇒=−∆→

0lim 00

hTxfh

( )0xf∆ ≃ ( )0xdf ⇒ diferenţiala unei funcţii într-un punct aproximează

variaţia funcţiei în acel punct.

2. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT VECTORIAL

Fie 2:f D ⊂ →R R , ( )00 , yx ∈ D . f se numeşte diferenţiabilă în ( ) 20 0, :x y T⇔ ∃ →R R ,

T – liniară ( ) ( )( )21 1 2 2 1 2, ,T h h h h h hλ λ= + ∀ = ∈ R astfel încât

( ) ( ) ( )||||

,,lim 002010

0 h

hTyxfhyhxf

h

−−++→

= 0. Aplicaţia liniară T se numeşte diferenţiala lui f în

( )00 , yx şi se notează ( )0 0,T d f x y=

TEOREMA 1. (Condiţia necesară de diferenţiabilitate).

Dacă f – diferenţiabilă în ( )00 , yx , atunci f - derivabilă parţial în ( )00 , yx . În acest caz

(1) f f

d f d x d yx y

∂ ∂= +

∂ ∂.

DEMONSTRAŢIE

Fie ( ) ⇒>= 0;0, 11 hhh( ) ( )

⇒=−−+

→0

,,lim

1

1100010

01 h

hyxfyhxf

h

λ

( ) ( )⇒=−

−+→

0,,

lim 11

00010

01

λh

yxfyhxf

h( )001 , yx

x

f

∂

∂=λ

Analog pentru ( ) ⇒>= 0;,0 22 hhh ( )002 , yxy

f

∂∂

=λ

( ) ( )( ) =+== 221100 , hhhyxdfhT λλ ( ) ( ) 200100 ,, hyxy

fhyx

x

f

∂∂

+∂∂

Pentru ( ) ( )( ) ⇒=⇒=∂∂

=∂∂

⇒= 10;1, hhdxy

f

x

fxyxf dxh =1 . Analog pentru ( ) ⇒= yyxf ,

dyh =2 şi deci dyy

fdx

x

fdf

∂∂

+∂∂

= . Analog, pentru o funcţie RR →⊂ nDf :

n

n

dxx

fdx

x

fdx

x

fdf

∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...22

11

. Dacă ( ) ( ) ( )00201000 ,,, yxfhyhxfyxf −++=∆ - variaţia lui

f în ( )⇒00 , yx ( )00 , yxdf ≃ ( )00 , yxdf

Notând ( )ndxdxdxdX ,...,, 21= , cum ⇒

∂∂

∂∂

∂∂

=n

x

f

x

f

x

fgradf ,...,,

21

dXgradfdf ⋅=

TEOREMA 2. (Condiţia necesară şi suficientă de diferenţiabilitate).

Dacă f are derivate parţiale de ordinul unu, continue în ( )00 , yx , atunci f-diferenţiabilă în

( )00 , yx .

EXEMPLE:

1) Să se calculeze cu aproximaţie 33 97,102,1 +=α .

Fie ( ) 33, yxyxf += ; 03,0;02,0;2;1 2100 −==== hhyx

( )2,1df ≃ ( )2,1f∆ ( )2,1f−= α ; ( ) 3812,1 =+=f

( )( )

=+

=∂∂

2,12

32,1

33

2

yx

x

x

f

2

1

32

3=

⋅; ( )

( )2

2,12

32,1

33

2

=+

=∂∂

yx

y

y

f

( ) ( ) ( ) 05,006,001,02,12,12,1 21 −=−=∂∂

+∂∂

=y

fh

x

fhdf 05,0⇒ ≃ αα ⇒− 3 ≃ 95,2

2) Un cazan paralelipipedic dreptunghic are dimensiunile mzmymx 4,6,10 === . Sub

influenţa căldurii aceste dimensiuni suferă o modificare cu 01,0;02,0;04,0 321 === hhh . Să

se aproximeze variaţia volumului cazanului.

Fie V – volumul cazanului xyzV =⇒ ; ( )4,6,10V∆ ≃ ( )4,6,10dV ; 24==∂∂

yzx

V ;

40==∂∂

xzy

V ;

⇒==∂∂

60xyz

V ( ) =⋅+⋅+⋅= 01,06002.04004.0244,6,10dV ⇒=++ 336,260,080,096,0 m

V∆ ≃ 336,2 m .

3. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR VECTORIALE DE ARGUMENT VECTORIAL

Fie : n mf D ⊂ →R R ; Dx ∈0 ; ( ) ( ) ==→∈=∀ xfyDxxxx

f

n,...,, 21 ( ) ( ) ( )( )xfxfxf m,...,, 21

f - se numeşte diferenţiabilă în 0x , dacă : ,n mT T∃ →R R - aplicaţie liniară, astfel încât:

( ) ( ) ( )0 0

0lim 0h

f x h f x T h

h→

+ − −= ; ( )0xdfT = ; f - diferenţiabilă if⇔ - diferenţiabile,

mi ,1=∀

( ) == mdfdfdfdf ,...,, 21

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

n

n

mmm

n

n

dx

dx

dx

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

...

...

............

...

...

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Notăm f

nj

mij

i

f Jx

fJ ;

,1,1

==

∂

∂= - matricea JACOBI; ( ) ⇒= t

ndxdxdxdX ,...,, 21 dXJdf f=

Dacă ( )( )n

n

fxxxD

fffDJnm

,...,,

,...,,det

21

21=⇒= - determinant funcţional sau JACOBIAN.

DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR

Fie RR →⊂ 2: Df , astfel încât ⇒∂∂

+∂∂

=∃ dyy

fdx

x

fdf dy

ydx

xd

∂⋅∂

+∂

⋅∂=⋅ - operator de

diferenţiere ⇒ ( )fdyy

dxx

df

∂⋅∂

+∂

⋅∂= ; ( )

( )

( ) =

∂

⋅∂+

∂

⋅∂== fdy

ydx

xdfdfd

2

2

22

222

2

2

2 dyy

fdxdy

yx

fdx

x

f

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= ; ( ) ( )( )0;0 == dyddxd .

În general ( )

( ) =

∂

⋅∂+

∂

⋅∂= fdy

ydx

xfd

n

n ∑=

−−∂∂

∂n

k

knk

knk

nk

n dydxyx

fC

0

.

Dacă RR →⊂ nDf : , atunci

⇒∂

⋅∂=⋅⇒

∂

∂= ∑∑

==

n

k

k

k

n

k

k

k

dxx

ddxx

fdf

11

( )

( )fdxx

fd

mn

k

k

k

m

∂⋅∂

= ∑= 1

Cu ajutorul acesteia se poate exprima formula lui TAYLOR pentru funcţii reale de argument

vectorial. Fie RR →⊂ nDf : , ( ) ( )DCf m 1+∈ , ( ) aDaaaa n ;,...,, 21 ∈= - fix;

( ) xDxxxx n ;,...,, 21 ∈= - variabil. Atunci ( ) ( ) ( ) ( )( ) +

∂⋅∂

−+= ∑=

afx

axafxfn

k k

kk

1!1

1

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) m

mn

k k

kk

n

k k

kk Rafx

axm

afx

ax +

∂⋅∂

−++

∂⋅∂

−+ ∑∑== 1

2

1 !

1...

!2

2, unde

( )( )

( )

( )( )( ) ( )1,0;!1

11

1

∈−+

∂⋅∂

−+

=+

=∑ θθ axaf

xax

mR

mn

k k

kkm

În particular, pentru 0=m , notând ( )nξξξξ ,...,, 21= avem:

( ) ( ) ( ) ( )∑= ∂

∂−=−

n

k k

kkx

faxafxf

1

ξ (LAGRANGE)

C5.

EXTREME DE FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

1. EXTREME LIBERE (NECONDIŢIONATE).

Fie f: D ⊂ Rk → R, a ∈ D şi ( ) ( ) raxdxraSVk <∈== ,, R . Atunci:

1) a punct de minim local al lui f ⇔ ∃ V ∈ V(a) a.î. f(x) ≥ f(a), ∀ x ∈ V ∩ D;

2) a punct de maxim local al lui f ⇔ ∃ V ∈ V(a) a.î. f(x) ≤ f(a), ∀ x ∈ V ∩ D;

3) Un punct de minim sau maxim local se numeşte punct de extrem local.

TEOREMA (FERMAT).

Fie f: D ⊂ Rk → R, a ∈ D . Dacă:

a) a – punct de extrem local;

b) f – are derivate parţiale de ordinul unu în a, atunci ix

f

∂∂

(a) = 0, ∀ i = k,1 .

Reciproca teoremei Fermat nu este adevărată. Punctele în care se anulează derivatele parţiale

de ordinul unu se numesc puncte staţionare. Pentru a decide care din aceste puncte sunt de extrem,

aplicăm formula Taylor: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )⇒+−−∂∂

∂=− ∑

=

xRaxaxaxx

fafxf

n

ji

jjii

ji

21,

2

!2

1semnul lui

( ) ( )afxf − este dat de forma pătratică ( ) ( )( )( ) =−−∂∂

∂= ∑

=

n

ji

jjii

ji

axaxaxx

fad

1,

22 φ

( )∑= ∂∂

∂=

n

ji

ji

ji

dxdxaxx

f

1,

2

a) ( ) ⇒≥ 02ad φ ( ) ( ) aafxf ⇒≥ - punct de minim

b) ( ) ⇒≤ 02ad φ ( ) ( ) aafxf ⇒≤ - punct de maxim

c) ( )ad φ2 îşi schimbă semnul a⇒ nu este punct de extrem. În acest caz el se numeşte punct şa.

OBSERVAŢIE

Dacă ( ) 02 =ad φ , atunci se aplică formula lui Taylor pentru termeni de ordin superior. Pentru

studiul formei pătratice ( )ad φ2 se aplică teorema lui Sylvester.

Fie

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂

=

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

...

............

...

...

kkk

k

k

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

H - matricea HESSE şi

22

2

12

221

2

21

2

221

2

1 ,

x

f

xx

f

xx

f

x

f

x

f

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂

=∂

∂= δδ , ...,

kk H δδδδ ,...,,;det 21= - minori principali.

1) Dacă 1 2 30, 0, 0,...δ δ δ> > > ⇒punct de minim;

2) Dacă 1 2 30, 0, 0,...δ δ δ< > < ⇒ punct de maxim;

3) Pentru orice altă combinaţie de semne a nu este punct de extrem.

OBSERVAŢIE

Dacă ki ,1=∃ astfel încât 0=iδ atunci se apelează la derivatele de ordin superior în formula

TAYLOR.

EXEMPLE:

1) ( ) 3 3, 3f x y x y x y= + +

22

4 32

3 3 0

00 ( 1) 03 3 0

fx y

x y xx

f x x x xy x

y

∂ = + = ∂ = − ⇒ ⇒ =

∂ + = ⇒ + = = + = ∂

sau 1; 0x y= − = sau ( )1 0 , 0y A= − ⇒

şi ( )1, 1B − − – puncte staţionare. 2

26

fx

x

∂=

∂;

2

3f

x y

∂=

∂ ∂;

2

26

fy

y

∂=

∂

a) ( )0 3

0 , 03 0

A H

⇒ =

1

2

0

9 0A

δ

δ

=⇒

= − < nu este punct de extrem

b) ( )6 3

1, 13 6

B H−

− − ⇒ = −

1

2

6 0

6 32 7 0

3 6

B

δ

δ

= − <

⇒−= = > −

punct de maxim.

2) ( ) 2 2 2, , 2 4 6f x y z x y z x y z= + + + + −

( )

2 2 0

2 4 0 1 , 2 , 3 1, 2 , 3

2 6 0

fx

x

fy x y z A

y

fz

z

∂= + = ∂

∂= + = ⇒ = − = − = ⇒ − −

∂ ∂

= − =∂

punct staţionar.

2

22

f

x

∂=

∂;

2

0f

x y

∂=

∂ ∂;

2

0f

x z

∂=

∂ ∂;

2

22

f

y

∂=

∂;

2

0f

y z

∂=

∂ ∂;

2

22

f

z

∂= ⇒

∂H =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

H

=

δ1 = 2 > 0; δ2 = 1 2 3

2 0 02 0

2 0 ; 4 0 ; 0 2 0 8 00 2

0 0 2

Aδ δ δ= > = = > = = > ⇒ – punct de minim

2. EXTREME CU LEGĂTURI (CONDIŢIONATE).

Se pune problema de a afla extremele funcţiei

( ) ( )1 2 1 2: , , . . . , , , . . . ,f

n

n nf D x x x x D y f x x x

⊂ → ∀ = ∈ → = ∈

R R R care verifică condiţiile;

( )1 2, , . . . , 0 , 1 ,i n

F x x x i m= = . În acest scop, se foloseşte metoda multiplicatorilor a lui LAGRANGE.

Se alcătuieşte funcţia Lagrange ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , . . . , ; , , . . . , . . .n m m m

x x x f F F Fφ λ λ λ λ λ λ= + + + + pentru care

se studiază o problemă de extrem liber; 1 2, , . . . ,m

λ λ λ – se numesc multiplicatori LAGRANGE.

EXEMPLE

1) ( ) 3 3 3, ,f x y z x y z= + + dacă 2 2 2 3 ; , , 0x y z x y z+ + = ≠ ;

Fie ( ) ( )3 3 3 2 2 2, , , 3 ;x y z x y z x y zφ λ λ λ= + + + + + − ∈ R

2

22

2

2

2 2 2

3 2 0

3 2 02 4 9 3

3 3 03 9 4 2

3 2 0

3 0

x xx

y yy

x y z

z zz

x y z

ϕλ

ϕλ

λ λλ λ

ϕλ

ϕλ

∂ = + = ∂

∂ = + = ∂

⇒ = = = − ⇒ ⋅ − = ⇒ = ⇒ = ±∂ = + =

∂ ∂ = + + − = ∂

1) ( )31 1 , 1 , 1

2x y z Aλ = ⇒ = = = − ⇒ − − − ⇒ x = y = z = -1 ⇒ A(-1, -1, -1) punct staţionar

2) ( )31 1 , 1 , 1

2x y z Bλ = − ⇒ = = = ⇒ punct staţionar

2 2 2 2 2 2

2 2 26 2 ; 0 ; 0 ; 6 2 ; 0 ; 6 2x y z

x x y x z y y z z

ϕ φ φ φ φ φλ λ λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = = = + = = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1)

3 0 03

0 3 02

0 0 3

Hλ

− = ⇒ = − −

1 2 33 0 ; 9 0 ; 2 7 0 Aδ δ δ= − < = > = − < ⇒ punct de maxim.

2)

3 0 03

0 3 02

0 0 3

Hλ = − ⇒ =

1 2 33 0 ; 9 0 ; 2 7 0 Bδ δ δ= > = > = > ⇒ punct de minim.

2) ( ), ,f x y z x y z= + + , dacă 2 2 22 ; 4x y z x y z− + = + + = .

( ) ( ) ( )2 2 2, , , , 2 4x y z x y z x y z x y zφ α β α β= + + + − + − + + + −

( )

( )2 2 2 2 2 2

1 2 0

2 0 ; 0 01 2 0

1 2 0

2 0 2 2

4 0 2 4 8 4 4 0 6 8 0 2 3 4 0 0 ;

xx

z x z x z x

yy

zz

x y z y x

x y z x x x x x x x x x

ϕα β

β βϕ

α β

ϕα β

ϕαϕβ

∂ = + + = ∂ ⇒ − = ≠ ⇒ − = ⇒ =∂ = − + = ∂ ∂

= + + =∂

∂= − + − = ⇒ = + ∂

∂ = + + − = ⇒ + + + − = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = = − ∂

1) ( )0 0 ; 2 0 , 2 , 0x z y A= ⇒ = = ⇒ – punct staţionar ⇒ 1 0 1

1 ;1 4 0 2

αα β

α β

+ =⇒ ⇒ = − = −

− + =

2) 4 4 2 4 4 2

; , ,3 3 3 3 3 3

x z y B = − ⇒ = − = − ⇒ − − −

punct staţionar ⇒

81 0

1 13 2 4 0 ;4 2 3

1 03

α ββ β α

α β

+

+ − =⇒ − = ⇒ = = −

− − =

2

22

x

ϕβ

∂=

∂;

2

0x y

ϕ∂=

∂ ∂;

2

22

y

ϕβ

∂=

∂;

2

0y z

ϕ∂=

∂ ∂;

2

22

z

ϕβ

∂=

∂.

1)

1 0 01

0 1 02

0 0 1

Hβ

− = − ⇒ = − −

1 2 31 0 ; 1 0 ; 1 0 Aδ δ δ= − < = > = − < ⇒ – punct de maxim;

2)

1 0 01

0 1 02

0 0 1

Hβ = ⇒ =

1 2 31 0 ; 1 0 ; 1 0 Bδ δ δ= > = > = > ⇒ – punct de minim.

ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR

1. CÂMPURI SCALARE

Se numeşte câmp scalar, definit pe 3R⊂D , orice aplicaţie R→D:φ ;

( ) ( ) R∈→∈∀ zyxDzyx ,,,, φφ

. Dacă ( ) ( )DCp∈φ , atunci câmpul scalar este de clasă ( )( )DC

p .

EXEMPLE

Câmpurile scalare ale presiunilor, temperaturilor, umidităţii etc.

Dacă φ este un câmp scalar şi R∈c , se numeşte suprafaţă de nivel, suprafaţa ( )0S , dată de

ecuaţia ( ), ,x y z cϕ = ( )cS . Evident că pentru ( ) DzyxM ∈∀ 0000 ,, , prin 0M trece o

suprafaţă de nivel şi numai una. În cazul câmpurilor scalare ale temperaturilor sau presiunilor,

suprafeţele de nivel se numesc izoterme, respectiv izobare.Fie ( ) ( ) φφ ,1DC∈ - câmp scalar. Se

numeşte gradientul lui φ , vectorul =

∂∂

∂∂

∂∂

=zyx

gradφφφ

φ ,,z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφ

.

PROPRIETĂŢI

1) Fie ( ) ( )DC1, ∈ψφ - câmpuri scalare şi R∈λ .

a) ( ) ψφψφ gradgradgrad +=+ ;

b) ( ) φλλφ gradgrad = ;

c) ( ) ψφφψψφ gradgradgrad +=⋅ ;

d) 2ψ

ψφφψψφ gradgrad

grad−

=

.

2) Fie ( ) ( ) φφ ,1 DC∈ - câmp scalar; ( ) ( )( )0;: 1 ≠∈→ ψRRR Cuu

( ) ( ) φφφ graduugrad '=o

( ) ( )x

uuu

x ∂∂

⋅=∂∂

φφ 'o ; ( ) ( )

y

uuu

y ∂

∂⋅=

∂

∂φφ '

o ; ( ) ( )z

uuu

z ∂∂

⋅=∂∂

φφ 'o .

3) Fie kzjyixrrrrr

++= ; kcjciccrrrr

321 ++= - constant; 222zyxrr ++==

r;

( ) ( )RRR 1;: Cuu ∈→

a) r

rrgrad

r

= ; r

x

zyx

x

x

r=

++=

∂∂

2222

2; analog

r

y

y

r=

∂∂

; r

z

z

r=

∂∂

;

b) ( ) crcgradrrr

= ; zcycxcrc 321 ++=rr

;

c) ( ) ( )r

rrurugrad

r

⋅= ' ; ( ) ( ) ( )r

rrurgradrurugrad

r

⋅=⋅= '' .

4) ( ) ( ) φφ ,1 DC∈ - câmp scalar şi sr

- versor fixat; φφ

gradsds

d⋅=

r

Vectorul φgrad are direcţia normalei la suprafaţa de nivel ( )S a câmpului scalar φ (în

punctul M).

Fie ( ) θφφ

φθ cos1, ⋅⋅=⇒= gradds

dgrads

r< ;

ds

dφ este maximă sau minimă 1cos =⇔ θ

sau 1cos −=θ 0=⇔θ sau sr

⇔=πθ - coliniar cu φgrad .

2. CÂMPURI VECTORIALE

Fie 3R⊂D . Se numeşte câmp vectorial pe D, de componente RQP ,, , orice funcţie

3: R→DVr

; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kzyxRjzyxQizyxPzyxVDzyxV rrrrr

,,,,,,,,,, ++=→∈∀ sau pe scurt

kRjQiPVrrrr

++= . Dacă ( ) ( )DCRQPP∈,, , atunci ( ) ( )DCV

P∈r

.

EXEMPLU

Câmpul vectorial al atracţiilor newtoniene realizate de un punct material O - fixat.

Fie kzjyixOMrrrrr

++== ; r

rr

r=ρ ; 33 0: RR →−V

r; ( ) ( )2 3

;k k

V r V r rr r

ρ= − ⋅ ⇒ = − ⋅rr r r

k - constantă; 0>k

1) Fie ( ) ( )DCQPD12 ,; ∈⊂ R şi ⇒+= jQiPV

rrr

y

Q

x

PVdiv

∂∂

+∂∂

=r

- divergenţa lui Vr

;

ky

P

x

QVrot

rr

∂∂

−∂∂

= - rotorul lui Vr

a) ( ) ⇒=

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂∂

= 0rr

kxyyx

gradrotφφ

φ ( ) 0r

=φgradrot

b) ( ) φφφφφ

φ ∆=∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=2

2

2

2

yxyyxxgraddiv - laplacianul lui φ .

Vr

- câmp de gradienţi sau câmp derivând dintr-un potenţial, dacă ( ) ( ) φφ ,1DC∈∃ - câmp

scalar, astfel încât φgradV =r

, adică x

P∂∂

=φ

; y

Q∂

∂=

φ.

2) Fie kRjQiPVrrrr

++= ; ( ) ( )DCV1∈

r;

z

R

y

Q

x

PVdiv

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

r ; =

∂∂

∂∂

∂∂

=

RQP

zyx

kji

Vrot

rrr

r

ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

R rrr

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

= .

PROPRIETĂŢI

1) Fie ( ) ( )DCWV 1, ∈rr

- câmpuri vectoriale şi R∈λ .

a) ( ) WdivVdivWVdivrrrr

+=+ ; b) ( ) WrotVrotWVrotrrrr

+=+ ; c) ( ) VdivVdivrr

λλ = ;

d) ( ) VrotVrotrr

λλ = .

2) Fie kzjyixrrrrr

++= ; kcjciccrrrr

321 ++= - constant.

a) 0;0rrr

== crotcdiv ; 3=rdivr

; 0=rrotr

; ==×

zyx

ccc

kji

rc 321

rrr

rr

( ) ( ) ( )kxcycjzcxciyczcrrr

211332 −+−+−= ; ( ) 0=× rcdivr

; ( ) ⇒++=× kcjcicrcrotrrrrr

321 222

( ) crcrotrr

=×

3) ( ) φφφφ

φ ∆=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=zzyyxx

graddiv

4) ( ) ⇒=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= 0r

rrr

zyx

zyx

kji

gradrot

φφφ

φ ( ) 0r

=φgradrot

5) Fie ( ) ( ) φφ ,1 DC∈ - câmp scalar; ( ) ( )DCV 1∈r

- câmp vectorial; kRjQiPVrrrr

++=

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=z

R

zR

y

Q

yQ

x

P

xPR

zQ

yP

xVdiv φ

φφ

φφ

φφφφφ

r

( ) φφφ gradVVdivVdiv ⋅+=rrr

b) ( ) =∂∂

∂∂

∂∂

=

RQP

zyx

kji

Vrot

φφφ

φ

rrr

r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

Py

Qx

kRx

Pz

jQz

Rx

i φφφφφφrrr

−

∂∂

−∂∂

+∂∂

+

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

= Py

P

xQ

x

Qk

xR

x

R

zP

z

Pj

zQ

z

Q

yR

y

Ri φ

φφ

φφ

φφ

φφ

φφ

rrr

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+=y

Px

Qkx

Rz

Pjz

Qy

RiVrotφφφφφφ

φrrrr

Dar

=

∂∂

∂∂

∂∂

=×

zyx

RQP

kji

gradV

φφφφ

rrr

r⇒

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=x

Qy

Pkz

Px

Rjy

Rz

Qiφφφφφφ rrr

( ) φφφ gradVVrotVdiv ×−=rrr

EXEMPLU

krr

kV ;

3

rr−= - constant; 0>k . Fie ⇒−=

3r

kφ rV

rrφ= ;

( ) ⇒⋅=−= −−

r

rkrrgradkgrad

v43 3φ

rr

kgrad

r

5

3=φ ; ( ) =+== φφφ gradrrdivrdivVdiv

rrrr0

3333

335=+−=⋅+

r

k

r

kr

r

kr

rrφ ;

( ) 03

5=

×−=×−== rr

krgradrrrotrrotVrot

rrrrrrφφφ

OPERATORUL ∇ (NABLA) SAU VECTORUL ∇ (HAMILTON)

zk

yj

xi

zyx ∂⋅∂

+∂

⋅∂+

∂⋅∂

=

∂⋅∂

∂⋅∂

∂⋅∂

=∇rrr

,,

1) ⇒

∂∂

∂∂

∂∂

=∇zyx

φφφφ ,, φφ grad=∇

2) ( ) ⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅

∂⋅∂

∂⋅∂

∂⋅∂

=∇z

R

y

Q

x

PRQP

zyxV ,,,,r

VdivVrr

=∇

3) ⇒∂

⋅∂∂

⋅∂∂

⋅∂=×∇

RQP

zyx

kji

V

rrr

rVrotVrr

=×∇

4) ( ) ( )φφφφ

φ∇=⇒∇=⋅= s

ds

dsgrads

ds

d rrr

REGULI DE CALCUL

1) Fie cr

- vector constant 0==∇⇒ cdivcrr

; 0rrr

==×∇ crotc ; 0==∇ cgradc

2) a) ( ) ( ) ( ) VdivgradVVVVVVrrrrrrr

φφφφφφφ +=∇+∇=

∇+

∇=∇

↓↓

b) ( ) ( ) ( ) VrotgradVVVVVVrrrrrrr

φφφφφφφ +×−=×∇+∇×−=

×∇+

×∇=×∇

↓↓

c) ( ) WrotVVrotWWVrrrrrr

⋅−⋅=×∇

C6.

METODE DE CALCUL A INTEGRALELOR NEDEFINITE

1) INTEGRALELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE

Cxdx +=∫ ; Cn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

; Cedxexx +=∫ ; Cxxdx +−=∫ cossin ;

Cxxdx +=∫ sincos ; ( ) Cxtgxdx +−=∫ cosln ; ( ) Cxctgxdx +=∫ sinln ;

Ca

xdx

xa+=

−∫ arcsin

122

; ( ) Caxxdxax

+−+=−

∫22

22ln

1;

Cax

ax

adx

ax+

+−

=−∫ ln

2

1122

; Ca

xarctg

adx

ax+=

+∫11

22; Cxdx

x+=∫ ln

1;

Ca

adxa

xx +=∫ ln

; Ctgxdxx

+=∫ 2cos

1; Cctgxdx

x+−=∫ 2sin

1

2) INTEGRAREA PRIN PĂRŢI

∫∫∫ −= '' fgfggf

EXEMPLU

('2 2 2 2 2 21 1

ln ln ln ln ln ; 02 2 2 2 2 2 4

x x x x x xI x xdx xdx x dx x xdx x C x

x

= = = − ⋅ = − = − + >

∫ ∫ ∫ ∫

3) PRIMA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ

a) Se aduce integrala de forma: ( )( ) ( )∫ ⋅= dxxxfI 'φφ , adică se pune în evidenţă o derivată,

( )x'φ , astfel încât ceea ce rămâne în integrală să se exprime numai cu ajutorul lui ( )xφ .

b) Se face substituţia ( ) ( ) dtdxxtx =⇒= 'φφ

c) Se calculează ( ) ( )∫= dttftF

d) ( )( ) CxFI += φ (se revine la variabila x).

EXEMPLU

∫= dxx

Isin

1; ( )π,0∈x ; ∫∫ −

== dxx

xdx

x

xI

22 cos1

sin

sin

sin; ⇒=−⇒= dtxdxtx sincos

dtxdx −=sin ; ( )( )1,1−∈t ; =++−

=++−

=−

=−

−= ∫∫ Ct

tC

t

tdt

tdt

tI

1

1ln

2

1

1

1ln

2

1

1

1

1

122

Cx

x+

+−

=cos1

cos1ln

2

1

4) A DOUA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ

Se cere să se calculeze ( )∫= dxxfI

a) Se face substituţia ( ) ( )dttdxtx'φφ =⇒=

b) Se calculează ( ) ( )( ) ( )∫= dtttftH 'φφ

c) ( )( ) CxHI += − 1φ (se revine la variabila x)

( )2

2; , , , , ; ; 4 0

n

A x BA B a b c n b a c

a x b x c

∗+∈ ∈ − <

+ +R N .

SUBSTITUŢII STANDARD

1) ( )txtdcx

baxφ=⇒=

++

; 2) taxxa sin22 =⇒− ; ( )tt22 cossin1 =− ;

3) t

axax

sin22 =⇒− ; 4) atgtxxa =⇒+ 22 ;

=+t

ttg2

2

cos

11 ;

5) ⇒++ cbxax2 substituţiile EULER

a) ( )txtaxcbxaxa φ=⇒+=++⇒> 20

b) ( )txtxccbxaxca φ=⇒+=++⇒>< 20;0

c) ⇒≠∈⇒>∆⇒<< 212,1 ;00;0 xxxca R

( )( ) ( ) ( )txxxtxxxxacbxax φ=⇒−=−−=++ 1212

OBSERVAŢIE

aa

bxacbxax

42

22 ∆

−

+=++ ; ⇒=+ ta

bx

22) sau 3) sau 4)

6) Dacă sin şi cos apar la puteri pare dtt

dxarctgtxttgx21

1

+=⇒=⇒=⇒ ;

2

22

1sin

t

tx

+= ;

22

1

1cos

tx

+=

7) Dacă sin şi cos apar la puteri impare dtt

dxarctgtxtx

tg21

22

2 +=⇒=⇒=⇒ ;

21

2sin

t

tx

+= ;

2

2

1

1cos

t

tx

+

−=

8) ( ) ; , , ; , ;p

m nI x a x b d x m n p Q a b I= + ∈ ∈∫ R - integrală binomială ⇒ substituţiile

CEBÎŞEV

a) ; . . . . .sp x t s c m m m c∈ ⇒ = =Z dintre numitorii lui m şi n ;

b) 1

; ;n rmp a x b t r

n

+∉ ∈ ⇒ + =Z Z - numitorul lui p ;

c) 1 1

; ; n rm mp p a b x t

n n

−+ +∉ ∉ + ∈ ⇒ + =Z Z Z .

EXEMPLE

1) ( )1; 0 ,

1I d x x

x x= ∈ + ∞

+∫ ;

( )2 2 2

2

11 1 1 2 2

1x t x t x t d x td t I td t

t t+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = =

− ⋅∫

1 1 1ln ln

1 1 1

t xC C

t x

− + −= + = +

+ + +

2) ( )2

1; 0 ,

2 2 1I d x x

x x= ∈ + ∞

+ + +∫ ;

( )

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 1

tx x x t x x x tx t x

t

−+ + = + ⇒ + + = + + ⇒ = ⇒

−

( )( ) ( ) ( )

2 2 22

2 2

2 11 2 2 2; 2 2

2 2 11 2 1

t t t t t td x d t d t x x t

tt t

− + − + − −= ⋅ = + + = + =

−− − ( )

2 2 2

2 1

t t

t

− + −⇒

−

( )( ) ( )

2 2

2 2 2

1 2 2 2 2

2 2 12 112 1

t t t tI d t d t

t t t tt

t

− + − − += ⋅ =

− + − −−+−

∫ ∫ ;

( )

22 2 2

2 2

2 22 2

1 1

t t A B CA t A t B B t C t t t

t t t t t

− += + + ⇒ − + − + = − + ⇒

− −

1

2

2

C A

A B

B

− =

− = − ⇒ =

( )2

02 1 2

2 ln 11

1

A

B I d t d t t Ct t t

C

=

= ⇒ = + = − − − +− =

∫ ∫ , unde 2 2 2t x x x= + + −

3) ( )3

3 2 22 1I x x d x−

= +∫ ; 3 1

3 ; 2 ; ; 22

mm n p

n

+= = = − ∉ = ∈Z Z

1 12 22 2

2 2 1 1 12 1

2 2 2

t tx t x d x td t

− − −

+ = ⇒ = ⇒ = ⋅

( )3 1

2 2 22 23 2 21 1 1 1 1 1 1 1

12 2 2 2 2 4 4

t t tI t td t t d t t d t t C

t

−

− − − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = = − = + +

∫ ∫ ∫ ;

unde 22 1t x= +

4) s in co s

s in 2 co s

x xI d x

x x

−=

+∫ ;

s inco s 1

co s0 ,

s in2 co s 2co s

xx

xx I d x

xx

x

π −

∈ ⇒ = ⇒ +

∫

2

1 1;

2 1

tg xI d x tg x t x a rc tg t d x d t

tg x t

−= = ⇒ = ⇒ =

+ +∫ ;

( )( ) ( ) ( ) 22 2

1 1;

2 12 1 2 1

t t A B t CI d t

t tt t t t

− − += = +

+ ++ + + +∫ ; 2 2 2 2 1A t A B t B t C t C t+ + + + + = −

03 3 1

2 1 ; 1 2 2 4 1 ; ;5 5 5

2 1

A B

B C A B C B B B B A C

A C

+ =

⇒ + = ⇒ = − = − ⇒ − + − = − ⇒ = = − = − ⇒ + = −

( ) ( )22

3 1 1 3 1 3 3 1ln 2 ln 1

5 2 5 1 5 1 0 5

tI d t d t t t a rc tg t C

t t

−= − + = − + + + − + =

+ +∫ ∫

( ) ( )23 3 1ln 1 ln 1

5 1 0 5tg x tg x x C= − + + + − +

5) INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE

a) O funcţie raţională este de forma ( ) ( )( )

( ); 0P x

f x Q xQ x

= ≠ . Dacă ( ) ( )grad P x gradQ x≥ ,

se împarte ( )P x la ( )Q x , deci ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x C x R x= + ;

grad R gradQ< ⇒ ( ) ( ) ( )( )

R xf x C x

C x= + ;

b) ( )( )

R x

C x se descompune funcţii raţionale simple, adică de forma:

( ); , ;

n

AA a n

x a

∗∈ ∈+

R N

sau ( )

2

2; , , , , ; ; 4 0

n

Ax BA B a b c n b ac

ax bx c

∗+∈ ∈ − <

+ +R N

C7.

INTEGRALE IMPROPRII SAU GENERALIZATE

Atunci când s-a definit ( )b

a

I f x d x= ∫ , s-a presupus că a şi b sunt finite, iar f - mărginită.

Există situaţii când se poate da sens noţiunii de integrală şi atunci când a sau b sau

amândouă sunt infinite (integrale improprii de speţa a I a) sau f - nemărginită în a sau b

sau amândouă (integrale improprii de speţa a II a).

EXEMPLU 1

Fie [ ) ( ): 0 , , xf f x e −+ ∞ → =R . Vrem să definim ( )0

f x d x

+ ∞

∫ . Pentru aceasta fie

( ) ( )0 0

10

u u

x x uu

F u f x d x e d x e e− − −= = = − = −∫ ∫ ; ( )lim 1

uF u

→ + ∞= . Spunem în acest caz că

( )0

1f x d x

+ ∞

=∫ sau că ( )0

f x d x

+ ∞

∫ - convergentă.

EXEMPLU 2

Fie [ ) ( ) ( ) ( )1

1 1: 1, , ln ln , lim

1

u

u

uf f x F u d x x u F u

x x → + ∞+ ∞ → = ⇒ = = = = + ∞ ⇒∫R

( )1

f x d x

+ ∞

∃ ∫ sau ( )1

f x d x

+ ∞

∫ - divergentă. Pe baza acestor exemple putem da:

DEFINIŢIA 1

Fie [ ): , ,f a f+∞ → R - integrabilă pe [ ] [ ), ,a u a∀ ⊂ +∞ ; deci ( ) ( )u

a

F u f x dx∃ = ∫ . Dacă

există şi este finită ( )limu

F u l→ +∞

= , atunci spunem că f este integrabilă pe [ ),a +∞ sau că

( )a

f x dx

+∞

∫ - convergentă şi ( )a

f x dx l

+∞

=∫ . Analog se pot defini integralele improprii de

speţa a I a de forma ( )b

f x dx−∞∫ sau ( )f x dx

+∞

−∞∫ , care pot fi aduse la forma ( )

a

f x dx

+∞

∫ :

( ) ( )limb b

uu

f x dx f x dx→ −∞

−∞

=∫ ∫ ; facem schimbarea de variabilă x t dx dt= − ⇒ = − ;

( ) ( ) ( ); lim limb b u

u ub

x u t u x b t b f x dx f t dt f t dt

− −

→ −∞ → −∞−∞ −∞ −

= ⇒ = − = ⇒ = − ⇒ = − − = −∫ ∫ ∫ ;

pentru ( ) ( ) ( )limb v

vv b

v u v f x dx f t dt f t dt

+∞

→ +∞−∞ − −

= − ⇒ → +∞ ⇒ = − = −∫ ∫ ∫ .

În concluzie, pentru integralele improprii de speţa a I a, este suficient să ne ocupăm doar

de cele de forma ( )a

f x dx

+∞

∫ .

EXEMPLU 3

Fie ( ] ( ) ( )0

0

: 0 , 1 ; l n ; l i mxx

f f x x f x f→>

→ = − = + ∞ ⇒R - nemărginită în 0x = .

Fie ( ) ( )1 1 1

' 1 1l n l n l n l n 1

1u u u

uF u f x d x x x d x x x x d x u u x u u u

u x= = − = − + ⋅ = + = + −∫ ∫ ∫ .

( ) ( )1

000

l i m 1 1uu

F u f x d x→>

= ⇒ =∫ sau ( )1

0

f x d x∫ - convergentă.

EXEMPLU 4

[ ) ( ) ( )1

1

1: 0 , 1 ; ; l i m

1 xx

f f x f x fx →

<

→ = = + ∞ ⇒−

R - nemărginită în 1x = .

( ) ( )0 0

12 2 1 2 2 1

02 1

u u uF u f x d x d x x u

x= = = − − = − −

−∫ ∫ ;

( ) ( )1

101

l i m 2 2uu

F u f x d x→<

= ⇒ =∫ sau ( )1

0

f x d x∫ - convergentă.

Pe baza acestor exemple putem da:

DEFINIŢIA 2

Fie [ ): , ,f a b f→ R - integrabilă pe [ ] [ ), ,a u a b∀ ⊂ ; deci ( ) ( )u

a

F u f x d x∃ = ∫ . Dacă

există şi este finită ( )l i mu

F u l→ + ∞

= , atunci spunem că f este integrabilă pe [ ),a b sau că

( )b

a

f x d x∫ - convergentă şi ( )b

a

f x d x l=∫ . Analog se pot defini integralele improprii de

speţa a II a pentru ( ]: ,f a b → R sau ( ): ,f a b → R , care pot fi aduse la integrale pentru

[ ): ,f a b → R .

OBSERVAŢII

1) Cele două definiţii pot fi restrânse în una singură, dând posibilitatea lui b de a fi finit

sau infinit.

2) Calculul integralelor improprii se face cu metodele de la integralele obişnuite, cu

deosebirea că în punctele în care funcţia este nemărginită sau intervalul este nemărginit

se trece la limită.

1. FORMULA NEWTON-LEIBNIZ

Dacă F este o primitivă a lui f , atunci ( ) ( ) ( ) ( )( )0

0b

a

bf x dx F b F a F x

a

−= − − =∫

( ) ( )0 limx bx b

F b f x→<

− =

.

2. INTEGRAREA PRIN PĂRŢI

( )' '0b b

a a

bf g f g fg

a

−= ⋅ −∫ ∫

EXEMPLU

( )0 0 0

cos cos cos sin0

x x x xI e xdx e xdx e x e xdx

+∞ +∞ +∞− − − −+∞

= = − = − − =∫ ∫ ∫

( )'

0 0

11 sin 1 sin cos 1

0 2x x x

e xdx e x e xdx I I

+∞ +∞− − −+∞

= + = + − = − ⇒ =∫ ∫

3. SCHIMBAREA DE VARIABILĂ

( )( ) ( ) ( )( )

( )'

b ab

a a

f x x dx f t dt

φ

φ

φ φ−

⋅ =∫ ∫

EXEMPLU

( )

2 2 2

2 2 21 1 1

1 1 1

4 3 4 4 1 1 2I dx dx dx

x x x x x

= = =− + − − + − + − −

∫ ∫ ∫

2 ; 1; 1 1; 1; 2 0x t dx dt x x t t x t− = ⇒ = → > ⇒ → − > − → ⇒ → ⇒

0

21

01arcsin

1 21I dt t

t

π

−

= = =−−

∫

DEFINIŢIA 3

Fie [ ): , ,f a b b→ R - finit sau infinit.

a) Dacă ( )b

a

f x dx∫ - convergentă ( )b

a

f x dx⇒ ∫ - absolut convergentă.

b) Dacă ( )b

a

f x dx∫ - convergentă, dar ( )b

a

f x dx∫ - divergentă, atunci ( )b

a

f x dx∫ se

numeşte simplu convergentă.

Orice integrală improprie absolut convergentă este şi simplu convergentă. Reciproca nu

este adevărată.

LEGĂTURA INTEGRALELOR IMPROPRII CU SERIILE NUMERICE

Fie [ ): , ,f a b b→ R - finit sau infinit, f - integrabilă pe [ ] [ ), ,a u a b∀ ⊂ . Construim şirul:

(1) 0 1 1... ... ;k k ka b b b b b b b+= < < < < < < → şi seria:

(2) 0

ku

∞

∑ , unde ( )1k

k

b

k

b

u f x dx+

= ∫ .

Dacă ( )b

a

f x dx∫ - convergentă, atunci seria (2) este convergentă şi ( )0

b

k

a

u f x dx∞

=∑ ∫ .

Dacă în plus ( ) [ )0 ; ,f x x a b≥ ∀ ∈ , atunci are loc şi afirmaţia reciprocă.

CRITERII DE COMPARAŢIE

Fie [ ) [ ), : , 0, ,f g a b b→ +∞ - finit sau infinit.

1) Dacă ( ) ( ) [ ), ,f x g x x a b≤ ∀ ∈ , atunci:

a) ( )b

a

g x dx∫ - convergentă ( )b

a

f x dx⇒ ∫ - convergentă;

b) ( )b

a

f x dx∫ - divergentă ( )b

a

g x dx⇒ ∫ - divergentă.

2) Dacă ( )( )

lim ,x bx b

f xl l

g x→<

∃ = - finit; ( )0b

a

l f x dx≠ ⇒ ∫ şi ( )b

a

g x dx∫ au aceeaşi natură.

EXEMPLU 1

( ) ( ) ( )1

1 11 1; , 1

1 1

u

a a

uxI d x F u x d x u a

ax

αα α α

α αα α

+ ∞ − +− − −= = = = − ≠

− + −∫ ∫ ;

1 0 ,1 0 1lim

,1 0 1uu

α α α

α α−

→ + ∞

− < ⇔ >=

+ ∞ − > ⇔ <.

Dacă ( ) ( )11 ln ln ln ; lim

u

ua

uF u d x x u a F u

axα

→ + ∞= ⇒ = = = − = + ∞∫ .

Deci 1

a

d xx

α

+ ∞

∫ este convergentă 1α⇔ > .

Luând în 2) ( ) 1g x

xα= , obţinem PRIMUL CRITERIU PRACTIC:

Dacă ( )limx

x f x lα

→ + ∞∃ = - finit, atunci:

a) ( )1a

f x d xα+ ∞

> ⇒ ∫ - convergentă;

b) ( )1a

f x d xα+ ∞

≤ ⇒ ∫ - divergentă.

EXEMPLU

( )3 32

331

1; lim lim 1

22 x x

xI d x x f x

xx

+ ∞

→ + ∞ → + ∞= = =

++∫ ; cum

31

2Iα = > ⇒ - convergentă.

EXEMPLU 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 11 1

;1 1

b u

a a

ub xI d x F u b x d x b u b a

ab x

αα α α

α α α

− +− − −−

= = − = − = − − − − + −−∫ ∫ ;

( )1α ≠ ; ( )1 0 ,1 0 1lim

,1 0 1u bu b

b uα α α

α α−

→<

− > ⇔ <− =

+ ∞ − < ⇔ >.

Dacă ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ln ln ln ; l im

u

u ba u b

uF u d x b x b a b u F u

ab xα

→<

= ⇒ = = − − = − − − = + ∞−∫ .

Deci ( )

1b

a

d xb x

α−∫ - convergentă 1α⇔ < .

Luând în 2) ( ) ( )g x b xα

= − , obţinem AL DOILEA CRITERIU PRACTIC:

Dacă ( ) ( )l imx bx b

b x f x lα

→<

∃ − = - finit, atunci:

a) ( )1b

a

f x d xα < ⇒ ∫ - convergentă;

b) ( )1b

a

f x d xα ≥ ⇒ ∫ - divergentă.

EXEMPLU

( )( )( )

3 1

22 1 1

1 1 1

1 1 1; lim 1 lim

31 22 x xx x

xI d x x

x xx x → →> >

−= − = =

− −+ −∫ . Cum

11

2Iα = < ⇒ -

convergentă.

INTEGRALE IMPROPRII DIN FUNCŢII CU SEMN VARIABIL

CRITERIUL DIRICHLET

Fie [ ), : ,f g a + ∞ → R . Dacă:

a) f - continuă pe [ ),a + ∞ ;

b) F∃ - primitivă a lui f , F - mărginită;

c) g - derivabilă, ( ), l i m 0x

g g x→ + ∞

↓ = . Atunci ( ) ( )a

f x g x d x

+ ∞

∫ - convergentă.

EXEMPLU 1

( )0 0

s i n c o s; ; 0 , 1

x xI d x J d x

x xα α α+ ∞ + ∞

= = ∈∫ ∫ ; 1

1 2

0 0

s i n s i nx xI d x d x I I

x xα α

+ ∞

= + = +∫ ∫

10

0

s i nl i m 0 , 1xx

xx x I

x

αα α α

→>

⋅ = < ⇒ - convergentă.

Fie ( ) ( ) ( )1s i n ; c o sf x x g x F x x

xα= = ⇒ = − - primitiva lui f ; ( ) [ )1 ; 1 ,F x x≤ ∀ ∈ + ∞ ;

( ) ( )'21

0 ; l i m 0x

g x g g x Ix α

α+ → + ∞

= − < ⇒ ↓ = ⇒ - convergentă. Deci I - convergentă.

Analog J - convergentă.

EXEMPLU 2

2 2

0 0

s i n ; c o sI x d x J x d x

+ ∞ + ∞

= =∫ ∫ (FRÈSNEL)

1; 0 0 ;

2x t d x d t x t x t

t= ⇒ = = ⇒ = → + ∞ ⇒ → + ∞ ⇒

10 0 2

1 1 s i ns i n

22

tI t d t d t I

tt

+ ∞ + ∞

= ⋅ = ⇒∫ ∫ - convergentă

INTEGRALE IMPROPRII CU PARAMETRU

Fie [ ] [ ], ,D a b c d= × şi :f D → R , astfel încât [ ],y c d∀ ∈ , integrala:

(1) ( ) ( ),b

a

F y f x y d x= ∫ - convergentă. Spunem că integrala (1) este uniform convergentă

în raport cu parametrul [ ],y c d∈ , dacă 0 , 0εε δ∀ > ∃ > , astfel încât [ ],u a b∀ ∈ , cu

u bεδ < < , avem: ( ) ( ) [ ], , ,u

a

f x y d x F y y c dε− < ∀ ∈∫ .

LEGĂTURA CU SERIILE DE FUNCŢII

Construim şirul 0 1 1. . . . . . ;k k k

a b b b b b b b+= < < < < < < → şi seria de funcţii (4) ( )0

ku y

∞

∑ ,

unde ( ) ( )1

,k

k

b

k

b

u y f x y d x+

= ∫ . Dacă integrala (3) este uniform convergentă, atunci şi seria

(4) este uniform convergentă şi ( ) ( ) ( )0

,b

k

a

u y f x y d x F y∞

= =∑ ∫ .

CONSECINŢE

1) Dacă integrala (3) este uniform convergentă şi f - continuă pe D , atunci F - continuă

pe [ ],c d , adică ( ) ( )0 0

l i m , l i m ,b b

y y y ya a

f x y d x f x y d x→ →

=∫ ∫ .

2) Dacă integrala (3) este uniform convergentă, f - continuă pe D , f

y

∂∃

∂- continuă pe D

şi ( ),b

a

fx y d x

∂∂∫ este uniform convergentă, atunci F - derivabilă pe [ ],c d şi

( ) ( )'

, ,b b

a ay

ff x y d x x y d x

∂=

∂ ∫ ∫

EXEMPLU

0

sin; 0bx ax

I e dx bx

+∞−= >∫ . Fie ( ) ( )'

0 0

cos cosbx

bxeI F a F a x axdx e axdx

x

+∞ +∞−−= ⇒ = = =∫ ∫

( )'

'

20 0 0

1cos cos sin sin

0

bx bxbx bxe e a a

axdx ax e axdx e axdxb b b b b

+∞ +∞ +∞− −− −+∞

= = − − = + = − ∫ ∫ ∫

( ) ( )( )2

' ' 2 22 2

0

1 1sin cos

0bx bxa a

e ax a e axdx F a F a a b bb b b b

+∞− − +∞

= + − = − ⇒ + = ⇒

∫

( ) ( ) ( ) ( )'2 2 2 2

1; 0 0; 0

b b aF a F a da k b arctg k F F k

a b a b b b= ⇒ = + = ⋅ + = = ⇒

+ +∫

0a

k I arctgb

= ⇒ = . Deci 0

sinbx ax ae dx arctg

x b

+∞− =∫ . Pentru 1a = şi 0; 0b b→ > ⇒

0

sin

2

xdx

x

π+∞

=∫

INTEGRALELE Γ ŞI β ALE LUI EULER

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

11 1

0 0

; 0 ; , 1 ; , 0qp x pp x e dx p p q x x dx p qβ

+∞−− − −Γ = > = − >∫ ∫

PROPRIETĂŢI

(1) ( ) ( ); ,p p qβΓ - convergente;

(2) ( ) ( ) ( ) ( )1 1; 1 ; 1 !;p p p n n nΓ = Γ + = Γ Γ + = ∀ ∈ N ;

(3) ( ) ( )1sin

p pp

ππ

Γ ⋅ Γ − = , ( )0,1p∀ ∈ ;

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; , 1 1, ; 1, , 1 ,q p p p q p p q q p q p q p q p qβ β β β β β= + = + + + + = ;

(5) ( ) ( ) ( )( )

,p q

p qp q

βΓ Γ

=Γ +

EXEMPLE

1) ( )( )

1 11 122 2

0 0

1 1 1, 1 ; s i n 2 s i n c o s c o s

2 2 1x x d x d x x t d x t t t

x xβ

− − = − = = ⇒ = −

∫ ∫ ;

2

0

1 1 10 0 ; 1 , 2 s i n c o s 2

2 2 2 s i n c o s 2

0

x t x t t t d t tt t

π

π πβ π = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⋅ = = ⇒

∫

1 1,

2 2β π = ( )

1 12 2

1π

Γ ⋅ Γ ⇒ = ⇒

Γ

1

2π Γ =

1

2

0

xx e d x π+ ∞

− −⇒ =∫ ;

22

0

12 ; 0 0 ; 2tx t d x t d t x t x t e t d t

tπ

+ ∞−= ⇒ = = ⇒ = → + ∞ ⇒ → + ∞ ⇒ ⋅ = ⇒∫

2

0

2 te d t π

+ ∞− =∫ ; cum

2 2

0

2x xe d x e d x

+ ∞ + ∞− −

− ∞

= ⇒∫ ∫2x

e d x π+ ∞

−

− ∞

=∫ (EULER – POISSON)

2) ( )

4

2 2 20

1 1 1 1; 1

11

x t t tI d x t x t t x d x d t d t

x t t tx

+ ∞ − − − += = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = −

++∫ ;

0 1 ; 0x t x t= ⇒ = → + ∞ ⇒ → . Deci ( )1

1 1 1 142 4 4

20 0

1 11

tI t d t t t d t

t t

−− = − ⋅ = − ∫ ∫

( )

3 51 31

3 5 3 14 44 4 , 11 5 4 4 2 4 4

14 4

p p

I

q q

β

Γ ⋅ Γ− = − = ⇒ ⇒ = = = Γ ⋅ Γ + = Γ − = =

1 1 3 1 1 1 11

4 4 4 4 4 4 4 2 2 2s i n 44 2

π π ππ

= Γ ⋅ Γ = Γ ⋅ Γ − = ⋅ = =

⋅

.

C8.

1. INTEGRALE CURBILINII DE TIPUL I

DEFINIŢII

(1) Se numeşte curbă parametrizată sau drum parametrizat, orice funcţie continuă

[ ]: ,a bγ → R ;deci [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3, , , ; , ,t a b t x t y t z t x y zγ

γ∀ ∈ → = ∈ R -funcţii continue

pe[ ],a b

( )( )( )

[ ]; ,

x x t

y y t t a b

z z t

γ

=

= ∈ =

se numeşte reprezentarea parametrică a curbei ( )γ ;

( ) ( ),A a B bγ γ= = - capetele curbei.

EXEMPLE

1) [ ],A Bγ = , unde ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z ⇒

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 1 1 2 1 1 2 1; ; ; 0,1AB x x t x x y y t y y z z t z z t= + − = + − = + − ∈

( ) ( )( )

121 23

2 2

0

30 14 9 11 1 1 1 230 14 9 60 14

1 02 2 5 3 152

t tt t t dt

−

− − += − + − = = − + =

−∫

2) y ( ),M x y

r t y x x

( ) ( ) [ ]2 2 2 c o s0 , : ; 0 , 2

s in

x r tC r x y r t

y r tγ π

== + = ⇒ ∈

=

A

3) ( ) [ ]2 2

2 2

c o s: 1 ; 0 , 2

s in

x a tx yE t

y b ta bγ π

== + = ⇒ ∈

= B M

(2) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] , , , ,I t t a b x t y t z t t a bγ γ= ∈ = ∈ -se numeşte imaginea curbei ( )γ .

(3) Dacă [ ]1 2 1 2, , ,t t a b t t∃ ∈ ≠ astfel încât ( ) ( )1 2t t Mγ γ= = , atunci M se numeşte punct

multiplu sau nod. O curbă fără puncte multiple se numeşte curbă simplă.

(4) Dacă ( ) [ ]( )1, , ,x y z C a b∈ şi ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2' ' ' 0 , ,x t y t z t t a b + + > ∀ ∈ , atunci ( )γ se

numeşte curbă netedă.

(5) Dacă ( ) ( )a bγ γ= , atunci ( )γ - curbă închisă.

(6) Dacă ( )γ are lungime, atunci ( )γ - rectificabilă.

Orice curbă netedă este rectificabilă şi

(1) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' ' '

b

a

l x t y t z t d tγ = + + ∫ . De aici se deduce că:

(2) ( ) ( ) ( )2 2 2' ' '

d l x t y t z t d t = + +

EXEMPLU

z

O y

x

( ) [ ]c o s

s i n ; 0 , 2

x a t

y a t t

z b t

γ π

=

= ∈ =

; ( ) ( ) ( )' ' 's i n ; c o s ;x t a t y t a t z t b= − = =

( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2s i n c o s 2

0l a t a t b d t a b d t a b t a b

π π πγ π= + + = + = + ⋅ = +∫ ∫

(7) Fie ( )3: ;f D γ⊂ →R R - curbă netedă cu ( )I Dγ ⊂ ⇒

(3) ( ), ,I f x y z d lγ

= ∫ - integrală curbilinie de tipul I de-a lungul curbei ( )γ ⇒

(4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' ' ', ,

b

a

I f x t y t z t x t y t z t d t = + + ∫

EXEMPLU

( ) [ ]; c o s ; s i n ; ; 0 , 2I x y z d l x a t y a t z b t tγ

γ π= = = = ∈∫

2 22 2 2 2 2 2 2

0 0

1c o s s i n s i n 2

2d l a b d t I a t a t b t a b d t a b a b t t d t

π π

= + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + = + ⋅ =∫ ∫

2 22 22 2 2 2

0 0

2c o s 2c o s 2 c o s 2

02 2 4

a b t a ba b t d t a b t t t d t

π ππ = + ⋅ − = − + − =

∫ ∫

2 22 2 2 22s i n 2

204 2 2

a b t a ba b a b

π ππ

= − + − = − +

APLICAŢII PRACTICE

Fie ( )γ - un fir de grosime neglijabilă, care este lungimea unei curbe simple, netede, având

densitatea ( ) ( ), , ;x y z lρ ρ γ= - lungimea firului; ( )M γ - masa firului; ( ), ,G G GG x y z - centrul

de greutate. Atunci:

(5) ( )l d lγ

γ = ∫ ; ( ) ( ), ,M x y z d lγ

γ ρ= ∫ ; ( )

( )1, ,Gx x x y z d l

M γ

ργ

= ∫ . Analog ,G G

y z .

Dacă ( )γ - omogen ( ρ - constant), atunci ( )1

Gx xd ll γγ

= ∫ , ( )1

Gy yd ll γγ

= ∫ , ( )1

Gz zd ll γγ

= ∫ .

EXEMPLU

( ) [ ]cos ; sin ; ; 0 , 2x a t y a t z b t tγ π= = = ∈ ; ( )γ - omogen

( )2 2 2 2; 2 ;d l a b d t l a bγ π= + = +

22 2 2 2

1

0

2cos sin 0

0I xd l a t a b d t a a b t

π

γ

π= = + = + ⋅ = ⇒∫ ∫ 0Gx =

( )2

2 2 2 22

0

2sin cos 0

0I yd l a tt a b d t a a b t

π

γ

π= = + = + ⋅ − = ⇒∫ ∫ 0

Gy =

2 22 2 2 2 2 2 2

3

0

22

02

tI zd l b t a b d t b a b b a b

π

γ

ππ= = + = + ⋅ = + ⇒∫ ∫

2 2 2

2 2

12

2Gz b a b

a bπ

π= ⋅ + ⇒

+ Gz bπ= . Deci ( )0, 0,G bπ .

2. INTEGRALE CURBILINII DE TIPUL II

DEFINIŢII

1) O curbă ( )γ împreună cu unul din sensurile de parcurs se numeşte curbă orientată. De

obicei sensul de parcurs de la ( )A aγ= la ( )B bγ= se numeşte sens direct sau sens pozitiv,

iar curba se notează γ + .

2) Fie 3D ⊂ R . D se numeşte domeniu simplu conex dacă ( )γ∀ - curbă simplă, închisă cu

( )I Dγ ⊂ , toate punctele din interiorul lui ( )γ se află în D .

3) Fie 3D ⊂ R ; D - simplu conex ; ( )γ - curbă rectificabilă cu ( )I Dγ ⊂ ;

, , :P Q R D → R ;V P i Q j R k= + +rr r r

(1) ( ) ( ) ( ), , , , , ,I P x y z dx Q x y z dy R x y z dzγ +

= + +∫ - integrală curbilinie de tipul II.

(1) se poate scrie pe scurt

(2) I P dx Q dy R dzγ +

= + +∫

Fie r xi yj zk= + +rr rr

- vectorul de poziţie al unui punct M de pe ( ) ( ), ,dr dx dy dzγ ⇒ =r

; cum

( ), ,V P Q R V dr P dx Q dy R dz= ⇒ = + + ⇒r r r

(3) I V drγ +

= ∫r r

. Notaţii: ( );V dr V dr V drγ γ γ

γ− + +

= − ⇒∫ ∫ ∫r r rr r r

- curbă închisă.

INTERPRETARE FIZICĂ

Fie F P i Q j R k= + +rr r r

- o forţă ce acţionează asupra unui punct material, care are vectorul de

poziţie r x i y j zk= + +rr rr

şi care se deplasează pe ( )γ de la ( )A aγ= la ( )B bγ= . Atunci

lucrul mecanic efectuat este A B

L F d r P d x Q d y R d zγ γ+ +

= = + +∫ ∫r r

.

Cum ( ) ( ) ( )' ' '; ;d x x t d t d y y t d t d z z t d t= = = , din (1) se deduce:

(4) P d x Q d y R d zγ +

+ + =∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ', , , , , ,b

a

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t d t = + + ∫

EXEMPLU

( )2 2 2I yd x xd y x y z d z

γ +

= − + + +∫ ; ( ) [ ]co s s in

s in co s ; 0 ,1

1

x t t t

y t t t t

z t

γ

= − +

= + ∈ = +

( ) ( ) ( )' ' 'co s s in co s s in ; s in co s s in co s ; 1x t t t t t t t y t t t t t t t z t= − + + = = + − = = ⇒

( ) ( ) 2 21

2 2 2 2 20

s in co s s in co s s in co s co s 2 co s s in

s in s in 2 s in co s co s 2 1

t t t t t t t t t t t t t t tI d t

t t t t t t t t t

+ − − + + − += =

+ + + + + + ∫

( )1

2 2 2 2 2

0

s in s in c o s co s s in co s 2 2 2t t t t t t t t t t t t d t= + + − + + + =∫

( ) ( )1

2 2

0

13 2 2 3 2 2 4

0t t d t t t= + + = + + =∫

4) Integrala curbilinie de tipul II este independentă faţă de drum în domeniul simplu conex

3D ⊂ R , dacă ( ) ( )1 2, , ,A B D γ γ∀ ∈ ∀ -curbe de capete

A şi B cu ( ) ( )1 2,I D I Dγ γ⊂ ⊂ , avem:

(5) 1 2

Vdr Vdrγ γ+ +

=∫ ∫r rr r

5) Expresia Pdx Qdy Rdz+ + se numeşte diferenţială totală exactă, dacă : ,V D V∃ → R -

diferenţiabilă astfel încât dV Pdx Qdy Rdz= + + ; cum V V V

dV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + + ⇒

∂ ∂ ∂

(6) ; ;V V V

P Q Rx y z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

Pentru

,AB AB

V V VA B D I Pdx Qdy Rdz dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂∀ ∈ ⇒ = + + = + + =

∂ ∂ ∂∫ ∫

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'b

a

V V VX t x t X t y t X t z t

x y z

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∫ ; ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,X t x t y t z t=

( )( ) ( )( )b

aAB

bdVVdr X t dt V X t

adt⇒ = = ⇒∫ ∫

r r

(7) ( ) ( )I V B V A= − , adică I este independentă faţă de drum.

CONSECINŢĂ

Dacă ( )γ - curbă închisă 0T

Vdrγ

⇒ =∫r r

.

Din (6) 2 2

;P V V Q V V P Q

y y x y x x x y x y y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ = = = = ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Analog ,Q R R Q

z y x z

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂. Deci:

(8) , ,P Q Q R R Q

y x z y x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Dacă ( )0 0 0 0 0, , ;M x y z D M∈ - fix; ( ), , ;M x y z D M∈ - variabil, atunci funcţia :V D → R

(9) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0, , , , , , , ,yx z

x y z

V x y z P t y z dt Q x t z dt R x y t dt= + +∫ ∫ ∫ verifică (6).

Din punct de vedere practic se procedează astfel:

- se verifică relaţiile (8);

- se trage concluzia că integrala este independentă faţă de drum, deci poate fi calculată cu (7);

- funcţia V se determină din condiţiile (6) sau se calculează cu (9). În cazul în care V este

dificil de observat se alege un drum oarecare între A şi B (de exemplu [ ]AB ).

EXEMPLU

( )( )

( )

( ) ( )0 , 3 , 4

32 2 21 , 2 , 2 2

1, 2 , 2 ; 0 , 3 , 4x d x y d y z d z

I A B

x y z−

+ += ⇒ −

+ +∫

( )( ) ( ) ( )

3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

32 2 2 2

; ;x

P x x y z Q y x y z R z x y z

x y z

− − −= = + + = + + = + +

+ +

( ) ( )

( ) ( )

5 52 2 2 2 2 22 2

5 52 2 2 2 2 22 2

32 3

2

32 3

2

Px x y z y x y x y z

y P Q

y xQy x y z x x y x y z

x

− −

− −

∂ = − + + ⋅ = − + + ∂ ∂ ∂ ⇒ =

∂ ∂∂ = − + + ⋅ = − + + ∂

Analog ;Q R R P

Iz y x z

∂ ∂ ∂ ∂= = ⇒

∂ ∂ ∂ ∂- independentă faţă de drum ( ) ( )0 , 3 , 4 1, 2 , 2I V V⇒ = − −

Din ( ) ( ) ( )3 1

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2

1, ,

VP x x y z V x y z x y z

x x y z

− −∂= = + + ⇒ = − + + = −

∂ + +

Se verifică: 1 1 2

;5 3 1 5

V VQ R I

y z

∂ ∂= = ⇒ = − + =

∂ ∂

Alegând ( ) [ ] ( ) [ ]1 ; 2 5 ; 2 2 ; 0 , 1A B x t y t z t tγ γ= ⇒ = − = − + = + ∈ ;

( ) ( ) ( )' ' '1 ; 5 ; 2x t y t z t= − = =

( ) ( )

1 1

3 32 2 2 20 02 2

1 1 0 2 5 4 4 3 0 7

1 2 4 2 0 2 5 4 8 4 3 0 1 4 9

t t t tI d t d t

t t t t t t t t

− + − + + + −= = =

− + + − + + + + − +∫ ∫

( ) ( )( )

121 23

2 2

0

3 0 1 4 9 11 1 1 1 23 0 1 4 9 6 0 1 4

1 02 2 5 3 1 52

t tt t t d t

−

− − += − + − = = − + =

−∫

C9.

INTEGRALA DUBLĂ

( ),D

I f x y dxdy= ∫∫ ; 2:f D ⊂ →R R .

Fie [ ] [ ], ,D a b c d= × , astfel încât [ ] ( ) ( ), , ,d

c

x a b F x f x y dy∀ ∈ ∃ = ∫ , atunci

( ) ( ) ( ), ,b b d

D a a c

f x y dxdy F x dx f x y dy dx

= =

∫∫ ∫ ∫ ∫ , adică:

(1) ( ) ( ), ,b d

D a c

f x y dxdy dx f x y dy=∫∫ ∫ ∫

INTERPRETARE GEOMETRICĂ

Dacă ( ) ( ), 0 , ,f x y x y D≥ ∀ ∈ , atunci volumul cilindrului care se sprijină pe D şi este

limitat superior de suprafaţa ( ) ( ),S z f x y= este ( ),D

V f x y dx= ∫∫ , iar

( ) ( ),d

c

F x f x y dy= ∫ este aria secţiunii făcută în cilindru de un plan paralel cu yO z , plan

care trece prin punctul ( ), 0 , 0x . Analog:

(2) ( ) ( ), ,d b

D c a

f x y dxdy dy f x y dx=∫∫ ∫ ∫

EXEMPLE

1) ( ) ( ) ( ) ( )b d b b

D a c a a

d bd x d y d x d y y d x d c d x d c x d c b a

c a= = = − = − ⋅ = − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Aria D .

Deci Aria DD

d x d y= ∫ ∫

2) ( ) [ ] [ ] ( )1 1

2 2 2 2

1 1

; 1 , 1 1 , 1D

I x y d x d y D I d x x y d y− −

= + = − × − ⇒ = + =∫ ∫ ∫ ∫

1 13 32 2

1 1

1 12 2 82 2

1 13 3 3 3 3

y xx y d x x d x x

− −

= + = + = ⋅ + = − − ∫ ∫

y

( )2y xφ=

D

( )1y xφ=

O a b x

Fie 2 ;D D⊂ R - simplu în raport cu O y , dacă [ ] [ ]( )1 2 1 2, : , ; , ,a b a bφ φ φ φ∃ → ∈R astfel încât

( ) ( ) ( ) [ ] 21 2, , ,D x y x y x x a bφ φ= ∈ ≤ ≤ ∀ ∈R , adică orice paralelă la O y , taie frontiera lui

D în cel mult două puncte. În acest caz avem:

(3) ( ) ( )( )

( )2

1

, ,xb

D a x

f x y d x d y d x f x y d y

φ

φ

=∫ ∫ ∫ ∫

y

d

( )1x yψ= D ( )2x yψ=

c

O x

Analog dacă [ ]( )1 2, ,C c dψ ψ∃ ∈ astfel încât:

( ) ( ) ( ) [ ] 21 2, , ,D x y y x y y c dψ ψ= ∈ ≤ ≤ ∀ ∈R , atunci D se numeşte simplu în raport cu

Ox . În acest caz:

(4) ( ) ( ), ,d b

D c a

f x y dxdy dy f x y dx=∫∫ ∫ ∫

EXEMPLE

1) y

y x=

2y x=

O 1 x

( )2

2; ; 1 0 0 ; 1D

y xI x y d x d y D x x x x x x

y x

== = ⇒ − = ⇒ = =

=∫ ∫

( ) ( )2

1 1 1 12 4 62 4 3 5

20 0 0 0

11 1 1

02 2 2 2 4 6

x

x

xy x xI d x x y d y x d x x x x d x x x d x

x

= = = − = − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1

2 4 6 2 4 = − =

2) y 4

3

yx =

3 22 5x y= −

O x

22 2 2 2 2

4

31 6

; 2 5 ; 2 5 2 5 2 5 9 9 39

0D

yx

yI x y d x d y D x y y y y y

y

=

= + = + = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ≥

∫ ∫

2 22 53 3 32 2

2

40 0 03

2 51 1 6

2 542 2 93

y

y

yx y

I d y x y d x y d y y y d yy

− −

= = ⋅ = − − =

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )3 3 2 4

2 3

0 0

31 2 5 2 5 9 2 5 8 1 8 1 2 2 59 2 5 2 5 9

01 8 1 8 1 8 2 4 1 8 2 4 8

y yy y d y y y d y

= ⋅ − = − = − = − =

∫ ∫

FORMULA RIEMANN – GREEN

Face legătura între integrala curbilinie de tipul II în plan şi integrala dublă. Fie 2D ⊂ R şi

F r Dγ = - curbă simplă închisă, netedă. Se numeşte sens pozitiv pe ( )γ sensul dat de un

observator care deplasându-se pe ( )γ lasă D pe mâna stângă. Fie

2, : ,P Q D D⊂ →R R - simplu în raport cu acele de coordonate şi există ,P Q

y x

∂ ∂

∂ ∂, atunci:

(5) D

Q PP d x Q d y d x d y

x yγ +

∂ ∂+ = − ∂ ∂

∫ ∫ ∫

DEMONSTRAŢIE

y

( )2 2: y xγ φ=

D

( )1 1: y xγ φ=

O a b x

( )( ) ( )( )1 2 1 2

1 2, ,b b

a a

P d x P d x P d x P d x P d x P x x d x P x x d xγ γ γ γ γ

φ φ+ + − + +

= + = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )1 2, ,b

a

P x x P x x d xφ φ = − ∫

( )

( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )2

1

2

1 2

1

, , ,xb b b

D a x a a

xP Pd x d y d x d y P x y d x P x x P x x d x

y y x

φ

φ

φφ φ

φ∂ ∂

− = − = − = − ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Deci P d xγ +

∫D

Pd x d y

y

∂= −

∂∫ ∫ . Analog Q d yγ +

∫D

Qd x d y

x

∂= −

∂∫ ∫ .

CONSECINŢE

1) Pentru 1 1

; ;2 2 2 2 2 2

D

x y Q P x yQ P dy dx dxdy

x x γ +

∂ ∂= = − ⇒ = = − ⇒ − = ⇒

∂ ∂ ∫ ∫∫

1

2Aria D xdy ydx

γ +

= −∫

2) 0;Q P y= = − ⇒ Aria D ydxγ +

= −∫

3) 0;P Q x= = ⇒ Aria D xdyγ +

= ∫

EXEMPLE

1) ( ) ( ) [ ]2 2 2 2

2 2 2 2

cos: 1; : 1 ; 0, 2

sin

x a tx y x yD FrD t

y b ta b a bγ γ π

=+ ≤ = + = ⇒ ∈

=;

( ) ( )' 'sin ; cosx t a t y t b t= − =

Aria ( )2

0

1 1cos cos sin sin

2 2D xdy ydx a t b t b t a t dt

π

γ +

= − = ⋅ − − = ∫ ∫

( )2

2 2

0

21 1cos sin

02 2ab t t dt ab t ab

π ππ= + = ⋅ =∫

2) y

D 21y x= −

O 1 x

( )2 2

2 2 2 2 2 21; ; : 1; ;

, 0

x yI xy dx x ydy D x y P xy Q x y

x yγ

γ+

+ == − + + ≤ = − =

≥∫

21 1 1 22

0 0 0

12 ; 2 4 4 2

0

x

D

Q P xxy xy I xydxdy dx xydy xy dx

x y

−∂ ∂ −= = − ⇒ = = = =∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1 4

2 3 2

0 0

1 12 1 2 2

02 2

xx x dx x x dx x

= − = − = − =

∫ ∫

Fie ' 2 ';D D⊂ R - în planul ' ';u v FrDγ =o - curbă simplă închisă, netedă şi aplicaţia

( )( )

( ) ( ) ( )1' 2 ' ',

: ; ; , ; ,,

x x u vT D T u v D x y C D

y y u v

=→ ∀ ∈ ∈

=R şi

( )( )

( )( )

, ,0

, ,

x x

D x y D x y u v

y yD u v D u v

u v

∂ ∂ ∂ ∂ ≠ =

∂ ∂ ∂ ∂

v y

' 'F r Dγ =

( ),u v ( ),x y

O u O x

T se numeşte transformare directă, dacă orice punct care se deplasează în sens direct pe ( )'γ

este transformat prin T într-un punct care se deplasează pe ( )γ tot în sens direct.

PROPOZIŢIE

Aria( )( )'

,

,D

D x yD d u d v

D u v= ∫∫

DEMONSTRAŢIE

Aria' '

R Gy y y yD x d y x d u d v x x

u v u vγ γ γ+ + +

−∂ ∂ ∂ ∂ = = ± + = ± + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫

' '

2 2R G

D D

y y x y y x y yx x d u d v x x d u d v

u v v u u v u v v u u v

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ± − = ± + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫

( )( )

( )( )' '

, ,

, ,D D

D x y D x yd u d v d u d v

D u v D u v= ± =∫∫ ∫∫ . Deci T – directă

( )( )

,0

,

D x y

D u v⇔ >

Dacă într-o integrală dublă se fac schimbările de variabile, date de aplicaţia T, atunci:

(6) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'

,, , , ,

,D D

D x yf x y d x d y f x u v y u v d u d v

D u v=∫∫ ∫∫

COORDONATE POLARE

y

( ),M x y

ρ θ y

O x r x

1) ( ) 2 2 2, :D O r x y r+ ≤ ; O Mρ = - raza polară; ( ),O x O Mθ = - unghi polar;

( ),ρ θ - coordonate polare; [ ] [ ] ( )2 2 2c o s; 0 , ; 0 , 2 ;

s i n

xr x y

y

ρ θρ θ π ρ

ρ θ

=∈ ∈ + =

=

( )( )

2 2c o s s i n,c o s s i n

s i n c o s,

x x

D x y

y yD

θ ρ θρ θρ θ ρ θ ρ

θ ρ θρ θρ θ

∂ ∂−∂ ∂

= = = + =∂ ∂∂ ∂

; ( )( )

,

,

D x y

Dρ

ρ θ=

EXEMPLU

( )3

2 2 2 22 ; : 4D

I x y d x d y D x y= + + ≤∫ ∫

( )2 2 23 5

2 42

0 0 0

2 6 42 2

05 5I d d d

θ ρ πρ ρ ρ θ π ρ ρ π⇒ = ⋅ = = ⋅ =∫ ∫ ∫

2) ( ) [ ] [ ]2 2

2 2

c o s1 ; 0 , 1 ; 0 , 2

s i n

x ax yE

y ba b

ρ θρ θ π

ρ θ

=+ ≤ ⇒ ∈ ∈

=;

( )( )

,

,

D x ya b

Dρ

ρ θ= ;

2 22

2 2

x y

a bρ+ =

EXEMPLU

1 22 2 2 22

2 2 2 20 0

1 ; : 1 1D

x y x yI dxdy D I ab d d

a b a b

π

ρ ρ ρ θ= − − + ≤ ⇒ = − ⋅ =∫∫ ∫ ∫1

2

0

2 1ab dπ ρ ρ ρ− ⋅∫

2 2 2 2 21 1 1 2 2u u u d udu d uduρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ− = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

1 3

0

1 20 1; 1 0 2 2

03 3

u abu u I ab u udu ab

πρ ρ π π= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = − ⋅ = ⋅ =∫

APLICAŢII PRACTICE

y

D

O x

(1) AriaD

D dxdy= ∫∫

EXEMPLU

( )2 2 2

3 3 3: 0D x y a a+ ≤ >

Facem schimbarea de variabile: 3 2 2 2

2 23 3 33

coscos sin

sin

xa

y

ρ θρ θ ρ θ

ρ θ

=⇒ + ≤ ⇒

=

[ ] [ ]2 2

3 3 0, ; 0,2a a aρ ρ ρ θ π≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ∈

3 2 3 2cos ; 3 cos sin ; sin ; 3 sin cosx x y y

θ ρ θ θ θ ρ θ θρ θ ρ θ

∂ ∂ ∂ ∂= = − = = ⇒

∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

2 4 2 4 2 2,3 sin cos 3 cos sin 3 sin cos

,

D x y

Dρ θ θ ρ θ θ ρ θ θ

ρ θ= + = ⇒

Aria2 2 22 2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

3 1 33 sin cos 4sin cos 4sin 2

02 4 8

a a aD d d d d

π π πρρ θ θ ρ θ θ θ θ θ θ= = ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫

22 2 2

0

2 23 1 cos 4 3 sin 4 3

0 08 2 16 4 8

a a ad

π π πθ θ πθ θ

−= = − =

∫

(2) Fie D – placă plană, având densitatea ( ),x yρ ρ= . Atunci: Masa ( ),D

D x y dxdyρ= ∫∫

EXEMPLU

y

2 2by a x

a= −

D

O 0y = a x

( )2 2

2 22 2

: 1; , 0; ,x x

D x y x y a xa b

ρ+ ≤ ≥ = − ;

( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 1x x y x b b

y a x y a xa b b a a a

+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Masa

2 2

2 22 2 2 2 2 2

0 0 0 0

ba x

a aa

D

ba x

D a x dxdy dx a x dy a x y dxa

−−

= − = − = − ⋅ =∫∫ ∫ ∫ ∫

( )3 3 2

2 2 2 3

0

2

03 3 3

a ab b x b a a ba x dx a x a

a a a

= − = − = − =

∫

(3) CENTRUL DE GREUTATE

Dacă ( ),G GG x y - este centrul de greutate al plăcii plane D, având densitatea ( ),x yρ ρ= ,

atunci: ( )1,G

D

x x x y d x d yM a s a D

ρ= ∫∫ ; ( )1,G

D

y y x y d x d yM a s a D

ρ= ∫∫

În particular, dacă D – placă plană omogenă ( ρ - constant), atunci:

1G

D

x x d x d yA r ia D

= ∫∫ ; 1

G

D

y y d x d yA r ia D

= ∫∫

EXEMPLU:

2 2

2 2: 1 ; , 0 ;

x xD x y D

a b+ ≤ ≥ - omogenă;

[ ] ( )( )

c o s ,; 0 ,1 ; 0 , ;

s in 2 ,

x a D x ya b

y b D

ρ θ πρ θ ρ

ρ θ ρ θ

= ∈ ∈ = =

1 22

0 0

1

02 2 4D

a bA r ia D d x d y a b d d a b

π

π ρ πρ ρ θ= = = ⋅ =∫∫ ∫ ∫

1 3 222

1

0 0

1c o s s in 2

03 30D

a bI x d x d y a a b d d a b

π πρ

ρ θ ρ ρ θ θ= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒∫∫ ∫ ∫24 4

3 3G

a b ax

a bπ π= ⋅ =

( )1 3 22

22

0 0

1s in c o s 2

03 30D

a bI y d x d y b a b d d a b

π πρ

ρ θ ρ ρ θ θ= = ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⇒∫∫ ∫ ∫24 4

3 3G

a b by

a bπ π= ⋅ =

Deci 4 4

,3 3

a bG

π π

(4) MOMENTE DE INERŢIE

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, ; , ; ,O x O y O

D D D

I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdyρ ρ ρ= = = +∫∫ ∫∫ ∫∫

y

1

111 y x

x yx y

= −= −+ =

0x = D

O 0y = 1 x

EXEMPLU

( ): 1 ; , 0 ; ,D x y x y x y xyρ+ ≤ ≥ = ;

( )11 1 12

2 3 3 3 3 2

0 0 0 0

1 11 2

02 2

y

O x

D D

yxI y xydxdy xy dxdy dy xy dx y dy y y y dy

− −= ⋅ = = = ⋅ = − + =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )1 4 5 6

3 4 5

0

11 1 1 1 2 1 12 2

02 2 4 5 6 2 4 5 6 120

y y yy y y dy

= − + = − ⋅ + = − + =

∫ ;

( )1 1 1 12

2 3 3 3 3 2

0 0 0 0

1 1 11 2

02 2 120

x

O y

D D

xyI x xydxdy x ydxdy dx x ydy x dx x x x dx

− −= ⋅ = = = ⋅ = − + =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1

60O O x O yI I I= + =

C10.

INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ DE TIPUL I

DEFINIŢII

1 Fie 3:F Ω ⊂ →R R . Se numeşte suprafaţă dată implicit mulţimea punctelor

( ), ,M x y z ∈ Ω , care verifică:

(1) ( ), , 0F x y z = ( )S

Nr

nr

M

tΠ

Notăm tΠ - planul, tangent la ( )S în punctul M, Nr

- vectorul normală la ( )S în M

( )tN ⊥ Πr

Nn

N=

rr

r - versorul normalei. Dacă ( ) ( )1F C∈ Ω ⇒

(2) , ,F F F

Nx y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r. Dacă ( ) ( ),N O M S S≠ ∀ ∈ ⇒

rr- suprafaţă netedă.

Fie ( ) ( ) ( ), , , , ,O x n O y n O z nα β γ= = = ⇒r r r

(3) c o s c o s c o sn i j kα β γ= + +rr rr

; c o s , c o s , c o sα β γ - se numesc cosinişii normalei.

2 Fie 2:f D ⊂ →R R . Se numeşte suprafaţă dată explicit mulţimea punctelor

( ) 3, ,M x y z ∈ R , care verifică:

(4) ( ),z f x y= ( )S ( ), 0 , , 1f f

z f x y Nx y

∂ ∂⇒ − = ⇒ − − ∂ ∂

. Notăm:

(5) ;f f

p qx y

∂ ∂= =

∂ ∂ (MONGE) ( ) 2 2, , 1 1N p q N p q⇒ − − ⇒ = + + ⇒

r r

2 2 2 2 2 2

1

1 1 1

p qn i j k

p q p q p q= − − +

+ + + + + +

rr rr şi deci:

(6) 2 2 2 2 2 2

1c o s ; c o s ; c o s

1 1 1

p qk

p q p q p qα β γ= − = − =

+ + + + + +

r

z ( )S

b SΓ =

O y

D

x F r Dγ =

Fie ( ) ( )( )( )

[ ] ( ) ( ) ( )( ); , , ,x x t

F r D t a b z f x y f x t y ty y t

γ γ=

= ⇒ ∀ ∈ ⇒ = = ⇒=

( )( )( )

( ) ( )( )[ ]; ,

,

x x t

y y t t a b b S

z f x t y t

=

Γ = ∀ ∈ ⇒ Γ =

=

- bordura suprafeţei ( )P r x O y γΓ =

3 Se numeşte suprafaţă dată parametric, mulţimea:

(7)

( )( )( )

( ) ' 2

,

, ; ,

,

x x u v

y y u v u v D

z z u v

=

= ∀ ∈ ⊂ =

R . Dacă r x i y j z k= + +rr rr

este vectorul de poziţie al unui

punct arbitrar de pe ( ) ( ),S r r u v⇒ =r r

u vN r r= ×r r r

( )S urr

0v v=

0M vrr

0u u=

Fie ( ) '0 0,u v D∈ şi 0M - punctul corespunzător pe ( )S ; 0M - fix.

Pentru 0u u= ⇒ curbă pe ( )S cu vectorul tangent la ea în 0M : v

x y zr i j k

v v v

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

rr rr.

Analog pentru 0v v= u

x y zr i j k

u u u

∂ ∂ ∂⇒ = + + ⇒

∂ ∂ ∂

rr rr

(8) u vN r r= ×r r r

; u v

i j k

x y zr r

u u u

x y z

v v v

∂ ∂ ∂× =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

rr r

r r. Notăm:

(9) ( )( )

( )( )

( )( )

, , ,; ;

, , ,

D y z D z x D x yA B C

D u v D u v D u v= = = N A i B j C k⇒ = + +

rr r r şi

2 2 2N A B C= + + ⇒r

(10) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c o s ; c o s ; c o sA B C

A B C A B C A B Cα β γ= = =

+ + + + + +

Dacă ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2, , , ; , , , ,u v u v D u v u v r u v r u v∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

r r, atunci suprafaţa se

numeşte simplă.

EXEMPLE:

1 2 2 2 2:S F E R A x y z r+ + = .

z

( ), ,M x y z

φ

r

φ

O y

x θ

N y 'M

x

Fie ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ', , ; ; , ; ; ,M x y z S O M r O z O M M M x O y O x O Mφ φ∈ = = ⊥ = .

În ' 'c o s ; s i nO M M z r O M rφ φ⇒ = = .

În ( )' ' ' c o s s i n c o sO N M M N O x x O M rθ φ θ⊥ ⇒ = = ; ' s i n s i n s i ny O M rθ φ θ= = ⇒

C11.

INTEGRALA TRIPLĂ

1) Fie [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , ; : ; , ,a b c d e g f D a b c dΩ = × × Ω → = ×R ; ( ), ,I f x y z dxdydzΩ

= ⇒∫∫∫

(1) ( ), ,g

D e

I dxdy f x y z dz= ∫∫ ∫

EXEMPLU

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]; 0,1 2, 4 5, 8 0,1 2, 4I xyzdxdydz DΩ

= Ω = × × ⇒ = ×∫∫∫ ;

8 1 42

5 0 2

8 39 39

52 2 2D D D

zI dxdy xyzdz xy dxdy xydxdy dx xydy= = = = =∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

1 12 2

0 0

4 139 117117 117

2 02 2 2 2

y xx dx xdx= = = ⋅ =∫ ∫

2) Dacă ( )21 2 1 2, : , ,D C Dφ φ φ φ∃ → → ∈R R astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) 31 2, , , , ; ,x y z x y z x y x y Dφ φΩ = ∈ ≤ ≤ ∀ ∈R , atunci Ω se numeşte simplu în

raport cu O z . În acest caz:

(2) ( ) ( )( )

( )2

1

,

,

, , , ,x y

D x y

f x y z dxdydz dxdy f x y z dz

φ

φΩ

=∫∫∫ ∫∫ ∫

EXEMPLE

1) z y

1y x= −

( )21 ,z x y x yφ= − − =

O y x

D ( )10 ,z x yϕ= = O 0y = 1

x

( )3

11; :

, , 01

x y zI d x d y d z

x y zx y zΩ

+ + == Ω

≥+ + + ∫∫∫

( ) ( ) 213

0

111

02

x y

D D

x yx y zI d x d y x y z d z d x d y

−− −− − −+ + +

= + + + = =−∫∫ ∫ ∫∫

( ) ( )1 1

2 2

0 0

1 1 1 11 1

2 4 2 4

x

D

x y d x d y d x x y d y

−− − = − − + + = − − + + =

∫∫ ∫ ∫

( )1 1 2

0 0

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln 1

0 02 4 1 2 4 2 1 2 4 8 2

x x xy d x d x x x x

x y x

− − = − + = − + − = − − + − + = + + + ∫ ∫

1 1 1 1 1 5ln 2 ln 2

2 4 8 2 2 8 = − − + − = −

2) z

( )2 26z x y= − +

2 2z x y= +

O y

x 2 2: 2D x y+ ≤

( )2 2

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2; : 6 ;

6 6 00

z x yz x y

I x y z d x d y d z x y zx y z z z

zΩ

= + = +

= + Ω + + = + + = ⇒ + − = ≥

∫ ∫ ∫

1

2

22 2

1 , 23

1 51 2 4 2 5 ; ; 2 : 2

2

z

z

z z D x y

=

= −

− ±∆ = + = = = ⇒ + ≤

( )( )

( ) ( )2 2

2 2

6 2 222 2 2 2

2 2

6

2

x y

D Dx y

x yzI d x d y x y z d z x y d x d y

x y

− +

+

− += + = + =

+∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 216

2D

x y x y x y d x d y = + − + − + ∫ ∫

[ ] ( )( ) ( )

2 22 2 4

0 0

c o s , 1; 0 , 2 ; 0 , 2 ; ; 6

s i n , 2

x D x yI d d

y D

πρ θρ θ π ρ ρ ρ ρ ρ ρ θ

ρ θ ρ θ

= ∈ ∈ = = − − = =

∫ ∫

( )2 4 6 8

3 5 7

0

4 826 6 6 2

4 6 8 3 30d

ρ ρ ρ ππ ρ ρ ρ ρ π π

= − − = − − = − − =

∫

FORMULA GAUSS – OSTROGRADSKI

Face legătura între integrala triplă şi integrala de suprafaţă. Fie 3 ,Ω ⊂ ΩR - simplu în

raport cu axele de coordonate; S F r= Ω - suprafaţă simplă, netedă, orientată;

, , :P Q R Ω → R , astfel încât , ,P Q R

x y z

∂ ∂ ∂∃

∂ ∂ ∂; V P i Q j R k= + +

rr r r, atunci:

(3) S

P Q RP d y d z Q d z d x R d x d y d x d y d z

x y zΩ

∂ ∂ ∂+ + = + + ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫∫

DEMONSTRAŢIE

z

( ) ( )2 2 ,S z x yϕ=

nr

e

S

( ) ( )1 1 ,S z x yϕ=

O y

x D

2 1 eS SS S

Rdxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy+ −

+

= + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ . Pe suprafaţa exterioară ( )eS avem n Oz⊥ ⇒r

2 1

0eS S S S

Rdxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy+ +

+

= ⇒ = − =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

( )( ) ( )( ) ( )( ) ((2 1 2 1, , , , , , , , , , , ,D D D

R x y x y dxdy R x y x y dxdy R x y x y R x y x y dxdyφ φ φ φ = − = − ∫∫ ∫∫ ∫∫

( )

( )

( )( )( )

2

1

,2

, 1

,, ,

,

x y

D x y D

x yR Rdxdydz dxdy dz R x y z dxdy

z z x y

φ

φ

φ

φΩ

∂ ∂= = =

∂ ∂∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

( )( ) ( )( )2 1, , , , , ,D

R x y x y R x y x y dxdyφ φ = − ∫∫ . Deci S

RRdxdy dxdydz

z+ Ω

∂=

∂∫∫ ∫∫∫ .

Analog S

PPdydz dxdydz

x+ Ω

∂=

∂∫∫ ∫∫∫ ; S

QQdzdx dxdydz

y+ Ω

∂=

∂∫∫ ∫∫∫ .

Cum P Q R

div Vx y z

∂ ∂ ∂= + + ⇒

∂ ∂ ∂

rdin (3) ⇒

(4) ( ) ( )S

V n d divV dxdydzσΩ

⋅ =∫∫ ∫∫∫r rr

(formula divergenţei)

CONSECINŢĂ

Pentru 0 ;P Q R z= = = ⇒ ( )S

V o l z d x d y

+

Ω = ∫ ∫

EXEMPLU

z

z a=

O y

D 0z =

x

( ) [ ]2 2 2 ; , , 0 ,S

I x d y d z y d z d x z d x d y S x y z a

+

= + + ∈∫ ∫

2 2 2; ; 2 ; 2 ; 2P Q R

P x Q y R z x y zx y z

∂ ∂ ∂= = = ⇒ = = =

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2

0

2 2 2 2 20 02

a

D D

a azI x y z d x d y d z d x d y x y z d z x y z d x d y

Ω

= + + = + + = + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2 2

0 0 0

2 2 202 2 2 2

a a a

D

aa a y aa x y d x d y d x a x y d y a x y a y d x

= + + = + + = + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3 3 2 42 2 3 4 4

0

2 2 2 302 2 2 2

a aa a x aa x d x a a x a a

= + + = + = + =

∫

SCHIMBĂRI DE VARIABILE ÎN INTEGRALA TRIPLĂ

Fie ( ). .I f x y z d x d y d zΩ

= ∫ ∫ ∫ ; facem schimbările de variabile:

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

x x u v w

y y u v w

z z u v w

=

= =

,

( ) ( ) ( ) ( )( )

1' 3 ' , ,, , ; , , ; 0

, ,

D x y zu v w x y z C

D u v w∀ ∈ Ω ⊂ ∈ Ω ≠R . Atunci:

(5) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'

, ,, , , , , , , , , ,

, ,

D x y zf x y z d x d y d z f x u v w y u v w z u v w d u d v d w

D u v wΩ Ω

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

COORDONATE SFERICE

1) [ ] [ ] [ ]2 2 2 2

s i n c o s

: s i n s i n ; 0 , ; 0 , ; 0 , 2

c o s

x

x y z r y r

z

ρ φ θ

ρ φ θ ρ φ π θ π

ρ φ

=

Ω + + ≤ ⇒ = ∈ ∈ ∈ ⇒ =

2 2 2 2x y z ρ+ + = ;

( )( )

s i n c o s c o s c o s s i n s i n, ,

s i n s i n c o s s i n s i n c o s, ,

c o s s i n 0

x x x

D x y z y y y

D u v w

z z z

ρ φ θφ θ ρ φ θ ρ φ θ

φ θ ρ φ θ ρ φ θρ φ θ

φ ρ φ

ρ φ θ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2s i n s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n c o sρ φ φ θ φ θ φ θ φ θ= + + + =

( )2 2 2 2s i n s i n c o s s i nρ φ φ φ ρ φ= + = ⇒( )( )

2, ,s i n

, ,

D x y z

Dρ φ

ρ φ θ=

2) [ ] [ ] [ ]2 2 2

2 2 2

s i n c o s

: 1 s i n s i n ; 0 , 1 ; 0 , ; 0 , 2

c o s

x ax y z

y ba b c

z c

ρ φ θρ φ θ ρ φ π θ π

ρ φ

=

Ω + + ≤ ⇒ = ∈ ∈ ∈ ⇒ =

( )( )

2, ,s i n

, ,

D x y za b c

Dρ φ

ρ φ θ= şi

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + =

EXEMPLE

1) ( )3

2 2 2 2 2 221 ; : 1I x y z dxdydz x y zΩ

= + + + Ω + + ≤ ⇒∫∫∫

( )1 2 1

3 2 3 2

0 0 0 0

1 sin 2 cos 10

I d d d

π π πρ ρ φ ρ φ π φ ρ ρ ρ= + ⋅ = − + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1 3

'3 3 32 2

0

11 4 2 84 1 1 1 2 2 1

03 3 3 9d

π ππ ρ ρ ρ ρ= + ⋅ + = ⋅ + = −∫

2) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21 ; : 1

x y z x y zI dxdydz

a b c a b cΩ

= − + + Ω + + ≤

∫∫∫

( )1 2 1

2 2 2 2

0 0 0 0

1 sin 2 cos 10

I abc d d d abc d

π π πρ ρ φ ρ φ θ π φ ρ ρ ρ= − ⋅ = − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ;

sin cos ; 0 0 ; 12

t d tdt t tπ

ρ ρ ρ ρ= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ⇒

2 2 22 2

0 0 0

1 cos 44 cos sin cos sin 2

2

tI abc t t tdt abc tdt abc dt

π π π

π π π−

= = = =∫ ∫ ∫

2sin 42 2

2 4 40 0

t abcabc t

π ππ π

= − =

APLICAŢII PRACTICE

1 ( )Vol dxdydzΩ

Ω = ∫∫∫

2 ( ) ( ), ,Masa x y z dxdydzρΩ

Ω = ∫∫∫ , ρ - densitatea

3 ( )

( )1, ,

Gx x x y z dxdydz

Masaρ

Ω

=Ω ∫∫∫ . Analog ( ), ; , ,

G G G G Gy z G x y z - centrul de

greutate al lui Ω . Dacă Ω - omogen ( ρ - constant) ⇒( )1

Gx xdxdydz

Vol Ω

=Ω ∫∫∫ . Analog

,G G

y z .

4 ( ) ( )2 2 , ,Ox

I y z x y z dxdydzρΩ

= +∫∫∫ . Analog ;Oy Oz

I I .

( )2 , ,xOy

I z x y z dxdydzρΩ

= ∫∫∫ . Analog ;yOz zOx

I I .

( ) ( )2 2 2 , ,O

I x y z x y z dxdydzρΩ

= + +∫∫∫

EXEMPLE

z

2 2z x y= +

2 2z x y= +

O y

2 2: 1D x y+ ≤

x

1) ( )2 2 2 2: ; ?z x y z x y V o lΩ = + = + ⇒ Ω =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 : 1x y x y x y x y x y D x y+ = + ⇒ + = + ⇒ + = ⇒ + ≤

( ) ( )2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

x y

D D Dx y

x yV o l d x d y d z d x d y d z z d x d y x y x y d x d y

x y

+

Ω +

+ Ω = = = = + − + +

∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫

[ ] [ ] ( )( )

( ) ( )1 2

2

0 0

c o s ,; 0 ,1 ; 0 , 2 ;

s in ,

x D x yV o l d d

y D

πρ θρ θ π ρ ρ ρ ρ ρ θ

ρ θ ρ θ

=∈ ∈ = ⇒ Ω = − =

=∫ ∫

( )1 3 4

2 3

0

12 2

03 4 6d

ρ ρ ππ ρ ρ ρ π

= − = − =

∫

2) ( ) ( )2 2 2: 1; , , 0; , , ?x y z x y z x y z xyz MasaρΩ + + ≤ ≥ = ⇒ Ω =

( ) ( ), ,Masa x y z dxdydz xyzdxdydzρΩ Ω

Ω = =∫∫∫ ∫∫∫

[ ]sin cos

sin sin ; 0,1 ; 0, ; 0,2 2

cos

x

y

z

ρ φ θπ π

ρ φ θ ρ φ θ

ρ φ

= = ∈ ∈ ∈ =

; ( )( )

2, ,sin

, ,

D x y z

Dρ φ

ρ φ θ=

( )1 2 2

3 2 2

0 0 0

sin cos sin cos sinMasa d d d

π π

ρ φ φ θ θ ρ φ ρ φ θΩ = ⋅ =∫ ∫ ∫

( ) ( )6 4 22 2

' '3

0 0

1 1 sin sin 1sin sin sin sin 2 2

06 6 4 2 480 0

d d

π π π πρ φ φ

φ φ φ θ θ θ= ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫

3) 2 2 2

2 2 2: 1 ; , , 0 ;

x y zx y z

a b cΩ + + ≤ ≥ Ω - omogen G⇒

[ ]s i n c o s

s i n s i n ; 0 , 1 ; 0 , ; 0 ,2 2

c o s

x a

y b

z c

ρ φ θπ π

ρ φ θ ρ φ θ

ρ φ

= = ∈ ∈ ∈ =

; ( )( )

2, ,s i n

, ,

D x y za b c

Dρ φ

ρ φ θ=

( ) ( )1 32 2

2

0 0 0

1s i n c o s 2

02 3 60

a b cV o l d x d y d z a b c d d d a b c

π π ππ ρ π

ρ φ ρ φ θ φΩ

Ω = = = ⋅ ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 42 2 22 2 2

1

0 0 0 0

1s i n c o s s i n s i n s i n2

040

I x d x d y d z a a b c d d d a b c d

π π ππρ

ρ φ θ ρ φ ρ φ θ θ φ φΩ

= = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 22

0

1 c o s 2 s i n 2 6 32 2

4 2 8 2 8 8 80 0

G G

a b c a b c a b c a b c ad x x

a b c

π π πφ φ π π

φ φπ

− = = − = ⇒ = ⋅ ⇒ =

∫

( )1 42 2 2

2 2 22

0 0 0 0

1s i n s i n s i n c o s s i n2

040

I y d x d y d z b a b c d d d a b c d

π π ππρ

ρ φ θ ρ φ ρ φ θ θ φ φΩ

= = ⋅ = ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 22

0

1 c o s 2 s i n 2 6 32 2

4 2 8 2 8 8 80 0

G G

a b c a b c a b c a b c bd y y

a b c

π π πφ φ π π

φ φπ

− = = − = ⇒ = ⋅ ⇒ =

∫

( )1 42 2 2

'2 23

0 0 0 0

1s i n s i n s i n s i n s i n

04 2I z d x d y d z c a b c d d d a b c d

π π π

ρ πρ φ θ ρ φ ρ φ θ φ φ φ

Ω

= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2s i n 6 32

8 2 1 6 1 6 80

G G

a b c a b c a b c cz z

a b c

ππ φ π π

π= ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ =

3 3 3, ,

8 8 8

a b cG

⇒

4) z

z c=

2 2

2 2

x yz c

a b= +

O y

2 2

2 2: 1

x yD

a b+ ≤

x

2 2 2

2 2 2: 1 ; 0 ;

x y zz c

a b cΩ + + ≤ = > Ω - omogen ?x O yI⇒ =

2 2

2 2

3 2 22 2 3 32 2

2 2

2 2

1

3 3

c

x O y

D D Dx yc

a b

cz x y

I z d x d y d z d x d y z d z d x d y c c d x d yx ya bc

a bΩ

+

= = = = − + + ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫

[ ] [ ] ( )( ) ( )

1 233

0 0

c o s ,; 0 ,1 ; 0 , 2 ; 1

s in , 3x O y

x a D x y ca b I a b d d

y b D

πρ θρ θ π ρ ρ ρ ρ θ

ρ θ ρ θ

=∈ ∈ = ⇒ = − =

=∫ ∫

( )13 3 2 5 3 3

4

0

12 2 2 3

03 3 2 5 3 1 0 5

a b c a b c a b c a b cd

π π ρ ρ π πρ ρ ρ

= − = − = ⋅ =

∫

INTEGRALE DIN FUNCŢII VECTORIALE

Dacă în definiţia integralelor de suprafaţă sau triple se ia în locul câmpului scalar f ,

câmpul vectorial V P i Q j R k= + +rr r r

, atunci se obţin integrale din funcţii vectoriale. De

exemplu:

S S S S

V d i P d j Q d k R dσ σ σ σ= + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫rr r r

.

1 FORMULA GRADIENTULUI

Fie 3:U Ω → →R R , astfel încât , , ;U U U

S F rx y z

∂ ∂ ∂∃ = Ω

∂ ∂ ∂. Atunci:

(5) ( ) ( )S

U v d grad U d xdydzσΩ

⋅ =∫∫ ∫∫∫r

DEMONSTRAŢIE

Din (3) S

UU dydz dxd ydz

x+ Ω

∂⇒ =

∂∫∫ ∫∫∫ ; S

UU dzd x dxd ydz

y+ Ω

∂=

∂∫∫ ∫∫∫ ;

S

UU dxd y d xd ydz

z+ Ω

∂= ⇒

∂∫∫ ∫∫∫

( )S

U U UU id ydz jdzd x kd xdy i j k dxdyd z

x y z+ Ω

∂ ∂ ∂+ + = + + ⇒ ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫∫r rr r r r

( ) ( )S

U v d grad U d xdydzσΩ

⋅ =∫∫ ∫∫∫r

2 FORMULA ROTORULUI

Fie ( ) ( )13, , : ; , , ,P Q R S F r P Q R CΩ ⊂ → = Ω ∈ ΩR R ; V P i Q j R k= + +rr r r

. Atunci:

(6) ( ) ( )S

n V d r o t V d x d y d zσΩ

× =∫ ∫ ∫ ∫ ∫r rr

DEMONSTRAŢIE

i j k

R Q P R Q Rr o t V i j k

x y z y z z x x y

P Q R

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

rr r

rr r r;

( ) ( )c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s

i j k

n V R Q i P R j

P Q R

α β γ β γ γ α× = = − + − +

rr r

r r rr

( )c o s c o sQ P kα β+ − ⇒r

( ) ( )c o s c o sS S

n V d i R Q dσ β γ σ× = − +∫ ∫ ∫ ∫r rr

( ) ( )c o s c o s c o s c o sS S S

j P R d k Q P d i R d z d x Q d x d yγ α σ α β σ+

+ − + − = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫rr r

S S

R Qj P d x d y R d y d z k Q d y d z P d z d x i d x d y d z

y z+ + Ω

∂ ∂+ − + − = − + ∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫rr r

( )P R Q Pj d x d y d z k d x d y d z r o t V d x d y d z

z x x yΩ Ω Ω

∂ ∂ ∂ ∂ + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

r rr

C12.

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I

DEFINIŢII

1 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul I, dată sub forma implicită, o ecuaţie de forma:

(1) ( )', , 0F x y y = necunoscuta fiind funcţia ( ) ( ) [ ]( )1, , ,y y x y C a b x= ∈ - variabilă

independentă, [ ] 2: , ,F a b D D× → ⊂R R .

2 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul I, dată sub forma explicită sau normală, o ecuaţie

de forma:

(2) ( )' ,y f x y= , ( )2: ,f D f C D⊂ → ∈R R .

Ţinând cont că ' d yy

d x= , din (2) ( ) ( ), , 0

d yf x y f x y d x d y

d x⇒ = ⇒ − = . Reciproc: fie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )' ,, , 0 , , 0 , ; , 0

,

P x yd yP x y d x Q x y d y P x y Q x y y f x y Q x y

d x Q x y+ = ⇒ + = ⇒ = − = ≠

Deci ecuaţia (2) este echivalentă cu:

(3) ( ) ( ), , 0P x y d x Q x y d y+ =

3 Dacă C - constantă oarecare, atunci ( ),y x Cφ= se numeşte soluţia generală a unei ecuaţii

diferenţiale de ordin I, dacă ea verifică acea ecuaţie şi prin alegerea convenabilă a constantei

C se poate obţine orice soluţie a ecuaţiei. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin

I poate fi dată sub una din următoarele forma:

a) implicită ( ), , 0x y CΨ = ;

b) explicită ( ),y x Cφ= ;

c) parametric ( ) ( ) [ ], ; , ; , ,x t C y t C t tφ ψ α β= = ∈ parametru.

Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I se mai numeşte şi integrala generală a

ecuaţiei, iar graficul ei este o familie de curbe integrale.

4 PROBLEMA CAUCHY – constă în a determina o soluţie ( )y y x= , a ecuaţiei diferenţiale

de ordinul I, care să satisfacă o condiţie de forma: ( )0 0y x y= , numită şi condiţie iniţială.

EXEMPLU

( ) ( ) ( )' c o s 2 ; 0 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2d y

y x x y x x d y x x d x y x x d x Cd x

= + = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + +∫

2s iny x x C⇒ = + + - soluţia generală a ecuaţiei. Din ( ) 20 2 2 s in 2y C y x x= ⇒ = ⇒ = + +

I. ECUAŢII DIFERENŢIALE TOTALE EXACTE

Sunt de forma:

(4) ( ) ( ), , 0P x y d x Q x y d y+ = , unde 2, :P Q D ⊂ →R R , P Q

y x

∂ ∂=

∂ ∂. Soluţia generală a

ecuaţiei este:

(5) ( ) ( )0 0

0, ,yx

x y

P t y d t Q x t d t C+ =∫ ∫ unde ( )0 0 0 0, ; ,x y D x y∈ - fixate.

Soluţia generală a ecuaţiei se obţine prin două operaţii de integrare, numite şi cuadraturi.

EXEMPLU

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 0 ; 1 1 ; , ; , 2x y d x x y d y y P x y x y Q x y x y− − = = = − = −

2 ; 2P Q P Q

y yy x y x

∂ ∂ ∂ ∂= − = − ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂; ( )

0 0

2 20 2

yx

x y

t y d t x td t C− + − = ⇒∫ ∫

3 220

0 0

23 2

x yt ty t x C

x y

− − ⋅ =

332 2 2 200 0 0 03 3

xxx y x y x y x y C⇒ − − + − + = ⇒

32

3

xx y C− = - soluţia generală a ecuaţiei. Din ( ) 3 22

1 1 3 2 03

y C x x y= ⇒ = − ⇒ − + = .

II. ECUAŢII CU VARIABILE SEPARABILE

Sunt de forma:

(6) ( ) ( ) 0P x d x Q y d y+ = 0 ; 0P Q

y x

∂ ∂⇒ = =

∂ ∂, deci aplicând (4), obţinem:

(7) ( ) ( ) 0P x d x Q y d y+ =∫ ∫ - adică se integrează ecuaţia termen cu termen.

EXEMPLU

( ) 1 1 1 10 ; , 0 0 l ny d x x d y x y d x d y d x d C

x y x y+ = > ⇒ + = ⇒ + = ⇒∫ ∫

( )l n l n l n l n l nx y C x y C+ = ⇒ = ⇒ x y C=

III. ECUAŢII OMOGENE

Sunt de forma:

(8) ( )( )

' ,

,

P x yy

Q x y= - unde ,P Q sunt funcţii omogene de acelaşi ordin k

Scoţând factor forţat de la numitor şi de la numărător pe kx , ecuaţia poate fi adusă la forma:

(9) ' yy f

x

=

Notând ( );y

z z z xx

= = se obţine o ecuaţie cu variabile separabile.

EXEMPLU

( )

222

22 2' ' '

2

21 1 2

2; , 0

y yx

xx y xy x y y y

y yx yx

x x

+ + + = > ⇒ = ⇒ =⋅

. Notăm ( );y

z z z xx

= = ⇒

2 2 2' ' ' '1 2 1 2 1z z d z z

y x z y z x z z x z x z z xz z d x z

+ + += ⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ ⋅ = ⇒

( ) ( )2 22

1 1l n 1 l n l n l n 1 l n

1 2

zd z d x z x C z C x

z x= ⇒ + = + ⇒ + = ⇒

+

22

21 1

yz C x C

x+ = ⇒ + = ⇒ 2 2 2x y C x+ =

IV. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I LINIARE

Sunt de forma:

(10) ( ) ( )'y P x y Q x+ = unde [ ]( ), ,P Q C a b∈ . Dacă ( )Q x - ecuaţie omogenă:

( )' 0y P x y+ =

( ) ( ) ( )1ln ln

yP x y d y P x d x y P x d x C

x y

∂⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − +

∂ ∫( )

ln ln lnP x d x

y e C− ∫⇒ = + ⇒

( )P x d x

y C e− ∫= - soluţia generală a ecuaţiei omogene. Pentru rezolvarea ecuaţiei neomogene se

aplică metoda variaţiei constantelor (Lagrange): se caută pentru ecuaţia neomogenă soluţii de

aceeaşi formă cu ale ecuaţiei omogene, constantele devenind variabile. Deci ( ) ( )P x d x

y C x e− ∫=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'P x d x P x d x P x d x P x d x

C x e C x P x e C x P x e Q x C x Q x e− − −∫ ∫ ∫ ∫⇒ − + = ⇒ = ⇒

( ) ( ) ( );

P x d x

C x Q x e d x k k∫= +∫ - constantă ⇒

(11) ( ) ( ) ( )P x d x P x d x

y e k Q x e d x− ∫ ∫= + ∫

Dacă notăm ( )1I P x d x= ∫ şi ( ) 12

II Q x e d x= ∫ , atunci (10) se reţine sub forma:

( )12

Iy e k I

−= + .

EXEMPLU

( ) ( ) ( )' ' 1 10 ; , 0 1 ; 1 ;x y y x x y y y P x Q x

x x− + = > ⇒ − = − ⇒ = − = −

( ) ( ) ( )ln ln1

1 1ln ; lnx x

I P x d x d x x y e k e d x x k d x x k xx x

− = = − = − = − = − = − ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

( )lny x k x= −

V. ECUAŢII DE TIP BERNOULLI

Sunt de forma:

(12) ( ) ( )'y P x y Q x y

α+ = ; ; 0 ; 1α α α∈ ≠ ≠R . Notând 1y z

α− = , ( )z z x= se obţine o

ecuaţie liniară.

EXEMPLU

( )( )' 3 3 3 ' 20 , : 1y y c t g x y x y y y y c t g xπ − −+ = ∈ ⇒ + = . Notăm ( )2 ;y z z z x− = = ⇒

3 ' ' 3 ' ' '1 12 1

2 2y y z y y z z z c t g x

− −− = ⇒ = − ⇒ − + = ⇒ ' 2 2z z c t g x− = −

( ) ( ) ( ) ( )1

c o s2 ; 2 ; 2 2 l n s i n

s i n

xP x c t g x Q x I P x d x d x x

x= − = − = = − = −∫ ∫

( ) ( )( ) ( )2 l n s i n 2 l n s i n 2 22

12 s i n 2 s i n 2

s i nx x

z e k e d x x k d x z x k c t g xx

− = − = − ⇒ = +

∫ ∫ ;

2 1z y y

z

−= ⇒ = ⇒1

s i n 2y

x k c t g x=

⋅ +

VI. ECUAŢII DE TIP RICCATI

Sunt de forma:

(13) ( ) ( ) ( )' 2 0y P x y Q x y R x+ + + = ; [ ]( ), , ,P Q R C a b∈ .

În general ecuaţia (13) nu poate fi rezolvată prin cuadraturi, dar dacă se cunoaşte o soluţie

particulară 0y , atunci făcând substituţia 0

1y y

z= + , ( )z z x= se obţine o ecuaţie liniară.

EXEMPLU

( )' 2 202 1 2 1 ;x y y x y x x y x= − + + + + = - soluţie particulară

( )' '

' 2 2 22 2 2

1 2 1 2 1; 1 2 2 1

z z x xy x z z x y x x x x x x x

z z z z z z z= + = ⇒ = − ⇒ − = + + − − − − + + + ⇒

'

2

1 1zx

z z z− = − ⇒ ' 1 1

z zx x

− = − ; ( ) ( ) ( )1 1; ; l nP x Q x P x d x x

x x= − = − = −∫

l n l n2

1 1 11x x

z e k e d x x k d x x k z k xx x x

− = − = − = + ⇒ = + ⇒

∫ ∫1

1y x

k x= +

+

VII. ECUAŢII DE TIP LAGRANGE

Sunt de forma:

(14) ( ) ( )' 'y x f y g y= + ; ( ) [ ]( )1, ,f g C a b∈ . Notând ( )' ;y p p p x= = , înlocuind în ecuaţie şi

derivând în raport cu x se obţine o ecuaţie liniară cu necunoscuta ( )x x p= .

EXEMPLU

( ) ( )2' ' ' 22 0 ; ; 2 0y x y y y p p p x y x p p+ + = = = ⇒ + + = ; derivăm în raport cu x ⇒

( )' ' ' '22 2 2 0 3 0 3 2 2 0 3 2 2

d p d xy p x p p p p x p p x p p x x p

d x d p+ + + = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ + = − ⇒

' 2 2

3 3x x

p+ = − ;

2 2 2 2l n l n

3 3 3 32 2 2 2l n ;

3 3 3 3

p p

d p p x e k e d p p k p d pP

− − = = − = − =

∫ ∫ ∫

2 5

3 32 3

3 5p k p

− = − ⋅ ⇒

2

32

5x k p p

−= −

12 23 2

2 05

y k p p p⇒ + − + = ⇒1

233

25

y k p p= − − .

Deci soluţia generală a ecuaţiei este: 2 1

23 32 1

; 25 5

x k p p y k p p−

= − = − − .

VIII. ECUAŢII CLAIRAUT

Sunt de forma:

(15) ( )' 'y x y g y= + ; ( ) [ ]( )1 ,g C a b∈ . Se observă că (15) este un caz particular din (14)

pentru ( )' 'f y y= . Deci fie

( ) ( ) ( )' ' ' ' ', 0y p p p x y x p g p y p x p g p p= = ⇒ = + ⇒ = + + = ⇒ ( )' ' 0p x g p + =

1) ' 0p p C= ⇒ = - constant ⇒ ( )y x C g C= + - soluţia generală a ecuaţiei (se înlocuieşte în

(15) 'y cu C)

2) ( )' 0x g p+ = ⇒ ( )'x g p= − ; ( ) ( )'

y p g p g p= − + - soluţie singulară.

EXEMPLU

( ) ( ) ( )2' ' ' 2 ' ' ' '; ; 2 2 0y x y y y p p p x y x p p y p x p p p p x p= + = = ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ + = ;

' 0p p C= ⇒ = ⇒ 2y x C C= + - soluţie generală; 2 0x p+ = ⇒ 2x p= − ; 2

y p= − - soluţie

singulară.

C13.

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR

DEFINIŢII

1 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordin n, dată sub formă implicită, o ecuaţie de forma:

(1) ( )( )', , , ..., 0nF x y y y = necunoscuta fiind funcţia ( ) ( ) [ ]( ), ,n

y y x y C a b= ∈ , iar

x - variabilă independentă.

2 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dată sub formă explicită sau normală, o ecuaţie

de forma:

(2) ( ) ( )( )1', , , ...,n ny f x y y y

−=

3 ( )1 2; , , ..., ny x C C Cφ= ; iC - constante, 1,i n∀ = , se numeşte soluţia generală a unei ecuaţii

diferenţiale de ordinul n, dacă ea verifică acea ecuaţie şi prin alegerea convenabilă a

constantelor 1 2, , ..., nC C C se poate obţine orice soluţie a ecuaţiei. Soluţia generală a unei

ecuaţii diferenţiale de ordin n, poate fi dată sub următoarele forme:

a) implicit ( )1 2, ; , , ..., 0nx y C C Cψ = ;

b) explicit ( )1 2, , , , ..., ny x g C C Cφ= ;

c) parametric ( )( )

[ ]1 2

1 2

; , , ...,; , ;

; , , ...,

n

n

x t C C Ct t

y t C C C

φα β

ψ

=∈

=- parametru.

4 PROBLEMA CAUCHY – constă în determinarea unei soluţii ( )y y x= , soluţie care

verifică: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1' '0 0 0 0 0 0, ,..., n n

y x y y x y y x y− −= = = numite condiţii iniţiale.

EXEMPLU

( ) ( ) ( )''

''' ' '' ''sin ; 0 1; 0 1; 0 1; sin sindy

y x y y y x dy xdxdx

= = = − = = ⇒ = ⇒ ''1siny xdx C= + ⇒∫

''1cosy x C= − + ( ) ( )

'' '

1 1 1 2cos cos cosdy

x C dy x C dx y x C dx Cdx

⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − + +∫

⇒ '1 2siny x C x C= − + + ( )1 2 1 2sin sin

dyx C x C dy x C x C dx

dx⇒ = − + + ⇒ = − + + ⇒

( )1 2 3siny x C x C dx C= − + + + ⇒∫2

1 2 3cos2

xy x C C x C= + + + - soluţia generală a ecuaţiei;

( ) ( ) ( )' ''3 3 2 1 10 1 1 1 0; 0 1 1; 0 1 1 1 2y C C y C y C C= ⇒ + = ⇒ = = − ⇒ = − = ⇒− + = ⇒ = ⇒

2cosy x x x= + −

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL „n” LINIARE

Fie [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 '0 1 1. . .n n

n nL y a x y a x y a x y a x

−−= + + + + , unde [ ]( ), ; 0ka C a b k∈ ∀ ≠ ;

( ) [ ] [ ]( )0 0 ; , ; ,a x x a b f C a b≠ ∀ ∈ ∈ . Atunci:

(3) [ ] 0L y = - ecuaţie diferenţială de ordin n liniară, omogenă

(4) [ ] ( )L y f x= - ecuaţie liniară neomogenă.

Dacă ( ) [ ]( )11 2, , . . . , ,n

ny y y C a b−∈ , atunci:

(5) ( )( ) ( ) ( )

1 2' ' '

1 2

1 2

1 1 11 2

. . .

. . ., , . . . ,

. . . . . . . . . . . .

. . .

n

n

n

n n n

n

y y y

y y yW y y y

y y y− − −

= - se numeşte determinant WRONSKI sau

WRONSKIAN. Sistemul de funcţii 1 2, , . . . , ny y y - soluţii pentru (3), pentru care

( )1 2, , . . . , 0nW y y y ≠ , se numeşte sistem fundamental de soluţii. În acest caz soluţia generală a

ecuaţiei (3) este

(6) 01

n

k k

k

y C y=

= ∑ ; kC - constante 1 ,k n∀ = . Soluţia generală a ecuaţiei (4) este de forma:

(7) 0 Py y y= + unde 0y este soluţia generală a ecuaţiei (3), Py este o soluţie particulară a

ecuaţiei (4), soluţie care se află după forma lui ( )f x . Dacă ka - constante 0 ,k n∀ = , atunci

ecuaţia se numeşte liniară cu coeficienţi constanţi. Căutând pentru (3) soluţii de forma:

;r xy e r= - constant, obţinem ecuaţia:

(8) ( ) 10 1 1. . . 0n n

n nk r a r a r a r a−

−= + + + + = ; ( )k r - polinom caracteristic; ( ) 0k r = - ecuaţie

caracteristică.

1) ( ) 0k r = - are toate rădăcinile reale simple: 1 2, , . . . , nr r r ⇒

(9) 1

k

nr x

k

k

y C e=

= ∑ - soluţia generală a ecuaţiei, kC - constante 1 ,k n∀ = .

EXEMPLU

( ) ( ) ( )( )''' '' ' 3 2 2 23 3 0 3 3 0 3 3 0 1 3 0y y y y r r r r r r r r+ − − = ⇒ + − − = ⇒ + − + = ⇒ − + = ⇒

1 2 31 ; 1 ; 3r r r= = − = − ⇒ 31 2 3

x x xy C e C e C e− −= + +

2) ( ) 0k r = - are toate rădăcinile complexe simple: ; 1 ,k k k

r i k mα β= ± = ⇒

(10) ( ) ( )1

c o s s i nk

mx

k k k k

k

y e C x D xα β β

=

= + ∑ , ,k k

C D - constante, 1,k m∀ =

EXEMPLU

'' ' 21 , 2

2 22 2 0 2 0 ; 4 8 4 0 ; 1 ; 1 ; 1

2

iy y y r r r r i α β

− ±+ + = ⇒ + + = ∆ = − = − < = = − ± = − = ⇒

( )1 2c o s s i nxy e C x C x−= +

3) r α= este rădăcină reală multiplă de ordin p a ecuaţiei ( ) 0k r = ⇒

(11) 1

1

px k

k

k

y e C xα −

=

= ∑

EXEMPLU

( )3''' '' ' 3 23 3 0 3 3 1 0 1 0 1y y y y r r r r r+ + + = ⇒ + + + = ⇒ + = ⇒ = − rădăcină reală triplă ⇒

( )21 2 3

xy e C C x C x−= + +

4) r iα β= ± este rădăcină complexă multiplă de ordin p a ecuaţiei ( ) 0k r = ⇒

(12) 1 1

1 1

c o s s i np p

x k k

k k

k k

y e C x x D x xα β β− −

= =

= +

∑ ∑

EXEMPLU

( ) ( )24 '' 4 2 22 0 2 1 0 1 0y y y r r r r i+ + = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = ± rădăcină complexă dublă cu

0 , 1α β= = ⇒ ( ) ( )1 2 3 4c o s s i ny C x C x C x C x= + + +

OBSERVAŢIE

Dacă ecuaţia caracteristică are atât rădăcini reale cât şi complexe, simple sau multiple, atunci

soluţia generală a ecuaţiei este o sumă de termeni corespunzători celor patru cazuri prezentate.

EXEMPLU

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 ' 5 4 4 40 1 0 1 1 0 1 1 0y y y y r r r r r r r r− − + = ⇒ − − + = ⇒ − − − = ⇒ − − = ⇒

( ) ( )( )2 21 1 1 0 1r r r r− + + = ⇒ = rădăcină reală dublă; 1r = − rădăcină reală simplă;

r i= ± rădăcină complexă simplă cu 0, 1α β= = ⇒

( )1 2 3 4 5cos sinx xy C x C e C e C x C x−= + + + +

REZOLVAREA ECUAŢIEI NEOMOGENE

1) Dacă ( ) ( )mf x P x= - polinom de grad m, atunci:

a) 0r = nu este rădăcină pentru ( ) 0k r = ⇒ ( )P my Q x= - polinom de grad m;

b) 0r = este rădăcină multiplă de ordin s pentru ( ) 0k r = ⇒ ( )s

P my x Q x=

EXEMPLE

(1) '' 2 '' 2; 0 1 0 ; 0 , 1y y x x y y r r i α β+ = + + = ⇒ + = ⇒ = ± = = ⇒ 0 1 2cos siny C x C x= + -

soluţia generală a ecuaţiei omogene. Căutăm pentru ecuaţia neomogenă o soluţie de forma:

2 ' '' 2 22 ; 2 2P P Py ax bx c y ax b y a a ax bx c x x= + + ⇒ = + = ⇒ + + + = = ⇒

1; 1; 2 0 2a b a c c= = + = ⇒ = − ⇒ 2 2Py x x= + −

0 Py y y= + ⇒ 2

1 2cos sin 2y C x C x x x= + + + − - soluţia generală a ecuaţiei neomogene.

(2) ( )'' ' '' ' 21 22 2 ; 0 0 1 0 0 ; 1y y x y y r r r r r r+ = − + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = = − ⇒

0 1 2xy C C e −= + ; ( ) 2 ' ''2 ; 2 2 2 2 2

P P Py x ax b ax bx y ax b y a a ax b x= + = + ⇒ = + = ⇒ + + = − ⇒

( )2 2 ; 2 2 1; 4 4Pa a b a b y x x= + = − ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ ( )1 2 4xy C C e x x

−= + + −

2) Dacă ( ) ( )x

mf x e P x

α= ; m

P - polinom de grad „m”

a) r α= nu este rădăcină pentru ( ) 0k r = ⇒ ( )x

P my e Q xα= ,

mQ - polinom de grad m

b) r α= este rădăcină multiplă de ordin „s” a ecuaţiei caracteristice ⇒ ( )s x

P my x e Q xα=

EXEMPLE

(1) ( )'' 2 '' 23 1 ; 0 0 1xy y x e y y r r r− = + − = ⇒ − = ⇒ = ± ⇒ 0 1 2x x

y C e C e−= +

( ) ( ) ( )2 ' 2 2 22 2 2x x x x

P Py ax b e y ae ax b e ax b a e= + ⇒ = + + = + + ⇒

( ) ( )'' 2 2 22 2 2 2 4 4 4x x x

Py ae ax b a e ax b a e= + + + = + + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 24 4 4 3 1x x xax b a e ax b e x e+ + − + = + ⇒ 3 3 4 3 1ax b a x+ + = + ⇒

( ) 23 3 ; 3 4 1 1; 1 1 x

Pa b a a b y x e= + = ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ ( ) 21 2 1x x xy C e C e x e−= + + −

(2) '' '' 24 ; 0 0 1xy y xe y y r r r− = − = ⇒ − = ⇒ = ± ⇒ 0 1 2

x xy C e C e

−= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ' 2 22 2x x x x x

P Py x ax b e ax bx e y ax b e ax bx e ax ax bx b e= + = + ⇒ = + + + = + + +

( ) ( ) ( )'' 2 22 2 2 4 2 2x x x

Py ax a b e ax ax bx b e ax ax bx a b e= + + + + + + = + + + + ⇒

( ) ( )2 24 2 2 4x x xax ax bx a b e ax bx e xe+ + + + − + = ⇒ 4 2 2 4ax a b x+ + = ⇒

( )4 4 ; 2 2 0 1 ; 1 1 x

Pa a b a b y x x e= + = ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ ( )1 2 1x x xy C e C e x x e

−= + + −

3) Dacă ( ) ( ) cosx

mf x P x e xα β= sau ( ) ( ) sinx

mf x P x e xα β=

a) r iα β= ± nu este rădăcină pentru ( ) 0k r = ⇒ ( ) ( )cos sinx

P m my e R x x S x xα β β= + ;

,m mR S - polinoame de grad m

b) r iα β= ± este rădăcină multiplă de ordin „s” pentru ( ) 0k r = ⇒

( ) ( )cos sins x

P m my x e R x x S x xα β β= +

EXEMPLE

(1) '' ' '' ' 21, 2

7 57 6 sin ; 7 6 0 7 6 0 ; 49 2 4 2 5 ;

2y y y x y y y r r r

±− + = − + = ⇒ − + = ∆ = − = = ⇒

1 21 ; 6r r= = ⇒ 60 1 2

x xy C e C e= + ;

' ''s in co s co s sin s in co sP P Py a x b x y a x b x y a x b x= + ⇒ = − ⇒ = − − ⇒

s in co s 7 co s 7 sin 6 sin 6 co s s in 5 7 1 ; 7 5 0a x b x a x b x a x b x x a b a b− − − + + + = ⇒ + = − + =

5 7 5 7; s in co s

7 4 7 4 7 4 7 4Pa b y x x⇒ = = ⇒ = + ⇒ 61 2

5 7sin co s

7 4 7 4x x

y C e C e x x= + + +

(2) '' '' 22 sin ; 0 1 0 ; 0 ; 1y y x x y y r r i α β+ = + = ⇒ + = ⇒ = ± = = ⇒ 0 1 2co s s iny C x C x= +

( ) ( ) ( ) ( )2 2s in co s s in co sP P

y x a x b x x cx d x y a x b x x cx d x x= + + + ⇒ = + + + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )' 2 22 s in co s 2 co s s inPy a x b x a x b x x cx d x cx d x x= + + + + + − + =

( ) ( )2 22 s in 2 co sa x b cx d x x cx d a x b x x= + − − + + + + ⇒

( ) ( ) ( )'' 22 2 sin 2 co s 2 2 co sP

y a cx d x a x b cx d x x c a x b x= − − + + − − + + + −

( ) ( ) ( )2 2 22 s in 2 4 2 sin 4 2 2 co scx d a x b x x a cx d a x b x x a x b c cx d x x− + + + = − − − − + + + − − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 4 2 sin 4 2 2 co s s in co sa cx d a x b x x a x b c cx d x x a x b x x cx d x x− − − − + + + − − + + + + =

2 co s 4 2 2 2 ; 4 2 2 0 4 2 ; 2 2 0 ; 4 0 ; 2 2 0x x cx a d x a x b c c a d a b c= ⇒ − + − = + + = ⇒ − = − = = + =

21 1 1 10 ; 0 ; ; s in co s

2 2 2 2Pa d c b y x x x x⇒ = = = − = ⇒ = − ⇒

21 2

1 1co s s in s in co s

2 2y C x C x x x x x= + + −

În cazul în care nu se poate găsi o soluţie particulară a ecuaţiei omogene, se aplică metoda

variaţiei constantelor (LAGRANGE).

EXEMPLU

'' '' 21; 0 1 0 ; 0 ; 1

cosy y y y r r i

xα β+ = + = ⇒ + = ⇒ = ± = = ⇒ 0 1 2cos siny C x C x= + .

Căutăm pentru ecuaţia neomogenă soluţii de forma: ( ) ( )1 2cos siny C x x C x x= + ⇒

' ' '1 1 2 2cos sin sin cosy C x C x C x C x= − + + . Pentru a nu creşte ordinul derivatelor funcţiilor

1 2,C C , punem condiţia: ' '1 2cos sin 0C x C x+ = '

1 2sin cosy C x C x⇒ = − + ⇒

'' ' '1 1 2 2sin cos cos siny C x C x C x C x= − − + − ⇒

' ' ' '1 1 2 2 1 2 1 2

1 1sin cos cos sin cos sin sin cos

cos cosC x C x C x C x C x C x C x C x

x x− − + − + + = ⇒ − + =

Obţinem deci sistemul: ( )' '

1 2' 2 22' '

1 2

cos sin 0 sinsin cos 11 cossin cos

cos

C x C xx

C x xxC x C x

x

+ =

⇒ + = ⇒− + =

'2 1C = ; '

1

sin

cos

xC

x= − ( )1 1 1 2 2

sinln cos ;

cos

xC dx k x k C x k

x⇒ = − + = + = + ⇒∫

( ) ( )1 2ln cos cos siny x k x x k x= + + + ⇒ ( )1 2cos sin cos ln cos siny k x k x x x x x= + + +

Să se afle extremele următoarelor funcţii:

1) ( ) xyyxyxf 3, 33 −+= ;

2) ( ) zxxyzyxzyxf 2,, 222 −+−++= ;

3) ( ) xyyxyxf 4, 44 −+= ;

4) ( ) 0,,;2

4,,

22

≠+++= zyxzy

z

x

yxzyxf ;

5) ( ) ( )

∈+=2

,0,;sinsinsin,π

yxyxyxyxf ;

6) ( ) ( ) ( )π,0,,;sinsinsinsin,, ∈++−++= zyxzyxzyxzyxf ;

7) ( ) 5;2, 22 =++= yxyxyxf ;

8) ( ) 9;22,, 222 =+++−= zyxzyxzyxf ;

9) ( ) yxyxyxyxf −−++= 2, 22 ;

10) ( ) 0,,;16

1,, >++= zyx

z

y

x

xzyxf ;

11) ( ) ( ) 0,;6, 23 ≠−−= yxyxyxyxf ;

12) ( ) ( )zyxzxyzyxf 327,, 32 −−−= ;

13) ( ) 1;12, 2222 =−+−+= yxxyxyxf ;

14) ( ) 3 3, 3f x y x y xy= + + ;

15) ( ) 2 2 2, , 2 4 6f x y z x y z x y z= + + + + − .

1) Să se calculeze următoarele integrale improprii:

a) 2

1

1

1I d x

x x

+ ∞

=−

∫ ;

b) 2

21

1

3 2 1I d x

x x x=

− −∫ ;

c) 2

2

1 1s i nI d x

x xπ

+ ∞

= ∫ ;

d) ( )( )

( )1;

b

a

I d x a bx a b x

= <− −∫ ;

e) 0

s i nxI e x d x

+ ∞−= ∫ .

2) Folosind integralele Γ şi β ale lui EULER, să se calculeze:

a) 3

0

1

1I d x

x

+ ∞

=+∫ ;

b) ( )

2

240 1

xI d x

x

+ ∞

=+

∫ ;

c) 2

40 1

xI d x

x

+ ∞

=+∫ ;

d) ( )3

0

1

1I d x

x x

+ ∞

=+∫ ;

e) 4 42

0 0

x xI e d x x e d x

+ ∞ + ∞− −= ⋅∫ ∫ .

3) Folosind integralele Γ şi β ale lui EULER, să se calculeze:

a) ( ) ( )

2

561

1

1 2I d x

x x−

=+ −

∫ ;

b) 1 1 2

4 40 0

1

1 1

xI d x d x

x x= ⋅

− −∫ ∫ ;

c) 4

0

1

1I d x

x

+ ∞

=+∫ .

1) Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de tipul I:

a) ( ) [ ] ( ) ( ); ; 1, 2 ; 2 , 4I x y d l A B A Bγ

γ= =∫ ;

b) ( ) [ ]2; ; 1,1I x y d l y x xγ

γ= = ∈ −∫ ;

c) ( ) ( ) [ ]2 2 ln ; c o s ; s in ; ; 0 ,1t t tI x y zd l x e t y e t z e t

γ

γ= + = = = ∈∫ ;

d) ( ) ( ) [ ]2 2 ; c o s ; s in ; ; 0 ,1I z x y d l x t t y t t z t tγ

γ= + = = = ∈∫ ;

e) ( ) [ ]; c o s ; s in ; ; 0 , 2I x y z d l x a t y a t z b t tγ

γ π= = = = ∈∫ .

2) Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de tipul II:

a) ( )2

2 21 ; 1 ; 04

yI x d x x d y x x

γ

γ+

= − + + = ≥∫ ;

b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2;

x y d x x y d yI x y u

x yγ

γ+

+ − −= + =

+∫ ;

c) ( ) ( )2 2 2 2 ; c o s ; s in ; ; 0 ,2

I z a x d x x zd y x y d z x a t y a t z b t tγ

πγ

+

= − + + + = = = ∈ ∫ ;

d) ( )2 2 2I y d x x d y x y z d z

γ +

= − + + +∫ ; ( ) [ ]c o s s in

s in c o s ; 0 ,1

1

x t t t

y t t t t

z t

γ

= − +

= + ∈ = +

.

1) Să se calculeze următoarele integrale duble:

a) 2 2 2; : 1 ; 0D

I x y d x d y D x y y= + ≤ ≥∫ ∫ ; b) 2

; :2 3D

y xI x y d x d y D

y x

==

= +∫ ∫ ;

c) ( )2 2

2 2 22 2

l n; : 1

D

x yI d x d y D x y e

x y

+= ≤ + ≤

+∫ ∫ ;

d) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 1 ; : 1 1 4 ; 1D

I x y d x d y D x y yπ π= − + − ≤ − + − ≤ ≥∫ ∫ ;

e) ( )2 2 2 2 2 2; : ; 0D

I a x y d x d y D x y a y= − − + ≤ ≤∫ ∫ ; f) 2 2 2; : 1 ; 0D

I x y d x d y D x y y= + ≤ ≥∫ ∫ ;

g) 21; : ; 2 1

6 9D

I d x d y D y x y xx y

= = = ++ +∫ ∫ ;

h) ( )1

2 2 221 ; : 1 ; , 0D

I x y y d x d y D x y x y−

= − + ≤ ≥∫ ∫ ;

i)

=

== ∫∫

xy

xyDxydxdyI

D

2

; ;

j)

≥

=+

=

= ∫∫0

25

3

4

; 22

y

yx

yx

DxydxdyID

.

2) Să se calculeze:

a) ?A r i a D = unde 2: ;D y x y x= = .

b) ?M a s a D = unde ( ): 3 ; 2 ; ,D x y x y x y x yρ+ ≤ ≥ = .

c) Centrul de greutate al plăcii plane omogene: 2 2 2

3 3 3: ; 0 ; , 0D x y a a x y+ ≤ > ≥ .

d) Momentele de inerţie ale plăcii plane omogene: 2 2: ;D y x x y= = .

1) Să se calculeze următoarele integrale triple:

a) 2 2

; :z x y

I z d x d y d zz hΩ

= += Ω

=∫ ∫ ∫ ; b) ( )

2 2

2 2 ; : 22

x yz

I x y d x d y d z

zΩ

+=

= + Ω =

∫ ∫ ∫ ;

c) ( )2 2 2 2 2 2 2; :I x y z d x d y d z x y z aΩ

= + + Ω + + ≤∫ ∫ ∫ ; d) 2 2 2

2 2 2; : 1

x y zI z d x d y d z

a b cΩ

= Ω + + ≤∫ ∫ ∫ ;

e) 2 2 2 2 2; : ; 2 ; 2 0I x y d x d y d z x y a x y z a aΩ

= + Ω + ≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫ ;

f) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2; : 1

x y z x y zI d x d y d z

a b c a b cΩ

= + + Ω + + ≤

∫ ∫ ∫ ;

g) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2; : ; ; 0I x y z d x d y d z x y z x y z a zΩ

= + + Ω + ≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫ ;

h) ( )

≥

=++Ω

+++= ∫∫∫

Ω 0,,

1:;

1

13 zyx

zyxdxdydz

zyxI ;

i) ( )

≥

=++

+=

Ω+= ∫∫∫Ω 0

6:; 222

22

22

z

zyx

yxz

zdxdydzyxI .

2) Să se calculeze:

a) ( )2 2

2 2; : 4 ; 0

x yV o l z z

a bΩ Ω + = − = ;

b) ( ) ( )2 2 2; : 1 ; , , ; , , 0M a s a x y z x y z z x y zρΩ Ω + + ≤ = ≥ ;

c) Coordonatele centrului de greutate al corpului omogen 2 2 2

2 2 2: ; 0

x y zz c

a b cΩ + = ≤ ≤ ;

d) Momentul de inerţie în raport cu originea a corpului omogen

2 2 2 2: ; , , 0x y z a x y zΩ + + ≤ ≥ .

Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale de ordinul I:

1) ( )2 2 2 2 0x y x d x x y d y+ + + = ; 2) ( ) ( )s i n c o s s i n 0x y d x x y y d y+ + + = ;

3) ( ) ( )2 21 1 0y d x x d y+ + + = ; 4) '21

x

x

ey y

e=

+; 5) ( )2 ' 22 x x y y x y y+ = + ;

6) ( )' s i n ; 12

y yy y

x x

π= + = ; 7)

2' 4 xy x y x e −+ = ; 8) ' 1x y y x+ = + ; 9) ' 2 2 0x y y x y+ + = ;

10) ( ) ( )2 ' 20

12 1 ;x y y x y y

x+ = − = - soluţie particulară; 11) ' 1

y x yy

= + ;

12) ( ) ( )2 3' 'y x y y= + ;

13) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 0 ; 1 1 ; , ; , 2x y d x x y d y y P x y x y Q x y x y− − = = = − = − ;

14) ( ) 1 1 1 10 ; , 0 0 lny d x x d y x y d x d y d x d C

x y x y+ = > ⇒ + = ⇒ + = ⇒∫ ∫

( )l n ln ln ln lnx y C x y C+ = ⇒ = ⇒ x y C= ;

15) ( )

222

22 2' ' '

2

21 1 2

2; , 0

y yx

xx y xy x y y y

y yx yx

x x

+ + + = > ⇒ = ⇒ =⋅

;

16) ( ) ( ) ( )' ' 1 10 ; , 0 1 ; 1 ;x y y x x y y y P x Q x

x x− + = > ⇒ − = − ⇒ = − = −

17) ( )( )' 3 3 3 ' 20 , : 1y y c t g x y x y y y y c t g xπ − −+ = ∈ ⇒ + = ;

18) ( )' 2 202 1 2 1 ;x y y x y x x y x= − + + + + = - soluţie particulară;

19) ( ) ( )2' ' ' 22 0 ; ; 2 0y x y y y p p p x y x p p+ + = = = ⇒ + + = ;

20) ( ) ( ) ( )2' ' ' 2 ' ' ' '; ; 2 2 0y x y y y p p p x y x p p y p x p p p p x p= + = = ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ + = .

Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale:

1) '' ' 23 2 2 4 1y y y x x− + = − − ; 2) '' ' 24 5 2y y y x x− + = + ; 3) '' ' 24 4y y y x− + = ;

4) '' ' 6 2cos2 10sin2y y y x x+ − = − ; 5) '' ' 53 2 xy y y e− + = ; 6) ( )'' '2 2 1 xy y y x e− + = + ;

7) ( )'' 24 11cos 7sinxy y e x x− = − ; 8) '' 2 siny y x x− = ; 9) '' 1

siny y

x+ = ;

10) '' ' 12 xy y y e

x− + = ; 11) 033 '''''' =−−+ yyyy ; 12) 022 ''' =++ yyy ;

13) 033 '''''' =+++ yyyy ; 14) ( ) 02 ''4 =++ yyy ; 15) ( ) ( ) 0'45 =+−− yyyy ;

16) 0; ''2'' =++=+ yyxxyy ; 17) 0;22 '''''' =+−=+ yyxyy .