curs electrician - cursul 3 – fluxul electric şi legea lui gauss

www.circuiteelectrice.ro 03 – Fluxul electric şi legea lui Gauss

1

Electricitate şi magnetism (MIT 8.02, Walter Lewin)

Cursul 3 – Fluxul electric şi legea lui Gauss (transcrierea subtitrării)

Pentru urmărirea cursului în format video, accesaţi link-ul

www.circuiteelectrice.ro/mit802/03

Astăzi vom aborda un subiect cu totul nou şi anume, fluxul electric. Am ajuns deja departe. Am început cu legea lui Coulomb. Am analizat liniile de câmp electric. Şi am ajuns acum la fluxul electric. Să presupunem că avem un astfel de câmp electric, şi introduc o suprafaţă în acel câmp electric, o suprafaţă deschisă, precum o batistă sau o bucată de hârtie. Aici este suprafaţa. Ceva în genul acesta. Împart suprafaţa aceasta în elemente de suprafaţă foarte mici, fiecare cu o mărime dA. Aceasta este o suprafaţă, o suprafaţă foarte mică. Aceasta este normala, n căciuliţă, normala la acea suprafaţă. Câmpul electric local, în locaţia respectivă va fi, de exemplu, acesta. Este un vector. Fluxul electric, dΦ, ce trece prin această suprafaţă mică se defineşte ca produsul scalar dintre E şi vectorul perpendicular pe acest element a cărui amplitudine este dA. În carte veţi găsi tot timpul pentru ndA simplu dA. Voi face şi eu acest lucru, deşi nu-mi place, dar voi respecta notaţia din carte. Vectorul dA este tot timpul perpendicular pe elementul element dA iar mărimea sa este dA. Din moment ce este un produs scalar, este egal cu mărimea lui E înmulţită cu aria dA, înmulţită cu cosinusul unghiului dintre aceşti doi vectori, θ (theta). Acesta este un scalar. Valoarea poate fi mai mare decât zero, mai mică decât zero, sau poate fi egală cu zero. Pot calcula fluxul prin întreaga suprafaţă dacă aplic o integrală pe întreaga suprafaţă. Unitatea de măsură a fluxului se poate afla direct din definiţie, şi anume, newtoni pe coulombi, unitatea de măsură pentru acest flux este newtoni pe coulombi ori metri pătraţi. Dar nimeni nu şi-l imaginează astfel. Doar unităţi SI. Vă pot oferi o intuiţie pentru acest flux, comparându-l pentru început cu un curent de aer. Aceste săgeţi roşii ce le vedeţi acolo reprezintă viteza aerului. Vedeţi acolo un dreptunghi negru de trei ori. În primul caz observaţi că normala la suprafaţa acelei arii este paralelă cu vectorul viteză al aerului. Dacă vrem să aflăm cantitatea de aer, în metri cubi pe secundă, ce trece prin acest dreptunghi, este v înmulţit cu A. Este foarte simplu. Totuşi, dacă rotim acest dreptunghi cu 90 de grade, astfel încât normala pe acel dreptunghi este perpendiculară pe vectorul viteză, prin acel dreptunghi nu va trece nimic, prin urmare este zero. Fluxul fluxul aerului este zero, iar dacă unghiul este de 60 de grade, atunci fluxul este desigur v ori A ori cosinus de 60 de grade. Imaginaţi-vă acum că aceşti vectori roşii sunt câmpuri electrice. Fluxul electric în primul caz prin acea suprafaţă este acum pur şi simplu E ori A. În cel de al doilea caz este zero. Iar în ultimul caz este EA ori cosinus de 60 de grade. Vă puteţi aşadar imagina câteodată ca fiind curenţi de aer. Am văzut de asemenea în cazul liniilor de câmp, că acestea pot fi câteodată foarte utile. Iau acum o suprafaţă ce nu este deschisă precum aceasta, aceasta este o suprafaţă deschisă. Mă pot apropia din ambele părţi. Dar acum aleg una complet închisă. Precum un balon. Voi desena, voi pune această linie aici pentru a înţelege că aceasta este o suprafaţă complet închisă. Putem intra înăuntru doar dacă penetrăm această suprafaţă din exterior. Pot pune acum aici şi aici aceste normale, dA, şi încă o normală aici în această direcţie. În acest caz, prin convenţie, normala la suprafaţă, local la suprafaţă, indică tot timpul din interiorul suprafeţei

http://www.circuiteelectrice.ro/mit802/03


2

înspre exterior. Este unic determinată pentru că este o suprafaţă închisă. Aici nu a fost unic determinată. Am ales arbitrar aceasta, dar aş fi putut să o inversez cu 180 de grade. Din moment ce e o suprafaţă deschisă, nu este bine definită. Aici este tot timpul bine definită. Alegem astfel normala încât să indice tot timpul dinspre interior înspre exterior. Pot acum calcula fluxul total prin această suprafaţă închisă. Înmulţind local E cu dA, produs scalar pe întreaga suprafaţă, obţinem o anumită valoare. Aceasta este acum integrala produsului scalar E dA, integrată pe întreaga suprafaţă închisă. Din moment ce este o suprafaţă închisă, pun un cerc aici pentru a ne reaminti că este o integrală închisă, iar în acest caz este o suprafaţă închisă. Acesta este acum fluxul total prin acea suprafaţă. Poate fi mai mare decât zero. Poate fi mai mic decât zero. Este un scalar, nu este un vector. Poate fi egal cu zero. Dacă este egal cu zero atunci tot ceea ce intră înăuntru, dacă vă imaginaţi un curent de aer, iese afară. Dacă iese mai mult decât intră, atunci este pozitiv. Dacă intră mai mult decât iese, atunci e negativ. Să calculăm acum fluxul pentru un caz foarte simplu unde am o sarcină punctiformă. Am aici o sarcină punctiformă şi voi pune un balon în jurul acestei sarcini punctiforme. Balonul este o sferă. Este o sferă, iar raza sferei este R. Să spunem că sarcina este +q. Doar pentru simplitate. Aleg un element mic dA aici. Elementul dA este îndreptat radial în exterior. dA. Aceasta este normala la acea suprafaţă, şi este radială. Câmpul electric în acel punct este şi el radial. Am întâlnit acest caz şi înainte. Aşadar dA şi E, nu doar aici ci oriunde pe suprafaţa acestei sfere, sunt paraleli. Întrucât cosinusul unghiului este egal cu unu. Pot introduce aici şi vectorul unitate, r căciuliţă, ce reprezintă vectorul unitate dinspre Q înspre elementul unde calculez valoarea fluxului. Dacă vreau acum să aflu care este fluxul total prin această sferă, este foarte uşor, deoarece aceasta fiind o sferă, mărimea vectorului E este peste tot aceeaşi pentru că raza este aceeaşi, aceeaşi distanţă până la această sarcină, iar dA şi E sunt paraleli. Fluxul este egal cu suprafaţa 4piR^2 a sferei înmulţită cu E. Am obţinut acum că fluxul total prin acea suprafaţă închisă este pur şi simplu 4piR^2 ori E. Care este mărimea lui E? Câmpul electric la această distanţă R este egal cu Q împărţit la 4pi epsilon zero R^2 înmulţit cu r căciuliţă. Acesta îmi indică direcţia. Dacă ştiu că fluxul este 4piR^2 ori E, îl pun pe 4piR^2 aici, se simplifică, şi obţin că vectorul E, mărimea câmpului electric cel puţin uh, pardon, că fluxul Φ, asta vrea să calculez, înmulţesc asta cu E, este egal cu Q împărţit la epsilon zero. Acesta nu depinde de distanţa R. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că, dacă ne imaginăm un curent de aer înspre exterior, atunci tot aerul trebuie să iasă afară cumva, indiferent dacă fac sfera aşa de mare, sau aşa de mare. Fluxul fiind independent de mărimea sferei, fluxul este determinat de sarcina aflată aici în centru, împărţită la epsilon zero. Dacă aş fi ales o altă formă, nu o sferă, ci aş fi îndoit-o aşa, este evident că aerul ce iese afară va fi exact acelaşi. Nu trebuie să iau neapărat o sferă pentru a obţine acest rezultat. Aş fi putut alege orice suprafaţă ciudată şi închisă în jurul acestei sarcini punctiforme şi aş fi obţinut exact acelaşi rezultat. Iar dacă aş fi pus mai mult de o singură sarcină în interiorul balonului, atunci evident, din moment ce ştiu că, câmpurile electrice al sarcinilor se adună, trebuiesc adunate vectorial, este evident că relaţia ar trebui să fie valabilă pentru orice colecţie de sarcini din interiorul balonului, şi ajungem prin urmare la o lege foarte importantă pentru acest curs, şi anume, legea lui Gauss. Legea lui Gauss spune că fluxul, fluxul electric printr-o suprafaţă închisă, este suprafaţă închisă din E punct dA, este egală cu suma tuturor sarcinilor Q ce se află în interiorul balonului pe care îl alegem noi putem alege orice formă împărţit la ε0 (epsilon zero). Aceasta este prima din cele patru ecuaţii ale lui Maxwell, ce reprezintă sarea şi piperul acestui curs. Fluxul electric prin orice suprafaţă închisă este egal tot timpul cu sarcina din interiorul suprafeţei închise împărţită la ε0. Dacă fluxul este zero, înseamnă că sarcina netă din interiorul balonului este zero. Ar putea exista sarcini pozitive, ar putea exista sarcini negative, dar sarcina netă este zero. Legea lui Gauss este tot timpul valabilă. Indiferent cât de ciudată este distribuţia de sarcină din interiorul balonului. Indiferent cât de ciudată este forma acestui balon. Este tot timpul valabilă. Dar legea lui Gauss nu este foarte utilă dacă


3

nu avem o situaţie în care sarcinile sunt distribuite simetric. Legea lui Gauss este adevărată, dar nu ne ajută foarte mult dacă vrem să calculăm câmpul electric. Pentru a calcula cu succes câmpul electric, avem nevoie de simetrie. Există trei forme de simetrie pe care le vom întâlni în acest curs. Una dintre ele este evident simetria sferică. O altă simetrie este cea cilindrică Iar cea de-a treia sunt planuri netede cu distribuţie uniformă de sarcină. Există apoi şi situaţii de simetrie. Aş dori acum, să iau un exemplu de aplicare a legii lui Gauss, şi voi considera o situaţie cu simetrie sferică. Folosesc un înveliş subţire, o sferă goală, ce este subţire. Raza aceasta este R şi pun o sarcină Q aici, dar este distribuită uniform. Acest lucru este crucial. Dacă nu este distribuită uniform, atunci nu am simetrie, şi nu pot rezolva problema. Este distribuită uniform aşadar. Vom vedea mai încolo că acest lucru este uşor de realizat pentru că orice conductor de această formă, dacă punem sarcină pe el, aceasta se va distribui automat uniform pe acesta. Avem sarcina +Q distribuită uniform, acest lucru este obligatoriu, şi vreau să aflu care este câmpul electric aici, la distanţa r faţă de centru, şi care este câmpul electric aici la distanţa r faţă de centru. Cu alte cuvinte, vreau să ştiu care este câmpul electric în oricare punct din spaţiu. Doar datorită acestei sfere încărcate uniform. Folosind legea lui Gauss, este o nimica toată. Trebuie să alegem mai întâi suprafaţa gaussiană . Dacă nu o alegem corect, nu ajungem niciunde. Într-o astfel de situaţie, cred că este destul de evident că suprafaţa gaussiană aleasă este ea însăşi o sferă, o sferă concentrică. Dacă vrem să aflăm câmpul electric în acest punct, alegem o sferă cu raza r, ce trece prin acel punct, şi dacă vrem să-l aflăm aici, alegem o sferă ce trece prin acel punct. Închisă. Este o sferă concentrică. Acum trebuie să utilizăm argumente de simetrie. Iar argumentele de simetrie sunt următoarele. Din moment ce această problemă prezintă simetrie sferică, dacă suntem aici, oricare ar fi valoarea câmpului electric aici, trebuie să fie egală cu cea de aici, şi trebuie să fie egală cu cea de aici. Datorită simetriei problemei, nu poate fi mai mare aici decât este aici. Acest lucru este evident. Acesta este un argument de simetrie, întrucât sarcina în acest caz este distribuită uniform. Acesta este argumentul de simetrie numărul unu. Acum urmează un alt argument de simetrie. Câmpul electric, dacă există un câmp electric, trebuie să fie radial în exterior sau radial în interior. Fie este aşa, fie aşa. Iar aici la fel. Fie aşa, fie aşa. Dar ştim deja că, dacă aceasta este o sarcină pozitivă, atunci va indica în exterior. Nu poate fi aşa sau aşa, pentru că natura nu se poate decide în cazul acestei probleme simetrice dacă să fie aşa sau aşa. Poate să fie doar radial. Acesta este al doilea argument de simetrie. Dacă analizăm acum această sferă şi ştim că E este radial în exterior, ignorând un plus sau un minus, ignorând faptul că unghiul dintre dA şi E poate fi zero sau 180 de grade, ştim că aria suprafeţei sferei, şi anume 4pir^2, înmulţită cu valoarea vectorului E de aici, pot face asta deoarece dA şi E sunt fie paraleli, fie antiparaleli. Asta trebuie să fie egală cu Q din interior împărţit la ε0. Nu avem Q în interior, prin urmare E trebuie sa fie zero. Acesta este un rezultat uimitor. Veţi spune, da, nu există sarcină în interior. Totuşi, un rezultat incredibil. Înseamnă că oriunde în interiorul sferei, indiferent ce rază alegem, câmpul electric este exact zero. Asta înseamnă că printr-o conspiraţie ciudată a tuturor acestor sarcini ce sunt distribuite aici uniform, fiecare contribuie la câmpul electric din interior prin intermediul legii lui Coulomb, toate aceste sarcini la un loc, printr-o conspiraţie, determină un câmp electric zero în interior. Rezultatul nu este banal. Foarte bine. Acum ştim că valoarea lui E în interior este zero, pentru r mai mic decât R. Să vedem pentru r mai mare decât R. Tot ce v-am spus este valabil pentru sfera din exteriorul acestei sfere goale. Totul este valabil. Câmpul E aici trebuie să fie acelaşi în orice punct de pe suprafaţă. dA şi E sunt fie paraleli fie antiparaleli. Pot să scriu din nou că 4pir^2, reprezentând aria suprafeţei, ori vectorul câmpului electric trebuie să fie egal cu Q din interior împărţit la ε0. Dar acest Q este acel Q. Nu este zero. Avem sarcină în interior. Ştiu acum că valoarea câmpului electric E este egală cu raportul dintre Q şi 4pir^2ε0. Ştim şi direcţia. Dacă sarcina este pozitivă, este radial în exterior, iar dacă este negativă, radial în interior. Acest rezultat nu este banal. Am mai văzut această relaţie înainte. Dacă aş fi pus


4

întreaga sarcină aici, în centru, am fi obţinut exact acelaşi rezultat. Am mai văzut acest rezultat înainte. Cu alte cuvinte, fie că sarcina este uniform distribuită pe suprafaţa unei sfere, fie că întreaga sarcină se află exact în centrul sferei, acest lucru nu are nicio importanţă pentru câmpul electric atâta timp cât ne aflăm în exteriorul sferei. Dacă trasăm graficul câmpului electric în funcţie de R. Aici este R, iar aici este intensitatea câmpului, atunci obţinem că valoarea câmpului electric este zero în interior, sare la o valoare maximă şi scade cu 1/r^2, proporţional cu 1/r^2. Dacă ne întoarcem la situaţia în care sarcina în care câmpul electric din interior este zero, vă puteţi întreba dacă nu am trişat puţin. Pentru că, da, nu există sarcină în interior. Dar aţi luat într-adevăr în considerare sarcina din exterior? Şi dacă aţi luat-o în considerare, cum aţi făcut-o? Păi, am luat-o în considerare. Am considerat-o prin intermediul argumentelor de simetrie. Argumentele de simetrie iau în calcul faptul că sarcina este uniform distribuită. Dacă sarcina de pe sferă nu ar fi fost distribuită uniform, nu aş fi putut aplica argumentele de simetrie, şi prin urmare, câmpul electric din interior nu ar fi fost zero. Dacă există mai multă sarcină pe sferă aici decât există acolo, atunci câmpul din interiorul sferei nu este zero. Aşadar am luat în considerare toate sarcinile utilizând argumentul de simetrie. Legea lui Gauss şi legea lui Coulomb sunt într-un fel aceeaşi lege. Ambele leagă câmpul electric de sarcina Q. Crucial este faptul că forţa electrică scade cu 1/r^2. Dacă intensitatea câmpului electric nu ar descreşte cu 1/r^2, legea lui Gauss nici nu ar fi măcar valabilă, iar câmpul electric din interiorul acestei sfere încărcate uniform nu ar fi zero. Aceasta este o consecinţa imediată a faptului că forţele electrice scad cu 1/r^2. Forţele gravitaţionale scad şi ele cu 1/r^2. Prin urmare, dacă luăm o planetă dacă ar exista, goală pe dinăuntru, o planetă sferică şi goală la interior, nu va exista niciun câmp gravitaţional în interiorul acelei planete. Dacă aţi fi acolo, nu ar exista o forţă gravitaţională asupra voastră. Dacă este sferică. Dacă acea planetă ar fi în formă de cub, atunci câmpul gravitaţional din interiorul planetei nu ar fi zero. Veţi spune, mda, mare lucru, în mecanica clasică luăm tot timpul o planetă, şi atât timp cât suntem în exteriorul planetei, luăm în calcul întreaga masă şi o considerăm ca fiind un punct. Da, într-adevăr. Nu e mare lucru pentru voi, şi nu e mare lucru pentru mine, dar a fost extrem de important pentru Newton. Newton a intuit că este corect ca, în cazul în care avem o planetă cu o distribuţie uniformă de masă, o putem considera ca o masă punctiformă atât timp cât ne aflăm în exteriorul planetei. Dar i-a luat 20 de ani să demonstreze acest lucru, şi într-un final şi-a publicat rezultatele. Nouă ne-ar lua acum 30 de secunde. Nu avea acces la legea lui Gauss. Aceasta a venit după aproximativ 100 de ani. Dar rezultatul final îl vedeţi aici în faţa voastră, dacă aveţi o distribuţie uniformă de sarcină, şi puteţi face o paralelă cu gravitaţia, câmpul electric din exterior este acelaşi pe care l-am obţine dacă întreaga sarcină ar fi într-un singur loc. În centru. Aceasta este simetria sferică numărul unu. Aceasta este cea mai uşoară simetrie din acest curs. Vă voi arăta acum o a doua formă de simetrie, şi anume planul neted. Aş dori să-l rezolvaţi voi în mare parte, dar vă voi ajuta puţin ca să-l puneţi la punct. Presupunem că avem un plan foarte foarte mare. Gândiţi-vă pentru un moment ca fiind infinit de mare. Desigur, aşa ceva nu există, infinit de mare. Pun sarcină pe acest plan. Pun o anumită cantitate de densitate de sarcină, sigma (σ). Sigma reprezintă cantitatea de sarcină Q pe suprafaţa A. Este egală cu un anumit număr de coulombi pe metru pătrat. Sarcina este uniform distribuită, întregul plan, peste tot are acelaşi număr de coulombi pe metru pătrat. Sau micro-coulombi sau nano-coulombi, ce preferaţi mai mult. Acest plan este imens şi trebuie să aflaţi care este câmpul electric în oricare punct din spaţiu, la fel cum înainte ne-am întrebat care este câmpul electric în oricare punct din interiorul sau din exteriorul sferei. Acum vreau să-l aflu în toate punctele din vecinătatea acestui plan. Dacă alegem corect o suprafaţă gaussiană, putem afla foarte uşor răspunsul. Dacă alegem ca şi suprafaţă gaussiană o sferă, suntem morţi, nu ajungem niciunde, pentru că nu există simetrie sferică. Voi defini pentru voi suprafaţa gaussiană, dar vreau ca voi să aflaţi acasă cum obţinem câmpul electric. Să presupunem că vreau să determin câmpul


5

electric la o distanţă d deasupra planului. Aleg o astfel de suprafaţă gaussiană. Urmăriţi-mă cu atenţie. Aceasta este intersecţia cu planul. Aceasta este suprafaţa mea gaussiană. Este o suprafaţă închisă. Trebuie îndeplinite trei condiţii pentru a putea calcula vectorul E în locaţia d. Prima dintre ele este că acesta este un plan neted aici, iar acesta este acelaşi plan neted. Trebuie să fie paralel cu acest plan. E obligatoriu. Dacă nu faceţi acest lucru, nu puteţi aplica legea lui Gauss. A doua condiţie este ca aceşti pereţi verticali de aici să fie într-adevăr perpendiculari pe acel plan. Cu alte cuvinte, aceştia sunt paraleli şi aceştia sunt perfect verticali. Dacă nu-i faceţi verticali, dacă-i faceţi aşa, sunteţi morţi. Nu puteţi folosi legea lui Gauss foarte eficient. Iar cel de al treilea argument, foarte important, este ca această suprafaţă netedă să se afle la distanţa d deasupra planului, iar această suprafaţă netedă să se afle la exact aceeaşi distanţă sub plan. Puteţi să vă daţi deja seama de ce este important acest lucru. Pentru că dacă vreţi să folosiţi un argument de simetrie, dacă acest plan este încărcat uniform, vectorul câmpului electric aici, ca şi valoare, trebuie evident să fie egal cu cel de acolo, ca şi valoare, poate nu ca şi direcţie, atâta timp cât acest d este egal cu acel d. De aceea este important ca aceste două distanţe să fie identice. Singura sarcină ce o avem în interior când aplicăm legea lui Gauss, este sarcina ce se află, desigur, aici. Aceasta este singura sarcină din interiorul acelei cutii închise. Dacă rezolvaţi această problemă acasă, veţi obţine un rezultat uimitor. Veţi descoperi că fluxul electric prin aceşti pereţi verticali este zero. Nu iese nimic prin aceşti pereţi verticali. Gândiţi-vă la asta, de ce se întâmplă acest lucru. Utilizaţi argumente de simetrie. Dar pe aici iese ceva sau intră ceva dacă este o sarcină negativă, şi ceva iese pe aici. Avem aşadar doar două contribuţii de la cele două discuri din capăt. Veţi rezolva această problemă, şi veţi descoperi un rezultat uimitor, şi anume, câmpul electric este egal cu raportul dintre σ şi 2ε0 şi este independent de distanţa faţă de plan. Fie că ne aflăm foarte departe, fie că suntem foarte aproape, câmpul este acelaşi. Dacă acesta este planul respectiv, iar dacă planul este încărcat pozitiv, atunci E este aşa aici şi E este aşa aici, şi nu depinde de distanţă. Dacă este încărcat negativ, E este aşa şi aşa, îndreptat înspre plan, şi în toate cazurile mărimea lui E este egală cu raportul dintre σ şi 2ε0. Este adevărat că la o distanţă foarte mare faţă de plan, câmpul tot nu depinde de distanţă? Da, dacă acel plan este infinit de mare. Dar dacă planul este doar cât sala aceasta de curs, atunci relaţia este extrem de precisă atâta timp cât rămân relativ aproape de plan. Cu alte cuvinte, dacă distanţa până la plan este mică în comparaţie cu mărimea planului. Dar dacă mă duc la câţiva kilometri distanţă, atunci desigur, acel plan încărcat arată precum o sarcină punctiformă dacă sunt la 10 kilometri de sala de curs, dacă planul este doar cât sala aceasta de curs, atunci arată precum o sarcină punctiformă, şi evident, câmpul electric va descreşte cu 1/r^2. Aşadar, atunci când spun că E nu se modifică cu distanţa, înseamnă desigur că trebuie să fiu relativ aproape de suprafaţă, relativ la mărimea acelei suprafeţe. Vă rămâne vouă să demonstraţi asta, şi eu voi folosi rezultatul pentru a calcula o configuraţie mult mai complicată constând din două plăci încărcate folosind acel rezultat. Acest lucru este foarte important. Să presupunem că am aici o placă, foarte mare, nimic nu este infinit de mare desigur, cu o densitate superficială de sarcină +σ iar aici am o placă cu o densitate superficială de sarcină -σ, iar distanţa dintre cele două plăci este d. Întrebarea acum este care e câmpul electric în toate punctele din spaţiu. Aici, aici şi aici. Ne imaginăm că sunt infinit de mari, ambele plăci. Aplic acum principiul superpoziţiei. Îmi spun aha. Considerând doar această placă, o ignor pe cealaltă, această placă determină un vector E, oh, să nu încurc culorile, determină un vector E astfel, egal cu σ împărţit la 2ε0. Direcţia acestuia este de asemenea în exterior, σ împărţit la 2ε0, şi aici este tot σ împărţit la 2ε0, pentru că nu depinde de distanţa până la placă. Ce face sarcina negativă? Păi, în cazul sarcinii negative, vectorii E sunt îndreptaţi înspre ea. Am aici un vector E egal cu σ împărţit la 2ε0. Am aici unul care este σ împărţit la 2ε0, şi am aici unul care indică înspre placă, egal cu σ împărţit la 2ε0. Aplic principiul superpoziţiei, pot adăuga vectorii de câmp electric, şi găsesc că aceştia doi se anulează reciproc, iar câmpul electric este


6

zero aici. Câmpul electric aici este egal cu σ împărţit la ε0. Cele două câmpuri se susţin reciproc. Ambele sunt în aceeaşi direcţie. Iar aici, câmpul electric este din nou zero. Acesta este un rezultat surprinzător. Desigur, este adevărat doar dacă aceste plăci sunt extrem de mari. Dacă trebuie să trasez liniile de câmp într-o astfel de situaţie, atunci liniile de câmp ar arăta astfel. Dacă placa de sus este pozitivă, câmpul de aici este acelaşi peste tot, iar în exterior zero şi zero aici. Evident că acest lucru nu poate fi adevărat în zona aceasta de aici, unde suntem foarte aproape de capătul acestor plăci. Acest lucru nu este posibil. De ce nu? Păi, nu putem folosi argumente de simetrie, aşa că legea lui Gauss nu este de folos dacă ne apropiem de această zonă. Este foarte dificil de calculat configuraţia câmpului electric atunci când suntem aproape de margini, câmp ce poartă numele de câmp de margine. Desigur, Maxwell a fost un om isteţ şi a ştiut cum să calculeze acest câmp. Astăzi îl putem calcula şi noi foarte uşor cu ajutorul calculatorului. Dar vă voi prezenta din publicaţiile originale ale lui Maxwell, că într-o astfel de situaţie, putea foarte bine să calculeze aceste linii de câmp electric. Avem aceste două plăci orizontale, care este plus şi care este minus nu contează, nu foloseşte săgeţi aici. Ceea ce vedeţi este un câmp extrem de puternic în interiorul celor două plăci. Ţineţi minte că densitatea liniilor de câmp ne indică intensitatea [indescifrabil] câmp foarte puternic, dar când ne apropiem de margini, câmpul nu este chiar zero. Intensitatea câmpului scade rapid, pentru că, uitaţi-vă, densitatea este foarte mică. Dar nu este zero. Iar câmpul electric nu este zero nici aici, şi nu este zero acolo. Noi am presupus totuşi că placa este atât de mare, încât nu trebuie să ne facem griji legate de efectele de margine, iar în acest caz, câmpul electric există doar între plăci, dar în rest este zero. Vreau acum să vă demonstrez unele dintre lucrurile ce le-am învăţat astăzi. Primul lucru ce vreau să-l demonstrez este că în exteriorul unui plan întins, câmpul electric este mai mult sau mai puţin constant. Nu contează distanţa la care ne aflăm. Acum, desigur, nu am un plan infinit de mare, planul ce-l veţi vedea are doar câţiva metri pătraţi. Aşa că, folosind un plan de 1 x 1 metri, câmpul electric este aproximativ constant, doar dacă rămân foarte aproape de acel plan. În momentul în care mă îndepărtez dincolo de un metru, acest lucru nu mai este adevărat. Ceea ce vă voi arăta este foarte calitativ aşadar. Dar veţi vedea imediat acolo un plan foarte mare. Îl voi aduce în câteva minute. Să presupunem că privim acel plan dintr-o parte. Aici este acel plan. Ne uităm la el dintr-o parte, îl voi pune aici. Nu veţi putea vedea de el, de aceea nu-l avem aici acum. Îl voi conecta apoi cu Van der Graaff-ul din spatele lui. Dacă poţi aştepta câteva minute, atunci studenţii vor fi atenţi la mine şi nu la tine. Aici este Van der Graaff-ul, îl vom ataşa de Van der Graaff şi vom folosim apoi această undiţă interesantă cu un balon din material izolant încărcat cu aceeaşi sarcină precum Van der Graaff-ul, aceeaşi sarcină precum planul, şi o vom aduce în faţa planului. Va exista desigur o forţă. Aici este bagheta mea de sticlă. Asta e verticala. Datorită faptului că va exista o forţă de respingere asupra acestui balon umplut cu aer, vom obţine un unghi. Va exista o forţă electrică asupra lui întrucât cele două au aceeaşi sarcină. Acesta este unghiul teta, ce-l veţi vedea proiectat pe acel perete. Când îl voi îndepărta de plan, veţi vedea că unghiul teta scade. Da, desigur, pentru că uitaţi-vă cât de mic este acel plan. Indiferent de ceea ce fac, dacă mă îndepărtez de la 20 la 40 de centimetri, nu putem afirma că acel plan este infinit de mare în comparaţie cu cei 40 de centimetri. Dar veţi vedea că unghiul teta variază foarte încet. Vom îndepărta apoi acel plan şi vom realiza exact acelaşi experiment, dar vom include doar Van der Graaff-ul, ce produce un câmp electric. Iar acel câmp electric descreşte cu 1/r^2. Nu este independent de distanţă, ci scade cu 1/r^2. Aceasta este o sferă goală. Vă puteţi imagina aşadar că toată sarcina se află în centru, după cum am demonstrat, se află încă aici, pe tablă. Ştiţi, obţinem acel rezultat minunat. Dacă aduc acum această dacă aduc această undiţă, acest balon, în apropierea Van der Graaff-ului sferic, veţi observa că acest unghi teta scade foarte rapid când încep să mă îndepărtez. Extrem de rapid. Dacă dublez distanţa faţă de centru, forţa asupra acelui obiect mic va scădea de 4 ori. Este legea 1/r^2. Să realizăm mai întâi experimentul cu planul şi apoi vom încerca doar


7

cu Van der Graaff-ul. Vom încerca să optimizăm condiţiile de iluminare. Avem aici un proiector. O lampă cu arc, ce va produce să sperăm o iluminare în acea direcţie. Dacă lampa cu arc funcţionează. [râsete] Marcos, oh, am uitat să-l pornesc. Mulţumesc. Lampa cu arc porneşte acum, vedeţi acolo nişte umbre pe acel perete. Vedeţi mâna mea, aici este planul, care este departe de a fi un plan infinit. Dacă sunt la această distanţă de el, patru centimetri, o aproximaţie foarte bună, planul este infinit de mare. Dar dacă sunt aici şi acolo, unde voi fi de fapt, atunci desigur, nu va mai fi infinit de mare. Să pornim aşadar Van der Graaff-ul. Nu-l puteţi vedea, dar l-am pornit. Se roteşte acum. Trebuie să pun sarcină aici, îl voi atinge cu Van der Graaff-ul şi acum este încărcat. Are aceeaşi sarcină cu cea a planului. Planul este încărcat. Vedeţi aici unghiul. Încercaţi să reţineţi acel unghi. Este greu de estimat, probabil 15 grade. Vedeţi verticala, iar dacă, este la aproximativ 30 de centimetri de plan. Dacă mă îndepărtez la 50 de centimetri, unde mă aflu acum, observaţi că unghiul nu s-a modificat foarte mult. Dacă mă îndepărtez şi mai mult, la 60 de centimetri, da, unghiul scade puţin. Sigur că scade. Dar nu foarte mult. Dacă mă îndepărtez foarte tare, dacă mă duc foarte departe, desigur, forţa exercitată asupra acestui obiect mic este invers proporţională cu r^2, pentru că atunci întregul plan se va comporta precum o sursă punctiformă. V-am arătat aşadar că în imediata vecinătate a acestui plan, câmpul electric este aproximativ constant. Dacă îndepărtez acum planul Marcos, dacă poţi, da, trebuie să iei şi asta jos. Mulţumesc foarte mult. Acum avem doar Van der Graaff-ul. Ştim că valoarea câmpului electric scade cu 1/r^2. Acum este o aproximare foarte bună. Ne putem imagina că sarcina se află chiar în centru. Îl voi încărca puţin. Oh, este încărcat deja. Bine. Uitaţi-vă la proiecţie. Balonul se află acum la aproximativ 30 de centimetri de centru, poate 40, unghiul este de aproape 45 de grade. Acum mă îndepărtez, dublez distanţa, mă îndepărtez la aproximativ 90 de centimetri, şi observaţi unghiul teta. Unghiul teta a scăzut acum la aproximativ 10 grade. Mă duc înapoi unde am fost. Acest unghi este de aproximativ 40 de grade. Iar aici este foarte mic, iar dacă vin aici, la aproximativ un metru şi jumătate, aproape că nu mai puteţi vedea unghiul. Este de doar câteva grade. V-am arătat aşadar doar calitativ că acest câmp electric scade extrem de rapid. În vecinătatea unei sfere goale încărcate uniform cu sarcină electrică, şi faptul că acesta nu scade foarte rapid dacă ne aflăm în vecinătatea unui plan. Al doilea lucru ce vreau să vi-l arăt are legătură cu faptul că, câmpul electric din interiorul unei sfere încărcate uniform este zero. Am aici o sferă ce nu este complet închisă. Nu o pot închide pentru că vrea să vă demonstrez că nu există câmp electric în interiorul ei atunci când o încarc uniform. Din moment ce trebuie să ajung înăuntru, am nevoie de o deschizătură. Nu pot să fac nimic în legătură cu acest lucru. Din moment ce există o deschizătură, câmpul electric din interior nu este exact zero. Acest lucru este adevărat doar dacă aceasta este o suprafaţa complet închisă, şi dacă sarcina este uniform distribuită. Dar este o bună aproximaţie. Deschizătura este destul de mică. Voi încărca această sferă. Pun sarcină în exterior. Voi folosi un dispozitiv ce nu l-am folosit înainte, dar asta nu este atât de important. Aici este acea sferă goală. Voi pune sarcină acolo. Să presupunem că este sarcină pozitivă. Aceasta va fi încărcată pozitiv. Din moment ce este un conductor, după cum vom învăţa, cred că în cursul următor, sau cel puţin în această săptămână, această sarcină se va distribui automat uniform, acest lucru se întâmplă doar în cazul unui conductor. Pentru a vă demonstra că există un câmp electric aici, voi utiliza inducţia. Am două mingi de ping pong acoperite cu vopsea conductoare. Se ating reciproc. Sub influenţa acestui câmp electric, aceasta se va încărca negativ, iar aceasta pozitiv, am discutat acest lucru data trecută, creăm un dipol. Nu contează că este un dipol. Le separ pe cele două. Am sarcină negativă aici şi sarcină pozitivă acolo. Voi atinge oricare dintre aceste mingi, nu contează care din ele cu un electroscop, şi veţi vedea că există sarcină pe ea. Voi fi demonstrat prin urmare că există un câmp electric în exteriorul sferei. Voi realiza apoi exact aceeaşi demonstraţie, dar de data aceasta voi pune bilele conductoare înăuntru, aici sunt. Le aduc în contact, va trebui să mă credeţi că le ating într-adevăr,


8

iar apoi le voi scoate. Dacă nu am greşit ceva, dacă nu am atins marginea din greşeală, atunci vă voi arăta că nu există câmp electric în interior, înseamnă că nu există inducţie, iar aceste bile nu au fost încărcate. Vă voi arăta cu ajutorul electroscopului că într-adevăr nu există sarcină pe ea. Acesta este aşadar experimentul. Aici este electroscopul. Aici este sfera. O voi încărca cu ajutorul, are un nume frumos, cu ajutorul electroforului. Greu de pronunţat. Frec pentru început o placă de sticIă cu blană de pisică. Iau apoi o placă metalică, o pun deasupra, şi o ating cu degetul. Realizez apoi un transfer de sarcină. Gândiţi-vă de ce se întâmplă acest lucru. O pun înapoi aici, o ating din nou cu degetul. Realizez din nou un transfer de sarcină. O pun deasupra, o ating din nou cu degetul. Mai vreau puţină sarcină. Frec din nou placa de sticlă. Pun asta deasupra. O ating cu degetul. De fiecare dată când fac acest lucru, simt un mic şoc. O pun acolo. O ating cu degetul. Bine. Să sperăm că e suficient. Urmează acum prima demonstraţie. Aceste două sfere conductoare, complet descărcate, le aduc în apropierea acestei sfere. Iată-le. Le separ. Acum trebuie să fie încărcate. Să ating electroscopul cu bila aceasta sau cu aceasta? Mi-e indiferent. Mâna dreapta sau mâna stângă? Cine vrea dreapta? Cine vrea stânga? Dreapta să fie. Iată sarcina. V-am arătat că există un câmp electric acolo. Am creat sarcină electrică aici, prin inducţie. Voi face acelaşi lucru în interior. Experimentul este delicat pentru că, dacă ating marginea atunci nu este zero. Aceasta trebuie să intre prima pentru că deschizătura este prea mică. Apoi intră a doua bilă. Acum trebuie să le ating, şi într-adevăr o fac. Nu v-aş păcăli. Nu acum. Acum se află în contact reciproc. Scot acum una dintre ele. O scot şi pe cealaltă. Pe care să o folosesc? Nu ar trebui să existe sarcină pe niciuna din ele. Ce am avut înainte, stânga sau dreapta? Să o folosim pe aceasta. Pe aceasta? Cine vrea stânga? Cine vrea dreapta? Stânga să fie. Oh. [râsete] Ce s-a întâmplat? Cred că am atins marginea. Nu putem evita asta. Ma asigur că există suficientă sarcină pe ea. O mai încarc încă odată. Le descarc. Bine. Repetăm experimentul. O introduc înăuntru. O introduc înăuntru. Le ating. O scot afară. O scot afară. Nimic. Nimic. Poate puţin de tot, desigur, câmpul electric din interior nu este exact zero. Dar este extrem de aproape. Ultimul lucru ce vreau să vi-l arăt are legătură cu câmpul de margine ce l-am văzut aici. Am aici două plăci paralele ce le voi încărca cu un instrument ce nu l-am mai văzut înainte, se cheamă Wimshurst. Dacă învârt de această manetă pot produce sarcină pozitivă şi negativă. Această placă se încarcă pozitiv iar cealaltă placă se încarcă automat cu sarcină negativă. Vă voi arăta acest lucru acolo. Aceasta e ideea. Da. Vedeţi acolo aceste două plăci. Şi vedeţi o minge de ping pong. Această minge de ping pong este un conductor, am acoperit-o cu vopsea conductoare. Ţineţi minte când am realizat experimentul cu balonul ce ricoşa între capul meu şi Van der Graaff. De fiecare dată când atingea Van der Graaff-ul lua întreaga sarcină de pe Van der Graaff, iar când atingea capul meu lua sarcina mea. Mergea prin urmare înainte şi înapoi, de-a lungul liniilor de câmp. Acest lucru vreau să vi-l arăt acum. Că această minge de ping pong va testa acel câmp iniţial în afara condensatorului, sau nu ar trebui să folosesc cuvântul condensator, ci aceste plăci. Voi aduce apoi mingea de ping pong în interior şi veţi vedea că acolo câmpul electric este mult mai intens. Să punem nişte sarcină acolo pentru început. Ascultaţi sunetele. De fiecare dată când le atinge, se aude un pocnet. Urmăreşte aşadar cu aproximaţie acele linii de câmp electric, şi transferă de fiecare dată sarcină electrică de pe o placă pe cealaltă. Se deplasează foarte frumos pe o traiectorie semicirculară, aşa cum vedeţi acolo. Este evidentă existenţa unui câmp electric în exterior. V-am demonstrat acest lucru. Altfel, nu ar face niciodată ceea ce face. Câmpul electric din exterior nu este prin urmare exact zero, desigur că nu. Această placă nu este infinit de mare. Voi pune acum această minge de ping pong înăuntru, trebuie să măresc distanţa puţin, şi o pun înăuntru. Vedeţi că aici câmpul electric este mult mai intens. Acum se deplasează înainte şi înapoi între acele linii de câmp intense, un câmp electric foarte intens, se deplasează înainte şi înapoi. De fiecare dată când atinge placa polaritatea se inversează. Acest lucru nu este foarte diferit de experimentul cu balonul, când acesta a ricoşat înainte şi înapoi de pe


9

Van der Graaff pe capul meu şi înapoi pe Van der Graaff. Bine. Începeţi să lucraţi la tema de casă. Nu este o temă uşoară. Ne vedem miercuri. (subtitrarea în limba română pentru www.circuiteelectrice.ro)

curs electrician - cursul 3 – fluxul electric şi legea lui gauss

Documents