3.1 Ecuaii cu derivate pariale de tip parabolic

Vom considera cea mai simpl ecuaie de tip parabolic sub forma

.(35)

Ecuaia (35) este un caz particular al ecuaiei (31), cu , avem , deci ecuaia este de tip parabolic.

Exemplu. Ecuaia (35) se ntlnete n transmiterea cldurii n regim nestaionar. Absena constantelor fizice n (35) se explic prin faptul c s-au introdus variabile adimensionalizate: u, temperatura adimensionalizat, t, x timpul i coordonata spaial, de asemenea adimensionalizate. Transferul cldurii printr-o bar n care una dintre dimensiuni este mult mai mare dect celelalte dou i deci fenomenul se poate considera unidimensional, n regim nestaionar, este descris de ecuaia

(36)

unde este densitatea materialului, n cldura specific, n , iar este conductivitatea termic, n .

Ecuaia (36) are condiiile iniiale i la limite

(37)

Din punct de vedere fizic, reprezint distribuia de temperatur ntr-o bar de lungime L, la momentul iniial , iar i temperaturile la care se menin capetele barei, spre exemplu, ca urmare a contactului cu mediul ambiant sau cu alte corpuri. n locul temperaturii date, se poate impune fluxul de temperatur, adic derivata , de regul nul. Funciile i sunt, n cazul general, funcii de timp, n timp ce funcia este, n general, funcie de coordonata spaial x. Vom lua n considerare, pentru simplitate, n cele ce urmeaz, cazul n care funciile i sunt constante, .

Se introduc coordonata adimensionalizat x i temperatura adimensionalizat u prin relaiile

.(38)

Ecuaia (36) devine

.(39)

Variabila adimensionalizat pentru timp este sugerat de coeficientul derivatei .

Folosirea unei variabile adimensionale pentru timp este posibil numai dac

.(40)

Adimensionalizarea este recomandat deoarece conduce, n general, la reducerea numrului de parametri, iar valorile variabilelor dependente i a funciilor necunoscute au acelai ordin de mrime.

Se obine, n final, ecuaia (35). n continuare renunm la notaia cu bar pentru variabilele adimensionalizate.

Ecuaia (35) se rezolv pentru urmtoarele condiii:

(a) condiii iniiale

;(41)

(b) condiii la limite

.(42)

n relaiile (41) i (42), i sunt funcii date.

Metoda de rezolvare numeric const n mprirea domeniului dreptunghiular de dimensiuni 1 i T (durata pe care urmrim desfurarea fenomenului) n subdiviziuni prin noduri cu pai egali, h n direcia x i k n direcia t

,(43)

I i N fiind ntregi suficient de mari. Un nod oarecare de coordonate va fi notat cu doi indici . Pentru variabila timp vom utiliza indici superiori.

Ecuaia (35) se va scrie n noduri, aproximnd derivatele pariale cu diferene finite. Aceast operaie se numete discretizare (cu diferene finite), deoarece valorile funciei se vor calcula doar n noduri, adic pe o mulime discret de puncte.

Deoarece calculul numeric ne va furniza doar valori aproximative pentru funcia u, vom scrie

,(44)

v reprezentnd valorile aproximative ale funciei u, iar w eroarea.

3.1.1 Scheme explicite

Aproximnd derivatele pariale cu diferene finite sub forma

,(45)

se obine o expresie explicit pentru valoarea funciei la momentul de timp , n funcie de valorile la momentul anterior n

,(46)

unde am notat cu parametrul reelei

.(47)

Se observ c pentru calculul valorii sunt necesare trei valori la momentul n: , i (fig. 1). Pentru , aceste valori sunt cunoscute din condiiile iniiale i la limite. ntr-adevr, din (46), (41) i (42) se obine

(48)

Fig. 1 Metoda explicit

n acest fel, calculul poate continua pas cu pas n direcia axei timpului. Relaia (46) este explicit, deoarece sistemul de ecuaii care se obine pentru este practic rezolvat. Rmne de studiat problema convergenei metodei explicite.

n cazul de fa, trebuie studiat comportarea soluiei date de schema explicit (45) sau (46), cu condiiile la limite i iniiale (48).

ntr-un punct oarecare , ecuaia exact (35) se scrie

.(49)

Derivatele pariale din (49) se vor exprima cu ajutorul dezvoltrilor n serie Taylor ale valorilor funciei n puncte vecine. Astfel,

(50)

,(51)

de unde rezult

(52)

S-a presupus c derivatele pariale ale funciei u n raport cu variabilele t, x sunt definite pn la ordinele necesare. Cu ajutorul relaiilor (52), ecuaia (49) conduce la sistemul

.(53)

Fa de ecuaiile (46) pentru valorile aproximative n noduri , sistemul (53) pentru valorile exacte conine reziduul , avnd expresia

.(54)

Scznd relaiile (53) i (46), se obine pentru eroarea w, definit de (44),

.(55)

Condiia de convergen a schemei cu diferene se poate formula astfel:

, cnd .(56)

Pentru a stabili n ce condiii se realizeaz (56), vom urmri comportarea modulelor erorilor maxime. Din (56), se obine pentru

.(57)

Notm cu . Inegalitatea (57), fiind adevrat pentru orice i, este adevrat i pentru acel care realizeaz maximul modulului; valoarea acestui fiind necunoscut, o vom nota tot cu i. n acest fel, din (57) se obine succesiv

(58)

Pentru ca eroarea s nu creasc de la un moment de timp n la momentul urmtor , este necesar i suficient ca

.(59)

Cu condiia (59), se obine

.(60)

Sumnd egalitatea (60) termen cu termen de la 0 la i efectund reducerile, rezult

,(61)

unde reprezint eroarea la momentul iniial , iar . Deoarece problema se rezolv pentru condiiile iniiale i la limite impuse, eroarea este nul ; n orice caz, chiar dac n condiiile impuse sunt erori, acestea nu se datoreaz metodei.

Cu aceast observaie i innd cont de (54), se obine

cnd ,(62)

adic metoda explicit cu diferene finite converge, cu condiia (59).

Convergena condiionat este o situaie general ntlnit la metodele explicite i conduce la creterea volumului de calcul pentru obinerea unei precizii corespunztoare. Spre exemplu, pentru , sunt necesari cel puin 5000 de pai pentru . n acelai timp, este interesant de observat c, pentru k fixat, micorarea pasului h dup direcia x poate duce la rezultate eronate dac nu se respect condiia .

Urmrind fig.6, vom ncerca s dm o explicaie calitativ a fenomenului de convergen condiionat pentru schemele explicite. Astfel, cunoscnd valorile funciei u pe linia AB, se pot calcula valorile aproximative pentru punctele din interiorul triunghiului ABP, fr a utiliza valorile impuse de condiiile la limite. Altfel spus, punctul P primete influen (n procesul numeric de calcul) numai de la punctele din interiorul triunghiului ABP, fapt ce ar corespunde fizic unei ecuaii de tip hiperbolic i nu parabolic. O schem cu diferene 100% parabolic ar trebui s nu poat determina valoarea funciei u ntr-un punct de pe linia CD fr ca valorile din punctele C i D s fie luate n calcul. O astfel de comportare o au schemele implicite care vor fi prezentate n continuare.

Un aspect interesant al schemelor cu diferene finite l constituie schemele optimale. Acestea constau n alegerea parametrului reelei , astfel nct eroarea de trunchiere s fie ct mai mic. Pentru exemplificare, vom considera schema explicit (46)

,(63)

cu eroarea de trunchiere dat de relaia (54). Pentru ecuaia cldurii (35) se arat uor c , astfel nct din (54) se vede uor c pentru , adic , eroarea de trunchiere devine

,(64)

adic s-a ctigat un ordin de precizie numai prin alegerea adecvat a reelei de calcul. Acest ctig nu este ns att de spectaculos, deoarece egalitatea este adevrat pentru ecuaia , cu condiia ca derivatele respective s fie evaluate exact. Folosind diferene finite, aceast egalitate este verificat aproximativ, n funcie de ordinul aproximrii i de pasul reelei. Relaia (54) se scrie pentru n forma

,(65)

unde diferena nu este strict egal cu zero.

3.1.2 Scheme implicite

Revenind la ecuaia (35), vom utiliza aceeai reea de puncte, cu deosebirea c, fa de schema explicit (45), n membrul drept vom introduce valorile funciei aproximante v la momentul . Se scrie deci

.(66)

Sistemul de ecuaii (66) nu mai este explicit, ci reprezint un sistem de ecuaii liniare cu matrice tridiagonal, care furnizeaz valorile funciei n noduri, la momentul de timp

.(67)

Sistemul de ecuaii (67) se rezolv n mod repetat, pentru momente de timp succesive. Spre exemplu, pentru , se obine sistemul

,(68)

cu ,

,(69)

.(70)

Se observ c matricea sistemului depinde numai de parametrul reelei . Pentru rezolvarea sistemului liniar (68), se poate folosi metoda direct, care ine cont de forma tridiagonal a matricei A. innd cont de particularitile sistemului (70), algoritmul de rezolvare a ecuaiei cldurii folosind schema implicit (66) se poate scrie formal dup cum urmeaz:

Date de intrare:

condiiile iniiale ;

condiiile la limit ;

Factorizare

Rezolv sistemul

Rezolv sistemul

. (71)

Deoarece matricea este diagonal dominant , sistemul poate fi rezolvat i prin metode iterative (prin metoda Gauss-Seidel). Valorile funciei la momentul sunt utilizate pentru calculul valorilor de la momentul .a.m.d. (fig. 2) .

Schema implicit (67) converge necondiionat (se va demonstra mai jos), adic indiferent de valorile parametrului reelei .

Aceast independen a convergenei de parametrul reelei este o proprietate comun a schemelor implicite.

Precizia schemelor implicite se poate mbunti folosind combinaii ale valorilor funciei luate la momentele n i . Notnd cu un coeficient-pondere, se scrie

.(72)

n acest fel, derivata se calculeaz pentru un punct intermediar momentelor de timp n i , eroarea de discretizare fiind , fa de n cazurile anterioare. n multe cazuri se ia , metod denumit Crank-Nicolson (vezi figura 3), astfel nct sistemul de ecuaii pentru calculul valorilor funciei n noduri devine

.(73)

Se observ o cretere a gradului de dominan a elementului diagonal de la pn la . Se poate arta c, pentru , eroarea de discretizare n derivata devine de ordinul lui .

Fig. 2 Metoda implicit Fig. 3 Metoda Crank-Nicolson

3.1.3 Convergen, consisten, stabilitate

S-a definit anterior convergena schemelor cu diferene finite prin condiia ca soluia aproximativ v s se apropie orict de mult de soluia exact u, atunci cnd norma diviziunii tinde la zero .

Deoarece convergena unei scheme cu diferene este mai greu de demonstrat, se definesc i alte proprieti mai slabe ale schemei, care se pot verifica mai uor, fiecare n parte, iar mpreun pot asigura convergena. Astfel de proprieti, mai slabe, sunt consistena i stabilitatea.

Definiie. O schem cu diferene finite este consistent (cu ecuaia cu derivate pariale pe care o aproximeaz) dac tinde spre ecuaia exact atunci cnd norma diviziunii tinde la zero .

De obicei schemele provenite din aproximrile derivatelor prin diferene finite, avnd erorile de discretizare sunt consistente. Exist ns i combinaii mai puin ortodoxe, care conduc la erori de discretizare de ordine de mrime care depind de rapoarte ale pailor, spre exemplu, . n acest caz, eroarea de discretizare nu tinde neaprat la zero odat cu norma reelei, ci poate avea valori finite.

Exemplu. Considerm schema de discretizare a ecuaiei cldurii sub forma

,(74)

n care valoarea aproximativ a funciei a fost scris ca medie aritmetic a valorilor i , . Pentru a stabili eroarea de trunchiere, dezvoltm n serie Taylor funcia u n jurul punctului

Adunnd i scznd relaiile pentru i , rezult

.

Pentru se obine relaia

,

iar pentru ecuaia cldurii

Eroarea de discretizare conine termenul , care poate fi diferit de zero dac i , unde c este o constant diferit de zero. Deci, dac diviziunile k, h tind la zero, spre exemplu, fiind tot timpul egale , schema (74) aproximeaz, de fapt, o ecuaie care conine termenul i care nu mai reprezint ecuaia cldurii. Dac avem , efectul acestui termen de ordinul doi devine neglijabil.

Definiie. O schem numeric de calcul (n particular o schem cu diferene) este stabil dac nu amplific erorile n decursul aplicrii ei.

n afara erorilor provenite din trunchiere sau rotunjire, surse de instabilitate pot fi i nepotrivirile (discontinuitile) din condiiile la limite i iniiale. Modalitile de amplificare a erorilor sunt foarte variate, astfel nct stabilitatea poate fi studiat n diverse moduri. n cele ce urmeaz, vom utiliza stabilitatea n sensul lui von Neumann. Importana studierii consistenei i stabilitii este dat de

Teorema lui Lax. O schem de calcul consistent i stabil este convergent.

n cele ce urmeaz, vom aplica teorema lui Lax la studiul unor scheme despre care tim precis c sunt consistente, astfel nct stabilitatea devine suficient pentru convergen.

Pentru schema implicit (67), se studiaz stabilitatea n sensul lui von Neumann. Se introduce n schem o perturbaie w, de forma

,(75)

unde este amplitudinea, iar numrul de und al perturbaiei. Deoarece sursa perturbaiilor n calculul numeric o constituie erorile de calcul, s-a pstrat notaia w. Prin urmare, n (67) se face nlocuirea

.(76)

Rezult ecuaia care d evoluia perturbaiei

.(77)

mprind (77) membru cu membru cu , se obine

(78)

Din (78) rezult c raportul amplitudinilor perturbaiei la momentele i n scade sau rmne cel mult nemodificat, oricare ar fi pasul h i lungimea de und a perturbaiei. n consecin, perturbaiile schemei cu diferene date de erorile de diverse tipuri nu se amplific, deci schema implicit este necondiionat stabil.

Exemplu. Revenind la schema explicit (46), vom studia stabilitatea acesteia. Ecuaia care d evoluia perturbaiei w dat de (75) este

.

Rezult condiia

,

sau

.

Condiia de convergen a schemei explicite (46) este necesar asigurrii stabilitii.

3.1.4 Ecuaii parabolice cu dou variabile spaiale. Metoda Crank-Nicolson

Vom lua ca model ecuaia cldurii adimensionalizate

,(79)

cu condiiile iniiale i la limite

(80)

Vom considera cazul unei reele rectangulare (figura 7), unde pentru simplitate considerm paii de discretizare spaial egali,

.(81)

Aproximnd derivatele spaiale cu diferene finite la momentul de timp n, se obine relaia explicit

.(82)

Eroarea de trunchiere a relaiei (82) este , unde k este pasul de timp. Condiia de convergen a schemei explicite (82) se determin n mod similar cu cazul unei singure variabile spaiale

.(83)

Restricia (83) impus parametrului reelei pentru ca schema explicit (82) s fie stabil duce la necesitatea folosirii unor pai de timp mici, rezultnd un volum mare de calcule. Acest neajuns poate fi nlturat prin folosirea unei scheme implicite. Spre exemplu, se poate folosi schema Crank-Nicolson pentru ecuaia (79)

,(84)

obinndu-se

(85)

Schema Crank-Nicolson (85) este stabil pentru orice valoare a parametrului reelei . Pentru fiecare nivel de timp n, se obine un sistem de ecuaii liniare, unde i . Acest sistem nu mai are matrice tridiagonal ca n cazul schemei implicite (67) pentru ecuaia cldurii cu o singur variabil spaial, neajuns care poate fi evitat folosind metoda direciilor alternante.

3.1.5 Metoda direciilor alternante

Un sistem de n ecuaii liniare cu n necunoscute, cu matrice tridiagonal se rezolv direct. n cazul ecuaiilor parabolice cu o singur variabil spaial, folosirea schemei implicite (67) a dus la rezolvarea unui astfel de sistem. Obinerea, i n cazul ecuaiilor parabolice cu dou variabile spaiale, a unui sistem liniar tridiagonal se poate realiza dac folosim o schem semi-implicit. Spre exemplu, vom folosi o formul implicit pentru aproximarea derivatei spaiale

(86)

i o formul explicit pentru derivata spaial

.(87)

Pentru fiecare , se obine un sistem de ecuaii liniare cu tot attea necunoscute

.(88)

Pentru determinarea valorilor , trebuie rezolvate astfel de sisteme (fig. 7). Efortul de calcul este sensibil mai mic la rezolvarea a sisteme tridiagonale de cte ecuaii dect pentru rezolvarea unui singur sistem de ecuaii cu tot attea necunoscute.

La pasul urmtor, este recomandat s folosim o formul explicit pentru aproximarea derivatei spaiale i o formul implicit pentru derivata spaial , obinnd

.(89)

Metoda direciilor alternante const n aplicarea relaiei (88) pentru determinarea valorilor aproximative ale funciei necunoscute de la momentul de timp , apoi a relaiei (89) pentru determinarea valorilor de la momentul de timp , dup care procedeul se repet.

3.1.6 Ecuaii parabolice neliniare

Problemele prezentate pn aici legate de rezolvarea numeric a ecuaiilor cu derivate pariale folosind scheme cu diferene finite i stabilitatea acestora au fost particularizate pentru ecuaii liniare cu coeficieni constani. Ecuaia cu derivate pariale (26) este liniar dac coeficienii i C sunt cel mult funcii de variabilele independente. Dac numai coeficienii derivatelor pariale de ordin maxim depind de variabilele independente i de funcia necunoscut u, dar nu i de derivatele pariale ale acesteia, atunci ecuaia se numete cvasiliniar.

Ecuaiile parabolice neliniare pot fi rezolvate cu ajutorul schemelor explicite. Aa cum am vzut anterior, stabilitatea schemelor explicite impune restricii privind valorile parametrului reelei . n cazul ecuaiilor neliniare, aceste restricii devin i mai dure, n plus ele depinznd i de funcia necunoscut u, motiv pentru care schemele explicite sunt puin utilizate.

Pentru exemplificare, considerm ecuaia neliniar

,(90)

unde este o expresie care conine variabilele independente x i t, funcia necunoscut u i derivatele pariale de ordinul nti . O schem implicit se poate obine dac scriem

(91)

sau prescurtat , unde

.(92)

Folosind metoda iteraiei simple, se construiete irul

(93)

pn cnd . Pentru , se obine rezolvnd ecuaia neliniar

(94)

Dac irul (93) converge, convergena este liniar. Dup cum se observ, la fiecare iteraie m trebuie rezolvat un sistem tridiagonal de ecuaii liniare.

O alt modalitate de liniarizare a sistemului neliniar (91) o constituie metoda Newton. Termenul din dreapta egalitii (90) se poate dezvolta n serie Taylor ca o funcie de mai multe variabile, pstrnd numai termenii de ordinul nti

unde . Rezult un sistem tridiagonal de forma

,(95)

unde

,

.(96)

n obinerea relaiilor (96) s-a inut cont de relaia , deoarece valorile sunt cunoscute, fiind calculate anterior. Dac irul (96) converge, convergena este ptratic, dar la fiecare iteraie trebuie evaluate derivatele pariale , derivate ale cror expresii analitice trebuie determinate anterior. n cazul ecuaiilor parabolice cu dou sau trei variabile spaiale, liniarizarea sistemului neliniar se face n mod asemntor, dar sistemul liniar ce rezult nu mai are matrice tridiagonal. Pentru a obine sisteme liniare cu matrice tridiagonal, se poate folosi metoda direciilor alternante, prezentat anterior.

O metod mai simpl i elegant este propus de Saulyev. Exemplificm aceast metod pentru ecuaia cldurii adimensionalizate (35), n care vom aproxima derivata spaial cu formula cu diferene centrate

,(97)

n care se nlocuiete cu , iar derivatele de ordinul nti se aproximeaz tot cu diferene centrate

.(98)

Folosind diferene la dreapta pentru , se obine

.(99)

Formula (99) este explicit dac efectueaz calculele de la frontiera din stnga la cea din dreapta pentru toi paii de timp n mod analog, dac n (97) se nlocuiete cu , se obine

.(100)

Formula (100) este explicit dac efectueaz calculele de la frontiera din dreapta la cea din stnga pentru toi paii de timp Se recomand folosirea alternativ a formulelor (99) i (100).

innd cont de faptul c , obinem

.(101)

Pentru ecuaia cldurii avem . Putem considera pentru ecuaia cu diferene finite, astfel nct ecuaia (101) se scrie

.(102)

i

Folosirea diviziunilor echidistante duce la simplificarea relaiilor ulterioare, nefiind obligatorie.

Aproximarea se face cu ajutorul dezvoltrii n serie Taylor, dup cum se va vedea n continuare cnd se va analiza convergena schemei.

Nu orice schem implicit duce la apariia unui sistem cu matrice tridiagonal, ci numai cele la care diferenele finite pentru aproximarea derivatei spaiale folosesc numai trei puncte alturate la momentul de timp EMBED Equation.DSMT4 .

Numrul de puncte pe o dreapt EMBED Equation.DSMT4 este EMBED Equation.DSMT4 , punctele de pe frontier fiind date prin condiiile la limite.

_1326617830.unknown

_1326619061.unknown

_1326696813.unknown

_1330863684.unknown

_1330933216.unknown

_1335246534.unknown

_1338897212.unknown

_1338897237.unknown

_1338898154.unknown

_1335350248.unknown

_1338897198.unknown

_1335350324.unknown

_1335350179.unknown

_1330934248.unknown

_1330934387.unknown

_1330935097.unknown

_1330937254.unknown

_1330934549.unknown

_1330934262.unknown

_1330933351.unknown

_1330933415.unknown

_1330933291.unknown

_1330863947.unknown

_1330932622.unknown

_1330932702.unknown

_1330932609.unknown

_1330863747.unknown

_1330863785.unknown

_1330863720.unknown

_1330863346.unknown

_1330863515.unknown

_1330863579.unknown

_1330863662.unknown

_1330863531.unknown

_1330863453.unknown

_1330863475.unknown

_1330863393.unknown

_1330857820.unknown

_1330863199.unknown

_1330863303.unknown

_1330863329.unknown

_1330863259.unknown

_1330863078.unknown

_1330863139.unknown

_1330863170.unknown

_1330863101.unknown

_1330858012.unknown

_1330862999.unknown

_1330862902.unknown

_1330857994.unknown

_1330857728.unknown

_1330857761.unknown

_1326698024.unknown

_1330857699.unknown

_1326698040.unknown

_1326697140.unknown

_1326619953.unknown

_1326620895.unknown

_1326621510.unknown

_1326621671.unknown

_1326622221.unknown

_1326622274.unknown

_1326622470.unknown

_1326622511.unknown

_1326622572.unknown

_1326622348.unknown

_1326622240.unknown

_1326622103.unknown

_1326622153.unknown

_1326622072.unknown

_1326621607.unknown

_1326621645.unknown

_1326621531.unknown

_1326621087.unknown

_1326621229.unknown

_1326621266.unknown

_1326621162.unknown

_1326621005.unknown

_1326621044.unknown

_1326620925.unknown

_1326620387.unknown

_1326620625.unknown

_1326620748.unknown

_1326620836.unknown

_1326620877.unknown

_1326620858.unknown

_1326620812.unknown

_1326620684.unknown

_1326620510.unknown

_1326620579.unknown

_1326620420.unknown

_1326620189.unknown

_1326620318.unknown

_1326620352.unknown

_1326620228.unknown

_1326620024.unknown

_1326620050.unknown

_1326619991.unknown

_1326619388.unknown

_1326619787.unknown

_1326619833.unknown

_1326619920.unknown

_1326619809.unknown

_1326619517.unknown

_1326619747.unknown

_1326619460.unknown

_1326619210.unknown

_1326619271.unknown

_1326619346.unknown

_1326619242.unknown

_1326619125.unknown

_1326619196.unknown

_1326619083.unknown

_1326618383.unknown

_1326618761.unknown

_1326618921.unknown

_1326618989.unknown

_1326619011.unknown

_1326618952.unknown

_1326618816.unknown

_1326618887.unknown

_1326618796.unknown

_1326618515.unknown

_1326618641.unknown

_1326618664.unknown

_1326618597.unknown

_1326618455.unknown

_1326618481.unknown

_1326618423.unknown

_1326618117.unknown

_1326618187.unknown

_1326618272.unknown

_1326618357.unknown

_1326618225.unknown

_1326618159.unknown

_1326618174.unknown

_1326618144.unknown

_1326617992.unknown

_1326618070.unknown

_1326618095.unknown

_1326618006.unknown

_1326617912.unknown

_1326617932.unknown

_1326617894.unknown

_1324453597.unknown

_1324453745.unknown

_1326609551.unknown

_1326610615.unknown

_1326617513.unknown

_1326617741.unknown

_1326617786.unknown

_1326617603.unknown

_1326617387.unknown

_1326617455.unknown

_1326610648.unknown

_1326609842.unknown

_1326609944.unknown

_1326610030.unknown

_1326609919.unknown

_1326609622.unknown

_1326609806.unknown

_1326609580.unknown

_1326109346.unknown

_1326609333.unknown

_1326609481.unknown

_1326609505.unknown

_1326609452.unknown

_1326109373.unknown

_1326109382.unknown

_1326109359.unknown

_1324453781.unknown

_1326106678.unknown

_1326106708.unknown

_1326109331.unknown

_1326106693.unknown

_1324453792.unknown

_1324453821.unknown

_1326106479.unknown

_1324453796.unknown

_1324453787.unknown

_1324453760.unknown

_1324453773.unknown

_1324453779.unknown

_1324453766.unknown

_1324453749.unknown

_1324453758.unknown

_1324453747.unknown

_1324453659.unknown

_1324453709.unknown

_1324453735.unknown

_1324453741.unknown

_1324453743.unknown

_1324453737.unknown

_1324453722.unknown

_1324453724.unknown

_1324453720.unknown

_1324453667.unknown

_1324453690.unknown

_1324453703.unknown

_1324453682.unknown

_1324453663.unknown

_1324453665.unknown

_1324453661.unknown

_1324453622.unknown

_1324453648.unknown

_1324453652.unknown

_1324453654.unknown

_1324453650.unknown

_1324453642.unknown

_1324453644.unknown

_1324453637.unknown

_1324453608.unknown

_1324453614.unknown

_1324453616.unknown

_1324453612.unknown

_1324453601.unknown

_1324453603.unknown

_1324453599.unknown

_1324453521.unknown

_1324453576.unknown

_1324453586.unknown

_1324453593.unknown

_1324453595.unknown

_1324453591.unknown

_1324453580.unknown

_1324453584.unknown

_1324453578.unknown

_1324453567.unknown

_1324453572.unknown

_1324453574.unknown

_1324453570.unknown

_1324453529.unknown

_1324453534.unknown

_1324453525.unknown

_1324453474.unknown

_1324453495.unknown

_1324453506.unknown

_1324453510.unknown

_1324453497.unknown

_1324453480.unknown

_1324453493.unknown

_1324453476.unknown

_1324453442.unknown

_1324453470.unknown

_1324453472.unknown

_1324453459.unknown

_1324453431.unknown

_1324453438.unknown

_1324453429.unknown