Prof: Ciocotişan Radu-Carei

CuantificatorulCuantificatorul existenexistenţţialial (( )) şşii cuantificatorulcuantificatorul universaluniversal (( ))

„„ existăexistă cel pucel puţţin unin un xx din Edin E astfelastfel îîncât p(ncât p( xx )) ““ care se noteazăcare se notează (( xx ) p() p( xx ))

ExempleExemple1)1) Considerăm predicatul pConsiderăm predicatul p(x):(x): „„ xx + 3 = 0+ 3 = 0 ", unde", unde xx desemnează un numărdesemnează un număr îîntreg.ntreg.

PropoziPropoziţţia (ia (ЭЭxx)) (( x +x + 3 = 03 = 0 ) e) este adevăratăste adevărată, deoarece pentru, deoarece pentru xx00 == -- 3 propozi3 propoziţţia p(ia p(--33)):: „„ --3 + 3 = 03 + 3 = 0 " e" este adevăratăste adevărată..2)2) Fie predicatulFie predicatul p(x):p(x): „„ xx22 + 1 = 0+ 1 = 0 ", unde", unde xx desemnează un număr realdesemnează un număr real..

PropoziPropoziţţia (ia (ЭЭxx) () ( xx 22 ++ 1 = 01 = 0 ) e) este falsăste falsă, d, deoarece nu există nici un număr realeoarece nu există nici un număr real xx00 astfelastfel îîncât să avemncât să avem xx 22++ 1 = 0.1 = 0.

Strâns legată de noStrâns legată de noţţiunea de predicat apare noiunea de predicat apare noţţiunea de cuantificator.iunea de cuantificator.

Fie predicatul unarFie predicatul unar p(x)p(x),, undeunde xx desemnează un element oarecare din muldesemnează un element oarecare din mulţţimeaimea E.E.

Putem forma enunPutem forma enunţţul:ul:

„„ oricareoricare ar fiar fi xx din Edin E are loc p(are loc p( xx )) ““ care se noteazăcare se notează (( xx ) p() p( xx ).).

ExempleExemple1)1) Fie predicatulFie predicatul pp(x):(x): „„ xx + 3 = 0",+ 3 = 0", undeunde xx desemnează un numărdesemnează un număr îîntreg.ntreg.

PropoziPropoziţţiaia (( xx) () ( xx + 3 = 0+ 3 = 0 )) este falsăeste falsă, deoarece pentru, deoarece pentru xxoo = 4= 4 propozipropoziţţia pia p(4):(4): „„ 4 + 3 = 04 + 3 = 0 "" este falsăeste falsă..

2)2) Considerăm predicatul Considerăm predicatul p(p(xx)):: „„ xx22 > 0"> 0" undeunde xx desemnează un numărdesemnează un număr îîntreg.ntreg.PropoziPropoziţţiaia (( xx) () ( xx 22 ≥≥ 00 ) e) este adevăratăste adevărată deoarece pentru orice număr deoarece pentru orice număr îîntregntreg xx00 avemavem xx00

22 ≥≥ 0.0.

Cu predicatul pCu predicatul p(x)(x) putem formaputem forma şşi enuni enunţţul:ul:

Acest enunAcest enunţţ este o propozieste o propoziţţie,ie, carecare este adevăratăeste adevărată cândcând există cel puexistă cel puţţinin un elementun element xx00 din Edin E,, astfelastfel îîncât propozincât propoziţţiaiap(p( xx00 ) e) este adevăratăste adevărată şşii este falsăeste falsă cândcând nu există nici un xnu există nici un x00 din Edin E astfelastfel îîncâtncât p(p( xx00 )) să fie adevăratăsă fie adevărată..

Acest enunAcest enunţţ este o propozieste o propoziţţie,ie, carecare este adevăratăeste adevărată dacădacă pentru oricepentru orice elementelement xxoo din Edin E p(xp(xoo) e) este adevăratăste adevărată şşiieste falsăeste falsă îîn cazul cândn cazul când există cel puexistă cel puţţinin un xun xoo din Edin E pentru carepentru care p(xp(x00) e) este falsăste falsă..

Prof: Ciocotişan Radu-Carei

Două predicateDouă predicate p(x, y, z, ...), q(x, y, z, ...) se zicp(x, y, z, ...), q(x, y, z, ...) se zic echivalenteechivalente şşi scriei scriemm p( x , y , z , ...)p( x , y , z , ...) q( x , y , z , ...),q( x , y , z , ...),dacă oricum am alege valorile variabilelor xdacă oricum am alege valorile variabilelor xoo, y, yoo, z, z00,, ..., propozi..., propoziţţiile p(xiile p(xoo, y, yoo, z, zoo.. ……)) şşi q(xi q(xoo, y, yoo, z, z00,, ...,)...,) auauaceeaaceeaşşi valoare de adevări valoare de adevăr..

ExempluExemplu1)1) Considerăm predicatele pConsiderăm predicatele p((xx):): „„ xx < 0< 0 "" şşi q(x):i q(x): „„ xx ≥≥ 0" unde0" unde xx desemnează un număr real desemnează un număr real..Se observă căSe observă că ┐┐p(p(xx) <=> q() <=> q(xx)) şşii ┐┐q(q(xx) <=> p() <=> p(xx).).

2)2) Considerăm predicatele pConsiderăm predicatele p((xx,, yy):): „„ xx == yy "" şşi q(i q(xx,, yy):): „„ xx ≠≠ yy””, unde, unde x, yx, y desemnează numere reale desemnează numere reale..Se observă căSe observă că ┐┐pp((xx,, yy) <=> q() <=> q(xx,, yy).).

3)3) Considerăm predicatele pConsiderăm predicatele p((xx):): „„ xx > 0"> 0" şşi q(i q(xx):): „„xx 22 > 0", unde> 0", unde xx desemnează un număr real desemnează un număr real..Se vede că pSe vede că p((xx) => q() => q(xx), dar nu are loc implica), dar nu are loc implicaţţia q(ia q(xx) => p() => p(xx), deoarece pentru), deoarece pentru xx00== --1, propozi1, propoziţţia q(ia q(--1):1): „„((--1)1)22 > > 0"0" esteesteadevăratăadevărată, pe când propozi, pe când propoziţţia p(ia p(--1):1): „„--1 >1 > 0 0" e" este falsăste falsă..

EchivalenEchivalenţţa predicatelor.a predicatelor.

Se vede că pSe vede că p(x, y, z, ...)(x, y, z, ...) q{x, y, z, ...) atunciq{x, y, z, ...) atunci şşi numai atunci când p(x, y, z, ...)i numai atunci când p(x, y, z, ...) q(x, y, z, ...)q(x, y, z, ...) şşi q(x, y, z, ...)i q(x, y, z, ...) p(x, y, z, ...).p(x, y, z, ...).

Prof: Ciocotişan Radu-Carei

Reguli de negaReguli de negaţţie.ie.Fie p(Fie p(xx) un predicat unar, unde) un predicat unar, unde xx desemnează un element din muldesemnează un element din mulţţimea E.imea E.Atunci:Atunci:

1)1) ┐┐(( (( xx)) p(p(xx)) ) = () = ( xx)) ┐┐p(p(xx))

2)2) ┐┐(( (( xx)) p(p(xx)) ) = () = ( xx)) ┐┐p(p(xx))

ExemplExempluu

Să considerăm predicatulSă considerăm predicatul p(x):p(x): „„ xx -- 2 = 32 = 3 "", unde, unde xx desemnează un numărdesemnează un număr îîntreg.ntreg.

PropoziPropoziţţiaia ((ЭЭx) p(x)x) p(x) este adevăratăeste adevărată deoarece pentrudeoarece pentru xx00 = 5, propozi= 5, propoziţţiaia p(xp(x00)) :: „„ 55 -- 2 = 32 = 3 " e" este adevăratăste adevărată..

Atunci propoziAtunci propoziţţiaia ┐┐ ((ЭЭx) p(x)x) p(x) este falsăeste falsă..

Pe de altă partePe de altă parte, predicatul, predicatul ┐┐p(x)p(x) este echivalent cu predicatuleste echivalent cu predicatul „„ xx -- 22 ≠≠ 33 ".".

PropoziPropoziţţiaia (( xx) () (xx –– 22 ≠≠ 3)3) este falsă este falsă, deoarece pentru, deoarece pentru xxoo == 5, propozi5, propoziţţiaia „„ 55--22 ≠≠ 3"3" este falsă este falsă..

Deci am verificat căDeci am verificat că::

3232 xxxx

Prof: Ciocotişan Radu-Carei

MulMulţţimiimi şşi Predicatei PredicateSSă formalizămă formalizăm îîn termeni logicin termeni logici câteva din definicâteva din definiţţiile din acest paragraf.iile din acest paragraf.

se scrie:

definidefiniţţiaia reuniuniireuniunii

se scrie:

BA BxAxxBAx

BA se scrie: BxAxBAx

definidefiniţţia intersecia intersecţţieiiei BA BxAxBAx

definidefiniţţiaia diferendiferenţţeiei BA BxAxBAx se scrie:

relarelaţţia de incluziuneia de incluziune

Prof: Ciocotişan Radu-Carei

Predicate de mai multe variabile.Predicate de mai multe variabile.

FieFie p(x, y)p(x, y) un predicat binar.un predicat binar.Folosind cuantificatorii (Folosind cuantificatorii ( )) şşi (i ( ), putem forma predicatele unare:), putem forma predicatele unare: şşii

undeunde yy este variabila acestor două predicateeste variabila acestor două predicate (( yy se zicese zice variabilă liberăvariabilă liberă,, iariar xx variabilă legatăvariabilă legată ).).

Din aceste două predicate putem forma propoziDin aceste două predicate putem forma propoziţţiile:iile:

Semnalăm următoareleSemnalăm următoarele proprietăproprietăţţi de comutativitatei de comutativitate ale cuantificatorului de acelaale cuantificatorului de acelaşşii fel:fel:

Multe teoreme se scriu sub forma implicaMulte teoreme se scriu sub forma implicaţţieiiei p (p (x,y,zx,y,z,...) => q (,...) => q (x, y, zx, y, z, ...)., ...).

Considerăm teoremaConsiderăm teorema:: ““ ÎÎn orice triunghi medianele sunt concurenten orice triunghi medianele sunt concurente..””

Această teoremă este de forma pAceastă teoremă este de forma p ((x, y, zx, y, z) => q () => q (x, y, zx, y, z),),unde p(unde p( x, y, zx, y, z ) este predicatul ternar:) este predicatul ternar: p(p( x, y, zx, y, z ) sunt medianele unui triunghi") sunt medianele unui triunghi"iar q (iar q ( x, y, zx, y, z ) este predicatul:) este predicatul: „„ x, y, zx, y, z sunt concurente".sunt concurente".

yxpx , yxpx ,

yxpxy

yxpxy

yxpxy

yxpxy

,

,

,

,

yxpyxyxpxy

yxpyxyxpxy

,,

,,